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重点高中数学竞赛模拟题(十六套)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 04:41
tags:高中数学题

高中数学概率与频率的区别-浙江高中数学必修四图片


重点高中数学竞赛模拟题(十六
套)










































———————————————————————————————— 作者:
———————————————————————————————— 日期:




2



模拟试题一 2010年全国高中数学联赛模拟试题
武钢三中 岑爱国
一 试
一、填空题(每小题8分,共64分)
A
N
1.方程
B
D
C
M
2.如图,在

=,则m+2n的值为
3.

4.单位正方体
这八个面截这个单位正方体,则含正方体中心的那一部分的体积为 .
5.设数列

6.已知实数x,y,z满足xyz=32,x+y+z=4,则|x|+|y|+|z|的最小值为
7.若

3



8.空间有100个点,任4点不共面,用若干条线段连结这些 点,如果不存在三角形,最多可连条线段.
二、解答题(共56分)
9.(16分)设
之和为21,第2项、第3项、第4项之和为33.
(1)求数列的通项公式;
(2)设集合

求证:.
10.(20分)过抛物线


的距离均不为整数.
11.(20分)已知二次函数有两个非整数实根,且两根不在相邻两整数之
间.试求a, b满足的条件,使得一定存在整数k,有成立.
二 试
一.(40分)如图,已知

4




A
求证:





F
P
B
D
E
C
二.(40分)设.
三. (50分)已知n个四元集合
,试求n的最大值.这里
四.(50分)设
且m
为正整数 的二进制表示数的各位数字之和,
,则称是“好数”.试问:
为数列的前n项和. 若存在无穷多个正整数n,满足,
(1)2,3,5是否都是好数?
(2)是否都是好数?
模拟试题二 全国高中数学联赛模拟试题
江苏省盐城中学 陈健

第一试
一、 填空题:(每小题7分,共计56分)

5



1. 若函数,则
y?f(2?2x)
的反函数必过点__________
y?f(x)
图象经过点(2,4)
2.
a

b

c
是从集合
?
1,2,3,4,5
?
中任意选取的3个不 重复的数,则
ab?c
为奇数的概率为___________
(n?1)
4
?n
4
?1
3. 已知数列
?
a
n
?
的通项公式是
a
n
?
,则数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
=___ __
22
(n?1)?n?1
1
y??x
2
的准线与y
8
4. 抛物线轴交于点
A
,过
A
作直线交抛物线于 点
M

N
,点
B
在抛物线对称轴上,且
(BM?< br>MN
)?MN
,则
OB
2
的取值范围是__________ __
5. 已知
?
,
?
?R
,直线
xyxy??1

??1

sin
?
?sin
?
sin
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
的交点在直线
y??x
上,则
sin
?
?cos
?
?sin
?
?cos
??

6. 如图,四面体
ABCD
中,
?ADB
为等腰直角三角形,
A ?ADB?90
0

AD?1
,且
?BDC??ADC?60< br>0

则异面直线
AB

CD
的距离为______________
B
D
C
7. 已知点
A(2,2)

P(x,y)
,且
x,y
满足 ?
?
0?x,y?2
?
?
?
x?y?2
,则< br>PA
长的取值范围是________
?
11
?
??2
?
?
xy
8. 将一个
4?4
棋盘中的8个小方格染成黑色,使得每行、每列都恰有两个黑色方格,则有_ 不同的染法.(用数字
作答)
二、解答题:(三题共计44分)

6



9. (本题14分)已知二次函数
f
?x
?
?ax
2
?bx?1
?
a?0,b?R
?
,设方程
f
?
x
?
?x
有两个实数根
x
1
,x
2

①如果
x
1
?2?x
2
?4
,设函数
f
?
x
?
的对称轴为
x?x
0
,求证:
x
0
??1
; < br>x
1
?2
,且
f
?
x
?
?x
的两实根的差为2,求实数
b
的取值范围. ②如果
0?

27a
n
?45a
n
?36
10.(本题15分)数列
{ a
n
}
满足:
a
0
?1,a
n?1
?2
,n?N.

证明:(1)对任意
n?N,a
n
为正 整数;(2)对任意
n?N,a
n
a
n?1
?1
为完全平方 数

11.(本题15分)用纸板裁剪出两个半径不同的圆,每个圆再分成200个相等的扇 形,且将每个圆的100个扇形涂成白色,另100个
扇形涂成黑色.将小圆叠放在大圆的上面,使得它 们的圆心重合.
求证:总可以旋转小圆,使得这两个圆的扇形上下对齐,且小圆至少有100个扇形位 于大圆的同色扇形上.

第二试
1.(本题50分)凸四边形
ABCD< br>中,
AB
是最长边,点
M,N
分别在边
AB,BC
上 ,且线段
AN,CM
平分四边形
ABCD
的面
积,求证:线段
MN
平分对角线
BD
.
2. (本题50分)定义
f(x,y, z)?
(xy?yz?zx)(x?y?z)
,其中
x,y,z
为正实数,求
f(x,y,z)
的值域.
(x?y)(y?z)(z?x)

3 .(本题50分)已知一个给定的平面点集中,任意三点都可被一个半径为1的圆覆盖,求证:这个点集能被一个 半径为1的圆覆盖.

4.(本题50分)设
n
是一个固定的正整数,证明 :对任何非负整数
k
,下述不定方程
33
x
1
3
?x
2
?...?x
n
?y
3k?2
有无穷多个正整数解< br>(x
1
,x
2
,...,x
n
;y)
.

7




模拟试题三 全国高中数学联赛模拟试卷
福州一中 危志刚
第一试
一,填空题(每小题7分,共56分)
1、设
1
f(x)
适合等式
f(x)?2f()?x,

f(x)
的值域是
x
2、若对所有正数
x,y,
不等式
x?y?ax?y
都成 立,则
a
的最小值是
3、等差数列3,10,17,…,2005与3,8,13,…,2003中,值相同的项有 个.
4、在平面直角坐标系中,定义点
P
?
x
1
,y1
?

Q
?
x
2
,y
2
?< br>之间的“直角距离”为
d(P,Q)?x
1
?x
2
?y1
?y
2
.

C
?
x,y
?
到点
A
?
1,3
?

B
?
6,9
?
的“直角距离”相等,其中实

x

y
满足
0 ?x?10

0?y?10
,则所有满足条件的点
C
的轨迹的长度之 和为 .
5、将一个
4?4
棋盘中的8个小方格 染成黑色,使得每行、每列都恰有两个黑色方格,则有
种不同的染法.(用数字作答)
6、若
2
6
?2
9
?2< br>n
为一个平方数,则正整数
n?

7、甲乙 两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设 甲在每局
中获胜的概率为
2
1
,乙在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独 立,则比赛停止时已打局数
?
的期望
E
?

3
3
8、设函数
f(x)?x
3
?3x
2
?6x?14
,且
f(a)?1

f(b)?19
,则
a? b?

二、解答题(第9题14分,第10,11题各15分)

8



9.已知抛物线
y
2
?2px(p? 0)
,其焦点为F,一条过
y
焦点F,倾斜角为
为坐标原点),交
的 面积.
?
(0?
?
?
?
)
的直线交抛物线于A, B两点,连接AO(O
准线于点
B
?
,连接BO,交准线于点求四边形
ABB
?
A
?
A
?



< br>O
F
x
?
a
n
?1,当n为偶数时,
??
2
a?
10.数列
?
a
n
?
定义如 下:
a
1
?1
,且当
n?2
时,
n
?
1
,当n为奇数时.
?
a
?
?
n?1
已知
a
n
?
30
,求正整数n.
19

11.对一个边长互不相等的凸
n(n?3)
边形的边染色,每条边可以染红、黄、蓝三种颜 色中的一种,但是不允许相邻的边有相同的
颜色.问:共有多少种不同的染色方法?

第二试 (每题50分,共200分)
1、已知,
A

B

C

D
是圆上顺次四点,且
AB?AD

BC? CD

?BAD
的平分线交圆于
X

?BCD
的平 分线交
圆于
Y
,在由这六个点构成的六边形中,如果有四条边的长度相等,那么
BD
必为圆的直径.


2、设
a,b?[0,1]
,求
S
小值.

?< br>ab
??(1?a)(1?b)
1?b1?a
的最大值和最

9




?
xy?z?x?y
?
3 、求所有满足方程组
?
xz?y?x?z
的三元实数组
(x,y,z)

?
yz?x?y?z
?

