高中数学抛物线经典例题

抛物线
（1）抛物线——二次曲线
【例1】P为抛物线
y?2px
上任一点，F为焦点，则以PF为直径的圆与y轴（ ）
2
A.
相交
B.
相切
C.
相离
D.
位置由P确定
?
p
?
【解析】如图，抛物线的焦点为
F
?
,0
?
，准线是
Y
?
2
?
P
Q
H
p
l :x??
.作PH⊥
l
于H，交y轴于Q，那么
PF?PH
， 2
N
M
p
且
QH?OF?
.作MN⊥y轴于N则MN是 梯形PQOF的
2
O
F(
p
,0)
111
2中位线，
MN?
?
OF?PQ
?
?PH?PF
.故以
222
p
X
l:x=-
PF为直径的圆与y轴相切，选B.
y
2
=2px
2
【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则
分别是相离或相交的.
（2）焦点弦——常考常新的亮点弦
有关抛物线的试题，许 多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的.
【例2】 过 抛物线
y?2px
?
p?0
?
的焦点F作直线交抛物线于
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
两点，求证：
2
（1）
AB?x
1
?x
2
?p
（2）
112
??

AFBFp
【证明】（1）如图设抛物线的准线为
l
，作
p
AA
1
?l
A
1
,BB
1
?l于B
1< br>，则AF?AA
1
?x
1
?
，
2
p
BF?BB
1
?x
2
?
.两式相加即得：
2
AB?x
1
?x
2
?p

（2）当AB⊥x轴时，有
Y
A
1
A(x,y)
1
1
X
?
AF?BF?p，
112
??
成立；
A FBFp
F
B
1
B(x,y)
2
2
l
当A B与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为：
p
??
y?k
?
x?< br>?
.代入抛物线方程：
2
??
p
2
2
p< br>?
222
2
?
k?0
k
?
x?
?< br>?2px
.化简得：
kx?p
?
k?2
?
x?
?
1
?

4
2
??
k
2
∵方程 （1）之二根为x
1
，x
2
，∴
x
1
?x
2
?
.
4
x
1
?x
2
?p
11 1111
??????
pp
2
AFBFAA
1
BB
1
x?
p
x?
p

x
1
x
2?
?
x
1
?x
2
?
?
12
2 2
24
2
x
1
?x
2
?px
1
? x
2
?p
2
??
.
p
p
2
pp
2
p
?
x
1
?x
2
?p
?
?
?
x
1
?x
2
?
?
2
424
112
??
成立. 故不论弦AB与x轴是否垂直，恒有
AFBFp
?

（3）切线——抛物线与函数
.

【例3】证明： 过抛物线
y?2px
上一点M（x
0
，y
0
）的切线方程是 ：y
0
y=p（x+x
0
）
2
?y
?
?
【证明】对方程
y?2px
两边取导数：
2y?y
?
?2p ，
k?y
?
x?x
0
2
p
.切线的斜率

y
?
pp
.由点斜式方程：
y?y
0
?
?
x?x
0
?
?y
0
y?px?px
0
?y
0
2
y
0
y
0
?
1
?

2
Qy
0
?2px
0
，代入（）即得：1
y
0
y=p（x+x
0
）

（4）定点与定值——抛物线埋在深处的宝藏
2
例如：1.一动圆的圆心在抛物线< br>y?8x
上，且动圆恒与直线
x?2?0
相切，则此动圆必过定点
（ ）
A.
?
4,0
?
2
B.< br>?
2,0
?
C.
?
0,2
?
D.
?
0,?2
?

显然.本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B.
2.抛物线
y?2px
的通径长为2p；
2
2
3.设抛物 线
y?2px
过焦点的弦两端分别为
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
，那么：
y
1
y
2
??p

以下再举一例 【例4】设抛物线
y?2px
的焦点弦AB在其准线上的射影是A
1
B< br>1
，证明：以A
1
B
1
为直径的圆必过一定点
【分 析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么A
1
B
1
=AB=2p，而A< br>1
B
1
与AB的距离为p，可知该圆必过抛物线的
焦点.由此我们猜想 ：一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对AB的一般情形给于证明.
【证明】如图设焦点两端分 别为
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?< br>x
2
,y
2
?
，
那么：
y
1y
2
??p?CA
1
?CB
1
?y
1
y
2
?p.

