高中数学知识点(整理版)

高中数学知识点（整理版）1
1、含有
n
个元素的有限集合
M
，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为
2、指数式、对数
log
a
1?
，
log
a
a?
，
log
a
b?
log
c
b
，
log
a
m
b
n
?log
a
b
．
m
log
ca
3、函数图像与
x
轴垂线至多一个公共点，但与
y
轴垂线的公 共点可能没有，也可任意
个．
（3）函数图像一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图像．
．单调性和奇偶性
（1）奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同．
偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．
注意：（1）确定函数的 奇偶性，务必先判定函数定义域是否关于原点对称．确定函
数奇偶性的常用方法有：定义法、图像法等等 ．对于偶函数而言有：
f(?x)?f(x)?f(|x|)
．
（2）若奇函数定义 域中有0，则必有
f(0)?0
．即
0?f(x)
的定义域时，
f( 0)?0
是
n
f(x)
为奇函数的必要非充分条件．
（3）确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用：定义法（取值、作差、鉴定）、
（4 ）既奇又偶函数有无穷多个（
f(x)?0
，定义域是关于原点对称的任意一个数集）．
4．对称性与周期性（以下结论要消化吸收，不可强记）
（1）函数
y?f
?
x
?
与函数
y?f
?
?x
?
的图像关于 直线
x?0
（
y
轴）对称．
推广一：如果函数
y?f?
x
?
对于一切
x?R
，都有
f
?
a ?x
?
?f
?
b?x
?
成立，那
么
y?f
?
x
?
的图像关于直线
x?
a?b
(a?x)?( b?x)
（由“
x
和的一半
x?
确定”）对称．
2
2
b?a
（由
2
推广二：函数
y?f
?
a?x< br>?
，
y?f
?
b?x
?
的图像关于直线
x?
a?x?b?x
确定）对称．
（2）函数
y?f
?
x?
与函数
y??f
?
x
?
的图像关于直线
y? 0
（
x
轴）对称．
（3）函数
y?f
?
x
?
与函数
y??f
?
?x
?
的图像关于坐标原点中心对称 ．
若
f(x?a)??f(x)(a?0)
恒成立，则
T?2a
． 若
f(x?a)?
1
(a?0)
恒成
f(x)

立，则
T?2a
．若
f(x?a)??
1
(a?0)
恒成 立，则
T?2a
．
f(x)
1．数列的通项、数列项的项数，递推公式与递 推数列，数列的通项与数列的前
n
项和公式
的关系：
a
n
?
?
S
1
,(n?1)
（必要时请分类讨论）．
S
n
?S
n?1
,(n?2)
2．等差数列
{a
n
}
中：
（1）等差数列公差的取值与等差数列的单调性．
（2）
a
n
?a
1
?(n?1)d
?a
m
?(n?m)d
；
p?q?m?n?a
p
?a
q
?a
m
?a
n
．
（3）
{a
n
1
?(k?1)m
}
、
{ka
n
}
也成等差数列．
（4）两等差数列对应项和（差）组成的新数列仍成等差数列．
（5）
a
1
?a
2
???a
m
,a
k
?a
k?1???a
k?m?1
,?
仍成等差数列．
（6）
S
n
?
n(a
1
?a
n
)n(n?1)dd
d
，
S
n
?n
2
?(a
1
?)n
，
S
n
?na
1
?
2222
（8）“首正”的递减等差数列 中，前
n
项和的最大值是所有非负项之和；
“首负”的递增等差数列中，前
n
项和的最小值是所有非正项之和；
3．等比数列
{a
n
}
中：
（1）等比数列的符号特征（ 全正或全负或一正一负），等比数列的首项、公比与等比
数列的单调性．
（2）
a< br>n
?a
1
q
n?1
?a
m
q
n?m
；
p?q?m?n?b
p
?b
q
?b
m
?b
n
．
（4）两等比数列对应项积（商）组成的新数列仍成等比数列．
（5）
a
1
?a
2
???a
m
,a
k?a
k?1
???a
k?m?1
,?
成等比数列．
?
na
1
(q?1)
?
na
1
(q?1)
??
?
?
a
1
n
（6）
S
n?
?
a
1
?a
n
qa
1
(1?qn
)

a
1
?q? (q?1)
?
1?q
?
1?q
(q?1)
?
1 ?q1?q
?
?
（8）“首大于1”的正值递减等比数列中，前
n
项 积的最大值是所有大于或等于1的项的
积；“首小于1”的正值递增等比数列中，前
n
项积的最小值是所有小于或等于1的项的积；
4．等差数列与等比数列的联系
（1）如果数 列
{a
n
}
成等差数列，那么数列
{A
n
}
（
A
n
总有意义）必成等比数列．
a
a

