高中数学-函数综合测试题

高中数学-函数综合测试题
一、选择题（每小题5分，共40分）
1．已知 全集
U?R
，集合
A?
?
x|x?1,x?Z
?
,
B?
?
x|x
2
?2x?0
?
,则图中
的阴影部分表示的集合为(B )
A.
?
?1
?
B.
?
2
?
C.
?
1,2
?
D.
2. 函数
f(x)?
（B）
A.
(?,??)
B.
(?,1)
C.
(?,)
D.
(??,?)

3．下列各式正确的是（C）
A．
4
3
?3
3
B.
log
0.5
4?log
0.5
6

C.
( )
?3
?( )
3
D.
lg1.6?lg1.4

?
4.已知函数
f
?
x
?
?x
?
,
?
?
?
?
?1,,1 ,2,3
?
,若
f
?
x
?
是区间
?
??,??
?
上的增函
??
1
2
?
0,2
?

3x
2
1?x
?lg(3x?1)
的定义域为
1
3
1
3
11
33
1
3
1
2< br>1
2
数,则
?
的所有可能取值为( A )
???
(A)
?
1,3
?
(B)
?
?
,1,2,3
?
(C)
?
1,2,3
?
(D)
?
?1,,1,2
?

???
1
?
2
1
2
5
．
设函数f(x)＝log
a
|x|在( －∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大
小关系是(A )
A．f(a＋1)>f(2) B．f(a＋1)确定
解：由y＝f(x)的图象及已知可得0f(x)为偶函数，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(a＋1)>f(2)
．

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6．如果一个函数
f(x)
满足：①定义域为R；
②任 意
x
1
,x
2
?R
，若
x
1
?x
2
?0
，则
f(x
1
)?f(x
2
)?0
；
③任意
x?R
，若
t?0
，
f(x?t)? f(x)
。则
f(x)
可以是（ C ）
A．
y??x
B．
y?3
x
C．
y?x
3
D．
y?log
3
x

? b
7.设函数
f(x)
=
ax
的图象如下图所示，则a、b、c的大 小关系是 （B）
2
x?c
y
1
-1
O
1
x
-1

A.a＞b＞c
b
解：f（0）=
b
=0，∴b=0.f（1）=1，∴
c
a
=1.
1?c
B.a＞c＞b C.b＞a＞c D.c＞a＞
∴a=c+1.
ax
＞0 ，∴a
2
x?c
由图象看出x＞0时，f（x）＞0，即x＞0时，有
＞0
.又f（x）=
需x+
c
≥2
x
c
，
c
=1
a
c
x?
x
，当x＞0时，要使f（x）在x=1时 取最大值1，
当且仅当x=

时.∴c=1，此时应有f（x）=
a
=1.∴a=2.
2
8. 函数
f(x)?ax?bx?c(a?0)
的图象关于直线
x??
b
对称。据此可推
2a
测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程
m
?
f(x)
?
?nf(x)?p?0
的解集都不可能是（D） A.
?
1,2
?
B
2
?
1,4
?
C
?
1,2,3,4
?
D
?
1,4,16,64
?

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解：∵f（x）=ax
2
+bx+c的对称轴为x=
+p=0的解为y1
，y
2

则必有y
1
=ax
2
+b x+c，y
2
=ax
2
+bx+c
，方程m[f（x）]
2
+nf（x）
那么从图象上看，y=y
1
，y=y
2
是一 条平行于x轴的直线，它们与f（x）
有交点
则方程y
1
=ax
2
+bx+c的两个解x
1
，x
2
要关于直线x=
（x
1
+x
2
）=
对称，即
对称，即2
同理方程y
2
=ax
2
+bx+c的两个解x
3
，x
4
也要关 于直线x=
2（x
3
+x
4
）=，
在C中，可以找到对称 轴直线x=2.5，也就是1，4为一个方程的解，
2，3为一个方程的解
所以得到的解的集合可以是{1，2，3，4}
而在D中，{1， 4，16，64}，找不到对称轴，故选D．
二、填空题（每小题5分）
9.幂函数
f(x)=x
a
（
a
为实常数）的图象过点(4,2)，那么
为 .
4

10.函数
f(x)=1og
m
(x-1)+3( m>0且?1)
恒过定点 .(2,3)
11.已知
3x< br>2
?2y
2
?6x
，则
x
2
?y
2
的最大值为 .
4

33
22
解：由
3x?2y?6x
得
y
2??x
2
?
2
?0,??x
2
?3x?0,?0?x? 2.

