高中数学知识点体系框架超全超完美 (1)

高中数学基础知识整合
映
A中元素在B中都有唯一的象；可一对一
（一 一映射），也可多对一，但不可一对多
定义
函数的概念
表示
定义域
三 要素
区间
单调性
奇偶性
周期性
对应关系
值域
列表法
解析法
图象法
使解析式有意义及实际意义
第
二
部
分
映
射
、
函
数
、
导
数
、
定
积
分
与
微
积
分
射
常用换元法求解析式观察法、判别式法、分离常数法、单调性法、最值法、
重要不等式、三角法、图象法、线性规划等< br>1.求单调区间：定义法、导数法、用已知函数的单调性。
2.复合函数单调性：同增异减。1.先看定义域是否关于原点对称，再看f(-x)=f(x)还是-f(x).
2.奇函数图象关 于原点对称，若x=0有意义，则f(0)=0.
3.偶函数图象关于y轴对称，反之也成立。
f (x+T)=f (x)；周期为T的奇函数有：f (T)=f (T2)= f (0)=0.
二次函数、基本不等式，对勾函数、三角函数有界性、
线性规划、导数、利用单调性、数形结合等。正（反）比例函数、
一次（二次）函数
指数函数与对数函数
幂函数
定义、 图象、
性质和应用
函数的
基本性质
对称性
函
数
函数 常见的
几种变换
基本初等函数
分段函数
复合函数
抽象函数
函 数与方程
函数的应用
最值
平移变换、对称变换
翻折变换、伸缩变换
三 角函数
单调性：同增异减
赋值法，典型的函数
上一页
零点
建立函数模 型
求根法、二分法、图象法；一元二次方程根的分布
退出
函数的平均变化率函数的瞬时 变化率
运动的瞬时速度
曲线的切线的斜率
f
?
x
?
与f
?
x
0
?
的区别
v
t
?S
'
，a
t
?v
t
'
000
第
二
部< br>分
映
射
、
函
数
、
导
数
、< br>定
积
分
与
微
积
分
导
数
导数 概念
运动的平均速度
曲线的割线的斜率
k?f
?
x
0
?
'
?
sinx
?
?cosx；
?
cosx?
??sinx；
?
x
n
?
?nx
n?1；c?0
?
c为常数
?
；
基本初等函数求导
?
logx
?
?
a
1
?
lnx
?
?
1
；
?
a
x
?
?a
x
lna；
?
e
x
?
?e
x
.；
xlnax
导数概念< br>设f
?
x
?
，g
?
x
?
是可导的， 则有：(1)
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
?
?f
?
x
?
?g
?
x
?< br>导数的四则运算法则
简单复合函数的导数
函数的单调性研究
函数的极值与最值< br>?
f
?
x
?
?
f
?
x
?< br>g
?
x
?
?f
?
x
?
g
?
x
?
(2)
?
f
?
x
?
?g?
x
?
?
?f
?
x
?
g
?< br>x
?
?f
?
x
?
g
?
x
?
(3)
?
?
?
?
g
?
x
?
?
2
?
g
?
x
?
?
?
f
?
g
?
x
??
?
?f
?
u
?< br>?u
?
x
?
'
''
f
'
?
x
?
?0?f
?
x
?
在该区间递增，f
'
?
x
?
?0?f
?
x
?
在该区间递减.
1 .极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点；
2.闭区间一定有最值，开区间不一定有最值。
1.曲线上某点处切线，只有一条；2.过某点的曲线的
切线不一定只一条，要设切点坐标。< br>一般步骤：1.建模，列关系式；2.求导数，解导数方程；
3.比较区间端点函数值与极值，找 到最大（最小）值。
kf
?
x
?
dx?k
?
f?
x
?
dx；
?
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
?
dx?
?
f
?x
?
dx?
?
g
?
x
?
dx；
性质
?
?
f
?
x
?
dx??
?
f
?
x
?
dx；
?
f
?
x
?dx?
?
f
?
x
?
dx
?
f
?
x
?
dx.
?
a?b?c
?
bbbbb
aaaaa
bacbc
abaab
导数应用曲线的切线
变速运动的速度
生活中最优化问题
定
积
分
与
微
积
分
定义 及几何意义
定积分概念
曲边梯形的面积
变力所做的功
1.用定义求：分割、近 似代替、求和、取极限；2.用公式。
和式
?
f
?
?
i?
?x
i
的极限
i?1
n?1
微积分基本
定理
定理含意
定理应用
若F
'
?
x
?
?f?
x
?
,则
?
a
f
?
x
?< br>dx?F
?
b
?
?F
?
a
?
?牛顿?莱布尼兹公式
?
b
1.求平面图形面积；2.在物理中的应用（1）求变速 运动的路程：
b
a
W?
?
a
F
?
x
?
dx
s?
?
b
v
?
t
?
dt
（2）求变力所作的功；
1

