高中数学象限角的概念-高中数学思想方法的书
高中数学知识点方法总结
1.
对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。
如
：集合A?
?
x|y?lgx
?
，B?
?
y|y?lgx<
br>?
，C?
?
(x,y)|y?lgx
?
，A、B、C
中元素各表示什么？
2.
进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集?的特殊情况。
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
如：集合A?x|x
2
?2x?3?0，B?
?
x|ax?1
?
若B?A，则实数a的值构成的集合为
（答：
?
?1，0，
?
）
3.
注意下列性质：
（1）集合a
1
，a
2
，……，
a
n
的所有子集的个数是2
n
；
（2）若A?B?A?B?A，A?B?B；
（3）德摩根定律：
??
?
?
1
?
3
?<
br>??
C
U
?
A?B
?
?
?
C
U
A
?
?
?
C
U
B
?
，
C
U
?
A?B
?
?
?
C
U
A<
br>?
?
?
C
U
B
?
ax?5
?0的解集为M，若3?M且5?M，求实数a
2
x?a
4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）
如：已知关于x的不等式
的取值范围。
（∵3?M，∴
a
·3?5
?0
2
3?a
a·5?5
?0
5
2
?a
5
??
?a?
?
1，
?
?
?
9，25
?
）
3
?
?
∵5?M，∴
5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”(?)，“且”(?)和
“非”(?).
若p?q为真，当且仅当p、q均为真
若p?q为真，当且仅当p、q至少有一个为真
若?p为真，当且仅当p为假
6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？
（互为逆否关系的命题是等价命题。）
原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
7. 对映射的概念了解吗？映射f：
A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应
元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？
（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）
8.
函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？
（定义域、对应法则、值域）
9. 求函数的定义域有哪些常见类型？
例：函数y?
x
?
4?x
?
lg
?
x?3
?
2
的定义域是
（答：0，2?2，3?3，4）
10.
如何求复合函数的定义域？
如：函数f(x)的定义域是a，b，b??a?0，则
函数F(x)?f(x)?f(?x)的定
义域是_____________。
（答：a，?a）
11.
求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？
如：f
令t?
??????
??
??
?<
br>2
x?1?e
x
?x，求f(x).
x?1，则t?0
?
∴x?t?1
t
∴f(t)?e
2
?1
?t
2
?1
∴f(x)?e
x
2
?1
?x
2
?1
?<
br>x?0
?
12. 反函数存在的条件是什么？
（一一对应函数）
求反函数的步骤掌握了吗？
（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）
?
?
1?x
如：求函数f(x)?
?
2
?
?
?x
?1
?
x?0
?
的反函数
?
x?0
?
?
?<
br>x?1
?
x?1
?
）
（答：f(x)?<
br>?
?
?
??x
?
x?0
?
13.
反函数的性质有哪些？
①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；
②保存了原来函数的单调性、奇函数性；
③设y?f(x)的定义域为A，值域为C，a?A，b?C，则f(a)=b?f(b)?a
?f
?1
?
f(a)
?
?f
?1
(b)?a，ff
?1
(b)?f(a)?b
14.
如何用定义证明函数的单调性？
（取值、作差、判正负）
如何判断复合函数的单调性？
?1
??
（y?f(u)，u??(
x)，则y?f
?
?(x)
?
（外层）（内层）
当内、外层函数单调性相同时f
?
?(x)
?
为增函数，否则f?
?(x)
?
为减函数。）
如：求y?log
1
?x?2x的单调区间
2
?
2
?
（设u??x?2x，由u?0则0?x?2
且log
1
u?，u??
?
x?1
?
?1，如图：
2
2
2
u
O 1 2 x
当x?(0，1]时，u?，又log
1
u?，∴y?
2
当x?[1，2)时，u?，又log
1
u?，∴y?
2
∴……）
15. 如何利用导数判断函数的单调性？
在区间a，b内，若总有f'(x)?0则f(x)为增函数。（在个别点上导数等于
??
零，不影响函数的单调性），反之也对，若f'(x)?0呢？
如：已知a?0，函数f(x)?x?ax在1，??上是单调增函数，则a的最大
值是（ ）
A. 0
3
?
?
B.
1 C. 2 D. 3
?
a
??
a
?
（令f'(
x)?3x?a?3
?
x?
??
x?
?
?0
33
????
2
则x??
a
或x?
3
a
3
a
?1，即a?3
3
由已知f(x)在[1，??)上为增函数，则
∴a的最大值为3）
16. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？
（f(x)定义域关于原点对称）
若f(?x)??f(x)总成立?f(x)为奇函数?函数图象关于原点对称
若f(?x)?f(x)总成立?f(x)为偶函数?函数图象关于y轴对称
注意如下结论：
（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶
函数；一
个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)?0。
a·2
x
?a?2
为奇函数，则实数a?
如：若f(x)?
2
x
?1
（∵f(x)为奇函数，x?R，又0?R，∴f(0)?0
a·2
0
?a?2
?0，∴a?1）
即
0
2?1
2
x
，
又如：f(
x)为定义在(?1，1)上的奇函数，当x?(0，1)时，f(x)?
x
4?1
求
f(x)在
?
?1，1
?
上的解析式。
2
?x
（令x?
?
?1，0
?
，
则?x?
?
0，1
?
，f(?x)?
?x
4?1
2
?x
2
x
??
又f(x)为奇函数，∴f(x)??
?x
x
4?11?4
?
2
x
?
?
x
?
4?1
又f(0)?0，∴f(x)?
?
x
?
2
?
?4
x
?1
17. 你熟悉周期函数的定义吗？
x?(?1，0)<
br>x?0
x?
?
0，1
?
）
（若存在实数T（T?0），在定义域内总有f
?
x?T
?
?f(x)，则
f(x)为周期
函数，T是一个周期。）
如：若f
?
x?a
?
??f(x)，则
（答：f(x)是周期函数，T?2a为f(x)的一个周期）
又如：若f(x)图象有两条对称轴x?a，x?b
?
?
?
即f(a?x)?f(a?x)，f(b?x)?f(b?x)
则f(x)是周期函数，2a?b为一个周期
如：
18. 你掌握常用的图象变换了吗？
f(x)与f(?x)的图象关于y轴对称
f(x)与?f(x)的图象关于x轴对称
f(x)与?f(?x)的图象关于原点对称
f(x)与f
?1
(x)的图象关于直线y?x对称
f(x)与f(2a?x)的图象关于直线x?a对称
f(x)与?f(2a?x)的图象关于点(a，0)对称
将y?f(x)图象??????????
左移a(a?0)个单位
右移a(a?0)
个单位
y?f(x?a)
y?f(x?a)
y?f(x?a)?b
上移b(b?0)个单位
????????
??
y?f(x?a)?b
下移b(b?0)个单位
注意如下“翻折”变换：
f(x)???f(x)
f(x)???f(|x|)
如：f(x)?log
2
?
x?1
?
<
br>作出y?log
2
?
x?1
?
及y?log
2
x?1的图象
y
y=log
2
x
O 1
x
19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？
(k<0) y
(k>0)
y=b
O’(a,b)
O
x
x=a
（1）一次函数：y?kx?b
?
k?0
?
（2）反比例函数：y?
的双曲线。
kk
k?0推广为y?b?
???
k?0
?
是中心O'(a，b)
xx?a
2
b
?
4ac?b
2
?
2
（3）
二次函数y?ax?bx?c
?
a?0
?
?a
?
x?图象为
抛物线
?
?
??
2a4a
?
b4ac?b
2
?
b
，，对称轴x??
顶点坐标为
?
?
?
4a
?
2a
?
2a
开口方向：a?0，向上，函数y
min
4ac?b
2
?
4a
a?0，向下，y
max
4ac?b
2
?
4a
应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程
ax
2
?bx?c?0，??0时，两根x
1
、x
2
为二次函数y?ax
2
?bx?c的图象与x轴
的两个交点，也是二次不等式ax
2
?bx?c?0(?0)解集的端点值。
②求闭区间［m，n］上的最值。
③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。
?
??0
?
?
b
2
如：二次方程ax?bx?c?0的两根都大于k?
?
??k
?
2a
?
?
f(k)?0
y
(a>0)
O k x
1
x
2
x
一根大于k，一根小于k?f(k)?0
（4）指数函数：y?a
x
?
a?0，a?1
?
??
（5）对数函数y?log
a
xa?0，a?1
由图象记性质！ （注意底数的限定！）
y
y=a
x
(a>1)
(0
x(a>1)
1
O 1 x
(0
（6）“对勾函数”y?x?
k
?
k?0
?
x
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？
y
?k
O
k
x
20. 你在基本运算上常出现错误吗？
指数运算：a?1(a?0)，a
a
m
n
0?p
?
1
(a?0)
a
p
?a
n
m
(a?0)，a
?
m
n
?
1
n
a
m
(a?0)
<
br>对数运算：log
a
M·N?log
a
M?log
a
NM?0，N?0
log
a
??
