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高中数学易错题分类及解析

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 04:34
tags:高中数学题

高中数学必修四所有数学公式定理-高中数学常见否定都是



高中数学中的易错题分类及解析
关键词:高考 数学 易错题
全 文摘要:“会而不对,对而不全”严重影响考生成绩.易错题的
特征:心理因素、易错点的隐蔽性、形式 多样性、可控性.易错题的
分类解析:分为五大类即审题不严、运算失误、概念模糊、公式记忆
不准确、思维不严,每类再分为若干小类,列举高中数学中的典型易
错题进行误解与正解和错因分析.本 文既是对高考中的易错题目的分
类解析,同时又是第一轮复习中的一本易错题集.下表是易错题分类表:












第1页共19页




数学学习的过程,从本质上说是一种认识过程,其间包含了一系列复杂的心理活动.从
数学学习的认知结 构上讲,数学学习的过程就是学生头脑里的数学知识按照他自己理解的深
度与广度,结合自己的感觉、知 觉、记忆、思维与联想,组合成的一个整体结构.所以,数
学中有许多题目,求解的思路并不繁杂,但解 题时,由于读题不仔细,或者对某些知识点的
理解不透彻,或者运算过程中没有注意转化的等价性,或者 忽略了对某些特殊情形的讨
论……等等原因,都会导致错误的出现.“会而不对,对而不全”,一直以来 都是严重影响考
生数学成绩的重要因素.
一.易错题的典型特征
解题出错是数学答 题过程中的正常现象,它既与数学学习环境有关,又与试题的难易程
度有关.同时也与考生的数学水平、 身体与心理状况有关.
1.考生自我心理素质:数学认知结构是数学知识的逻辑结构与学生的心理结构 相互作用的
产物.而数学解题是考生主体感受并处理数学信息的创造性的心理过程.部分考生题意尚未< br>明确,加之考试求胜心切,仅凭经验盲目做题,以至于出现主观认识错误或陷入主观思维
定势,造 成主观盲动性错误和解题思维障碍.
2.易错点的隐蔽性:数学知识的逻辑结构是由数学知识之间的内 在的联系联结而成的整体,
而其心理结构是指智力因素及其结构,即观察力、记忆力、想象力、注意力和 思维力等五
个因素组成.数学解题是考生借助特定“数学语言”进行数学思维的过程,在这个过程中考< br>生的数学知识结构和数学思维习惯起着决定性的作用.个体思维的跳跃性是产生思维漏洞
的根本原 因,这种思维漏洞一旦产生,考生自己是很难发现的,因此易错点的隐蔽性很强.
3.易错点形式多样 性:根据数学学习的一般过程及数学认知结构的特点,数学易错点一般
有知识性错误和心理性错误两种等 形式:而知识性错误主要包括数学概念的理解不透彻、
数学公式记忆不准确两方面;心理性错误包括审题 不严、运算失误、数学思维不严谨等.
4.易错题的可控性:学生的认识结构有其个性特点.在知识总 量大体相当的情况下,有的
学生对知识不仅理解深刻,而且组织得很有条理,便于储存与撮;相反,有的 学生不仅对
知识理解肤浅,而且支离破碎,杂乱无章,这就不利于储存,也不容易提取.在学生形成了< br>一定的数学认知结构后,一旦遇到新的信息,就会利用相应的认知结构对新信息进行处理
和加工, 随着认识活动的进行,学生的认知结构不断分化和重组,并逐渐变得更加精确和
完善,所谓“吃一堑长一 智”.只要我们在容易出错的地方提高警戒意识,建立建全解题的
“警戒点”,养成严谨的数学思维好习 惯,易错点就会逐渐减少.
二、易错题的分类解析
1.数学概念的理解不透
数学 概念所能反映的数学对象的属性,不仅是不分精粗的笼统的属性,它已经是抓住了
数学对象的根本的、最 重要的本质属性.每一个概念都有一定的外延与内涵.而平时学习中对
概念本质的不透彻,对其外延与内 涵的掌握不准确,都会在解题中反映出来,导致解题出错.
例1.若不等式ax+x+a<0的解集为 Φ,则实数a的取值范围( )
A.a≤-
2
111111
或a≥ B.a< C.-≤a≤ D.a≥
222222
2
2
【错解】选A.由题意,方程ax+x+a=0的根的判别式
??0?1?4a?0?
a≤-
1
或a
2
第2页共19页




1
,所以选A.
2
【错因分析】对一元二次不等式与二次函数的 图象之间的关系还不能掌握,忽视了开口方向
对题目的影响.
【正确解析】D .不等式ax
2
+x+a<0的解集为 Φ,若a=0,则不等式为x<0解集不合已知条件,则a
?0
;要不等式ax
2
+x+a<0的解集为 Φ,则需二次函 数y=ax
2
+x+a的开口向上
?
??0?1?4a
2
? 0
1
且与x轴无交点,所以a>0且
?
?a?
.
2
?
a?0
例2. 命题“若△ABC有一内角为
?
,则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题是( )
3
A.与原命题真值相异 B.与原命题的否命题真值相异
C.与原命题的逆否命题的真值不同 D.与原命题真值相同
【错解】选A.因为原命题正确,其逆命题不正确.
【错因分析】本题容易出现的错误是对几 个概念的理解失误:逆命题——将原命题的题设和
结论交换、否命题——将原命题的题设和结论同时否定 ,逆否命题——将原命题的题设和结
论交换后再同时否定,原命题与逆命题、否命题与逆命题是两对互为 逆否的命题,互为逆否
的命题是等价的.
【正确解析】选D.显然,原命题正确;其逆命题为 :“若△ABC的三内角成等差数列,则
△ABC有一内角为
?
”.也正确,所以选D .
3
1?x
的奇偶性为____________________
1? x
例3.判断函数f(x)=(x-1)
1?x(1?x)(x?1)
2
【错 解】偶函数.f(x)=
(x?1)??(1?x)(1?x)?1?x
2
,所以1?x1?x
f(?x)?1?(?x)
2
?1?x
2
?f(x )
,所以f(x)为偶函数.
【错因分析】上述解法有两个错误:1未考虑函数的定义域;2 .x-1<0,放入根号内后根号
前应添负号.
【正确解析】非奇非偶函数.y=f(x)的 定义域为:
?
(1?x)(1?x)?0
1?x
?0?
?
? ?1?x?1
,定义域不关于原点对称,所以此函数为非奇
1?x?0
1?x
?
非偶函数.
例4.(2011四川)
l
1