设抛物线的准线交x轴于C，那么
CF?p.

2
2
22
A
1
Y
1
A
M
C
F
X
??A
1
FB
1
中CF?CA
1< br>?CB
1
.故?A
1
FB
1
?90?
.
这就说明：以A
1
B
1
为直径的圆必过该抛物线的焦点.
B
1
B

● 通法 特法 妙法
（1）解析法——为对称问题解困排难
解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题等）.
【例5】（07.四川文科卷.10题）已知抛物线
y=-x
2
+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点
Y
A、B，则|AB|等于（ ）
A.3 B.4 C.3
2
D.4
2

【分析】直线AB必与直线x+y=0垂直，且线段
AB的中点必在直线x+y=0上，因得解法如下.
【解析】∵点A、B关于直线x+y=0 对称，∴设直线AB的方程
B
M
为：
y?x?m
. ?
y?x?m
由
?
?x
2
?x?m?3?0
?
1
?

2
y??x?3
?
设方程（1）之两根为x
1
，x
2
，则
x
1
?x
2
??1
.
设AB的中点为M（x
0
，y
0
），则
x0
?
A
O
X
l?x+y=0
x
1
?x
2
1
1
??
.代入x+y=0：y
0
=.故有22
2
2
从而
m?y?x?1
.直线AB的方程为：
y ?x?1
.方程（1）成为：
x?x?2?0
.解得：
，B（1，2）.
?AB?32
，选C.
x??2,1
，从而y??1,2
，故得：A（-2，-1）
?
11
?
M
?
?,
?
.
?
22
?

（2）几何法——为解析法添彩扬威
虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是 难以避免的繁杂计算，这又使得许多考生对解析几何习
题望而生畏.针对这种现状，人们研究出多种使计 算量大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法.
2
【例6】（07.全国1卷.1 1题）抛物线
y?4x
的焦点为
F
，准线为
l
，经过
F
且斜率为
3
的直线与抛物线在
x
轴
.

上方的部分相交于点
A
，
AK⊥l
， 垂足为
K
，则
△AKF
的面积（ ）
A．
4
B．
33
C．
43
D．
8

【解析】如图直线AF的斜率为
3
时∠AFX=60°.
△AFK为正三角形.设准线
l
交x轴于M，则
FM?p?2,
< br>且∠KFM=60°，∴
KF?4,S
?AKF
?
Y
K
A
3
2
?4?43
.选C.
4
【评注】（1）平面几何知识：边长为a的正三角形的
3
2
a
计算. 面积用公式
S
?
?
460°
M
O
F(1,0)
X
（2）本题如果用解析法 ，需先列方程组求点A的坐标，，再计算正三角形的边长和面
L:x=-1
2
=2px
Y
积.虽不是很难，但决没有如上的几何法简单.

（3）定义法——追本求真的简单一着
许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真，用最原始的定义去做，反而特别简单.
【例7】（07.湖北卷.7题）双曲线
x
2
y
2
C1
:
2
?
2
?1(a?0，b?0)
的左准线为
l
，左焦点和右焦点分别为
F
1
和
F
2
；抛物线
C
2
的线为
l
，焦点为
ab
FFMF
1< br>F
2
；C
1
与
C
2
的一个交点为
M
，则
12
?
等于（ ）
MF
1
MF
2
11
A．
?1
B．
1
C．
?
D．
22
【分析】 这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用不上，那 么就从最原始的定义
方面去寻找出路吧.
如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半
焦距c，离心率为e，作
MH?l于H
，令