4、将8个车放到如图的9×9棋盘 中,使得这8个车互不攻击且所在小方格颜色相同,问共有多少种不同的方法.
(两车互不攻击是指这两个车不同在任何一行或任何一列)


模拟试题四 全国高中数学联赛模拟试题
东北育才学校 张雷
一试
一、 填空题(共56分,每题7分)
1、函数
f(x)?log
1
sinx的单调递增区间是_______________________.
2
2、将数字3,4,5,6,7排成一行,使得相邻两个数都互质,则 可能的排列方法共有______
种.
3、过正方体外接球球心的截面截正方体所得图形可能为______________.
○1三角形 ○2正方形 ○3梯形 ○4五边形 ○5六边形
4、已知
a
b
(其中
a,b
是大于1的正整数,且
a,b
互质)化为 最简二次根式后是
mn
p
形式,其中
m,n,p
是大于1的正整数,

m,p
互质,如果
m?n?p?9
,则
a?b
的 最小可能值是________.
5、若关于
x
的方程
x
2
?(a
2
?b
2
?6b)x?a
2
?b
2
?2a?4b?1?0
的两个实数根
x
1
,x
2
满足x
1
?0?x
2
?1,


10



a
2
?b
2
?4a?4< br>的最小值与最大值的积是_________.
6、我们定义运算
a?b?a
4
?2a
2
b
2
?b
4
,如
5?3?5< br>4
?2?5
2
?3
2
?5
4
?16

3?5?2?
5
4
?2?3
2
?5
2
?5
4
?2?16?2?252
,用整数1,2,3,4和三个
?
号组成一个算式,则这个算式
的最大值是_________.
x?2
?
?
7、平面上满足约束条件
?
x?y?0
的点
(x,y)
形成 的区域为D,区域D关于直线
y?2x
对称的区域为E,则区域D和区域E
?
x?y?10?0
?
中距离最近的两点的距离为___________.
8、令< br>p(n)
表示正整数
n
的所有数字的和,如
p(4)?4,p(50) ?5,p(123)?6
,则
p(1)?p(2)?p(3)???p(2008)?p(2 009)
的值是_____________.
二、解答题(共44分)
9、(14分) 已知圆
C
1
和圆
C
2
的两条外公 切线为
x
轴及直线
l
度之积为68,求圆心
C
1

C
2
所在直线的方程和
m
.
:y?mx(m?0),若两个圆的一个交点为
(9,6)
,且两圆半径长
10、(15分)已知函数< br>f(x)?x?2x?1?x?2x?1
,求
f(x)?ax?1
的解集中元素 的个数。
11、(15分)如果
a,b
都是正实数,请给出一个你认为的最小正数< br>t
,使得满足
a?b?t
的任意实数
a,b
,不等式
a?a?1?b?b?2
成立,并证明你的结论.

模拟试题五 联赛模拟题
一试
一、填空题

11



1.不等式
x(x?1)?y(1?y)
的 解集中
x,y
能使
x
2
?y
2
?k
成立时 的
k
的最小值为 .
2.一个三位自然数
(a
1
a
2
a
3
)
如果同时有
a
1
凹 数),则所有凹数的个数是 .
?a
2

a
3
?a
2
称为凹数,(例如104、525、849都是凹数,而123、684、200都不 是
3.若
x
是一个十进制四位整数,记
x
的各位数码之积为
T(x)
,各位数码之和为
S(x)

p
为素数,且
T(x )?p
k

S(x)?p
p
?5
,则
x
中 的最小者是 .
i
2
i
3
i
n
4.已知复数列
{a
n
}
的通项公式为
a
n
?( 1?i)(1?)(1?)?(1?)
,则
a
n
?a
n?1
等于
5.一个圆锥和一个圆柱,下底面在同一平面上,它们有公共的内切球,记圆锥的体积为
V
1
,圆柱的体积为
V
2
,且
V
1
?kV
2
,则
k
min
?

6.
x,y?R

x?3
?
x?1?3y?2?y
,则< br>x?y
的最大值是___________.
,则
u
的最大值7.已 知
x

y
是实数,
z
1
?(x?4)?yi

z
2
?(x?4)?yi

z
1
?z
2
?10
,令
u?x?y?34
为 .
8 .平行六面体的
8
个顶点中的任意三个顶点为顶点的所有三角形中,锐角三角形的最多可能个数 是 .
二、解答题
9.已知函数
1
f(x)< br>的定义域是
(0,??)
,并且满足
f(x)?f()?0
.如果函数
x
1?mx
g(x)?f()
是奇函数,试求实数
m
的值.
x?1
10.已知数列
{a
n
}
中,
a
1
?1
,
a
n?1
?a
n
?
1
2< br>a
n

(n?N
*
)
求证:
a
2005
?18


11.已知圆
O:x
2
?y
2
?1
和抛物线
y?x
2
?2上有三个不同的点
P,Q,R
.如果直线
PQ

PR
都 与圆
O
相切.求证:直线
QR

12



也与圆
O
相切.

二试
一、令I为
?ABC
内心,r为内切圆半径,且I和O不重合,G为重心.证明: < br>?ABC
内接于半径为R的圆O,

b?c
IG?BC?b?c
?3a
,其中
a,b,c
分别为
?ABC
三个内角A、B、C所对 应的三边长.

二、已知:
a,b,c
为正实数,且
a
4
?b
4
?c
4
?3
,证明:
111
??? 1

4?ab4?bc4?ca
a
2
?b
2
?ab
三、设
a,b
是正整数,满足
ab?1,f(a,b)?
,求
f(a,b)
所有可能
ab?1
取到的整数值.

四、某班共30名学生,每一名学生在班内均有同样多的朋友(朋友是相互的).在一次
考试中,任意两名学生的成绩互不相同.如果一个学生的所有朋友中,有超过一半朋友
的成绩低于该学生,则称该学生为“好学生”.
试问:“好学生”最多可能有多少个?证明你的结论
模拟试题六 全国高中数学联赛模拟试题
哈师大附中 刘利益 朱逢迁
第一试
一、填空题(每小题8分,共64分)
,则取到合数的个数的数学期望是 .
?
1,2,L,100
?
中任取5个数(可以相同)

A,B
两点.
1.从
2.双曲线的中心为原点
O
,焦点在
x
轴上,两条渐近线分别为
l
1
,l
2
,经过右焦点
F
垂直于
l
1
的直线分别交
l
1
,l
2< br>于
uuuruuuruuur
AB、OB

OA、
r
uuur
uuu
成等差数列,且
BF

FA
同向.则双曲线 的离心率为 .

13



2
3.在
?ABC
中,如果
a
4.已知集合
M
?b
2
?6c
2
,则
(cotA?cotB)tanC
的值等于 .
?
?
1 ,2,3
?
,N?
?
1,2,3,4
?
,定义函数
f:M?N
.设点
A(1,f(1)),B(2,f(2)),C(3,f(3))

?ABC

uuuruuuruuur
外接圆圆心为D,且
DA?D C?
?
DB(
?
?R)
,则满足条件的函数
f(x)
有____个.
5.设
f(x)
是定义在R上的函数,对任意的
x?R< br>,都有
f(x?3)?f(x)?3,

f(x?2)?f(x)?2
,如果
f(1)?2010
,则
f(2011)
的值为 . < br>2010
(n?1)a
n
k
*
(n?N)
,则
?
?
. 6.数列
?
a
n
?
满足:
a
1
?1,a
n?1
?
2n?a
n
k?1
a
k
7.立方 体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中,点
M,N
分别在线段
AB,BB
1
上(不包括线段的端点),满 足
AM?B
1
N
,则
A
1
M

C
1
N
所成角的取值范围是 .
8.若非负实数
x, y,z
满足
x
2
?y
2
?z
2
?x?2y ?3z?
13
,则
(x?y?z)
min
?
.
4
二、解答题(共56分)
9.(本题满分16分)
已知直线
l
右焦点,试求
:x?my?q
与椭圆
?

3x
2
?4y
2
?12
交于不同两点
A、B
. 设A关于椭圆长 轴的对称点为
A
1
,F为椭圆的
A
1
、F、B三点共线的充 要条件.

