2019年全国高中数学联赛试题及答案

2019年全国高中数学联赛


一、填空题（每小题8分，共64分，）
1. 函数
f(x)?
2
x?5?24?3x
的值域是 .
2
2. 双曲线
x?y?
1
的右半支与直线
x?100围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标
均为整数的点）的个数是 .
3. 已知
{
a
n
}
是公差不为
0
的等差 数列，
{b
n
}
是等比数列，其中
a
1
?3,b< br>1
?1,a
2
?b
2
,3a
5
?b
3
，且存有常数
?
,
?
使得对每一个正整数
n
都有
a
n
?log
?
b
n
?
?
，则
?
?
?
?
.
4. 函数
f
(
x
)
?a
2x
?
3
a
x
?
2(
a?
0,
a?
1)
在区间
x?[?1,1]
上的最大值为8，则它在这个区
间上的最小值是 .
5. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 .
6. 正三棱柱
ABC? A
1
B
1
C
1
的9条棱长都相等，
P
是< br>CC
1
的中点，二面角
B?A
1
P?B
1
?
?
,
则
sin
?
?
.
7. 方程
x?y?z?2010
满足
x?y?z
的正整数解（x
,
y
,
z
）的个数是 .
二、解答题（本题满分56分）
9. （16分）已知函数
f
(
x
)
?ax?bx?cx?d
(
a?
0)
，当
0?x ?1
时，
f
?
(x)?1
，试求
a
32
的 最大值.
2
10.（20分）已知抛物线
y
?
6x
上的 两个动点
A(x
1
,y
1
)和B(x
2
,y
2
)
，其中
x
1
?x
2
且
x
1
?x
2
?4
.线段
AB
的垂直平分线与
x
轴交于点
C
，求
?ABC
面积的最大值.

1

11.（20分）证明：方程
2
x?
5
x?
2
?
0
恰有一个实数根
r
，且存有唯一的 严格递增正整数数
3
列
{
a
n
}
，使得


2
?r
a
1
?r
a
2
?ra
3
??
.
5
解 答


1.
[?3,3]
提示：易知
f(x)
的定义域是
?
5, 8
?
，且
f(x)
在
?
5,8
?
上是增函 数，从而可知
f(x)
的值域为
[?3,3]
.
2.
?
3
?a?
12
提示：令
sinx?t
，则原 函数化为
g(t)?(?at
2
?a?3)t
，即
2
g(t)??at
3
?(a?3)t
.
3
?a t(t?1)?3(t?1)?0
，
由
?at?
(
a?
3)
t??
3
，
(t?1)(?at(t?1)?3)?0
及
t?1?0
知
2
?at(t?1)?3?0
即
a(t
2
?t)??3
. （1）
当
t?0,?1
时（1）总成立；
对
0
?t?
1 ,0
?t?t?
2
；对
?1?t?0,?
2
13
? t
2
?t?0
.从而可知
??a?12
.
42
3. 9800 提示：由对称性知，只要先考虑
x
轴上方的情况， 设
y?k(k?1,2,?,99)
与双曲
线右半支于
A
k
,交直线
x?100
于
B
k
，则线段
A
k
B
k
内部的整点的个数为
99?k
，从而在
x
轴上方
区域内部整点的个数为
?
(99?k)?99?49?4851
.
k? 1
99
又
x
轴上有98个整点，所以所求整点的个数为
2?4851 ?98?9800
.
4.
3
3?3
提示 ：设
{ a
n
}
的公差为
d,{b
n
}
的公比为
q
，则
3?d?q,
（1）
2