第
三
部分
三
角
函
数
与
平
面
向
量正角、负角、零角
象限角
角
任意角与弧度制；
单位圆
轴线角终边相同的角
区别第一象限角、锐角、小于90
0
的角
弧度制定义1弧度 的角
三角函数线
①角度与弧度互化；②特殊角的弧度数；
③弧长公式、扇形面积公式< br>任意角三角函数定义
三
角
函
数
同角三角函数的关系
任 意角的三角函数
诱导公式
和（差）角公式
二倍角公式
平方关系、商的关系奇变偶不变，符号看象限
公式正用、逆用、变形
及“1”的代换
化简、求值、证明 （恒等式）
描点法（五点作图法）
正弦函数y=sinx
余弦函数y=cosx
三角函数的图象
正切函数y=tanx
y=Asin（ωx+φ）+b
性质
定义域、值域
单调性、奇偶性、周期性
对称性
最值
作图象
几何作图法
对称轴（正切函数
除外）经过函数图
象的最高（或低）
点且垂直x轴的直线< br>对称中心是正余弦函
数图象的零点，正切
函数的对称中心为
k
?
( ，0)（k∈Z）
2
上一页
退出
①图象可由正弦曲线经过 平移、伸缩得到，但要注意先平移后伸缩与先伸缩后平移不同；
②图象也可以用五点作图法；③用整体代 换求单调区间（注意
?
的符号）；
?
2k?1
?
?
?2
?
，对称中心为(
2
?
k
?
?
?
④最小正周期T＝；⑤对称轴x＝，b)（k∈Z）.
?
2< br>?
?
三角函数模型的简单应用生活中、建筑学中、航海中、物理学中等

2

第
三
部
分
三
角函
数
与
平
面
向
量
正弦定理
abc???2R及变式
sinAsinBsinC
适用范围：①已知两角和任一边，解三角形；
②已知两边和其中一边的对角，解三角形。
a?b?c?2bccosA
b
2
?a
2
?c
2
?2accosB
222
解的个数是 一个？
两个？还是无解？
推论
：
求角
余弦定理
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
解三角形
面积适用范围：①已知三边，解三角形；②已知两
边和它们的夹角，解三角形。
S
?A BC
?
?
11
ah?absinC
22
实际应用
向 量的概念
线性运算
a?b?c
??
p
?
p?a
??
p?b
??
p?c
?
?
其中p?
?
2??
abc
?
R是外接圆半径
?
?
4R
1?
?
a?b?c
?
?r
?
r是内切圆半径
?< br>2
零向量与单位向量
加、减、数乘
表示
几何意义及运算律
（1 ）解三角形时，三条边和
三个角中“知三求二”。
（2）解三角形应用题步骤：
先准确 理解题意，然后画出
示意图，再合理选择定理求
解。尤其理解有关名词，如
坡角、坡比 、仰角和俯角、
方位角、方向角等。
?
a?
?
x
2
?x
1
?
2
?
?
y
2
?y
1?
2
平面向量
上一页
平面向量基本定理
数量积
几何意义
???
p?xe
1
?ye
2
投影
夹角公式
退出
共线（平行）
垂直
向量的应用
?
?
?
?
?
a?b
b在a方向上的投影为bcos
?
?
?
a
?
?
?
?
a?b
设a与b夹角为
?
,则cos< br>?
?
?
?
a?b
共线与垂直
?
?
?
??
?
ab?b1?
?
0a?x
1
y
2< br>?x
2
y
1
?0a?0
??
?
?
?
?
a?b?a?b?0?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
在平面（解析）几何中的应用；在物理（力向量、速度向量）中应用
解析法：a
n
=f(n)
数列的定义
表示
图象法
列表法一
般
数
列
通项公式
概念
递推公式
a
n
与s
n
的关系
通项公式
特
殊
数
列
等差数列
求和公式
性质
等比数列
判断
数列是特殊的函数
第< br>四
部
分
数
列
数
列
?
S
1< br>，n?1
a
n
?
?
?
S
n
?Sn?1
，n?2
a
1
?
1?q
?
a
1
?a
n
?q
nn
?
n?1
?
S
n
?na
1
?
q?1时
?
；
?
q?1
?
?
S
n
?
?
a
1
?a
n?
?na
1
?d
1?q1?q
22
2
n
a
n
?a
1
?
?
n?1
?
d?a
m
?
?
n?m
?
d
a
n
?a
1
?q
n?1
?a
m
?q
n?m
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
?2a
m?n
a< br>n?1
?a
n
?常数
2
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
?a
m?n
a
n?1
?常数
a
n
2
q≠0，a
n
≠0
①
常见 递推类型
及方法
逐差累加法
2a
n?1
?a
n
?a
n?2
等差中项：
等比中项：
a
2
n?1
a
n?1
?a
n
?f
?
n
?
逐商累积法
?
q
?
构造等比数列
?
a
n
?
?
p ?1
??
a
②
n?1
?f
?
n
?
a
n
a
n?1
?pa
n
?q
③
?a
n
?a
n?2
④
pa
n?1
a
n
?a< br>n
?a
n?1
n
构造等差数列
化为
11
?? p
a
n?1
a
n
⑤
a
n?1
?pa
n
?q
上一页
a
n?1
pa
n
??
n? 1
?1转化为
③
q
n
qq
公式法：应用等差、等比数列的前 n项和公式
倒序相加法
自然数的乘方和公式：
nn
11
k?n
?
n?1
?
；k
2
?n
?
n?1
??< br>2n?1
?
??
k?1k?1
26
2
n
?< br>1
?
k
3
?
?
n
?
n?1
?
?
?
k?1
?
2
?
退出常见的求和方法
数列应用
分组求和法
裂项相消法
错位相减法

