高中数学知识点梳理

高中数学知识点梳理
一、 教材分布
1.课程内容：
必修课程由5个模块组成：
数学1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）
数学2：立体几何初步、平面解析几何初步。
数学3：算法初步、统计、概率。
数 学4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。
数学5：解三角形、数列、不等式。
以上是每一个高中学生所必须学习的。
上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技 能的主
要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几
何初步、平面解析几何 初步等。不同的是在保证打好基础的同时，
进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在 技巧
与难度上做过高的要求。
此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。
选修课有4个系列
系列1：由2个模块组成。
选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。
选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图
系列2：由3个模块组成。
选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、
空间向量与立体几何。
选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数
选修2—3：计数原理、统计案例、概率。
系列3：由6个专题组成。
选修3—1：数学史选讲。
选修3—2：信息安全与密码。
选修3—3：球面上的几何。
选修3—4：对称与群。
选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。
选修3—6：三等分角与数域扩充。
系列4：由10个专题组成。
选修4—1：几何证明选讲。

选修4—2：矩阵与变换。
选修4—3：数列与差分。
选修4—4：坐标系与参数方程。
选修4—5：不等式选讲。
选修4—6：初等数论初步。
选修4—7：优选法与试验设计初步。
选修4—8：统筹法与图论初步。
选修4—9：风险与决策。
选修4—10：开关电路与布尔代数。
2．内在关系：
① 必修课中，数学1是数学2、数学3、数学4、数学5的基础。
② 必修课是选修课中系列1，系列2课程的基础。
③ 选修课中系列3，系列4基本上不依赖其他系列的 课程，可以
与他系列的课程同时开设，这些专题的开设可以不考虑先后
顺序。
④ 必开课程：必修课（所有学生），选修系列1（文科学生）、系
列2（理科学生）
选开课程： 选修4—1：几何证明选讲、选修4—4：坐标系与参
数方程及选修4—5：不等式选讲。

3．重难点及考点：
重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，
立体几何，导数
难点：函数、圆锥曲线
高考相关考点：
①集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件
②函数：映射与函数、函数解析 式与定义域、值域与最值、反函数、
三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的< br>应用
③数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列
的应用
④三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公
式、求值、化简、证明、三角 函数的图象与性质、三
角函数的应用
⑤平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用
⑥不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、
不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用
⑦直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、
圆、直线与圆的位置关系

⑧圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置
关 系、轨迹问题、圆锥曲线的应用
⑨直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、
棱柱、棱锥、球、空间向量
⑩排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用
⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布
⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用
⒀复数：复数的概念与运算
二、 新课标要求
1、课程内容有了较大的调整
集合的内容大体不变，将简易逻辑放到了 选修内容中，本模块
对集合的定位是将集合作为一种语言来学习，强调了使用Venn图的
重要 性，课时数定为4课时，较以前的课时减少了2课时.
函数一章中原有的内容基本不变，增加 幂函数（幂指数为1，2，
3，-1，
1
2
五种）的内容，并将函数奇偶性的 内容又拿回来，仍定为
了解，但要求大大降低.明确指出了了解简单的分段函数，增加的内
容还 有§2.5函数与方程（二次方程实根分布）、§2.6函数模型及
其应用，对反函数的要求降低并强调 了直观性，不要求求已知函数
的反函数，不要求一般地讨论形式化的反函数的定义，另外还增加
了一些实际操作的内容，引导学生合理而非盲目地使用现代信息技
术.课时数从原来的30课时变为32 课时.
2、四大方面的内容得到了加强
①加强了函数模型的背景和应用的要求
对“函数”这一高中数学的核心概念，加强函数模型背景和应
用的要求是时代的要求，充分体现其中蕴涵 的数学思想方法，以及
它在后继学习中的作用，让学生通过实例（有多处）去体会、认识
直线上 升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的含义；让学生通
过收集现实生活中普通使用的函数模型实例， 去了解函数模型的广
泛应用，更好地认识数学的价值。此外，这样的学习过程也符合学
生的认知 规律，对于激发学习兴趣，发挥学生学习的主动性等十分
有益。
②加强了知识之间的联系
这种联系包括与方程、不等式、算法等内容的横向联系。以及
在整个中学数学中多次接 触、反复体会、螺旋上升地学习函数的纵
向联系。
③加强了对数形结合、几何直观等数学思想方法的学习的要求
数形结合、几何直观等 数学思想方法是数学和数学学习中的重
要思想方法，它们对于理解数学，思考和学习数学都十分重要，而
函数这一内容又是上述思想方法的很好载体,函数图象的教学应当
放在重要位置，绘制函数的比 较精确的图象和通过图形解读数学信
息，是一项基本的数学技能。当然，我们也要注意几何直观的局限< br>性，避免用几何直观代替逻辑证明的错误做法。
④加强了与信息技术整合的要求
新课标在这一内容中，明确指出了要运用信息技术进行教学，
如：能借助计算器或计算机通过具体指数和 对数函数的图象，探索
并理解指数函数的单调性与特殊点；能借助计算器用二分法求相应
方程的 近似解等，都体现了加强与信息技术整合的要求。
3、削弱部分方面的内容
1．削 弱了对定义域、值域的过于繁难的，尤其是人为的过于技
巧化的训练，目的是为了使学生更好地理解函数 的基本思想和实质。
2．削弱了反函数的概念，只要求知道指数函数
y?a
x
与对数函数
y?log
a
x(a?0且a?1)
互为反函数。