10.(本题满分20分)
正数
a,b,c
同时满足 :
abc?
1111

2
?
2
?
2
?9
.求证:存在以
a,b,c
为三边长的三角形.
4abc

11.(本题满分20分)
2
a
n?2
a
n?1
?1
数列
?
a
n
?
满足:
a
1
? 1,a
2
?2
,,
(n?1,2,3,L)
.试求
?
.
?
2
a
2010
?
??
a
n
a
n
?1
(注:
?
a
?
表示不大于
a< br>的最大整数,即
a
的整数部分.)

14



第二试
一、(本题满分40分)
如图, 三角形ABC中,M为BC的中点,以AM为直径的圆O分别与AC、AB交于D、E两点,圆O在D、E两点的 切线交
于点H,证明:
HM









H
B
E
?BC

A
O
D
MC








二、(本题满分40分)
已知
a,b,c
都 是非负实数,且
a?b?c?2
,求
P?
abbcca
??
1?c
2
1?a
2
1?b
2
的最大值.


15




三、(本题满分50分)
设数列
?
a
n
?
满足:
a
1
?a
2
? 1,a
n?2
?a
n?1
?a
n
(n?N
*
)

*
求证:对任意的
n?N

a
2n?1< br>都不含
4q?3
型质因子(
q?N
).


四、(本题满分50分)
单位圆内或圆上有8个点,任意三点不共线.求证:总有某三个点为 顶点的三角形面积小于
?
8



模拟试题七 联赛模拟题

一、填空题:
1. 以椭圆两焦点为直径端点的圆交椭圆于四个不同 的点,顺次连结这四个交点和两个焦点,得到一个正六边形,则此椭圆的离心率
为 .
2. 在圆
?
?4cos
?
上有两点A,B,它们的极角分别是?
2
?
5
,
5
;由极点向直线AB作垂线,垂足为H, 则H点的极坐标
是 .
3. A , B为锐角,则 cos
2
A + cos
2
B =
4
sin
7
(A?B)
成立的充要条件是 .
4. 一含有五项的等比数列,每一项都是小于100的正整数,这五项和为211,则这个数列中为完 全平方数的项之和
为 .
5. 锐角△
ABC
中,
AD
是高线,
AB?AC?4
2
17
=
17

4BC?5AD?17,

ABC
的面积为 .

16



6.对任意实数 k,曲线 x
4
+ k x
3
y-6 x
2
y
2
-k x y
3
+ y
4
= 0总可把圆 x
2
+ y
2
= 1 分成 等分 .
7. 数 N =
?
(2k?1)
的末三位数是 .
k?1
2010
8. 已知方程x
3
-7x
2
+1 =0的最大实根为t,则[t
2000
] 被7除的余数_______.
二、解答题:
9. 已知三棱锥 A— BCD 在顶点 A 处的三个面角( 即 ∠BAC,∠CAD,∠DAB )分别为75°,90°,105°;从这个顶点引三
个侧面的高均为1,求这个棱锥的高.
10.用1,2,3这三个数字构造n 位数,但不允许两个1相邻,能构造多少个这样的n 位数?
11. 已知抛物线 C
1
: y = x
2
+ 2 x 和 C
2
: y =-x
2
+ a .如果直线 l 同时是C
1
和C
2
的切线,称l 是C
1
和C
2
的公切线,公切线上两个
切点之间的线段称为公切线段 .
⑴ a 取什么值时,C
1
和C
2
有且仅有一条公切线?写出此公切线的方程;
⑵ 若C
1
和C
2
有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分 .




加试模拟题


1. 设△ABC中,E 、F是AC、AB边上的任意点,O、O′分别是△ABC、△AEF的外心,P、Q是BE、CF上的点,满足
BP
PE
FQ

QC
BF
2

C E
2
.
求证:OO′⊥ PQ .

17



A
O'
F
O
P
Q
E
BC


2. 求证:
11
ln(n?1)

1?
12
?
3
?L?
n
≤1+
lnn
, n=1,2,…

3. 对于给定的正整数 k ,以f
1
( k ) 表示 k 的各位数字之和的平方;并设
f
n + 1
( k ) = f
1
[ f
n
( k ) ] ,n = 1 , 2 , 3 , … 试求f
2010
( 2
2009
) 的值.

4.某种彩票的对奖号是个三位数(000 — 999),开出的中奖号也是个三位数.买彩票时可以 自选号码,如果对奖号与中奖号相同则
中一等奖,如果对奖号与中奖号有两个数字相同(例如中奖号为1 23,对奖号为423或183或125等)则中二等奖.为确保能有彩票
能中二等以上的奖,最少应买 几张彩票?





模拟试题八 2010年数学奥林匹克协作体夏令营试题
人大附中 陈维兵

18



一试

一、 填空题:
1 求 方程
x
2
?2xsin(xy)?1?0
的实数解____________ _
2 已知数列
{a
n
}
满足
a
1
?2 ,a
n?1
?
2a
n
?1
(n?N
*
)< br>,则
a
2010
?
________
4a
n
?6
3 两位数
ab(a?0,b?0)
若满足
(ab,ba)?1
,则称
ab
为好数,则好数共有_____个。
4 两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体,可放棱长为1的正方体内,使正四棱锥的底面
各 顶点均在正方体的面上,则这样的几何体体积的可能值有_______个。
...
ABCD
与正方体的某一个平面平行,且
5 若
a

1?2b

1?2b
的等比中项,则
2ab
a?2b
的最大值为 。
6 已知抛物线
22)
,则
PA?P F
y
2
?4x
及其上的一点
P
, 焦点
F(1,0)

A(5,
22
的最小值为 。
7 有6个相同的红球和5个相同的白球放入一排1至100标号的盒子里,其中红球和白球间隔放 置(即从左到右必须1红1白间隔放),
并且红球盒子编号与白球标号不同奇偶,则共有_____种放 置方案。
8 设常数k 使得方程
2x
2
?2y
2
?5x y?x?y?k?0
在平面直角坐标系
xOy
中表示两条相交直线,交点为
P
. 若点
A,B
分别
在这两条直线上,且
uuuruuur
uruuur
PA?PB?1
,则
uu
PA?PB?
______ .

二、解答题:

19



9 已知
x,
yz?3zw
y,z ,w?R
?
,求
M?
2
xy?2
222
x?y?z ?w
的最大值。

10 数列
{a
n
}
定义如下 :
a
1
?2,a
n?1
?2?4?a
n
2
,而数列
{b
n
}
定义为
b
n
?
2
n?1
a
n
,n?N
*

(1) 求
{a
n
}
的通项公式
证明:
b
n
证明:
b
n
(2)
(3)
?b
n?1
,n?N
*
.

?7,n?N
*
.



x
2
y
2
11 已知椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
,其长轴为
A
1
A

P
是椭圆 上不同于
A
1
,A
的一个动点,直线
PA,PA
1
分别与同一
ab
条准线
l
交于
M,M
1
准线两点, 试证明:以线段
MM
1
为直径的圆经过椭圆外的一个定点。




二试
1、 在等腰△ABC中, AB=AC , D是边AC的中点, E是点D在BC上的投影, F是DE的中点. 证明: BF垂直于AE的充要
条件是: △ABC是正三角形.

20



B

2、 设△ABC的三边分别是a, b, c,且a+b+c=3. 求证:
1349
?a
2
?b
2< br>?c
2
?abc?
332
.