3(3?4d)?q
2
， （2）
（1）代 入（2）得
9
?
12
d?d?
6
d?
9
， 求得
d?6,q?9
.
2
n?1
从而有
3?6(n?1) ?log
?
9?
?
对一切正整数
n
都成立，即
6 n?3?(n?1)log
?
9?
?
对
一切正整数
n
都成立.
从而
log
?
9?6,?3??log
?
9?
?
，
求得
?
?
3
3,
?
?
3
，?
?
?
?
3
3?3
.
5.
?
3
1
x2
提示：令
a?y,
则原函数化为< br>g(y)?y?3y?2
,
g(y)
在
(?,+?)
上是递增 的.
2
4
?1
当
0?a?1
时，
y?
[
a
,
a
]
,
g(y)
max
?a
?2
?3a
?1
?2?8?a
?1
?2?a?
所以
1
，
2
111
g(y)
min
?()
2
?3??2??
；
224
当
a?1
时，
y?[
a
?1
,
a
]
，
g(y)
max
?a
2
?3a?2?8?a?2
，
所以
1
g(y)
min
?2
?2
?3?2?1
?2??
.
4
1
综上
f(x)
在
x?[?1,1]
上的最小值为
?
.
4
217
12
6. 提示：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为?
，从而先投掷人的获胜概率
3612
17
为
757577
?()
2
??()
4
???
??
12121 21212
12
112
?
.
25
17
1?
144
3

7.
10
提示：解法一：如图，以
AB
所在直线为
x
轴，线段
AB
中点
O
为原点，
OC
所在
4
直线为< br>y
轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则
B(1,0,0),B
1
(1,0,2),A
1
(?1,0,2),P(0,3,1)
，从而，BA
1
?(?2,0,2),BP?(?1,3,1),B
1
A
1
?(?2,0,0),B
1
P?(?1,3,?1)
z
.
设分别与平面
BA
1
P
、平面
B
1
A
1
P
垂直的向量
是
m?
(
x
1
,
y
1
,
z
1
)
、
n?(x
2
,y< br>2
,z
2
)
，则
A
1
C
1
B
1
P
A
O
C
B
x
y
?
?
m?BA
1
??2x
1
?2z
1
?0,

?
?
?
m?BP??x
1
?3y
1
? z
1
?0,
?
?
n?B
1
A
1
? ?2x
2
?0,

?
?
?
n?B
1
P??x
2
?3y
2
?z
2
?0,
urrurr
由此可设
m?(1,0,1),n?(0,1,3)
，所以
m?n?m?n cos
?
，即
3?2?2cos
?
?cos
?
?
10
.
4
A
1
C
1
则
6
.
4
所以
sin
?
?
解法二：如图，
PC?PC< br>1
,
PA
1
?PB
.
设
A
1< br>B
与
AB
1
交于点
O,
E
B
1O
A
P
面
OA
1
?OB,OA?OB
1
,A
1
B?AB
1
.
因为 PA?PB
1
,所以 PO?AB
1
,
从而
AB
1
?
平
PA
1
B
.
过
O
在平面
PA
1
B
上作
OE
?
A
1
P,垂足为
E
.
C
B
连结
B
1
E,则
?
B
1
EO
为二面角
B?A
1
P ?B
1
的平面角.设
AA
1
?2
,则易求得
PB? PA
1
?5,A
1
O?B
1
O?2,PO?3
.
4

在直角
?
PA
1
O
中，
A
1
O?PO?A
1
P?OE
,即
2?3?5?OE,?OE?
645
?
.
55
6
5
.
又
B
1
O?2,?B1
E?B
1
O
2
?OE
2
?2?
si n
?
?sin?B
1
EO?
B
1
O
210
.
??
B
1
E
45
4
5
2
8. 336675 提示：首先易知
x?y?z?2010
的正整数解的个数为
C
2009
?
2009
?
1004
.
把
x?y?z?2010
满足
x?y?z
的正整数解分为三类：
（1）
x,y,z
均相等的正整数解的个数显然为1；
（2）
x,y,z
中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003；
(3)设
x,y,z
两两均不相等的正整数解为
k
.
易知

1?3?1003?6k?2009?1004
，
所以

6k?2009?1004?3?1003?1


?2006?1005?2009?3?2?1?2006?1005?2004
，
即
k?1003?335?334?335671
.
从而满足
x?y?z
的正整数解的个数为
1?1003?335671?336675
.