M1
?
log
a
M?log
a
N，log
a
n
M?log
a
M
Nn
log
a
x
对数恒等式：a?x
对数换底公式：log
a
b?
21. 如何解抽象函数问题？
（赋值法、结构变换法）
log
c
b
n
?log
a
m
b
n
?log
a
b
log
c
am
如：（1）x?R，f(x)满足f(x?y
)?f(x)?f(y)，证明f(x)为奇函数。
（先令x?y?0?f(0)?0再令y??x，……）
（2）x?R，f(x)满足f(xy)?f(x)?f(y)，证明f(x)是偶函数。
（先令x?y??t?f
?
(?t)(?t)
?
?
f(t·t)
∴f(?t)?f(?t)?f(t)?f(t)
∴f(?t)?f(t)……）
（3）证明单调
性：f(x
2
)?f
?
x
2
?x
1
??x
2
?……
??
22.
掌握求函数值域的常用方法了吗？
（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法
，判别式法，利用函数单调
性法，导数法等。）
如求下列函数的最值：
（1）y?2x?3?13?4x
（2）y?
2x?4
x?3
2x
2
（3）x?3，y?
x?3
（4）y?x?4?9?x
（5）y?4x?
2
?
设x?3cos?，??
?
0，?
?
?
9
，x?(0，1]
x
11
l·R??·R
2
）
22
R
1弧度
O R
23.
你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？
（l??·R，S
扇
?
24.
熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义
sin??MP，cos??OM，tan??AT
y
T
B S
P
α
O
M
A
x
如：若?
?
???
0，则sin?，cos?，tan?的大小顺序是
8
又如：求函
数y?1?2cos
?
?
?
?
?x
?
的定义域和值
域。
?
2
?
（∵1?
?
?
?
2cos
?
?x
?
）?1?2sinx?0<
br>
?
2
?
∴sinx?
2
，如图：
2
∴2k??
5??
?x?2k??
?
k?Z
?
，0?y?1
?2
44
25.
你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对
称轴吗？
sinx?1，cosx?1
y
y?tgx
x
?
?
?
O
?
2
2
对称点为
?
k
?
?
?
，0
?
，k?Z
?
2
?
y?sinx的增区间为
?
2k??
?
?
??
?
，2k??
?
?k?Z
?
22
?
?3?
?
减区间为
?
2k??，2k??
?
k?Z
?
?
22
??
图象的对称点为k?，0，对称轴为x?k??
y?cosx的增区间为2k?，2k???
?
k?Z
?
减区间为2k???，2k??2?
图象的对称点为
?
k?
?
?
??
?
?
k?Z
?
2
??
??
?
k?Z
?
?
?<
br>?
?
，0
?
，对称轴为x?k?
?
k?Z
?
?
2
?
，k??
2
?
?
?k?Z
2
?
y?tanx的增区间为
?
k??
?
?
26.
正弦型函数y=Asin
?
?x+?
?
的图象和性质要熟记。或y?Acos
?
?x??
?
（1）振幅|A|，周期T?
??
2?
|?|
<
br>若f
?
x
0
?
??A，则x?x
0
为对称轴
。
若f
?
x
0
?
?0，则x<
br>0
，0为对称点，反之也对。
（2）五点作图：令?x??依次为0，
（x，y）作图象。
（3）根据图象求解析式。（求A、?、?值）
??
?3?
，?，，2?，求出x与y，依点
22
?
?(x
1
)???0
?
如图列出
?
?
?(x
2
)???
?
2
?
解条件组求?、?值
?正切型函数y?Atan
?
?x??
?
，T?
?
|?|
27.
在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的
范围。
如：cos
?
x?
（∵??x?
?
??
?
23?
??
，x?
?
?，
?
，求
x值。
?
??
6
?
22
??
3?7??
5??5?13
，∴?x??，∴x??，∴x??）
26636412
28. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？
如：函数y?sinx?sin|x|的值域是
（x?0时，y?2sinx??2，2，x?0时，y?0，∴y??2，2）
29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？
（平移变换、伸缩变换）
平移公式：
????
?
?
x'?x?h
a?(h，k)
（1）点P（x，y）?????
??P'（x'，y'），则
?
y'?y?k
平移至
?
（2）曲线f(x，y)?0沿向量a?(h，k)平移后的方程为f(x?h，y?k)?0
如：函数y?2sin
?
2x?
图象？
（y?2sin
?
2x?
?
?
?
?
??
?1的图象经过怎样的变换才能得到y?sinx的
4
?
?
?
?
?
?
?
1
?
?
?
横
坐标伸长到原来的2倍
?1???????????y?2sin2
?
x
?<
br>?
?
?1
?
?
?
4
?
?
2
?
4
?
?
?
??
1个单位
4<
br>?2sin
?
x?
?
?1????????y?2sinx?1?上平移
???????y?2sinx
?
4
?
左平移
个单位
1
2
?y?sinx）
??????????
纵坐标缩短到原来的倍
30.
熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？
如：1?sin??cos??sec
??tan??tan?·cot??cos?·sec??tan
2222
?
4
?sin
?
?cos0?……称为1的代换。
2
“k·
?
??”化为?的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”，
<
br>2
9?
?
7?
?
?tan
?
?
?<
br>?sin
?
21?
?
?
?
6
?
4<
br>“奇”、“偶”指k取奇、偶数。
如：cos
又如：函数y?
A. 正值或负值
sin??tan?
，则y的值为
cos??cot?
B. 负值 C.
非负值
D. 正值
sin?
sin
2
?
?
cos??1
?
cos?
（y???0，∵??0）
cos?
cos
2
?
?
sin??1
?
cos??
sin?
sin??
31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？
理解公式之间的联系：
??sin2??2sin?cos?
sin
?
???<
br>?
?sin?cos??cos?sin????
令???
cos
?<
br>???
?
?cos?cos??sin?sin??????cos2??cos
2
??sin
2
?
令???
tan
?
???
?
?
tan??tan?
22
?2cos??1?1?2sin??
1?tan?·tan?
1?cos2?
2
1?cos2?
2
sin??
2
cos
2
??
ta
n2??
2tan?
1?tan
2
?
asin??bcos??
sin??cos?
?
a
2
?b
2
sin
?
???
?
，tan??
?
?
?
4
?
b
a
?
2sin
?
??
?
sin?
?
?
??
3cos??2sin
?
??
?
?
3
?
应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函
数种类最少，分母中不含
三角函数，能求值，尽可能求值。）
具体方法：
（1）角的变换：如??
?
???
?
??，
???
?
?
??
?
?
?
?
??
?
??
??
?
……
??
22
??
2
（2）名的变换：化弦或化切
（3）次数的变换：升、降幂公式
（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。 <
/p>
sin?cos?2
?1，tan
?
???
?
??，求tan
?
??2?
?
的值。
1?cos2?3
sin?cos?cos?1
（由已知得：
??1，∴tan??
2
2sin?2
2sin?
2
又tan
?
???
?
?
3
21
?
tan
?
???
?
?tan?
1
∴tan
?
??2?
?
?tan
?
?
????
??
?
??
32
?）
1?tan
?
???
?
·tan?
1?
2
·
1
832
如：已知
32.
正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？
b
2
?c
2
?a
2
余弦定理：a?b?c?2bccosA?cosA?
2bc
222
（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）
?
a?2RsinA
abc
?
???2R?
?
b?2Rs
inB
正弦定理：
sinAsinBsinC
?
c?2R
sinC
?
S
?
?
1
a·bsinC
2
∵A?B?C??，∴A?B???C
∴sin
?
A?B
?
?sinC，sin
如?ABC中，2sin
（1）求角C；
2
A?BC
?cos
22
A?B
?cos2C?1
2
c
2
，求cos2A?cos2B的值。
（2）若a?b?
2
22
2
（（1）由已知式得：
1?cos
?
A?B
?
?2cosC?1?1
又A?B???C，∴2cosC?cosC?1?0
2
1
或cosC??1（舍）
2
?
又0?C??，∴C?
3
1
222
（2）由正弦定理及a?b?c得：
2
3
2222
?
2sinA?2sinB?sinC?sin?
34
∴cosC?
1?cos2A?1?cos2B?
∴cos2A?cos2B??
3
4
3
）
4
33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。
反正弦：
arcsinx?
?
?
?
??
?
，
?
，x
?
?
?1，1
?
2
??
2
反余弦：arccosx?0，?，x??1，1
????
反正切：arctanx?
?
?
?
??
?
，
?<
br>，
?
x?R
?
?
22
?
34. 不等式的性质有哪些？
（1）a?b，
c?0?ac?bc
c?0?ac?bc
（2）a?b，c?d?a?c?b?d
（3）a?b?0，c?d?0?ac?bd
（4）a?b?0?
1111
?，a?b?0??
abab
n
nn
（5）a?b?0?a?b，
n
a?b
（6）|
x|?a
?
a?0
?