MF
1< br>?r
1
,MF
2
?r
2
.∵点M在抛物线上， MF
1
MF
1
r
1
?MH?MF
2
? r
2
,故???e
，
MHMF
2
r
2
| MF
1
|
这就是说：的实质是离心率e.
|MF
2
||FF|
其次，
12
与离心率e有什么关系？注意到：
|MF
1
|
H
y
r
2
O
a
2
c
M(x,y)
r
1
F
1(-c,0)
l:x=-
r
2
F
2
(c,0)
x
F
1
F
2
2ce?2a
e
?
r
1
?r
2
?
?
1
?
????e
?
1?
?
?e?1
.
MF
1
r
1
r
1
r
1
?
e
?
这样，最后的答案就自然浮出水面了：由于

|F
1
F< br>2
||MF
1
|
??
?
e?1
?
? e??1
.∴选 A..
|MF
1
||MF
2
|


（4）三角法——本身也是一种解析
三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段 ，可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函
数，然后根据各种三角关系实施“九九 归一”——达到解题目的.
因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源，常可以摆脱困境，简化计算.
线
y
2
?8x
的
【例8】（07.重庆文科.21题）如图，倾斜角为a的直线经 过抛物
焦点F，且与抛物线交于A、B两点。
（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；
（Ⅱ）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交
x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。
A
M
.

【解析】（Ⅰ）焦点F（2，0），准线
l;x??2
.
（Ⅱ）直线AB：
y?tan
?
?
x?2
??
1
?
.

?
2
?

y
2
x?
代入（1），整理 得：
y
2
tan
?
?8y?16tan
?
?08
8
?
y?y?
?
2
设方程（2）之二根为y
1
，y
2
，则
?
1
tan
?
.
?
?
y
1
?y
2
??16
y
1
? y
2
4
?
??4cot
?
?
y
0
?
设AB中点为
M
?
x
0
,y
0
?
,则
?

2tan
?
2
?
?
x
0
?cot
?
?y
0
?2?4cot
?
?2
AB的垂直平分线方程是：
y?4cot
?
??cot
?
?
x?4cot
2
?
?2
?
.
令y=0，则
x? 4cot
2
?
?6，有P4cot
2
?
?6，0

故
FP?OP?OF?4cot
2
?
?6?2?4cot
2
?
?1?4cos
2
?

于是|FP|-|FP|cos2 a=
4csc
2
??
??
?
?
1?cos2
?
?
?4csc
2
?
?2sin
2
?
? 8
，故为定值.

（5）消去法——合理减负的常用方法.
避免解析几何 中的繁杂运算，是革新、创新的永恒课题.其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而不求，它类似
兵法上 所说的“不战而屈人之兵”.
【例9】 是否存在同时满足下列两条件的直线
l
：（ 1）
l
与抛物线
y?8x
有两个不同的交点A和B；（2）线段
AB 被直线
l
1
：x+5y-5=0垂直平分.若不存在，说明理由，若存在，求出直线< br>l
的方程.
【解析】假定在抛物线
y?8x
上存在这样的两点
A
?
x
1
，y
1
?
，B
?
x< br>2
，y
2
?
.则有：

2
2
?y
1
2
?8x
1
?
y
1
?y
2
?
?
8

?y?yy?y?8x?x
?k?
?? ????
?
2
121212
AB
y?8x
?
x1
?x
2
??
y
1
?y
2
?
?
22
8
1
?5
∵线段AB被直线
l
1
：x+5y-5=0垂直平分，且
k
l
1
??，?k
AB
? 5，即
y?y
5
?
12
?
8
?y
1
?y
2
?
.
5
y?y
2
4
设线段AB 的中点为
M
?
x
0
，y
0
?
，则y
0
?
1
?
.代入x+5y-5=0得x=1.于是：
25
?
4
?
AB中点为
M
?
1，
?
.故存在 符合题设条件的直线，其方程为：
?
5
?
4
25x?5y?21?0

y??5
?
x?1
?
，即：
5

（6）探索法——奔向数学方法的高深层次
有一些解析几何习题，初看起来好似“树高荫深， 叫樵夫难以下手”.这时就得冷静分析，探索规律，不断地猜
想——证明——再猜想——再证明.终于发 现“无限风光在险峰”.
【例10】（07.安徽卷.14题）如图，抛物线y=-x
2+1与x轴的正半轴交于点A，将线段OA的n等分点从左至右
依次记为P
1
,P
2
,…,P
n-1
,过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q
1
，Q
2
，…，Q
n-1
，从而得到n-1
个直角 三角形△Q
1
OP
1
, △Q
2
P
1
P
2
,…, △Q
n-1
P< br>n-1
P
n-1
,当n→∞时，这些三角形的面积之和的极限
为 .
1
【解析】∵
OA?1，?图中每个直角三角形的底边长均为

n
k
2
?
k
?
2
0
?
. 代入y??x?1：y?1?
2
.
设OA上第k个分点为
P
k
?
，
nn
??
.

