高中数学老师应聘试题

高中数学老师应聘专用试题

第I卷 选择题（共40分）

一、选择题：本大题共8小题，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1．设
i
为虚数单位，则复数
5?6i
i
?

（ ）
A．
6?5i
B．
6?5i
C．
?6?5i

2．设集合
U?{1,2,3,4,5,6}
，
M?{1,2,4}
，则
?
U
M?

（ ）
A．
U
B．
{1,3,5}
C．
{3,5,6}

3．若向量
BA?(2,3)
，
CA?(4,7)
，则
BC?

（ ）
A．
(?2,?4)
B．
(2,4)
C．
(6,10)

4．下列函数中，在区间
(0,??)
上为增函数的是
（ ）
x
A．
y?ln(x?2)
B．
y??x?1
C．
y?
?
?
1
?
?
2
?
?
?
y?2
5．已知变量
x
，
y
满足约束 条件
?
?
x?y?1
；则
z?3x?y
的最大值为
?
?
x?y?1
（ ）
A．
12
B．
11
C．
3

6．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为
（ ）
5
5
5
5
5
5
6
6
正视图
侧视图
俯视图
图1

A．
12
?
B．
45
?
C．
57
?

第1页（共4页）

D．
?6?5i


D．
{2,4,6}


D．
(6,?10)


D．
y?x?
1
x


D．
?1


D．
81
?

7．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其中个位数为0的概率是
（ ）
4121
A． B． C． D． < br>9399
8．对任意两个非零的平面向量
?
和
?
，定义
???
??
。若平面向量
a
，
b
满足
a?b?0
，
??
?
n
a
与
b
的夹角
??(0,)
，且
ab
和
ba
都在集合
{n?Z}
中，则
ab=

42
（ ）
135
A． B．
1
C． D．
222
第II卷 非选择题（共110分）

二．填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分
（一）必做题（9—12题）
9．不等式
x?2?x?1
的解集为 。
1
??
10．
?
x
2
?
?
的 展开式中
x
3
的系数为 。（用数字作答）
x??
2
11．已知递增的等差数列
{a
n
}
满足
a
1
?1
，
a
3
?a
2
?4
， 则
a
n
?
。
12．曲线
y? x
3
?x?3
在点
(1,3)
处的切线方程为 。
13．执行如图2所示的程序框图，若输入
n
的值为8，则输出
s
的值为 。
开始
输入n
6
i?2
，
k?1
，
s?1

i?n

否
输出s
A
结束
O
B
C
P
1
s?(s?i)
k

是
i?i?2

k?k?1

图2
图3

（二）选做题：（14—15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题 ）在平面直角坐标系
xOy
中，曲线
C
1
和
C
2< br>从参数方程分别为
?
?
?
x?t
?
x?2cos?
（为参数）和（
?
为参数）。则曲线
C
1
与
C
2
的交点坐标为 。
t
?
?
??
?
y?t
?
y?2sin
?
15．（几何证明选讲选 做题）如图3，圆
O
点半径为1，
A
、
B
、
C是圆周上的三点，满足
?ABC?30
，过点
A
作圆O的切线与OC的延 长线交于点
P
，则
PA?
。

三．解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16．（本小题满分12分）
?
已知函数
f(x)?2cos(
?
x?)
（其中
?
?0
，
x?R
）的最小正周期为< br>10
?
。
6
第2页（共4页）

（1）求
?
的值；
?
56516
（2）设
?
,
?
?[0,]
，
f(5
?
?
?
)??
，
f(5
?
?
?
)?
，求
cos(
?
?
?
)
的值。
235617







第3页（共4页）

17．（本小题满分13分）
某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直 方图如图4所示，其中成绩分组区间是：
[40，50)
，
[50，60)
，
[60，70)
，
[70，80)
，
[80，90)
，[90，100)
。
（1）求图中
x
的值；
（2）从成绩不 低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的
人数记为
?，求
?
得数学期望。
频率
组距
0.054




x
0.01
0.006
0 40 50 60 70 80 90 100
成绩
图4


18．（本小题满分13分）
如图5所示，在四棱锥
P?ABCD
中，底面
ABCD
为矩形，
PA?
平面
ABCD
，点E
在线段
PC
上，
PC?
平面
BDE
。
（1）证明：
BD?
平面
PAC
；
（2）若
PA ?1
，
AD?2
，求二面角
B?PC?A
的正切值；
P