??a?x?a，|x|?a?x??a或x?a
如：若
2
11
??0，则下列结论不正确的是（
ab
2
）
A.a??b
2
C.|a|?|b|?|a?b|
答案：C
35. 利用均值不等式：
D.
ab
??2
ba
?
a?b
?
a
2
?b
2
?2aba，b?R
?
；a?b?2ab；ab?
??
求最值时
，你是否注
?
2
?
??
2
意到“a，b?R?
”且“等号成立”时的条件，积(ab)或和(a?b)其中之一为定
值？（一正、二定、三相等）
注意如下结论：
a
2
?b
2
a?b2ab
??ab?a，b?R
?
22a?b
??
当且仅当a?b时等号成立。
222
a?b?c?ab?bc?caa，b?R
??
当且仅当a?b?c时取等号。
a?b?0，m?0，n?0，则
bb?ma?na
??1??
aa?mb?nb
4
如：若x?0，2?3x?的最大值为
x
（设y?2?
?
3x?
?
?
4
?
?
?2?212?2?43
x
?
当且仅当3x?
423
，又x?0，∴x?时
，y
max
?2?43）
x3
又如：x?2y?1，则2
x
?4
y
的最小值为
<
br>（∵2
x
?2
2y
?22
x?2y
?22
1
，∴最小值为22）
36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？
（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）
并注意简单放缩法的应用。
如：证明1?
（1?
111
??…??2
2
2
3
2
n
2
111111
??……??1??
?……?
1?22?3
2
2
3
2
n
2<
br>?
n?1
?
n
?1?1?
11111
???……??
223n?1n
1
?2??2）
n
37.解分式不等式
f(x)
?a
?
a?0
?
的一
般步骤是什么？
g(x)
（移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。）
38.
用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始
如：
?
x?1
??
x?1
??
x?2
?<
br>?0
39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论
如：对数或指数的底分a?1或0?a?1讨论
40.
对含有两个绝对值的不等式如何去解？
（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）
例如：解不等式|x?3|?x?1?1
（解集为
?x|x?
23
?
?
1
?
?
）
2
?
41.会用不等式|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|证明较简单的不等问题
如：设f(x)?x?x?13，实数a满足|x?a|?1
求证：f(x)?f(a)?2(|a|?1)
证明：
|f(x)?f(a)|?|(x?x?13)?(a?a?13)|
22
2
?|(x?a)(x?a?1)|(?|x?a|?1)
?|x?a||x?a?1|?|x?a?1|
?|x|?|a|?1
又|x|?|a|?|x?a|?1，∴|x|?|a|?1
∴f(x)?f(a)?2|a|?2?2
?
|a|?1
?
（按不等号方向放缩）
42.
不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题）
如：a?f(x)恒成立?a?f(x)的最小值
a?f(x)恒成立?a?f(x)的最大值
a?f(x)能成立?a?f(x)的最小值
例如：对于一切实数x，若x?3?x?2?a恒成立，则a的取值范围是
（设u?x?3?x?2，它表示数轴上到两定点?2和3距离之和
u
min
?3?
?
?2
?
?5，∴5?a，即a?5
或者：x?3?x?2?
?<
br>x?3
?
?
?
x?2
?
?5，∴a?5）
43. 等差数列的定义与性质
定义：a
n?1
?
a
n
?d(d为常数)，a
n
?a
1
?
?
n?1
?
d
等差中项：x，A，y成等差数列?2A?x?y
前n项和Sn
a
1
?a
n
?
n
?
??na
2
1
?
n
?
n?1
?
2
d
性质：
?
a
n
?
是等差数列
（1）若m?n?p?q，则a
m
?a
n
?ap
?a
q
；
（2）数列
?
a
2n?1
?
，
?
a
2n
?
，
?
ka
n
?b
?
仍为等差数列；
S
n
，S
2n
?S
n
，S
3n
?S
2n
……仍为等差数列；
（3）若三个数成等差数列，可设为a?d，a，a?d；
（4）
若a
n
，b
n
是等差数列S
n
，T
n
为前
n项和，则
a
m
S
2m?1
?；
b
m
T
2m?1
2
（5）
?a
n
?
为等差数列?S
n
?an?bn（a，b为常数，是关于
n的常数项为
0的二次函数）
2
S
n
的最值可求二次函数S
n
?an?bn的最值；或者求出
?
a
n?
中的正、负分界
项，即：
当a
1
?0，d?0，解不等式组
?
?
a
n
?0
可得S
n
达到最大值时的n值。
a?0
?
n?1
?
a
n
?0
当a
1
?0，d?0，由
?
可得S
n
达到最小值时的n
值。
a?0
?
n?1
如：等差数列
?<
br>a
n
?
，S
n
?18，a
n
?a
n
?1
?a
n?2
?3，S
3
?1，则n?
（由a
n
?a
n?1
?a
n?2
?3?3a
n?1
?3，∴a
n?1
?1
又S
3
?
?
a
1
?a
3
?
·3?3a
2
2
?1，∴a
2
?
1
3
?
1
?
?
?1
?
na
1
?a
n
?
n
?
a
2
?a
n?1
?
·n
?
3
?
?
???18
∴S
n
?
222
?n?27）
44. 等比数列的定义与性质
定义
：
a
n?1
?q（q为常数，q?0），a
n
?a
1
q
n?1
a
n
等比中项：x、G、y成等比数列?G
2
?xy，或G??xy
?
na
1
(q?1)
?
前n项和：Sn
?
?
a
1
1?q
n
（要注意!）
(q?1)
?
1?q
?
??
性质：
?
a
n
?
是等比数列
<
br>（1）若m?n?p?q，则a
m
·a
n
?a
p
·a
q
（2）S
n
，S
2n
?S<
br>n
，S
3n
?S
2n
……仍为等比数列
45.由S
n
求a
n
时应注意什么？
<
br>（n?1时，a
1
?S
1
，n?2时，a
n
?Sn
?S
n?1
）
46.
你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？
例如：（1）求差（商）法
111
a
1
?
2
a
2
?……?
n
a
n<
br>?2n?5
2
22
1
解：
n?1时，a
1
?2?1?5，∴a
1
?14
2
111
n?2时，a
1
?
2
a
2
?……?
n?1
a
n?1
?2n?1?5
222
1
?1???2?得：
n
a
n
?2
2
如：
?
a
n
?
满足
∴a
n
?2
n?1
?1?
?2?
?
14(n?1)
∴a
n
?
?
n?1
2(n?2)
?
［练习］
数列
?
an
?
满足S
n
?S
n?1
?
5
an?1
，a
1
?4，求a
n
3
（注意到a
n?1
?S
n?1<
br>?S
n
代入得：
S
n?1
?4
S
n
n
又S
1
?4，∴
?
S
n
?
是等比数列，S
n
?4
n?2时，a
n
?S
n
?S
n?1
?……?3·4
（2）叠乘法
例如：数列
?
a
n
?<
br>中，a
1
?3，
n?1
a
n?1
n
?，求a
n
a
n
n?1
解：
a
2
aaa
12
n?11
·
3
……
n
?·……，∴
n
?
a
1
a
2
a
n?1
23na
1
n
又a
1
?3，∴a
n
?
3
n
（3）等差型递推公式
由a
n
?a<
br>n?1
?f(n)，a
1
?a
0
，求a
n
，
用迭加法
n?2时，a
2
?a
1
?f(2)
?<
br>?
a
3
?a
2
?f(3)
?
?
两边相加，得：
…………
?
a
n
?a
n?1
?f(n)
?
?
a
n
?a
1
?f(2)?f(3)?……?f(n)
∴a
n
?a
0
?f(2)?f(3)?……?f(n)
［练习］
n?1
数列
?
a
n
?
，a
1
?1，a
n
?3?a
n?1
?
n?
2
?
，求a
n
（a
n
?
1
n
3?1）
2
??
（4）等比型递推公式
a
n?ca
n?1
?dc、d为常数，c?0，c?1，d?0
<
br>可转化为等比数列，设a
n
?x?c
?
a
n?1
?x
?
?a
n
?ca
n?1
??
c?1
?
x
令(c?1)x?d，∴x?
∴
?
a
n
?
??
d
c?1?
?
d
?
d
是首项为a?，c为公比的等比数列
?
1
c?1
?
c?1
∴a
n
?
dd
??
n?1
?
?
a
1<
br>?
?
·c
c?1
?
c?1
?
?<
br>?
d
?
n?1
d
?
c?
c?1
?
c?1
∴a
n
?
?
a
1
?
［练习］
数列
?
a
n
?
满足a
1
?9，3a
n?1
?a
n
?4，求a
n
?
4
?
（a
n
?8
?
?
?
?
3
?
（5）倒数法
n?1
?1）
例如：a
1
?1，an?1
?
2a
n
，求a
n
a
n
?2
由已知得：
1
a
n?1
?
a
n
?2
11
??
2a
n
2a
n
∴
1
a
n?1
?
