高中数学立体几何练习题(精)

立体几何练习题
1.设α、β、γ为两两不重合的平面，l、m、n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③若α∥β，l?α，则l∥β；④若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，l∥γ，则m∥n．
其中真命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2.正方 体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，BD
1
与平面ABCD所成角的余弦值为（）
A． B．

3.三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，AA
1
=2且AA
1
⊥平面ABC，△ABC是
边长为的正三角形，该三棱柱的六个顶点都在一个球面上，则这个球
C D．
的体积为（）
A． 8π B． C． D． 8π
4.三个平面两两垂直 ，它们的三条交线交于点O，空间一点P到三个平面的距离分别为3、4、5，则OP
长为（）
A． 5 B． 2 C． 3 D． 5
5.如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）
A． AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C． SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D． AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
6.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，PD⊥ 底面ABCD，PD=AD=1，
设点CG到平面PAB的距离为d
1
，点B到平面P AC的距离为d
2
，则有（ ）
A． 1＜d
1
＜d
2

C． d
1
＜1＜d
2

B． d
1
＜d
2
＜1
D． d
2
＜d
1
＜1

7.在锐角的二面角错误!未找到引用 源。，错误!未找到引用源。，错误!未找
到引用源。，错误!未找到引用源。，若错误!未找到引用源 。与错误!未
引用源。所成角为错误!未找到引用源。，则二面角错误!未找到引用源。
___ _______.
8.给出下列四个命题：
(1)若平面错误!未找到引用源。上有不共线 的三点到平面错误!未找到
源。的距离相等，则错误!未找到引用源。；
(2)两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条平行直线；
.
找到
?

F
A
E
G
为
?

引用

(3)两条异面直线中的 一条平行于平面错误!未找到引用源。，则另一条必定不平行于平面错误!未找到引
用源。；
(4)错误!未找到引用源。为异面直线，则过错误!未找到引用源。且与错误!未找到引用源。平行的平面有且仅有一个．
其中正确命题的序号是_______________________
9.已知正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，点E是棱
A
1
B
1
的中点，则直线AE与平而
BDD
1
B
1
所成角的正
弦值是_________. < br>10.已知直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中，
?ABC?90
0
，
AC?AA
，
AB?2
，
M
为
BB
1
的中点，
1
?22
则
B
1
与平面
ACM
的距离为______
11.边 长分别为错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。的矩形，按图中所示虚线剪裁后，可将两个小
矩 形拼接成一个正四棱锥的底面，其余恰好拼接成该正四棱锥的4个侧面，则错误!未找到引用源。的取
值 范围是 ．
12.已知矩形
ABCD
的长
AB?4
，宽< br>AD?3
，将
其沿对角线
BD
折起，得到四面体
A?BCD< br>，如
图所示，
给出下列结论：
①四面体
A?BCD
体积的最大值为
72
；
5
A
4
B
D
4
C
4
D
3
3
3
A
B
3
C
4
②四面体
A?BCD
外接球的 表面积恒为定值；
③若
E、F
分别为棱
AC、BD
的中点，则恒有
EF?AC
且
EF?BD
；
④当二面角
A?BD?C
为直二面角时，直线
AB、CD
所成角的余弦值为
⑤当二面角
A?B D?C
的大小为
60
?
时，棱
AC
的长为
14．
5
16
；
25
其中正确的结论有 (请写出所有正确结论的序号)．
13.如图，在直三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，∠BAC=90°，AB=BB
1
，直线B
1< br>C与平面
ABC成30°角．
（I）求证：平面B
1
AC⊥平面ABB
1
A
1
；
（II）求直线A
1
C与平面B
1
AC所成角的正弦值．


.

14.如图，在三棱锥 P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已
知PA⊥AC，PA=AB=6，BC =8，DF=5．
（1）若PB⊥BC，证明平面BDE⊥平面ABC．
（2）求直线BD与平面ABC所成角的正切值．

15.如图，长方体ABCD﹣ A
1
B
1
C
1
D
1
中，AB=AD=1， AA
1
=2，点P为DD
1
的中点．
（1）求证：直线BD
1
∥平面PAC；
（2）求证：平面PAC⊥平面BDD
1
B
1
；
（3）求CP与平面BDD
1
B
1
所成的角大小．






16.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱
PB上
（1）求证：AC⊥平面PDB
（2）当PD=
小．





