2014年全国高中数学联赛试题及答案

2014年全国高中数学联赛(B卷)

一 试

一、填空题（每小题8分，共64分，）
1. 函数
f(x)?x?5?24?3x
的值域是 .
2. 已知函数双曲线
x
y?(acos
2
x?3)sinx
的最小值为
?3
，则实数
a
的取值范围是 .
2
3.
?y
2
?1
的右半支与直线
x?100
围成的区域内部（不含边界） 整点（纵横坐标均为整数的点）的个
数是 .
4. 已知
{a
n
}
是公差不为
0
的等差数列，
{b
n
}
是等比数列，其中
a
1
?3,b
1
?1,a
2
?b
2
,3a
5
?b
3
，且存在常
数
?
,
?
使得对每一个正整数
n
都有
a
n
?log< br>?
b
n
?
?
，则
?
?
?
?
.
5. 函数
f(x)?a
2x
?3a
x
?2(a?0,a?1)
在区间
x?[?1,1]
上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值
是 .
6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另 一人投掷.先投掷人的获
胜概率是 .
7. 正三棱柱
ABC? A
1
B
1
C
1
的9条棱长都相等，
P
是< br>CC
1
的中点，二面角
B?A
1
P?B
1
?
?
,则
sin
?
?
.
8. 方程
x?y?z?2010
满足
x?y?z
的正整数解（
x
,< br>y
,
z
）的个数是 .
二、解答题（本题满分56分）
9. （16分）已知函数
f(x)?ax
3
?bx
2
?cx?d(a?0)
，当
0?x?1
时，f
?
(x)?1
，试求
a
的最大值.
10.（20 分）已知抛物线
y
2
?6x
上的两个动点
A(x
1
,y
1
)和B(x
2
,y
2
)
，其中
x< br>1
?x
2
且
x
1
?x
2
?4
.线段
AB
的垂直平分线与
x
轴交于点
C
，求
? ABC
面积的最大值.

11.（20分）证明：方程
2 x
3
?5x?2?0
恰有一个实数根
r
，且存在唯一的严格递增正整 数数列
{a
n
}
，使得
2
?
r
a
1
?
r
a
2
?
r
a
3
??.
5


解 答


1.
[?3,3]
提示：易知
f(x)
的定义域是
?
5, 8
?
，且
f(x)
在
?
5,8
?
上是增函 数，从而可知
f(x)
的值域为
[?3,3]
.

1

2.
?
3
?a?12
提示：令
sin x?t
，则原函数化为
g(t)?(?at
2
?a?3)t
，即
2
g(t)??at
3
?(a?3)t
.
由
?a t
3
?(a?3)t??3
，
?at(t
2
?1)?3(t ?1)?0
，
(t?1)(?at(t?1)?3)?0
及
t?1?0
知
?at(t?1)?3?0
即
a(t
2
?t)??3
. （1）
当
t
对
0
?0,?1
时（1）总成立；
?t?1 ,0?t
2
?t?2
；对
?1?t?0,?
13
?t
2
?t?0
.从而可知
??a?12
.
42
y?k( k?1,2,?,99)
与双曲线右半支于
A
k
,交直线3. 9800 提示：由对称性知，只要先考虑
x
轴上方的情况，设
x?100
于
B
k
，则线段
A
k
B
k
内部的整点的个数为
99?k
，从而在
x
轴上方区域内部整点的个数为
?
(99?k)?99?49?4851
.
k?1
99
又
x
轴上有98个整点，所以所求整点的个数为
2?4851?98?9800
.
4.
3
3?3
提示 ：设
{a
n
}< br>的公差为
d,{b
n
}
的公比为
q
，则
3?d?q,
（1）
3(3?4d)?q
2
， （2）
（1）代入（2）得
9?12d
从而有
3?
?d
2
?6d?9
，求得
d?6,q?9
.
对一切正整数
6( n?1)?log
?
9
n?1
?
?
对一切正整数
n
都成立，即
6n?3?(n?1)log
?
9?
?
n都成立.
从而
log
?
9?6,?3??log
?
9?
?
，
求得
?
?
3
3,
?
?3
，
?< br>?
?
?
3
3?3
.
5.
?
当
0
3
1
2
x
提示：令
a ?y,
则原函数化为
g(y)?y?3y?2
,
g(y)
在
(?,+?)
上是递增的.
2
4
?a?1
时，
y?[a,a
?1
]
,
g(y)
max
?a
?2
?3a
?1
?2?8?a
?1
?2?a?
1
，
2

