高中数学试卷一

高中数学试卷（一）

注意事项：
1、本试卷分第?
卷和第
??
卷两部分，请将第
?
卷答案的序号填涂在括号内， 第
??
卷答
案填写在试卷相应位置上；
2、本试卷共4页，21小题， 满分150分，考试用时120分钟.
第Ⅰ卷 （选择题， 共40分）
一、选择题(本大题共8题,每小题5分,共40分. 在每题列出的四个选项中，只有一项是
最符合题目要求的)
1. 已知复数
z?i( 1+i)
(i为虚数单位），则复数
z
在复平面上所对应的点位于 （ ）
A．第一象限 B. 第二象限 C．第三象限 D. 第四象限
2. 等差数列
?
a
n
?
中，若
a
2?a
8
?15?a
5
，则
a
5
等于( )
A．3 B．4 C．5 D．6
3. 已知向量
a?(cos
?
,?2),b?(sin
?
,1),且ab，则tan(
?
?
A．
3
B.
?3
C.
?
4
)
等于（ ）
11
D.
?

33
4. 直线
l:a x?y?2?a?0
在
x
轴和
y
轴上的截距相等，则
a的值是( )
A．
1
B．
?1
C．
?2
或
?1
D．
?2
或
1

?
x?y?2?0
5. 设变量< br>x,y
满足约束条件
?
x?y?7?0
，则
?
?x?1
?
y
的最大值为（ ）
x
A．
9
B．
3
C．
4
D．
6

5
a
6. “
2?2
b
”是 “
log
2
a?log
2
b
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 若一个底面边长为
6
，棱长为
6
的正 六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的
2
体积为（ ）
A．
722π
B．
323π
C．
92π
D.
43π

8. 设S是至少含有两个元素的集合. 在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a,b∈
S,对于有 序元素对(a,b)，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应）. 若对于任意的a,b∈
S,有a*( b * a)=b，则对任意的a,b∈S,下列等式中不能成立的是( )
．．
A． ( a * b) * a =a B . [ a*( b * a)] * ( a*b)=a
C. b*( b * b)=b D. ( a*b) * [ b*( a * b)] =b
第Ⅱ卷 (非选择题， 共110分)

二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．考生作答6小题，每小题5
分，满分30分 ）
（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．
9.
(x?)
的展开式中的常数项为 ．
10. 如果执行右面的程序框图，那么输出的
S?
_________
11.若直线
l:ax?by?1?0 (a?0,b?0)
始终平分圆
M< br>：
2
2
x
3
14
x
2
?y
2
?8x?2y?1?0
的周长，则
?
的最小值为 .
ab
12. 如图所示，在一个边长为1的正方形
AOBC
内，曲线
y?x
和
曲线
y?
2
x
围成一个叶形图（阴影部分），向正 方形
AOBC
内随机
投一点（该点落在正方形
AOBC
内任何一点是 等可能的），则所投
的点落在叶形图内部的概率是___________
13. 某班有5 0名学生，一次考试的成绩
?
(
?
?N)
服从正态分布
N( 100,10
2
)
. 已知
P(90?
?
?100)?0. 3
，估计该班数学成绩在110
分以上的人数为______________.
（ 二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做其中的一题，两
题全答的，只计算前一题的得分.
14.（几何证明选讲选做题）如图，从圆
O
外一点
A
引圆的切线< br>AD
和割线
ABC
，已知
AD?23
，
AC?6，圆
O
的半径为
3
，则圆心
O
到
AC
的距离为 ．
15. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中， 若过点
A(3,0)
且与极轴垂直的直
线交曲线
?
?4cos
?
于A、B两点，则
|AB|?
______ _．
三、解答题(本大题共6小题, 共80分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．（本小题满分12分）已知向量
m?(sinA,cosA)
,
n?(3,?1 )
,
且
m?n?1
，
A
为锐角.
（Ⅰ）求角
A
的大小； （Ⅱ）求函数
f(x)?cos2x?4cosAsinx(x?R)
的值域.







7．（本小题满分12分）在一个圆 锥体的培养房内培养了40只蜜蜂，准备进行某种实验，过
圆锥高的中点有一个不计厚度且平行于圆锥底 面的平面把培养房分成两个实验区，其中小锥

体叫第一实验区，圆台体叫第二实验区，且 两个实验区是互通的. 假设蜜蜂落入培养房内任
何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的.
（1）求蜜蜂落入第二实验区的概率；
（2）若其中有10只蜜蜂被染上了红色，求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率；
（3）记
X
为落入第一实验区的蜜蜂数，求随机变量
X
的数学期望.








18．（本小 题满分14分）在四棱锥
P?ABCD
中，底面
ABCD
是一直
角梯 形，
?BAD?90
?
,ADBC,AB?BC?a
，
AD?2a, PA?底面ABCD,PD
与底面成
30?
角.
（1）若
AE?PD,E
为垂足，求证：
BE?PD
；
（2）在（1）的条件下，求异面直线
AE
与
CD
所成角的余弦值；
（3）求平面
PAB
与平面
PCD
所成的锐二面角的正切值.








x
2
y
2
19．（本小题满分14分）已知直线
x?y?1?0
与椭圆< br>2
?
2
?1(a?b?0)
相交于
A
、
B< br>ab
两点，
M
是线段
AB
上的一点，
AM??BM< br>，且点M在直线
l:y?
（1）求椭圆的离心率；
（2）若椭圆的焦点关于直 线
l
的对称点在单位圆
x?y?1
上，求椭圆的方程.









20．（本小题满分14分）已知函数
f(x)?(2?a)(x?1)?2lnx
.
22
1
x
上，
2

（1）当
a?1时,求f(x)
的单调区间；
（2）若函数
f(x)在(0,)上无零点,求a
的最小值；
（3）若
0?n?m,
求证：









21．（本小题满分14分）设单调递增函数
f( x)
的定义域为
?
0,??
?
，且对任意的正实数x,y
有 ：
f(xy)?f(x)?f(y)
且
f()??1
．
⑴、一个各 项均为正数的数列
?
a
n
?
满足:
f(s
n
)?f(a
n
)?f(a
n
?1)?1
其中
S
n
为数列
?
a
n
?
的前n项和,求数列
?
a
n
?
的通项公式；
⑵、在⑴的条件下，是否存在正数M使下列不等式：
1
2
m?n
?2m
.
lnm?lnn
1
2
2
n
?a
1
a
2
a
n
?M2n ?1(2a
1
?1)(2a
2
?1)
*
(2a
n< br>?1)

对一切
n?N
成立？若存在，求出M的取值范围；若不存在，请说明理由．