高中数学精选知识点串讲(完整版)

高中数学知识点大串讲
1、集合
1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.
2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.
集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.
3、集合的性质：
①任何一个集合是它本身的子集，记为
A?A
；
②空集是任何集合的子集，记为
?
?A
；
③空集是任何非空集合的真子集；
如果
A?B
，同时
B?A
，那么A = B.
如果
A?B，B?C，那么A?C
.
[注]：①Z= {整数}（√） Z ={全体整数} （×）
②已知集合S 中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.（×）
（例：S=N； A=
N
?
，则C
s
A= {0}）
③ 空集的补集是全集.

④若集合A=集合B，则C
B
A =
?
， C
A
B =
?
C
S
（C
A
B）= D （ 注 ：C
A
B =
?
）.
4. ①{（x
，
y）|xy =0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集.
②{（x
，
y）|xy＜0，x∈R，y∈R
?
二、四象限的点集.
③{（x
，
y）|xy＞0，x∈R，y∈R} 一、三象限的点集.
[注]：①对方程组解的集合应是点集.
②点集与数集的交集是
?
. （例：A ={(x，y)| y =x+1} B={y|y =x
2
+1} 则A∩B =
?
）
5. ①n个元素的子集有2
n
个. ②n个元素的真子集有2
n
－1个. ③n个元素的
非空真子集有2
n
－2个.
6集合运算：交、并、补.
交：AB?{x|x?A,且x?B}
并：AB?{x|x?A或x?B}

补：C
U
A?{x?U,且x?A}
7主要性质和运算律
（1） 包含关系
A?A,??A,A?U,C
U
A?U,
A?B,B?C?A?C; AB?A,AB?B;AB?A,AB?B.

B?U
（2） 等价关系：
A?B?AB?A?AB?B?C
U
A
（3） 集合的运算律：

- 1 -

交换律：
A?B?B?A;A?B?B?A.

结合律:
(A?B)?C?A?(B?C);(A?B)?C?A?(B?C)
分配律:.
A?(B?C)?(A?B)?(A?C);A?(B?C)?(A?B)?(A?C)

其它：
?A??,?A?A,UA?A,UA?U
A?A?A,A?A?A.

A∩C
U
A=φ A∪C
U
A=U C
U
(A∩B)= (C
U
A)∪(C
U
B) C
U
(A∪B)= (C
U
A)∩(C
U
B)

2、含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸
1、一元一次不等式

??0

??0

二次函数
y?ax
2
?bx?c

??0

（
a?0
）的图
象
一元二次方程

有两相异实根

x
1
,x
2
(x
1?x
2
)


有两相等实
根
x
1
?x
2
??
b

2a


无实根
ax?bx?c?0
2
?
a?0
?的根
ax
2
?bx?c?0
(a?0)的解集
ax
2< br>?bx?c?0
(a?0)的解集

xx?x
1
或x?x
2

??
?
b
?
?
xx??
?

2a
??

R

?
xx
1
?x?x
2
?

?

?

2.分式不等式的解法
（1）标准化：移项通分化为
f(x)f(x)f(x)f(x)
>0(或<0)； ≥0(或≤0)
g(x)g(x)g(x)g(x)
的形式，
（2）转化为整式不等式（组）
f(x)f(x)
f(x)g(x)?0
? 0?f(x)g(x)?0;?0?
?

?
g(x)?0
?
g(x)g(x)
3.含绝对值不等式的解法 < br>（1）公式法：
ax?b?c
,与
ax?b?c(c?0)
型的不等式 的解法.
（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.
（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.
4.一元二次方程根的分布

- 2 -

一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)
（1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.
（2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之.
3、简易逻辑
1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。
2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：
“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是
简单命题；由简单 命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复
合命题。
构成复合命题的形式：p或q(记作“p∨q” )；p且q(记作“p∧q” )；
非p(记作“┑q” ) 。
3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断
互
逆
原命题逆命题
（1）“非p”形式复合命题的真假与F的真
若p则q若 q则p
互
否
假相反；
为
逆
互
互
（2）“ p且q”形式复合命题当P与q同为
否否
逆
为
真时为真，其他情况时为假；
否
互
逆否命题
（3）“p或q”形式复合命题当p与q同为
否命题< br>若┐q则┐p
若┐p则┐q
互
逆
假时为假，其他情况时为真．

4、四种命题的形式：
原命题：若P则q； 逆命题：若q则p；
否命题：若┑P则┑q；逆否命题：若┑q则┑p。
(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；
(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；
(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．
5、四种命题之间的相互关系：
一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原 命题
?
逆否命
题)
①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。
②、原命题为真，它的否命题不一定为真。
③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。
6、如果已知p
?
q那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。
若p
?
q且q
?
p,则称p是q的充要条件，记为p?q.
7、全称量词与存在量词，全称命题与特称命题。
4、函数
函数三要素是定义域， 对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要
素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定 ，因此只有定义域和对应法则二
者完全相同的函数才是同一函数.
函数的性质
⒈函数的单调性 定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的
值x< br>1
,x
2,

⑴若当x
1
2
时 ，都有f(x
1
)2
),则说f(x)在这个区间上是增函数； < br>⑵若当x
1
2
时，都有f(x
1
)>f(x2
),则说f(x) 在这个区间上是减函数.

- 3 -
2

若函数y=f(x)在某个区间是增函数或 减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严
格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的 单调区间.此时也说函数是这一区间上的
单调函数.
2.函数的奇偶性
奇函数，偶函数：
⑴偶函数：
f(?x)?f(x)

设（
a,b
）为偶函数上一点，则（
?a,b
）也是图象上一点.
偶函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于
y
轴对称，例如：< br>y?x
2
?1
在
[1,?1)
上不是偶函数.
f(x)
?1
. ②满足
f(?x)?f(x)
，或
f(? x)?f(x)?0
，若
f(x)?0
时，
f(?x)
⑵奇函数：< br>f(?x)??f(x)

设（
a,b
）为奇函数上一点，则（
?a,?b
）也是图象上一点.
奇函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于原点对称，例如：
y?x3
在
[1,?1)
上不是奇函数.
f(x)
??1
. ②满足
f(?x)??f(x)
，或
f(?x)?f(x)?0
，若
f(x)?0
时，
f(?x)
x轴对称
??y?f（?x）
②y =（
?????y??f（x）
3、对称变换：①y = （fx）
???
fx）

y轴对称
③y =f（x）
?????y??f（?x）

指数函数与对数函数
指数函数


图

象
-4-3-2-1
原点对称
y?a
x
(a?0且a?1)
的图象和性质
a>1
4.5
4
3.5
04.5
4
3.53
2.5
3
2
2.5
1.5
2
1
y= 1
1.5
0.5
1
y=1
1234
0.5
-0.5
-4
-1
-3-2-11234
-0.5
-1


性
质
(1)定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1
(4)x>0时，y>1;x<0时，(4)x>0时，01.
0（5）在 R上是增函数 （5）在R上是减函数
- 4 -

对数函数y=log
a
x的图象和性质:
对数运算：
loga
(M?N)?log
a
M?log
a
N
(1)
log
a
M
?log
a
M?log
a
N
N
n
N
log
a
M
n
?nlog
a
?
?M
?
12)
log
a
a
log
a< br>1
M?log
a
M
n
?N

log
b
N
换底公式：log
a
N?
log
b
a
推论：log
a
b?log
b
c?log
c
a?1
?log
a
1
a
2
?log
a
2
a
3
?...?log
a
n?1
a
n
?log
a< br>1
a
n
（以上
M?0,N?0,a?0,a?1,b?0,b?1,c ?0,c?1,a
1
,a
2
...a
n
?0且?1
）


- 5 -

a>1 0y
y=log
a
x
a>1
图
O
x
象
x=1
a<1

（1）定义域：（0，+∞）
（2）值域：R
（3）过点（1，0），即当x=1时，y=0
性
质
（4）
x?(0,1)
时
x?(0,1)
时
y?0

y?0

x?(1,??)
时
y?0

时
x?(1,??)
y>0
（5）在（0，+∞）上是增函
数
在（0，+∞）上是减函数
注⑴：当
a,b?0
时，
log(a? b)?log(?a)?log(?b)
.
⑵
y?a
x
（
a?0,a?1
）与
y?log
a
x
互为反函数.
当a?1
时，
y?log
a
x
的
a
值越大，越靠 近
x
轴；当
0?a?1
时，则相反.



- 6 -

5、数 列
1. ⑴等差、等比数列：

等差数列
定义
a
n?1
?a
n
?d

递推公
式
通项公
式
中项
a
n
?a
n?1
?d
等比数列
a
n?1
?q(q?0)

a
n
a
n?a
n?1
q
；
a
n
?a
m
q
n?m
；
a
n
?a
m?n
?md


a
n
?a
1
?(n?1)d

A?
an?k
?a
n?k
2
a
n
?a
1
q< br>n?1
（
a
1
,q?0
）
G??a
n?k
a
n?k
(a
n?k
a
n?k
?0)
（< br>n
,
k?N
*
,
n?k?
0
）
前
n
项
和
S
n
?
n
(a
1
?a
n
)

2
（
n
,
k?N
*
,
n?k?
0
）
?
na
1
( q?1)
?
S
n
?
?
a
1
1?q
n

a
1
?a
n
q
?(q?2)
?
1?q
?
1?q
n(n?1)
S
n
?na
1?d
2
??


