高中数学夏令营讲义-高中数学正弦函数值域
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高中数学知识点总结
1.
对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。
中元素各表示什么?
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。
3. 注意下列性质:
(3)德摩根定律:
4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法)
的取值范围。
.
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6.
命题的四种形式及其相互关系是什么?
(互为逆否关系的命题是等价命题。)
原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。
7. 对映射的概念了解吗?映射f:
A→B,是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应
元素的唯一性,哪几种对应能构成映射?
(一对一,多对一,允许B中有元素无原象。)
8.
函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同?
(定义域、对应法则、值域)
9. 求函数的定义域有哪些常见类型?
10.
如何求复合函数的定义域?
义域是_____________。
11.
求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗?
12. 反函数存在的条件是什么?
(一一对应函数)
求反函数的步骤掌握了吗?
(①反解x;②互换x、y;③注明定义域)
13. 反函数的性质有哪些?
①互为反函数的图象关于直线y=x对称;
②保存了原来函数的单调性、奇函数性;
.
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14.
如何用定义证明函数的单调性?
(取值、作差、判正负)
如何判断复合函数的单调性?
∴……)
16.
函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么?
(f(x)定义域关于原点对称)
注意如下结论:
(1)在
公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一
个偶函数与奇函数的乘积是
奇函数。
.
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17. 你熟悉周期函数的定义吗?
函数,T是一个周期。)
如:
.
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18. 你掌握常用的图象变换了吗?
注意如下“翻折”变换:
.
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19.
你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗?
的双曲线。
应用:①“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系——二次方程
②求闭区间[m,n]上的最值。
③求区间定(动),对称轴动(定)的最值问题。
.
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④一元二次方程根的分布问题。
由图象记性质! (注意底数的限定!)
20. 你在基本运算上常出现错误吗?
.
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21. 如何解抽象函数问题?
(赋值法、结构变换法)
22. 掌握求函数值域的常用方法了吗?
(二次函数法(配方法)
,反函数法,换元法,均值定理法,判别式法,利用函数单调
性法,导数法等。)
如求下列函数的最值:
23.
你记得弧度的定义吗?能写出圆心角为α,半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗?
.
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24.
熟记三角函数的定义,单位圆中三角函数线的定义
.
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25.
你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗?并由图象写出单调区间、对称点、对
称轴吗?
.
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(x,y)作图象。
27.
在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值,再判定角的
范围。
28. 在解含有正、余弦函数的问题时,你注意(到)运用函数的有界性了吗?
29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗?
.
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(平移变换、伸缩变换)
平移公式:
图象?
30.
熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗?
“奇”、“偶”指k取奇、偶数。
A. 正值或负值
B. 负值 C. 非负值
D. 正值
31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗?
理解公式之间的联系:
.
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应用
以上公式对三角函数式化简。(化简要求:项数最少、函数种类最少,分母中不含
三角函数,能求值,尽
可能求值。)
具体方法:
(2)名的变换:化弦或化切
(3)次数的变换:升、降幂公式
(4)形的变换:统一函数形式,注意运用代数运算。
32.
正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗?如何实现边、角转化,而解斜三角形?
(应用:已知两边一夹角求第三边;已知三边求角。)
.
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33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。
34. 不等式的性质有哪些?
.
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答案:C
35. 利用均值不等式:
值?(一正、二定、三相等)
注意如下结论:
.
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(移项通分,分子分母因式分解,x的系数变为1,穿轴法解得结果。)
38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿,偶切”,从最大根的右上方开始
39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论
40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解?
(找零点,分段讨论,去掉绝对值符号,最后取各段的并集。)
42. 不等式恒成立问题,常用的处理方式是什么?(可转化为最值问题,或“△”问题)
.
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43. 等差数列的定义与性质
0的二次函数)
项,即:
.
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44. 等比数列的定义与性质
46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗?
例如:(1)求差(商)法
解:
[练习]
.
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(2)叠乘法
解:
(3)等差型递推公式
[练习]
(4)等比型递推公式
.