l
2

l
3
是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( )
(A)
l
1
?l
2

l
2
?l
3
?l
1
l
3

第3页共19页



(B)
l
1
?l
2

l l
3
?
l
1
?l
3

(C)
l
1
l
2
l
3
?

l
1

l
2

l
3
共面 (D)
l
1

l
2

l
3
共 点
?
l
1

l
2

l
3
共面
【错解】错解一:选A.根据垂直的传递性命题A正确;
错解二:选C.平行就共面;
【错因分析】错解一、二都是因为对空间的线线平行、线线垂直、共面等概念的理解不透彻
所致 .
【正确解答】选B.命题A中两直线还有异面或者相交的位置关系;命题C中这三条直线可
以是三棱柱的三条棱,因此它们不一定共面;命题D中的三条线可以构成三个两两相交的
平面,所以它们 不一定共面.
例5.x=
ab
是a、x、b成等比数列的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
【错解】C.当.x=
ab
时,a、x、b成等比数列成 立;当a、x、b成等比数列时,x=
ab

立 .
【错因分析】对等比数列的定义理解不透.
【正确解析】选D.若x=a=0,x=
ab
成立,但a、x、b不成等比数列, 所 以充分性不成立;
反之,若a、x、b成等比数列,则
x?ab?x??ab
,所以x =
ab
不一定成立,必要
性不成立.所以选D.
例6.(1)把三枚硬币一起掷出,求出现两枚正面向上,一枚反面向上的概率.
(2)某种产品100件,其中有次品5件,现从中任抽取6件,求恰有一件次品的概率.
分析:
(1)【错解】三枚硬币掷出所有可能结果有2×2×2=8种,而出现两正一反是一 种结果,
故所求概率P=
.

【正解】在所有的8种结果中,两正一反并不是 一种结果,而是有三种结果:正、正、反,
正、反、正,反、正、正,因此所求概率
P?,上述错解在于对于等可能性事件的概念理解
不清,所有8种结果的出现是等可能性的,如果把上述三 种结果看作一种结果就不是等可能
性事件了,应用求概率的基本公式
P?
m
自 然就是错误的.
n
55
5
(1?)?0.2321
.
100100
3
8
1
8
2
(2) 【错解】由题意 知,这种产品的次品率为5%,且每次抽取相互独立,由独立重复实
1
验概率公式,得:6件产 品中恰有1件次品的概率为:
P
6
(1)?C
6
【正解】在上题的解 法中有两个错误:第一,100件产品,其中有5件次品与次品率为5%
是两个不同的概念;第二,该实 验不是独立重复实验,从100件产品中任抽6件,可当作抽
第4页共19页



了6次,每次抽1个,但每次抽到次品还是正品,显然直接影响到下一次抽到次品还是正品,
显 然直接影响到下一次抽到次品或正品的概率,具体地说,如果第一次抽出的是次品,那么
次品就少了一个 ,第二次再抽到次品的概率就小了…这就是说各次实验之间并非独立的,错
用了独立重复实验概率公式, 正确解法应为:
P?
2.公式理解与记忆不准
数学公式众多,学生在应用公式解决数 学问题时,由于理解不准确(例如公式成立的条
件未考虑)或记忆不准确,极易导致运算失误.例如公式
a?b?2ab(a?0,b?0,
当且仅
当a=b时“=”成立)中极易忽略数a, b均为正和取等号的条件,还有学生把我们常用的一
些公式记成下面的一系列错误公式:
log
a
(x?y)?log
a
x?log
a
y
等等.
x
2
?x

15
C
5
C
956
C
100
?0.2430
.
1
uu
?v?uv
?

?1?x?1

()
?
?
vv
2
x
例7.若
x?0,y?0,x?y?1
,则
【错 解】
4
14
?
?2?4
xy
xy
14
?
的最小值为___________.
xy
1
?8
,错解原因是忽略等号成立条件.
x?y
2
()
2
【正解】
y
4x
14
x?y4(x?y)
??5???9

?
=
xyxy
xy
例8. 函数y=sin
4
x+ cos
4
x-
3
的相位____________,初相为________ __ .周期为_________,
4
单调递增区间为____________.
【错解】y=sin
4
x+cos
4
x-
31
?
=
cos4x
,所以相位为4x,初相为0,周期为,增区间为….
44
2
【错因分析】应先把函数转化为正弦型函数.教材中关于相位、初相……的定义是在正弦型
函数 的基础上.
311
?
?
?
=
cos4x?sin(4x? )
.相位为
4x?
,初相为,周
44422
2
2k?1k< br>?
?
期为,单调递增区间为
[
?
,](k?Z)
.
42
2
【正确解析】y=sin
4
x+cos
4
x -
3.审题不严
审题,是解题的第一步,考生在审题过程中可能发生读题不清楚、未 发现隐含条件及字
母的意义含混不清等错误.
(1)读题不清
例9.(2011四 川)已知
f(x)
是R上的奇函数,且当
x?0
时,
f(x)?() ?1
,则
f(x)