11
?
a
n
2
?
?
?
1
?11
为等差数列，?1，公差为
?
a
1
2
?
a
n
?
111
?1?
?
n?1
?
·?
?
n?1
?
a
n
22
?
∴a
n
?
2
n?1
47. 你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？
例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。
如：
?
a
n
?
是公差为d的等差数列，求
1
?
k?1
a
k
a
k?1
n
解：<
br>由
n
111
?
11
?
??
?
??
?
d?0
?
a
k
·a
k?1a
k
?
a
k
?d
?
d
?
a<
br>k
a
k?1
?
n
11
?
11
??
?
?
?
∴
?
?
aadaa
?
k?1
kk?1
k?1
kk?1
?
?
11
?
?
11< br>??
11
?
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?……?
?
?
?< br>?
d
?
?
a
1
a
2
??
a
2
a
3
?
aa
?
nn?1
?
?< br>?
1
?
11
?
?
?
?
d
?
a
1
a
n?1
?
［练习］
求和：1?
111
??……?
1?21?2?3
1?2?3?……?n
（a
n
?……?……，S
n
?2?
（2）错位相减法：
1
）
n?1
若
?
a
n
?
为等差数列，
?
b
n
?
为 等比数列，求数列
?
a
n
b
n
?
（差比数列）前n 项
和，可由S
n
?qS
n
求S
n
，其中 q为
?
b
n
?
的公比。
如：S
n
?1?2x?3x?4x?……?nx
23n?1
?1?
?2?
234n?1
?nx
n
x·S
n
?x?2x?3x?4x?……?
?
n?1
?
x
2n?1
?nx
n
?1???2?：
?
1?x
?
S
n
?1?x?x?……?x
x?1时， S
n
1?x
?
nx
?
??
n
n
?
1?x
?
2
1?x
x?1时，S
n
?1?2?3?……?n?
n
?
n?1
?
2
（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。
S
n
?a
1
?a
2
?……?a
n?1
?a
n
?
?
?
相加
S
n
?a
n
?a
n?1
?……?a
2
?a
1
??
2S
n
?
?
a
1
?an
?
?
?
a
2
?a
n?1
?
?……?
?
a
1
?a
n
?
……
［练习］
x
2
?
1
??
1
??
1
?
，则f(1)?f(2)?f?f(3)?f?f(4)?f
已 知f(x)?
??????
?
2
?????
4
?
2 3
1?x
x
?
1
?
?
（由f(x)?f
??
?
?
x
?
1?x
2
2
x
2
1
???1
222
1?x1?x
?
1
?
1?
??
?
x
?
?
1?
??
?
x
?
2
∴原
式?f(1)?
?
f(2)?f
??
?
?
?
f(3
)?f
??
?
?
?
f(4)?f
??
?
??????
?
?
?
1
?
??
2
??
?
1
?
??
3
??
?
1
?<
br>?
4
?
?
11
?1?1?1?3）
22
48.
你知道储蓄、贷款问题吗？
△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：
若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为：
S
n
?
p
?
1?r
?
?p
?
1?2r
?
?……?
p
?
1?nr
?
?p
?
n?
?
?
n
?
n?1
?
?
r
?
……等差问题
2
?
△若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款—
—分期等额归
还本息的借款种类）
若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方
式，从借款日算起，一期（如一年）
后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r（按
复利），那么每期应还x
元，满足
p(1?r)
n
?x<
br>?
1?r
?
n?1
?x
?
1?r
?
n?2
?……?x
?
1?r
?
?x
n
?
1?
?
1?r
?
n
?
1?r
?
?
1
?
?x
?
?
?x
1?1?rr
??
??
??
∴x?
pr
?
1?r
?
n
?
1?r
?<
br>n
?1
p——贷款数，r——利率，n——还款期数
49. 解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。
（1）分类计数原理：N?m
1
?m
2
?……?m
n
（m
i
为各类办法中的方法数）
分步计数原理：N?m
1
·m
2
……m
n
（m
i
为各步骤中的方法数）
（2）排
列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一
列，叫做从n个不同元素中取
出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为A
m
n
.
<
br>A
n
?n
?
n?1
??
n?2
?
…
…
?
n?m?1
?
?
m
n!
?
m?n?
?
n?m
?
!
规定：0!?1
（3）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并
组成一组，叫做从n个不
同元素中取出m个元素的一个组合，所有组合个数记为C
m
n
.
n
?
n?1
?
……
?
n?m?1
?
A
m
n!
C?
n
??
m
m!m!
?
n?m
?
!
A
m
m
n
规定：C
n
?1
（4）组合数性质：
C
n
?C
n
mn?mm?101nn
，C
m
?C
m
n
?C
nn?1
，C
n
?C
n
?……?C
n
?2
0
50.
解排列与组合问题的规律是：
相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问
题分类法；至多至少问
题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。
如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩
x
i
?89，
90，91，92，93，(i?1，2，3，4)且满足x
1
?x
2
?x<
br>3
?x
4
，
则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（ ）
A. 24 B. 15 C.
12 D. 10
解析：可分成两类：
（1）中间两个分数不相等，
??
有C
5
?5（种）
4
（2）中间两个分数相等
x
1
?x
2
?x
3
?x
4
相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3种，∴有10种。
∴共有5＋10＝15（种）情况
51. 二项式定理
(a?b)?
C
n
a?C
n
a
n0n1n?1n?22n?rrn
b?C
2
b?…?C
r
b?…?C
n
n
a
na
n
b
rn?r
二项展开式的通项公式：T
r?1
?C
n
a
r
b
r
(r?0，1……
n)
C
n
为二项式系数（区别于该项的系数）
性质：
n?r
（1）对称性：C
r
r?0，1，2，……，n
n
?C
n
??
（2）系数和：C
n
?C
n
?…?C
n
?2
C
n
?C
n
?C
n
?…?C
n
?C
n
?C
n
?…?2
135024n?1
01nn
（3）最值：n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第
?
n
?
2
；n为奇数时，(n?1)为偶数，中间两项的二项式
?
?1
?
项，二项式系数为C
n
?
2
?
n?1n?1
系数最大即第项及第?1项，其二项式系数为C
n
2
?C
n
2
22
如：在二项式
?
x?1
?
的展开式中，系数最小的项系数为
表示）
（∵n＝11
∴共有12项，中间两项系数的绝对值最大，且为第
由C
11
x
6
n
n?1n?1
11
（用数字
12
?6或第7项
2
r11?r
(?1)
r，∴取r?5即第6项系数为负值为最小：
5
?C
11
??C
11
??426
又如：
?
1?2x
?
2004
?a
0
?a
1
x?a
2
x
2
?……?a
2004
x
2004
?
x?R
?
，则
（用数字作答）
?
a
0
?a
1
?
?
?
a
0<
br>?a
2
?
?
?
a
0
?a
3
?
?……?
?
a
0
?a
2004
?
?
（令x?0，得：a
0
?1
令x?
1，得：a
0
?a
2
?……?a
2004
?1
∴原式?2003a
0
?a
0
?a
1?……?a
2004
?2003?1?1?2004）
52.
你对随机事件之间的关系熟悉吗？
（1）必然事件?，P??)?1，不可能事件?，P(?)?0
（2）包含关系：A?B，“A发生必导致B发生”称B包含A。
A B
??
（3）事件的和（并）：A?B或A?B“A与B至少有一个发生”叫做A与B
的和（并）。
（4）事件的积（交）：A·B或A?B“A与B同时发生”叫做A与B的积。
（5）互斥事件（互不相容事件）：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。
A·B??
（6）对立事件（互逆事件）：
“A不发生”叫做A发生的对立（逆）事件，A
A?A??，A?A??
（7）独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立
事件。
A与B独立，A与B，A与B，A与B也相互独立。
53.
对某一事件概率的求法：
分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即
P(A)?
A包含的等可能结果m
?
一次试验的等可能结果的总数
n
（2）若A、B互斥，则P
?
A?B
?
?P(A)?P(B)
（3）若A、
B相互独立，则PA·B?P
?
A
?
·P
?
B
?<
br>
（4）P(A)?1?P(A)
??
（5）如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰好发生
k
k次的
概率：P
n
(k)?C
k
n
p
?
1?p
?
n?k
如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。
（1）从中任取2件都是次品；
?
C
2
2
?
4
?
P
1
?
2
?
?
C
10
15
??
（2）从中任取5件恰有2件次品；
3
?
C
2
10
?
4
C
6
?
P
2
??
?
5
21
?
C
10
?
（3）从中有放回地任取3件至少有2件次品；
解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝10
3
而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”
∴m?C
3
·46?4
23
C
2
·4·6?4
44
?
∴P
3
?
3
3
125
10
2213
（4）从中依次取5件恰有2件次品。
解析：∵一件一件抽取（有顺序）
∴n?A
10
，m?C
4
A
5
A
6
23
C
2
10
4
A
5
A
6<
br>
∴P
4
?