3、设正整数n大于 1,它的全部正因数为d
1
,d
2
,…,d
k
,满足1=d
1
2
<…k
= n。再设D = d
1
d
2
+d
2
d
3
+…+d
k
-< br>1
d
k
。(i) 证明:D2

(ii) 确定所有的n,使得D整除n
2



4、用100种颜色对100 ? 100的棋盘进行染色,使得每一格均被染为其中一种颜色且每种颜色恰好使用了100次. 求证:棋盘上存在
一行或一列,其中的方格被染为至少10种颜色。

模拟试题九 2010年全国高中数学联赛模拟试题
(命题人:湖南省长沙市第一中学 于杰延)
一、填空题(每小题8分,共64分)
1.用
S
n

a
n
分别表示区间
a
n
?
0,1
?
内不含数 字9的位小数的和与个数.则
lim
= .
n??
S
n

21



sin
3
?
cos
3
?
2. 已知
??k
,则
k
的取值范围为 .
sin
?
cos
?
3. 在空间,从一点O出发引四条射线O A,OB,OC,OD,如果∠AOB=∠BOC=∠DOA=∠AOC=
?
,则
co s
?
=
4. 如图,平面α中有△ABC和 △A
1
B
1
C
1
分别在直线m的两侧,它
公共点, 并且关于m成轴对称,现将α沿m折成一个直二面角,
C,A
1
,B
1
,C
1
六个点可以确定的平面个数为
5. 在正整数数列中,由1开始依次按如下规则将某些数染成红色.先
2个偶数2、4;再染4后面最 邻近的3个连续奇数5、7、9;再染
近的4个连续偶数10、12、14、16;再染此后最邻近的5 个连续
19、21、23、25.按此规则一直染下去,得到一红色子数列1,2,
12,14 ,16,17,….则在这个红色子数列中,由1开始的第2010个数是
们与m无
A
m
A
1
α
B
C
C
1
B
1
则A,B,
染1,再染
9后面最邻< br>奇数17、
4,5,7,9,
6. 十个元素组成的集合
M?{19,93, ?1,0,25,?78,?94,1,17,?2}

M
的所有非空子集记为
M
i
(i?1,2,L,1023)
,每一
?1,2,L,1023).则
?
m
i
?

i?1
1023
非空子集中所有元素的乘积记为
m
i
(i< br> 7. 设A={(x,y)| 0≤x≤2,0≤y≤2},B={(x,y)| x≤10,y≥2,y≤x-4}是直角坐标平面xOy上的点集. 则
?
?
x?xy ?y
?
?
C?
?
?
12
,
1
(x ,y)?A,(x,y)?B
?
所成图形的面积是
22
?
11
2
?
?
?
2
?
3b?2ab
,则
a?b?a
2
?b
2
8.已知正实数a、b满足:
a?
的最大值是
二.(16分) 设y=f(x)是定义在R上的实函数,而且满足条件:对任意的a,b∈R,有f[ af(b)]=ab,试求|f(2010)|.
三.(20分) 求最大的正数
?
,使得对任意实数
a

b
,均有
?
a
2
b
2
?
a?b
?
2

?
a
2
?ab?b
2
?

3
四.(20分) 已知半径为1的定圆⊙P的 圆心P到定直线
l
的距离为2,Q是
l
上一动点,⊙Q与⊙P相外切,⊙Q交
l
于M、N两点,
对于任意直径MN,平面上恒有一定点A,使得∠MAN为定值。求 ∠MAN的度数。

加试
一.(40分) △ABC内接于⊙K,BD是∠B的平 分线,现有⊙K
1
与BD
⊙K也相切(如图),证明:切点I是△ABC的内心.
A
相切于点I,且与AC及
D
.

22
I
C
B
.






二.(40分) 设
a
1
,a
2
,L,a
n
为正数,证明:
a
1
?a
2
?L?a
n
?a
2
?a3
?L?a
n
?a
3
?L?a
n
?L?an
?a
1
?4a
2
?9a
3
?L?n
2
a
n


三.(50分) 一次数学竞赛分一、二两试共有28个 题目,每个参赛者都恰好解出7个题目,每两个题恰好有两名参赛者解出.试证:必
有一个参赛者,他在 第一试中或者一道也没有解出或者至少解出四道题.

四.(50分) 设
p是质数,且
p
2
?71
的不同正因数的个数不超过
10
个.求
p


模拟试题十 2010年联赛模拟试题
青岛二中 邹明
一.填空题(本题共8道小题每小题7分,满分56分)
1.设 函数f(x)=log
0.5
(x
2
-2ax+3)(a>0)的值域为(??,?1]
,
g(x)=log
2
(kx
2
- 2ax+2)的定义域为A,集合B=[
1
,1],若A∩B≠Φ,则实数k的取值范围是___________
;
2
2.已知:设a,b为正实常数,θ为参变量,则满足xsinθ- ycosθ=
方程是
______________________

s in
2
?
cos
2
?
1
??
x?y

a
2
b
2
x
2
?y
2
22< br>的点(x,y)的轨迹
3.使得
1?2???n
(n>2)为整数的最小正整数 n=
_________
;

23



4.如图,已知⊙C的圆心C在抛物线x
2
=2py上(p>0)
运动,且⊙C过定点A(0,p),点M,N为⊙C 与x轴的
y
A
C
x
1
|AM|
x?
?x
.则函数f(x)=交 点.如果
x
|AN|
的值域是
______________
;
O
M
N
5.对于所有自然数n,使得a(9·2010
n+1)·2010
n
+(b-1)·2010
n
+1=(c·2010< br>n
+1)
2

恒成立,且b取最大值的实数组(a,b,c)等于_____________________

6.用红蓝两种颜色给排成一行的10 个方格染色,每一格只染一种颜色,如果要求相邻两个方格不能都染红色,那么,所有染色方
法的种数是
_______________
.
7.设OABC是边长为1的正四面体,E、F 分别为AB与OC的中点.则异面直线OE与BF的距离是
________
.
8. 非负实数x,y,z满足x
2
+y
2
+z
2
=1.则f(x ,y,z)=x+y+z-2xyz的最大值是
___________
.
三.解答题(本题共3道满分44分)
O
F
A
C
y
P
A
F
1
O
F
Q

x
2
y
2
9.(14分)如图,已知A,B是椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的左右顶点,P,Q是该椭圆上不同于顶点的两点,若直线 AP,QB相交于
ab
点M,
直线PB, AQ相交于点N.
(Ⅰ)求证:MN⊥AB;
(Ⅱ)若弦PQ过椭圆的右焦点F
2
,试求直线MN的方程.
10.(15分)设a,b∈R, 点集A={(n,na+b)|n∈Z },B={(m,m
2
+17)|m∈Z },
C={(x,y)|x
2< br>+2y
2
≤66}.试求出所有的整数n,使得存在实数a,b满足 A∩B≠Φ且(a,b)∈C.
11.(15分)设定义域,值域都是实数集R的非常数函数f(x),g(x),满足对任意
x∈R,都有f(g(x))=f(x),g(f(x))=g(x).
(1)求f(x),g(x);
(2)定义数列{a
n
}:a
1< br>=3,a
2
=7,f(a
n
2
)+g(5)=f(a
n-1
)g(a
n+1
)(n≥2).

E
M
B
B
x
N

24





二试题
(本题共4道小题每小题50分,满分200分)
一.(50分)如图,半径分别为r,R的 两圆Г
1

2
相交于A,B两点,过点B的一条直线分别交圆Г
1

2
于点C,D,过点B的另一条直线
分别交圆Г
1

2
于点E,F.如果劣弧AC与劣弧AF长度之比为r∶R.求证:
(Ⅰ)CD=EF;
(Ⅱ)圆AEF与圆ACD的一个交点在线段FD上.

Г
A
n
F
二.(50分)设数列{x
n
}满足 :x
1
=2011,
x
n
E
D
三.(50分) 给定素数p,q,r.求证:对任意给定的正整数k,总存在无穷多个正整数n,使得p+q+r-1, p+q+r-2,…,p+q+r-k均为合
B
C
数.
Г
nn nnnnnn
?
2(x?1)
?
,n=2,3,….其中[x]表示不超过x 的最大整数.求数列{x
n
}的通项x
n.
?x
n?1
?
?
n?1
?
n
??
四.(50分)设正整数a
1< br>,a
2
,…,a
2010
满足:
(1)a
i
≠211(i=1,2,…,2010),
(2)任意连续若干项之和≠211.
2010
求min{
?
a
i?1
i
}.

模拟试题十一 全国高中数学竞赛模拟卷
湖南师大附中 周正安
第一试
一、填空题(每小题8分,共64分)

25



1.已知不等式
x
2
?5x?6? x
2
?a
的解集A满足
A?1
,则
a?

2.求值
tan18
o
?tan36
o
?tan36< br>o
?tan54
o
?tan54
o
?tan72
o< br>?L?tan144
o
?tan162
o
?

3.在等差数列
?
a
n
?
中,
a
m
?n
3
,a
n
?m
3
,则
a
m?n
?

4.某底面是单位圆的圆锥具有性质:在过顶点的所有截面中,以轴截面面积 最大。则该圆锥的体积最小值为 。
5.设非零复数
a,b,c
满足a?a?b?c

a?b?3c

c?1

c?(a b)
2000
?(ab)
2000
n

n?