反函数的图像大致是
第5页共19页
1
2
x




【错解】选B.因为
y ?()

x?0
内递减,且
f(x)?()?1
过点(0,2),所 以选B.
【错因分析】考生未看清楚题目是求
f(x)
的反函数的图像.
【正确解答】A.根据函数与其反函数的性质,原函数的定义域与值域同其反函数的值域、
定义域相同. 当
x?0,0?()?1,?1?y?2
,所以选A.或者首先由原函数过点(0,2),则其反函数过点(2,0),排除B、C;又根据原函数在
x?0
时递减,所以选A. < br>例10.编号为1,2,3,4,5的五个人,分别坐在编号为1,2,3,4,5的座位上,则至多有两个号码一致的坐法种数为( )
A.120 B.119 C.110 D.109
【错解】“至多有两个号码一致”的对立事件是“三个或四个(即五个)号码一致”, 三个
5 32
32
号码一致有
C
5
A
2
种,四个号码一致仅 一种,所以所求的坐法种数为
A
5
?C
5
A
2
?1 ?99

1
2
x
1
2
x
1
2x
无选项.
【错因分析】三个号一致时,另两个号则不能一致,例如已经选择了1、2和 3号一致,则
4号人只能坐5号位且5号人坐4号位,仅一种坐法而不是
A
2
种.读题不清导致解题出错.
【正确解析】选D .“至多有两个号码一致”的对立事件是“三个或四 个(即五个)号码一
致”,三个号码一致有
C
5
种(若三个号一致,另外两个 不在自己号位仅一种方法),四个号
53
码一致仅一种,所以所求的坐法种数为
A5
?C
5
?1?109
.选D.
2
3
例11. 一箱磁带最多有一盒次品.每箱装25盒磁带,而生产过程产生次品磁 带的概率是0.01.
则一箱磁带最多有一盒次品的概率是 .
【错解】 一箱磁带有一盒次品的概率
0.01?(1?0.01)
24
,一箱磁带中无次品的概 率
(1?0.01)
25
,所以一箱磁带最多有一盒次品的概率是
0.01? (1?0.01)
24
+
(1?0.01)
25
.
【错因 分析】由于这一箱磁带共25盒,则一箱磁带有一盒次品的概率应为
1
C
25
?0.01?(1?0.01)
24
.
【正确解析】一箱磁带有一盒次品的概率C
25
?0.01?(1?0.01)
,一箱磁带中无次品的概率
124
第6页共19页



0
C
25
?(1?0. 01)
25
,所以一箱磁带最多有一盒次品的概率是
10
C
25?0.01?(1?0.01)
24
+
C
25
?(1?0.01 )
25
.
【点评】在做文字较多的排列组合或概率题时应特别细心读题,读懂题目中的关键词的含义.
(2)忽视隐含条件
数学题目中有很多隐含条件,例如已知“直线与圆有公共点”,这就隐含 着“联立直线
与圆的方程消元后的二次方程的判别式
??0
”,又如“求函数
y?
1
的值域”隐含
sinx?2
着“
?1?sinx?1
”这个有界性条件…….审题过程应尽可能找出这些隐含条件后再解题.
2
例12.设
?

?
是方程
x?2kx?k?6?0
的两个实根,则
(
?
?1)?(
?
?1)
的最小值是
22
( )
(A)?
49
4
(B)8(C)18(D)不存在

【 错解】利用一元二次方程根与系数的关系易得:
?
?
?
?2k,
??
?k?6,

?(
?
?1)
2
?(
??1)
2
?
?
2
?2
?
?1?
?2
?2
?
?1?(
?
?
?
)
2
?2
??
?2(
?
?
?
)?2

349
?4(k?)
2
?.
选A.
44
【错因分 析】受选择答案(A)的诱惑,一看到
4(k?)?
3
4
2
4949
则立即选了答案
?
.这
44
正是思维缺乏反思性的体现.忽视了一元 二次方程有根,则判别式
??0
这个隐含条件.
【正确解析】利用一元二次方程根与 系数的关系易得:
?
?
?
?2k,
??
?k?6,

?(
?
?1)
2
?(
?
?1)
2
?
?
2
?2
?
?1?
?
2
?2
?
?1?(
?
?
?
)
2
?2
??
? 2(
?
?
?
)?2

349
?4(k?)
2
?.
?
原方程有两个实根
?

?
,∴
??4k
2
?4(k?6)?0
?
44
k??2或k?3.


k?3
时,
(
?
?1)?(
?
?1)
的最小值是8;

k??2时,
(
?
?1)?(
?
?1)
的最小值是18.选B.
例13.已知(x+2)+ =1, 求x+y的取值范围.
4
【错解】由已知得 y=-4x-16x-12,因此 x+y=-3x-16x-12=-3(x+
82828
2222
∴当x=- 时,x+y有最大值 ,即x+y的取值范围是(-∞, ].
333
第7页共19页 < br>22222
2
22
22
y
2
22
8
2
28
)+ ,
33



