人教A版高中数学例题几何解答题

立体几何大题
1.在正三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，BC＝2BB
1
，E，F，M分别为A
1
C
1
，AB
1
，BC的中点．

(1)求证：EF∥平面BB
1
C
1
C；
(2)求证：EF⊥平面AB
1
M.
2.如图，在三棱锥A－BCD中，A B⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，
D不重合)分别在棱AD，BD 上，且EF⊥AD.

求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC. < br>3.如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AB∥CD，AB⊥BC，DC＝BC＝
1
AB＝1，点M在线段EC上．
2

(1)证明：平面BDM⊥平面ADEF；
(2)若AE∥平面MDB，求三棱锥E－BDM的体积．


1

4.如图，在直三棱柱ABC－DEF中，底面ABC的棱AB⊥ BC，且AB＝BC＝2.点G，H在侧
棱CF上，且CH＝HG＝GF＝1.

(1)证明：EH⊥平面ABG；
(2)求点C到平面ABG的距离．
5.已知三 棱锥A－BCD中，△ABC是等腰直角三角形，且AC⊥BC，BC＝2，AD⊥平面BCD，
AD＝ 1.

(1)求证：平面ABC⊥平面ACD；
(2)若E为AB的中点，求点A到平面CED的距离．
6.如图所示，在四棱锥P－ABC D中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，
PA＝AB＝BC，E是P C的中点．求证：

2

(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
7.如图，四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧 面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，
CD＝SD＝1.

(1)证明：SD⊥平面SAB；
(2)求四棱锥S－ABCD的高．
8.如图， 在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，BE⊥平面ABCD，DF∥BE，且DF
＝2BE ＝2，EF＝3.

(1)证明：平面ACF⊥平面BEFD.
1
(2)若cos∠BAD＝，求几何体ABCDEF的体积．
5
9.如图 所示，E是以AB为直径的半圆弧上异于A，B的点，矩形ABCD所在平面垂直于该
半圆所在的平面．

(1)求证：EA⊥EC；
(2)设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F.
求证：EF∥AB.
3

10.如图所示的 几何体ABCDFE中，△ABC，△DFE都是等边三角形，且所在平面平行，四
边形BCED是边长 为2的正方形，且所在平面垂直于平面ABC.

(1)求几何体ABCDFE的体积；
(2)证明：平面ADE∥平面BCF.
11.在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.

(1)已知AB＝BC，AE＝EC，求证：AC⊥FB；
(2)已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC.
12.如图所示，四 棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G，
E，F，H分别是棱PB ，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面
GEFH.

(1)证明：GH∥EF；
4

(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．
13.如图所示，在三棱柱A BC－A
1
B
1
C
1
中，侧棱AA
1
⊥底 面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，
AA
1
＝AB＝2.

(1)求证：AB
1
∥平面BC
1
D；
(2)设BC＝3，求四棱锥B－DAA
1
C
1
的体积．
14. 在如图1所示的多面体
ABCDEF
中，四边形
ABCD
是 正方形，
ED?
平面
ABCD
，
EDFC
，
ED?
1
FC
，
M
是
AF
的中点．
2
（Ⅰ）求证：
EM
平面
ABCD
；
（Ⅱ）求证：平面
AEF?
平面
FAC
．

15 .已知
PA?
矩形
ABCD
所在的平面，
M、N
分别为AB、PC
的中点．
（Ⅰ）求证：
MN
平面
PAD
；
0
（Ⅱ）若
?PDA?45
，求证：
平面
PMC?
平面
PCD
．
P
N
C
D
A
M
B
图16



5

16.如图，在直三棱柱
AB C?A
1
B
1
C
1
中，已知
AC?BC
，
BC?CC
1
，设
AB
1
的中点为
D
，< br>B
1
CBC
1
?E
.
11
C
； 求证：（I）
DE平面AAC
（II）
BC
1
?AB
1.