6.用1、2、3这三个数字写六位数,要求任何两个相邻的数位不能都为1,则总共可写出 个不同的六位数。
7.已知
a?0
,如果函数
(x?a)
2
f(x)?
2
x?1

[?1,1]
上为增函数,则
a< br>的取值集合为 。
8.将2个相同的白球,3个相同的红球,4个相同的黑球全部投入A 、B、C三个袋中,则无空袋的放法有 种。
二、解答题(共56分)
9.(16分)已知数列
?
n (1?n?5)
a?
满足:
a
?
n
?
?
n
?
a
1
a
2
La
n?1
?1 ( n?6)

b
n
22
?a
1
2
?a
2
?L?a
n
?a
1
a
2
La
n

(1) 求数列
?
b
n
?
的通项公式;
2
(2) 求出所有的正整数
n
,值得
b
n?1
? b
n
?b
n?2

10.(20分)定义
F(x,y)? (1?x)
y
,x,y?(0,??)

(1)设
g(x)?F(1 ,log
2
(x
3
?ax
2
?bx?1))
的图象 为曲线C,若存在实数
b
使得曲线C在
x?x
0
(x
0?(1,4))
处有斜率为-8的

26



切线,求
a
的取值范围;
(2) 当
x,y?N

x?
?
y
时,求证:
F(x,y) ?F(y,x)

uuuruuuruuuruuur
11.(20分) 已知点B (-1,0),C(1,0),P是平面上一动点,且满足
|PC|?|BC|?PB?BC.

(1)求点P的轨迹C对应的方程;
(2)已知点A(m,2)在曲线C上,过点A作曲线C 的两条弦AD,AE,且AD,AE的斜率k
1
、k
2
满足k
1·k
2
=2.求证:直线DE过
定点,并求出这个定点。
第二试 一、(40分)已知
?ABC
的内心为
I,e
同理可得点
B'< br>和点
O
1
,eO
2
,eO
3
分别过B、C, A、C和A、B且与
eI
直交。
eO
1

eO
2< br>相交于另一点
C'

A'

I
半径的
1< br>2
求证:
?A'B'C'
的外接圆半径等于
e

二、(40分)设
x?y?1,x,y?R
?

求证:
x
?
x?y
y1
??
y?1x?1
yx
??
x?yx?1
1

y?1
三、(50分)已知P为质数
n

m
均是正整数,试求方程
p
n
?m
3
?8
的所有解。
四、(50分)证明:在任意
2n?2
个人中,可以找到两个人A、B ,使得其余
2n
个人中,至少有
n
个人他们中的每一个,或者都认识
A、B;或者都不认识A、B。



27



模拟试题十二 高中数学联赛模拟试题
第一试
一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分.把答案填在横线上.
1.对于任意的
x
,都有
acosx?bcos2x??1
,则
a?b
的最 大值是 。
(注:
?
a?b,a?b,2010?b
?
?C
恒成立,则常数C的最大值是 .2.对于任意实数a,b,不等式
max

max
?
x,y,z
?
表示x,y,z中的最大者.
3.已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中,∠BAD=60°, 长为2的线段MN的一个端点M在DD
1
上运动,另一
个端点N在底面ABCD上运动 ,则MN中点P的轨迹与该直平行六面体表面所围成的几何体中较小的体积值为___________. 4.已知四个整数
a,b,c,d
都是偶数,且
0?a?b?c?d
,< br>d?a?90
,若
a,b,c
成等差数列,
b,c,d
成等比 数列,则
a?b?c?d
的值等于 .
PF
1
x
2
y
2
??1
的左右焦点分别为
F
1

F
2
,5.已知椭圆点P在直线l:
x?3y?8?23?0
上. 当
?F
1
PF
2
取最大值时,
164
PF
2
的值为 .
6.已知数列
{a
n
}
的前n项之和为
S
n
,且
S
n
2
?2S
n
?a
n
S
n
?1?0

n?1,2,3,L,则
S
n
的表达式为___________________.
7. 已知定义在R上的偶函数
线
f(x)
的图象关于直线
x?1
对称,且 当
0?x?1
时,
f(x)?21?x
2
,若直线
y?x? a
与曲
y?f(x)
恰有三个交点,则实数
a
的取值范围为____ ____________.
8.某食品厂制作了4种不同的精美卡片,在该厂生产的每袋食品中都随 机装入一张卡片,规定:如果收集齐了4种不同的卡片,便
可获得奖品.小明一次性购买该种食品6袋, 那么小明获奖的概率是__________________.
二、解答题:本大题共3小题,共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1. (本小题满分16分)已知抛物线
y
2
?4x
的焦点为F,过F作两条相互垂 直的弦AB

CD,
设弦AB

CD的中点分别为M

N.

28



( 1 )求证:直线MN必过定点;
( 2)分别以弦AB和CD为直径作圆,求证:两圆相交弦所在的直线经过原点.
2.(本小题满分20 分)设函数
f(x)?x
2
?ax?b
(其中,数列
{a
n
}

{b
n
}
定义为:
a
1
?< br>a,b
为实常数)
1
2

2a
n?1
?f( a
n
)?15

b
n
?

n
项的 和记为
S
n

1

n?1,2,3,L
2?a< br>n
),已知不等式
f(x)?2x
2
?4x?30
对任意实数
x
均成立,数列
{b
n
}

(1)求实数
a

b
的值;
(2)若数列
{b
n
}
的 前
n
项的乘积记为
T
n
,证明:对任意正整数
n

2
n?1
T
n
?S
n
为定值;
?
?
4
?
n
?
(3)证明:对任意正整数
n
,都有
2
?
1?
??
?
?S
n
?2

?
?
?
5
?
?
?
3.(本小题满分20分 )设
x
1
,x
2
,L,x
n
为n个正实数(
n?2,n?N
?
),且
x
1
?x
2
?L?x< br>n
?1


x
n
x
1
x
2
,,L,
1?x
1
1?x
1
?x
2
1? x
1
?x
2
?L?x
n
中最大的数记为S .
( 1)令
y
k
?1?x
1
?x
2
?L?x
k

k?1,2,L,n
,求证:
y
1
?y
2
?L?y
n
?
1
S

(2)对于给定的正整数n,< br>n?2
,求S的最小值,并求出S取最小值时
x
1
,x
2,L,x
n
的值.
第二试
一、(本小题满分40分)如图,已知两圆
O
1

O
2
内切,另四个圆
O
3

O
4

O
5

O
6
均与
O
1
内切,与
O
2
外切,且连心线
O
3
O
4

O
5
O
6

O
1
O
2
的夹
角相等,求证:点
O
3

O
4< br>、
O
5

O
6
共圆.
O
O
O
O
O
O

29



二、(本小题满分40分)设
x
i
?
?
4,10
?
,
i=1,2,3
???
,n.试 求下面式子的最大值与最小值:
n
x
i
S?
?
?
?
x
i
,其中,
x
n?1
?x
1
i?1
x
i
?x
i?1
i?1
n
三、(本小题 满分50分)正整数m,n均大于1,已知
n
?
n?1
??
n?2< br>?
L
?
n?m
?
刚好有3个不同的质因子,求所有满足要求的 数组
(m,n).

四、(本小题满分50分)甲、乙两人在一张无限大的方格棋盘 上轮流下棋,每次可以将一个棋子放入任意一个方格中,且每个方格中
至多放入一个棋子,现在由甲先下 一个黑棋,乙接着下一个白棋,然后甲再下一个黑棋,乙再下一个白棋,……,如此进行下去.如
果在棋 盘上横着或竖着连出5个黑棋,那么甲获胜,如果连出5个白棋,那么乙获胜.请问:分别对于甲、乙两人,是否 各自存在一
种策略,可以使得对手无法获胜?说明理由

模拟试题十三 高中数学竞赛模拟试卷
-------大连市第24中学 李振权
一试
一、填空题
1.给定数列{x
n
},x
1
=1,且x
n+1
=
3x
n< br>?1
3?x
n
2005
,则
?
x
n?1n
=
2、一个七位数
a
,其各 位数字相加得到
b
,已知
a?b
仍为一个七位数,且
a?b
各位数字的其中六个为1,2,3,4,6,7,如果
小明足够聪明,他能猜中第七个数字的概率为 。

3.z
1
、z
2
分别在实轴和虚轴上运动,保持|z
1
-z
2
|=2恒定,而z
3
=z
1
(1 +i)-z
2
i,则|z
3
|的最大值为_________.


30



x
2
y
2
??1
中,
F
是左焦点,点
C
是左准 4.在椭圆
259
线上一点,过
C
点的直线
l
交椭圆于
A

B
两点,
连结
FA

FB

FC
,且
? FAB?50?