【错因分析】没有注意x的取值范围要受已知条件的限制.
【正确解析】由已知得 y=-4x-16x-12,因此 x+y=-3x-16x-12=-3(x+
由于(x+2)+ =1 ? (x+2)=1- ≤1 ? -3≤x≤-1,
44
28
2222
从而当x=-1时x+y有最小值1.∴ x+y的取值范围是[1, ].
3
【点评】注意一些代数式的有界性,例如 x≥0,-1≤sinx≤1, a>0等及圆锥曲线有界
性等.
例14. 方程
l og
2
(9

x?1
2x
2
22222
8
2
28
)+
33
y
2
2
y
2< br>?5)?log
2
(3
x?1
?2)?2?0
的解集为___ ________________-
错解】
log
2
(9
x?1
?5)?log
2
(3
x?1
?2)?2?0?log
2< br>(9
x?1
?5)?log
2
(3
x?1
?2)?l og
2
4?0

log
2
(9
x?1
?5 )?log
2
4(3
x?1
?2)?9
x?1
?5?4(3
x?1
?2)?(3
x?1
?1)(3
x?1
?3)?0< br>
3
x?1
?1?0

3
x?1
?3?0< br>所以x=1或x=2.所以解集为{1,2}.
【错因分析】产生了增根x=1.实际上当
3
则原方程无意义.
【正解】< br>x?1
?1?0
时,
3
x?1
?2
<0导致对数的真 数为负数
log
2
(9
x?1
?5)?log
2
( 3
x?1
?2)?2?0?log
2
(9
x?1
?5)?l og
2
(3
x?1
?2)?log
2
4?0
?
9
x?1
?5?4(3
x?1
?2)
?
lo g
2
(9
x?1
?5)?log
2
4(3
x?1< br>?2)?
?
3
x?1
?2?0?3
x?1
?3?0? x?2

?
9
x?1
?5?0
?
所以解集为{2}.
例15. 已知在6个电子元件中,有2个次品,4个合格品,每次任取一个测试,测试完不再
放回,直到2个次品都找到为止,求经过4次测试恰好将2个次品全部找出的概率.
分析:错解一: 经过4次测试恰好将2个次品全部找出,表示前4次中有2次取到正品和2次
A
4
2< br>A
4
2
1
取到次品,故所求概率为=..
5
A
6
4
错解二: 经过4次测试恰好将2个次品全部找出表示第 4次正好取到次品,故所求概率为
123
C
2
C
4
A
3
4
A
6
=
1
5
正解:若仔细审题,我们会发 现:经过4次测试恰好将2个次品全部找出,不仅包括4次正
好取到次品,前3次中有一次取到次品,还 有前4次正好都取到合格品的情况,即此时剩下
第8页共19页



2个都是次品,所以,经过4次测试恰好将2个次品全部找出的概率为
(3)字母意义含混不清
1234
C
2
C
4
A
3
?A
4< br>4
A
6
?
4

15
x
2
y
2
5
例16.若双曲线
2
?
2
??1
的离 心率为,则两条渐近线的方程为( )
ab
4
A.
xyxyxyxy
??0
B.
??0
C.
??0
D.
??0

9161693443
【错解】选D.
c5c
2
25a
2
?b
2
b
2
b
2
9 b33xy
e???
2
???1???????y??x???0
222a4a16aaa16a4443
,选D.
【错因分析】审题不认真,混淆双曲线标准方程中的a和题目中方程的a的意义.
x
2
y
2
y
2
x
2
【正确解析】
2
?
2
??1?
2
?
2
?1
,与标准方程中字母a, b互换了.选C.
abba
4.运算错误
运算能力是思维能力和运算技能的结合. 运算包括对数字的计算、估值和近似计算,对
式子的组合变形与分解变形,对几何图形中各几何量的计算 求解等.运算能力包括分析运算
条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思 维能力,也包括在
实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力.而计算出错,已经成为影响数学成绩的最 重要
因素之一.运算出错主要有以下几种:
(1)数字与代数式运算出错
数字运算 ,移项、合并同类项、因式分解等整式变形、繁分式化简、无理式变形等式子
的等价变形是考生最容易出 错的地方.
??
?
?
?
例17. 若
a?(5,?7), b?(?1,2)
,且(
a?
?
b

?b
,则实数
?
的值为____________.
r
r
【错解】
a?
?
b?(5?
?
,?7?2
?
)

?< br>rrr
?
r
则(
a?
?
b

?b? (a?
?
b)?b?0?5?
?
?2(?7?2
?
)?0?
?
?3
.
【错因分析】计算过程中数字运算出错,
(5?
?
)?(?1)
仍等于
5?
?
导致出错.
r
r< br>【正确解析】
a?
?
b?(5?
?
,?7?2
?)

?
rrr
?
19
r

a??
b

?b?(a?
?
b)?b?0?
?
?5 ?2(?7?2
?
)?0?
?
?

5
第9页共19页



例18. 已知直线
l
与点A(3,3)和B(5,2)的距离相等,且过二直线
l
1
:3x-y-1=0 和
l
2
:x+y-3=0的交点,则直线
l
的方程为______ _________________
【错解】先联立两直线求出它们交点为(1,2),设所求直线 的点斜式,再利用A、B到它的
距离相等建立方程得
|2k?1|
k
2
?1
?
|4k|1
?k??
,所以所求直线为x+2y-5=0.
2
k
2
?1
【错因分析】显然,解方程时漏了一根,含绝对值的方程应讨论 (或平方)求解,一般有两
根.
【正确解析】x-6y+11=0或x+2y-5=0.联立 直线
l
1
:3x-y-1=0和
l
2
:x+y-3=0的方 程得它
们的交点坐标为(1,2),令过点(1,2)的直线
l
为:y-2=k(x- 1)(由图形可看出直线
l