重要性


质 *
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
(m,n,p,q?N
*
,m?n?p?q)

a
m
?a< br>n
?a
p
?a
q
(m,n,p,q?N,

m?n?p?q)

等差数列 等比数列
定义
a
n?1
{a
n
}为A?P?a
n?1
?a
n
?d(常数）

{a
n
}为G?P??q(常数）

a
n
通项
公式
a
n
=
a
1+（n-1）d=
a
k
+（n-k）d=
dn

an
?a
1
q
n?1
?a
k
q
n?k< br>
+
a
1
-d
求和
公式
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)
(q?1)
?
na
1
?na
1
?d
?
22
s
n
?
?
a
1
(1?q
n
)
a
1
?a
n
q


d
2
d
(q?1)
?
1? q
?
1?q
?n?(a
1
?)n
?
22

a?b
中项
A= 推广：2
a
n
=
G
2
?ab
。推广：
a
n
2
?a
n?m
? a
n?m

公式
2
s
n
?
a
n?m
?a
n?m

性
质

1
2
若m+n=p+q则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
若m +n=p+q，则
a
m
a
n
?a
p
a
q< br>。
若
{k
n
}
成A.P（其中
k
n
?N
）则若
{k
n
}
成等比数列 （其中
k
n< br>?N
），
{a
k
n
}
也为A.P。 则
{a
k
n
}
成等比数列。
- 7 -

3
．
s
n
,s
2n
? s
n
,s
3n
?s
2n
成等差数
列。
s
n
,s
2n
?s
n
,s
3n
?s
2n
成等比数列。
4
a?a
1
a
m
?an
d?
n
?(m?n)

n?1m?n
q
n?1
?

a
n
a
n?m
?
n

(m?n)
，
q
a
1
a
m
5

⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法：
①
a
n
?a
n?1
?d(n?2,d为常数)
< br>②2
a
n
?a
n?1
?a
n?1
(
n?2
)
③
a
n
?kn?b
(
n,k
为常数).
⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法：
①
a
n
?a
n ?1
q(n?2,q为常数,且?0)

①
2
?a
n?1< br>?a
n?1
(
n?2
，
a
n
a
n? 1
a
n?1
?0
)

②
a
n
注①：i.
b?ac
，是a
、
b
、
c成等比的双非条件，即
b?ac
ii.
b?ac
（a c＞0）→为a
、
b
、
c等比数列的充分不必要.
iii.
b??ac
→为a
、
b
、
c等比数列的必要不充分.
iv.
b??ac
且
ac?0
→为a
、
b
、
c等比数列的充要.
a
、
b
、
c等比数列.
注意：任意两数a
、
c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个.
③
a
n
?cq
n
(
c,q
为非零常数).
④正数列{
a
n
}成等比的充要条件是数列{
log
xa
n
}（
x?1
）成等比数列.
?
s
1?a
1
(n?1)
a?
⑷数列{
a
n
}的前< br>n
项和
S
n
与通项
a
n
的关系：
n
?

s?s(n?2)
n?1
?
n
[注]： ①< br>a
n
?a
1
?
?
n?1
?
d?nd ?
?
a
1
?d
?
（
d
可为零也可不为零→ 为等差数列充要条件（即
常数列也是等差数列）→若
d
不为0，则是等差数列充分条件 ）.
②等差{
a
n
}前n项和
S
n
?An
2
?Bn?
??
n
2
?
?
a
1
?
?
n
→
?
?
d
?
?
2?
?
d
?
2
?
d
2
可以为零也可不为 零→为
等差的充要条件→若
d
为零，则是等差数列的充分条件；若
d
不为零，则是等差数
列的充分条件.
③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是 非零，即不可能有等比数
．．
列）
2. ①等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k
2
倍

- 8 -

S
k
,S
2k
?S
k
,S
3k
?S
2k
...
；
②若等差 数列的项数为2
n
?
n?N
?
?
，则
S
偶
?S
奇
?nd，
S
S
奇
偶
?
a< br>n
a
n?1
；
S
偶
n

n?1< br>③若等差数列的项数为
2n?1
?
n?N
?
?
，则< br>S
2n?1
?
?
2n?1
?
a
n
， 且
S
奇
?S
偶
?a
n
，
S
奇?
?代入n到2n?1得到所求项数
.
n
?
n?1
?
2
3. 常用公式：①1+2+3 …+n =
?
n
?
n?1
?
?
③
1
3?2
3
?3
3
?n
3
?
??
?
2
?
2
②
1
2
?2
2
?3
2< br>??n
2
?
n
?
n?1
??
2n?1
?

6

[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…
?an
?10
n
?1
； 5，55，555，…
?a
n?
5
?
10
n
?1
?
.
9
4. 等比数列的前
n
项和公式的常见应用题：
⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为
a
，年增长率为
r
，则
每年的产量成等比数列，公比为
1?r
. 其中第
n
年产量为
a(1?r)
n?1
，且过
n
年后总
产量为： < br>a?a(1?r)?a(1?r)?...?a(1?r)
2n?1
a[a?(1?r)
n
]
?.

1?(1?r)
⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存
a
元，利息为
r
，每
月利息按复利计算 ，则每月的
a
元过
n
个月后便成为
a(1?r)
n
元. 因此，第二年年初
可存款：
a(1?r)
12
?a(1?r)?a( 1?r)
1110
a(1?r)[1?(1?r)
12
]
?...? a(1?r)
=.
1?(1?r)
⑶分期付款应用题：
a
为分期付 款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；
r
为年利率.
a
?
1?r
?
?x
?
1?r
?
mm?1
?x
?
1?r
?
m?2
?......x
?
1?r
??x?a
?
1?r
?
m
x
?
1?r
?
m
?1ar
?
1?r
?
m
??x?

r
?
1?r
?
m
?1
（三）、数列求和的常用方法
1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
?
c
?
2.裂项相消法:适用于
??
其中{
a< br>n
}是各项不为0的等差数列，c为常数；部
aa
?
nn?1
?
分无理数列、含阶乘的数列等。
?
b
n
?
是各项不为0的等比数列。 3.错位相减法:适用于
?
a
n
b
n
?
其中{
a
n
}是等差数列，
4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法.
5.分组求和法

- 9 -

6.常用结论1）: 1+2+3+...+n =
n(n?1)
2
2） 1+3+5+...+(2n-1) =
n

2
2
1
?
1
?
3）
1
3
?2
3
???n
3
?
?
n(n?1)
?
4 ）
1
2
?2
2
?3
2
???n
2
?n(n?1)(2n?1)

6
?
2
?
5）
1111111
???(?)

n(n?1)nn?1n(n?2)2nn?2
1111
?(?)(p?q)

pqq?ppq
6）
6、三角函数
1. ①与
?
（0 °≤
?
＜360°）终边相同的角的集合（角
?
与角
?
的终 边重合）：
▲
?
?
|
?
?k?360
?
?
?
,k?Z

?
?
y
2
sinx
1
cosx
cosx
3
sinx
4
cosx
cos x
1
sinx
2
②终边在x轴上的角的集合：
?
?
|
?
?k?180,k?Z
?

③终 边在y轴上的角的集合：
?
?
|
?
?k?180
?
?90
?
,k?Z
?

④终边在坐标轴上的角的集合：
?< br>?
|
?
?k?90
?
,k?Z
?

⑤终边在y=x轴上的角的集合：
?
?
|
?
?k?180
?
?45
?
,k?Z
?

⑥终边在
y??x
轴上的角的集合：
?
?
|
?
?k?180
?
?45
?
,k?Z
?

x
sinx
3
4
SINCOS
三角函数值大小关系图
1、2、3、4表示第一、二、三、
四象限一半所 在区域
⑦若角
?
与角
?
的终边关于x轴对称，则角
?
与角
?
的关系：
?
?360
?
k?
?

⑧若角
?
与角
?
的终边关于y轴对称，则角
?
与角
?
的关系：
?
?360
?
k?180
?
?
?

⑨若角
?
与角
?
的终边在一条直线上，则角< br>?
与角
?
的关系：
?
?180
?
k?
?

⑩角
?
与角
?
的终边互相垂直，则角
?与角
?
的关系：
?
?360
?
k?
?
?90
?

2. 角度与弧度的互换关系：360°=2
?
180°=
?
1°=0.01745 1=57.30°=57°18′
注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.
、弧度与角度互换公式： 1rad＝
180
°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝
?
?
≈
180
0.01745（rad）
11
3、弧长公式：
l?|
?
|?r
. 扇形面积公式：
s
扇形
?lr?|
?
|?r
2
< br>22
4、三角函数：设
?
是一个任意角，在
?
的终边上任取< br>y
a
的终边
（异于原点的）一点P（x,y）P与原点的距离为r，则
；
cos
?
?
x
；
tan
?
?
y
；
x
r

5、三 角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四
sin
?
?
y
r
P（x,y)
r
o
x
余
- 10 -

弦）
+
+
o
x
-
-< br>正弦、余割
y
-+
o
-+
x
余弦、正割
y< br>-
+
o
x
+-
正切、余切
O
y
y< br>P
T
M
A
x


6、三角函数线
正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切
线： AT.

7. 三角函数的定义域：
16. 几个重要结论
:
(1)
y
(2)y
|sinx|>|cosx|
sinx>cosx
O
x
|co sx|>|sinx|
O
|cosx|>|sinx|
x
cosx>sinx
|sinx|>|cosx|
?
(3) 若 o2
三角函数
f(x)?
sinx
f(x)?
cosx
f(x)?
tanx
定义域
?
x|x?R
?

?
x|x?R
?
1
??
?
x|x?R且x?k
?
?
?
,k?Z
?

2
??
cos
?
22
?tan
?

sin
?
?cos
?
?1
8、同角三角函数的基本关系式：
sin
?
9、诱导公式：
把

k
?

?
?
的三角函数化为
?
的三角函数 ，概括为：
2
“奇变偶不变，符号看象限”
三角函数的公式：（一）基本关系
公式组二 公式组三
sin(2k
?
?x)?sinxsin(?x)??sinx

sin

x

cos(2k
?
?x)?cosx
cos(?x)?cosx
22
sin
x
·
csc
x
=1tan
x
=sin
x
+cos
x
=1
cosx
tan(2k
?
?x)?tanx
tan(?x)??tanx

cosx
cot(2k
?
?x)?cotx
cot(?x)??cotx
x
= cos
x
·
sec
x
=1
1+tan
2
x
=sec
2
x
公式组一
公式组四
sin

x
公式组五 公式组六 < br>sin(
?
?x)??sinx
tan(
?
?x)?tanx
cot(
?
?x)?cotx
tan
x
·
cot< br>x
=1 1+cot
2
x
=csc
2
x
cos(
?
?x)??cosx

cos(2
?
?x)?cosx

cos(
?
?x)??cosx

tan(2
?
? x)??tanx
cot(2
?
?x)??cotx
tan(
??x)??tanx
cot(
?
?x)??cotx
sin(2
?
?x)??sinxsin(
?
?x)?sinx





- 11 -

（二）角与角之间的互换
公式组一 公式组二
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos< br>?
?sin
?
sin
?
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin?
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

sin2
?
?2sin
?
cos
?


cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?< br>?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?


tan2
?
?

sin
?
2
2tan< br>?
1?tan
2
?

sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

??
1?cos
?

2
tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
?
1?cos
?

cos??

1?tan?
tan
?
22
tan
?
?tan
?

1?tan
?
tan
?
tan
tan(
?
?
?
)?
?
2
??
1?cos
?
sin< br>?
1?cos
?
??
1?cos
?
1?cos
?
sin
?