A
E
D
B
图5
C




19．（本小题满分14分）
设数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，满足
2S
n
?a
n?1
?2
n?1
?1
，
n?N
*
，且
a
1
，
a
2
?5
，
a3
成等差数列。
（1）求
a
1
的值；
（2）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（3）证明：对一切正整数
n
，有




1113
???????
。
a
1
a
2
a
n
2
第4页（共4页）

20．（本小题满分14分）
x
2
y
2
2
在平面直角坐标系
xOy
中，已知椭圆
C
：
2
?< br>2
?1(a?b?0)
的离心率
e?
，且椭圆
C
上< br>ab
3
的点到点
Q(0,2)
的距离的最大值为
3
。
（1）求椭圆
C
的方程；
（2）在椭圆
C
上，是否存在点
M(m,n)
，使得直线
l
：
mx?ny?1
与圆
O
：
x
2
?y
2
?1
相交于
不同的两点< br>A
、
B
，且
?OAB
的面积最大？若存在，求出点
M
的坐标及相对应的
?OAB
的面
积；若不存在，请说明理由。




















21．（本小题满分14分）
设
a?1
，集合
A?{x?Rx?0 }
，
B?{x?R2x
2
?3(1?a)x?6a?0}
，
（1）求集合
D
（用区间表示）；
（2）求函数
f(x)?2x
3
?3(1?a)x
2
?6ax
在
D
内的极值点。









第5页（共4页）
D?AB
；

参考答案
选择题答案：1-8： DCAAB CDC
填空题答案：
1
??
9.
?
??,?
?

2
??
10. 20
11.
2n?1

12.
y?2x?1

13. 8
14.
?
1,1
?

15.
3

解答题
16.
1
（1）
?
?

5
3
?
?
6
?
（2）代入得
2cos
?
?
??
??
?sin
?
?

5
2
?
5
?

2cos
?
?
168
?cos
?
?

1717
?
?
?
∵
?
,
?
?
?
0,
?

?
2
?
415
∴
cos
?
?,sin
?
?

517
4831513
∴
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
si n
?
??????

51751785
17.
（1）由< br>30?0.006?10?0.01?10?0.054?10x?1
得
x?0.018

（2）由题意知道：不低于80分的学生有12人，90分以上的学生有3人
随机变量
?
的可能取值有0,1,2
C
9
2
6
P
?
?
?0
?
?
2
?

C
12
11
11
C
9
C
9
P
?
?
?1
?
?
2
3
?
C< br>12
22
C
3
2
1
P
?
?
?2
?
?
2
?

C
12
22
第6页（共4页）

∴
E
?
?0?
18.
6911
?1??2??

1122222
（1）∵
PA?平面ABCD

∴
PA?BD

∵
PC?平面BDE

∴
PC?BD

∴
BD?平面PAC

（2）设AC与BD交点为O，连
OE

∵
PC?平面BDE

∴
PC?OE

又∵
BO?平面PAC

∴
PC?BO

∴
PC?平面BOE

∴
PC?BE

∴
?BEO
为二面角
B?PC?A
的平面角
∵
BD?平面PAC

∴
BD?AC

∴
四边形ABCD为正方形

∴
BO?2

在
?PAC中
，
OEPAOE12

????OE?
OCAC3
2
3
BO
?3

OE
∴ 二面角
B?PC?A
的平面角的正切值为3
∴
tan?BEO?
19.
（1）在
2S
n
?a
n ?1
?2
n?1
?1
中
令
n?1
得：
2S
1
?a
2
?2
2
?1

令
n?2
得：
2S
2
?a
3
?2
3
?1

解得：
a
2
?2a
1
?3
，a
3
?6a
1
?13

又
2
?
a
2
?5
?
?a
1
?a
3

解得
a
1
?1

第7页（共4页）

（2）由
2S
n
?a
n?1
?2
n?1
?1
2S
n?1
?a
n?2
?2
n?2
?1
得
a
n?2
?3a
n?1
?2
n?1

又< br>a
1
?1,a
2
?5
也满足
a
2
? 3a
1
?2
1

所以
a
n?1
?3an
?2
n
对n?N
?
成立
∴
a
n ?1
+2
n?1
?3
?
a
n
?2
n
?