斜率必然存在),由点到直线的距离公式得:
直 线
l
的方程为:x-6y+11=0或x+2y-5=0.
(2)运算方法(如公式、运算程序或运算方向等)选择不当导致运算繁杂或不可能得解而
出错
在同样的题目条件下,不同公式的选择及不同运算程序都将极大影响运算的速度和准确
度.
例19. 已知圆(x-3)
2
+y
2
=4和直线y=mx的交点分 别为P,Q两点,O为坐标原点,则
|2k?1|
k
2
?1
?
|4k|11
?k?,k??
,所以
62
k
2
?1
OP?OQ
的值为 .
【运算繁杂的解法】联立 直线方程y=mx与圆的方程(x-3)
2
+y
2
=4消y,得关于x的方程
(1?m
2
)x
2
?6x?5?0
,令
P(x1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
)
,则
x
1
?x
2
?
2
65
,则
,x? x?
12
22
1?m1?m
uuur
uuur
5m
2
y
1
y
2
?mx
1
x
2
?,由于向量
OP
与向量
OQ
共线且方向相同,即它们的夹角为0,
2
1?m
uuuruuur
所以
OP?OQ?OP?OQ?x
1< br>x
2
?y
1
y
2
?
55m
2
??5
.
1?m
2
1?m
2
【分析】上述解法正确,也 得出了正确答案,但运算繁杂.下面的解法简洁明了.
【正确解析】根据圆的切割线定理,设过点O的 圆的切线为OT(切点为T),由勾股定理,

OP?OQ?OT?3?2?5
. < br>例20.长为1的正四面体内有一点P,由点P向各面引垂线,垂线段长度分别为d
1
, d
2
,d
3

d
4
,则d
1
+d
2
+d
3
+d
4
的值为
【运算繁杂的解法】在正四面体S-ABC内任取一点P,则
第10页共19页
222



133
V
S?ABC
?V
P?ABC
?V
P?ABS
?V
P?ACS
?V
P?BCS
???1
2
?()
2
?
343
136
?( d
1
?d
2
?d
3
?d
4
)?d
1
?d
2
?d
3
?d
4
?
.
343
【分析】上述解法正确,但如果采用下面的特殊值(特殊点)法,运算更为简洁. 【正确解析】
6
.令P为正四面体的中心(显然,P的位置不影响正确答案),则
3
6
,
12
d
1
?d
2
?d
3< br>?d
4
?r
(r为内切球半径),而棱长为1的正四面体的内切球半径为r=< br>所以所求值为4r=
6
.
3
(3)忽视数学运算的精确性,凭经验猜想得结果而出错
例21.曲线x
2

y
2
?1
的右焦点作直线交双曲线于A、B两点,且
A B?4
,则这样的直线
2
有___________条.
【错解】4条.过 右焦点的直线,与双曲线右支交于A、B时,满足条件的有上、下各一条(关
于x轴对称);与双曲线的 左、右分别两交于A、B两点,满足条件的有上、下各一条(关于
x轴对称),所以共4条.
【错因分析】实际上,通过计算可知,过右焦点且与X轴垂直的弦AB(即通径)为
2b
22?2
??4
,恰好为所需长度,因此过右焦点的直线与右支相交于A、B两点时,仅有< br>a1
一条满足条件.
2b
2
2?2
??4
,所以过 右焦点的直【正解】过右焦点且与X轴垂直的弦AB(即通径)为
a1
线,与双曲线右支交于A 、B时,满足条件的仅一条;与双曲线的左、右分别两交于A、B
两点,满足条件的有上、下各一条(关 于x轴对称),所以共3条.
(4)计量单位缺乏量纲意识
例22.甲、乙两种商品,经营 销售这两种商品所能获得的利润依次为P万元和Q万元,它
们与投入资金x(万元)的关系有经验公式< br>P?
13
x,Q?x
.现有3万元资金投入经营甲、
55
乙两 种商品,为获得最大利润,对甲、乙两种商品的资金投入分别是多少元?
【错解一】设对甲种商品投入 金额x元,则乙种商品投资为30000-x元,获得利润总额为y
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元.
则将利润总额为y的单位换算成元有:
y?
13
x?30000?x,x?[0,30000]
,如法炮制,令
55
3 0000?x?t,则x?30000?t
2
,t?[0,1003]

?< br>y?
13139
(30000?t
2
)?t??(t?)
2< br>?6000,t?[0,1003].

555220
?t?
3
?x?29997.75(元),30000?x?2.25(元)
.
2
【错解二 】设对甲种商品投入金额x元,则乙种商品投资为30000-x元,获得利润总额为y
元.
把利润总额单位转化为元,则
y?
13
x?10000?30000?x,x?[0, 30000]

55

30000?x?t,则x?300000?t
2
,t?[0,1003]

339
?
y?2000?(3000 0?t
2
)?t??2000(t?)
2
?6?10
7
?? 10
?5

t?[0,1003].

5200002
?t ?
33
2
.时
y
最大,此时对甲商品资金投入量为
x?30 000?()?29999.9999999775
2000020000
元,对乙商品资金投 入量为0.元.,此时甲商品获得利润60000000.000045元(.不
管怎样分配,甲商品都 赚了投入资金的
1999
倍的钞票!)
【错解三】设对甲种商品投入金额x元,则乙 种商品投资为30000-x元,获得利润总额为y
元.
由于利润总额单位为万元,故
y?
113
(x?30000?x)

1000055

30000?x?t,则x?300000?t
2
,t?[0,1003]

y??
?t?
13139
(30000? t
2
)?t??[(t?)
2
?6000],t?[0,1003].