3

基本性质
不等关系与不等式
比较大小问题
求解范围问题
一元 二次不等式及其解法
借助二次函数图象，
利用三个“二次”间的关系
作差或作商
第
五
部
分
不
等
式
不
等
式
二元一次不等式（组）与平面区域
可行域
简单的线性规划问题
目标函数
应用 题
最值
变形
一次函数
z=ax+b
y?b
z?
构造 斜率：
x?a
构造距离
z?
几何意义：z是直线
ax+by-z=0 在x轴截距
的a倍，y轴上截距的
b倍.
?
x?a
?
2?
?
y?b
?
2
基本不等式
a?b
ab?2
和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值.“一正二定三相等”
2aba?ba< br>2
?b
2
?ab??
a?b22
一元一次:
ax>b
分a>0,a<0,a=0(b≥0,b<0)讨论
分a>0,a<0,Δ>0,
Δ
=0,
Δ
<0讨论
x
系数化为正，“穿根法”，奇穿偶 不穿
f
?
x
?
f
?
x
?
?0?f
?
x
?
?g
?
x
?
?0;?0?f
?
x
?
?g
?
x
?
?0且g
?
x
?
?0
g
?
x
?
g
?
x
?
一元二次不等式
ax
2
+bx+c>0(a≠0)
上一页
解不等式
退出
解不等式组
一元高次不等式
?
x?x
1??
x?x
2
?
???
?
x?x
n
?
?0
?
?0
?
分式不等式
f
?
x
?
?g
?
x
?
??g
?
x
?
?f
?
x
?
?g
?
x
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
?f
?
x
??g
?
x
?
或f
?
x
?
??g
?
x
?
f
?
x
?
?g
?
x?
?f
?
x
?
?g
?
x
?
2 2
绝对值不等式
指数对数不等式
利用性质转化为代数不等式，
底数a的讨论< br>形如x?a?x?b?c，可分段讨论或用
绝对值几何意义求解.
第
六
部
分
立
体
几
何
与
空
间
向
量
结构
柱、锥、台、球的结构特征
简单组合体的结构特征
空间几何体
三视图
直观图
表（侧）
面积体积
点与线
点与面
三视图
长对正，高平齐，宽相等
S
圆台
?
?
?
r
'2< br>?r
2
?r
'
l?rl
?
；
V
圆台
?
1
'
s?s
'
s?s?h；
3
4
S
球
?4
?
R
2
；V
球
?
?< br>R
3
；
3
直观图（斜二侧画法）
??
平行投影和中心 投影
?或?
点在直线上或点不在直线上，
点在面内或点不在面内，
共面直线< br>异面直线
相交
线在面外
线在面内
相交
相交
平行
?或?
只有一个公共点
没有公共点
只有一个公共点
没有公共点
平面 三公
理及推论
线与线
l?
?
?A
空间点、直
线、平 面的
位置关系
线与面
平行
l?
?
l
?
面与 面
平行
?
?
?
?l
?