5

?
f
?
(0)?c,
?
13?
2
9. 解法一：
f
?
(
x
)
?
3
ax?
2
bx?c
,
由
?
f
?
()?a?b?c,
得
4
?
2
?
?
f
?
(1)?3a?2b?c
1
3a?2f
?
(0)?2f
?
(1)?4f
?
()
.
2
所以
1
3a?2f
?
(0)?2f
?
(1)?4f
?
()

2

?2f
?
(0)?2f
?
(1)?4f
?
(
)

?8
，
所以
a?
为
1
2
88
32
. 又易知当< br>f(x)?x?4x?x?m
（
m
为常数）满足题设条件，所以
a最大值
33
8
.
3
解法二：
f
?
(x)?3ax?2bx?c
. 设g(x)?f
?
(x)?1
，则当
0?x?1
时，
0? g(x)?2
.
2
设
z?2x?1
，则
x?
z?1
,
?
1
?z?
1
.
2
z?13a
2
3a?2b3a
h(z)?g()?z?z??b?c?1
.
2 424
容易知道当
?1?z?1
时，
0?h(z)?2,0?h(?z)?2
. 从而当
?1?z?1
时，
0?
h(z)?h(?z)
?2
， 即
2
0?
3a
2
3a
z??b?c?1?2
，
44
3a3a8
从而
?b?c?
1
?
0
,
z
2
?
2
，由
0
?z
2
?
1
知
a?
.
443
8
3
8
2
又易知当
f
(
x
)
?x?
4
x?x?m
（
m
为常数）满足题设条件 ，所以
a
最大值为
.
33
10. 解法一：设线段
AB
的中点为
M
(
x
0
,
y
0
)，则
x
0
?
x
1
?x
2
y?y2
?2,y
0
?
1
，
22
k
AB< br>?
y
2
?y
1
y?y
1
63
?2
2
??
.
x
2
?x
1
y
2
?y
1
y
0
y
2
y
1
2?
66
线段
AB
的垂直平分线的方程是
6

y?y
0
??
y
0
(x?2)
. （1）
3
易知
x?5,y?0
是（1）的一个解，所以线段
AB< br>的垂直平分线与
x
轴的交点
C
为定点，且点
C
坐标为
(5,0)
.
由（1）知直线
AB
的方程为
y?y
0
?
3
(
x?
2)
，即
y
0
x?
y
0(y?y
0
)?2
. （2）
3
2
2
（2）代入
y
?
6x
得
y?2y
0
(y? y
0
)?12
，即
2
y
2
?2y
0y?2y
0
?12?0
. （3）
依题意，
y< br>1
,y
2
是方程（3）的两个实根，且
y
1
?y2
，所以
222
??4y
0
?4(2y
0
? 12)??4y
0
?48?0
,
?23?y
0
?23
.
y

AB?

?
(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2

(1? (
y
0
2
))(y
1
?y
2
)
2

3
O
A
B
2
y
0

?(1?
)[(
y
1
?y
2
)
2
?
4
y
1
y
2
]

9
2
y
0
22

?(1?
)(4
y
0
?
4(2
y
0
?
12))

9
C(5,0)
x

?
2
22
( 9
?y
0
)(12
?y
0
)
.
3
定点
C(5,0)
到线段
AB
的距离

h?CM?

S
?ABC
?

?

2
(5?2)
2
?(0?y
0
)2
?9?y
0
.
11
222
AB?h?(9?y
0
)(12?y
0
)?9?y
0

23
11
222
(9
?y
0
)(24
?
2
y
0
)(9
?y
0
)