∴
a
n
?2
n
?3
n

∴
a
n
?3
n
?2
n

（3）
（法一）∵
a
n
?3
n
?2
n< br>?
?
3?2
?
?
3
n?1
?3
n? 2
?2?3
n?3
?2
2
?...?2
n?1
?< br>?3
n?1

∴
11
?
n?1

a
n
3
?
?
1
?
n
?
1?
?
1?
??
?
?
?
3
?
?
31 111111
?
?
∴
???...?1??
2
?...?< br>n?1
?
?
1
a
1
a
2
a
3
a
n
3332

1?
3
（法二）∵
a< br>n?1
?3
n?1
?2
n?1
?2?3
n
? 2
n?1
?2a
n

∴
111
??

a
n?1
2a
n
111
??

a
3
2a
2
111
??

a
4
2a
3
111
??

a
5
2a
4
当
n?2
时，
………
111

??
a
n
2a
n?1
1
?
1
?
累乘得：
?
??
a
n
?
2
?
n?2
?
a
2
1

第8页（共4页）

1111111
?
1
?
∴
???...?1????...?
??
a
1
a
2
a
3
a
n
525
?
2
?
20.
（1）由
e?
n?2
173
???

552
2
得
a
2
?3b
2
，椭圆方程为
x
2< br>?3y
2
?3b
2

3
22
椭圆上的点到点 Q的距离
d?x
2
?
?
y?2
?
?3b
2
?3y
2
?
?
y?2
?

??2y
2
?4y?4?3b
2
?
?b?y?b
?

当①
?b??1
即
b?1
,
d
max
?6?3b
2
?3
得
b?1

当②
?b??1
即
b ?1
,
d
max
?b
2
?4b?4?3
得
b?1
（舍）
∴
b?1

x
2
∴ 椭圆方程为
?y
2
?1

3
11
OA?OBsin?AOB?sin?AOB

22
1
当
?AOB?90
，
S
?AOB
取最大值，
2
（2）
S
?AOB
?
点O到直线
l
距离
d ?
∴
m
2
?n
2
?2

m
2
?n
2
?1
又∵
3
31
解 得：
m
2
?,n
2
?

22
1
m
2
?n
2
?
2

2
?
62
??
62
??
62
??
62< br>?
所以点M的坐标为
?
,或?,或,?或?,?
??
?
22
?
?
?
?
22
?
?
?
?< br>2
?
?
?
2
?

22
????????
?AOB
的面积为
1

2
21.
（1）记
h
?
x
?
?2x2
?3
?
1?a
?
x?6a
?
a?1
?

a
?

??9
?
1?
2
?48a
?
?a3
??
?1a3
?
?

9
1
① 当
??0
，即
?a?1
，
D?< br>?
0,??
?

3
1
② 当
0?a?
，
3
第9页（共4页）

?
3 ?3a?9a
2
?30a?9
??
3?3a?9a
2
?30 a?9
?
D?
?
0,,??
?

?
??
????
44
????
?
3?3a?9a
2
?30a?9
?
a?0
,??
?
③ 当，
D?
?
??
4
??
（2）由
f
?
?
x
?
?6x
2
?6
?
1?a
?
x?6a?0得x=1， a
得
1
① 当
?a?1
，
f
?
x
?
在D内有一个极大值点a，有一个极小值点1

3
1
② 当0?a?
，∵
h
?
1
?
?2?3
?
1 ?a
?
?6a=3a?1?0

3
h
?
a
?
?2a
2
?3
?
1?a
?
a?6a=3a?a< br>2
?0

∴
1?D,a?D

∴
f
?
x
?
在D内有一个极大值点a

③ 当
a?0
，则
a?D

又∵
h
?1
?
?2?3
?
1?a
?
?6a=3a?1?0

∴
f
?
x
?
在D内有无极值点


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