高中数学解答题步骤规范练一

大题规范练(一)
解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1．(本题满分12分)已知函数f(x)＝sin x＋cos x.
π
2x＋
?
的值； (1)当f(x)＝2时，求sin
?
3
??
π
0，
?
上的值域． (2)若g(x)＝f(2x)，求函 数g(x)在
?
?
2
?
解：(1)依题意，sin x＋cos x＝2?(sin x＋cos x)
2
＝2?sin 2x＝1，
∴cos 2x＝0，
π
ππ
1
2x＋
?
＝sin 2xcos ＋cos 2xsin＝. ∴sin
?
3
??
332
π
2x＋
?
， (2)g(x)＝f(2x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin
?
4
??π
π
π5π
0，
?
，∴2x＋∈
?
，
?
， ∵x∈
?
?
2
?
4
?
44
?
π
2
2x＋
?
∈
?
－，1
?
. ∴sin
?
4
?
?
2
?
?
π
0，
?
上的值域为[－1，2]． ∴函数g(x)在
?
?
2
?
2．(本题满分12分)A药店计划从甲、乙两家药厂选择一家购买100件某种中药材，为
此 A药店从这两家药厂提供的100件该种中药材中各随机抽取10件，以抽取的10件中药
材的质量(单 位：克)作为样本，样本数据的茎叶图如图所示．已知A药店根据中药材的质量
的稳定性选择药厂．

(1)根据样本数据，A药店应选择哪家药厂购买中药材？(不必说明理由)
(2)若将抽取的样本分布近似看成总体分布，药店与所选药厂商定中药材的购买价格如
下表：
每件中药材的质量n克
n<15
15≤n≤20
n>20
(ⅰ)估计A药店所购买的100件中药材的总质量；
(ⅱ)若A药店所购买的100件中药材的总费用不超过7 000元，求a的最大值．

1
购买价格(元件)
50
a
100

解：(1)A药店应选择乙药厂购买中药材．
－
1
(2)( ⅰ)从乙药厂所抽取的10件中药材的质量的平均值为x＝×(7＋9＋11＋12＋12＋
10
17＋18＋21＋21＋22)＝15(克)，
故A药店所购买的100件中药材的总质量的估计值为100×15＝1 500(克)．
5
(ⅱ)由题知乙药厂所提供的每件中药材的质量n<15的概率为＝0.5，15≤n≤20的概
10
23
率为＝0.2，n>20的概率为＝0.3，
1010
则A药店 所购买的100件中药材的总费用为100×(50×0.5＋0.2a＋100×0.3)．
依题意得100×(50×0.5＋0.2a＋100×0.3)≤7 000，
解得a≤75，
所以a的最大值为75.
3．(本题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PC＝AD＝CD
1
＝AB ＝2，AB∥DC，AD⊥CD，PC⊥平面ABCD.
2
(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)若M为线段PA的中点，且过C，D，M三点的平面与线段PB
交于点N，确定点N的位 置，说明理由；并求三棱锥A-CMN的高．
解：(1)在直角梯形ABCD中，AC＝
BC＝
AD
2
＋DC
2
＝22，
（AB－CD）
2＋AD
2
＝22，所以AC
2
＋BC
2
＝AB
2
，即AC⊥BC.
又PC⊥平面ABCD，所以PC⊥BC.又AC∩PC＝C，故BC⊥平面PAC.
(2)取N为PB的中点(图略)．
1
因为M为PA的中点，N为PB的中点，所以MN∥AB，且MN＝AB＝2.
2
又AB∥CD，所以MN∥CD，所以M，N，C，D四点共面，
所以点N为过C，D，M三点的平面与线段PB的交点．
1
因为BC⊥平面PAC，N为PB的中点，所以点N到平面PAC的距离d＝BC＝2. < br>2
11112
又S
△
ACM
＝S
△
ACP< br>＝××AC×PC＝2，所以V
N-
＝×2×2＝.
ACM
22233

2

由题意可知，在直角三角形 PCA中，PA＝
在直角三角形PCB中，PB＝
AC
2
＋PC
2< br>＝23，CM＝3，
BC
2
＋PC
2
＝23，CN＝3，所 以S
△
CMN
＝2.
12
设三棱锥A- CMN的高为h，V
N-
h＝，解得h＝2，
ACM
＝V
A-CMN
＝×2×
33
故三棱锥A- CMN的高为2.
选考题：共10分．请考生在第4、5题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题
计分．
4．(本题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]
?
x＝1＋cos t ，
?
在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为
?
(t为参数)，以坐标原点 为极点，
?
y＝sin t
?
x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
(1)求圆C的极坐标方程；
π
α＋
?
＝22，曲线C
1
的极坐标方程为θ＝α
0
，其中α
0
(2)直线l的极坐标方程是2 ρsin
?
?
4
?
满足tan α
0
＝2，曲线C
1
与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．
解：(1)圆C 的普通方程为(x－1)
2
＋y
2
＝1，又x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以圆C的极坐标
方程为ρ＝2cos θ.
?
?
ρ
1
＝2cos θ
1
，
(2)设( ρ
1
，θ
1
)为点P的极坐标，则有
?