3．将复合函数概念放到“导数及其应用”的相关内容中。
另外，对于对数函数的内容的要求也有所降低，这都是为了尽可
能减轻学生的负担。
三、 期中期末进度
高一年级（上学期）期中考试：必修1结束
期终考试：必修2结束
高一年级（下学期）期中考试：必修4前两章
期终考试：必修3结束
高二（文科上学期）期中考试：必修5束
期终考试：选修1—1结束
（理科上学期）期中考试：必修5束
期终考试：选修2—1结束
高二（文科下学期）期中考试：选修1-2结束
期终考试：选修4结束
（理科下学期）期中考试：选修2-2前两章
期终考试：选修2-3、选修4结束
四、 易错点总结
1．在应用条件A∪B＝B，A∩B＝A 时，易忽略A是空集Φ的情况。
2．求解与函数 有关的问题易忽略定义域优先的原则，尤其是在与实
际生活相联系的应用题中，判断两个函数是否是同一 函数也要判断
函数的定义域，求三角函数的周期时也应考虑定义域 。
3．判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称,
优先考虑定义域对称。
4．解对数不等式时，易忽略真数大于0、底数大于0且不等于1这
一条件。
5． 用判别式法求最值（或值域）时，需要就二次项系数是否为零进
行讨论，易忽略其使用的条件，应验证最 值。
6．用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽略讨论二
次项的系数是否为 0。尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略。
7．用均值定理求最值（或值域）时，易忽略验证“一 正（几个数或
代数式均是正数）二定（几个数或代数式的和或者积是定值）三等
（几个数或代数 式相等）”这一条件。
8．用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性。
9．求反函数时，易忽略求反函数的定义域。
10．求函数单调性时，易错误地在多个单调 区间之间添加符号“∪”
和“或”；单调区间不能用集合或不等式表示,而应用逗号连接多个
区 间。
11．用等比数列求和公式求和时，易忽略公比ｑ＝1的情况。
12．已知Sn求a
n
时, 易忽略n＝1的情况。
13．用直线的点斜式、斜截式设直线的方程时, 易忽略斜率不存在
的情况；题目告诉截距相等时，易忽略截距为0的情况。
14.求含系数的直线方程平行或者垂直的条件时，易忽略直线与x轴
或者y轴平行的情况。
15．用到角公式时，易将直线L
1
、L
2
的斜率ｋ
1、ｋ
2
的顺序弄颠倒；
使用到角公式或者夹角公式时，分母为零不代表无解，而是 两直线
垂直。