?
线线平行
线线
垂直
线面
平行
面面
平行
面面
垂直
上一页
平行关系的
相互转化
退出
垂直关系的
相互转化< br>线面
垂直

4

第
六
部< br>分
立
体
几
何
与
空
间
向
量< br>异面直线所成的角
范围；
?
0,90
?
00
空间的角
直线与平面所成的角
范围；
0
?
0,90
?
00< br>0
二面角
点到平面的距离
范围；
?
0,180
?相互之间的转化
空间的距离
直线与平面所成的距离
平行平面之间的距离
?
?
a?b
cos
?
?
?
?
;
a? b
??
a?n
sin
?
?
??
;
a?n< br>??
n
1
?n
2
cos
?
?
??< br>;
n
1
?n
2
??
a?n
d?
?< br>.
n
A
l
θ
a’
a
b
θ
?
?
n
a
?
O
?
2
?
?
1
B
C
A
异面直线所成的角直线与平面所成的角
cos
?2
?cos
?
1
?cos
?
上一页
B
C
O
D
退出
二面角垂线法
利用三垂线定理作出平面
角，解直 角三角形求角
垂面法
通过做二面角的棱的垂面，
两条交线所成的角即为平面角
共线向量
定理
射影法
二面角?的大小为cos
?
= S`÷S
第
六
部
分
立
体
几
何
与
空
间
向
量
?
?
?
?
ab?a?
?
b
?
?
?R
?
或
??
OP?OA?ta
?
t?R，a为l方向向量
?
空间向量的
加减运算
空间向量的
空间向量
及其运算
数乘运算
共面向量
定理
?
?
?< br>??
?
??
p与a，b共面?p?xa?yba，b不共线
??
?
或AP?xAB?yAC或OP?OA?xAB?yAC
?xOA?yOB?zOC
?
其中x?y?z?1
?
?
????
?
?
空间任 一向量p?xa?yb?zca，b，c不共面
空间向量
基本定理
平行与垂
直 的条件
向量夹角
?
推论：设OABC是不共面四点，则对任一点P有
OP?x OA?yOB?zOC
?
x，y，z?R
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
ab?b?
?
aa?0,
?
?R;a?b?a?b?0
?
?
a?b
?
?cosa,b?
?
?
?
?
坐标表示
?
a?b< br>空间向量的
数量积运算
空间向量的
空
间
向
量
与
立
体
几
何
立体几何中
的向量方法
??
坐 标运算
向量距离
直线的方向向量与法向量
向量法证两直线平行与垂直
求空间角
求空间距离
AB?
上一页
退出
?
n?MP
点到平面 的距离：d?
?
n
?
?
n为平面
?
的法向量，?
??
?
M?
?
,P?
?
?
??线面距、面面距都可转化为点面距.
?x
1
?
?
?
y< br>2
?y
1
?
?
?
z
2
?z
1
?
?
?
a?b
1.求异面直线的夹角
?
:cos
?
?
?
?
a?b
?
?
a，b为方向向量；
??
a?n
2.直线与平面的夹角
?
:cos
?
?
??
a?n
??
?
a为直线方向向量，n为平面法向量
?< br>；
??
n
1
?n
2
3.二面角
?
: cos
?
?
??
n
1
?n
2
??
?
n
1
，n
2
为两平面法向量
?
.
AB?
222
2
2
?
x
??

5
< /p>

倾斜角与斜率
倾斜角α［0
0
，180
0
）和 斜率k=tanα的变化
点斜式：
y?y
0
?k
?
x?x< br>0
?
第
七
部
分
解
析
几
何< br>直
线
的
方
程
斜截式：
y?kx?b
直线方程
两点式：
截距式：
y?y
1
x?x
1
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
?y
2
?y
1
x
2
?x
1
xy
??1
?
a?0,b?0
?
ab
Ax?By?C?0
?AB?0
?
一般式：
两直线平行
平面内两条
位置关系
两 直线相交
两直线斜交
两直线重合
点点距
点线距
线线距
P1
P
2
?
注意（1）截距可
正，可负，也可
为0；（2 ）方程
各种形式的变化
和适用范围.
k
1
?k
2
， 且b
1
?b
2
.或A
1
B
2
?A
2
B
1
且A
1
C
3
?A
2
C1
.
两直线垂直
k
1
?k
2
??1或A
1
A
2
?B
1
B
2
?0.
k
1
?k
2
或A
1
B
2
?A
2
B1
.
k
1
?k
2
，且b
1
?b
2
.或A
1
B
2
?A
2
B
1
且 A
1
C
3
?A
2
C
1
.
?
x
2
?x
1
?
2
?
?
y
2?y
1
?
2
.
A
2
?B
2
C
1
?C
2
A
2
?B
2
距离
上一页
两直线夹角
退出
d?
d?
Ax
0
?By
0
?C
0
90
0
?
?
k
1
?k2
A
1
B
2
?A
2
B
1
?< br>?
?0，
??
tan
?
??.
?
1?k1
k
2
A
1
A
2
?B
1
B< br>2
?
AA?BB?0
?
1212
?
?
第七
部
分
解
析
几
何
圆
的
方程
标准方程：
以AB为直径圆方程：
圆的方程
（x-a）
2+（y-b）
2
=r
2
一般方程：
x
2
+y< br>2
+Dx+Ey+F=0(D
2
+E
2
-4F>0)
?
x?x
1
??
x?x
2
?
?
?
y?y
1
??
y?y
2
?
?0
二元二次方程
Ax
2
?Bxy?Cy
2
?Dx?Ey?F?0
表示圆的充要条件 是：
22
2
点在圆内
?d?r?
?
x
0
? a
?
?
?
y
0
?b
?
?r
点和圆 的
位置关系
2
点在圆上
?d?r?
?
x
0
?a
?
?
?
y
0
?b
?
?r
22
2
点在圆外
?d?r?
?
x
0
?a
??
?
y
0
?b
?
?r
22
A?C?0
?
?
B?0
?
?
D
2
?E
2?4F?0
?
相离
直线和圆的
位置关系
相切
相交
相离
圆和圆的位
置关系
相切
相交
??0，或d?r
??0 ，或d?r
??0，或d?r
弦长公式：代数法：AB?1?k
2
x
1
?x
2
?1?k
2
?
x
1
?x
2
?
2
?4x
1
x
2
几何法：AB?2r
2
?d
2
(1)利用两圆方程组解的个数是0，1，2；
(2)r
1
?r
2
?d?r
1
?r
2
?相交；
d?r
1
?r
2
?外切；d?r
1
?r
2
?内切 ；
d?r
1
?r
2
?外离；0?d?r
1
?r2
?内含.
空间两点间距离、中点坐标公式
上一页
空间直角坐标系
退出

