高中数学高考解答题的常见题型及解答技巧

2016-2017学年广东省韶关市高三（上）期末数学试卷（理科）（1月份）
1．如图，在△ABC中，M是边BC的中点，tan∠BAM=
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若角∠BAC=，BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．
，cos∠AMC=﹣

3．已知四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底 面ABCD为菱形，∠ABC=60°，E
是BC中点，M是PD上的中点，F是PC上的动点．
（Ⅰ）求证：平面AEF⊥平面PAD
（Ⅱ）直线EM与平面PAD所成角的正切值为
C﹣AF﹣E的余弦值．
，当F是PC中点时，求二面角

3．随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城 乡一种新型的购销平台．已
知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0 .5
万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销
售季度内 市场需求量的频率分布直方图如右图所示．已知电商为下一个销售季度
筹备了130吨该商品．现以x（ 单位：吨，100≤x≤150）表示下一个销售季度
的市场需求量，T（单位：万元）表示该电商下一 个销售季度内经销该商品获得
的利润．
（Ⅰ）视x分布在各区间内的频率为相应的概率，求P（x≥120）
（Ⅱ）将T表示为x的函数，求出该函数表达式；
（Ⅲ）在频率分布直方图的市场需求量分组 中，以各组的区间中点值（组中值）
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代表该组的各个值，并以市场需求量落入该区间的频率作为市场需求量取该组中
值的概率（例如x∈[1 00，110），则取x=105，且x=105的概率等于市场需求量
落入100，110）的频率） ，求T的分布列及数学期望E（T）．

4．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（ α为参数）．以点
O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣< br>）=2
（Ⅰ）将直线l化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求曲线C上的一点Q 到直线l 的距离的最大值及此时点Q的坐标．
1．如图，在△ABC中，M是边BC的中点，tan∠BAM=
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若角∠BAC=，BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．
，cos∠AMC=﹣

【考点】HR：余弦定理；GR：两角和与差的正切函数．菁优网版权所有
【分析】（Ⅰ）由 邻补角定义及诱导公式得到cos∠AMC=﹣cos∠AMB，求出cos
∠AMB的值，利用同角三 角函数间的基本关系求出tan∠AMB的值，再利用诱导
公式求出tanB的值，即可确定出B的大小 ；
（Ⅱ）由三角形内角和定理及等角对等边得到AB=BC，设BM=x，则AB=BC=2x，利用余弦定理列出方程，求出方程的解得到x的值，确定出AB与BC的值，再利
用三角形面积公式 求出三角形ABC面积即可．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知∠AMB+∠AMC=π，
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又cos∠AMC=﹣
∴cos∠AMB=
，
，sin∠AMB=，tan∠AMB=，
∴tanB=﹣tan（∠BAM+∠BMA）=﹣=﹣=﹣，
又B∈（0，π），
∴B=；
，且∠BAC=， （Ⅱ）由（Ⅰ）知∠B=
∴∠C=，即∠BAC=∠C，
∴AB=BC，
设BM=x，则AB=2x，
在△AMB中，由余弦定理得AM
2
=AB< br>2
+BM
2
﹣2AB?BM?cosB，即7=4x
2
+x< br>2
+2x
2
，
解得：x=1（负值舍去），
∴AB=BC=2，
则S
△ABC
=?4?sin=．
【点评】 此题考查了余弦定理，三角形面积公式，诱导公式，以及同角三角函数
间的基本关系，熟练掌握余弦定理 是解本题的关键．
2．已知四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∠A BC=60°，E
是BC中点，M是PD上的中点，F是PC上的动点．
（Ⅰ）求证：平面AEF⊥平面PAD
（Ⅱ）直线EM与平面PAD所成角的正切值为
C﹣AF﹣E的余弦值．
，当F是PC中点时，求二面角

【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面 与平面垂直的判定；MI：直线与
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平面所成的角．菁优网版权所有
【分析】（Ⅰ）连接AC，推导出AE⊥BC，AE⊥AD， PA⊥AE，由此能证明平面AEF
⊥平面PCD．
（Ⅱ）以AE，AD，AP所在直线分 别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利
用向量法能求出二面角C﹣AF﹣E的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）连接AC，
∵底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC是正三角形，
∵E是BC中点，∴AE⊥BC，
又AD∥BC，∴AE⊥AD，…（1分）
∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，∴PA⊥AE，…（2分）
又PA∩AE=A，
∴AE⊥平面PAD，…（3分）
又AE?平面AEF，
∴平面AEF⊥平面PCD． …（4分）
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得，AE，AD，AP两两垂直，
以AE，AD，AP所在直线分别为x 轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，…
（5分）
∵AE⊥平面PAD，∴∠AME就是EM与平面PAD所成的角，…（6分）
在Rt△AM E中，tan
设AB=2a，则AE=
，即
，得AM=
=，
，
又AD=AB=2a，设PA=2b，则M（0，a，b），
∴AM==，
从而b=a，∴PA=AD=2a，…（7分）
则A（0，0，0），B（
2a）， E（
∴=（
，﹣a，0），C（
，，a），
，，a），=（﹣），…（8分）
），D（0，2a，0），P（0，0，
），F（
），=（
设=（x，y，z）是平面AEF的一个法向量，
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则，取z=a，得=（0，﹣2a，a），…（9分）
又BD⊥平面ACF，∴
分）
=（﹣）是平面ACF的一个法向量，…（10
设二面角C﹣AF﹣E的平面角为θ．
则cosθ===．…（11分）
．…（12分） ∴二面角C﹣AF﹣E的余弦值为