17.如图所示，在多面体
ABC?A
1< br>B
1
C
1
中，
D,E,F
分别是
AC,AB,CC
1
的中点，
AC?BC?4
，
AB?42
，
CC
1
?2< br>，四边形
BB
1
C
1
C
为矩形，平面
ABC ?
平面
BB
1
C
1
C
，
AA
1
CC
1


（1）求证：平面
DEF?
平面
AAC
11
C
；
（2）求直线
EF
与平面
ABC
所成的角的正切值.
18 .如图，在四棱锥
P?ABCD
中，侧棱
PA?
底面
ABCD
，底面
ABCD
是菱形，且
?BAD?
2
?
，点
M
是侧棱
PC
的中点.
3

（1）求证：直线
PA
平面
MDB
；
6

（2）若
PB?PD
，三棱锥
P?ABD
的体积是
6，求
PA
的值.
3
D
、
D
1
分别是 BC和
B
1
C
1
的中点. 19.如图,在所有棱长均为2的三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中,
（1）求证：
A
1
D
1
∥平面
AB
1
D
；
（2）若平面ABC⊥平面
BCC
1
B
1
,
?B
1
BC?60
O
,求三棱锥
B
1
?ABC
的体积.

20.如图,以
A
、
B
、
C
、
D
、
E
为顶点的六面体中,
?ABC
和
?AB D
均为等边三角形,且平
面
ABC?
平面
ABD
,
EC?
平面
ABC
,
EC?3,AB?2
．

(Ⅰ)求证:
DE
平面
ABC
；
(Ⅱ)求此六面体的体积．
AB?4
,
AA
1
?6
,
E
,
F
分别为
BB
1
,
AC
的中21.如图,在正三 棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中,
点.

（1）求证：平面
A
1
EC?
平面
ACC
1
A
1
；
（2）求几何体
AA
1
EBC
的体积.

7

D
为
AB
22.如图,在三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中,底面△ABC是等边三角形, 且
AA
1
?
平面ABC,
的中点.
(Ⅰ) 求证：直线
BC
1
∥平面A
1
CD；
(Ⅱ) 若
AB?BB
1
?2
,E是
BB
1
的中点,求三棱锥
A
1
?CDE
的体积．

23.在四棱锥
P?ABCD
中,
PA?
平面
ABCD
,
ADBC
,
AD?DC
,
AD?DC?PA?2
,
BC?4
,
E
为
PA
的中点,
M
为棱
BC
上一点．

（Ⅰ）当
BM
为何值时,有
EM
平面
PCD
；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下,求点
P
到平面
DEM
的距离．
24.如图1,在矩形
ABCD
中,
AB?4,AD?2
, E
是
CD
的中点,将
?ADE
沿
AE
折起,得 到
如图2所示的四棱锥
D
1
?ABCE
,其中平面
D
1
AE?平面ABCE
.

（I）证明:
BE?平面D
1
AE
；
8

（II）求三棱锥
C?BD
1
E
的体积.

25.已知三棱锥
P?ABC
中,
PA
⊥面
ABC
,
D
是
PC
的中点,
PD?DB
,
PA?AC?2 ,AB?4.

(Ⅰ)求证：
AB?AC
;
(Ⅱ)若
G
是
PB
的中点,则平面
ADG
将三棱锥
P?ABC
分成的两部分的体积之比.

26.如图,已知矩形
CDEF
所在的平面与 直角梯形
ABCD
所在的平面垂直,且
1
AB

CD,BC? CD,AB?1,BC?CD?2,MB

FC,MB
?
FC?3.P,Q分别为
2
BC,AE
的中点．
（I）求证：
PQ
平面
MAB
；
（II）求证：平面
EAC
⊥平面
MBD
．

2 7.如图,在三棱锥
????C
中,
?????
,
?C??C
,
?????
,
?C??C
,
D
、
?
、
F
分别
是
?C
、
?C
、
?C
的中 点．（I）证明：平面
D?F
平面
???
；
（II）若
???2?C?2
,求三棱锥
????C
的体积．