17.在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠AD C=45°，
AD=AC=1，O为AC中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD中点．
（Ⅰ）求证：PB∥平面ACM；
.
AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大

（Ⅱ）求证：AD⊥平面PAC；
（Ⅲ）求二面角M﹣AC﹣D的正切值．






18.如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底 面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面
BDE．
（1）证明：BD⊥平面PAC；
（2）若PA=1，AD=2，求二面角B﹣PC﹣A的正切值．





19.如图，直三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C< br>1
中，CA⊥CB，AA
1
=AC=CB=2，D是AB的中点．
（1）求证：BC
1
∥平面A
1
CD；
（2）求证：A
1
C⊥AB
1
；
（3）若点E在线段BB
1
上，且二面角E﹣CD﹣B的正切值是
三棱锥C﹣A
1
DE的体积 ．





20.如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是 正方形，每条侧棱的长都是底面边长
的倍，P为侧棱SD上的点．
，求此时
（1）求证：AC⊥SD；
.

（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P﹣AC﹣D的大小；
（3）在（2）的条件下，侧棱 SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若
不存在，试说明理由．

.

试卷答案

1.B： 解：若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能平行也可能相交，故①错误；
由于m，n不一定相交，故α∥β不一定成立，故②错误；
由面面平行的性质定理，易得③正确；
由线面平行的性质定理，我们易得④正确；
故选B
2.D
考点： 棱柱的结构特征．
专题： 空间角．
分析： 找出BD
1
与平面ABCD所成的角，计算余弦值．
解答： 解：连接BD，；
∵DD
1
⊥平面ABCD，∴BD是BD
1
在平面ABCD的射影，
∴∠DBD
1
是BD
1
与平面ABCD所成的角；
设AB =1，则BD=
∴cos∠DBD
1
==
，BD
1
=
=
，
；
故选：D．
点评： 本题以正方体为载体考查了直线与平面所成的角，是基础题．
3.C

考点： 球的体积和表面积．
专题： 计算题；空间位置关系与距离．
分析： 根据题意，正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的
体积．
解答： 解：由题意可知：正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，
因为△ABC是边长为
.
的正三角形，所以底面中心到顶点的距离为：1；

因为AA
1
=2且AA
1
⊥平面AB C，所以外接球的半径为：r=
所以外接球的体积为：V=πr=π×（
故选：C．
3
=
．
．
）=
3
点评： 本题给出正三棱柱有 一个外接球，在已知底面边长的情况下求球的体积．着重考查了正三棱柱
的性质、正三角形的计算和球的 体积公式等知识，属于中档题．
4.D

考点： 平面与平面垂直的性质．
专题： 计算题；空间位置关系与距离．
分析： 构造棱长分别为a，b，c的长方体，P到 三个平面的距离即为长方体的共顶点的三条棱的长，
OP为长方体的对角线，求出OP即可．
解答： 构造棱长分别为a，b，c的长方体，P到三个平面的距离即为长方体的共顶点的三条棱的长，
则a+b+c=3+4+5=50
因为OP为长方体的对角线．
所以OP=5
故选：D．
点评： 本题考查点、线、面间的距离计算，考查计算能力，是基础题．
5.D

考点： 直线与平面垂直的性质．
专题： 综合题；探究型．
分析： 根据SD⊥底面ABCD， 底面ABCD为正方形，以及三垂线定理，易证AC⊥SB，根据线面平行的判
定定理易证AB∥平面S CD，根据直线与平面所成角的定义，可以找出∠ASO是SA与平面SBD所成的角，
∠CSO是SC 与平面SBD所成的角，根据三角形全等，证得这两个角相等；异面直线所成的角，利用线线
平行即可求 得结果．
解答： 解：∵SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，
∴连接BD，则BD⊥AC，根据三垂线定理，可得AC⊥SB，故A正确；
∵AB∥CD，AB?平面SCD，CD?平面SCD，
∴AB∥平面SCD，故B正确；
∵SD⊥底面ABCD，
.
222222
．

∠ASO是SA与平面SBD所成的角，∠DSO是SC与平面SBD所成的，
而△SAO≌△CSO，
∴∠ASO=∠CSO，即SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角，故C正确；
∵AB∥CD，∴AB与SC所成的角是∠SCD，DC与SA所成的角是∠SAB，
而这两个角显然不相等，故D不正确；
故选D．
点评： 此题是个中档题．考查线 面垂直的性质定理和线面平行的判定定理，以及直线与平面所成的角，
异面直线所成的角等问题，综合性 强．
6.D