?FBA?20?
,则
?FCA?
__________________。

5.我们注意到6!=8×9×10,试求能使n!表示成(n-3)个连续自然三数之积的 最大正整数n为__________.

6.对每一实数对(x, y),函数f(t)满 足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若f(-2)=-2,试求满足f(a)=a的所有整 数a=__________.

7.设有足够的铅笔分给7个小朋友,每两人得到的铅笔数 不同,最少者得到1支,最多者得到12支,则有 种不
同的分法。

8、已知斜四棱柱
ABCD?A
1
B< br>1
C
1
D
1
的底面是边长为
1
的菱形,侧棱 长为
x

?BAD?60
o

?A
1
AB ??A
1
AD?45
o
,当
x?
___________时 ,
AC
1
?
平面
A
1
BD

二、解答题
9、 已知
?ABC
中,AC=2AB.过点C、A分别作?ABC
外接圆的切线,切点分别为C和A,若两条切线相交于点P。直线BP交圆
?
BAC
于点D. 求证:直线BP平分


31



10.已知a, b, c∈R,且满足
+
kabc
≥(a+b)+(a+b+4c),求k的最小值。
a?b?c
22
2
11.已知a>0,函数f(x)=ax-bx,
(1)当b>0时,若对任意x∈R都有f(x)≤1,证明:a≤2
b

(2)当b>1时,证明:对任意x∈[0, 1], |f(x)|≤1的充要条件是:b-1≤a≤2
b

12、已知数列
{a< br>n
}
满足
a
1
?a

a
n?1?
(4n?6)a
n
?4n?10

2n?1
(Ⅰ) 判断数列
?
?
a
n
?2
?
?
是否是等比数 列,若是等比数列,请给出证明,若不是,请说明理由;
?
2n?1
?
(Ⅱ )当
a?1
时,求数列
{a
n
}
的前
n
项 和为
S
n

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,证明当
n?3
时,
1111
???????
S
3
S
4
S
n< br>10
二试

一、(50分)已知
Q
为以
AB为直径的圆上的一点,
Q

A
,
B

Q

AB
上的投影为
H
,以
Q
为圆心,
QH
为半径的圆与以
AB
为直径的
圆交于点
C

D.证明
CD
平分线段
QH

二、(50分)设
f(x )?x
n
?ax
2
?bx?c,n
为自然数,
已知
f(?1)?0,f(1)??6,f(2)??9

f(3)??4,f(6)?119< br>,求
f(x)

三、(50分)是否存在1000000个连续整数,使得每 一个都含有重复的素因子,即都能被某个素数的平方所整除?
四、(50分)设|
X
|为子集
X?S
中元素的个数;又为
S?X
,是
X
的补集;
C
i

a?i

k
个参赛选手有相同的判决,证明
kb?1
?.

a2b


32



模拟试题十四
一.填空题
1.已知
f(x)?
1?x
,对于n?N,定义f
1
(x)?f(x),f< br>n?1
(x)?f[f
n
(x)]
,若
f
13
(x)?f
31
(x),

2?x

f
16(x)
的解析式为______________.
2.设
a?b?c?d,若 变量x,y,z,t是a,b,c,d
的某一个排列,那么表达式
n(x,y,z,t)?( x?y)
2
?(y?z)
2
?(z?t)
2
?(t?x)< br>2
可以取____________个不同的值.
3.设
S
n
是集合
S
11
A?{1,,L,
n?1
}
含有3个元素的 所有子集的元素之和,则
lim
n
?
__________.
n? ?
n
2
22
2
?
2
4.已知
?
,
?
是方程
ax?bx?c?0(a,b,c为实数)
的两根,且
?< br>是虚数,
?
5985
k?1
是实数,则
?
(
?
)
?
k
=_____________.
5.当且仅当n被k整除时,多项式
x
模均为1,则
x
1
x
2
2n
?1?(x?1)
2n
不被
x
2
? x?1
整除,则整数k=_________. 6.已知纯虚数
x
1
,x< br>2
,L,x
1999

?x
2
x
3
?L?x
1998
x
1999
?x
1999
x
1< br>被4除所得余数为_______________.
7.设集合
M?{x|0?x? 11,x?Z},F?{(a,b,c,d)|a,.b,c,d?M}
,映射
f:F?Z使得
f
(a,b,c,d)?ab?cd
,已知
(u,v,x,y)? 39,(u,y,x,v)?66,则(x,y,u,v)?
____________.
8 .12个朋友每周聚餐一次,每周他们分成三组,每组4人,不同组坐不同的桌子,若要求这些朋友中任意两人至 少有一次同坐一张桌,则至
少要________周.
二.解答题
ff

33



x
2
y
2
1.
F
1
,F
2
是椭圆
2
?
2
?1
的两 个焦点,点P是椭圆上一点,且点P不在
x
轴上,求值
ab
tan


?PF
1
F
2
?PF
2
F
1< br>tan
22
.
2.数列
{a
n
}
中,a
n
?n
3
?
(n
i?1
99
2?i
2
)
2
,求该数列前n项和
S
n
.

3.定义在(-1,1)上的函数
x?y
)
;
f(x)
满足:1)对任意
x,y?(?1,1)
都有
f(x)?f(y)?f(1?xy
2)当
x?(?1,0)
时,有
f(x)?0
. 求证:
1111
f()?f()?Lf(
2
)?f()(n?N)
.
511n?3n?12

第二试
一. 如图在四边形ABCD中,对 角线AC平分
?BAD,在CD上取一点E,
BE与AC相交于F,延长DF交BC于G,求< br>证:
?GAC??EAC
.

34



A
F
B
G
C
E
D

二.设
a,b,c?0,ab?bc?ca?1
,求证:
3
1111
?6b?
3
?6c?
3
?6a ?
.
abcabc
?
三.证明:对于大于2的任意正整数
a
,存在无穷多个
n?N,使得n|a
n
?1
.

四.设p是奇质数,
a,b
是小于p的正整数,证明:
a?b?p
的充分 必要条件是对任何小于p的正整数n,均有
[
2an2bn
]?[]
等于正< br>pp
奇数.
第十五套:联赛模拟
上海延安:丁虬骋
一、填空题
1. 若不等式
x(x
2
?8)(8?x)?
?
(x?1)
对一切实数
x?(0,2)
恒成立,则实数
?
的取值范围是
?
(1?x)(1?x
2
)(1?x
4
)?1?y
7
2. 方程组
?
的实数解
(x,y)
共有 组
247
?
(1?y)(1?y)(1?y)?1?x
3. 正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中,点< br>M,N
分别在线段
AB,BB
1
上(不包括线段的端点),满足
AM?B
1
N
,则
A
1
M

C
1
N

35



所成角的取值范围是
4. 已知
P
是直线
y?x?1
上一点,
M,N
分 别是圆
C
1
:(x?3)
2
?(y?3)
2
?1< br>与圆
C
2
:
(x?1)
2
?(y?4)
2< br>?1
上的点,则
的最大值为
PM?PN
5. 设函数
n?1
i
1x
*
,定义< br>S
n
?
?
f()
,其中
n?N
,且
n?2

f(x)??log
2
n
21?x
i?1

S
n
= .
6. 长方体< br>ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中,
AB?AA
1
?4

AD?3
,则异面直线
A1
D

B
1
D
1
间的距离为 .
122
2
2
2010
]?1005
= (其中
?
x
?
表示不超过
x
的最大整数). 7. 求和:
[]?[]?[]L?[
3333
8. 扔6次骰子,令第
i
次得到的数为
a
i
,若存在正整数
k
使得
?
ai
?6
的概率
p?
i?1
k
n
m
,其 中
m,n
是互质的正整数,则
log
6
m?log
7
n
= .
二、解答题
9. 设
a
0
,a
1
,?,a
n
,?
为实数列, 满足
a
n?1
2
?a
n
?
1
,其中
n?N
.
5
求证:当
n
2
?5
时,
a
n?5
?a
n?5
.



10. < br>x
2
y
2

F
椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的焦点,
AB,CD
为过焦点的弦,满足
AB? CD
,求“蝶形”
ACFBD
面积的最大
ab
值和最小值.

11. 设函数
f(x)?ax
2
?8x?3
(a?R).?


