2011全国高中数学竞赛讲义-立体图形、空间向量(练习题)

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§19立体图形，空间向量

课后练习
1．甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成,其空间构型为一正四面体,碳原子位于该正四
面体的中心,四个氢原子分别位于该正四面体的四个顶点上.若将碳原子和氢原子均视为一
个 点(体积忽略不计),且已知碳原子与每个氢原子间的距离都为
a
,则以四个氢原子为顶点
的这个正四面体的体积为( )
A,
8
3
18
83
3
a
B,
a
C,
a
3
D,
a
3

2739
27
2．夹在两个平行平面之间的球, 圆柱,圆锥在这两个平面上的射影都是圆,则它们的体积之
比为( )
A,3:2:1 B,2:3:1 C,3:6:2 D,6:8:3
3．设二面角
?
?a?
?
的大小是
60
,P是二面角内的 一点,P点到
?
,
?
的距离分别为1cm,
2cm,则点P到棱
a
的距离是( )
A,
0
2
221421
21
cm
B,
cm

cm
C,
cm
D,
3
33
3
A
E
B
D
F
C
4．如图,E,F分别是正三棱锥A
?
BCD的棱AB,BC
的中点,且DE
?
EF.若BC=
a
,则此正三棱锥的体积是( )
a
3
2
3
A, B,
a

24
24
C,
2
3
3
3
a
D,
a

1212
5．棱长为的正八面体的外接球的体积是( )
A,
?
43822
B,
?
C,
?
D,
?

6
2733
6．若线段AB的两端点到平面
?
的距离都等于2,则线段AB所在的直线和平面
?

的位置关系是 .
7．若异面直线
a,b
所原角为
60
,AB是公垂线,E,F分别是异面直线
a,b
上到A,B距离为
2和平共处的两点,当
EF?3
时,线段AB的长为 .
8．如图(1),在直四棱柱
A
1
BC
11
D
1
?ABCD
中,当底面四边形
ABCD
满足条件
0
?
B
1
D
1
(注:填上你认为正确的一种条件即 可,不必考虑所有可能的情形) 时,有
A
1
C
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A
B
A C
B
C
图(1)
E
N A
M
图(2)

9．如图(2),是一个正方体的展开图,在原正方体中,有下列命题:
①AB与EF所连直线平行; ②AB与CD所在直线异面;
③MN与BF所在直线成
60
; ④MN与CD所在直线互相垂直.
其中正确命题的序号为 .(将所有正确的都写出)
10．如图,在
?ABC
中,AB=AC=13,BC=10,DEBC分别交AB,AC于D,E.将
?AD E
沿
DE折起来使得A到
A
1
,且
A
1
?DE?B
为
60
的二面角,求
A
1
到直线BC的最小距 离.







0
0
D
F
C
D
D
B
A
A
E
C
B O
D O
11．如图, 已知矩形ABCD中,AB=1,BC=
a
(a?0)
,PA
?
平面 ABCD,且PA=1.
(1)问BC边上是否存在点Q使得PQ
?
QD?并说明理由;
(2)若边 上有且只有一个点Q,使得PQ
?
QD,求这时二面角Q
?PD?A
的正切.



P



A


B Q







D
C
课后习题答案
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1．过顶点A,V与高作一截面交BC于点M,点O为正四面体的中心,< br>O
1
为底面ABC的中心,
设正四面体VABC的棱长为
m
,则AM=
313
m
=VM,
O
1
M
=
A M?m
,
236
O
1
A?
66
23
m< br>,得
OO
1
?VO
1
?VO?m?a