10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：

y?sinx

y?cosx

y?tanx
y?Asin
?
?
x?
?
?
定义域
值域
周期性
奇偶性






单调性
R
[?1,?1]


R
[?1,?1]

（A、
?
＞0）
1
?

?

?
x|x?R且x?k
?
?
?
,k? Z
?
?
R
?
2
?


2
?

2
?

奇
函数
[?
偶函数

奇函数


?
[
?
2k?1
?
?
,
?
?
?
?
；
?
??k
?
,?k
?
?
?2k
?
,
2
2k
?
]
?
2
?
2
?
2
?2k
?
]
上为增函
数
上为增函数
（
k?Z
）
上为
[2k
?
,

增函
?
2k?1
?
?
]
数；上为减函
数
?
[?2k
?
,
（
k?Z
）
2
3
?
?2k
?
]

2
上为
减函
数
（

k?Z
）
注意 ：①
y??sinx
与
y?sinx
的单调性正好相反；
y??co sx
与
y?cosx
的单调性也同
样相反.一般地，若
y?f(x)
在
[a,b]
上递增（减），则
y??f(x)
在
[a,b ]
上递减（增）.

- 12 -

②
y?sinx
与
y?cosx
的周期是
?
. < br>2
?
▲
y
③
y?sin(
?
x?
?
)
或
y?cos(
?
x?
?
)
（
?
?0
）的周期
T?
y?tan
x
2
?
.
x
O
的周期为2
?
（
T?
?
?
? T?2
?
，如图，翻折无效）.
?
④
y?sin(
?x?
?
)
的对称轴方程是
x?k
?
?
（
k?Z
），对称中心（
k
?
,0
）；
y?cos(
?
x?
?
)
2
的对称轴方程是
x?k
?
（
k?Z
），对称中心（
k
?
?
1
?
,0
）；
y?tan(
?
x?
?
)
的对称中心
2
（
k
?
,0
）.
2
y?cos2x?
原点对称
????y??cos(?2x)??cos2x

⑤当
tan?
·
tan
?
?1,
?
?
?
?k?
?(k?Z)
；
tan
?
·
tan
?
??1,
?
?
?
?k
?
?(k?Z)
.
22
??
?
?
⑥
y?cosx
与
y?sin?
?
x??2k
?
?
是同一函数,而
y?(
?
x?
?
)
是偶函数，则
?
2
?
1
y?(
?
x?
?
)?sin(
?
x?k
?
?
?
)??cos(
?
x)
.
2
⑦函数
y?tanx
在
R
上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个
定义域，
y?tanx
为增函数，同样也是错误的].
⑧定义域关 于原点对称是
f(x)
具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：
一是定义 域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：
f(?x)?
奇函数：
f(?x)??f(x)
）
奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：
y?tanx是奇函数，
y?tan(x?
1
?
)
是非奇非偶.
3< br>f(x)
，
（定义域不关于原点对称）
奇函数特有性质：若
0?x< br>的定义域，则
f(x)
一定有
f(0)?0
.（
0?x
的定义域，则
无此性质）
▲
⑨
y?sinx
不是周期函数；y?sinx
为周期函数（
T?
?
）；
y?cosx
y
▲
y
x
12
x
是周期函数（如图）；
y?cos x
为周期函数（
T?
?
）；
y=cos|x|图象
1y?cos2x?
2
的周期为
?
（如图），并非所有周期函数都有最小正 周期，例如：
y=|cos2x+12|图象
y?f(x)?5?f(x?k),k?R
.
⑩
y?acos
?
?bsin
?
?a
2
?b2
sin(
?
?
?
)?cos
?
?
有
a
2
?b
2
?y
.

- 13 -
b
a

三角函数图象的作法：
１）、几何法：
２）、描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、
余切曲线）.
３）、利用图象变换作三角函数图象．
7、平面向量
1.向量的概念
(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法
AB
；字母表示：
a；
坐标表示法 a＝
ｘｉ
＋
ｙj
＝（
ｘ
，
ｙ
）.
(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜.
(4)特殊的向量：零向量a＝O
?
｜a｜＝O.
单位向量a
O
为单位向量
?
｜a
O
｜＝1. (5)相等的向量：大小相等，方向相同
?
x
1
?x
2
(
ｘ
1
，
ｙ
1
)＝（
ｘ
2
，ｙ
2
）
?
?

?
y
1
?y
2
(6) 相反向量：a=-b
?
b=-a
?
a+b=0
(7)平行向量(共 线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥
b
.平行
向量也称为共线 向量.
3.向量的运算

运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质

a?b?b?a

向量的
加法
1.平行四边形法则
2.三角形法则
a?b?(x
1
?x
2
,y
1< br>?y
2
)

(a?b)?c?a?(b?c)

AB?BC?AC

向量的
减法
a?b?a?(?b)

三角形法则
a?b?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)

AB??BA
,
OB?OA?AB

1.
?
a
是一个向量,满足:
数
乘
向
量
|
?
a|?|
?
||a|

?
(
?
a)?(
??
)a

(
?
?
?
)a?
?
a?
?
a

?
a?(
?
x,
?
y)

2.
?
>0时,
?
a与a
同向;
?
(a?b)?
?
a?
?
b

ab?a?
?
b

?
<0时,
?
a与a
异向;

- 14 -

?
=0时,
?
a?0
.
a?b
是一个数
向
量
的
数
量
积
1.
a?0或b?0
时，
a?b?b?a

(
?
a)?b?a?(
?
b)?
?
(a?b)

a?b?0
.
2.
a?0且b? 0时，
ab?|a||b|cos(a,b)
a?b?x
1
x
2?y
1
y
2


(a?b)?c?a?c?b?c

a?|a|
2
即|a|=x
2
?y
2

|a?b|?|a||b|

2
4.重要定理、公式
(1)平面向量基本定理
e
1
，e
2
是同一平面内两个不 共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有
且仅有一对实数λ
1
，
λ
2
，使a＝λ
1
e
1
＋λ
2
e
2
.


(2)两个向量平行的充要条件
a∥b
?
a＝λb(b
≠
0)
?
x
1
y
2
－x2
y
1
＝O.
(3)两个向量垂直的充要条件
a⊥b
?
a·b＝O
?
x
1
x
2
＋y
1
y
2
＝O.
(4)中点公式：
x
1
?x
2?
x?,
?
?
1
2
OP
＝（
OP
1
＋
OP
2
）或
?
y?y
2
2
?
y?
1
.
?
2
?
(5)平移公式
设点
P
(x，y)按向量a＝（
ｈ
，
ｋ
）平移后得 到点
P
′（x′，y′），
?
x
?
?x?h,
则
OP
?
＝
OP
+a或
?

?
y? y?k.
?
曲线y＝f（x）按向量a＝（
ｈ
，
ｋ
）平移后 所得的曲线的函数解析式为：
y－
ｋ
＝f（x－
ｈ
)

- 15 -

(6)正、余弦定理
正弦定理：

abc
???2R.

sinAsinBsinC
余弦定理：a2
＝b
2
＋c
2
－2
bc
cos
A< br>，
b
2
＝c
2
＋a
2
－2cacos
B
，
c
2
＝a
2
＋b
2
－2abcos
C
.




（7）三角形面积计算公式： 设△ABC的三边为a
，
b
，
c
，
其高分别为h
a
，
h
b
，
h
c
，
半周长为P，外接圆 、内切
圆的半径为R
，
r.
①S
△
=12ah
a
=12bh
b
=12ch
c
②S
△
=Pr ③S
△
=abc4R
④S
△< br>=12sinC
·
ab=12ac
·
sinB=12cb
·< br>sinA ⑤S
△
=
P
?
P?a
??
P ?b
??
P?c
?
[
海伦公
式
]
⑥S
△
=12（b+c-a）r


附：三角形的五个“心”；
重心：三角形三条中线交点.
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.
内心：三角形三内角的平分线相交于一点.
垂心：三角形三边上的高相交于一点.

空间向量
1．空间向量的概念：
具有大小和方向的量叫做向量
注：⑴空间的一个平移就是一个向量
⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量
⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示
2．空间向量的运算
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下
?
?
OB?OA?AB?a?b

?
?
BA?OA?OB?a?b

?
OP?
?
a(
?
?R)

?
??
?
运算律：⑴加法交换律：
a?b?b?a

?
?
??
?
?
(a
⑵加法结合律：
?b)?c? a?(b?c)


- 16 -

?
?
?
?
⑶数乘 分配律：
?
(a?b)?
?
a?
?
b

3共线向量
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向?
?
?
?
量或平行向量．
a
平行于
b
记作
ab
．
?
?
?
?
?
?
当我 们说向量
a
、
b
共线（或
a

b
）时，表示
a
、
b
的有向线段所在的直线
可能是同一直线，也可能是平行直线．
4．共线向量定理及其推论：
?
??
?
?
?
共线 向量定理：空间任意两个向量
a
、
b
（
b
≠
0），
a

b
的充要条件是存在
?
?
实数λ，使< br>a
＝λ
b
.
?
推论：如果
l
为经过已知点 A且平行于已知非零向量
a
的直线，那么对于任意
一点O，点P在直线
l上的充要条件是存在实数t满足等式
?
OP?OA?t
a
．
?
其中向量
a
叫做直线
l
的方向向量.
5．向量与平面平行：
已知平面
?
和向量
a
，作
OA?a
，如果直线
OA
平行于
?
或在
?
内，那么 我们
说向量
a
平行于平面
?
，记作：
a
?
．
通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量
说明：空间任意的两向量都是共面的
6．共面向量定理：
如果两个向量
a,b
不共线，
p
与向 量
a,b
共面的充要条件是存在实数
x,y
使
p?xa?yb

推论：空间一点
P
位于平面
MAB
内的充分必要条件是存在有序 实数对
x,y
，
使
MP?xMA?yMB
或对空间任一点
O
，有
OP?OM?xMA?yMB
①
①式叫做平面
MAB
的向量表达式


7空间向量基本定理：
如果三个向量
a,b,c
不共面，那么对空间任一向 量
p
，存在一个唯一的有序实
数组
x,y,z
，使
p?xa ?yb?zc

推论：设
O,A,B,C
是不共面的四点，则对空间任一点< br>P
，都存在唯一的三个
有序实数
x,y,z
，使
OP?xOA?yOB?zOC

8空间向量的夹角及其表示：
已知两非零向量
a,b
，在空间任取一点O
，作
OA?a,OB?b
，则
?AOB
叫做向

- 17 -

量
a
与
b
的夹角 ，记作
?a,b?
；且规定
0??a,b??
?
，显然有
? a,b???b,a?
；
若
?a,b??
?
2
9．向量的模 ：
，则称
a
与
b
互相垂直，记作：
a?b
. < br>设
OA?a
，则有向线段
OA
的长度叫做向量
a
的长 度或模，记作：
|a|
.
10．向量的数量积：
a?b?
|a|?|b|?cos?a,b?
．
已知向量
AB?a
和轴
l
，
e
是
l
上与
l
同方向的 单位向量，作点
A
在
l
上的射
影
A
?
，作 点
B
在
l
上的射影
B
?
，则
A
?
B
?
叫做向量
AB
在轴
l
上或在
e
上的正射影.
可以证明
A
?
B
?
的长度
|A< br>?
B
?
|?|AB|cos?a,e??|a?e|
．
11．空间向量数量积的性质：
（1）
a?e?|a|cos?a,e?
． （2）
a?b?a?b?0
．（3）
|a|
2
?a?a
．
12．空间向量数量积运算律：
（1）
(
?
a)?b?
?
(a?b)?a?(
?
b)
．（2）
a?b?b?a
（交换 律）（3）
a?(b?c)?a?b?a?c
（分配律）．
8、不等式
1. 不等式的基本概念
（1） 不等（等）号的定义：
a?b?0?a?b;a?b?0?a?b;a?b?0?a?b.

