高中数学 函数及其表示知识点

课题名称: 函数及其表示
（一）知识梳理
1．映射的概念
设< br>A、B
是两个集合，如果按照某种对应法则
f
，对于集合
A
中 的任意元素，在集合
B
中都
有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从< br>A
到
B
的映射，通常记为
f:A?B

，
f
表示对应法则
注意：⑴A中元素必须都有象且唯一；⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。
2．函数的概念
(1)函数的定义：
设
A、B
是两个非空的数集 ，如果按照某种对应法则
f
，对于集合
A
中的
x
，在集合
B
中都有 的数和它对应，那么这样的对应叫做从< br>A
到
B
的一个函数，通常记为
__________

(2)函数的定义域、值域
在函数
y?f(x),x?A
中，
x< br>叫做自变量，
x

A
叫做
y?f(x)
的 定义域；与
x
的值相
对应的
y
值叫做函数值，
f(x)x?A
称为函数
y?f(x)
的值域。
(3)函数的三要素： 、 和
3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法
（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；
（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；
(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。
4．分段函数
在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。
（二）考点分析
考点1：映射的概念
例1．下述两个个对应是
A
到
B
的映射吗？
（1）
A?R
，
B?{y|y?0}
，
f:x?y?|x|
；
（2）
A?{x|x?0}
，
B?{y|y?R}
，
f:x?y?? x
．
??
B?{a,b,c}
，
a,b,c?R
，例2． 若
A?{1,2,3,4}
，则
A
到
B
的映射有 个，
B
到
A
的映射有 个
例3．设集合
M?{?1, 0,1}
，
N?{?2,?1,0,1,2}
，如果从
M
到
N
的映射
f
满足条件：对
M
中的
每个元素
x
与它在
N
中的象
f(x)
的和都为奇数，则映射
f
的个数 是（ ）
(A)
8个
(B)
12个
(C)
16个
(D)
18个
考点2：判断两函数是否为同一个函数
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称这两个函数相等。
例1． 试判断以下各组函数是否表示同一函数？

1

（1）
f( x)?
（2）
f(x)?
x
2
，
g(x)?
3x
3
；
x
x
，
g(x)?
?
?1
?
?1
x?0,
x?0;

（3）
f(x) ?x
x?1
，
g(x)?x
2
?x
；
（4）f(x)?x
2
?2x?1
，
g(t)?t
2
?2t? 1

（5）
f(x)?
2n?1
x
2n?1
，g(x)?(
2n?1
x)
2n?1
（
n
∈N）；
*
考点3：求函数解析式
方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；
（2）若已知复合函数
f[g(x)]
的解析式，则可用换元法或配凑法；
（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出
f(x)

题型1：用待定系数法求函数的解析式
例1.已知函数
f
?
x?
是一次函数,且
f[f(x)]?9x?4
,求
f
?
x
?
表达式.

例2.已知
f
?
x
?< br>是一次函数且
2f
?
2
?
?3f
?
1
?
?5,2f
?
0
?
?f
?
?1
??1,
则
f
?
x
?
?
（
A．
3x?2


B．
3x?2
C．
2x?3
D．
2x?3

）
例3.二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)解不等式f (x)＞2x＋5.

例 4.已知g(x)＝－x
2
－3，f(x)是二次函数，当x∈[－1,2]时，f(x)的最 小值为1，且f (x)＋g(x)为奇函
数，求函数f(x)的表达式．




题型2：由复合函数的解析式求原来函数的解析式
2
例1．已 知二次函数
f(x)
满足
f(2x?1)?4x?6x?5
，求
f( x)

例2.已知
f
?
x?1?x?1,
则
f?
x
?
?
_____________。
?
1?x< br>1?x
2
)
=例3．已知
f(
，则
f(x)
的解析式可取为
2
1?x
1?x

2

题型3：求抽象函数解析式
例1．已知函数
f(x)
满足
f(x)?2f()?3x
，求
f(x)