?
?
tan θ
1
＝2，
?
ρ
＝
25
，
?
1
5
解得
?

?
?
tan θ
1
＝2.
设(ρ
2
，θ< br>2
)为点Q的极坐标，则有
ππ
?
sin θ
2
cos＋cos θ
2
sin
?
＝22，
?
2ρ
2
?
44
?
?
?

?
?
tan θ
2
＝2，
?
ρ
＝
25
，
?
2
3
解得
?

?
?
tan θ
2
＝2.
由于θ
1
＝θ< br>2
，所以|PQ|＝|ρ
1
－ρ
2
|＝
4545，所以线段PQ的长为.
1515
5．(本题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]
已知函数f(x)＝|2x－1|.

3

(1)求不等式f(x)＋|x＋1|＜2的解集；
41
(2)若函 数g(x)＝f(x)＋f(x－1)的最小值为a，且m＋n＝a(m＞0，n＞0)，求＋的最小
m n
值．
?
1
－x＋2，－1＜x＜，
解：(1)f(x)＋|x＋ 1|＝|2x－1|＋|x＋1|＝
?
2

.
?
3x，x≥
1
2
2
当x≤－1时，－3x＜2，得x＞－，无解；
3
11
当－1＜x＜时，－x＋2＜2，得x＞0，即0＜x＜；
22
1212
当x≥时，3x＜2，得x＜，即≤x＜.
2323
2
0，
?
. 综上，不等式的解集为
?
?
3
?
13
?
(2)由条件得g(x)＝|2x－1|＋|2x－3| ≥|(2x－1)－(2x－3)|＝2，当且仅当x∈
?
?
2
，
2
?
时，其
最小值a＝2，
即m＋n＝2.
41
?
1
?
4nm
?
411
又＋＝(m＋n)
?
?m
＋
n
?
＝
2
?
5＋
m
＋< br>n
?
≥
mn2
1
?
2
?
5＋2< br>4nm
?
9
×
＝，
mn
?
2
－3 x，x≤－1，
41942
所以＋的最小值为，当且仅当m＝，n＝时等号成立．
mn233
大题规范练(二)
解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1．(本题满分12分)设公差不为零 的等差数列{a
n
}的前5项和为55，且a
2
，a
6
＋a
7
，
a
4
－9成等比数列．
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
11
(2)设b
n< br>＝，数列{b
n
}的前n项和为S
n
，求证：S
n
＜ .
2
（a
n
－6）（a
n
－4）
解：(1)设等 差数列{a
n
}的首项为a
1
，公差为d，

4

?
5a
1
＋
5×4
d＝55，
?
2
则
?

2
?
?
（a
1
＋5d＋ a
1
＋6d）＝（a
1
＋d）（a
1
＋3d－9）
?
?
a
1
＝7，
?
?
a
1
＝11 ，
?
?
或
?
(舍去)．
??
?
d＝2< br>?
d＝0
故数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝7＋2 (n－1)，即a
n
＝2n＋5.
(2)证明：由a
n
＝2n＋5，得
11
b
n
＝＝
（a
n
－6）（a
n－4）（2n－1）（2n＋1）
1
?
1
－
1
?
＝
?
.
2
?
2n－12n＋1
?
?
1 1
?
?
1
－
1
??
1
??
1??
所以S
n
＝b
1
＋b
2
＋…＋b
n
＝
??
1－
3
?
＋
?
3
－5
?
＋…＋
???