（2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.
（3） 同向不等式与异向不等式.
（4） 同解不等式与不等式的同解变形.
2.不等式的基本性质
（1）
a?b?b?a
（对称性）
（2）
a?b,b?c?a?c
（传递性）
（3）
a?b?a?c?b?c
（加法单调性）
（4）
a?b,c?d?a?c?b?d
（同向不等式相加）
（5）
a?b,c?d?a?c?b?d
（异向不等式相减）
（6）
a.?b,c?0?ac?bc

（7）
a?b,c?0?ac?bc
（乘法单调性）
（8）
a?b?0,c?d?0?ac?bd
（同向不等式相乘）
(9)a?b?0,0?c?d?
ab
?
cd
（异向不等式相除）
- 18 -

(10)a?b,ab?0?
11
?
（倒数关系）
ab
（11）
a?b?0?a
n
?b
n
(n?Z, 且n?1)
（平方法则）
（12）
a?b?0?
n
a?
n
b(n?Z,且n?1)
（开方法则）
3.几个重要不等式
（1）
若a?R,则|a|?0,a
2
?0

（2）
若a、b?R
?
,则a
2
?b
2
?2ab(或a
2
?b
2
?2|ab|?2ab)
（当仅当a=b时取等号）
（3）如果a,b都是正数，那么
ab?
a?b
.
（当仅当a=b时取等号）
2
极值定理： 若
x,y?R
?
,x?y?S,xy?P,
则：
1如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小；
○
2如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大.
○
利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.
(4)若a、b、c? R
?
,则
a?b?c
3
?abc
3
（当仅当a=b =c时取等号）
a=b时取等号）
|x|?a?x
2
?a
2
??a?x?a

ba< br>(5)若ab?0,则??2
（当仅当
ab
(6)a?0时，|x|?a?x< br>2
?a
2
?x??a或x?a;
（7）
若a、b?R,则|| a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|

4.几个著名不等式
（1）平均不等式： 如果a,b都是正数，那么
a?b
?ab??
1 1
2
?
ab
2a
2
?b
2
（当仅当
.
2
a=b时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a
、
b为正数）：
5.不等式的解法
（1）整式不等式的解法（根轴法）.
步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.
特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；
②一元二次不等式ax
2
+bx+c>0(a≠0)解的讨论.
（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
f(x)
?0?f(x)g(x) ?0;
g(x)
?
f(x)g(x)?0
f(x)

?0?
?
g(x)?0
g(x)
?
（4）.指数不等式：转化为代数不等式
a
f(x)
?a
g(x)
(a?1)?f(x)?g(x);
a
f(x)
a
f(x)
?a
g(x)
(0?a?1)?f (x)?g(x)

?b(a?0,b?0)?f(x)?lga?lgb
（5）对数不等式：转化为代数不等式

- 19 -

logx)?lo
a
ggx(a) ?(
a
f(
?
f(x)?0
?
?1)
?
g x?()0
?
f(x)?g(x)
?
;
a
lofg?x()
a
?0
?
f(x)
?

)lgogx?(?)a( ?0
?
1)g?x(
?
f(x?)g(x)
?
0
（ 6）含绝对值不等式

9、直线和圆的方程
一、直线方程.
1. 直线 的倾斜角：一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线
的倾斜角，其中直线与
x
轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是
?
0
?
?
?
?180(0?
?
?
?
)
.
注：①当
?
?90
?
或
x
2
?x
1
时，直 线
l
垂直于
x
轴，它的斜率不存在.
②每一条直线都存在惟一的倾 斜角，除与
x
轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一
条直线都有惟一的斜率，并且当直 线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.
2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.
特别地，当直线经过两点
(a,0 ),(0,b)
，即直线在
a,b(a?0,b?0)
时，直线方程是：
x< br>轴，
y
轴上的截距分别为
x
y
??1
.
a b
注：若
y??
2
x?2
是一直线的方程，则这条直线的方程是y??
2
x?2
，但若
33
y??
2
x?2( x?0)
则不是这条线.
3
附：直线系：对于直线的斜截式方程
y?kx? b
，当
k,b
均为确定的数值时，它表示
一条确定的直线，如果
k, b
变化时，对应的直线也会变化.①当
b
为定植，
k
变化时，
它们表示过定点（0，
b
）的直线束.②当
k
为定值，
b
变化时，它们表示一组平行
直线.
3. ⑴两条直线平行：
l
1
∥
l
2
?k
1
?k
2
两条直线平行的条件是：①< br>l
1
和
l
2
是两条不重合的直线. ②在
l
1
和
l
2
的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”
都会导致结论的错误.
（一般的结论是： 对于两条直线
l
1
,l
2
，它们在
y
轴上的纵截距 是
b
1
,b
2
，则
l
1
∥
l2
?k
1
?k
2
，且
b
1
?b
2
或
l
1
,l
2
的斜率均不存在，即
A
1
B
2
?B
1
A
2
是平行的必要不充分条件，且
C
1
?C
2
）
推论：如果两条直线
l1
,l
2
的倾斜角为
?
1
,
?
2则
l
1
∥
l
2
?
?
1
??
2
.
⑵两条直线垂直：
两条直线垂直的条件：①设两条直线
l
1
和
l
2
的斜率分别为
k
1
和
k
2
，则有

- 20 -

l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1
这里的前提是
l
1
,l2
的斜率都存在. ②
l
1
?l
2
?k
1?0
，且
l
2
的斜率不存
在或
k
2
? 0
，且
l
1
的斜率不存在. （即
A
1
B
2
?A
2
B
1
?0
是垂直的充要条件）
5. 过 两直线
?
l
1
:A
1
x?B
1
y?C1
?0
?
?
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
的交点的直线系方程
A
1
x?B
1
y?C
1
?
?
(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0(
?
为参数，
A
2
x?B
2
y?C
2
?0
不包括在内）
6. 点到直线的距离：
⑴点到直线的距离公式：设点
P(x
0
,y
0
)
， 直线
l:Ax?By?C?0,P
到
l
的距离为
d
，则有
d?
Ax
0
?By
0
?C
A?B
2 2
.
⑵两条平行线间的距离公式：设两条平行直线
l
1
:Ax?B y?C
1
?0,l
2
:Ax?By?C
2
?0(C
1
?C
2
)
，它们之间的距离为
d
，则有
d?C
1
?C
2
A?B
22
.
注；直线系方程
1. 与直线：Ax+By+C= 0平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.( m?R, C≠m).
2. 与直线：Ax+By+C= 0垂直的直线系方程是：Bx-Ay+m=0.( m?R)
3. 过定点（x
1
,y
1
）的直线系方程是： A(x-x
1
)+B(y-y
1
)=0 (A,B不全为0)
4. 过直线l
1
、l
2
交点的直线系方程：（A
1
x+B
1
y+C
1
）+λ( A
2
x+B
2
y+C
2
）=0 (λ?R） 注：
该直线系不含l
2
.

二、圆的方程.
1. ⑴曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线
C
上的 与一个二元方程
f(x,y)?0
的实数建立了如下关系：
①曲线上的点的坐标都是这个方程的解.
②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）.
⑵曲线和方程的关系，实质 上是曲线上任一点
M(x,y)
其坐标与方程
f(x,y)?0
的一
种关系，曲线上任一点
(x,y)
是方程
f(x,y)?0
的解；反过来，满 足方程
f(x,y)?0
的
解所对应的点是曲线上的点.
注：如果曲线C的方程是f(x ,y)=0，那么点P
0
(x
0
,y)线C上的充要条件是f(x
0
,y
0
)=0
r
为 半径的圆的标准方程是
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
. 2. 圆的标准方程：以点
C(a,b)
为圆心，
特例：圆心在坐标原点 ，半径为
r
的圆的方程是：
x
2
?y
2
?r
2
.

- 21 -

3. 圆的一般方程：
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
. < br>?
DE
?
当
D?E?
4
F?
0
时， 方程表示一个圆，其中圆心
C
?
?,?
?
2
??
2
22
，半径
r?
D
2
?E
2
?4F
2
.
当
D
2
?E
2
?4F?0
时，方 程表示一个点
?
?
?
DE
?
,?
?
. < br>2
??
2
当
D
2
?E
2
?
4
F?
0
时，方程无图形（称虚圆）.
注：①圆的参数方程：
?< br>?
x?a?rcos
?
?
y?b?rsin
?
（?
为参数）.
②方程
Ax
2
?Bxy?Cy
2
?Dx?Ey?F?0
表示圆的充要条件是：
B?0
且
A?C?0
且
D
2
?E
2
?
4
AF?
0
.
③圆的直径或方程：已知
A(x
1
,y
1
)B(x
2
,y
2
)?(x?x
1
)(x?x
2
)?(y? y
1
)(y?y
2
)?0
（用向量可
征）.
4. 点和圆的位置关系：给定点
M(x
0
,y
0
)
及圆
C:(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
.
①< br>M
在圆
C
内
?(x
0
?a)
2
?( y
0
?b)
2
?r
2

（x
0
? a)
2
?(y
0
?b)
2
?r
2
②M
在圆
C
上
?
③
M
在圆
C
外
?(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2?r
2

5. 直线和圆的位置关系：
设圆圆
C
：< br>(
x?a
)
2
?
(
y?b
)
2?r
2
(
r?
0)
； 直线
l
：
Ax?By?C?0(A
2
?B
2
?0)
；
圆心
C(a,b)
到直线
l
的距离
d?
①
d?r
时，
l
与
C
相切；
22
?
?
x?y?D1
x?E
1
y?F
1
?0
?
相减为公切线方程 . 附：若两圆相切，则
?
22
?
?
x?y?D
2
x?E
2
y?F
2
?0
Aa?Bb?C
A?B
22
.
②
d?r
时，
l
与
C
相交；
C
1
:x
2
?y
附 ：公共弦方程：设
2
?D
1
x?E
1
y?F
1
?0

C
2
:x
2
?y
2
?D
2
x?E
2
y?F
2
?0
有两个交点，则其公共弦方程为
(D
1
?D
2
)x?(E
1
?E
2
)y?(F
1
?F
2
)?0
.
③
d?r
时，
l
与
C
相离.
22
?
?
x?y?D
1
x?E
1
y?F
1
? 0
?
相减为圆心
O
1
O
2
附：若两圆相离，则?
22
?
?
x?y?D
2
x?E
2
y ?F
2
?0
的连线的中与线方
程.