例2、已知：
2 f(x)?3f(?x)?x?1
，求
f
?
x
?
表达式.
例3.设函数
f(x)
与
g(x)
的定义域是
x?R
且
x??1
,
f(x)
是偶函数,
g(x)
是奇函数, 且
f(x)?g(x)?
1
x?1
,求
f(x)
和
g(x)
的解析式.
1
x

考点4：求函数的定义域
题型1：求有解析式的函数的定义域
（1）方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使 得函数解析式有意义的
x
的取值范围，实际
操作时要注意：① 分母不能为0；② 对数的真数必须为正；③ 偶次根式中被开方数应为非负数；④ 零
指数幂中，底数不等于0；⑤ 负分数指数幂中，底数应大于0；⑥ 若解析式由几个部分组成，则定
义域为各个部分相应集合的交集；⑦ 如果涉及实际问题，还应使得实际 问题有意义，而且注意：研
究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。
例1.函数
f
?
x
?
?x
2
?4?
1
的定义域为（
x?3


）
A．
?< br>2，??
?
?
?
??，?2
?
B．
?
2,3
?
?
?
3，??
?

D．
?
??，?2
?
C．
?
??，?2
?
?
?
2,3
?
?
?
3，??
?

例2、函数
f(x)?
(x?1)
0
x?x
的定义域是（ ）
A.
?
x|x?0
?
B.
?
x|x?0
?
C.
?
x|x?0且x??1
?
D.
?
x|x?0且x??1
?

题型2：求复合函数和抽象函数的定义域
例1．已知
y?f(x?2)
的定 义域是
[a，b]
，求函数
y?f(x)
的定义域
例2．已知y?f(2x?1)
的定义域是（-2，0），求
y?f(2x?1)
的定义域
例3、已知函数
y?f(x?1)
的定义域为[-2，3]，则
y?f
?
2x?1
?
的定义域是_________
考点5：求函数的值域
1． 求值域的几种常用方法
（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，
例1、
y??x?2x?3

例2、
y??2x?8x?5
（1）
x?[?1,1]
（2）
x?[1,4]
（3）
x?[4,8]


（2）判别式法：通过对二次方程的实根的判 别求值域。如求函数
y?
2
2
2x?1
的值域
2
x?2x?2
x?1
2x
2
?2x?3
y?
例3、
y?
例4、
x
2
?x?1
x
2
?x?1

3

（3）换元法：通过等价转化换成常见函数模型，例如二次函数
例5、
y?x?1?2x
例6、
f(x)?2x?3?4x?13


（4）分段函数分别求函数值域，
例7、
y?x?3?x?5

例 8、函数
f(x)?
?
?
?
2x?x
2
(0?x? 3)
2
?6x(?2?x?0)
的值域是（ ）
?
?
x
A．
R
B．
?
?9,??
?
C．
?
?8,1
?
D．
?
?9,1
?

（5）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。 如求函数
y?
3x?2
4x?3
的值域
1?x
2
例9、
y?
x
2
?1
< br>例10、设函数
y?
1
的定义域为
M
，值域为
N，那么 （
1?
1
x
(A)
M?{xx?0},N?{yy?0}

(B)
M?{xx?0},N?{yy?R}


(C)
M ?{xx?0且x??1,或x?0}
，
N?{yy?0或0?y?1或y?1}

(D)
M?{xx??1或?1?x?0或x?0}
，
N?{yy?0}


（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域

（9）对勾函数法 像y=x+
m
x
，（m>0）的函数，m<0就是单调函数了
三种模型：（ 1）如
y?x?
4
x
，求（1）单调区间（2）x的范围[3,5]，求值域
（3）x
?
[-1,0 )
?
(0,4],求值域
（2）如
y?x?
4
x?4
求（1）[3,7]上的值域 （2）单调递增区间（x
?
0或x
?
4）
，

4
）