6

几种常见的直线系：
(1)共点P< br>?
x
0
，y
0
?
直线系：y?y
0
?k(x?x
0
)；特殊地y?kx?b表示过点(0，b)的直线系，不包括y轴.
第
七
部
分
解
析
几
何
(2)平行直线系：y ?kx?b(k为参数)表示斜率为k的平行直线系；Ax?By?
?
(
?
为 参数)表示与已知
Ax?By?C?0平行的直线系；Bx?Ay?
?
(
?< br>为参数)表示与已知Ax?By?C?0垂直的直线系.
?
?
为参数
?
A
1
x?By
1
?C
1
?
?
?< br>A
2
x?By
2
?C
2
?
?0
?< br>不包括l
2
?
；(3)过两直线交点的直线系：
A
2
x?By
2
?C
2
?
?
?
A
1
x ?By
1
?C
1
?
?0
?
不包括l
1?
.
几种常见的圆系：
?
D，E为常数，F为参数，
?
?
?
x?a
?
2
?
?
y?b
?
2
?r
2
?
a，r为参数
?
或x
2
?y2
?Dx?Ey?F?0
?
(1)同心圆系：
?
且D
2
?E
2
?4F?0
?
??
2
?
x?a?
?y
2
?r
2
?
a，r为参数
?
或 x
2
?y
2
?Dx?F?0D，F为参数，且D
2
?4F? 0；(2)圆心在x轴上的圆系：
(3)圆心在x轴上的圆系：x
2
?
?y?b
?
?r
2
?
b，r为参数
?
或x
2
?y
2
?Ey?F?0E，F为参数，且E
2
2
??
?
?4F?0
?
；
?
x?a
?
?< br>?
y?b
?
?a
2
?b
2
或x
2< br>?y
2
?Dx?Ey?0；(4)过原点的圆系：
22
22
( 5)过两已知圆交点的圆系：x
2
?y
2
?D
1
x?E1
y?F
1
?
?
x
2
?y
2
?D
2
x?E
2
y?F
2
?0
?
不含C< br>2
?
；
或x?y?D
2
x?E
2
y?F2
?
?
x?y?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
?
不含C
1
?
.(其中
?
为参数)
22
??
??
上一页
直线与圆锥曲线的位置关系：
?
Ax?By?C?0
1.直线l：Ax?By?C?0，二次曲线C：的位置关系：交点个数与方程组 有几组解一一对应，
?
?
f
?
x,y
?
?0
其交点坐标就是方程组的解；2.弦长：AB?1?k
2
x
1
?x
2
?
k为直线l的斜率
?
xxyyxxyy
3.椭圆上M
?
x
0
,y
0
?
点处的切线为：
0
2
?
0
2
?1；4.双曲线上M
?
x
0
,y
0
?
点处的切线为：
0
2
?
0
2
?1< br>abab
退出
第
七
部
分
解
析
几何
求曲线的方程
曲线与方程
纯粹性与
完备性
画方程的曲线
求两曲线的交点
轨迹方程的求法：直接法、
定义法、相关点法、参数法
圆
锥
曲
线
椭圆
定义及标准方程
双曲线
抛物线
几何
性质
相交
弦长
范围、对称性、顶点、焦点、
长轴（实轴）、短轴（虚轴）< br>渐近线（双曲线）、准线、
离心率。（通径、焦半径）
直线与圆锥曲
线的位置关 系
相切
相离
上一页
对
称
性
问
题
中 心对称
?
a，b
?
对称
点
?
x
0
，y
0
?
?
关于点
??????点
?
2a?x0
，2b?y
0
?
?
a，b
?
对称
曲 线f
?
x，y
?
?
关于点
??????曲线f
?< br>2a?x，2b?y
?
轴对称
点
?
x
1
，y
1
?
与点
?
x
2
，y
2
?
关于
直线Ax?By?C?0对称
y?y
?
x
1
?x2
A??B?
12
?C?0
?
?
22
?
y
2
?y
1
?
A
?
?
?
??
?
??1
?
x
2
?x
1
?
B
?
?
退出

