高中数学新定义问题分类探究

专题：学习能力型问题
1学习能力型问题常见的有以下几种类型：
(1)概念学习型；(2)公式学习型；(3)方法学习型．
2学习能力型问题的特点
(1)内容新
学习能力型习题中常常出现过去没有学习过的新的概念、定理、公式或方法， 要求通过
自己学习以后，理解这些概念、定理、公式或方法，并且能运用它们解决有关的问题.
(2)抽象性
这里新的概念、定理、公式或方法的叙述通常比较简略，比 较抽象，没有解释性和说明
性的语言，需要自己去仔细揣摩、领会和理解.与平时在课堂里教师指导下学 习新知识有很
大的区别，没有教师的讲解、举例和解说，没有许多感性的内容，比较抽象和概括，对独立
学习能力和抽象思维能力要求较高.因此解这类问题往往感到很困难.
(3)学了就用
这里学习新知识的时间很短，要求通过阅读很快就能理解新的概念、定理、 公式和方法，
并能立即运用它们解决有关的问题，不举例题，没有模仿的过程.因此对思维的敏捷性和独
创性要求较高.
3解学习能力型习题的步骤
(1)阅读理解
首先通过阅读理解题意，理解题目所包含的新的概念、定理、公式或方法的 本质：这里
分为两步：1、字面理解：要求读懂其中每一个句子的含义.2、深层理解：要求深入理解新
的概念的本质属性，分清新的定理和条件和结论，理解新的方法的关键等。
(2)运用
在理解新的概念、定理、公式或方法的基础上，运用它们解决有关的问题。
4新定义运算问题
4.1定义数对运算
例1 (1)对于任意 的两个实数对
(a,b)
和
(c,d)
，规定：
(a,b)?(c, d)
，当且仅当
a?c,b?d
；运算“
?
”为：
(a,b )?(c,d)?(ac?bd,bc?ad)
；运算“
?
”为：
(a,b) ?(c,d)?(a?c,b?d)
，设
p,q?R
，若
(1,2)?(p, q)?(5,0)
，则
(1,2)?(p,q)?

A.
(4,0)
B.
(2,0)
C.
(0,2)
D.
(0,?4)

(2)( 10山东) 定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的a=(m, n)，
b=(p, q)，令a⊙b=mq – np，下面说法错误的是( )
A.若a与b共线，则a⊙b=0 B. a⊙b= b⊙a
C.对任意的λ∈R，有(λa)⊙b=λ(a⊙b) D. (a⊙b)
2
+(a·b)
2
=| a |
2
| b |
2

4.2定义集合运算
例2 对于集合
M,N< br>，定义
M?N
=
{x|x?M且x?N}
,
M?N?(M?N )?

(N?M);
设
A?{y|y?3
x
,x?R},B ?{y|y??(x?1)
2
?2,x?R}
，则
A?B?
____ _.
4.3定义函数运算
?
a,a?b
?
例3 (1) 定义运算：ab=
?
,
已知函数
f(x)?2
x
?(3?x ),
那么函数
?
b,a?b