第k个三角形的面积为：
a
k
?
11
?
k
?
?
?
1?
2
?
.

2n
?
n
?
2
1
2
?2
2
?
L
?
?
n?1
?
1
?

?S
n?1
?
?
?
n?1
?
?
2
2n
?
n
?
?
?
n?1
??
4n?1< br>?
.
?
?
2
12n
?
?
?
n?1
??
4n?1
?
?
1
lim
?
1 ?
1
??
4?
1
?
?
1
故这些三角形的面 积之和的极限
S?lim

????
n??
12n
2
12
n??
?
n
??
n
?
3
抛物线定义 的妙用
对于抛物线有关问题的求解，若能巧妙地应用定义思考，常能化繁为简，优化解题思路，提高思 维能力。现举例
说明如下。
一、求轨迹（或方程）
例1. 已知动点M的坐标满足方程
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 以上都不对
，则动点M的轨迹是（ ）
解：由题意得：
即动点到直线

的距离等于它到原点（0，0）的距离
为准线的抛物线。 由抛物线定义可知：动点M的轨迹是以原点（0，0）为焦点，以直线
故选C。
二、求参数的值
例2. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点
解 ：设抛物线方程为，准线方程：
∵点M到焦点距离与到准线距离相等

解得：


∴抛物线方程为
把
三、求角
代入得：

到焦点距离为5，求m的值。
例3. 过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A 、B在抛物线准线上的射影分别为
__________。
A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°
，则

图1
解：如图1，由抛物线的定义知：

则
由题意知：


.

即
故选C。
四、求三角形面积
例4. 设O为抛物线的顶点，F为抛物线的焦点且PQ为过焦点的弦，若
解析：如图2，不妨设抛物线方程为，点、点
，。求△OPQ的面积。

图2
则由抛物线定义知：
又
由
即
，则
得：






又PQ为过焦点的弦，所以
则
所以， < br>点评：将焦点弦分成两段，利用定义将焦点弦长用两端点横坐标表示，结合抛物线方程，利用韦达定理是常 见的
基本技能。
五、求最值
例5. 设P是抛物线上的一个动点。
（1）求点P到点A（-1，1）的距离与点P到直线的距离之和的最小值；
（2）若B（3，2），求的最小值。
解：（1）如图3，易知抛物线的焦点为F（1，0），准线是
由抛物线的定义知：点P到直线的距离等于点P到焦点F的距离。
于是，问题转化为：在曲线 上求一点P，使点P到点A（-1，1）的距离与点P到F（1，0）的距离之和最小。
显然，连结AF交曲线于P点，则所求最小值为，即为。

图3
（2）如图4，自点B作BQ垂直准线于Q交抛物线于点
，则有
，则

.

即的最小值为4
图4
点评：本题利 用抛物线的定义，将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，从而构造出“两点间线
段距离 最短”，使问题获解。
六、证明
例6. 求证：以抛物线过焦点的弦为直径的圆，必与此抛物线的准线相切。
证明：如图5，设抛物线的准线为 ，过A、B两点分别作AC、BD垂直于，垂足分别为C、D。取线段AB中点M，
作MH垂直于H。


图5
由抛物线的定义有：

∵ABDC是直角梯形

即为圆的半径，而准线过半径MH的外端且与半径垂直，故本题得证。
抛物线与面积问题
抛物线与面积相结合的题目是近年来中考数学中常见的问题。解答此类问题 时，要充分利用抛物线和面积的有关
知识，重点把握相交坐标点的位置及坐标点之间的距离，得出相应的 线段长或高，从而求解。
例1. 如图1，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（ －1，0）。点
C（0，5）、点D（1，8）在抛物线上，M为抛物线的顶点。


图1
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△MCB的面积。
解：（1）设抛物线的解析式为
，根据题意得
.