7

定义
标准方程
图形
MF
1
?MF
2
?2a
?
常 数2a?F
1
F
2
?2c
?
x
2
y
2
y
2
x
2
222
??1
?
a?b?0
?
a?b时椭圆变成圆，x?y?a
??1
?
a?b?0
?
a
2
b
2
a
2
b
2
yy
M(x
0
,y
0
)
M(x
0
,y
0
)F
2
x
F
1
o
F
2
x
F1
圆
锥
曲
线
中心
顶点
焦点
对称轴范围
?
0,0
?
?
?a,0
?
,
?< br>0,?b
?
?
?c,0
?
x轴，y轴；原点
?
0,0
?
?
0,?a
?
,
?
?b,0
?
?
0,?c
?
x轴，y轴；原点
上一页
上一页
-- ------
椭
圆
退出
?a?x?a;?b?y?b
a
x? ?
c
2
?b?x?b;?a?y?a
a
2
y??
c
准线方程
焦半径
离心率
长轴短轴
MF
1
?a?ex
0
;MF
2
?a?ex
0
MF
1
?a?e y
0
;MF
2
?a?ey
0
c
e?
?0?e?1,其中c
2
?a
2
?b
2
?
e?1 ,椭圆越扁；e?0,越圆
a
2a叫做椭圆的长轴，a叫做长半轴长；2b叫做椭圆的短轴，b 叫做短半轴长；
2
过焦点垂直于长轴的椭圆的弦。通径长=
2b
通径
a
特别提示：1.2a?2c时，轨迹是线段；2a?2c时，轨迹不存在；
2.焦点弦AB? AF；3.椭圆的焦点永远在长轴上；.
1
?BF
1
?2a?e
?< br>x
1
?x
2
?
定义
标准方程
图形
y
MF
1
?MF
2
?2a
?
常数2a?2c?F1
F
2
?
x
2
y
2
??1
?
a?0,b?0
?
a
2
b
2
M(x
0,y
0
)
F
1
O
y
2
x
2< br>??1
?
a?0,b?0
?
a
2
b
2
y
F
2
圆
锥
曲
线
F
2
x
x
0
F
1
M(x
0
,y
0
)
x
中心
顶点
焦点
对称轴
范围
准线方程
焦半径
渐近线
实轴虚轴
?
0,0
?
?
?a,0
?
?
?c,0
?
x轴，y轴；原点
?
0,0
?
?0,?a
?
?
0,?c
?
x轴，y轴；原点
y?a,x ?R
y??
a
2
c
--------
双
曲
线
退出
x?a,y?R
x??
a
c
2
M在右支上： MF
1
?ex
0
?a;MF
2
?ex
0
? a；
M在左支上：MF
1
??(ex
0
?a);MF
2??(ex
0
?a)
b
y??x
a
M在上支上：MF< br>1
?ey
0
?a;MF
2
?ey
0
?a；< br>M在下支上：MF
1
??(ey
0
?a);MF
2
? ?(ey
0
?a)
y??
a
x
b
2a叫做双曲线的 实轴，a叫做实半轴长；2b叫做双曲线的虚轴，b叫做虚半轴长；
离心率
e?
c?
e?1,其中c
2
?a
2
?b
2
?
a
e>1,越大，e双曲线开口越大，e越小开口越小。
特别提示：1.2a?2c时，M点的 轨迹是两条射线；2a?2c时轨迹不存在；2.双曲线焦点永远在实轴上；
3.等轴双曲线方程：x< br>2
?y
2
?a
2
或y
2
?x
2?a
2
,其中e?
同渐近线，四个焦点共圆，且
x
2
y
2
y
2
x
2
2,渐近线y??x;4.共轭双曲线：
2
?
2
?1与
2
?
2
?1，
abba< br>11
?
2
?1;5.若直线与双曲线只有一个交点，则直线与双曲线相切或直线 与渐近线平行。
e
1
2
e
2

