高中数学_椭圆练习题

（焦点在
x
轴）
标准
方程
（焦点在
y
轴）
x
2
y
2
?
2
?1(a?b?0)
2
ab
椭圆，这两个定点叫焦点，两定点间距离焦距。
y
2
x< br>2
?
2
?1(a?b?0)

2
ab
第一定 义：平面内与两个定点
F
1
，
F
2
的距离的和等于定长（定 长大于两定点间的距离）的点的轨迹叫做
?
MMF

1
?MF
2
?2a
?
2a?F
1
F
2
y
M
??


F
2

y
M
F
1O
F
2
x
O
F
1

x
定 义
第二定义：平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数时，这 个动
点的轨迹叫椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线。

y

y
M

M

F
2

M
F
1
F
2
x
F
1

M
x
范 围
x?a

y?b

x?b

y?a

顶点坐标
(?a,0)

(0,?b)

(0,?a)

(?b,0)

O(0,0)

对 称 轴
x
轴，
y
轴；长轴长 为
2a
，短轴长为
2b

原点
对称中心

焦点坐标
F
1
(c,0)

F
2
(?c,0)

焦点在长轴上，
F
1
(0,c)

F
2
(0,?c)

c?a
2
?b
2
； 焦距：
F
1
F
2
?2c


1

离 心 率
222
c
ca?b
e?
(
0?e?1
) ,
e
2
?
2
?
a
aa

e
越大椭圆越扁，
e
越小椭圆越圆。
准线方程
a
2
x??
c

a
2
y??
c


2a
2
准线垂 直于长轴，且在椭圆外；两准线间的距离：
c
顶点到准线的
距离
a
顶点
A
到准线
l
1
（
l
2
）的距离为1
（
A
2
）
c
2
焦点到准线的
距离
a
2
焦点
F
到准线
l
1
（
l2
）的距离为
1
（
F
2
）
c
最大距离 为：
a
2
?a

?a
顶点
A
1
（
A
2
）到准线
l
2
（
l
1
）的 距离为
c
a
2
?c

?c
焦点
F1
（
F
2
）到准线
l
2
（
l
1
）的距离为
c
椭圆上到焦点
的最大（小）距
离
a?c
最小距离为：
a?c
相关应用题：远日距离
a?c
近日距离
?
x?bcos
?
（
?
为参数）
?
y?asin
?
?
a?c

椭圆的参数方
程
?
x?acos
?
（
?
?
?
y?bsin
?
为参数）
椭圆上的点到
给定直线的距
离
?
x?acos
?
利用参数方程简便：椭圆
?
（
?
为参数）上一点到直线
Ax?By? C?0
的距
?
y?bsin
?
离为：
d?
|Aac os
?
?Bbsin
?
?C|
A?B
22

直线和椭圆的
位置
x
2
y
2
椭圆
2?
2
?1
与直线
y?kx?b
的位置关系：
ab?
x
2
y
2
?
2
?
2
?1< br>b
利用
?
a
转化为一元二次方程用判别式确定。
?
y?kx?b
?
2

相交弦AB的弦长
通径：
AB?1?k
2
(x
1
?x
2
)< br>2
?4x
1
x
2

AB?y
2
?y
1

过椭圆上一点
的切线
x
0
xy
0
y
?
2
?1
利用导数
2
ab
y
0
yx
0
x
?
2
?1
利用导数
2
ab


例1．已知椭圆

x
2
y
2
?2
?1(a,b?0)
长半轴的长等于焦距,且
x?4
为它的右准线,
2
ab
x
2
y
2
?

?1
椭圆的标准方程为：______________
43

x< br>2
y
2
?1
P到左准线的距离为10，F
1
是左焦点 ，O是坐 例2．椭圆
?
上一点
2516

标原点，点M满足
1
，则 2









OM?
2
(OP?OF
1
)
|OM|?
y
P
M
F
1
o
F
2
x
x< br>2
y
2
例3.(06模拟)设椭圆
2
?
2
? 1(a?b?0)的两焦点为F
1
,F
2
,若椭圆上存在一点P
ab
使PF
1
?PF
2
?0,求椭圆离心率e的范围.