36



(1)若
g(x)?xf(x),f(x)?

g(x)?

x
同一个值时都取得极值,求
a
的值.
(2)对于给定的负数
a
,有一个最大的正数
M(a)
,使得
x?[0,M(a)]
时,恒有
|f(x)|?5.


M(a)
的表达式;

M(a)
的最大值及相应的
a
值.

第二试
1、在
Rt?ABC
中,
CD
是斜边上的高,记
I
1
,I
2
,I
分别是
?ADC,
?BCD

?ABC
的内心,
I

AB
边上的射影为
O
1< br>;
?CAB

?ABC
的角平分线交
BC

AC
分别于
P

Q

PQ
的连线与
CD< br>相交于
O
2
.求证:四边形
I
1
O
1
I
2
O
2
为正方形.

C




Q
I
1
O
2
I
I
2
P
A




D
O
1
B
a
3
b
3
c
3
a?b?c
???
2、设
a,b,c?R
,求证:.
222222
2a?ab?2b2b?b c?2c2c?ca?2a3
?
3、设
?ABC
的内切圆半径为1,三边长< br>BC?a
,
CA?b
,
AB?c
.若
a
、< br>b

c
都是整数,求证:
?ABC
为直角三角形.

37




4求证:面积为1的凸
n
边形
n?6
可以被面积为2的三角形覆盖.

第十六套:高中数学联赛模拟题
华南师大附中 宋红军
一试
姓名 成绩
一:选择题(每小题8分,共64分)
1、设集合X={-1,0,1},Y={-2,-1 ,0,1,2},从X到Y的映射
这样的映射一共有 18 个。
f
满足条件:对于每个x?X,恒有x+f(x)为奇数,则

2、已知x+lgx=10,y+10
y
=10,则x+y= 10 。

?
7
3、设f(z)=3z(cos +isin
?
),这里z是复 数,用A表示点f(1+3i),B表示点f(0),C表示点4i,则∠ABC= 60? 。
66

4、设抛物线y
2
=2x的焦点为F,以P(4.5,0)为 圆心,|PF|长为半径作一圆,与抛物线在x轴上方交于点M、N。
则|MF|+|NF|的值是 8 。

5、已知四棱锥S—ABCD的底面为平行四边形,面SAC⊥面SBD,若△SBC、 △SCD、△SDA的面积分别为

38



5,6,7,则△SAB的面积等于 38 。

6、若1≤a
1
≤a
2
≤a
3
≤a
4
≤a
5
≤a
6
≤64,则Q=
a
1
a
3
a
5
3
+ + 的最小值为 。
a
2
a
4
a
6
4

7、一个由16个小方格组成的
种不同的染法。
4?4
的棋盘,将其中8个小方格染黑,使得每行、每列都恰有2个黑格,有 90

8、已知M=2
7
t=3
5
s,其中t是奇数,s不能被3整除,则 M的所有形如2
p
3
q
(其中p,q为自然数)的约数之
和等于 92820 。

二:解答题(9小题每小题16分,10、11小题20分,共56分)
9、数列{a
n
}定义如下:a
0
=a
1
=1,a
n+2
=1 4a
n+1
-a
n
(其中n?N),求证:对所有的正整数n,2a
n
-1是完全平方数。
证明:数列{a
n
}对应的特征方程为x
2
-14x+1=0,其两根为x
1
=7+43,x
2
=7-43,
∴ a
n
=
?
·(7+43)
n
+
?·(7-43)
n

又a
0
=a
1
=1

?
=
2-3
2+3
,
?
=
44
∴ a
n
=
2-32-3
2+32+3
·(7+43)
n
+ ·(7-43)
n
= ·(2+3)
2n
+ ·(2-3)
2n

4444
∴ 2a
n
-1=
2-3
2+3
·(2+3)
2n
+ ·(2-3)
2n
-1
22

39



=(
3-1
2
3+ 1
2
)·(2+3)
2n
+()·(2-3)
2n
-1
22
=[
3-13+1
·(2+3)
n
-· (2-3)
n
]
2

22
n
由二项式定理得:(2 +3)
n
=
?
i=0
i
n-i
C
n
·2·(3)
i

可设(2+3)
n
=x+y3,其中x,y为整 数,则(2-3)
n
=x-y3
∴ 2a
n
-1=[
3- 13+1
·(2+3)
n
-·(2-3)
n
]
2
= (3y-x)
2

22
又∵ 3y-x为整数
∴ 2a
n
-1是完全平方数。
解法二:用归纳法证明。
(构造数列{bn
}:b
0
=-1,b
1
=1,b
2
=5,b
n+2
=4b
n+1
-b
n
,证明2a
n
-1=b
n
2

10、已知a,b,c为正实数,求证:(a
5< br>-a
2
+3)(b
5
-b
2
+3)(c
5< br>-c
2
+3)≥(a+b+c)
3

证明:∵ a,b,c为正实数
∴ a
5
-a
3
-a
2
+1 =a
3
(a
2
-1)-(a
2
-1)=(a-1)
2
(a+1)(a
2
+a+1)≥0
∴ a
5
-a
2
+1>a
3
∴ a
5
-a
2
+3≥a
3
+2
同理可得:b
5
-b
2
+3≥b
3
+2;c
5
-c
2
+3≥c
3
+2;
∴ (a
5
-a
2
+ 3)(b
5
-b
2
+3)(c
5
-c
2
+ 3)
≥(a
3
+2)(b
3
+2)(c
3
+2)
=a
3
b
3
c
3
+2a
3
b3
+2b
3
c
3
+2a
3
c
3
+4a
3
+4b
3
+4c
3
+8

40



=(a
3
+b
3
+c3
)+(a
3
+a
3
b
3
+1)+(a
3
+a
3
c
3
+1)+(b
3
+a
3< br>b
3
+1)+(b
3
+b
3
c
3
+ 1)+
a
3
b
3
c
3
+1+1)
(c
3
+a
3
c
3
+1)+(c
3
+b
3
c
3
+1)+(a
3
+b
3
+c
3< br>+
≥a
3
+b
3
+c
3
+3a
2
b+3a
2
c+3ab
2
+3b
2
c+3ac2
+3bc
2
+6abc
=(a+b+c)
3

当a=b=c=1时取等号。
11、点P到定点F(-1,2)和到定直线x=-3的距离之 和等于4。(1)求点P的轨迹方程,并画出曲线L。(2)直
?
x=-1+tcos
?

线l:
?
(
?
为倾斜角,t为参数)。与曲线L交于P、Q两点,记f (
?
)=|PQ|,试求f (
?
)的表达
?y=2+tsin
?

式及其最大值和最小值。
解:(1)设P点的坐标为:P(x,y),则有
(x+1)
2
+(y-2)
2
+|x+3|=4
∴ 当x≥-3时,(y-2)
2
=-4x
当x≤-3时, (y-2)
2
=12(x+4)
?
(y-2)
2
=-4x (x≥-3)
∴ P点的轨迹方程为:
?

?
(y-2)
2
=12(x+4) (x≤-3)
(2)以F(-1,2)为极点,x轴正向为极轴,建立极坐标系,则
当x≥-3时,P点轨迹为以F(-1,2)为焦点的抛物线,
此时的抛物线椎坐标方程为
?
=
2
(-120?≤
?
≤120?);
1+cos
?
当x≤-3时,P 点轨迹也为以(-1,2)为焦点的抛物线;此时的抛物线椎坐标方程为
?
=
直线方程 为
?
=
?
0

6
(120?≤
?< br>≤240?);
1-cos
?
直线与曲线相交有两种情况:

41



(1)直线只与一条抛物线相交时,这条抛物线方程必为:
?
=
2
且60?≤
?
≤120?,此时
1+cos
?
4≤|PQ|=
22416
+ = ≤
2
3
1+cos
?
1-cos
?
1-cos
?

?
=90?时取最小值;当
?
=60?时取最大值。
(2)直线与两条抛物线都相交时,-60?≤
?
≤60?,此时
4≤|PQ|=
26816
+ = ≤
3
1+cos
?
1+cos
?
1+cos
?

?
=0?时取最小值 ;当
?
=60?时取最大值。
4
?
?
1-cos
2
?
(60?≤
?
≤120?)
∴ f (
?
)=
?
8
?
?
1+cos
?
(-60?≤
?
≤60?)