32
7

222
?24?2y0
?9?y
0
11
9?y
0

?()
3

323

?
14
7
.
3
6?356?35
,5?7),B(,5?7)
或
33
2 2
当且仅当
9?y
0
?24?2y
0
，即
y
0
??5
,
A(
A(
6?356?35
,?(5?7)) ,B(,?5?7)
时等号成立.
33
所以，
?ABC
面积的最大值为
14
7
.
3
解法二：同解法一，线段
AB
的垂直平分线与
x
轴的交点
C
为定点，且点
C
坐标为
(5,0)
.
设
x
1
?t
1
,
x
2
?t
2
,
t
1
?t
2
,
t
1< br>?t
2
?
4
，则
S
?ABC
?
22 22
1
2
t
1
2
2
t
2
501< br>6t
1
1
的绝对值,
6t
2
1

S
?ABC
?((56t
1
?6t
1
t
2
?6t
1
t
2< br>?56t
2
))

2
1
2
222
3
(t
1
?t
2
)
2
(t
1
t2
?5)
2

2
3

?
(4
?
2
t
1
t
2
)(
t
1
t
2
?
5)(
t
1
t
2
?< br>5)

2
314
3

?()
,
23

?
所以
S
?ABC
?
14
7?5
2
?4
，即
t1
?
7
, 当且仅当
(t
1
?t
2
)
2
?t
1
t
2
?5
且
t
1
2
?t
2
,

3
6
,
A(
t< br>2
??
7?5
6
6?356?35
,5?7),B(,5?7 )
或
33
A(
6?356?35
,?(5?7)),B(,?5? 7)
时等号成立.
33
所以，
?ABC
面积的最大值是
3
14
7
.
3
2
11.令
f
(
x
)
?
2x?
5
x?
2
，则
f
?
(x)?6x?5?0
，所以
f(x)
是严格递增的.又
131
f(0)??2?0,f( )??0
，故
f(x)
有唯一实数根
r?(0,)
.
242
所以
2r?5r?2?0
，
3
8

2r
?
?r?r
4
?r
7
?r
10
?L
.
3
5
1?r
故数列
a
n
?3n?2(n?1,2,?)
是满足题设要求的数列.
若存有两个不同的正整数数列
a
1
?
a
2
???< br>a
n
??
和
b
1
?
b
2
? ??
b
n
??
满足
r
a
1
?r
a
2
?r
a
3
???r
b
1
?r
b
2
?r
b
3
???
去掉上面等式两边相同的项，有
2
，
5
r
s
1
?r
s
2
?r
s
3
???r
t
1
?r
t
2
?r
t
3
??
，
这里
s
1
?
s
2
?
s
3
??
,t
1
?
t2
?
t
3
??
，所有的
s
i
与
t
j
都是不同的.
不妨设
s
1
?t
1
，则
r
s
1
?r
s
1
?r
s
2
???r
t
1
?r
t
2
??
，
1?r
t
1
? s
1
?r
t
2
?s
1
???r?r
2???
1
?1?
1?r
1
1
1?
2
? 1?1
，
矛盾.故满足题设的数列是唯一的.



加 试

1. （40分）如图，锐角三角 形
ABC
的外心为
O
，
K
是
边
BC
上一点（不是边
BC
的中点），
D
是线段
AK
延长线上一点，直线
BD
与
AC
交于点
N
，直线
CD
与
AB
交于点
B
O
A
E
K
DC
M
．求证：若
OK
⊥
MN
，则
A
，
B
，
D
，
C
四点共圆．


P
Q
N
M
9

2. （40分）设
k
是给定的正整数，
r?k?< br>1
．记
f
(1)
(r)?f(r)?r
?
，
r
?
??
2
f
(l)
(r)?
f(f
(l ?1)
(r)),l?2
．证明：存有正整数
m
，使得
f
( m)
(r)
为一个整数．这里，
?
?
x
?
?
表示不
小于实数
x
的最小整数，例如：
??
?1
，
?
?
1
?
?
?1
．
2
3. （50 分）给定整数
n?2
，设正实数
a
1
,a
2
,L, a
n
满足
a
k
?1,k?1,2,L,n
，记
?
1
?
??
A
k
?
求证：
a< br>1
?a
2
?
L
?a
k
,k?1,2,
L
,n
．
k
?
a
k
?
?
A< br>k
?
k?1k?1
nn
n?1
．
2
4. （50分）一种密码锁的密码设置是在正
n
边形
A
1
A
2< br>LA
n
的每个顶点处赋值0和1两个数中
的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝 两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至
少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不 同的密码设置？