3

解法一：设P(x
0
,y
0
),
则|PF
1
|?a?ex
0
,|PF
2
|?a ?ex
0
,|F
1
F
2
|?2c,

y
P
?
PF
1
?PF
2
?0,?PF
1< br>?PF
2
|PF
222
1
|?|PF
2
|? |F
1
F
2
|
(a?ex
0
)
2
?(a?ex
0
)
2
?4c
2
即e
2
x< br>2
0
?2c
2
?a
2
p在椭圆上但不在x轴上

?0?x
22
0
?a
2
,?0?e
2
x
0
?c
2
?0?2c
2
?a
2
?c2
?e?[
2
2
,1)
解法二：
?
PF
1
?PF
2
?0,?PF
1
?PF
2
所以P在以 F
1
F
2
为直径的圆上，
而P又在椭圆上，所以圆与椭圆有公共点，
?b?c?b
2
?c
2
.
?a
2
?c2
?c
2
,
a
2
?
2
?c
2
?
2
2
?e?1

4
F
1
o
F
2
x
y
P
F
1
o
F
2
x
y
F
1
o
F
2
x

x
2
y
2例4.(06四川)把椭圆??1的长轴分成8等分，过每个分点作x轴
2516


的垂线交椭圆上半部分于P
1
，P
2
，??P
7
七个点，F
1
是椭圆的左焦点，


则|P
1
F
1
|?|P
2
F
1
|????|P
7< br>F
1
|?___

解法一：设P
1
，P
2< br>，P
3
，P
4
，P
5
，P
6
，P< br>7
的横坐标分别为


y
P
3
P
4
P
5
P
P
6
P
1
2
P
7
x
1
x
2
x
3
x
4
x
1
，x
2
，x
3
，x
4
，x
5
， x
6
，x
7



|P

1F
1
|?|P
2
F
1
|?|P
3
F< br>1
|?
?
?|P
6
F
1
|?|P
7
F
1
|

y
x
5
x
6
x
7
解法二：连接P
?
F
2
，P
7
?7a ?e(x
1
?x
2
P
?x?x)
2
，由题意知，< br>7
F
2
，
5
F
3
?
6
|P |?|P
1
F
1
|，|P
6
F
2
|?|P
2
F
1
|，|P
5
F
2
|?|P
3
F
1
|，
?7a
7
F
?
2
35
?|P
1
F
1
|?|P
2
F
1
| ?|P
3
F
1
|?|P
4
F
1
|?|P< br>5
F
1
|?|P
6
F
1
|?|P
7
F
1
|
?|P
7
F
2
|?|P
7
F
1
|?|P
6
F
2
|?|P
6
F
1
|?|P
5
F
2
|?|P
5
F
1
|?|P
4
F
1
|
?7a?35

P
3
P
4
P
5
P
P
6
P
1
2
P
7
F
1

o
F
2
x
x
2
y
2
变式练习:把椭圆??1的长轴分成8等分，过每个分点 作x轴的垂线交椭圆上
2516
半部分于P
1
，P
2
，?? P
7
七个点，F
1
是椭圆的左焦点,长轴与椭圆交于P
0
, P
8
,判断
|P
0
F
1
|,|P
1F
1
|,|P
2
F
1
|
?
|P
8
F
1
|，是否为等差数列?说明理由，若是求出公差.





x



公差为d
0
y
P
3
P
4
P
5< br>P
P
6
P
1
2
P
7
P
0< br>F
1
，x
1
??x
8
，{x
n
}为 等差数列，
?
105
5
?（0?n?8，n?N）。
84
解:设P
0
，P
1
??P
8
的横坐标为

o
P
8
F
2
x
?
|PF|?a?ex ，|PF|?|PF|?ed

1．下列命题是真命题的是



（ ）
A．到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆
B．到 定直线
x?
a
2
和定点F(c，0)的距离之比为
c
的点的 轨迹是椭圆
c
a
a
2
的距离之比为
c
(a>c> 0)的点的轨迹 是左半个椭圆
c
a
C．到定点F(－c，0)和定直线
x ??
D．到定直线
x?
a
2
和定点F(c，0)的距离之比为
a
(a>c>0)的点的轨迹是椭圆
c
c
2．若椭圆的两焦点为（－2， 0）和（2，0），且椭圆过点
(,?)
，则椭圆方程是
22
A．
y
?
x
?1

84
B．
y
2
x
2
??1

10 6
53
22
y
2
x
2
C．
??1

48
（ ）
22
3．若方程x+ky
2
=2表示焦 点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为
A．（0，+∞） B．（0，2） C．（1，+∞）
4．设定点F
1
（0，－3）、F
2
（0 ，3），动点P满足条件
PF
1
?PF
2
?a?