y?f(x?1)
的大 致图像是_________________.
(2)(11天津) 对实数a和b，定义运算“
?
”：
a?b?
?
?
a,a?b?1,
设函数f(x)= (x
2
?
b,a?b?1.
–2)
?
(x–1)，x∈R．若函数y=f( x) – c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是
A. ( –1, 1]∪(2,+∞) B. ( –2, –1]∪(1,2] C. ( –∞, –2)∪(1,2] D.[ –2, –1]
5新定义概念问题
5.1与集合有关的新定义
例4若
x?A,且
1
1
?A，
则称
A
是“伙伴关系集”，在集合M={，1,2,3}的所有非空子
2x
集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集”的概率为________.
变式：定 义平面点集
R
2
?{(x,y)|x?R,y?R}
，对于集合
M? R
，若对
2
{P?R
2
||PP
?
P
0< br>?M,?r?0,使得
0
|?r}?M
，则称集合
M
为开集， 给出下列命题：
①集合
{(x,y)|(x?1)
2
?(y?3)
2
?1}是开集；
②集合
{(x,y)|x?0,y?0}
是开集；③开集< br>在全集
R
上的补集仍然是开集；④两个开集的并集是开集；其中正确的所有的命题的序号
是_____.（析：类比开区间，此题很容易求解）
5.2与数列有关的新定义
2
a
n?1
n?N
?
） 例5 若数列
{a
n
}
满足
2
，则称
{a
n
}
为“ 等方比数列”．甲：
?p
（
p
为正常数，
a
n
2< br>数列
{a
n
}
是等方比数列；乙：数列
{a
n
}
是等比数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
(评：关键是掌握新定义数列的本质，应遵循新定义法 则，借助新数列的性质，向已有的熟
悉的知识转化，即可求解，考查考生的阅读理解能力和学习的潜能. )
a
2
，a
3
，?，a
m
（
m
为正整数）满足条件
a
1
?a
m
，
a
2
? a
m?1
，?，变式：如果有穷数列
a
1
，
2?，m
），我们称其为“对称数列”．
a
m
?a
1
，即
a< br>i
?a
m?i?1
（
i?1，，
b
2
，b< br>3
，b
4
是等差数列，且
b
1
?2
，
b
4
?11
．依(Ⅰ)设
?
b
n
?
是7 项的“对称数列”，其中
b
1
，
次写出
?
b
n?
的每一项；
c
26
，?，c
49
是首项为
1
，公比为
2
的等比数 (Ⅱ)设
?
c
n
?
是
49
项的“对称数列”，其中
c
25
，
列，求< br>?
c
n
?
各项的和
S
；

(评：本题关键在于准确把握“对称数列”的定义，考查的还是课本中数列的基本知识.)
5.3函数有关新定义
例6 (1)在平面直角坐标系中，若点A,B同时满足：①点A,B 都在函数
y?f(x)
图像上；
②点A,B关于原点对称，则称点对(A,B)是函数
y?f(x)
的一个“姐妹点对”（规定(A,B)与
(B,A)是同一个“姐妹点对 ”）.那么函数
f(x)?
?
?
x?4,x?0
?
x?2x ,x?0
2
的“姐妹点对”的个数是_____.
变式：在直角坐标系中，两个不同 的点A(a,b),B(-a,-b)都在函数
y?h(x)
的图像上，则
称[A,B ]为函数的一组“友好点”（[A,B]与[B,A]看作一组），已知定义在
[0,??)
的 函数
f(x)
满足
f(x?2)?2f(x),
且当
x?[0,2]
时，
f(x)?si
?
x
，则函数
2
n
?
f(x),0?x?8
g(x)?
?
的“友好点”的个数为______.
?
??x,?8?x?0
(2)（02上海）对于函数
f(x)
， 若存在
x
0
?R
，使
f(x
0
)?x
0< br>成立，则称
x
0
为
f(x)
的不动点．已知函数
f( x)?ax
2
?(b?1)x?(b?1)
（
a?0
）．
(Ⅰ)当
a?1
，
b??2
时，求函数
f(x)
的不动点；
(Ⅱ)若对任意实数
b
，函数
f(x)
恒有两个相异的不动点，求< br>a
的取值范围内；
(Ⅲ)在（Ⅱ）的条件下，若
y?f(x)
图像上
A
、
B
两点的横坐标是函数
f(x)
的不动点，
且
A
、
B
两点关于直线
y?kx?
5.4与几何有关新定义
例7对于直角坐标平面内的任意两点A(x
1
,y
1
)、B (x
2
，y
2
)，定义它们之间的一种“距
离”：‖AB‖=︱x< br>1
－
x
2
︱+︱y
1
－
y
2
︱.给出下列三个命题：
①若点C在线段AB上，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖;
②在△ABC中，若∠C=90°，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；
③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖.
其中真命题的个数为_____.
（本题给出了一个距离的概念，有别于平时所接触的距离概念，解题关键是弄懂新定义
距离的概念.本题重在考察学生的知识迁移和探究能力.）
变式：（10广东）设A(x
1< br>,y
1
)、B(x
2
，y
2
)时直角坐标平面内的任 意两点，现定义由
点A到点B的一种折线距离为
?
(A,B)
=︱x
1
－
x
2
︱+︱y
1
－
y
2
︱. 对于平面上给定的不同的
222
1
2a?1
2
对称，求
b< br>的最小值．