?
5
21
A
10
5223
分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。
54.
抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，
它的特征是从总体中
逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成
若干部分，每部分只取一个；分层
抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明
显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概
率相等，体现了抽样的客观性和平等性。
55. 对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的
概率，用样本的期望（平均值）和方
差去估计总体的期望和方差。
要熟悉样本频率直方图的作法：
（1）算数据极差
?
x
m
ax
?x
min
?
；
（2）决定组距和组数；
（3）决定分点；
（4）列频率分布表；
（5）画频率直方图。
其中，频率?小长方形的面积?组距×
频率
组距
1
x
1
?x
2
?……?xn
n
1
2
样本方差：S?
?
x
1
?x
?
2
?
?
x
2
?x<
br>?
2
?……?
?
x
n
?x
?
2
n
样本平均值：x?
??
??
如：
从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组
成此参赛队的概率为_
___________。
42
C
10
C
5
（）
6
C
15
56. 你对向量的有关概念清楚吗？
（1）向量——既有大小又有方向的量。
（2）向量的模——有向线段的长度，|a|
?
?
（3）单位向量|a
0
|?1，a
0
?
??
??
a
|a|
（4）零向量0，|0|?0
?
?
长度相等
??
a?b
（5）相等的向量?
?
?
方向相同
在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。
（6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。
规定零向量与任意向量平行。
b∥a(b?0)?存在唯一实数?，使b??a
（7）向量的加、减法如图：
??????
???
OA?OB?OC
???
OA?OB?BA
（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）
e
1
，e
2
是平面内的两个不共线向量，a为该平面任一向量，则存在唯一
?
??
实数对?
1
、?
2
，使得a??
1e
1
??
2
e
2
，e
1
、e
2
叫做表示这一平面内所有向量
的一组基底。
（9）向量的坐标表示
?????
i，j是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数x，y，使得
?
?
?
a?xi?yj，称(x，y)为向量a的坐标，记作：a?
?
x，y
?<
br>，即为向量的坐标
?
????
表示。
设
a?x
1
，y
1
，b?x
2
，y
2
则a?b?x
1
，y
1
?y
1
，
y
2
?x
1
?y
1
，x
2
?y
2
?a??x
1
，y
1
??x
1
，?y
1
若Ax
1
，y
1
，Bx
2
，y
2
?
??
??
?
??
?????
?
?
???
????
?
则AB?
?
x
2?x
1
，y
2
?y
1
?
?
|AB|?
?
?
x
2
?x
1
?
2
?
?
y
2
?y
1
?
2
，A、B两
点间距离公式
?????
57. 平面向量的数量积
（1）a·b?|a|·|b|cos?叫做向量a与b的数量积（或内积）。
?为向量a与b的夹角，??0，?
B
??
??
?
b
O
?
数量积的几何意义：
?
a
D A
?????
a·b等于|a|与b在a的方向上的射影|b|cos?的乘积。
（2）数量积的运算法则
①a·b?b·a
②(a?b)c?a·c?b·c
③a·b?x
1
，y
1
·x
2
，y
2
?x
1
x
2
?y
1
y
2
注意：数量积不满足结合律(a·b)·c?a·(b·c)
（3
）重要性质：设a?x
1
，y
1
，b?x
2
，y
2
①a⊥b?a·b?0?x
1
·x
2
?
y
1
·y
2
?0
②a∥b?a·b?|a|·|b|或a·b??|a|·|b|
?a??b（b?0，?惟一确定）
?x1
y
2
?x
2
y
1
?0
③a?|a|?x?y，|a·b|?|a|·|b|
?
?
2?
22
1
2
1
????
????
??????
?
??
???
?
?
??????
??
?
?
?
????
??????????
???
④cos??
［练习］
a·b
?
?
|a|·|b|
?
?
x
1
x
2
?y
1
y
2x?y·x?y
2
1
2
1
2
2
2
2<
br>
?
?
?
?
?
?
（1）已知正方形ABCD，边长为1，AB?a，BC?b，AC?c，则
|a?b?c|?
答案：
22
（2）若向量a?x，1，b?4，x，当x?
答案：2
（3）已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a?3b|?
答案：
13
58. 线段的定比分点
设P
1
x
1
，y
1
，P
2
x
2
，y<
br>2
，分点Px，y，设P
1
、P
2
是直线l上两点，P点在<
br>
??
o
??
?
???
??
?
??
时a与b共线且方向相同
??
??????
??
l上且不同于P
1
、P
2
，若存在一
实数?，使P
1
P??PP
2
，则?叫做P分有向线段
?
P
1
P
2
所成的比（??0，P在线段P
1
P
2
内，??0，P在P
1
P
2
外），且
x
1
??x
2
x
1
?x
2
??
x?
x?
?
?
??
1??
2
，P为 P
1
P
2
中点时，
?
?
y??yy?y
22
?
y?
1
?
y?
1
?
?
1??2
?
?
如：?ABC，Ax
1
，y
1
，Bx
2
，y
2
，Cx
3
，y
3
则?ABC重心G的坐标是
?
????? ?
y?y
2
?y
3
??
x
1
?x
2
?x
3
，
1
?
??
33
※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？
59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？
平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：
线∥线???线∥面???面∥面
????线⊥线???线⊥面???面⊥面????
判定性质
线∥线???线⊥面???面∥面
线面平行的判定：
a∥b，b?面?，a???a∥面?
a
b
??
线面平行的性质：
?∥面?，??面?，????b?a∥b
三垂线定理（及逆定理）：
PA⊥面?，AO为PO在?内射影，a?面?，则
a⊥OA?a⊥PO；a⊥PO?a⊥AO
线面垂直：
P
??
O
a
a⊥b，a⊥c，b，c??，b?c?O?a⊥?
a
O
α b c
面面垂直：
a⊥面?，a?面???⊥?
面?⊥面?，????l，a??，a⊥l?a⊥?
α
a
l
β
a⊥面?，b⊥面??a∥b
面?⊥a，面?⊥a??∥?
a b
??
60. 三类角的定义及求法
（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°
（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°
?＝0时，b∥?或b??
o
（3）二面角：二面角??l??的平面角?，0???180
oo
（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥
棱l，
∴∠AOB为所求。）
三类角的求法：
①找出或作出有关的角。
②证明其符合定义，并指出所求作的角。
③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。
［练习］
（1）如图，OA为α的斜线OB为其在α内射影，OC为α内过O点任一直线。
证明：cos??cos?·cos?
A
θ
O
β
B
????????????????????????C?
D
α
（?为线面成角，∠AOC=?，∠BOC=?）
（2）如图，正四棱柱ABCD—A
1
B
1
C
1<
br>D
1
中对角线BD
1
＝8，BD
1
与侧面B
1
BCC
1
所成的
为30°。
①求BD
1
和底面ABCD所成的角；
②求异面直线BD
1
和AD所成的角；
③求二面角C
1
—BD
1
—B
1
的大小。
D
1
C
1
A
1
B
1
H
G
D
C
A B
（①arcsin
36
；②60
o
；③arcsin）
43
（3）如图ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝A
D，求面PAB与
面PCD所成的锐二面角的大小。
P
F
D C
A E B
（∵A
B∥DC，P为面PAB与面PCD的公共点，作PF∥AB，则PF为面PCD与面PAB
的交线……
）
61. 空间有几种距离？如何求距离？
点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。
将空间距离转化为两点的距离，
构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，
或者用等积转化法）。
如：正方形ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，棱长为a，则：
（1）点C到面AB
1
C
1
的距离为___________；
（2）点B到面ACB
1
的距离为____________；
（3）直线
A
1
D
1
到面AB
1
C
1
的距离为___
_________；
（4）面AB
1
C与面A
1
DC<
br>1
的距离为____________；
（5）点B到直线A
1
C
1
的距离为_____________。
D C
A
B
D
1
C
1
A
1
B
1
62.
你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？
正棱柱——底面为正多边形的直棱柱
正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。
正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：
Rt?SOB，Rt?SOE，Rt?BOE和Rt?SBE
它们各包含哪些元素？
S
正棱锥侧
?
V
锥
?
1
C·h'（C——底面周长，h'为斜高）
2
1
底面积×高
3
63. 球有哪些性质？
（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面r?R
2
?d
2
（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！
（3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。
（4）S
球
?4?R，V
球
?
2
4
?R
3
3
（5）球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内
切球半径r之
比为R：r＝3：1。
如：一正四面体的棱长均为2，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面
积为（ ）
A.3?B.4?C.33?D.6?
答案：A
64.
熟记下列公式了吗？
（1）l直线的倾斜角??0，?，k?tan??
?
?
y
2
?y
1
?
?
?
?
??，x
1
?x
2
?
?
x
2
?x
1
?
2
?
<
br>P
1
x
1
，y
1
，P
2
x
2
，y
2
是l上两点，直线l的方向向量a?1，k
（2）直线方程：
点斜式：y?y
0
?k
?
x?
x
0
?