，解得
∴所求的抛物线的解析式为

（2）∵C点坐标为（0，5），∴OC＝5
令，则，
解得
∴B点坐标为（5，0），OB＝5
∵
∴顶点M的坐标为（2，9）
过点M作MN⊥AB于点N，
则ON＝2，MN＝9
∴
，


例2. 如图2，面积为18的等腰直角三角形OAB的一条直角边OA在x轴上，二次函数
图像过原点、A点和斜边OB的中点M。
的

图2
（1）求出这个二次函数的解析式和对称轴。
（2）在坐标轴上是否存一点P，使△PMA中 PA＝PM，如果存在，写出P点的坐标，如果不存在，说明理由。
解：（1）∵等腰直角△OAB的面积为18，
∴OA＝OB＝6
∵M是斜边OB的中点，
∴
∴点A的坐标为（6，0）
点M的坐标为（3，3）
∵抛物线
∴，解得
∴解析式为，
对称轴为
（2）答：在x轴、y轴上都存在点P，使△PAM中PA＝PM。
①P点在x轴上，且满足PA＝PM时，点P坐标为（3，0）。
②P点在y轴上，且满足PA＝PM时，点P坐标为（0，－3）。
.

例3. 二次函数
（0，1）。
的图像一部分如图3，已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B

图3
（1）请判断实数a的取值范围，并说明理由。
（2）设此二次函数的图像与 x轴的另一个交点为c，当△AMC的面积为△ABC面积的
解：（1）由图象可知：
当
当
时，应有，则
代入

。
，

，
可求得。
的图象以及分别过C（1，0）、D（4，0）


倍时，求a的值。
； ；图象过点（0，1），所以c＝1；图象过点（1，0），则
得，即
所以，实数a的取值范围为
（2）此时函数
要使
例4. 如图4，在 同一直角坐标系内，如果x轴与一次函数
两点且平行于y轴的两条直线所围成的图形ABDC的面积为7 。

图4
（1）求K的值；
（2）求过F、C、D三点的抛物线的解析式；
（3）线段CD上的一个动点P从点D出发， 以1单位秒的速度沿DC的方向移动（点P不重合于点C），过P点
作直线PQ⊥CD交EF于Q。当P 从点D出发t秒后，求四边形PQFC的面积S与t之间的函数关系式，并确定t
的取值范围。
解：（1）∵点A、B在一次函数
∴
且
∵四边形ABDC的面积为7
∴

的图象上，
.

∴。
（2）由F（0，4），C（1，0），D（4，0）得

（3）∵PD＝1×t＝t
∴OP＝4－t
∴


即
抛物线
。

22
6
xy
)
在椭圆Q1已知抛物线D：y
2
=4x的焦点与椭圆Q：
2
?
2?1(a?b?0)
的右焦点F
1
重合，且点
P(2,
2
ab
上。（Ⅰ）求椭圆Q的方程及其离心率；（Ⅱ）若倾斜角为45°的直线l过椭圆Q的左焦点F< br>2
，且与椭圆相交于
A，B两点，求△ABF
1
的面积。
解：（Ⅰ）由题意知，抛物线
y?4x
的焦点为（1，0）

22
∴椭圆Q的右焦点F
1
的坐标为（1，0）。∴
a?b?1
①

又点
P(2,

2
(2)
6
)
在椭圆Q上， ∴
?
2
2
a
22
2
(
6
2
)
23
2
?1
即
??1
②
2
22
b
a2b
x
2
y
2
cb
2
1
??1
∴离心离
e??1?
2
?
由①②，解得
a?4,b?3
∴椭圆Q的方程为
43
a2
a

（Ⅱ）由（Ⅰ）知F
2
（－1，0）∴直线l的方程为
y?0?tan45?(x?1)，即y?x?1
设
?
y?x?1
88
?
A(x
1
,y
1
)，B(x
2
, y
2
)
由方程组
?
x
2
y
2
消y整理，得
7x
2
?8x?8?0,?x
1
?x
2
??,x
1
x
2
??

