2020湖南高中数学新教材-高中数学课本讲课内容
XXX学校2013-2014学年度 上学期 期末考试
高三数学
(考试时间120分钟,总分150分)
班级
姓名
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12
答案
B B D C C B B B D C A B
一、选择题(本题包括12小题,每小题5分,共60分。每小题只有一个选项符合题意)
1.
x?1
是
x?2
的( ).
A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
2.已知命题
p,q
,若命题“
?p
”
与命题“
p?q
”都是真命题,则( ).
A.
p
为真命题,
q
为假命题
B.
p
为假命题,
q
为真命题
C.
p
,
q
均为真命题
D.
p
,
q
均为假命题
22
3.设
M
是
椭圆
x
9
?
y
4
?1
上的任意一点,若
F
1
,F
2
是椭圆的两个焦点,则
|MF
1
|?|M
F
2
|
等于(
A.2 B.3
C.4 D.6
4.命题
p:?x?R,x?0
的否定是(
).
A.
?p:?x?R,x?0
B.
?p:?x?R,x?0
C.
?p:?x?R,x?0
D.
?p:?x?R,x?0
5.抛物线
y
2
?4x
的焦点到其准线的距离是( ).
A.4 B.3 C.2 D.1
6.复数
z?(2?i)i
在复平面内的对应点在( ).
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限
D.第四象限
7.定积分
?
1
1
01
?x
dx
的值为(
).
A.1 B.ln2
C.
2
2
?
1
2
D.
11
2
ln2?
2
.
- 1
-
8.将3个不同的小球放入4个盒子中,则不同放法种数有( ).
A.
81
B.
64
C.
12
D.
14
9.某班一天上午安排语、
数、外、体四门课,其中体育课不能排在第一、第四节,则不同排法的种数为( ).
A.24 B.22 C.20 D.12
10.从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少有甲型与乙型电视机各1台,则不同的取
法共
有( ).
A.
140
种
B.
84
种 C.
70
种
D.
35
种
8
11.在
?
?
x
?
2
?
1
?
3
x
?
的展开式中的常数项是(
).
?
A.7 B.-7 C.28
D.-28
解:
T?C
r
x
14
8?r
1
8?r?r8?r
r?18
(
2
)(?
3
x
)<
br>r
?(?1)
r
(
1
2
)
8?r
C
r
8
x
3
?(?1)
r
(
1
2<
br>)
8?r
C
r
8
x
3
令
8?
4
3
r?0,r?6,T1)
6
(
1
7
?(?
2
)
8?6
C
6
8
?7
12.
(1?2x)
5
(2?x)
的展开式中
x
3
的项的系数是( ).
A.
120
B.
?120
C.
100
D.
?100
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题(本题包括5小题,每小题5分,共25分)
13.命题“若
a?0
,则
a?1
”的逆命题是
若
a?1
,则
a?0
.
14.已知点<
br>A(?2,0),B(3,0)
,动点
P(x,y)
满足
???
AP
?
?
???
BP
?
?x
2
,则动点
P
的轨迹方程是
y
2
?x?6
.
15.已知向量
?
a?(x,1,0),
?
b?(1,2,3)
,
若
?
a?b
?
,则
x?
-2
.
16.若复数
z?
1?i1?i
1?i
?
1?i
,则复数
z?
-1 .
17.从
1,3,5,7
,9
中任取三个数字,从
0,2,4,6,8
中任取两个数字,组成没有重复数字的五
位数,共有
11040 个.
解:不考虑
0
的特殊
情况,有
C
325
314
5
C
5
A
5?12000,
若
0
在首位,则
C
5
C
4A
4
?960,
C
325314
5
C
5
A
5
?C
5
C
4
A
4
?12
000?960?11040
三、解答题(本题包括5小题,共32分。写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分)
18.(本小题满分10分)
)
2
设直线
y?x
?b
与椭圆
x
2
?y
2
?1
相交于
A,B
两个不同的点.
(1)求实数
b
的取值范围;
(2)当
b?1
时,求
???
AB
?
.
解:(1)将
y?x?b
代入
x
2
2
?y
2
?1
,消去
y
,整理得
3x
2
?4bx?2b
2
?2?0
.①
2
因为直线
y?x?b
与椭圆
x<
br>2
?y
2
?1
相交于
A,B
两个不同的点,
所以
??16b
2
?12(2b
2
?2)?24?8b
2
?0
, 解得
?3?b?3
.
所以
b
的取值范围为
(?3,3)
.
(2)设
A
(x
1
,y
1
)
,
B(x
2
,y
2
)
,
当
b?1
时,方程①为
3x
2
?4x?0
.