（k存在）
斜截式：y?kx?b
截距式：
??????
xy
??1
ab
一般式：Ax?By?C?0（A、B不同时为零）
（3）点Px
0
，y
0
到直线l：Ax?By?C?0的距离d?
??
A
x
0
?By
0
?C
A?B
22
（4）l
1
到l
2
的到角公式：tan??
k
2<
br>?k
1
1?k
1
k
2
l
1
与l
2
的夹角公式：tan??
k
2
?k
1
1?k
1
k
2
65.
如何判断两直线平行、垂直？
A
1
B
2
?A2
B
1
?
?
?l
1
∥l
2
A
1
C
2
?A
2
C
1
?
k
1
?k
2
?l
1
∥l
2
（反之
不一定成立）
A
1
A
2
?B
1
B
2
?0?l
1
⊥l
2
k
1
·k
2
??1?l
1
⊥l
2
66. 怎样判断直线l与圆C的位置关系？
圆心到直线的距离与圆的半径比较。
直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。
67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置？
联立方程组?关于x（或y
）的一元二次方程?“?”
??0?相交；??0?相切；??0?相离
68. 分清圆锥曲线的定义
?
椭圆?PF
1
?PF
2
?2a，2a?2c?F
1
F
2
?
?
第一定义
?
双曲线?PF
1
?PF
2
?2a，2a?2c?F
1
F
2
?
?
?
抛物线?PF?PK
第二定义：e?
PF
PK
?
c
a
0?e?1?椭圆；e?1?双曲线；e?1?抛物线
y
b
O
F
1
F
2
a
x
a
2
x?
c
x
2
y
2
2
?
2
?1
?
a?b?0
?
ab
a
2
?b
2
?c
2
??
x
2
y
2
2
?
2
?1
?
a?0，b?0
?
ab
c
2
?a
2
?b
2
??
e>1 e=1
P
0
F
k
x
2
y
2
x
2
y
2
69.与双曲线
2
?
2
?1有相同焦点的双曲线系为
2
?<
br>2
??
?
??0
?
abab
70.
在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？
△≥0的限制。（求
交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△≥0下进行。）
弦长公式P
1
P
2
?
?
?
1?k
?
?
?
x
2
1
?x
2
?
?4x
1
x
2
2
?
1
?
2
?
?
1?
2
?
?
y
1
?y
2
?
?4y
1
y
2
?
k
?
??
71. 会用定义求圆锥曲线的焦半径吗？
如：
y
P(x
0
,y
0
)
K
F
1
O
F
2
x
l
x
2
y
2
2
?
2
?1
ab
?
a
2
?
?e，PF
2
?e
?
x
0
?
?
?ex
0
?a
PKc
??
PF
1
?ex
0
?a
PF
2
y
A P
2
O F
x
P
1
B
2
y?2px
?
p?0
?
通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。
72.
有关中点弦问题可考虑用“代点法”。
如：椭圆mx?ny?1与直线y?1?x交于M、N两点，原点与MN中点连
22
线的斜率为
2m
，则的值为
2n
答案：
m2
?
n2
73. 如何求解“对称”问题？
（1）证明曲线C：F（x，y）＝0关于点M（a，b）成中心对称，设A（x，y）为曲线
C上任意一点，设A'（x'，y'）为A关于点M的对称点。
（由a?
x?x'y?y'
，b??x'?2a?x，y'?2b?y）
22
只要证明A'2a?x，2b?y也在曲线C上，即f(x')?y'
（2）点A、A'关于直线l对称?
?
??
?
AA'⊥l
?AA'中点在l上
?
k
AA'
·k
l
??1
?
?
AA'中点坐标满足l方程
?
?
x?rco
s?
74.圆x?y?r的参数方程为
?
（?为参数）
y?rsi
n?
?
222
?
x?acos?
x
2
y
2
椭圆
2
?
2
?1的参数方程为
?
（?为参数）
y?bsin?
ab
?
75.
求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。
（直接法、定义法、转移法、参数法）
76. 对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直线，求出目标函数的最值
高中数学知识易错点梳理
一、集合、简易逻辑、函数
1．
研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序);
已知集合A={x,xy,lgxy},
集合
B={0,｜x｜,y},且A=B,则x+y=
2．
研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。已知集合M={y｜y=x
2
,x
∈
R},N={y｜y=x+1,x∈R},求M∩N；与集合M={（x,y）｜y=x
2
,x∈R},N={(x,y)｜y=x+1,x
22
∈R}求M∩N的区别。
3． 集合 A、B，
A?B??
时，你是否注意到“极端”情况：
A??<
br>或
B??
；求集合的
子集
A?B
时是否忘记
?
. 例如：
?
a?2
?
x?2
?
a?2
?
x?1?0
对一切
x?R
恒成
2
立，求a的取植范围，你讨论了a
＝2的情况了吗？
4． 对于含有n个元素的有限集合M,
其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次
2?1，，
为
2，
2?1
2?2.
如满足条件
{1}?M?{1,2,3,4}的集合
M
共有多少个
5． 解集合问题的基本工具是韦恩图; 某文艺小组共
有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞
中的一项,其中7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳
舞的各一人，表演一个
唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？
6．
两集合之间的关系。
M?{xx?2k?1,k?Z},N?{xx?4k?1,k?Z}
7． (C
U
A)∩( C
U
B) =
C
U
(A∪B) (C
U
A)∪( C
U
B) =
C
U
(A∩B)；
A?B?B?B?A
；
8、可以判断真假的语句叫做命题.
逻辑连接词有“或”、“且”和“非”.
p、q形式的复合命题的真值表:
p
真
真
假
假
q
真
假
真
假
P且q
真
假
假
假
P或q
真
真
真
假
nnnn
9、 命题的四种形式及其相互关系
原命题
互 逆
逆命题
若p则q 若q则p
互 互
互
为 互
否 逆 逆 否
否 否
否命题 逆否命题
否 否
若﹃ｐ则﹃q 若﹃ｑ则﹃ｐ
否 互 逆
原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.
10、你对映射的概念了解了吗？映射f：A
→B中，A中元素的任意性和B中与它对应元素
的唯一性，哪几种对应能够成映射？
11、函数的几个重要性质：
①如果函数
y?f
?
x?
对于一切
x?R
，都有
f
?
a?x
?
?f
?
a?x
?
或f（2a-x）=f（x），
那么函数
y?f
?
x
?
的图象关于直线
x?a
对称.
②函数
y?f
?
x
?
与函数
y?f
?
?x
?
的图象关于直线
x?0
对称；
函数
y?f
?
x
?
与函数
y??f
?
x
?
的
图象关于直线
y?0
对称；
函数
y?f
?
x
?
与函数
y??f
?
?x
?
的图象关于坐标原点对
称.
③若奇函数
y?f
?
x
?
在区间
?
0,??
?
上是递增函数，则
y?f
?
x
?
在区间
?
??,0
?
上也是
递增函数．
④若偶
函数
y?f
?
x
?
在区间
?
0,??
?<
br>上是递增函数，则
y?f
?
x
?
在区间
?
?
?,0
?
上是递
减函数．
⑤函数
y?f
?
x?a
?
(a?0)
的图象是把函数
y?f
?
x
?
的图象沿x轴向左平移a个单位
得到的；函数
y?f
?
x?a?
(
(a?0)
的图象是把函数
y?f
?
x
?
的图象沿x轴向右平移
a
个单位得到的；
函数
y?f
?<
br>x
?
+a
(a?0)
的图象是把函数
y?f
?
x
?
助图象沿y轴向上平移a个单位得
到的;函数
y?f
?
x
?
+a
(a?0)
的图象是把函数
y?f
?
x
?
助图象沿y轴向下平移
a
个
单位得到的.
12、求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗？
13、求
函数的定义域的常见类型记住了吗？函数y=
x(4?x)
lg(x?3)
2
的定义域是 ；
复合函数的定义域弄清了吗？函数
f(x)
的定义域
是[0,1],求
f(log
0.5
x)
的定义域.
函数
f(x)
的定义域是[
a,b
],
b??a?0,
求函数
F(x)?f(x)?f(?x)
的定义域
14、含参的二次函数的值域、最
值要记得讨论。若函数
y
=
a
sin
x
+2cos
x
-
a
-2(
a
∈
R
)的最小值
为
m
, 求
m
的表达
15、函数与其反函数之间的一个有用的结论：设函数y=f(x)的定义域为A,值域为C,则
①若a∈A,则a=f
-1
[f(a)];
若b∈C,则b=f[f
-1
(b)]; ②若p∈C,求f
-1
(p)就是令
p=f(x),求x.(x∈A) 即
f
y=x对称, ?1
2
?
a
?
?b?f
?
b
?
?a.
互为反函数的两个函数的图象关于直线
16、互为反函数的两个函数具
有相同的单调性;原函数
y?f
?
x
?
在区间
?
?
a,a
?