A．椭圆
（ ）
B．线段 C．不存在
2
D．
x
?
y
?1

106
（ ）
D．（0，1）
9
(a?0)
，则点P的轨迹是
a
D．椭圆或线段
（ ）
D．相同的长、短轴
（ ）
D．
x
2
y< br>2
x
2
y
2
5．椭圆
2
?
2
?1
和
2
?
2
?k
?
k?0
?
具有
abab
A．相同的离心率 B．相同的焦点 C．相同的顶点
6．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为
A．
1

4
B．
2

2
C．
2

4
1

2
17
x
2
y
2
7．已知
P
是椭圆
??1
上的一点，若
P
到椭圆右准线的距 离是，则点
P
到左焦点的距离是
2
10036

A．
（ ）
16

5
B．
66

5
C．
75

8
D．

77

8
（ ）
x
2
y
2
8．椭圆
?? 1
上的点到直线
x?2y?2?0
的最大距离是
164
A．3 B．
11
C．
22
D．
10

x
2< br>y
2
??1
内有一点P（1，－1）9．在椭圆，F为椭圆右焦点，在椭圆上有 一点M，使|MP|+2|MF|的值最
43
小，则这一最小值是
A．

B．
（ ）
D．4
5

2
7

2
C．3
x
2
10．过点M（－2，0）的直线m与椭圆
?y
2
?1
交于P
1< br>，P
2
，线段P
1
P
2
的中点为P，设直线m的斜率
2
为k
1
（
k
1
C．
1
2

?0
），直线OP的斜率为k
2
，则k
1
k
2
的值为
1
D．－
2
6
（ ）A．2 B．－2

15．已知椭圆的对称轴为坐标轴， 离心率
e?
2
3
，短轴长为
85
，求椭圆的方程．
8
x
2
25y
2
16．已知A、B为椭圆
2
+= 1上两点，F为椭圆的右焦点，若|AF|+|BF|=a，AB中点到椭圆左
222
2
5
a
9a
3
准线的距离为，求该椭圆方程．
2
x
2
y
2
??1上一点P(x
0
,y
0
)向圆O: x
2
?y
2
?4
引两条切线PA、PB、A、 17．过椭圆
C:
84
B为切点，如直线AB与x轴、y轴交于M、N两点．
（1）若
PA?PB?0
，求P点坐标；（2）求直线AB的方程（用
x
0
,y
0
表示）；
（3）求△MON面积的最小值．（O为原点）
18．椭圆
xy
2
?
2
?1
?
a
＞b
＞
0
?
与直线
x?y?1
交于
P
、
Q
两点，且
OP?OQ
，其中
O
为坐
2
a b
的值；（2）若椭圆的离心率
e
满足
2
标原点.
（1） 求
11
?
a
2
b
2
3
≤
e
≤
2
，求椭圆长轴的取值范围
3
2
x
2
19． 一条变动的直线L与椭圆
4
y
2
+=1交于P、Q两点，M是L上的动点，满 足关系|MP|·|MQ|=2．若
2
（
c?0
）的准线
l
与x轴相交于点
2
，相应于焦点F（c，0）
直线L在变动过程中始终保持其斜率等于 1．求动点M的轨迹方程，并说明曲线的形状．
20．椭圆的中心是原点O，它的短轴长为
2
A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点 .
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若
OP?OQ?0
，求直线PQ的方程；
（3）设，过点
A P?
?
AQ
（
?
?1
）P且平行于准线
l
的直线与椭圆相交于另一点M，证明
FM??
?
FQ
.（14分）

题号
答案
1
D
2
D
3
D
4
A
5
A
6
D
7
B
8
D
9
C
10
D
b?45
y
2
y
2
x
2
x
2
a?12
c2< br>??1
或
??1
. 15．(12分) [解析]:由
e??
，∴椭圆的方程为：
?

1448014480
a3
c?8
a
2
?b
2
?c
2
16．(12分 ) [解析]：设A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y2
)，
?e?
1
48

,
由焦半径公式有a－ ex
1
+a－ex
2
=
a
，∴x
1
+x< br>2
=
a
，
2
55
1
5153
即AB 中点横坐标为
a
，又左准线方程为
x??a
，∴
a?a?
， 即a=1，∴椭圆方程为
4
4442
x
2
+
25
y
2
=1．
9
17．(12分)

7

[解析]：（1）
?PA?PB?0?PA?PB
∴OAPB的正方形
22
?
x
0
?y
0
?832
?
2
由
?
22
?x??8

?x
0
??22
∴P点坐标为（
?22,0
）
0
x
0
y
0
4
?1
?
?
4
?
8
（2）设A（x
1
，y
1
），B（x
2，y
2
）
则PA、PB的方程分别为
x
1
x?

y
1
y?4,x
2
x?y
2
y?4
，而PA、PB交于P（x
0
，y
0
）
即x
1
x
0
+y
1
y
0
=4，x
2
x
0
+y
2
y< br>0
=4，∴AB的直线方程为：x
0
x+y
0
y=4
（3）由
xx?yy?4得M(
4
,0)
、
N(0,
4< br>)