- 22 -

?
?
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
由代数特征判断：方程组
?
用代入 法，得关于
x
（或
y
）的一元二
?
?
Ax?Bx? C?0
次方程，其判别式为
?
，则：
??0?l
与
C
相切；
??0?l
与
C
相交；
??0?l
与
C
相离.
注：若两圆为同心圆则
x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
，
x
2
?y
2
?D
2
x?E
2
y?F
2
?0
相减，不表示
直线.
10、圆锥曲线方程
一、椭圆方程.
1. 椭圆方程的第一定义：
PF
1
?PF
2
?2a
?
F
1
F
2
方程为椭圆,
PF
1
?PF
2
?2a
?
F
1
F
2
无轨迹,
PF
1
?PF
2
?2a?F
1
F
2
以F
1
,F
2
为端点 的线段

⑴①椭圆的标准方程：
i. 中心在原点，焦点在x轴上：
x2
?
y
2
ab
y
2
a
2
2< br>2
?1(
a?b?
0)
. ii. 中心在原点，焦点在
y< br>轴上：
?
x
2
b
2
?1(
a?b?
0)
.
2
②一般方程：
Ax
为
?
?
x? acos
?
?
y?bsin
?
?By?
1(
A?< br>0,
B?
0)
.③椭圆的标准参数方程：
2
x
2a
2
?
y
2
b
2
?
1
的参数 方程
（一象限
?
应是属于
0?
?
?
?
2< br>）.
⑵①顶点：
(?a,0)(0,?b)
或
(0,?a)(?b, 0)
.②轴：对称轴：x轴，
y
轴；长轴长
2a
，短轴
长< br>2b
.③焦点：
(?c,0)(c,0)
或
(0,?c)(0,c)< br>.④焦距：
F
1
F
2
?2c,c?a
2
?b
2
a
2
c
或
y??
.⑥离心率：
e?(0 ?e?1)
.⑦焦点半径：
c
a
a
2
.⑤准线：
x??
c
i. 设
P(x
0
,y
0
)
为椭圆
x
2
a
2
?
y
2
b
2
PF
1
?a?ex
0
,PF
?1(
a?b?
0)
上的一点，
F
1
,F
2
为左、右焦点，则
2
?a?ex
0
?
由椭圆方程的第二定义可以推出.
ii .设
P(x
0
,y
0
)
为椭圆
x
2
b
2
?
y
2
a
2
PF
1
?a? ey
?1(
a?b?
0)
上的一点，
F
1
,F2
为上、下焦点，则
0
,PF
2
?a?ey
0
?
由椭圆方程的第二定义可以推出.
由椭圆第二定义可知：
为“左加右减”. < br>注意：椭圆参数方程的推导：得
N(acos
?
,bsin
?
)?
方程的轨迹为椭圆.
⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：
d?

a
2
a
2
pF
1
?e(x
0
?) ?a?ex
0
(x
0
?
0),pF
2
?e(?x
0
)?
ex
0
?
a
(
x
0
?
0)
归结起来
cc
2b
2
a
2
b
2
b
2
(?c,)
和
(c,)

a
a
- 23 -

⑶共离心率的椭圆系的方程： 椭圆
方程
x
2
a
2
?
y
2
b2
?t(t
是大于
x
2
a
2
?
y2
b
2
?1(
a?b?
0)
的离心率是
e?< br>c
(c?a
2
?b
2
)
，
a
0的参 数，
a?b?0)
的离心率也是
e?
c
我们称此方程为共
a
离心率的椭圆系方程.
⑸若P是椭圆：
?
2< br>x
2
a
2
?
y
2
b
2
?1
上的点.
F
1
,F
2
为焦点，若
?F
1< br>PF
2
?
?
，则
?PF
1
F
2的面积
?
2
为
b
2
tan
（用余弦定理与PF
1
?PF
2
?2a
可得）. 若是双曲线，则面积为
b
2
?cot
.
二、双曲线方程.
1. 双曲线的第一定义：
PF
1
?PF
2
?2a
?
F
1
F
2
方程为双曲线
PF
1
?PF
2
?2a
?
F
1
F
2
无轨迹
PF
1
?PF
2
?2a?F
1
F
2
以F
1
,F
2
的一个端点的一条射线
▲
y
(
bcos
?
,
bsin
?
)
(
acos
?
,
asin
?
)
N
x

N的轨迹是椭圆
⑴ ①双曲线标准方程：
Ax
2
?Cy
2
?
1(
AC?
0)
.
x
2
a
2
?
y
2
b
2
?1(a,b
?
0),
y
2
a
2< br>?
x
2
b
2
?1(
a
,
b?
0)
. 一般方程：
⑵①i. 焦点在x轴上：
a
2
x
y
顶点：
(a,0),(?a,0)
焦点：
(c,0),(?c,0)
准线方程
x??
渐近线方程：??0
或
c
ab
x
2
a
2
?
y
2
b
2
?0

a
2
ii. 焦点在
y
轴上：顶点：
(0,?a),(0,a)
. 焦点：
(0,c),(0,?c)
. 准线方程：
y??
. 渐
c
y
2
x
2
y
x
近线方程：
??0
或
2
?
2
?0
，②轴
x,y
为对称轴，实轴长为< br>ab
ab
2a, 虚轴长为2b，
焦距2c.
c
③离心率
e?
a
2a
2
2b
2
. ④准线距（两准线的距离）；通径. ⑤参数关
ca
系
c
2
?a< br>2
?b
2
,e?
.
⑶等轴双曲线：双曲线
x
2
?y
2
??a
2
称为等轴双曲线，其渐近线方程为
y? ?x
，离心
率
e?2
.
⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴 ，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双
x
2
y
2
x
2
y
2
曲线的共轭双曲线.
2
?
2
?
?
与< br>2
?
2
??
?
互为共轭双曲线，它们具有共同的渐
a b
ab
c
a
近线：
x
2
a
2
?< br>y
2
b
2
?0
.
x
2
a
2
⑸共渐近线的双曲线系方程：
?
y
2
b
2
??
(
?
?0)
的渐近线方程为
x
2
a
2
?
y
2
b
2
?0
如果双曲
x
2
y
2
x
y
线的渐近线为
??0
时，它的双曲线方程 可设为
2
?
2
?
?
(
?
?0)
.
ab
ab
三、抛物线方程.

- 24 -

3. 设
p?0
，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：

图形
y?2px

2
▲
y
2
??2px

▲
x
2
?2py

x
2
??2py

y
y
▲
y
▲< br>y
x
O
x
O
x
O
x
O

焦点
准线
范围
对称轴
顶点
离心率
焦点
F(
p
,0)

2
p
2
F(?
x?
p
,0)

2
p
2

F(0,
y??
p
)

2
p
2

F(0,?
y?
p
2
p
)
2


x??

x?0,y?R

x?0,y?R

x
轴
x?R,y?0

x?R,y?0

y
轴
（0，0）
e?1

PF?
p
?x
1

2
PF?
p
?x
1
2

PF?
p
?y
1

2
PF?
p
?y
1
2

注：①
a y
2
?by?c?x
顶点
(
4ac?b
2
b
?)
.
4a2a
?x?
P
2
②
y
2< br>?2px(p?0)
则焦点半径
PF
;
x
2
?2py (p?0)
则焦点半径为
PF?y?
P
2
.
③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.
?
x?2pt
2
④
y?2px
（或
x?2py
）的参数方程为
?
?
y ?2pt
22
（或
?
?
x?2pt
2
?
y ?2pt
）（
t
为参数）.
四、圆锥曲线的统一定义..
4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F和定直线
l
的距离之比为常数
e
的点的 轨
迹.
当
0?e?1
时，轨迹为椭圆；
当
e?1
时，轨迹为抛物线；
当
e?1
时，轨迹为双曲线；
当
e?0
时，轨迹为圆（< br>e?
，当
c?0,a?b
时）.
5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线
的交点是关于原点对称的.
因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD与BC的中点重合即可.
注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质

椭圆 双曲线 抛物线
定义 1．到两定点F
1
,F
2
的1．到两定点F
1
,F
2
的

距离之和为定值距离之差的绝对值
2a(2a>|F< br>1
F
2
|)的点的为定值
轨迹 2a(0<2a<|F
1
F
2
|)的点

- 25 -
c
a

图形

标准
方 方程


程
参数
方程
范围
中心
顶点
对称轴
的轨迹
2．与定点和直线的距2．与定点和 直线的与定点和直线的距离
离之比为定值e的点距离之比为定值e的相等的点的轨迹.
的轨迹.（01）

x
2
y< br>2
?
2
?1
xy
2
??1
(>0)
a?b
ab
a
2
b
2
(a>0,b>0)
22
y
2
=2px
?
x?acos
?
?
y?bsin
?

?
(参数
?
为离心角）
─a?x?a，─b?y?b
原点O（0，0）
(a,0), (─a,0), (0,b) ,
(0,─b)
x轴，y轴；
长轴长2a,短轴长2b
?
x?asec
?
?
y?btan
?