解得
x
4
1
?0,x
2
??
3
.
相应地
yy
1
1
?1,
2
??
3
.
所以
???
AB
?
?(x
22
4
1<
br>?x
2
)?(y
1
?y
2
)?
3
2
.
D
1
C
1
.(本小题满分10分)
A
如图,正方体
ABCD?A
1
B
1
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为
2
,
E
为棱
CC
1
的中点.
E
(1)求
AD
1
与
DB
所成角的大小;
D
(2)求
AE
与平面
ABCD
所成角的正弦值.
C
解:(1) 如图建立空间直角坐标系
D?xyz
,
A B
z
则
D(0,,00)
,
A(2,,00)
,
B(2,,20
)
,
D
1
(0,,02)
.
D
1
C
1
则
???
DB
?
?
(2,2,0)
,
????
D
?
1
A?(2,0,?2)<
br>.
A
1
B
1
故
cos?
???
DB
?
,
????
D
?
???
DB
?<
br>?
????
D
?
1
A
41
E
1<
br>A??
???
DB
?
?
????
D
?
?
?22
?
2
.
1
A
22
D
所以
AD
?
1
与
DB
所成角的大小为
60
.
C
y
A
B
x
(2) 易得
E(0
,,21)
,所以
???
AE
?
?(?2,2,1)
. <
br>又
????
DD
?
1
?(0,0,2)
是平面
ABCD
的一个法向量,且
cos?
???
AE
?
,<
br>????
DD
?
???
AE
?
?
????<
br>DD
?
1
21
1
??
???
AE
?
?
????
DD
?
?
2
?
3
.
1
3?
所以
AE
与平面
ABCD
所成角的正弦值为
1
3
.
20.(本小题满分10分)
已知复数
z?(m
2
?8m?15)?(m
2
?9m?18)i
在复平面内
表示的点为A,实数m取什么值时,
(1)z为实数?z为纯虚数?
(2)A位于第三象限?
解:(1)当
m
2
?9m?18
=0即m=3或m=6时,z为实数; …………………………3分
当
m
2?8m?15?0
,
m
2
?9m?18?0
即m=5时,z为纯
虚数.…………………………6分
(2)当
?
?
m
2
?8
m?15?0
?
3?m?5
?
m
2
?9m?18?0
即
?
?
3?m?6
即3
21.(本小题满分15分)
(1)在
(1+x)<
br>n
的展开式中,若第
3
项与第
6
项系数相等,且
n<
br>等于多少?
n
(2)
?
?
?
xx?
1?
3
x
?
的展开式奇数项的二项式系数之和为
128
,
?
则求展开式中二项式系数最大项.
解:(1)由已知得
C
25<
br>n
?C
n
?n?7
(2)由已知得
C
13
n
?C
n
?C
5n?1
n
?...?128,2?
128,n?8
,而展开式中二项式系数最大项是
T(xx)
4
(
1
4
3
4?1
?C
4
8
3
x
)4
?70xx
2
。
- 2
-
19
22.(本小题满分20分)
已知函
数
f(x)?ax
3
?bx
2
?cx(a?0)
是定义在R
上的奇函数,且
x??1
时,函数取极值1.
(1)求
a,b,c
的值;
(2)若对任意的
x
1
,x
2
?
?
?1,1
?
,均有
(fx
1
)?f(x
2
)?s
成立,求s的最小值. 解:(1)函数
f(x)?ax
3
?bx
2
?cx(a?0)<
br>是定义在R上的奇函数,
?f(?x)??f(x),
即
bx
2?0
对于
x?R
恒成立,
?b?0
.
f(x)?ax
3
?cx
,
f
?
(x)?3ax
2
?c<
br>
?
x??1
时,函数取极值1. ∴
3a?c?0,?a?c?1<
br>,解得:
a?
1
2
,c??
3
2
. 故
a?
1
2
,b=0,c??
3
2
?????
????????????6分
(2)
f(x)?
1
2
x<
br>3
?
3333
2
x
,
f
?
(x)?
2
x
2
?
2
?
2
(x?1)(x?1)<
br>,
x?
?
?1,1
?
时
f
?
(x
)?0
,
?f(x)在x?
?
?1,1
?
上是减函数,
?????8分
故
?f(x)在x?
?
?1,1
?
上最小
值为
f(1)
=-1,最大值为
f(?1)?1
,
因此当
x
1
,x
2
?
?
?1,1
?
时,
(fx
1
)?f(x
2
)?f
Max
(x)?f
m
in
(x)?2
.?12分
f(x
1
)?f(x
2
)?s?f
Max
(x)?f
min
(x)?s
,故s的最小值为
2 ???14分
- 3 -