2

所以
111
g(y)
min
?()
2
?3??2??
；
224
当
a?1
时，
y?[a
?1
,a]
，
g(y)
max
?a
2
?3a?2?8?a?2
，
所以
g(y)
min
?2
?2
?3?2
?1< br>?2??
综上
1
.
4
f(x)
在
x?[? 1,1]
上的最小值为
?
1
.
4
6.
12217
提示：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为
?
，从而先投掷人的获胜概率为
173612
75757
7112
.
?
()
2< br>??
()
4
???
???
25
17
1212 121212
12
1?
144
10
4
提示：解法一：如图，以7.
AB
所在直线为
x
轴，线段
AB< br>中点
O
为原点，
OC
所在直线为
y
轴，建立空间A
1
(?1,0,2),P(0,3,1)
，从而，直角坐标系.设正三棱柱的棱 长为2，则
B(1,0,0),B
1
(1,0,2),
BA
1
?(?2,0,2),BP?(?1,3,1),B
1
A
1
?(?2,0, 0),B
1
P?(?1,3,?1)
.
设分别与平面
BA
1
P
、平面
B
1
A
1
P
垂直的向量是z
A
1
C
1
m?(x
1
,y
1
,z
1
)
、
n?(x
2
,y
2
,z2
)
，则
?
?
m?BA
1
??2x
1
?2z
1
?0,

?
?
?
m?BP?? x
1
?3y
1
?z
1
?0,
?
?
n?B
1
A
1
??2x
2
?0,

??
?
n?B
1
P??x
2
?3y
2
? z
2
?0,
由此可设
B
1
P
A
O
C
，所以
y
m?(1,0,1),n?(0,1,3)
B
x
m?n?m?cno
?
s
，即
3?2?2cos
?
?cos
?
?
10
所以
sin
?
?
4
6
4
A
1
.
C
1
E
B
1
O
A
P
.

3
C
B

解法二：如图，
PC?PC
1,PA
1
?PB
.
?OB,OA?OB
1
,A
1
B?AB
1
. 设
A
1
B
与
AB
1
交于点
O,
则
OA
1
因为 PA?PB
1
,所以 PO?AB
1
,
从而
AB
1
?
平面
PA
1
B
.
过
O
在平面
PA
1
B
上作
OE
连结
?A
1
P
,垂足为
E
.
为二面角
B
1
E
,则
?B
1
EOB?A
1
P?B< br>1
的平面角.设
AA
1
?2
,则易求得
PB?PA< br>1
?5,A
1
O?B
1
O?2,PO?3
.
在直角
?PA
1
O
中，
A
1
O?PO?A
1
P?OE
,即
2?3?5?OE,?OE?
645
?
55
6
5
.
又
B
1
O?2,?B
1
E?B
1
O2
?OE
2
?2?
.
sin
?
?sin?B
1
EO?
B
1
O
210
.
??
B
1
E
45
4
5
. 8. 336675 提示：首先易知
x?
2
?2009?1004
y?z?20 10
的正整数解的个数为
C
2009
把
x?y?z?2010满足
x?y?z
的正整数解分为三类：
（1）
x,y,z
均相等的正整数解的个数显然为1；
（2）
x,y,z
中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003；
(3)设
x,y,z
两两均不相等的正整数解为
k
.
易知

1?3?1003?6k?2009?1004
，
所以

6k?2009?1004?3?1003?1


?2006?1005?2009?3?2?1?2006?1005?2004
，
即
k?1003?335?334?335671
.
从而满足
x?y?z
的正整数解的个数为
1?1003?335671?336675
.


4

9. 解法一：
?
f
?
(0)?c,
?
13
2
f
?
(x)?3ax?2bx?c,
由
?
?
f()?a?b?c,
得
?
4
?
2
?
?
f
?
(1)?3a?2b?c
1
3a?2 f
?
(0)?2f
?
(1)?4f
?
()
.
2
所以
1
3a?2f
?
(0)?2f
?
(1)?4f
?
()

2

?1
2f
?
(0)?2f
?
(1)?4f
?
()