（2）如果数列
{a
n
}
成等比数列，那么数列
{log
a
|a
n
|}(a?0,a?1)
必成等差数列．
（3）如果数列< br>{a
n
}
既成等差数列又成等比数列，那么数列
{a
n
}
是非零常数数列；但数
列
{a
n
}
是常数数列仅是数列 既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件．
5．数列求和的常用方法：
（1）公式法：①等差数列求和公式（三种形式），
②等比数列求和公式（三种形式）， < br>2222
③
1?2?3???n?
1
n(n?1)
，
1?2?3???n?
1
n(n?1)(2n?1)
，
2
6
1?3?5???(2n?1)?n
2
，
1?3?5???(2n?1)?(n?1)
2
．
（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项 ”先合并在
一起，再运用公式法求和．
（3）倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距 离相等的两项和有其共性或数列
的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用 求和（这也是等差
数列前
n
和公式的推导方法）．
（4）错位相减法：如果 数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相
乘构成，那么常选用错位相减法，将其和转 化为“一个新的的等比数列的和”求解（注意：一
般错位相减后，其中“新等比数列的项数是原数列的项 数减一的差”！）（这也是等比数列前
n
和公式的推导方法之一）．
（5）裂项相消 法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，
那么常选用裂项相消法求和． 常用裂项形式有：
①
②
1
?
1
?
1
，
n(n?1)nn?1
1
?
1
(
1
?
1< br>)
，
n(n?k)knn?k
特别声明：?运用等比数列求和公式，务必检查 其公比与1的关系，必要时分类讨
论．
?
2
2．弧长公式：
l?|
?
|R
，扇形面积公式：
S?
1
lR?
1
|
?
|R
，1弧度（1rad）
?57.3

22
?
为锐角
?
sin
?
?
?
?tan
?．
5．三角函数同角关系中，平方关系的运用中，务必重视“根据已知角的范围和三角函数的取< br>值，精确确定角的范围，并进行定号”；

6．三角函数诱导公式的本质是：奇变偶不变，符号看象限．
常值变换主要指“1”的变换：
1?sin
2
x?cos
2
x?sec
2
x?tan
2
x?tanx?cotx?tan
?< br>?sin
?
?cos0??
等．
42
三角式变换主要有：三 角函数名互化（切割化弦）、三角函数次数的降升（降次、升次）、运
算结构的转化（和式与积式的互化 ）．
sinxcosx
?的联系”
asinx?bcosx?
“正余弦 ?三兄妹—
sinx?cosx、
（其中
?
角所在的象限由a, b的符号确 定，
?
角的值由
tan
?
?
起着重要作用．尤其是两者系数 绝对值之比为
1或3
的情形．
2）正弦定理：
a
2
?b< br>2
sin
?
x?
?
?
b
确定）在求最值、化 简时
a
a
?
b
?
c
?2R
（R为三角形外 接圆的半径）．
sinAsinBsinC
注意：已知三角形两边一对角，求解三角形时，若 运用正弦定理，则务必注意可能
有两解．
222
(b?c)
2
?a
2
b?c?a
??1
等，（3）余弦定理：
a?b?c?2bcco sA,cosA?
2bc2bc
222
常选用余弦定理鉴定三角形的类型．
（4）面积公式：
S?
1
ah
a
?
1
absinC ?
abc
．
??
???
?
a?b
?
一个 向量在另一向量方向上的投影（
a
在
b
上的投影是
?acos?a, b??
?
?R
）．
b
3．两非零向量平行（共线）的充要条件 < br>224R
????
??
2
??
2
ab?a?
?
b

?(a?b)?(|a||b|)

?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
．
两个非零向量垂直的充要条件
????????
a?b?a?b?0?|a?b|?|a?b|