上单调递增，
则一定存在反函数，且反函数
y?f
?1?
x
?
也单调递增；但一个函数存在反函数，此函数不
一定单调．
17、
判断一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分
条件了吗？ 在公共
定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一
个奇函数与一个偶函数的乘积是
奇函数;
18、根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值, 作差,
判正负.)可别忘了导
数也是判定函数单调性的一种重要方法。
19、你知道函数
y
?x?
a
x
（该函数在
?
??,?
?
a?0
?
的单调区间吗？
a
和
?
?
a,??
上单
?
调递增；在
?a,0
和
0,a
上单调递减）这可是一个应用广泛
的函数！
20、解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于零
且不等于1）字母底数还需讨论呀.
21、对数的换底公式及它的变形，你掌握了吗？（log
a
b?
log
a
b
?
?
??
log
c
b
,log
a
n
b
n?log
a
b
）
log
c
a
22、你还记得
对数恒等式吗？（
a
2
?b
）
2
23、 “实系数一元二
次方程
ax?bx?c?0
有实数解”转化为“
??b?4ac?0
”，你<
br>是否注意到必须
a?0
；当a=0时，“方程有解”不能转化为
??b?4ac
?0
．若原
2
题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数
可能为零的情
形？
二、三角、不等式
24、
三角公式记住了吗？两角和与差的公式________________；
二倍角公
式:_________________ 万能公式 ______________正切半
角公式
____________________；解题时本着“三看”的基本原则来进行:“看角,
看函数,看特
征”,基本的技巧有:巧变角,公式变形使用,化切割为弦,用倍角公式将高次降次,
25、 在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？正切函数在整个定
义域
内是否为单调函数？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？
26、
在三角中，你知道1等于什么吗？（
1?sinx?cosx?secx?tanx
2222
?tanx?cotx?tan
?
4
?si
n
?
2
?cos0???
这些统称为1的代换) 常数 “1”的种种
代换有着广泛的应用．（还有同角关系公式：商的关系，倒数关系，平方关系；诱导公试：
奇变偶不变
，符号看象限）
27、 在三角的恒等变形中，要特别注意角的各种变换．（如
?
?
(
?
?
?
)?
?
,
?
?(
??
?
)?
?
,
28、
?
?
?
2
?
??
?
??
?
?
?
?<
br>?
?
?
?
?
?
等）
2
??
2
??
你还记得三角化简题的要求是什么吗？项数最少、函数种类最少、分母不含三角函
数、且能求出值的式子，一定要算出值来）
29、
你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特
殊角. 异角化同角，
异名化同名，高次化低次）；你还记得降幂公式吗？
22
cosx=(1+cos2x)2;s
inx=(1-cos2x)2
30、 你还记得某些特殊角的三角函数值吗？
（
sin15??cos75??
31、
32、
6?2
,sin75??cos15??
4
6?25?1
,sin18??
）
44
你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？(
l?
辅助角公式：
asinx?bcosx?
?
r,S
扇形
?lr
)
1
2
a
2
?b
2
sin
?
x?
?
?
(其中
?
角所在的象限由a,
b 的符号确定，
?<
br>角的值由
tan
?
?
b
确定)在求最值、化简时起着重要作用
.
a
33、 三角函数（正弦、余弦、正切）图象的草图能迅速画出吗？能写出他们的单调区
、
对称轴，取最值时的x值的集合吗？（别忘了k
?
Z）
三角函数性质要记
牢。函数y=
Asin(
?
?x?
?
)?
k的图象及性质：
振幅|A|，周期T=
2
?
?
, 若x=x
0
为此
函数的对称轴，则x
0
是使y取到最值的点，反之亦然，
使y取到最值的x的集合为—
—————————， 当
?
?0,A?0
时函数的增区间为
—————
，减区间为—————；当
?
?0
时要利用诱导公式将
?
变为大于零
后再用
上面的结论。
五点作图法：令
?
x?
?
依次为0
?
2
,
?
,
3
?
,2
?<
br> 求出x与y，依点
?
x,y
?
作图
2
?
34、三角函数图像变换还记得吗？
平移公式 （1）如果点
P（x，y）按向量
a?
?
h,k
?
平移至P′（x′，y′），则
'
?
?
x?x?h,
?
'
?
?
y?y?k.
（2） 曲线f（x，y）=0沿向
量
a?
?
h,k
?
平移后的方程为f（x-h，y-k）=0
35、 有关斜三角形的几个结论：(1) 正弦定理: (2) 余弦定理: (3)面积公式
36、 在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它
们各
自的取值范围及意义？
①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、向量的夹角的取值范围依
次是
?
?
?
?
?
?
0,
?
,[0
,],[0,
?
]
.
2
?
2
?
②直线的倾斜角、
l
1
到
l
2
的角、
l
1
与
l
2
的夹角的取值范围依次是
[0,
?
),[0
,
?
),(0,
?
2
]
．
③反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是
[?
37、
38、
39、
??
,],[0,
?
],(?,)
．
2222
??
同向不等式能相减，相除吗？
不等式的解集的规范书写格式是什么？（一般要写成集合的表达式）
分式不等式
f<
br>?
x
?
?a
?
a?0
?
的一般解题思路是什
么？（移项通分，分子分母分解
g
?
x
?
因式，x的系数变为正值，
奇穿偶回）
40、 解指对不等式应该注意什么问题？（指数函数与对数函数的单调性,
对数的真数大
于零.）
41、
含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？(一般是根据定义分类讨论)
42、
?
a?b
?
利用重要不等式
a?b?2ab
以及变式ab?
??
等求函数的最值时，你是
?
2
?
2
否注意到a，b
?R
?
（或a
，b非负），且“等号成立”时的条件，积ab或和a＋b其
中之一应是定值？(一正二定三相等)
43、
a
2
?b
2
a?b2ab
取等号）；
??ab? , (a , b?R
?
)
(当且仅当
a?b?c
时，
22a?b
a、b、c
?
R，
a
2
?
b
2
?c
2
?ab?bc?ca
（当且仅当
a?b?c时，取等号）；
44、 在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底0?a?1
或
a?1
）讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解集是……．
45、 解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”
46、 对于不等式恒成立问题，常用的处理方式？（转化为最值问题）
三、数列
47、 等差数列中的重要性质：（1）若
m?n?p?q
，则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；（2）
数列{a<
br>2n?1
}, {a
2n
},
{ka
n
?b}仍成等差数列
；
S
n
,
S
2n
?S
n
,
S
3n
?S
2n
仍成等差数列
（3）若三数成等差数列，
则可设为a-d、a、a+d；若为四数则可设为a-
d
、a-
d
、a+d
、
a+
d
；
（4）在等差数列中,求S
n
的最大(小)值,其思路是找出某一项,使这项及它前面的项皆取正
(负)值或0,而它后面各项皆取
负(正)值,则从第一项起到该项的各项的和为最大(小).即:当
a
1
>0,d<0,解不等式组 a
n
≥0 a
n+1
≤0
可得S
n
达最大值时的n的值;当a
1
<0,d>0,解不
等式组 a
n
≤0 a
n+1
≥0 可得S
n
达最小值时的n的值;（5）．若a
n
,b
n
是等差数列,S
n
,T
n
分别为a
n
,b
n
的前n项和,则
a
m
S
2m?1
?
。.（6）.若{
a
n
}是等差数列，则{
a
a
n
}是等比数列，
b
m
T
2m?1<
br>3
2
1
2
1
2
3
2
若{
a
n
}是等比数列且
a
n
?0
，则{
loga
a
n
}是等差数列.
48、 等比数列中的重要性质：（1）若<
br>m?n?p?q
，则
a
m
?a
n
?a
p?a
q
；（2）
S
k
，
S
2k
?S<
br>k
，
S
3k
?S
2k
成等比数列
49、
S
n
?na
1
；你是否注意到在应用等比数列求前n项和时，需要分
类讨论．（
q?1
时，
a
1
(1?q
n
)
）
q?1
时，
S
n
?
1?q
50、 等比数列的
一个求和公式：设等比数列
?
a
n
?
的前n项和为
S
n
，公比为
q
, 则
S
m?n
?S
m
?q
m
S
n
．
51、
是
等差数列的一个性质：设
S
n
是数列
?
a
n
?
的前n项和，
?
a
n
?
为等差数列的充要条件
S
n
?an
2
?bn
（a,
b为常数）其公差是2a.
52、 你知道怎样的数列求和时要用“错位相减”法吗？（若
c
n
?a
n
b
n
，其中
?
a
n?
是等
差数列，
?
b
n
?
是等比数列，求?
c
n
?
的前n项的和）
53、 用
a
n<
br>?S
n
?S
n?1
求数列的通项公式时，你注意到
a
1
?S
1
了吗？
你还记得裂项求和吗？（如54、
111
??