?8
，
2
所以
a?
88
3
8
. 又易知当
f(x )?x?4x
2
?x?m
（
m
为常数）满足题设条件，所以
a
最大值为.
333
f
?
(x)?3ax
2
?2bx?c
. 设
g(x)?f
?
(x)?1
，则当
0?x?1
时，
0?g(x)?2
. 解法二：
设
z?2x?1
，则
x?
z?1
,?1?z?1
.
2
z?13a
2
3a?2b3a
h(z)?g()?z?z??b?c?1< br>.
2424
时，容易知道当
?1?z?1
0?h(z)?2,0?h (?z)?2
. 从而当
?1?z?1
时，
0?
h(z)?h(?z)
?2
， 即
2
0?
3a
2
3a
z??b?c?1?2
，
44
3a3a8
从而
?b?c?1?0
,
z
2
?2
，由
0?z
2
?1
知
a?
.
443
8
3
8
又易知当
f(x)?x?4x
2?x?m
（
m
为常数）满足题设条件，所以
a
最大值为.
33
10. 解法一：设线段
AB
的中点为
M(x
0
,y
0
)
，则
x
0
?
x
1
? x
2
y?y
2
?2,y
0
?
1
22
.
，
k
AB
?
y
2
?y
1
y?y
1
63
?
2
2
??
x
2
?x
1
y
2
?y
1
y
0
y
2y
1
2
?
66
线段
AB
的垂直平分线的方程是
y?y
0
??
y
0
(x?2)
. （1）
3
易知
x?5,y?0
是（1）的一个解，所以线段
AB< br>的垂直平分线与
x
轴的交点
C
为定点，且点
C
坐标为
(5,0)
.
5

由（1）知直线
AB
的方程为
y?y
0
?
3
(x?2)
，即
y
0
x?
（2）代入
y< br>0
(y?y
0
)?2
. （2）
3
y
2
?6x
得
y
2
?2y
0
(y?y0
)?12
，即
2
y
2
?2y
0
y ?2y
0
?12?0
. （3）
依题意，
y
1
,y
2
是方程（3）的两个实根，且
y
1
?y
2
，所以
222
??4y
0
?4(2y
0
?12) ??4y
0
?48?0
,
?23?y
0
?23
.
y

AB?(x
1
?x
2
)
2?(y
1
?y
2
)
2
(1?(
y
0< br>2
))(y
1
?y
2
)
2
3


A

?
B
2
y
0

?(1?)[(y
1
?y
2
)
2
?4y
1
y
2
]

9
2
y
0
22

?(1?)(4y
0
?4(2y
0
?12))

9
O
C(5,0)
x

?
2
22
(9?y
0
)(12?y
0
)
.
3
定点
C(5,0)
到线段
AB
的距离
.
h
2
?CM?(5?2)
2
?(0?y
0
)
2
?9?y
0

S
?ABC
?
11< br>222
AB?h?(9?y
0
)(12?y
0
)?9?y0
23


?
11
222
(9?y
0
)(24?2y
0
)(9?y
0
)

32

222
?24?2y
0
?9?y
0
11
9?y
0

?()
3
323

?
14
7
.
3

6

当且仅当
22
9?y
0< br>?24?2y
0
，即
y
0
??5
,
A(6?356?35
,5?7),B(,5?7)
33
或
A(
6? 356?35
,?(5?7)),B(,?5?7)
时等号成立.
33
所以，
?ABC
面积的最大值为
14
7
.
3
，则11.令
f(x)?2x
3
?5x?2f
?
(x)?6x
2
?5?0
，所以
f(x)
是严格递增的.又
131
f(0)??2?0,f()??0
，故
f(x)
有唯一实数根
r?(0,)
.
242
所以
2r
3
?5r?2?0
，
2r
?
?r?r
4
?r
7
?r
10
?
3
5
1?r
故数列
a
n
.
?3n?2(n?1,2,?)
是满足题设要求的数列.
?a
2
???a
n
??
和
b
1
? b
2
???b
n
??
满足 若存在两个不同的正整数数列
a
1
r
a
1
?r
a
2
?r
a
3
???r
b
1
?r
b
2
?r
b
3
???
去掉上面等式两边相同的项，有
2
，
5
r< br>s
1
?
r
s
2
?
r
s
3< br>???
r
t
1
?
r
t
2
?
r
t
3
??
，
这里
s
1
?s
2
?s
3
??,t
1
?t
2
?t
3
??
，所有的
s
i
与
t
j
都是不同的.
不妨设
s
1
?t
1
，则
1?r
t
1
?s
1
r
s
1
?
r
s
1?
r
s
2
???
r
t
1
?
r
t
2
??
，
11
?r
t
2
?s
1
?
?
?r?r
2
?
?
??1??1?1
，
1
1?r
1?
2
矛盾.故满足题设的数列是唯一的.