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[练习]
(5)倒数法
47. 你熟悉求数列前n项和的常用方法吗?
例如:(1)裂项法:把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项。
解:
.
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[练习]
(2)错位相减法:
(3)倒序相加法:把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加。
[练习]
.
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48.
你知道储蓄、贷款问题吗?
△零存整取储蓄(单利)本利和计算模型:
若每期存入本金p元,每期利率为r,n期后,本利和为:
△若按复利,
如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型(按揭贷款——分期等额归
还本息的借款种类)
若贷款(向银行借款)p元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)
后为第一次还款日
,如此下去,第n次还清。如果每期利率为r(按复利),那么每期应还
x元,满足
p——贷款数,r——利率,n——还款期数
49.
解排列、组合问题的依据是:分类相加,分步相乘,有序排列,无序组合。
(2)排列:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一
(3)组合:从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素并组成一组,叫做从n个不
.
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50. 解排列与组合问题的规律是:
相邻问
题捆绑法;相间隔问题插空法;定位问题优先法;多元问题分类法;至多至少问
题间接法;相同元素分组
可采用隔板法,数量不大时可以逐一排出结果。
如:学号为1,2,3,4的四名学生的考试成绩
则这四位同学考试成绩的所有可能情况是( )
A. 24 B. 15
解析:可分成两类:
C. 12 D. 10
(2)中间两个分数相等
相同两数分别取90,91,92,对应的排列可以数出来,分别有3,4,3种,∴有10种。
∴共有5+10=15(种)情况
51. 二项式定理
性质:
.
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(3)最值:n为偶数时,n+1为奇数,中间一项的二项式系数最大且为第
表示)
53. 对某一事件概率的求法:
分清所求的是:(1)等可能事件的概率(常采用排列组合的方法,即
如:设10件产品中有4件次品,6件正品,求下列事件的概率。
(1)从中任取2件都是次品;
.
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(2)从中任取5件恰有2件次品;
(3)从中有放回地任取3件至少有2件次品;
解析:有放回地抽取3次(每次抽1件),∴n=10
3
而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”
(4)从中依次取5件恰有2件次品。
解析:∵一件一件抽取(有顺序)
分清(1)、(2)是组合问题,(3)是可重复排列问题,(4)是无重复排列问题。
如:
从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛,如果按性别分层随机抽样,则组
成此参赛队的概率为_
___________。
56. 你对向量的有关概念清楚吗?
(1)向量——既有大小又有方向的量。
在此规定下向量可以在平面(或空间)平行移动而不改变。
(6)共线向量(平行向量)——方向相同或相反的向量。
.
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规定零向量与任意向量平行。
(7)向量的加、减法如图:
(8)平面向量基本定理(向量的分解定理)
的一组基底。
(9)向量的坐标表示
表示。
.
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57. 平面向量的数量积
数量积的几何意义:
(2)数量积的运算法则
[练习]
.
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答案:
答案:2
答案:
58.
线段的定比分点
※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗?
59.
立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗?
平行垂直的证明主要利用线面关系的转化:
线面平行的判定:
a
b
??
.
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线面平行的性质:
三垂线定理(及逆定理):
线面垂直:
面面垂直:
.
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60. 三类角的定义及求法
(1)异面直线所成的角θ,0°<θ≤90°
(2)直线与平面所成的角θ,0°≤θ≤90°
(三垂线定理法:A∈α作或证AB⊥β于B,作BO⊥棱于O,连AO,则AO⊥
棱
l
,
∴∠AOB为所求。)
三类角的求法:
①找出或作出有关的角。
②证明其符合定义,并指出所求作的角。
③计算大小(解直角三角形,或用余弦定理)。
[练习]
(1)如图,OA为α的斜线OB为其在α内射影,OC为α内过O点任一直线。
.