?
(参数
?
为离心角）
|x| ? a，y?R
原点O（0，0）
(a,0), (─a,0)
?
x?2pt
2
?
y?2pt
(t为参数)
?
x?0

(0,0)
焦点
焦距
离心率
准线
x轴，y轴; x轴
实轴长2a, 虚轴长
2b.
p
F
1
(c,0), F
2
(─c,0) F
1
(c,0), F
2
(─c,0)
F(,0)

2

2222
2c （c=
a?b
） 2c （c=
a?b
）
e?
c
(0?e?1)

a
e?
c
(e?1)

a
e=1
x??
p

2
a
2
x=
?

c
a
2
x=
?

c
渐近线
焦半径
通径

y=±
b
x
a

r?x?
p

2
r?a?ex

2b
2

a
a
2

c
r??(ex?a)

2b
2

a
a
2

c

2p

P
焦参数
11、立体几何
一、 平面.
1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.
注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.
2. 两个平面可将平面分成3或4部分.（①两个平面平行，②两个平面相交）
3. 过三 条互相平行的直线可以确定1或3个平面（①三条直线在一个平面内平行，.
②三条直线不在一个平面内 平行）

- 26 -

[注]：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有0或1个.
4. 三个平面最多可把空间分成 8 部分.（X、Y、Z三个方向）
二、 空间直线.
1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共
点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内 [注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（可能两条
直线平行，也 可能是点和直线等）
②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交
③若直线a
、< br>b异面，a平行于平面
?
，b与
?
的关系是相交、平行、在平面
?
内.
④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.
⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是
其他图形）
⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一点向这
．．
个平面所引的垂线段和斜线段）
⑦
a,b
是夹在两平行平面间的线段，若
a ?b
，则
a,b
的位置关系为相交或平行或异
面.
2. 异面直线 判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的
直线是异面直线.（不在任何一个平 面内的两条直线）
3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么
这两个角相等（如下图）.
（二面角的取值范围
?
?
?
0
?
,180
?
?
）
（直线与直线所成角
?
?
?
0
?
,90
?
?
）
（斜线与平面成角
?
?
?
0
?
,90
?
?
）
（直线与平面所成角
?
?
?
0
?
,90
?
?
）
（向 量与向量所成角
?
?[0
?
,180
?
])
1
2
方向相同
方向不相同
1
2
推论：如果两条相交直线 和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角
（或直角）相等.
5. 两异面直线的距离：公垂线的长度.
空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直. l
1
,l
2
是异面直线，则过
l
1
,l
2
外一点P，过点P且与
l
1
,l
2
都平行平面有一个或 没有，
但与
l
1
,l
2
距离相等的点在同一平面内. （< br>L
1
或
L
2
在这个做出的平面内不能叫
L
1
与
L
2
平行的平面）
三、 直线与平面平行、直线与平面垂直.
1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.
2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，

- 27 -

那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）
[注]：①直线
a与平面
?
内一条直线平行，则
a
∥
?
. （×）（平面外一条直线）
②直线
a
与平面
?
内一条直线相交，则
a
与平面
?
相交. （×）（平面外一条直线）
③若直线
a
与平面
?
平行，则
?
内必存在无数条直线与
a
平 行. （√）（不是任意
一条直线，可利用平行的传递性证之）
④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可
能在此平面内）
⑤平行于同一直线的两个平面平行.（×）（两个平面可能相交）
⑥平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面）
⑦直线
l< br>与平面
?
、
?
所成角相等，则
?
∥
?
.
（×）（
?
、
?
可能相交）
3. 直线和平面平行性 质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平
面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 .（“线面平行，线线平行”）
4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且 只有一条直线
和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.
? 若
P A
⊥
?
，
a
⊥
AO
，得
a
⊥PO
（三垂线定理），
得不出
?
⊥
PO
. 因为
a
⊥
PO
，但
PO
不垂直OA.
? 三垂线定理的逆定理亦成立.
直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直 线都垂
直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）
直线与平面垂直的 判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另
一条也垂直于这个平面.
推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.
[注]：①垂直于同一平面的 两个平面平行.（×）（可能相交，垂直于同一条直线
．．．．．．．．．
P
O
a
A
的两个平面平行）
②垂直于同一直线的两个平面平行.（√）（一条直线垂直 于平行的一个平面，必
垂直于另一个平面）
③垂直于同一平面的两条直线平行.（√）
5. ⑴垂线段和斜线段长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，
．．①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影
相等，较长的斜线段 射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.
[注]：垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.（×）]
⑵射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的 两边的距离相等，那么这点
在平面内的射影在这个角的平分线上
四、 平面平行与平面垂直.
1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.
2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有 两条相交直线都平行于另一个平面，哪
么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”）
推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.
[注]：一平面间的任一直线平行于另一平面.
3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平 面平行同时和第三个平面相交，那么它
们交线平行.（“面面平行，线线平行”）
4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂
直.
两个平面垂 直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的
平面垂直于这个平面.（“线面垂直 ，面面垂直”）

- 28 -

注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系.
5. 两个平面 垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交
P
线的直线也垂直于另一个 平面.
?
?
推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.
证明：如图，找O作OA、OB分别垂直于
l
1
,l
2
，
θ
B
M
A
O
因为
PM?
?
,OA ?
?
,PM?
?
,OB?
?
则
PM?OA,PM? OB
.
五、 棱锥、棱柱.
1. 棱柱.
⑴①直棱柱侧面积：
S?Ch
（
C
为底面周长，
h
是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的.
②斜棱住侧面积：
S?C
1
l
（
C
1
是斜棱柱直截面周长，
l
是斜棱柱的侧棱长）该公式
是利用斜 棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.
⑵{四棱柱}
?
{平行六面体}
?
{直平行六面体}
?
{长方体}
?
{正四棱柱}
?
{正方体}.
{直四棱柱}
?
{平行六面体}={直平行六面体}.
四棱 柱
底面是侧棱垂直底面是
平行六面体直平行六面体
底面矩形
平行四边形
长方体
底面是
正方形
正四棱柱
侧面与
正方体
底面边长相等

⑶棱柱具有的性质：
①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱 柱的各个侧面都是
．．．．．．
矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.
．．．．．．．
②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形.
．．
③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.
注：①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. （×）
（直棱柱不能保证底面是钜形可如图）
②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直.
⑷平行六面体：
附：①圆柱体积：
V?
?
r
2
h
（
r
为半径，
h
为高）
②圆锥体积：
V?
1
?
r
2
h
（
r
为半径，
h
为 高）
3
③锥形体积：
V?
1
Sh
（
S
为 底面积，
h
为高）
3
R
O


4. ① 内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a，
h?
得
3
2
3
2
6
a
，
S
侧
?a

a
，S
底
?
44
3
3
2
63
2
1 3
2
2426
a?a?a?R??a?R?R?a3?a?3?a
.
434344344
11
V??S?R?3?S
底
?R?S
底?h
注：球内切于四面体：
B?ACD
侧
33
②外接球：球外 接于正四面体，可如图建立关系式.

- 29 -

六. 空间向量.
1. （1）共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相
平行或重合.
注：①若
a
与
b
共线，
b
与
c
共线，则< br>a
与
c
共线.（×） [当
b?0
时，不成立]
②向量
a,b,c
共面即它们所在直线共面.（×） [可能异面]
③若< br>a
∥
b
，则存在小任一实数
?
，使
a?
?< br>b
.（×）[与
b?0
不成立]
④若
a
为非零向量 ，则
0?a?0
.（√）[这里用到
?
b(b?0)
之积仍为向量]
（2）共线向量定理：对空间任意两个向量
a,b(b?0)
，
a
∥
b
的充要条件是存在实
数
?
（具有唯一性），使
a??
b
.
（3）共面向量：若向量
a
使之平行于平面
?
或
a
在
?
内，则
a
与
?
的关系是 平行，
记作
a
∥
?
.
（4）①共面向量定理：如果两个向 量
a,b
不共线，则向量
P
与向量
a,b
共面的充要
条件是存在实数对x、y使
P?xa?yb
.
②空间任一点和不共线三点、B、C ，则
OP?xOA?yOB?zOC(x?y?z?1)
是PABC
．．．
O
．．．．．．．
A
．．．．．
四点共面的充要条件.（简证：
OP? (1?y?z)OA?yOB?zOC?AP?yAB?zAC?
P
、
A
、< br>B
、
C四点共面）
注：①②是证明四点共面的常用方法.
2. 空 间向量基本定理：如果三个向量，那么对空间任一向量
P
，存在
．．．．
a, b,c
不共面
．．．
一个唯一的有序实数组x
、
y
、
z，使
p?xa?yb?zc
.
推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P, 都存在唯一的有序实
数组x
、
y
、
z使
OP?xOA?yOB?zOC
(这里隐含x+y+z≠1).
注：设四面体ABCD的三条棱，
AB?b,AC?c,AD?d,
其
B< br>G
M
1
中Q是△BCD的重心，则向量
AQ?(a?b?c)
用
AQ?AM?MQ
即证
C
.
3
A
D
3. （1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为 横坐标），y轴是
纵轴（对应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）.
①令
a=(a
1
,a
2
,a
3
),
b?(b
1
,b
2
,b
3
)
，则
a?b?(a
1
?b
1
,a
2
?b
2
,a
3
?b
3
)
?
a?(
?
a
1
,
?
a
2
,
?
a
3
)(
?
?R)

a?b?a
1
b
1
?a
2
b
2
? a
3
b
3

a
∥
- 30 -

b?a
1
?
?
b
1
,a
2
?
?
b
2
,a
3
?
?
b
3
(
?
?R)
?
a
1
a
2a
3

a?b?a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
?0

??
b
1
b
2
b
3
a?a?a?a
1
2
?a
2
2
?a
3
a
2
?a?a?a?a ?a
)
?
?
?
?
a?b
cos?a,b???
?
?
|a|?|b|
2
(用到常用的向量模与向量之间的转化 ：
a
1
b
1
?a
2
b
2
?a3
b
3
2
a
1
2
?a
2
2< br>?a
3
?b
1
22
?b
2
2
?b< br>3

②空间两点的距离公式：
d?(x
2
?x
1)
2
?(y
2
?y
1
)
2
?(z2
?z
1
)
2
.
（2）法向量：若向量
a< br>所在直线垂直于平面
?
，则称这个向量垂直于平面
?
，记
作< br>a?
?
，如果
a?
?
那么向量
a
叫做平面< br>?
的法向量.
（3）用向量的常用方法：
①利用法向量求点到面的距离定理 ：如图，设n是平面
?
的法向量，AB是平面
?
的
一条射线，其中< br>A?
?
，则点B到平面
?
的距离为
|AB?n|
|n |
.
②利用法向量求二面角的平面角定理：设
n
1
,n
2
分别是二面角
?
?l?
?
中平面
?
,
?< br>的
法向量，则
n
1
,n
2
所成的角就是所求二面角的 平面角或其补角大小（
n
1
,n
2
方向相同，
n
1
,n
2
反方，则为补角，则为其夹角）；利用法向量求线面角；利用法向量求线线角。
③证直线和平面平行定理：已知直线
a??
平面
?
，
A?B ?a,C?D?
?
，且CDE三点不
共线，则a∥
?
的充要条件是存 在有序实数对
?
?
?
使
AB?
?
CD?
?
CE
.（常设
AB?
?
CD?
?
CE
求解
?
,
?
若
?
,
?
存在即证毕，若
?
,
?
不存在，则直线AB与平面相交）.
A
B
n
▲
B
?
C
A
▲
n
1
C
D
E
?
n
2
?
?