77
?1
?
?
3
?
4

∴
|AB|?2|x
1
?x
2
|?2(x
1
?x
2
)?4x
1
x
2
?

又点F
1
到直线l的距离
d?
2
122
< br>7
|1?1|
1?(?1)
2
?2
∴
S
?A BF
1
?
1112212
|AB|d???2?

227 7
?
的直线l与线段OA相交(不经过点O
4
2如图所示，抛物线y
2
=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为
或点A)且交抛物线于M、N两点， 求△AMN面积最大时直线l的方程，并求△AMN的最大面积
?
y?x?m
解法一 由题意，可设l的方程为y=x+m,其中－5＜m＜0 由方程组
?
2
,消去y,得x
2
+(2m
?
y?4x

－4)x+m
2
=0 ①∵直线l与抛 物线有两个不同交点M、N，∴方程①的判别式
Δ
=(2m－4)
2
－

4m
2
=16(1－m)＞0,解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范围 为(－5，0)
y
N
o
M
B
A
x
.

设M(x
1
,y
1
),N (x
2
,y
2
)则x
1
+x
2
=4－2m ，x
1
·x
2
=m
2
,∴|MN|=4
2(1?m )
点A到直线l的距离为d=
5?m
2


∴S< br>△
=2(5+m)
1?m
,从而S
△
2
=4(1－m )(5+m)
2
=2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤2(
2?2m?5?m? 5?m
3
)=128
3

∴S
△
≤8
2
,当且仅当2－2m=5+m,即m=－1时取等号 故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面
积为8
2


解法二 由题意，可设l与x轴相交于B
（
m,0
）
, l的方程为x = y +m,其中0＜m＜5

?
x?y?m
由方程组
?
2
,消去x,得y
2
－4 y －4m=0 ①∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N，
?
y?4x

∴方程①的判别式
Δ
=(－4)
2< br>+16m=16(1+m)＞0必成立,设M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
)则y

1
+ y

2
=4，y

1
·y

2
=－4m,

∴S
△
=

4
(?
11
(5? m)|y
1
?y
2
|?(5?m)(y
1
?y
2< br>)
2
?4y
1
y
2
＝
22
1m)
2
5151
(1?m)
=4
(?m)(?m)(1?m)< br>
2222
3
5
2
51
?
51
?< br>(?m)?(?m)?(1?m)
??
51
22
∴S≤8,当且仅当< br>2
(?m)?(1?m)
即m=1时取等号
?4
?
22
?82
△
?
22
3
??
??
故直线l的方 程为y=x－1，△AMN的最大面积为8
2

3已知O为坐标原点，P(
a ,0
)(
a?0
)为
x
轴上一动点，过P作直线交抛物线
y ?2px(p?0)
于A、B两点，设
S
△AOB
=
t?tan?A OB
，试问：
a
为何值时，t取得最小值，并求出最小值。
解：交AB与
x
轴不重叠时，设AB的方程为
y?k(x?e)


合
?
2
?
y?k(x?a)
2
?
y?2px
消y可得：
kx?2(ka?p)x?ka?0

22222

设A
(x
1
,y
1
)
B
(x
2
,y
2
)
则
x
1
x
2
?a
2
，
y
1
y
2
??2Pa
交AB与x轴重叠

时，上述结论仍然成立

11
S
O
AOB?OA?OBsin?AOB?OA?OBcon?AOB?lin?AOB
∴
22

t?

1
OA?OBcon?AOB
又
OA?OB?con?AOB?OA?OB?x
1
x
2
?y
1
y
2
∴
2
p
2
11
2
12
1
2
当
a?p
时 取“=”， 综上 当
t ?(x
1
x
2
?y
1
y
2
)?(a?2a p)?(a?p)?p
≥
?
2
2222

e?p时

t
min

p
2
??

2
.

.