【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角 的余弦值的求法，是中档题，解
题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
3．随着经济模式 的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已
知经销某种商品的电商在任何一个销售季度 内，每售出1吨该商品可获利润0.5
万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经 验，得到一个销
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售季度内市场需求量 的频率分布直方图如右图所示．已知电商为下一个销售季度
筹备了130吨该商品．现以x（单位：吨， 100≤x≤150）表示下一个销售季度
的市场需求量，T（单位：万元）表示该电商下一个销售季度 内经销该商品获得
的利润．
（Ⅰ）视x分布在各区间内的频率为相应的概率，求P（x≥120）
（Ⅱ）将T表示为x的函数，求出该函数表达式；
（Ⅲ）在频率分布直方图的市场需求量分组 中，以各组的区间中点值（组中值）
代表该组的各个值，并以市场需求量落入该区间的频率作为市场需求 量取该组中
值的概率（例如x∈[100，110），则取x=105，且x=105的概率等于市场需 求量
落入100，110）的频率），求T的分布列及数学期望E（T）．

【考点 】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．菁
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【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图及两两互斥事件概率的可加性得P（x≥120）
=P（120≤x ＜130）+P（130≤x＜140）+P（140≤x≤150）．
（Ⅱ）当x∈[100，13 0）时，T=0.5x﹣0.3（130﹣x）=0.8x﹣39；当x∈[130，
150]时，T= 0.5×130，即可得出．
（Ⅲ）由题意及（Ⅱ）可得：当x∈[100，110）时，T=0.8 ×105﹣39，P（T=45）
=0.010×10；当x∈[110，120）时，T=0.8×1 15﹣39，P（T=53）=0.020×10；
当x∈[120，130）时，T=0.8×125 ﹣39，P（T=61）=0.030×10；当x∈[130，
150）时，T=65，P（T=65 ）=（0.025+0.015）×10．即可得出T的分布列及其数
学期望．
【解答】解： （Ⅰ）根据频率分布直方图及两两互斥事件概率的可加性得P（x≥
120）=P（120≤x＜130 ）+P（130≤x＜140）+P（140≤x≤150）=0.030×10+0.025
×10+ 0.015×10=0.7．
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（Ⅱ）当x∈[100，130）时，T=0.5x﹣0.3（130﹣x）=0.8x﹣39；
当x∈[130，150]时，T=0.5×130=65．
∴T=．
（Ⅲ）由题意及（Ⅱ）可得：
当x∈[100，110）时，T=0.8×105﹣39=4 5，P（T=45）=0.010×10=0.1；
当x∈[110，120）时，T=0.8×11 5﹣39=53，P（T=53）=0.020×10=0.2；
当x∈[120，130）时，T= 0.8×125﹣39=61，P（T=61）=0.030×10=0.3；
当x∈[130，15 0）时，T=65，P（T=65）=（0.025+0.015）×10=0.4．
所以T的分布列为
T
P
…（10分）
所以，E（T）=45×0.1+53×0.2+61×0.3+65×0.4=59.4（万元）． …（12分）
【点评】本题考查了频率分布直方图及两两互斥事件概率的可加性、随机变量的
分布列及其数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．以点
45
0.1
53
0.2
61
0.3
65
0.4
O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣
）=2
（Ⅰ）将直线l化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求曲线C上的一点Q 到直线l 的距离的最大值及此时点Q的坐标．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权
所有 【分析】（Ⅰ）直线l的极坐标方程转化为ρcosθ+ρsinθ=4，由x=ρcosθ，
y= ρsinθ，能示出直线l的直角坐标方程．
（Ⅱ）设点Q的坐标为（），点Q到直线l的距离为
d=，由此能求出曲线C上的一点Q 到直线l 的距离的最大值
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及此时点Q的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣
∴ρ（cos+sin）=2，
）=2
化简得，ρcosθ+ρsinθ=4，…（1分）
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴直线l的直角坐标方程为x+y=4．…（3分）
（Ⅱ）由于点Q是曲线C上的点，则可设点Q的坐标为（
（4分）
点Q到直线l的距离为d= …（5分）
），…
=
当sin（
d
max
==3
．…（7分）
）=﹣1时，即
．…（9分）
=﹣，sin，
，
此时，cos
∴点Q（﹣）．…（10分）
【点评】本题考查直线的直角坐标方程的 求法，考查曲线上的一点到直线的距离
的最大值及此时点的坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题， 注意极坐标与
直角坐标的互化公式的合理运用．

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