12、排列组合二项定理
一、两个原理.
1. 乘法原理、加法原理.
2. 可以有重复元素的排列.
．．．．．．．
从m个不同元素中，每次取出n个元 素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排
成一排，那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m 个，所以从m个不
同元素中，每次取出n个元素可重复排列数m·m·… m = m
n
.. 例如：n件物品放入m

- 31 -

个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：
m
种）
二、排列.
1. ⑴对排列定义的理解.
定义： 从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从
．．．．．．
n 个不同元素中取出m个元素的一个排列.
⑵相同排列.
如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也
必须完全相同.
⑶排列数.
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出 m
m
个元素的一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号
A
n
表
n
示.
⑷排列数公式：
A
m
?n(n?1)?(n?m?1)?
n!(m?n,n,m?N)

(n?m)!
注意：
n?n!?(n?1)!?n!
规定0! = 1
mm?1
mmmm?1mm?1
0n
A
n
?nA
n
A
n?
?1
规定
C
n
?C
n
?1

1
?A
n
?A
m
?C
n
?A
n
?mA
n

2. 含有可重元素的排列问题.
．．．．．．
对含有相同元素求排列个数的方法是 ：设重集S有k个不同元素a
1
，a
2
,…...a
n
其中
限重复数为n
1
、n
2
……n
k
，且n = n
1
+n
2
+……n
k
, 则S的排列个数等于
n?
n!
.
n
1
!n
2!...n
k
!
例如：已知数字3、2、2，求其排列个数
n?
(1?2)!
?3
又例如：数字5、5、5、求
1!2!
其排列个数？其排列 个数
n?
3!
?1
.
3!
三、组合.
1. ⑴ 组合：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元
素中取出m个元素的一 个组合.
A
m
n(n?1)
?
(n?m?1)
n!
n
⑵组合数公式：
C?
m

?C
m
n
?
m!m!(n?m)!
A
m
m
n
⑶两个公式：①
C
n
?C
mn?m
n
;
②
C
m?1mm
?C?C
nnn?1

①从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中
取出 n-m个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n个不同元素中
取出n- m个元素的唯一的一个组合.
（或者从n+1个编号不同的小球中，n个白球一个红球，任取m个不同 小球其不
m
m?1
同选法，分二类，一类是含红球选法有
C
m?n
1
?C
1

1
?C
n
一类是不含红 球的选法有
C
n
）
②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中 取m个元素方法时，对
于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n个元< br>
- 32 -

1
素中再取m-1个元素，所以有C
m?
n
，如果不取这一元素，则需从剩余n个元素中
取出m个元素，所以共有
m
C
n
种，依分类原理有
C
m?1mm
n
?C< br>n
?C
n?1
.
⑷排列与组合的联系与区别.
联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.
区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.
⑸①几个常用组合数公式
012n
C
n
?C
n
? C
n
???
n
?2

n
024135
C< br>n
?C
n
?C
n
?
?
?C
n
?C
n
?C
n
?
?
?2
n?1
mmmm ?1
C
m
?C?C
?
C?C
nm?1m?2m?nm?n? 1
k?1
kC
k
?nC
nn?1

11
? 1
C
k
?C
k
nn?1
k?1n?1
三、二项式定 理.
0n01n?1rn?rrn0n
ab?C
n
ab?
?
?C
n
ab?
?
?C
n
ab
. 1. ⑴二项式定理：
(a?b)
n
?C
n
展开式具有以下特点：
① 项数：共有
n?1
项；
012r
,C
n
,C
n
,?,C
n
,?,C
n
② 系数：依次为组合数
C
nn
;

③ 每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幕排列，b的升幕排列展
开.
⑵二项展开式的通项.
（a?b)
n
展开式中的第
r?1
项为：
T
r?1
?C
n
a
rn?rr
b(0?r? n,r?Z)
.
⑶二项式系数的性质.
①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；
②二项展开式的中间项二项式系数最大.
．．．．．
I. 当
n
n 是偶数时，中间项是第
?1
项，它的二项式系数
C
2
n
2< br>n?1
2
n
最大；
II. 当n是奇数时，中间项为两项，即第C
n?1n?1
2
?C
2
nn
项和第
n?1< br>?1
项，它们的二项式系数
2
最大.
③系数和：
01n< br>C
n
?C
n
?
?
?C
n
n
?2
02413
C
n
?C
n
?C
n
??
?C
n
?C
n
?
?
?2
n?1
13、概率与统计
1. 概率：随机事件A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.

- 33 -

2. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现 的结果有年n个，且所有结果出
现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是
的结果有 m个，那么事件A的概率
P(A)?
m
n
1
，如果某个事件A包含< br>n
.
3. ①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A、B互 斥，那
么事件A+B发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率
和 ，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：
P(A
1
?A
2
? ??A
n
)?P(A
1
)?P(A
2
)???P(A
n
)
.
②对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件. 例如：从1 ～52张扑
．．．．．．．．．．．．．．．
克牌中任取一张抽到“红桃”与抽到“黑桃”互为 互斥事件，因为其中一个不可能同时
发生，但又不能保证其中一个必然发生，故不是对立事件.而抽到“ 红色牌”与抽到
互斥
黑色牌“互为对立事件，因为其中一个必发生.
对立
注 意：i.对立事件的概率和等于1：
P(A)?P(A)?P(A?A)?1
.
ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件.
③相互独立事件：事件A( 或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的
两个事件叫做相互独立事件. 如果两个 相互独立事件同时发生的概率，等于每个事
件发生的概率的积，即P(A·B)=P(A)·P(B). 由此，当两个事件同时发生的概率P（AB）
等于这两个事件发生概率之和，这时我们也可称这两个事件 为独立事件.例如：从
一副扑克牌（52张）中任抽一张设A：“抽到老K”；B：“抽到红牌”则 A 应与B互
为独立事件[看上去A与B有关系很有可能不是独立事件，但
P(A)?
41 2611
.又事件
?,P(B)??,P(A)?P(B)?
52135222621
?
5226
AB表示“既抽到老K对抽到红牌”即
“抽到红桃老K或 方块老K”有
P(A?B)?
，因此有
P(A)?P(B)?P(A?B)
.
推广：若事件
A
1
,A
2
,?,A
n
相互 独立，则
P(A
1
?
A
2
?
A
n
)
?
P(A
1
)
?
P(A
2
)
?
P(A
n
)
.
注意：i. 一般地，如果事件A与B相互独立，那么A 与
B,A
与B，
A
与
B
也都相互
独立.
ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的.
iii. 独立事件是对任意多个事件来讲， 而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，
且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响， 因此互斥事件一定
不是独立事件.
④独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率 都不依赖于其他各次
试验的结果，则称这n次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P ，
kn?k
那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率：
P
n< br>(k)?C
k
.
n
P(1?P)
4. 对任何两个事件都有
P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A?B)

一、随机变量.
1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：
①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并
且不止一个；③每次试验 总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却

- 34 -

不能肯定这次试验会出现哪一个结果.
它就被称为一个随机试验.
2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一 定次序一一列出，
这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a，b是常数.则
?
?a
?
?b
也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，
f( x)
是连续函数或单调函数，则
f(
?
)
也是随机变量.也就是说， 随机变量的某些函数也是随机变量.
设离散型随机变量ξ可能取的值为：
x
1
,
x
2
,?,
x
i
,?

ξ取每一个值
x
1
(
i?
1,2,
?
)
的概率
P(
?
?x
i
)?p
i
，则表称为随机变量ξ的概率分布， 简
称ξ的分布列.
?

x
1

P
p
1

x
2

p
2
…
…
x
i

p
i

…
…

有性质①
p
1
?
0,
i?
1,2,?
； ②
p
1
?p
2
???p
i
???1
. < br>注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.
例如：
?
?[0,5]
即
?
可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.
3. ⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复
kn?k< br>试验中这个事件恰好发生k次的概率是：
P(ξ?k)?C
k
[其中
k ?0,1,?,n,q?1?p
]
n
pq
于是得到随机变量ξ的概率分布如 下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记
kn?k
?b(k;n?p)
. 作< br>?
～B（n·p），其中n，p为参数，并记
C
k
n
pq⑵二项分布的判断与应用.
①二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进 行n次独立
重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项
分布 .
②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽
取时又只有 两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其
分布列.
4. ⑴超几何 分布：一批产品共有N件，其中有M（M＜N）件次品，今抽取
n(1?n?N)
件，则其中的 次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为
P(ξ?k)?
kk
C
M
? C
N
n
?
?
M
n
C
N
?(0?k ?M,0?n?k?N?M)
〔.分子是从M件次品中取k件，从N-M件
正品中取n-k件的 取法数，如果规定
m
＜
r
时
C
m
r
?0< br>，则k的范围可以写为k=0，1，…，
n.〕
⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由 a件次品、b件正品组成，今抽取n件

- 35 -

（1≤n≤a+b），则次品数ξ的分布列为
P(ξ?k)?
n?k
C
k
a
?C
b
C
a?
n
b
k
?
0,1,
?
,n.
.
⑶超几何分布与二项分布的关系.
设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时 ，其中次品数ξ服从超
几何分布.若放回式抽取，则其中次品数
?
的分布列可如下求得 ：把
a?b
个产品编
kn?k
号，则抽取n次共有
(a?b)
n
个可能结果，等可能：
(η?k)
含
C
k
个结果，故< br>n
ab
kn?k
C
k
n
ab
P(η?k)?
(a?b)
n
?C
k
n
(
a
a
k
a
n?k
)(1?),k
?
0,1,2,
?
,n< br>，即
?
～
B(n?)
.[我们先为
a?ba?b
a? b
k个次
品选定位置，共
C
k
n
种选法；然后每个次品位置 有a种选法，每个正品位置有b种
选法] 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，
P( ξ?k)?P(η?k)
，因此二项
分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回 抽样.
二、数学期望与方差.
1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
?