解 答


1. 用反证法．若
A
，
B
，
D
，
C
不四点共圆，设三角
形< br>ABC
的外接圆与
AD
交于点
E
，连接
BE
并延长交直
线
AN
于点
Q
，连接
CE
并延长交直线
AM
于点
P
，连接
B
A
O
E
K< br>D
C
PQ
．
因为
PK?
P
的幂（关于⊙< br>O
）
?
K
的幂（关于⊙
O
）
M
2
P
Q
N
10

?PO
2
?r
2
?KO
2
?r
2
，
同理

QK
2
?QO
2
?r
2
?KO
2
?r
2
，
所以
PO?PK?QO?QK
，
故
OK
⊥
PQ
． 由题设，
OK
⊥
MN
，所以
PQ
∥
MN
， 于是
2222
????
????
AQAP
?
． ①
QNPM
由梅内劳斯（Menelaus）定理，得
NBDEAQ
???1
， ②
BDEAQN
MCDEAP
???1
． ③
CDEAPM
NBMCNDMD
由①，②，③可得
， 所以，故△
DMN
∽ △
DCB
，于是
?DMN??DCB
，
??
BDCDBDDC
所以
BC
∥
MN
，故< br>OK
⊥
BC
，即
K
为
BC
的中点，矛盾！从 而
A,B,D,C
四点共圆. 注1：“
PK?
P
的幂（关于⊙
O
）
?
K的幂（关于⊙
O
）”的证明：延长
PK
至点
F
，使得
2
PK?KF?AK?KE
， ④
则
P
，
E
，
F
，
A
四点共圆，故
?PFE??PAE??BCE
，
从而
E
，
C
，
F
，
K
四点共圆，于是
PK?PF?PE?PC
， ⑤
⑤-④，得

PK?PE?PC?AK?KE
?
P
的幂（关于⊙
O
）
?
K
的幂（关于⊙
O
）．
O
2
A
注2：若点
E
在线段
AD
的延长线上，完全类似．
B
E
K
D
P
F
C
11
Q
N
M

2. 记< br>v
2
(n)
表示正整数
n
所含的2的幂次．则当
m? v
2
(k)?1
时，
f
下面我们对
v
2
( k)
?v
用数学归纳法．
当
v?0
时，
k
为奇数，
k?1
为偶数，此时
(m)
(r)
为整数．
1
??
1
??
1
??
f(r)?
?
k?
?
?
k?
?
?
?
k?
?
?
k?1
?

2
??
2
??
2
??
为整数．
假设命题对
v?1(v?1)
成立．
对于
v?1
，设
k
的二进制表示具有形式
k?2
v
?
?
v?1
?2
v?1
?
?
v?2?2
v?2
?L
，
这里，
?
i
?
0
或者1，
i?v?1,v?2,L
．
于是
12

f(r)?
?< br>k?
?
?
1
??
1
??
1
?
k??k?
?
?
??
?
k?1
?

?< br>2
??
2
??
2
?
1k
??k
2< br>?k

22
1
v?1vv?12v

??2?(
?
v?1
?1)?2?(
?
v?1
?< br>?
v?2
)?2?L?2?L

2
1

?k
?
?
， ①
2

?
这里
k
?
? 2
v?1
?(
?
v?1
?1)?2
v
?(
?
v?1
?
?
v?2
)?2
v?1
?L?2
2v
?L
.
显然
k
?
中所含的2的幂次为
v ?1
．故由归纳假设知，
r
?
?k
?
?
由①知，< br>f
(v?1)
1
经过
f
的
v
次迭代得到整数 ，
2
(r)
是一个整数，这就完成了归纳证明．
3. 由
0
?a
k
?
1
知，对
1?k?n?1
，有
0?
?
a
i?1
k
i
?k,0?
i?k? 1
?
a
n
i
?n?k
．
注意到当
x,y?0
时，有
x?y?max
?
x,y
?，于是对
1?k?n?1
，有
1
n
?
11
?
k
A
n
?A
k
?
?
?
?
?
a
i
?
?
a
i