500220
3
?x?29997.75(元),30000?x?2.25(元 )
.
2
【错因分析】量纲不统一,对经验公式
P?
13
x ,Q?x
的单位理解不清.从量纲角度看,长
55
度立方为体积、长度平方为面积(正 如体积的立方根为长度、面积的算术平方根长度一样),
Q?
3
5
x
的单位由经验公式给出的前提是变量
x
的单位万元确定,因此,
【正解一】设对甲种 商品投入金额x万元,是乙种商品投资为(3-x)万元,获得的利润总
额为y万元.
由题意 ,得
y?
y?
13
x?3?x,x?[0,3]
,设
3?x ?t,则x?3?t
2
,t?[0,3]
,则
55
131321< br>(3?t
2
)?t??(t?)
2
?,t?[0,3].
< br>555220
9339
321
,即
x?3??

3? x?3??
.
?[0,3]时,y
max
?
44
44220
?当t?
第12页共19页



因此,为获取最大利润,对甲、乙两种商品的的资金投入应分别为0.75万元和2.25万
元,获得的最大利润为1.05万元.
【正解二】设对甲种商品投入金额x元,则目标函数应该为
y?
1x3x
13
=
??3?
x?30000?x

51
50000500

30000?x?t,则x?300000?t2
,t?[0,1003]


y?
13121
?x?30000?t
2
?7500
(余与解一同)
(30000?t< br>2
)?t??(t?150)
2
?
520
5.数学思维不严谨
(1)数学公式或结论的条件不充分
1
2
1
2
例23.已知:a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ )+(b+ )的最小值.
ab
【错解】 (a+
1< br>2
1
222
112
1
)+(b+)=a+b+
2+
2
+4≥2ab++4≥4
ab?
+4=8.
ababab
ab
∴(a+
1
2
1
2
)+(b+)的最 小值是8.
ab
22
【错因分析】上面的解答中,两次用到了基本不等式a+b≥2 ab,第一次等号成立的条件是
a=b=
1
1
,第二次等号成立的条件是ab =,显然,这两个条件是不能同时成立的.因此,8
ab
2
不是最小值.
111111
222
++4=( a+b)+(+)+4=[(a+b)-2ab]+ [(+)-
2222
ab
abab
2
1a?b
2
1
111
]+4= (1-2ab)(1+
22
)+4,由ab≤()= 得:1-2ab≥1-=, 且
22

ab4
2
22
aba b
11
25
1
16,1+
22
≥17,∴原式≥×17+4 = (当且仅当a=b=时,等号成立),
2
22
ab
25
1
2
1
2
∴(a + ) + (b + )的最小值是 .
2
ab
【正确解析】原式= a+b+
22
例24.已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=
(x?)(y?< br>1
x
1
)
的最小值为 .
y
【错 解一】因为对a>0,恒有
a?
11
1
?2
,从而z=
(x ?)(y?)
?
4,所以z的最小值是4.
xy
a
2?x
2
y
2
?2xy22
【错解二】
z??(?xy)?2?2xy?2?2(2?1)
,所以z的最小
xyxyxy
值是
2(2?1).
第13页共19页



【错因分析】解法一中,等号成立的条 件是
x?
11
且y?,即x?1且y?1,与x?y?1
相矛
xy< br>盾;解法二中,等号成立的条件是
2
1
?xy,即xy?2
,与
0?xy?
相矛盾.
xy
4
1(x?y)
2
?2xy2
111yx
??xy?2
,令
??
=
xy??
【正 解】z=
(x?)(y?)
=
xy?
xyxyxy
xyxyxyt=xy, 则
0?t?xy?(
x?y
2
12
?
1< br>?
1
)?
,由
f(t)?t?

?
0,?
上单调递减,故当t=时
24t4
?
4
?
f(t) ?t?
21
3333
有最小值,所以当
x?y?
时z有最小值.
t2
44
(2)以偏概全,重视一般性而忽视特殊情况
以偏概全是指思考不 全面,遗漏特殊情况,致使解答不完全,不能给出问题的全部答案,
从而表现出思维的不严密性.
例25.(1)不等式|x+1|(2x-1)≥0的解集为____________
(2)函数
y?
解析:
(1)【错解】所以原不等式转化为2x-1
?
0,所以
x?[,??)

[,??)
.因为|x+1|
?
0恒成立,
【错因分析】忽略了当x=-1时|x+1|=0原不等式也成立,即x=-1 为不等式的解.
【正确解析】
[,??)?{?1}
.原不等式等价于|x+1|= 0或2x-1
?
0,所以解集为
1?x
的定义域为 .
1?x
1
2
1
2
1
2
1
x?[, ??)?{?1}
.
2
1?x
?0?(1?x)(1?x)?0?x?1< br>或
x??1
.
1?x
【错因分析】两个错误:一是解分式不等式(方 程)时未考虑分母不能为0;二是解二次不
等式时没有把二次项系数变为正再考虑两根之外或两根之间, 从而导致解集出错.
(2) 【错解】
【正解】
?
(1?x)(1?x)? 0
?
(1?x)(x?1)?0
1?x
?0?
?
?
?
??1?x?1

1?x?0x?1
1?x
??
2
例26.过点(0,1)作直线,使它与抛物线
y?4x
仅有一个公共点,这样的直线有( )
A.1条 B.2条 C. 3条 D. 0条
?
y
2
?4x
2
【错解】设直线的方程为
y?kx?1
,联立
?
,得
?
kx?1
?
?4x