AM ?m
,
VO
1
?VM
2
?O
1
M
2
?
33
33
2
在
Rt?AOO
1
中,< br>AO
2
?OO
1
2
?AO
1
2
,即
a?(
63
26
m?a)
2
?(m)
2
, 得
m?a
.
33
3
则
VO
1
?
4
1183
3
a
,有
V
V?ABC
??(?m2
?sin60
0
)?VO
1
?a
.选B.
3
3227
温馨提示:正四面体外接球的半径
VO
:内切球的半径
O O
1
=
a:
1
a?3:1
.
3
2． < br>V
1
:V
2
:V
3
?(
?
R):(
?
R?2R):(?
?
R?2R)?2:3:1
,选B.
3．设PA
?
棱
a
于点A,PM
?
平面
?
于点M,PN
?
平面
?
于点N,PA=
t
,
?PA M?
?
,则
4
3
32
1
3
2
?
tsin
?
?1
33
,得,有或(舍去),
3cos?
?5sin
?
sin
?
?
?
?
0< br>27
27
?
tsin(60?
?
)?2
所以
t?
121
?
cm
,选B.
sin
?
3
4．由DE
?
EF,EFAC,有DE
?
AC,又AC
?
B D,DE
?
BD=D,得AC
?
平面ABD.
由对称性得
?BAC??CAD??BAD?90
,于是
AB?AC?AD?
0
2
a
.
2
112222
3
V
B?ACD
??(? a?a)?a?a
,选B.
3222224
5．可由两个相同的四棱锥底面重合而成 ,有
2r?2
,得
r?
2
,
2
外接球的体积V?
4
3
2
?
r?
?
,选D.
33
6．当
AB?2
时,AB
?
;当
AB?2
时,AB
?
或AB
?
?
;当
AB?2
时,AB
?< br>或与
?
斜交.
????????????????
????
2
????
2
????
2
????
2
?????? ??
7．由
EF?EA?AB?BF
,得
EF?EA?AB?BF?2EA? BF?cos
?

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????
2
????
1
(1)当
?
?60
时,有
9?4?A B?1?2?2?1?
,得
AB?2
;
2
????
2????
1
0
(2)当
?
?120
时,有
9? 4?AB?1?2?2?1?
,得
AB?6
.
2
8． AC
?
BD.(或ABCD是正方形或菱形等)
9．将展开的平面图形还原为正方体
NACF?EMBD
,可得只②,④正确. 0
10．解:设
?ABC
的高AO交DE于点
O
1
,令
AO
1
?x
,
由AO=
13
2
?52
?12
,有
OO
1
?12?x
,
2220
在
?AOO
?60
0
,有
AO?AO?2?AO
1 1
中,
?AOO
11111
?OO
111
?OO
1
?cos60

?3(x?6)
2
?36
. 得
A O
1
当
x?6
时,
A
1
到直线BC的最小距离为6 .
11．解:(1)(如图)以A为原点建立空间直角坐标系,设
BQ?x
,则 < br>Q
(1,x,0)
,P(0,0,1),D
(0,a,0)
得
PQ?(1,x,?1)
,
QD?(?1,a?x,0)

????
????
????????
2
由
PQ?QD
,有
(1,x, ?1)?(?1,a?x,0)?0
,得
x?ax?1?0
①
若方程①有解,必为正数解,且小于
a
.由
??(?a)
2
?4?0
,
a?0
,得
a?2
.
(i)当
a?2
时,BC上存在点Q,使PQ
?
QD;
(ii)当
0?a?2
时, BC上不存在点Q,使PQ
?
QD.
(2)要使BC边上有且只有一个点Q,使PQ
?
QD,则方程①有两个相等的实根,
2
这时,
??(?a)?4?0
,得
a?2
,有
x ?1
.
又平面APD的法向量
n
1
?(1,0,0)
,设 平面PQD的法向量为
n
2
?(x,y,z)

而
QD?( ?1,1,0)
,
PD?(0,2,0)?(0,0,1)?(0,2,?1)
, < br>????
????
????
?
?
n
2
?QD ?0
?
(x,y,z)?(?1,1,0)?0
由
?
,得
?
,解得
x?y,z?2y
有
n
2
?(1,1,2)
,则
????
?
?
n
2
?PD?0
?
( x,y,z)?(0,2,?1)?0
cos?n
1
,n
2
??n
1
?n
2
(1,0,0)?(1,1,2)1
??
, 则
tan?n
1
,n
2
??5
所以二面角
n
1
?n
2
1?66
Q?PD?
的正切为
A
5.

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