两点A(x
1
,y
1
)、B(x
2
，y
2
).
(Ⅰ)若点
C(x,y)
是平面上 的点，试证明
?
(A,C)?
?
(C,B)?
?
(A,B)
;
(Ⅱ)在平面上是否存在点
C(x,y)
同时满足：①
?(A,C)?
?
(C,B)?
?
(A,B)
;②
?(A,C)?
?
(C,B)
.若存在，写出符合条件的点，并予以证明，若不存在 说明理由.
5.5解析几何有关新定义
例8 已知两定点
M(?1,0) ,N(1,0),
若某直线上存在点P，使|PM|+|PN|=4,则该直线为“A
型直线” ，给出下列直线：①y=x+1;②y=2;③y=-x+3;④y=-2x+3.其中是“A型直线”的是__ ___.
变式：在平面直角坐标系中，已知两定点
M(a,0),N(?a,0),
若某直线上有且只有一点
P，使|PM|+|PN|=10，则称直线l为“黄金直线”，点P 为“黄金点”.
(Ⅰ)当a=
13
时，点
Q(,3)
能否成为“黄 金点”？若能求出“黄金直线”的方程，若
不能说明理由.
(Ⅱ)当a满足什么条件时，“黄金点”P的轨迹是圆？此时“黄金直线”具有什么特征？
6总结
学习能力型问题必将成为以后高考考核的重点，它题目新颖，考察全面，摆脱 了以往只
考察学生记忆、计算等方面知识.而这类题型是考察学生的阅读理解力、知识迁移能力和归纳概 括
能力等，是考察学生素质能力的典型题目，应引起广大师生的关注. 我国著名的数学家华罗庚先生认为，学习有两个过程：一个是“从薄到厚”，一个是“从厚到薄”.前者是知识不段丰富、积
累 的过程，是“量”的积累；“从厚到薄”则是质的飞跃.在这里正是应用到了“从厚到薄”.
而这类问题 涉及知识面广、开放度高、灵活性强，能够很好地考核考生利用所学知识分析问题和
解决问题的能力，需 要平时结合所学的知识多联想和多类比，注意知识的活学活用，才能够处理
好这类问题.


【课后训练】
1.定义平面向量之间的一种运算“
?
”如下，对 任意的
a?(m,n),b?(p,q)
令
5
2
a
?
b?mq?np
，下列说法错误的是（）
A.若
a与b
共线，则
a
?
b?0
B.
a
?
b?b
?
a

C.对任意的
?< br>?R,
有
(
?
a)
?
b?
?
(a< br>?
b)
D.
(a
?
b)
2
?(a?b )
2
?|a|
2
|b|
2

2.给定集合A，若对 于任意
a,b?A
，有
a?b?A
，则称集合A为闭集合，给出如下五个结论：

①集合A={-4，-2,0,2,4}为闭集合.
②正整数集是闭集合.
③集合A={n|n=3k，k
?Z
}是闭集合.
④若
A
1
,A
2
是闭集合，则
A
1
?A
2
为闭集合.
⑤若
A
1
,A
2
是 闭集合，且
A
1
?R,A
2
?R
，则
?c?R,使 得c?
.
（A
1
?A
2
）
其中正确的结论序号是（ ）
A.①② B.①④ C.②③ D.③⑤
3.定 义在
[a,b]
上的连续函数
y?f(x)
，如果
?
??[a,b]
，使得
f(a)?f(b)?f
`
(
?
) (b?a)
，
则称
?
为区间
，下列函数：
[a,b]上的“中值点”
2
①
f(x)?3x?2
②
f(x)?x?x?1
③
f(x)?ln(x?1)
④
f(x)?(x?)
中，
1
2
3
“中值点”
在区间[0, 1]上多于1个的函数序号为_____.