?x1
x
2
?y
1
y
2
?0
．
特别：零向量和任何向量共线．
a?
?
b
是向量平行的充分不必要条件! < br>4．平面向量的基本定理：如果e
1
和e
2
是同一平面内的两个不共线 向量，那么对该平面内的
任一向量a，有且只有一对实数
?
1
、
?< br>2
，使a=
?
1
e
1
＋
?
2
e
2
．
????????
A、B、C
AC
共线； 5 ．三点共线
?
AB、
????????????
????????????< br>向量
PA
PA?
?
PB?
?
PC
、 PB、 PC
中三终点
A、B、C
共线
?
存在实数
?
、?
使得：
且
?
?
?
?1
．

< br>?
2
?
2
??
????
6．向量的数量积：
|a|?(a)?a?a
，
a?b?|a||b|cos
?
?x
1< br>x
2
?y
1
y
2
，
??
a?b< br>?
?cos
?
?
?
|a||b|
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y
2
1
2
1
2
2
2
2
，
x?y
??
?? ???
a?b
xx?y
1
y
2
．
a
在< br>b
上的投影
?|a|cos?a,b??
?
?
12
2 2
|b|
x
2
?y
2
????
??
注意：
?a,b?
为锐角
?
a?b?0
且
a、 b
不同向；
???
??
??
b?0
；
?a, b?
为直角
?
a?b?0
且
a、
????
?? b
不反向；
?a,b?
为钝角
?
a?b?0
且a、
??
??
a?b?0
是
?a,b?
为钝角的必要非 充分条件．
利用重要不等式
a?b?2ab
以及变式
ab?(
a ?b
)
等求函数的最值时，务必注意a，
2
2
b
?R
（或a ，b非负），且“等号成立”时的条件是积ab或和a＋b其中之一应是定值（一
正二定三等四同时）．
比较大小的方法和证明不等式的方法主要有：差比较法、商比较法、函数性质法
6．不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题
（1）．恒成立问题
若不等式
f
?
x
?
?A
在区间
D
上恒成立,则等价于在区 间
D
上
f
?
x
?
min
?A
< br>若不等式
f
?
x
?
?B
在区间
D
上 恒成立,则等价于在区间
D
上
f
?
x
?
max?B

（2）．能成立问题
若在区间
D
上存在实数
x
使不等式
f
?
x
?
?A
成立,即
f
?
x
?
?A
在区间
D
上能成
立, ,则等价于在 区间
D
上
f
?
x
?
max
?A

若在区间
D
上存在实数
x
使不等式
f
?
x
?
?B
成立,即
f
?
x
?
?B
在 区间
D
上能成
立, ,则等价于在区间
D
上的
f
?
x
?
min
?B
．
（3）．恰成立问题
若不等 式
f
?
x
?
?A
在区间
D
上恰成立, 则 等价于不等式
f
?
x
?
?A
的解集为
D
．
若不等式
f
?
x
?
?B
在区间
D
上恰成立, 则等价于不等式
f
?
x
?
?B
的解集为
D
,
?

1．计算异面直线所成角的关键是平移（补形）转化为两直线的夹角计算 < br>2．计算直线与平面所成的角关键是作面的垂线找射影，或向量法（直线上向量与平面法向
量夹角 的余角），
3．空间平行垂直关系的证明，主要依据相关定义、公理、定理和空间向量进行，请重视线
面平行关系、线面垂直关系的桥梁作用．注意：书写证明过程需规范．
特别声明：
①证明计算过程中，若有“中点”等特殊点线，则常借助于“中位线、重心”等知识转化．
②在证明计算过程中常将运用转化思想，将具体问题转化 （构造） 为特殊几何体（如
三棱锥、正方体、长方体、三棱柱、四棱柱等）中问题，并获得去解决．
如 三棱锥中：侧棱长相等（侧棱与底面所成角相等）
?
顶点在底上射影为底面外心，
侧棱 两两垂直（两对对棱垂直）
?
顶点在底上射影为底面垂心，斜高长相等（侧面与底面
所 成相等）且顶点在底上在底面内
?
顶点在底上射影为底面内心．
5．求几何体体积的常规方法是：公式法、割补法、等积（转换）法、
6．多面体是由若干个多边形围成的几何体．棱柱和棱锥是特殊的多面体．
正多面体的每个面 都是相同边数的正多边形，以每个顶点为其一端都有相同数目的棱，
这样的多面体只有五种， 即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．

9． 球体积公式
V?
?
R
3
，球表面积公式
S?4
?< br>R
2
，是两个关于球的几何度量公式．它
们都是球半径及的函数．
4
3