22
f(16)
的值
又
x
2
?y< br>2
?x
2
?x
2
?3x??(x?3)
2
? ,

19
?
当
x?2
时，
x
2
? y
2
有最大值，最大值为
?(2?3)
2
??4.

22
3
2
1
2
9
2
第 3 页 共 6 页

12..已知函数
?
|lgx|,0?x?10
?
.若
a,b,c
互不相等，且
f(a)?f(b)?f(c),
若
f(x)?
?
113
?x?,x?10
?
3
?
3< br>c?N
，则
abc?
.

11,12


解：画图知
0?a?1,1?b?10,c?10< br>，且：
f(a)?f(b)?f(c)?|lga|?|lgb|?|lgc|?(0,1)，
∴
?lga?lgb??
1
c?
13
?(0,1)?
?
?
33
ab?1
，故
abc?c?(10,13)
，
.
10?c?13
?

三、解答题（共3个小题，满分40分）
13.（本小题满分13分）下列各式的值
0
4
?
?
2
?
?
3
3
（1）< br>?
?2?
??
?
?
?
?2
?
?10 2?3
?
3
?
??
??
2
??
?1
?8?300

2
3
4
?
1?log2
2
?lg5?lg2?lg4?1?3
（2）
?

??
3
1
2
?
9
?
(1)88 （6分） (2)
?
13
（7分）
6
14．（本小题 满分13分）已知函数f(x)＝log
a
(x＋1)，g(x)＝2log
a
(2x＋
t)(t∈R)，其中x∈[0，15]，a＞0，且a≠1. (1)若1是关于x的方程
f(x)－g(x)＝0的一个解，求t的值；
(2)当0＜a＜1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求t的取值范围
．
解：(1)由题意得f(1)－g(1)＝0，即log
a
2＝2log
a
(2＋t)，
解得t＝－2＋2或t＝－2－2(舍去)，∴t＝－2＋2.
1
(2)不等式f(x)≥g(x)恒成立，即
2
log
a
(x＋1)≥log
a
(2x＋t)(x∈[0，15])
恒成立，
它等价于x＋1≤2x＋t (x∈[0，15])，即t≥x＋1－2x(x∈[0，15])恒
成立
．

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令x＋1＝u(x∈[0，15])，则u∈[1， 4]，x＝u
2
－1，
1
?
2
17
?
x ＋1－2x＝－2(u－1)＋u＝－2
?
u－
4
?
＋
8< br>，
??
2
当u＝1时，x＋1－2x的最大值为1.
15．（本小题14分）已知函数
f(x)?1?
(x>0)．
（I）
当0?a?b,且f(a)?f(b)时
，求
?
的值； （II）是否存在实数a，b（ay?f(x)
的定义域、值域
都是[a，b]？若存在，请求出a，b的值，若不存在，请说明理
由．

?
1
1?,x?1,
?
?
x
15．解：（I） ∵x>0，∴
f(x)?
?

1
?
?1,0?x?1.?
?x
1
a
1
b
1
x
∴f(x)在（ 0，1）上为减函数，在
(1,??)
上是增函数．
由0?
1?1?1?
．即
11
??2
．
ab
1
a
1
b
（II）不存在满足条件的实数a，b．
若存在满足条件的实数a，b，使得函数
域都是[a，b]，
?
1
1?,x?1,
?
?
x
则a>0， 而
f(x)?
?

?
1
?1,0?x?1.
??x
的定义域、值
①当
a,b?(0,1)
时，
f(x)?1
?1
在（0，1）上为减函数．
x
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?
1
?1?b,
?
?
f(a)?b,
a< br>故
?
即
?
解得 a=b．
?
?< br>f(b)?a.
?
1
?1?a.
?
?
b
故此 时不存在适合条件的实数a，b．
② 当
a,b?[1,??)
时，
f(x )?1?
在
(1,??)
上是增函数．
?
1
1??a,< br>?
?
f(a)?a,
?
a
故
?
即
?

f(b)?b.
1
?
?
1??b.
?
?
b
1
x
此时a，b是方程
x
2
?x?1 ?0
的根，此方程无实根．故此时不存在适
合条件的实数a，b．
③ 当
a ?(0,1)
，
b?[1,??)
时,由于
1?[a,b]
,而f(1)?0?[a,b]
,
故此时不存在适合条件的实数a,b．
综上可知，不存在适合条件的实数a，b．



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