且f (
?
)的最大值为
16
,最小值为4。
3
二试
姓名 成绩
一:本题满分40分
给定锐角△ABC,在BC边上取点A
1
、A
2
(A
2
位于A
1
与C之间);在CA边上 取点B
1
、B
2
(B
2
位于B
1
与A之间 );
在AB边上取点C
1
、C
2
(C
2
位于C1
与B之间)。使得∠AA
1
A
2
=∠AA
2
A
1
=∠BB
1
B
2
=∠BB
2
B
1
=∠CC
1
C
2
=∠CC
2
C
1
直线AA
1
、BB
1
、CC
1
可构成一个三 角形,直线AA
2
、BB
2
、CC
1
可构成另一个三角形, 求证:这两个三角形的
六个顶点共圆。
一:证明:设上述两个三角形分别为图中所示的△UVW和△XYZ,则
∵ ∠BB
2
B
1
=∠CC
1
C
2

C
1
A
∴ ∠AB
2
B=∠AC
1
C < br>U
C
2
Y
B
A
1
V
XB
2
W
Z
A
2
C
B
1

42



∵ ∠BAB
2
=∠CAC
1

∴ △AB
2
B∽△AC
1
C

AC
1
AB
2
= 且∠ABB
2
=∠ACC
1

ACAB
同理可得:∠BAA
1
=∠BCC
2

∴ ∠A
1
VB=∠BAA
1
+∠B
1
BB
2
+∠ABB
2
=∠BCC
2
+∠C
1
CC
2
+∠ACC
2
=∠ACB
同理可得:∠ACB=∠AXB
2

∴ ∠A
1
VB=∠AXB
2
同理可得:∠A
2
ZC=∠AUC
1

在△ABV中:
AVABABAB
= = =
sin∠ABVs in∠AVBsin∠A
1
VBsin∠ACB
同理可得:
ABAC
=
sin∠ACBsin∠ABC

AZACACAC
= = =
sin∠ACZsin∠AZCsin∠A
2
ZCsin∠ABC
∴ AV=AZ 同理可得:BW=BX;CU=CY

AC
1
AC
1AUAC
= = ·
AC< br>sin∠AC
1
Usin∠AUC
1
sin∠ABC
=
AB
2
AB
2ABAX
· = =
AB
sin∠A CBsin∠AXB
2
sin∠AB
2
X
∴ AU=AX 同理可得:BV=BY;CW=CZ
∴ UX∥BC;UX∥CA ∴ ∠AUX=∠AA1
A
2
=∠BB
1
B
2
=∠BWX
∴ X位于△UVW的外接圆上
同理可得:Y位于△UVW的外接圆上;Z位于△UVW的外接圆上

43



∴ U、V、W、X、Y、Z六点共圆。

二:本题满分40分
设a, b, c > 0,求证:
111
+ + ≥
a?1 + b?b?1 + c?c?1 + a?
3
3
abc(1+
3
abc)

证:记k =
3

a
1
a
2
a
3
abc > 0,作分式变换 a = k· b = k· , c = k· ,
a
3
a
1
a
2
a
1
, a
2
, a
3
> 0,
则原不等式等价于
a
3
a
1
a
2
3
+ + ≥ …… ?*?
a
1
+ ka
2
a
2
+ ka
3
a
3
+ ka
1
1 + k
由Cauchy 不等式有 ∑
a
1
·∑a
1
?a
2
+ ka
3
? ≥ ?a
1
+ a
2
+ a
3
?
2
…… ①
a
2
+ ka
3
而 ∑a
1
?a
2
+ ka
3
? = ?1 + k??a
1
a
2
+ a
2
a
3
+ a
3
a
1
? …… ②
?∑a
1
?
2
≥ 3?a
1
a
2
+ a
2
a
3
+ a
2
a
1
? …… ③
由①②③立得?*?,故原不等式得证。

三:本题满分50分
求所有正 整数a
1
,a
2
,…,a
n
,使得
99a
0
a
1
a
n-1
= + +…+ ,其中a
0=1,(a
k+1
-1)a
k-1
≥a
k
2
( a
k
-1),k=1,2,…,n-1。
a
n
100a
1
a
2
解:设
a
1
,a
2
,?,a
n
是满足已知条件的正整数。因为
a
0
?1
,所以
a
1
?1

否则
a
0
99
?1?
a1
100
, 即有
a
1
?2
,且
a
1
?a
0
,假设
a
k
?a
k?1
,a
k
?2
,则

44



a
k?1
222
a
k(a
k
?1)a
k
(a
k
?1)a
k
??1???a
k
,综上所述,有
a
k?1
a
k?1a
k?1
2
(a
k
?1)
重写为
a
k?1
?a
k
,a
k?1
?2
,其中
k?0,1, 2,?,n?1
将不等式
(a
k?1
?1)
k?1
?ak
a
k?1
a
k
a
k?1
aa
k??
k?1
?
,即。
a
k
(a
k
? 1)a
k?1
?1a
k
a
k
?1a
k?1
?1
a
n?1
aaaaa
i
?
n?1
求和可得i
?
i?1
???
n?1
?

a
n< br>a
n
?1a
i?1
a
i?2
a
n
a
i?1
?1
对于
k?i?1,i?2,?,n?1

i?0
时,有
1991
100100
??
,即,则
a< br>1
?2

?a
1
?
a
1
100a
1
?1
9999
a
1
a
1
991
200200
???
,即
?a
2
??1
,则
a2
?5

a
2
100a
1
a
2?1
9949

i?1
时,有

i?2
时,有
11
?
991
a
1
?
1
55
?< br>,即
55?a
3
?55?1
,则
a
3
?56

?
?
???
?
99
a
3
a< br>2
?
?
100a
1
a
2
?
a
3
?1
11
?
991
a
1
a
2
?
1
?
?
?
????
,即
??
a
4
a
3
?
100a
1
a
2
a
3
?
a
4
?1

i?3
时,有
56?14? 100?a
4
?56?14?100?1
,则
a
4
?784 00


i?4
时,有
11
?
9912556< br>?
?????
??
?0
,不可能。
a
5
a
4
?
1
?
因此,
a
1
?2,a
2
?5,a
3
?56,a
4
?78400
是惟一的解。

四:本题满分50分

45



12
设n和k是正整数,满足 n23
每列都不存在连续的k个 方格上都没有放“车”。
解:如果棋盘上不存在k×1或1×k个没放“车”的方格,则称棋盘上的“ 车”的放法是“好的”。记行和列
分别是第0行到第n-1行和第0列到第n-1列。一个理想的“好的 ”放法如下:将“车”放在(i,j)上,其中
i,j分别表示为第i行、第j列,使k|i+j+1。 由于n<2k,所以i+j+1=k,2k或3k。从而构成三条由“车”构成的
斜线。因为3k≤2n ,则这三条斜线上分别包含k个方格、2n-2k个方格和3n-3k个方格(特别地3k=2时,第
三 条斜线不存在)。所以共有4(n-k)个方格放有“车”。
下面证明这是“车”满足“好的”放法的最小值。
假设用m个“车”存在一个“好的”放法,划分棋盘为9个矩形区域 A B C
如右图示,使得每个角所在的区域A、C、G、I为(n-k)×(n-k)的区域,B、 D E F
H有n- k行,2k-n列,D、F有2k-n行,n-k列。因为2k-n>0,因此这种 G H I
分法是合理的。
假设在矩形区域B中有b行没有“车”,H中有h行没有“车”,D 中有d列没有“车”,F中有f列没有
“车”。任取B中没有“车”的b行中一行,并向左、右延伸到整 个棋盘,则这一行延伸到A的部分至少含有
1个“车”,否则放法不是“好的”。同理,这一行在C的部 分至少含有1个“车”。在A和C中对这一行中的
两个“车”所在的方格各作一个记号。
同理 对H中没有“车”的h行有同样的结论。而对D和F中没有“车”的d列和f列也具有同样的结论。
因此 在A∪C∪G∪I中总共有“车”的方格作了2(b+h+d+f)次记号,而每个方格最多做了两次记号。所以 有
记号的方格至少有b+h+d+f个,它们中的每一个方格内都有1个“车”。因此,在A∪C∪G∪ I中至少的b+h+d+f
个“车”。
又由于B中至少有n-k-b个“车”, H中至少有n-k-h个“车”,D中至少有n-k-d个“车”,F中至少有
n-k- f个“车”,所以m≥4(n-k)
综上所述:要使每行、每列都不存在连续的k个方格上都没有放“车”,至少要放4(n-k)个“车”。

46





47

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