9

28.如图,在矩形
CDD< br>1
C
1
中,
AA
,AA
1
BB
1< br>CC
1
,
AB?2,AD?BC?1
1
?2
,将在矩 形

CDD
1
C
1
沿
AA
1
重合 （如图所示）
1
,BB
1
分别将四边形
AA
1
D< br>1
D,BB
1
C
1
C
折起,使
CC
1
与
DD
（Ⅰ）在三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中,取
AB
的中点
F
,求证：
CF?
平面
ABB
1
A
1
；
（Ⅱ） 当
E
为 棱
CC
1
中点时,求证：
CF
平面
AEB
1
.
C1
A1
B1
E
C
A
F
B

29.如图，在五面体
ABCDPN
中，棱
PA?
底面
AB CD
，
AB?AP?2PN
.底面
ABCD
是菱形，
?BAD?
2
?
.
3

（Ⅰ）求证：
PNAB
；
（Ⅱ）求二面角
B?DN?C
的余弦值.
3 0.如图,四棱锥
P?ABCD
的底面
ABCD
是平行四边形,侧面
PAD
是边长为2的正三角形,
AB?BD

?7
,
PB?3
.

（Ⅰ）求证：平面
PAD?
平面
ABCD
；
10

（Ⅱ）设
Q
是棱
PC
上的点,当
PA
平 面
BDQ
时,求二面角
A?BD?Q
的余弦值.

31. 如图四棱锥
P?ABCD
的底面
ABCD
为菱形,且
?ABC?60 ?
,
AB?PC?2
,
PA?PB?2
.
（Ⅰ）求证：平面
PAB?
平面
ABCD
；
（Ⅱ）二面角
P?AC?B
的余弦值.

32.如图,已知菱形< br>ABCD
与直角梯形
ABEF
所在的平面互相垂直,其中
BEAF ,
AB?AF
,
AB?BE?
1
?
AF?2
,
?CBA?
,
P
为
DF
的中点.
23

（Ⅰ）求证：
PE
∥平面
ABCD
；
（Ⅱ）求二面角
D－EF－A
的余弦值；
33.在四棱锥
P?ABCD
中,底面
ABCD
为平行四边形,
AB?3
,
AD?22
,
?ABC?45?
,
P
点在底面
ABCD
内的射影
E
在线段
AB
上, 且
PE?2
,
BE?2EA
,
F
为
AD
的中点,
M
在线段
CD
上,且
CM?
?
CD
．

（Ⅰ）当
?
?
2
时,证明：平面
PFM?
平面
PAB
；
3
11

（Ⅱ）当平面
PAM
与平面
ABCD
所成的二面角的正弦值为
的体积．
25时,求四棱锥
P?ABCM
5
34.如图,四棱锥
P?ABCD
底面为正方形,已知
PD?
平面
ABCD
,
PD?AD
, 点
M
为线
段
PA
上任意一点（不含端点）,点
N
在 线段
BD
上,且
PM?DN
.

（1）求证：直线
MN
平面
PCD
；
（2）若
M
为线段
PA
中点,求直线
PB
与平面
AMN
所成的 角的余弦值.
35.如图,四棱锥
P?ABCD
中,侧面
PAD?
底面
ABCD
,
ADBC
,
AD?DC
,
AD?DC?3
,
BC?2
,
PD?2PA?6
,点< br>F
在棱
PG
上,且
FC?2FP
,点
E
在棱
AD
上,且
PA
平面
BEF
.

（1）求证：
PE?
平面
ABCD
；
（2）求二面角
P?EB?F
的余弦值.
36.如图所示的几何体中,?ABC
内接于圆
O
,且
AB
是圆
O
的直径, 四边形
DCBE
为矩形,且
DC?AB
.
(Ⅰ)证明:
AD?BC
;
(Ⅱ)若
AB?4,BC?2
且二面角
A?BD?C
所成角
?
的余弦值是
5
,试求该几何 体
5
ABCDE
的体积.
12

37. 如图,矩形
CDEF
所在平面与直角梯形
ABCD
所在平面 垂直,其中
ABCD
,
AB?1,BC?
中点.
1
CD? 2
,
BC?CD
,
MBFC
,
MB?FC?3
.< br>P
、
Q
分别为
BC
、
AE
的
2（1）求证：
PQ
平面
MAB
；
（2）求二面角
A?EC?D
的余弦值.