n
i?k?1
?
nk
?
i?1
1
n
?
11
?< br>k

??
?
?
a
i

?
a
i
?
?
n
i?k?1
kn
?
i?1
?
?1
n

?max
?
?
a
i
,
?
n
i?k?1
?1
?max?
(n?k),
?
n
?1?
故
nn
?
11
?
k
?
?
?
?
?
a
i
?

?
kn
?
i?1
?
?< br>11
?
?
?
?
?
k
?

?
kn
?
?
k
，
n
k
?
a?
?
A
k
k?1k?1
?nA
n
?
?
A
k

k?1
n

?
?
?
A
k?1
n?1
n?1
n
?A
k
?
?
?
A
n
?A
k

k?1
n?1

?

?
k
?
n?1
．
?
?
1?
?
?
n
?
2
k?1?
13

4. 对于该种密码锁的一种密码设置，如果相邻两 个顶点上所赋值的数字不同，在它们所在的边
上标上
a
，如果颜色不同，则标上
b
，如果数字和颜色都相同，则标上
c
．于是对于给定的点
A
1< br>上
的设置（共有4种），按照边上的字母能够依次确定点
A
2
,A3
,L,A
n
上的设置．为了使得最终回到
A
1
时的设 置与初始时相同，标有
a
和
b
的边都是偶数条．所以这种密码锁的所有不同的 密码设置方法
数等于在边上标记
a
，
b
，
c
，使得 标有
a
和
b
的边都是偶数条的方法数的4倍．
设标有
a
的边有
2i
条，
0
?i?
??< br>，标有
b
的边有
2j
条，
0?j?
?
22i2j
?
n
?
??
?
n?2i
?
． 选择
2i
条边标
?
2
??
记
a
的有
C
n
种方法，在余下的边中取出
2j
条边标记
b
的有C
n?2i
种方法，其余的边标记
c
．由乘
2i2j
法 原理，此时共有
C
n
C
n?2i
种标记方法．对
i
，
j
求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为
4
?
i?0?
n
?
?
2
?
??
?
n?2i
?
??
?
2
?
??
?
2i2j
?
CC
?
n
?
n?2i
?
． ①
j?0
??
??
0
这里我们约定
C
0
?1
．
当
n
为奇数时，
n?2i?0
，此时
?
n?2i
?
?
2
?
??
j?0
?
C
2j< br>n?2i
?2
n?2i?1
． ②
代入①式中，得
?
n
?
?
2
?
??
i?0
?
n?2i
??
n
??
n
?
??
?
2
??
2
??
2
?
?????
2i
??
2j
?
2in?2i?12in?2i
CC ?4C2?2C2
?

???
???
nn?2inn
??< br>j?0i?0i?0
??
??
n
4
?
?
?< br>C2
k
n
k?0
n
n?kkn?k
?
?C
n
2(?1)
k
?(2?1)
n
?(2?1)
n

k?0
?3
n
?1
．
当
n
为偶数时，若
i?
nn
，则②式仍然成立；若
i?
，则正
n
边形的所有边都标记
a
，此时
22< br>只有一种标记方法．于是，当
n
为偶数时，所有不同的密码设置的方法数为
14

4
?
i?0
?
n
?
?
2
?
??
n?2i
?
n
?
?
?
??
?
?
?
2
??
2
?
?1< br>????
?
2i
?
2j
?
2in?2i?1
?
CC?4?1?C2
??
?

??
nn?2in
???
j?0i?0
????
????
2in?2i?1
?2?4< br>?
?
C
n
2
?
?3
n
?3
．
i?0
?
n
?
?
2
?
??
综上所述，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是：当
n
为奇数时有
3
?
1
种；当
n
为
n
偶数时有
3
n
?
3
种．




15