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(2)如图,
正四棱柱ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中
对角线BD
1
=8,BD
1
与侧面B
1
BCC
1<
br>所成的
为30°。
①求BD
1
和底面ABCD所成的角;
②求异面直线BD
1
和AD所成的角;
③求二面角C
1
—BD
1
—B
1
的大小。
(3)如图ABCD为菱形,∠DAB=60°,PD⊥面ABCD,且P
D=AD,求面PAB与
面PCD所成的锐二面角的大小。
(∵AB∥D
C,P为面PAB与面PCD的公共点,作PF∥AB,则PF为面PCD与面PAB
的交线……)
61. 空间有几种距离?如何求距离?
点与点,点与线,点与面,线与线,线与面,面与面间距离。
将空间距离转化为两点的距离,构造三角形,解三角形求线段的长(如:三垂线定理法,
.
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或者用等积转化法)。
如:正方形AB
CD—A
1
B
1
C
1
D
1
中,棱长为a,
则:
(1)点C到面AB
1
C
1
的距离为___________;
(2)点B到面ACB
1
的距离为____________;
(3)直线
A
1
D
1
到面AB
1
C
1
的距离为___
_________;
(4)面AB
1
C与面A
1
DC<
br>1
的距离为____________;
(5)点B到直线A
1
C
1
的距离为_____________。
64.
熟记下列公式了吗?
(1)l直线的倾斜角??0,?,k?tan??
?
?
y
2
?y
1
?
?
?
?
??,x
1
?x
2
?
?
x
2
?x
1
?
2
?
<
br>P
1
x
1
,y
1
,P
2
x
2
,y
2
是l上两点,直线l的方向向量a?1,k
(2)直线方程:
点斜式:y?y
0
?k
?
x?
x
0
?
(k存在)
斜截式:y?kx?b
??????
一般式:Ax?By?C?0(A、B不同时为零)
(3)点Px
0
,y
0
到直线l:Ax?By?C?0的距离d?
??
A
x
0
?By
0
?C
A?B
22
(4)l
1
到l
2
的到角公式:tan??
k
2<
br>?k
1
1?k
1
k
2
l
1
与l
2
的夹角公式:tan??
k
2
?k
1
1?k
1
k
2
.
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65. 如何判断两直线平行、垂直?
A
1
B
2
?A
2
B
1
?
?
?l
1
∥l
2
A
1
C
2
?A
2
C
1
?
k
1
?k
2
?l
1
∥l
2
(反之
不一定成立)
A
1
A
2
?B
1
B
2
?0?l
1
⊥l
2
66. 怎样判断直线
l
与圆C的位置关系?
圆心到直线的距离与圆的半径比较。
直线与圆相交时,注意利用圆的“垂径定理”。
67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置?
联立方程组?关于x(或y
)的一元二次方程?“?”
??0?相交;??0?相切;??0?相离
68.
分清圆锥曲线的定义
第二定义:e?
PF
PK
?
c
a
0?e?1?椭圆;e?1?双曲线;e?1?抛物线
.
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x
2
y
2
x
2
y
2
69.与双曲线
2
?
2
?1有相同焦点的双曲线系为
2
?<
br>2
??
?
??0
?
abab
70.
在圆锥曲线与直线联立求解时,消元后得到的方程,要注意其二次项系数是否为零?
△≥0的限制。(求
交点,弦长,中点,斜率,对称存在性问题都在△≥0下进行。)
通径是抛物线的所有焦点弦中最短者;以焦点弦为直径的圆与准线相切。
72.
有关中点弦问题可考虑用“代点法”。
答案:
73. 如何求解“对称”问题?
.
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(1)证
明曲线C:F(x,y)=0关于点M(a,b)成中心对称,设A(x,y)为曲线
C上任意一点,设
A'(x',y')为A关于点M的对称点。
?
x?rcos?
74.圆x?y?r的参数
方程为
?
(?为参数)
y?rsin?
?
222
?
x?acos?
x
2
y
2
椭圆
2
?
2
?1的参数方程为
?
(?为参数)
ab
?
y?bsin?
75.
求轨迹方程的常用方法有哪些?注意讨论范围。
(直接法、定义法、转移法、参数法)
.