加 试

1. （40分）如图，锐角三角 形ABC的外心为O，K是边BC上一点（不
是边BC的中点），D是线段AK延长线上一点，直线BD 与AC交于点N，直
线CD与AB交于点M．求证：若OK⊥MN，则A，B，D，C四点共圆．



B
E
K
D
C
O
A

7
M
P
Q
N

2. （40分）设k是给定的正整数，
r?k?
1
(l?1)
(l)
(1 )
f(f(r)),l?2
．证
f(r)?
．记
f(
，r)?f(r)?rr
??
??
2
明：存在正整数m，使得
?< br>1
?
f
(m)
(r)
为一个整数．这里，
?
?1
，
?
表示不小于实数x的最小整数，例如：
x
?
?1
?
?
?1
．
??
??
2
??
3. （50分）给定整数
n?2
，设正实数
a
1
,a
2
,
A
k
?
,a
n
满足
a
k
?1,k?1,2,,n
，记
a
1
?a
2
?
k
?a
k
,k?1,2,, n
．
求证：
?
a
k
?
?
A
k
?
k?1k?1
nn
n?1
．
2
A
1< br>A
2
A
n
的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处 4. （50分）一种密码锁的密码设置是在正n边形
涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个 顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设
置？

解 答


1. 用反证法．若A，B，D，C不四点共圆，设三角形 ABC的外接圆
与AD交于点E，连接BE并延长交直线AN于点Q，连接CE并延长交直
线A M于点P，连接PQ．
因为
PK
2
A
?
P的幂（关于⊙O ）
?
K的幂（关于⊙O）
?
?
PO
2
?r
2
?
?
?
KO
2
?r
2
?
，
222
O

同理

B
E
K
D
C
QK?
?
QO?r
2 2
?
?
?
KO
2
2
?r
2
?，
，
M
P
Q
所以
PO?PK?QO?QK
2
N
故
OK
⊥
PQ
． 由题设，OK⊥MN，所以PQ∥MN，于是
AQAP
?
QNPM
由梅内劳斯（Menelaus）定理，得
． ①
NBDEAQ
???1
， ②
BDEAQN
MCDEAP
???1
． ③
CDEAPM

8

由①，②，③可得
NBMCNDMD
， 所以，故△DMN ∽ △ DCB，于是
?DMN??DCB
，所以BC∥MN，
??
BDCDBDDC
A,B,D,C
四点共圆. 故OK ⊥BC，即K为BC的中点，矛盾！从而
注1：“
PK
2
?
P的幂（ 关于⊙O）
?
K的幂（关于⊙O）”的证明：延长PK至点F，使得
PK?KF?AK?KE
， ④
则P，E，F，A四点共圆，故
?PFE??PAE??BCE
，
从而E，C，F，K四点共圆，于是
PK?PF?PE?PC
， ⑤
⑤-④，得

PK
2
?PE?PC?AK?KE
?
P的幂（关于⊙O）
?
K的幂（关于⊙O）．
注2：若点E在线段AD的延长线上，完全类似．












2. 记
v< br>2
(n)
表示正整数n所含的2的幂次．则当
m
下面我们对
v
2
(k)
当
v
A
O
F
B
E
K
D
P
C
Q
N
M
?v
2
(k) ?1
时，
f
(m)
(r)
为整数．
?v
用数学归纳法．
?0
时，k为奇数，
k?1
为偶数，此时
1
??
1
??
1
??
f(r)?
?
k?
?
?k?
?
?
?
k?
?
?
k?1
?

2
??
2
??
2
??
为整数．
假设命题对
v?1(v?1)
成立．
对于
v?1
，设k的二进制表示具有形式
k?2
v
??
v?1
?2
v?1
?
?
v?2
?2
v?2
?
这里，
?
i
于是
，
?0
或者1，
i?v?1,v?2,
．

9

1
??
1
??
1
??
f(r)?
?
k?
?
?
k?
??
?
k?
?
1
?

?
k?
2
??
2
??
2
??