16．在做应用题时, 运算后的单位要弄准，不要忘了“答”及变量
的取值范围；在填写填空题中的应用题的答案时, 不要忘了单位。
应用题往往对答案的数值有特殊要求，如许多时候答案必须是正整
数。
23。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,只有一
个交点；如果直线与抛物线的轴 平行时,直线与抛物线相交,只有一
个交点。此时两个方程联立，消元后为一次方程。即直线与双曲线< br>或者抛物线只有一个交点时，包括相切和上述情况。
17．在分类讨论时,分类要做到“不重不漏、层次分明,进行总结”。 24．求直线与圆、圆锥曲 线相交弦问题用韦达定理时，求出字母系
18．在解答题中，如果要应用教材中没有的重要结论，那么在 解题
1
过程中要给出简单的证明，如使用函数y=x+
x
的单调性求某一区间
1
的最值时，应先证明函数y=x+
x
的单调性。
19．在求不等 式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或
区间表示；不能用不等式表示。
20． 两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正
11
可乘；同时要注意“同号可 倒”即A＞B＞0，0<
a
<
b
。
21．分组问题要注意区分是平 均分组还是非平均分组，平均分成n
组问题易忘除以n！。同时还要注意区分是定向分组还是非定向分组 ；
分配问题也注意区分是平均分配还是非平均分配，同时还要注意区
分是定向分配还是非定向分 配。
22．已知△ABC中的两个角A、B的正余弦值，求第三个角C的正余
弦值，易忘第 三个角C有解的充要条件是cosA+cosB>0,这是由三角
形内角和为180°决定的。
数后，应代入判别式中检验。
25．求两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角 时，
如果所求的角为90°，那么就不要忘了还有一种求角的方法即用证
明它们垂直的方法。
26．二项式(A＋B)
n
展开式的通项公式中A与B的顺序不变。
ab c
27．使用正弦定理时易忘比值还等于2R,即
sinA
=
sinB
=
sinC
=2R
28．恒成立问题不要忘了主参换位以及验证等号是否成立。
29．概率问题要注意变量是否服从二项分布。从而使用二项分布的
期望和方差公式求期望和方 差。
30．面面平行的判定定理易把条件错误地记为＂一个平面内的两条
相交直线与另一个 平面内的两条相交直线分别平行＂而导致证明过
程跨步太大，正确的判定方法是：如果一个平面内有两条 相交直线
都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。
31．函数的图象的平移、方程的平移以及点的平移公式易混：

（1）函数 的图象的平移为“左+右-,上+下-”；如函数y＝2x+4的
图象左移2个单位且下移3个单位得到 的图象的解析式为y=2（x＋2）
+4－3。即y=2x+5。
（2）方程表示的图形的平移为“左+右-,上-下+”； 如直线2x－y+4=0
左移2个 单位且下移3个单位得到的图象的解析式为2(x＋2)-(y＋
3)+4=0。即y=2x+5。
（3）点的平移公式：点P(x,y)按向量 =(h，k)平移到点P’(x’，
y’)，则
x’＝x+ h，y’ ＝y+ k。
32．椭圆、双曲线A、B、ｃ之间的关系易记混。 对于椭圆应是A
2
－
B
2
＝ｃ
2
，对于双曲线应是 A
2
＋B
2
＝ｃ
2
。
33．“属于关系”与“ 包含关系”的符号易用混，元素与集合的关
系用a∈A，集合与集合的关系用A
?
B。
34．“点A在直线A上”与“直线A在平面α上”的符号易用混，
如：A∈A，A
?
α.
35．椭圆和双曲线的焦点在ｘ轴上与焦点在ｙ轴上的焦半径公式易
记混；椭 圆和双曲线的焦半径公式易记混。它们都可以用其第二定
义推导，建议不要死记硬背，用的时候再根据定 义推导。
36．两个向量平行与与两条直线平行易混, 两个向量平行(也称向量
共线)包含两个向量重合, 两条直线平行不包含两条直线重合。

37．各种角的范围：
两条异面直线所成的角 0°<α≤90°
直线与平面所成的角 0°≤α≤90°
斜线与平面所成的角 0°<α< 90°
二面角 0°≤α≤180°
两条相交直线所成的角(夹角) 0°<α≤90°
L1到L2的角 0°<α< 180°
倾斜角 0°≤α< 180°
两个向量的夹角 0°≤α≤180°
锐角 0°<α< 90°