考点： 点、线、面间的距离计算．
专题： 综合题；空间位置关系与距离；空间角．
分析： 过C做平面PAB的垂线，垂足为E，连接BE，则 三角形CEB为直角三角形，根据斜边大于直角边，
再根据面PAC和面PAB与底面所成的二面角，能 够推导出d
2
＜d
1
＜1．
解答： 解：过C做平面PAB的垂线，
垂足为E，连接BE，
则三角形CEB为直角三角形，其中∠CEB=90°，
根据斜边大于直角边，得CE＜CB，即d
2
＜1．
同理，d
1
＜1．
再根据面PAC和面PAB与底面所成的二面角可知，前者大于后者，
所以d
2
＜d
1
．
所以d
2
＜d
1
＜1．
故选D．
点评： 本题考查空间距离的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意空间角的灵活运用．
7.错误!未找到引用源。

8.(2)(4)

9.
10

10
.

10.1

11.错误!未找到引用源。

12.②③④

13.

考点： 平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．
专题： 证明题．
分析： （I）欲证平 面B
1
AC⊥平面ABB
1
A
1
，关键是寻找线面垂直，而 AC⊥平面ABB
1
A
1
，又AC?平面B
1
AC，
满足面面垂直的判定定理；
（II）过A
1
做A
1
M⊥B
1
A
1
，垂足为M，连接CM，∠A
1
CM为直线A
1< br>C与平面B
1
AC所成的角，然后在三角形A
1
CM
中求出此 角的正弦值即可．
解答： 解：

（I）证明：由直三棱柱性质，B
1
B⊥平面ABC，
∴B
1
B⊥AC，又BA⊥AC，B
1
B∩BA=B，
∴ AC⊥平面ABB
1
A
1
，又AC?平面B
1
AC，
∴平面B
1
AC⊥平面ABB
1
A
1
．
（II）解：过A
1
做A
1
M⊥B
1
A
1
，垂足为M，连接CM，
∵平面B
1
AC⊥平面ABB
1
A，且平 面B
1
AC∩平面ABB
1
A
1
=B
1
A ，
∴A
1
M⊥平面B
1
AC．
∴∠A
1
CM为直线A
1
C与平面B
1
AC所成的角，
∵直线B
1
C与平面ABC成30°角，∴∠B
1
CB=30°．
.

设AB=BB
1
=a，可得B
1
C=2a，BC=，

∴直线A
1
C与平面B
1
AC所成角的正弦值为
点评： 本题主要考查了平面与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算
能力和推理 论证能力．
14.

考点： 直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．
专题： 空间位置关系与距离；空间角．
分析： （1）由已知得DE⊥AC，DE+EF=DF，从而DE⊥平面ABC，由此能证明平面BDE⊥平面ABC．
（2）由DE⊥平面ABC，得∠DBE是直线BD与平面ABC所成的角，由此能求出直线BD与平面 ABC所成角
的正切值．
解答： （1）证明：∵在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．
PA⊥AC，PA=AB=6，BC=8，DF=5，
∴DE⊥AC，DE=3，EF=4，DF=5，
∴DE+EF=DF，∴DE⊥EF，
又EF∩AC=F，∴DE⊥平面ABC，
又DE?平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．
（2）∵DE⊥平面ABC，∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，
∵PB⊥BC，∴AB⊥BC，
∴AC==10，∴，
222
222
由DE⊥平面ABC，得∠DBE是直线BD与平面ABC所成的角，
tan∠DBE==．
∴直线BD与平面ABC所成角的正切值为．
点评： 本题 考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正切值的求法，是中档题，解题时
要认真审题，注 意空间思维能力的培养．
15.

.