这里
1k
??k
2
?k

22
1
??2
v?1
?(
?
v?1
?1)?2
v
?(
?
v?1
?
?
v?2
)?2
v?1
?
2
1
?k
?
?
， ①
2
?
?2
2v
?

k
?
?2
v?1
?(
?
v?1
?1)?2
v
?(
?
v?1
?
?
v?2
)?2
v?1
?
显然< br>k
?
中所含的2的幂次为
v?1
．故由归纳假设知，
r
?
一个整数，这就完成了归纳证明．
3. 由
0?
?2
2v
?
.
?k
?
?
1
(v?1)
(r)
是经过f的v次迭代得到整数，由①知，
f
2
a
k
?1
知，对
1?k?n?1
，有
0?
?
a
i
?k,
i?1
k
0?
i?k?1
?
a
n
i
?n?k
．
注意到当x,y?0
时，有
x?y?max
?
x,y
?
，于是对
1?k?n?1
，有

1
n
?
11
?< br>k
A
n
?A
k
?
?
?
?
?
a
i
?
?
a
i
n
i?k?1
?< br>nk
?
i?1

1
n
?
11
?
k
?
?
a
i
?
?
?
?
?
a
i
n
i?k?1
?
kn
?
i ?1

?1
n

?max
?
?a
i
,
?
n
i?k?1
?1
?max
?
(n?k),
?
n
?1?
n
?
11
?< br>k
?
?
?
?
?
a
i
?
< br>?
kn
?
i?1
?
?
11
?
??
?
?
k
?

?
kn
?
?
k
，
n
n
k
故
?
a?
?
A
k
k?1k?1
?nA
n
?
?
A
k
k?1
n


?
?
?
A
k?1
n?1
n?1
n
?A
k< br>?
?
?
A
n
?A
k
k?1
n?1< br>

?
k
?
n?1
?
?
?
1?
?
?
．
n
?
2
k?1
?
4. 对于该种密码锁的一种密码设置， 如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同，在它们所在的边上标上a，如果颜色不同，则标

10

上b，如果数字和颜色都相同，则标上c．于是对于给定的点
A
1上的设置（共有4种），按照边上的字母可以依次确定点
A
2
,A
3,,A
n
上的设置．为了使得最终回到
A
1
时的设置与初始时相 同，标有a和b的边都是偶数条．所以这种密码锁的所有
不同的密码设置方法数等于在边上标记a，b， c，使得标有a和b的边都是偶数条的方法数的4倍．
设标有a的边有
2i
条，
0
?
n
??
n? 2i
?
2i
?i?
??
，标有b的边有
2j
条，< br>0?j?
?
．选取
2i
条边标记a的有
C
n
种方
?
?
2
??
2
?
法，在余下的边中取出
2j
条边标记b的有
C
n
2
?
j
2i
种 方法，其余的边标记c．由乘法原理，此时共有
C
n
2i
C
n
2
?
j
2i
种标记方法．对
?
n
?
?< br>2
?
??
i?0
?
n?2i
?
??
?
2
?
??
?
2i2j
?
CC
?
n
?
n?2i
?
． ①
j?0
??
??
i，j求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为
4
?
0
这里我们约定
C
0
?1
．
当n为奇数时，
n?2i?0
，此时
?
n?2i
?
?
2
?
??
j?0
?
C
2j
n?2i< br>?2
n?2i?1
． ②
代入①式中，得
?
n
?
?
2
?
??i?0
n?2i
??
n
??
n
?
?
?
?
?
2
??
2
??
2
?
???? ??
?
2i
?
2j2in?2i?12in?2i
CC?4C2?2 C2
?

???
???
nn?2inn
??
j?0 i?0i?0
??
??
n
4
?
?
?
C2< br>k
n
k?0
n
n?kkn?k
?
?
C
n
2(?1)
k
?(2?1)
n
?(2?1)
n

k?0
?3
n
?1
．
当n为偶数时，若
i?
nn
，则②式仍然成立；若
i?，则正n边形的所有边都标记a，此时只有一种标记方法．于是，
22
当n为偶数时，所有 不同的密码设置的方法数为
?
n
?
?
2
?
??< br>i?0
n?2i
?
n
?
?
?
??
?
?
?
2
??
2
?
?1
??
??< br>?
?
2i2j
?
2in?2i?1
?
4?1?CCC?
?
n
2
?
?

?
?
?
n
?
n?2i
?
i?0
j?0
??
??< br>??
??
4
?
2in?2i?1
?2?4
?
?
C
n
2
?
?3
n
?3
．
i? 0
n
?
n
?
?
2
?
??
综上所述，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是：当n为奇数时有
3?1
种；当n为偶数 时有
3
n
?3
种．

11