… …
x
1

x
2

x
i

P
p
1

p
2

…
p
i

…
则称
E
?
?
x
1
p
1
?
x
2
p
2
???
x
n
p
n< br>??
为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期
望.数学期望反映了离散型随机 变量取值的平均水平.
2. ⑴随机变量
?
?a
?
?b
的 数学期望：
E
?
?E(a
?
?b)?aE
?
?b< br>
①当
a?0
时，
E(b)?b
，即常数的数学期望就是这个 常数本身.
②当
a?1
时，
E(
?
?b)?E
?
?b
，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这
个常数的和.
③当
b?0
时，
E(a
?
)?aE
?
，即常数与随机变 量乘积的期望等于这个常数与随机变量
期望的乘积.
⑵单点分布：
E
??c?1?c
其分布列为：
P(
?
?1)?c
.
ξ
P
⑶两点分布：
E
?
?0?q?1?p?p
，其分布列为：（p
+ q = 1）
⑷二项分布：
E
?
?
?
k?
率）
3.方 差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为
P(
?
?x
k
)? p
k
(k?1,2,?)
时，则
n!
p
k
?qn?k
?np

k!(n?k)!
0
q
1
p
其分布列为
?
～
B(n,p)
.（P为发生
?
的概

- 36 -

称
D
?
?
(x< br>1
?
E
?
)
2
p
1
?
(x
2
?
E
?
)
2
p
2
???
(x
n
?
E
?
)
2
p
n
??< br>为ξ的方差. 显然
D
?
?0
，故
??
?D
?
.
??
为ξ
的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变 量ξ取值的稳定与
波动，集中与离散的程度.
D
?
越小，稳定性越高，波动越 小.
．．．．．．．．．．．．．．
4.方差的性质.
⑴随机变量
??a
?
?b
的方差
D(
?
)?D(a
?
?b)?a
2
D
?
.（a、b均为常数）
⑵单点分布：
D
?
?0
其分布列为
P(
?
?1)?p

D
?
?pq
其分布列为：⑶两点分布：（p + q = 1）
ξ
P
0
q
1
p
⑷二项分布：
D
?
?npq

5. 期望与方差的关系.
⑴如果
E
?
和
E
?
都存在，则
E(
?
?
?
)?E
?
?E
?

⑵设ξ和?
是互相独立的两个随机变量，则
E(
??
)?E
?
? E
?
,D(
?
?
?
)?D
?
?D
?

⑶期望与方差的转化：
D
?
?E
?
?E
?
?E
?
?0
.
2
?(E
?
)
2
⑷
E(
?
?E
?
)?E(
?
)?E(E
?
)
（因为
E
?
为一常数）
三、正态分布.
会求面积曲线表示的意义
14、导 数
1. 导数（导函数的简称）的定义：设
x
0
是函数
y?f(x)
定义域的一点，如果自变量
x
在
x
0
处有增量
?x
，则函数值
y
也引起相应的增量
?y?f(x
0
??x)?f(x
0
)
；比值
?y
f(x
0??x)?f(x
0
)
称为函数
y?f(x)
在点
x< br>0
到
x
0
??x
之间的平均变化率；如果极
?
?x?x
限
lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?y
存在，则称函数
y?f(x)
在点
x
0
处可 导，并把这个极
?lim
?x?0
?x
?x?0
?x
限叫做
y?f(x)
在
x
0
处的导数，记作
f
'
(x
0
)
或
y
'
|
x?x
0
，即
f
'
(x
0
)
=
f(x
0
??x )?f(x
0
)
?y
.
?lim
?x?0
?x< br>?x?0
?x
lim
注：①
?x
是增量，我们也称为“改变量 ”，因为
?x
可正，可负，但不为零.
②以知函数
y?f(x)
定 义域为
A
，
y?f
'
(x)
的定义域为
B
，则
A
与
B
关系为
A?B
.
2. 函数
y?f(x)
在点
x
0
处连续与点
x
0
处可导的关 系：
⑴函数
y?f(x)
在点
x
0
处连续是
y? f(x)
在点
x
0
处可导的必要不充分条件.

- 37 -

可以证明，如果
y?f(x)
在点
x
0
处可导，那么
y?f(x)
点
x
0
处 连续.
事实上，令
x?x
0
??x
，则
x?x
0
相当于
?x?0
.
于是
limf(x)?limf(x
0
??x)?lim[f(x?x
0
)?f(x
0
)?f(x
0
)]

x?x
0
?x?0?x?0
?lim[
? x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)f(x
0
? ?x)?f(x
0
)
??x?f(x
0
)]?lim?lim?li mf(x
0
)?f
'
(x
0
)?0?f(x
0)?f(x
0
).
?x?0?x?0?x?0
?x?x
⑵如果< br>y?f(x)
点
x
0
处连续，那么
y?f(x)
在点
x
0
处可导，是不成立的.
注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.
②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.
3. 导数的几何意义：
函数
y ?f(x)
在点
x
0
处的导数的几何意义就是曲线
y?f(x)在点
(x
0
,f(x))
处的切线的
斜率，也就是说，曲线y?f(x)
在点P
(x
0
,f(x))
处的切线的斜率是f
'
(x
0
)
，切线方程
为
y?y
0
?f
'
(x)(x?x
0
).

4. 求导数的四则运算法则：
(u?v)
'
?u
'
?v
'?y?f
1
(x)?f
2
(x)?...?f
n
(x) ?y
'
?f
1
'
(x)?f
2
'
(x)? ...?f
n
'
(x)

(uv)
'
?vu
'
?v
'
u?(cv)
'
?c
'
v?cv
'
?cv
'
（
c
为常数）
vu
'
?v
'
u
?
u
?
(v?0)

??
?
2
v
v
??
'
注：①
u,v
必须是可导函 数.
②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它
们的和、 差、积、商不一定不可导.
22
例如：设
f(x)?2sinx?
，
g(x)?cosx?
，则
f(x),g(x)
在
x?0
处均不可 导，但它们和
xx
f(x)?g(x)?

sinx?cosx
在
x?0
处均可导.
5. 复合函数的求导法 则：
f
x
'
(
?
(x))?f
'
(u)< br>?
'
(x)
或
y
'
x
?y
'
u
?u
'
x

复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.
6. 函数单调性：
⑴函数单调性的判定方法：设函数
y?f(x)
在某个 区间内可导，如果
f
'
(x)
＞0，则
y?f(x)
为增函 数；如果
f
'
(x)
＜0，则
y?f(x)
为减函数.
⑵常数的判定方法；

- 38 -

如果函数
y?f(x)
在区间I
内恒有
f
'
(x)
=0，则
y?f(x)
为 常数.
注：①
f(x)?0
是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如
y?2x
3
在
(??,??)
上
并不是都有
f(x)?0
，有一个点例外即x=0时f（x） = 0，同样
f(x)?0
是f（x）递
减的充分非必要条件.
②一般地，如果 f
（
x
）
在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），
那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.
7. 极值的判别方法：（极值是在x
0
附近所有的点，都有
f(x)
＜
f(x
0
)
，则
f(x
0
)
是函
数
f(x)
的极大 值，极小值同理）
当函数
f(x)
在点
x
0
处连续时，
①如果在
x
0
附近的左侧
f
'
(x)
＞0 ，右侧
f
'
(x)
＜0，那么
f(x
0
)
是极大值；
②如果在
x
0
附近的左侧
f
'
(x)
＜0，右侧
f
'
(x)
＞0，那么
f(x
0
)
是极小值.
也就是说
x
0
是极值点的充分条件是
x< br>0
点两侧导数异号，而不是
f
'
(x)
=0
①
. 此外，
函数不可导的点也可能是函数的极值点
②
.

当然，极 值是一个局部概念，极值点的
大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点 不同）.
注①： 若点
x
0
是可导函数
f(x)
的极值点 ，则
f
'
(x)
=0. 但反过来不一定成立. 对于
可导函数，其 一点
x
0
是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.
例如： 函数
y?f(x)?x
3
，
x?0
使
f
'
(x)
=0，但
x?0
不是极值点.
②例如：函数
y?f(x)? |x|
，在点
x?0
处不可导，但点
x?0
是函数的极小值点.
8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对
函数值进行比较.
注：函数的极值点一定有意义.
9. 几种常见的函数导数：
x)i
'
n?
n)
'
?coxs

(arcs
I.
C
'
?0
（
C
为常数）
(six
1
1?x
2

'
x)o?s?
( x
n
)
'
?nx
n?1
（
n?R
）
)
'
??sinx

(arcc

(coxs
1
1?x
2

1
1
x)a
'
n?
II.
(lnx)
'
?

(lo
a
gx)
'
?lo
a
ge

(arct
x
1
x
2
?1
x

(e
x
)
'
?e
x


(a
x
)
'
?a
x
lna

- 39 -

(arccotx)
'
??
1
x
2
?1

III. 求导的常见方法：
①常用结论：
(ln|x|)
'
?
1
.
x
②形如
y?(x?a
1
)(x?a
2
)...(x?a
n
)
或
y?
化求代数和形式.
(x?a
1
)(x? a
2
)...(x?a
n
)
两边同取自然对数，可转
(x? b
1
)(x?b
2
)...(x?b
n
)
③无理函 数或形如
y?x
x
这类函数，如
y?x
x
取自然对数之后可 变形为
lny?xlnx
，
y
'
1
对两边求导可得
?lnx?x??y
'
?ylnx?y?y
'
?x
x
lnx ?x
x
.
yx
15、复数
1. ⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即
i
2
??1
.
⑵复数及其相关概念：
① 复数—形如a + bi的数（其中
a，b?R
）；
② 实数—当b = 0时的复数a + bi，即a；
③ 虚数—当
b?0
时的复数a + bi；
④ 纯虚数—当a = 0且
b?0
时的复数a + bi，即bi.
⑤ 复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实
数）
⑥ 复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.
⑶两个复数相等的定义：
a?bi?c? di?a?c且b?d（其中，a，b，c，d，?R）特别地a?bi?0?a?b?0
.
⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.
共轭复数
⑵常用的结论： i
2
??1,i
4n?1
?i,i
4n?2
??1,i
4n?3
??i,i
4n
?1

i
n
?i
n?1
?i
n?2
?i
n?3
?0,(n?Z)

(1?i)
2
??2i,
1?i1?i
?i,??i

1?i1?i
16、坐标系与参数方程
17、不等式选讲


- 40 -