?
y?kx?1
第14页共19页



即:
kx?(2k?4)x?1?0
,再由Δ=0,得k=1,得答案A.
【错因分析】本题的解法有两个问题,一是将斜率不存在的情况考虑漏掉了,另外又将斜率
k=0的情形 丢掉了,故本题应有三解,即直线有三条.
【正确解析】C.由上述分析,y轴本身即为一切线,满足 题意;解方程
22
k
2
x
2
?(2k?4)x?1?0时,若k=0,即直线y=1也与抛物线
y
2
?4x
仅有一个公共点,又
k=1时也合题意,所以有三条直线合题意,选C.
(3)解题时忽视等价性变形导致出错
例27. (1)已知f(x) =
a
x +
b
,若
? 3?f(1)?0,3?f(2)?6,

f(3)
的范围.
x
x
2
?x?30
?0}
,且
A?B??
,求实数
a< br>(2)已知集合
A?{x||x?a|?1}

B?{x|
x?3的取值范围.

?
?3?a?b?0
?
解析:(1)【错解】 由条件得
?

b
3?2a??6
?

2
?
由②×2-①
6?a?15



①×2-②得
?
8b2
???



333
10b431043

+


?3a??,即?f(3)?.

33333
b

x
其值是同时受
a和b
制约的.当
a
取最大(小)值时,
b
不一定取最大(小)值,因而整个
解题思路是错误的.
【错因分析】采用这种解法,忽视了这样一个事实:作为满足条件的函数f(x) =
a
x +
?
f(1)?a?b
?
【正确解析】由题意有< br>?
b
, 解得:
f(2)?2a?
?
2
?
12
a?[2f(2)?f(1)],b?[2f(1)?f(2)],

33
b1651637
?f(3)?3a??f(2)?f(1).

f(1)

f(2)
的范围代入得
?f(3)?.

39933
(2)【错解】由题意,A:
a?1?x?a?1

x
2
?x?30
?0?(x?6)(x?5)(x?3)?0?{x|x?6

?5?x?3}
……(后面略) B:
x?3
【错因分析】求集合 B时,未考虑分式不等式中分母为零这一条件(若B中不等式为
f(x)?0
第15页共19页




f(x)?0
形式而不是
f(x)?0

f(x)?0
则不需要考虑此问题).
【正确解析】由题意,A=
{x|a?1?x?a?1}

?
(x?6)(x?5)(x?3)?0
x
2
?x?30
B :
?0?
?
?{x|x?6

?5?x?3}

x ?3?0
x?3
?

A?B??

a?(??,?6)U[ 4,5)
.
n
例28.已知数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
?2?1
,求
a
n.

nn?1nn?1
?2
n?1
.
【错解】 a
n
?S
n
?S
n?1
?(2?1)?(2?1)?2 ?2
【错因分析】 显然,当
n?1
时,
a
1
?S
1
?3?2
1?1
?1
,不满足上述公式.
没有注意公式
a
n
?S
n
?S
n?1
成立的条件是n
?2
.
【正确解析】当
n?1
时,
a
1
?S
1?3
,n
?2
时,
a
n
?S
n
?S
n?1
?(2?1)?(2
nn?1
?1)?2?2
2
nn ?1
?2
n?1
?
?
3
.所以
a
n
?
?
n?1
2
?
?
(n?1)
(n?2)
.
2
例29.实数
a
为何值时,圆
x?y?2ax?a?1?0
与抛物线
y?
22
1
x
有两个公共点.
2
2
【错解】 将圆
x?y?2ax?a?1?0
与抛物线
y?
222
1
x
联立,消去
y

2

x?(2a?)x?a?1?0(x?0).

2
1
2
2
?
??0
?
17
1
?< br>因为有两个公共点,所以方程①有两个相等正根,得
?
2a??0
, 解之得
a?.

8
2
?
2
?
?
a ?1?0.
【错因分析】如下图(1)(2).显然,当
a?0
时,圆与抛物线有两个 公共点.




O


x
O
x
y
y

1
第16页共19页

2



【正确解析】要使圆与抛物线有两个交点的充要条件 是方程①有一正根、一负根;或有两个
相等正根.当方程①有一正根、一负根时,得
?
因此,当
a?
公共点.
例30.(1)设等比数列
?
a
n
?
的全
n
项和为
S
n
.若
S
3< br>?S
6
?2S
9
,求数列的公比
q
.
?< br>??0
?
a?1?0.
2
解之,得
?1?a?1.

171
2222

?1?a?1
时,圆
x?y?2ax?a ?1?0
与抛物线
y?x
有两个
82
a
1
(1?q
3
)a
1
(1?q
6
)a
1
(1?q9
)
??2?
【错解】
?S
3
?S
6
?2S
9
,
?

1?q1?q1?q
整理得q
3
(2q
6
?q
3< br>?1)=0.

6333
3
由q?0得方程2q?q?1?0.?(2 q?1)(q?1)?0,?q??
a
1
(1?q
3
)a
1
(1?q
6
)a
1
(1?q
9
)
??2?
【错因分析】在错解中,由,
1?q1?q1?q
整理得q
3
(2 q
6
?q
3
?1)=0
时,应有
a
1
?0 和q?1
.
4
2
或q?1
.
在等比数列中,
a
1
?0
是显然的,但公比q完全可能为1,因此,在解题时应先讨论公
q?1
的情况,再在
q?1
的情况下,对式子进行整理变形.
【正确解 析】若
q?1
,则有
S
3
?3a
1
,S
6
?6a
1
,S
9
?9a
1
.

a
1
?0
,即得
S
3
?S
6
?2S
9
,
与题设矛盾,故
q?1
.
又依题意
S
3
?S
6
?2S
9
a
1
(1?q
3
)a
1
(1?q
6
)a
1
(1?q
9
)< br>??2?
? ?
1?q1?q1?q
q
3
(2q6
?q
3
?1)=0
,即
(2q
3
?1)(q
3
?1)?0,
因为
q?1
,所以
q
3
? 1?0,
所以
2q?1?0.
解得
q??
3
3
4
.