38.已知三棱柱AB C－A
1
B
1
C
1
的侧棱长和底面边长均为2，A
1
在底面ABC内的射影O为底面
△ABC的中心，如图所示．

(1)连 接BC
1
，求异面直线AA
1
与BC
1
所成角的大小； < br>(2)连接A
1
C，A
1
B，求三棱锥C
1
－BCA
1
的体积．
39.如图所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝ 60°，PA＝AB＝AC＝2，E是
PC的中点．
13

(1)求证：AE与PB是异面直线；
(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值；
(3)求三棱锥A－EBC的体积．
40.如图所示，在三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，侧棱AA
1
⊥底面ABC，AB⊥BC，D 为AC的中点，
AA
1
＝AB＝2.

(1)求证：AB
1
∥平面BC
1
D；
(2)设BC＝3，求四棱锥B－DAA
1
C
1
的体积．
41.如图，在三棱锥P-ABC中，已知平面PBC⊥平面ABC.

(1)若AB⊥BC，且CP⊥PB，求证：CP⊥PA；
(2)若过点A作直线l⊥平面ABC，求证：l∥平面PBC.
42. 菱形ABCD与正 三角形BCE的边长均为2，且平面ABCD⊥平面BCE，FD⊥平面ABCD，
FD＝3.

14

(1)求证：EF∥平面ABCD；
(2)求证：平面ACF⊥平面BDF.
43.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 是平行四边形，且平面PAC⊥平面ABCD，E为
PD的中点，PA＝PC，AB＝2BC＝2，∠A BC＝60°.

(1)求证：PB∥平面ACE；
(2)求证：平面PBC⊥平面PAC.
44.如图，在四棱锥P- ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.

(1)求证：DC⊥平面PAC；
(2)求证：平面PAB⊥平面PAC；
(3)设点E为AB的中点．在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．
45.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，E为AC与BD的交点，PA⊥平面
ABCD，M为PA中点，N为BC中点．

(1)证明：直线MN∥平面PCD；
(2)若点Q为PC中点，∠BAD＝120°，PA＝3，AB＝1，求三棱锥A-QCD的体积．
46.如图，已知三棱锥A- BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，
且△PMB为正三角形．

15

(1)求证：BC⊥平面APC；
(2)若BC＝6，AB＝20，求三棱锥D-BCM的体积．
47.如图，在三棱锥P－A BC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段
AC的中点，E为线 段PC上一点．

(1)求证：PA⊥BD；
(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；
48.当PA∥平面BDE时，求三棱锥E－BCD 的体积．3．(2017·浙江卷)如图，已知四棱锥P
－ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直 角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC＝AD＝2DC
＝2CB，E为PD的中点．
(1)证明：CE∥平面PAB；
(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．

49.如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD， 点E，F(E与
A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：

(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
50.如图，直角三角形ABC中 ，A＝60°，沿斜边AC上的高BD将△ABD折起到△PBD的位
置，点E在线段CD上．

16

(1)求证：PE⊥BD；
DE
(2) 过点D作DM⊥BC交BC于点M，点N为PB的中点，若PE∥平面DMN，求的
DC
值．







51.已知四棱锥P－A BCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，AD＝2，∠DAB＝60°，
E为AB的中点 ．
(1)证明：平面PCD⊥平面PDE；
(2)若PD＝3AD，求点E到平面PBC的距离．

52.如图，在底面是菱形 的四棱柱ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中 ，∠ABC＝60°，AA
1
＝AC＝2，A
1
B＝
A
1< br>D＝22，点E在A
1
D上．
(1)证明：AA
1
⊥平面ABCD；
(2)当
A
1E
为何值时，A
1
B∥平面EAC，并求出此时直线A
1
B与平 面EAC之间的距离．
ED



17