考点： 直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．
专题： 证明题．
分析： （1）设AC和BD交于点O，由三角形的中位线的性质可得PO∥BD
1
，从而证明直线BD
1
∥平面
PAC．
（2）证明AC⊥BD，D D
1
⊥AC，可证AC⊥面BDD
1
B
1
，进而证得平面P AC⊥平面BDD
1
B
1
．
（3）CP在平面BDD
1
B
1
内的射影为OP，故∠CPO是CP与平面BDD
1
B
1
所成的角，在Rt△CPO中，利用边角
关系求得∠CPO的大小．
解答： （1 ）证明：设AC和BD交于点O，连PO，由P，O分别是DD
1
，BD的中点，故PO∥BD
1
，
∵PO?平面PAC，BD
1
?平面PAC，所以，直线BD
1
∥平面PAC．
（2）长方体ABCD﹣A
1
B
1C
1
D
1
中，AB=AD=1，底面ABCD是正方形，则AC⊥BD， 又DD
1
⊥面ABCD，则DD
1
⊥AC．
∵BD?平面BDD< br>1
B
1
，D
1
D?平面BDD
1
B
1
，BD∩D
1
D=D，∴AC⊥面BDD
1
B
1
．∵AC?平面PAC，∴平面PAC⊥平面
BDD
1
B
1
． < br>（3）由（2）已证：AC⊥面BDD
1
B
1
，∴CP在平面BDD< br>1
B
1
内的射影为OP，∴∠CPO是CP与平面BDD
1
B
1
所成
的角．
依题意得，，在Rt△CPO中，，∴∠CPO=30°
∴CP与平面BDD
1
B
1
所成的角为30°．
点评： 本题考查证明线面平行、面面垂直的方法，求直线和平面所称的角的大小，找出直线和平面所
成的角是解 题的难点，属于中档题．
16.

考点： 直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．
专题： 综合题；空间位置关系与距离；空间角．
分析： （1）根据题意证明AC⊥BD，PD⊥AC，可得AC⊥平面PDB；
（2）设A C∩BD=O，连接OE，根据线面所成角的定义可知∠AEO为AE与平面PDB所的角，在Rt△AOE中< br>求出此角即可．
解答： （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AC，
又BD∩PD=D∴AC⊥平面PDB，（3分）
（2）设AC∩BD=O，连接OE，由（1）知AC⊥平面PDB于O，
.

∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，（5分）
又O，E分别为DB、PB的中点，
∴OE∥PD，OE=PD，
在Rt△AOE中，OE=PD=
∴∠AEO=45°，（7分）
即AE与平面PDB所成的角的大小为45°．（8分）
AB=AO，

点评： 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算< br>能力和推理论证能力，属于中档题．
17.

考点： 与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．
专题： 计算题．
分析： （Ⅰ）连接OM，BD，由M，O分别为PD和AC中点，知OM∥PB，由此能够证明PB∥平面ACM． < br>（Ⅱ）由PO⊥平面ABCD，知PO⊥AD，由∠ADC=45°，AD=AC=1，知AC⊥AD，由 此能够证明AD⊥平面PAC．
（Ⅲ）取DO中点N，连接MN，由MN∥PO，知MN⊥平面ABC D．过点N作NE⊥AC于E，由E为AO中点，
连接ME，由三垂线定理知∠MEN即为所求，由此能 求出二面角M﹣AC﹣D的正切值．
解答： （Ⅰ）证明：连接OM，BD，
∵M，O分别为PD和AC中点，
∴OM∥PB，
∵OM?平面ACM，PB?ACM平面，
∴PB∥平面ACM…．（4分）
（Ⅱ）证明：由已知得PO⊥平面ABCD
∴PO⊥AD，
∵∠ADC=45°，AD=AC=1，
∴AC⊥AD，
.

∵AC∩PO=O，AC，PO?平面PAC，
∴AD⊥平面PAC．…..（8分）
（Ⅲ）解：取DO中点N，连接MN，则MN∥PO，
∴MN⊥平面ABCD
过点N作NE⊥AC于E，则E为AO中点，
连接ME，由三垂线定理可知∠MEN即为二面角M﹣AC﹣D的平面角，
∵MN=1，NE=
∴tan∠MEN=2…..（13分）
点评： 本题考查直 线与平面平行、直线现平面垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认
真审题，仔细解答，注 意三垂直线定理的合理运用．
18.

考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．
专题： 空间位置关系与距离；空间角；立体几何．
分析： （1）由题设条件及图知，可先由线面垂直的性质 证出PA⊥BD与PC⊥BD，再由线面垂直的判定
定理证明线面垂直即可；
（2）由图可令 AC与BD的交点为O，连接OE，证明出∠BEO为二面角B﹣PC﹣A的平面角，然后在其所
在的三 角形中解三角形即可求出二面角的正切值．
解答： （1）∵PA⊥平面ABCD
∴PA⊥BD
∵PC⊥平面BDE
∴PC⊥BD，又PA∩PC=P
∴BD⊥平面PAC
（2）设AC与BD交点为O，连OE
∵PC⊥平面BDE
∴PC⊥平面BOE
∴PC⊥BE
∴∠BEO为二面角B﹣PC﹣A的平面角
∵BD⊥平面PAC
∴BD⊥AC
.