8

定义
标准方程
平面与定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物 线。即
MF?d
y
2
?2px
?
p?0
?
y
2
??2px
?
p?0
?
y
M(x
0< br>,y
0
)
y
M(x
0
,y
0
)F
O
l
x
x
2
?2py
?
p?0?
y
F
O
M(x
0
,y
0
)
x
x
2
?2py
?
p?0
?
l
y
O
F
x
M(x
0
,y
0
)
简图
圆
锥
曲
线
OF
l
x
l
焦点
顶点准线方程
?
p
?
?
,0
?
?
2
?
?
p
?
?
?,0
?
?
2
?< br>?
p
?
?
0,
?
?
2
?
p
??
?
0,?
?
2
??
上一页
----- ---
抛
物
线
退出
?
0,0
?
x???
0,0
?
x?
?
0,0
?
y??
?
0,0
?
y?
通径端点
对称轴
范围
焦半径
离心率
?
p
?
?
,?p
?
?
2
?
x轴
p
2
?
p
?
?
?,?p
?< br>?
2
?
x轴
x?0,y?R
p
2
p
??
?
?p,
?
2
??
p
2
p
? ?
?
?p,?
?
2
??
p
2
y轴
y?0,x?R
y轴
y?0,x?Rx?0,y?R
MF?x
0
?< br>p
2
MF?
p
?x
0
2
MF?y
0
?
p
2
MF?
p
?y
0
2
e?1
特别提示
：1.抛物线定义中定点F不能在定直线l上，否则轨迹是过定点且垂直于l的直线；
2.p的几何意义是焦点到准线的距离，p越大，抛物线开口越大；3.直线与抛物线只有一个
公共点时，则直线与抛物线相切或直线与抛物线对称轴平行或重合。
第
八
部
分
排
列
、
组
合
、
二
项
式
定
理
、
推
理
与
证
明
分类加法计数原理
两个原理
分步乘法计数原理
N?m
1
?m
2
?????m
n
N?m
1
?m
2
?????m
n
An
m
?n
?
n?1
??
n?2
?
?? ?
?
n?m?1
?
?
n!
?
n?m
?!
规定：0!?1
计
数
原
理
选择排列公式
排列
全排列公式
A
n
n
?n
?
n?1
??n?2
?
???3?2?1?n!
公式
C
n
m
?
A
n!
?
n
m
m!
?
n
?m
?
!A
m
m
m
组合组合数公式
性质
二
项
式
定
理
两个
C
n
性质：
C< br>m
?C
n
n?m
?C
n
m
?C
n< br>m?1
n?1
通项公式
二项式系
数性质
T
r?1?C
n
r
a
n?r
b
r
距首末等距离的两项的 二项式系数相等
012n
C
n
?C
n
?C
n
?????C
n
?2
n
；
135024
C
n?C
n
?C
n
?????C
n
?C
n
?C
n
?????2
n?1
.
合情推理
类比推理
猜 想
大前提、小前提、结论
由因导果
执果索因
反设，证矛盾，下结论
退 出
上一页
推
理
与
证
明
推理
演绎推理
直接证明
归纳推理
三段论
综合法
分析法
证明
间接证明数学归纳法
反证法
验初值，证递推，结论