00
S
?MON
y
0
11441
?|OM|?|ON|?||?||?8?
22x
0
y
0
|x0
y
0
|
y
0
x
2
y
288
??22

|?22(
0
?
0
)?22< br>?S
?MON
?
84
|x
0
y
0
|
22
22
2
x
0
?
x
0

?|x
0
y
0
|?42|
2
18．（12分）[解析]： 设
P(x
1
,y
1
),P(x
2
,y
2< br>)
，由OP ⊥ OQ
22
当且仅当
|
x
0
|?|
y
0
|时,S
.
?MON
min
?22
?
x
1
x
2
+ y
1
y
2
= 0

?y
1
?1?x
1
,y
2
?1?x
2
, 代入上式得2x：
又将
y?1?x代入

1
x
2
?(x
1
?x
2
)?1?0 ①
x
2
y
2
2a
2
222222
??1< br>?(a?b)x?2ax?a(1?b)?0
，
???0,?x
1
?x
2
?
2
,

a
2
b
2
a ?b
2
a
2
(1?b
2
)
代入①化简得
1
?
1
?2
.
x
1
x
2
?
22
a?b
a
2
b
2
a
2
c
2
b
2
1b
2
11b
2
2
22
(2)
?e?

?1?
2
??1?
2
???
2
?,
又由（1）知
b?
322
a3
2a
2
?1
a
2
aa
1125356
，∴长轴 2a ∈ [
5,6
].
????a
2
???a?< br>2
2
2a?1
34222
19．(14分)
?
[解 析]：设动点M(x，y)，动直线L：y=x+m，并设P(x
1
，y
1
) ，Q(x
2
，y
2
)是方程组
?
y?x?m,
的解 ，
?
22
?
x?2y?4?0
消去y，得3x
2
+ 4mx+2m
2
－4=0，其中Δ=16m
2
－12(2m
2
－4)>0，∴－
2
x
1
x
2
=
2m?4
，又∵|MP|=
3
6
6
，且x
1
+x< br>2
=－
4m
，
3
2
|x－x
1
|， |MQ|=
2
|x－x
2
|．由|MP||MQ|=2，得|x－x
1
||x－x
2
|=1，也即
4mx2m
2
?4
2222
??1.
∵m=y－x，∴|x+2y－4|=3．由x+2y－4=3，得
33
|x
2
－(x
1
+x
2
)x+x
1< br>x
2
|=1，于是有
x
2
?
x
2
2 x
2
??1
夹在直线
y?x?6
间两段弧，椭圆且不包含端点．由x
2
+2y
2
－4=－3，得椭圆x
2
+2y
2=1．
77
22
?
a
2
?c
2
?2 ,
xy
20．(14分) [解析]：（1）由题意，可设椭圆的方程为
??1(a ?2)
.由已知得
?
2
2
?
a
2
a
?
c?2(?c).
c
?
22
解得
a?6,c?2
，所以椭圆的方程为
x
?
y
?1
，离心率
e?
6
.
62
3

8

?
x
2
y
2
??1,
（2）解：由（1）可得A（3，0） .设直线PQ的方程为
y?k(x?3)
.由方程组
?
2
?
6
?
y?k(x?3)
?
得
(3k
2
?1)x
2
?18k
2
x?27k
2< br>?6?0
，依题意
??12(2?3k
2
)?0
，得
?
6
?k?
6
.
33
18k
2
， ①
27k
2
?6
. ②，由直线PQ的方程得 设
P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
)
，则x
1
?x
2
?
x
1
x
2
?< br>3k
2
?1
3k
2
?1
y
1
?k( x
1
?3),y
2
?k(x
2
?3)
.于是y
1
y
2
?k
2
(x
1
?3)(x< br>2
?3)?k
2
[x
1
x
2
?3(x
1
?x
2
)?9]
. ③
∵
OP?OQ?0
，∴
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0< br> . ④，由①②③④得
5k
2
?1
，从而
k??
56
?(?,
6
.
)
5
所以直线PQ的方程为
x ?5y?3?0
或
x?5y?3?0
.
（2）证明：
AP?(x< br>1
?3,y
1
),AQ?(x
2
?3,y
2
)
.由已知得方程组
?
?
x
1
?3?
?
(x
2
?3),
?
y
1
?
?
y
2
,
?
?
x
22
1
y
1
注意
?
?1
，解得
x
2
?
5
?
?1
，因
F(2,0),M(x
1
,?y
1
)
，故
?
6
?
2
?1,
2
?
?
x
2
2
?
6
?
y
2
?
2
2
?1.< br>FM?(x?y
1?
??
?1
1
?2,?y
1
)?(
?
(x
2
?3)?1,
1
)
?(
2
,?y
1
)??
?
(
2
?
,y
2
)
.
而
FQ?(x
2
?2,y
2
) ?(
?
?1
2
?
,y
2
)
，所以
FM??
?
FQ
.
9
33