∴四边形ABCD为正方形，又PA=1，AD=2，可得BD=AC=2
∴OC=

，PC=3
在△PAC∽△OEC中，
又BD⊥OE，
∴
∴二面角B﹣PC﹣A的平面角的正切值为3

点评： 本题考查二面角的平面角的 求法及线面垂直的判定定理与性质定理，属于立体几何中的基本题
型，二面角的平面角的求法过程，作， 证，求三步是求二面角的通用步骤，要熟练掌握
19.

考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定．
专题： 综合题；空间位置关系与距离；空间角．
分析： （1）连接AC
1
交A
1
C于点F，由三角形中位线定理得BC
1
∥DF，由此能证明BC
1
∥平面A
1
CD．
（2）利用线面垂直的判定定理证明A
1
C⊥平 面AB
1
C
1
，即可证明A
1
C⊥AB
1
；
（3）证明∠BDE为二面角E﹣CD﹣B的平面角，点E为BB
1
的中点，确定 DE⊥A
1
D，再求三棱锥C﹣A
1
DE
的体积．
解答： （1）证明：连结AC
1
，交A
1
C于点F，则F为AC
1
中点，
又D是AB中点，连结DF，则BC
1
∥DF，
因为DF?平面A
1
CD，BC
1
?平面A
1
CD，
所以BC
1
∥平面A
1
CD．…（3分）
（2）证明：直三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，
因为AA
1
=AC，所以AC
1
⊥A
1
C…（4分 ）
因为CA⊥CB，B
1
C
1
∥BC，
所以B
1
C
1
⊥平面ACC
1
A
1
，所以B
1< br>C
1
⊥A
1
C…（6分）
.

因为B
1
C
1
∩AC
1
=C
1
， 所以A
1
C⊥平面AB
1
C
1

所以A
1
C⊥AB
1
…（8分）
（3）在直三棱柱ABC ﹣A
1
B
1
C
1
中，AA
1
⊥CD， < br>因为AC=CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB，CD⊥平面ABB
1
A
1
．
所以CD⊥DE，CD⊥DB，
所以∠BDE为二面角E﹣CD﹣B的平面角．
在Rt△DEB中，
由AA
1
=AC=CB=2，CA⊥CB，
所以
所以
又因为
故
所以
，．
．
，得BE=1．所以点E为BB
1
的中点．…（11分）
，，，A
1
E=3，
，故有DE⊥A
1
D
…（14分）

点评： 本题主要考查直线与平面平行、垂直等位置关系，考查线面 平行、二面角的概念、求法、三棱
锥C﹣A
1
DE的体积等知识，考查空间想象能力和 逻辑推理能力，是中档题．
20.

考点： 直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．
专题： 计算题；证明题；压轴题．
分析： （1）连BD，设AC交于BD于O，由题意知SO⊥平面ABC D．以O为坐标原点，分
别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系O﹣xyz，设底面边长为a，求出 高SO，从而得到点S与点C
和D的坐标，求出向量
.
与，计算它们的数量积，从而证明出OC⊥SD，则AC⊥SD；

（2）根据题意先求出平面PAC的一个法向量和平面DAC的一个法向量，设所求二面角为θ，则
，从而求出二面角的大小；
（3）在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC，根据（Ⅱ）知
求出，根据
是平面PAC的一个法向量，设，
可求出t的值，从而即当SE：EC=2：1时， ，而BE不在平面PAC内，
故BE∥平面PAC
解答： 证明：（1）连BD，设AC交于BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD．
以O为坐标原点，
分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系O﹣xyz如图．
设底面边长为a，则高
于是
，
，
故OC⊥SD
从而AC⊥SD
（2）由题设知，平面PAC的一个法向量
平面DAC的一个法向量．
，
，

．
，
设所求二面角为θ，则
所求二面角的大小为30°．
（3）在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC．
由（Ⅱ）知
且
设
则
，
是平面PAC的一个法向量，
，


.

而
即当SE：EC=2：1时，
而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC

点评： 本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及空间两直线的位置关系的判定和二面角的求法，< br>涉及到的知识点比较多，知识性技巧性都很强．


.