9

概率的基本性质互斥事件
P
?
A?B
?
?P
?< br>A
?
?P
?
B
?
对立事件
P
?A
?
?1?P
?
A
?
独立事件
P
?< br>A?B
?
?P
?
A
?
?P
?
B?
第
九
部
分
概
率
与
统
计概
率
与
统
计
古典概型
概
率
条件概率< br>n次独立重复试验恰好
发生k次的概率：
P
n
?
k
?
?C
n
k
p
k
?
1?p
?
n?k
P
?
BA
?
?
P
?
A?B
?P
?
A
?
两点分布
二项分布
超几何分布
离散型 随机变量的分布列
随机
变量
若Y?aX?b，则
E
?
Y?
?aE
?
X
?
?b；
D
?
Y
?
?aD
?
X
?
.
2
X~B
?
1，p
?
；E
?
x
?
?p；D
?
x
?
?p
?
1?p
?
X~B
?
n，p
?< br>；E
?
x
?
?np；D
?
x
?
?n p
?
1?p
?
P
?
X?k
?
?
k n?k
C
M
C
N?M
;
n
C
N
期 望、方差
正态分布密度曲线及3 σ 原则
抽签法
共同特点：抽样
过程中每个 个体
被抽到的可能性
（概率）相等.
简单随机抽样
系统抽样
分层抽样
随机数表法
E
?
X
?
?
?
x
i< br>p
i
;
i?1
n
n
随机抽样
D
?< br>X
?
?
?
?
x
i
?EX
?
p
i
.
2
i?1
频率分布表和频率分布直方图
样本频率分布 估计总体
统
计
用样本估
计总体
样本数字特征估计总体
总体密 度曲线
茎叶图
期望、方差及标准差
众数、中位数和平均数
上一页
变量 间的相关关系两个变量的线性相关散点图
n
线性回归
退出
独立性
检验
线性回归方程：y?a?bx；线性相关系数：r?
???
?
?
x? x
??
y?y
?
ii
i?1
?
?
x?x< br>?
?
?
y?y
?
2
ii
i?1i?1
nn
；
2
r?0时，两变量正相关，r?0，则负相关；r越接近1，线性相关越强 ，越接近0，则越弱.
数系的扩充
复数的分类
复数的概念
共轭复数的性质：< br>实数
虚数纯虚数
设z?a?bi，z?a?bi(a，b?R)则
(1)z?z ；
(2)z?z?z为实数；
(3)z??z且z?0?z为纯虚数；
1
?z ?1；
z
(5)Z
1
?Z
2
?z
1
?z< br>2
；
(4)z?
复数相等
第
十
部
分
复
共轭复数
提示：虚数不能比较大小；
模z?a?b
22
复
数
复数的运算
复数的加法
复数的减法
几何意义及
性质应用
( 6)Z
1
?Z
2
?z
1
?z
2
；
?
Z
1
?
z
1
(7)
?
?
Z?
?
?(z
2
?0)；
?
2
?
z2
(8)z
n
的共轭?
?
z
?
(n?N
?
).
n
复数的乘法
复数的除法
一一对应
复数的向量表示
复数
z=a+bi
复平面内的点
Z（a,b)
数
平面向量< br>13
结论：(1)设
?
???i，则有
?
2
?
?
，
22
OZ
复数模的运算性质：设z
1
、z
2
?C有
(1)z
1
?z
2
?z
1
?z2
?z
1
?z
2
；
(2)z
1
?z< br>2
?z
1
?z
2
?2z
1
?2z
2
；
(3)z
1
z
2
?z
1
z
2< br>；(4)
n
2222
上一页
?
3
?1，
?< br>?
?
?
?
?
?
?1，1?
?
??
2
?0?
?
n
?
?
n?1
?
?
n?2
?
n?N
?
；
22
退出
111 ?i1?i1?i
2
?
1?i
??
1?i
?
?2； (2)
?
1?i
?
??2i；??i；?；?i；??i；
i1?i 21?i1?i
(3)如果n?N
?
，有i
4n
?1；i
4 n?1
?i；i
4n?2
??1；i
4n?3
??i；
(4 )复平面内两点Z
1
、Z
2
间距离d?z
2
?z
1
?
?
x
2
?y
2
i
?
?
?
x
1
?y
1
i
?
?
?
x
2
?x
1
?
?
?
y
2
?y
1< br>?
i；
(5)圆的方程：z?z
0
?r
?
r?0?
；(6)线段EF中垂线方程：z?z
1
?z?z
2
；
(7)椭圆方程：z?z
1
?z?z
2
?2a；(8)双曲线方程：z?z
1
?z?z
2
?2a.
z
z
1
?
1
；
z
2
z
2
(5)z
n
?zn?N?
；(6)z?z?z?z.
??
22

10

算法的概念
算法特征：概括性、逻辑性、
有穷性、不唯一性、普遍性
程序框图
循环体
顺序结构
条件结构
循环结构
输入、输出语句
赋值语句
满足条件？
否
满足条件？
否
当型
循环体
是
第
十
一
部
分
算
法
算法的基本思想
和程序框图
算法的概念
算法的基本
逻辑结构
是
直到型
算< br>算法基本语句
INPUT“提示内容”；变量
PRINT“提示内容”；表达式
变量=表达式
IF 条件THEN IF 条件THEN
语句体语句体1
END IF ELSE
语句体2
END IF
法
条件语句
循环语句
DO WHILE 条件
循环体循环体
LOOP UNTIL 条件WEND
（直 到型）（当型）
辗转相除法与
更相减损术
求最大公约数
上一页
算法案 例
秦九韶算法
进位制
f
?
x
?
?a
nx
n
?a
n?1
x
n?1
?
?
?a< br>1
x
1
?a
0
?
?
?
??
a
0
x?a
n?1
?
x?a
n?2
?
x?
?
?a
1
?
x?a
0
求值时，从里到外计算：v< br>1
?a
n
x?a
n?1
；
v
2
?v
1
x?a
n?2
;v
3
?v
2
x?an?3
?
v
n
?v
n?1
x?a
0
退 出
k进制化十进制：a
n
a
n?1
?
a
1
a
0
?
k
?
?a
n
?k
n?1
? a
n?1
?k
n?2
?
?
?a
1
?k?a
0
;
十进制化k进制：除k取余法。
第一部分
第二部分
集合 与简易逻辑
映射、函数、导数、定积分与微积分
三角函数与平面向量
数列
不等 式
立体几何与空间向量
解析几何
排列、组合、二项式定理、推理与证明
概率与 统计
目
第三部分
第四部分
第五部分
录
第六部分
第七 部分
第八部分
第九部分
第十部分
第十一部分
复数
算法

11

12