22n－12n＋1
???
1
?
1－
1
?
1
＝
?
＜.
2
?
2n＋1
?
?
2
2．(本题满分12分)某大学生在开学 季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季
内，每售出1盒该产品获得利润30元，未售出的产品 ，每盒亏损10元．根据历史资料，得
到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该同学为这个 开学季购进了160盒该产
品，以x(单位：盒，100≤x≤200)表示这个开学季内的市场需求量 ，y(单位：元)表示这个开
学季内经销该产品的利润．


(1)根据直方图估计这个开学季内市场需求量x的众数和平均数；
(2)将y表示为x的函数；
(3)根据直方图估计利润y不少于4 000元的概率．
解：(1)由频率分布直方图得，这个开学季内市场需求量x的众数是150盒，
需求量在[100，120)内的频率为0.005 0×20＝0.1，
需求量在[120，140)内的频率为0.010 0×20＝0.2，

5

需求量在[140，160)内的频率为0.015 0×20＝0.3，
需求量在[160，180)内的频率为0.012 5×20＝0.25，
需求量在[180，200]内的频率为0.007 5×20＝0.15.
则平均数x＝1 10×0.1＋130×0.2＋150×0.3＋170×0.25＋190×0.15＝153(盒)．
(2)因为每售出1盒该产品获得利润30元，未售出的产品，每盒亏损10元，
所以当100≤x＜160时，y＝30x－10×(160－x)＝40x－1 600，
当160≤x≤200时，y＝160×30＝4 800，
?
?
40x－1 600，100≤x＜160，
所以y＝
?

?
?
4 800，160≤x≤200.
(3)因为利润y不少于4 000元，所以当100≤x＜160时，由40x－1 600≥4 000，解得
160＞x≥140.
当160≤x≤200时，y＝4 800＞4 000恒成立，所以200≥x≥140时，利润y不少于4 000
元．
所以由(1)知利润y不少于4 000元的概率P＝1－0.1－0.2＝0.7.
3．(本题满分12分)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，E为AC与
BD的交点，PA⊥平面ABCD，M为PA中点，N为BC中点，连接MN.

(1)证明：直线MN∥平面PCD；
(2)若点Q为PC中点，∠BAD＝120°，PA＝3，AB＝1，求三棱锥A-QCD的体积．
11
解：(1)取PD中点R，连接MR，RC(图略)，∵MR∥AD，NC∥AD，MR＝ AD，NC＝
22
AD，∴MR∥NC，MR＝NC，
∴四边形MNCR为平行四边形，
∴MN∥RC，又RC?平面PCD，MN?平面PCD，

6

∴直线MN∥平面PCD.
(2)由已知条件得AC ＝AD＝CD＝1，∴S
△
ACD
＝
111
∴V
A-
S
△
ACD
×PA＝.
QCD
＝V
Q-ACD
＝×
328
选考题：共10分．请考生在第4、5题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第 一题
计分．
4．(本题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]
3
，
4
?
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
?
(t为参数)．以坐标原点为极
4
?
y＝－2＋
5
t
1
3
x＝2－t，
5
点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C
2
的极坐标方程为ρcos θ＝tan θ.
(1)求曲线C
1
的普通方程与曲线C
2
的直角坐标方程；
π
11
22，－
?
，求＋(2)若C
1
与C
2< br>交于A，B两点，点P的极坐标为
?
的值．
4
??
|PA| |PB|
解：(1)由曲线C
1
的参数方程消去参数t可得，曲线C
1
的普通方程为4x＋3y－2＝0；
由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得，曲线C
2
的直角坐标方程为y＝x
2
.
π
22， －
?
可得点P的直角坐标为(2，－2)．曲线C
1
的参数方程(2)由点P 的极坐标为
?
4
??
?
为
?
(t为参数)，代入y ＝x得9t－80t＋150＝0，
4
?
y＝－2＋
5
t
22
3
x＝2－t，
5
8050
设t
1
，t
2
是点A，B对应的参数，则t
1
＋t
2
＝，t
1
t
2
＝＞0.
93
|PA|＋|PB||t
1
＋t2
|
811
∴＋＝＝＝.
|PA||PB||PA|·|PB||t< br>1
t
2
|15
5．(本题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]
已知函数f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|，g(x)＝|x－a|＋|x＋a|.
(1)解不等式f(x)＞9；
(2)?x
1
∈R，?x
2
∈R，使得f(x
1
)＝g(x
2
)，求实数a的取值范围．
?
解：(1)f(x)＝
?
2－x，－1＜x＜
1
，

2
?
－3x，x≤－1.

7
1
3x，x≥，< br>2

11
?
?
x≥
2
，
??
－1＜x＜
2
，
?
?
x≤－1，
f(x)＞ 9等价于
?
或
?
或
?

?
?
?< br>－3x＞9.
?
3x＞9
?
?
2－x＞9
综上，原不 等式的解集为{x|x＞3或x＜－3}．
(2)∵|x－a|＋|x＋a|≥2|a|.
由(1)知f(x)≥f
?
1
?
2
?
?
＝
3
2
，
所以2|a|≤
3
2
，
所以实数a的取 值范围是
?
?
－
3
4
，
3
4
?< br>?
.
8