2
【点评】本题为19 96年全国高考文科试题,不少考生的解法与错误解法相同,根据评分标
准而痛失2分.
(4)空间识图不准
数学运算能力包括空间想象能力.空间想象能力是指能根据条件作 出正确的图形,根据图
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形想象出直观形象;能正 确地分析出图形中基本元素及其相互关系;能对图形进行分解、组
合与变换;会运用图形与图表等手段形 象地揭示问题的本质.
对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种,是空间想象能力高层次的 标志.而空
间识图不准导致的立何几何题目出错情况很多.
例31.直二面角α-
l
-β的棱
l
上有一点A,在平面α、β内各有一条射线AB,AC与
l

45
0
,AB
?
?
,AC?
?
,则∠ BAC= .
【错解】如右图.由最小角定理,
cos?BAC? cos
?
1
?cos
?
2
?
221
?????BAC?
.
2223
【错因分析】错解中忽视了AC的另一位置OD, 此时
?BAD?
【正确解析】
2
?
.
3
?
2
?
?
或.如下图.当
?CAF?
时,由最小角定理,
3 6
3
221
?
cos?BAC?cos
?
1
?co s
?
2
?????BAC?
;当AC在另
2223
一边DA 位置时,
?BAC?
(5)推理方向的盲目性
2
?
.
3
根据题的已知条件及所求的特征,有时直接从已知出发,运用公式、定理等得结论,这
是综合 法;有时需要从结论出发,分析它的必要条件,直到得到一个明显成立的命题,这是
分析法.这是两种不 同的推理方向,如果解题时失主理方向不正确,可能导致解题思路受阻
或出错.
例32. 设f ( x ) = x
3

1
2
x-2x+5,当
x? [?1,2]
时,f ( x ) < m恒成立,则实数m的取值
2
范围为 .
72
11
.令
f'(x)?3x
2
?x?2?0
,得f(x)的增区间为
(??,?),(1,??)
,f(-1)=(区
232
777
间左端点),
f(1)?
(极小值点),所以
x?[? 1,2]

f
min
(x)?
所以m>.
222
【错因分析】推理方向的不正确,f ( x ) < m恒成立应理解为
m? f
max
(x)
而不是
m?f
min
(x)
.
【错解】m>
【正确解析】m>7.由题意,f ( x ) < m恒成立即
m?f
max
(x)
.令
f'(x)?3x
2
?x?2?0
,得f(x)
22
的增区间为
(??,?),(1,??)
,且f(2)= 7,
f(?)?7
,结合f(x)的草图知,
f
max
(x)?7< br>,所
33
以m>7.
(6)限域求值端点取值不正确
例33.若< br>?1?x?3
,则
1
?____________;x
2
?_ __________

x?1
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111
?
?(?,,)
?
?2?x?1?2?
【错解】
? 1?x?3
?
?
x?122

?
x
2
?( 1,9)
?
111
?
?(??,?)?(,??)
?
?2? x?1?2?
【正解】
?1?x?3
?
?

x?1222
?
x?[0,9)
?
例34.已知
x?[0,]
,则
f(x)?2sin(2x?)
的取值范围是 .
6
4【错解】
[1,3]
.
0?x?
?
?
?
4?0?2x?
?
2
?
?
6
?2x?
?
6
?
2
??
12
?
3
,所以
,sin?, sin?
36232
1?2sin(2x?)?3
.
6
【错因分析 】当
?
?
6
?2x?
?
6
?
2
?
?
1
时,根据正弦函数的图象,
sin(2x?)
的范围应为
[,1]

36
2
13
不是
[,]
.
22
【正确解析】
[1,2]
.
0?x?
?
4
?0 ?2x?
?
2
?
?
6
?2x?
?
6
?
2
?
?
1
,sin(2x?)?[,1]
,所以
362
1?2sin(2x?)?2
.
6
(7)说一套做一套,粗枝大叶,心里想的和手上写的不一致
比如分数结果不约分 或不化简、解集不用集合表示、将非常明确的限定条件遗漏(比如
形式二次、对数真数为正等)、写错运 算符号、写错数据,有时把关键字母写错等等.
例35.设A

B是
?AB C
的两个内角,且
tanA,tanB
是方程
6x
2
?5x ?1?0
的两根,则A+B=____.
?
tanA?tanB
分析:由韦 达定理易知
tan(A?B)??1
,又
0?A?B?
?
,故
A?B?
.
1?tanAtanB
4
?
部分学生非常遗憾地把结 论写成了A+B的正切值1.
数学是一门系统性、逻辑性很强的学科,其演算、推理有一定的规则,就 连符号、图形
都有一定的要求.如果平时缺乏严格训练,解题时丢三落四,书写不规范,只求三言两语,
不求推理有据,更谈不上整齐、清洁、美观,高考丢分就在情理之中了. 所以,在第一轮复
习过程中,要注意:
(1)学生个人的错题的收集与整理
(2)错题的原因分析
(3)针对某个学生而言,反复出现的某种类型的错题,即可归为该学生的易错题
(4)不同 学生的易错题可能是不同的,要教会学生针对自己的易错题建立数学学习过
程中的“警戒点”.
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