.）
n(n?1)nn?1
四、排列组合、二项式定理
55、
解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合．
56、 解排列组合问题的规
律是：相邻问题捆绑法；不邻问题插空法；多排问题单排法；
定位问题优先法；多元问题分类法；有序分
配问题法；选取问题先排后排法；至多至少
问题间接法，还记得什么时候用隔板法？
57、
mm
?C
n
排列数公式是： 组合数公式是：
排列数与组合数的关系是：
P
n
?m！
组合数性质：
C<
br>=
C
m
n
n?m
n
C
+C
m
n
m?1
=
n
C
m
n?1
?
C
r?0
n
r
n
=
2
n
rr?1
C
r
r
?C
r
r
?1
?C
r
r
?2
???C
n
?C
n?1
n0n1n?12n?22rn?rrnn
二项式定理：
(a?b)?Cn
a?C
n
ab?C
n
ab???C
n
ab?
??C
n
b
rn?rr
1，2?，n)
二项展开式的通
项公式：
T
r?1
?C
n
ab
(r?0，
五、立体
几何
58、 有关平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：线线
?
线面
?
面面，线⊥线
?
线⊥面
?
面⊥面，垂直常用向量来证
。
59、 作出二面角的平面角主要方法是什么？（定义法、三垂线法）三垂线法：一定平面，
二作垂线，三作斜线，射影可见.
60、
二面角的求法主要有：解直角三角形、余弦定理、射影面积法、法向量
61、
求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、等体积变换法、法向量法）
62、
你记住三垂线定理及其逆定理了吗？
63、 有关球面上两点的球面距离的求法主要是找球心角，常常
与经度及纬度联系在一
起，你还记得经度及纬度的含义吗？(经度是面面角；纬度是线面角)
64、 你还记得简单多面体的欧拉公式吗？(V+F-E=2，其中V为顶点数，E是棱数，F为面数)，棱的两种算法，你还记得吗？(①多面体每面为n边形，则E=
每个顶点出发有m条棱，则
E=
nF
；②多面体
2
mV
)
2
六、解析几何
65、 设直线方程时，一般可设直线的斜率为k，你是否注意到直线垂直于x轴时，斜率
k不
存在的情况？（例如：一条直线经过点
?
?3,?
?
?
3
?
22
?
，且被圆
x?y?25
截得的弦
2
?
长为8，求此弦所在直线的方程。该题就要注意，不要漏掉x+3=0这一解.）
66、
定比分点的坐标公式是什么？（起点，中点，分点以及
?
值可要搞清）
线段的定比分点坐标公式
设P（x，y）
，P
1
（x
1
，y
1
）
，P
2
（x
2
，y
2
）
，且
P
1
P?
?
PP
2
，则
???
x?
?
?
?
?
y?
?
?
x
1
?
?
x
2
1?
?
y
1
?
?
y
2
1?
?
中点坐标公式 <
br>x
1
?x
2
?
x?
?
?
2
?
y?y
2
?
y?
1
?
2
?若
A(x
1
,y
1
)，B(x
2
,y
2
)，C(x
3
,y
3
)
，则△ABC的重心G的坐标是<
br>?
x
1
?x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3
?
，
??
。
33
??
67、
在利用定比分点解题时，你注意到
?
??1
了吗？
68、 在解析几何中，
研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几
何中一般提到的两条直线可以理解为它
们不重合.
69、直线方程的几种形式：点斜式、斜截式、两点式、截矩式、一般式．以及各种形式的
局
限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线）
70、对不重合的两条直线
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?
0
，
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
，有
?
AB?A
2
B
1
； <
br>l
1
?l
2
?A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
．
l
1
l
2
?<
br>?
12
AC?AC
21
?
12
71、直线在坐标轴上
的截矩可正，可负，也可为0.
72、直线在两坐标轴上的截距相等，直线方程可以理解为
xy
但不要忘记当 a=0
时，
??1
，
ab
直线y=kx在两条坐标轴上的截距都是0，也是截距相等
．
73、两直线
Ax?By?C
1
?0
和
Ax?By?C
2
?0
的距离公式d=——————————
74、直线的方向向量还记得
吗？直线的方向向量与直线的斜率有何关系？当直线L的方向
向量为
m
=（x
0
，y
0
）时，直线斜率k=———————；当直线斜率为k时，直线的方
向向量
m
=—————
75、到角公式及夹角公式———————，何时用？ 76、处理直线与圆的位置关系有两种方法：（1）点到直线的距离；（2）直线方程与圆的方程
联
立，判别式. 一般来说，前者更简捷．
77、处理圆与圆的位置关系，可用两圆的圆心距与半径之间的关系.
78、在圆中，注意利
用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形并且要更多联想到圆的几
何性质.
79、在利用
圆锥曲线统一定义解题时，你是否注意到定义中的定比的分子分母的顺序？两个
定义常常结伴而用，有时
对我们解题有很大的帮助，有关过焦点弦问题用第二定义可能
更为方便。（焦半径公式：椭圆：|PF<
br>1
|=
————
；
|PF
2
|=
————
；双曲线：|PF
1
|=
————
；
|PF
2
|=
————
（其中F
1
为左焦点F
2
为右焦点
）；抛物线：|PF|=|x
0
|+
p
）
2
80
、在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为
零？判别式
??0
的限制．（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在
??0
下进行
）.
81、椭圆中，a，b，c的关系为
————
；离心率e=
————<
br>；准线方程为
————
；焦点到相应准线
距离为
———— 双曲线中，a，b，c的关系为
————
；离心率e=
————
；准线方
程为
————
；
焦点到相应准线距离为
————
82、通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦.
83、你知道吗？解析几何中解题关键就是把
题目中的几何条件代数化，特别是一些很不起眼
的条件，有时起着关键的作用：如：点在曲线上、相交、
共线、以某线段为直径的圆经
过某点、夹角、垂直、平行、中点、角平分线、中点弦问题等。圆和椭圆参
数方程不要
忘，有时在解决问题时很方便。数形结合是解决解几问题的重要思想方法，要记得画图
分析哟！
84、你注意到了吗？求轨迹与求轨迹方程有区别的。求轨迹方程可别忘了寻求范围呀!
85、在解决有关线性规划应用问题时，有以下几个步骤：先找约束条件，作出可行域，明确
目
标函数，其中关键就是要搞清目标函数的几何意义，找可行域时要注意把直线方程中
的y的系数变为正值
。如：求2<5a-2b<4,-3<3a+b<3求a+b的取值范围，但也可以不用
线性规划。
七、向量
86、两向量平行或共线的条件，它们两种形式表示，你还记得吗？注
意
a?
?
b
是向量平行
的充分不必要条件。(定义及坐标表示) <
br>87、向量可以解决有关夹角、距离、平行和垂直等问题，要记住以下公式：|
a
|=<
br>a
·
a
，
2
cosθ=
a?b
|a||b
|
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
x
1
2
?y
1
2
x
2
2?y
2
2
88、利用向量平行或垂直来解决解析几何中的平行和垂直问题可以不用
讨论斜率不存在的
情况，要注意
a?b?0
是向量
a和向量b
夹角为
钝角的必要而非充分条件。
89、向量的运算要和实数运算有区别：如两边不能约去一个向量，向量的
乘法不满足结合律，
即
a(b?c)?(a?b)c
，切记两向量不能相除。
90、你还记得向量基本定理的几何意义吗？它的实质就是平面内的任何向量都可以用平面
内任意不共
线的两个向量线性表示，它的系数的含义与求法你清楚吗？
91、一个封闭图形首尾连接而成的向量和
为零向量，这是题目中的天然条件，要注意运用，
对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以
一个实数，两边同时取模，两边
同乘以 一个向量，但不能两边同除以一个向量。
92、
向量的直角坐标运算
设
a?
?
a
1
,a
2<
br>,a
3
?
,b?
?
b
1
,b
2,b
3
?
,则
?
??
a?b?
?
a
1
?b
1
,a
2
?b
2
,a
3<
br>?b
3
?
?
?
?
a?b?
?a
1
?b
1
,a
2
?b
2
,a
3
?b
3
?
?
?
a?
?
?<
br>a
1
,
?
a
2
,
?
a
3<
br>?
?
?
?R
?
??
a?b?a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
?
22
a?a?a?a
1
2
?a
2
?a
3
??
cos?a,b??
??
??
a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3<
br>b
3
a?a?a
2
1
2
2
2
3b?b?b
2
1
2
2
2
3
ab?a
1
?
?
b
1
,a
2
?
?
b
2
,a
3
?
?
b
3
,
?
?
?R
?
a?b?a
1
b
1
?a2
b
2
?a
3
b
3
?0
?
?
设A=
?
x
1
,y
1
,z
1
?
,
B=
?
x
2
,y
2
,z
2
?
,
则
AB?OB?OA?
?
x
2
,y
2
,z
2
?
-
?
x
1
,y
1<
br>,z
1
?
=
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
,z
2
?z
1
?
AB?
?
???
AB?AB?
??
?
x
2
?x
1
?
2
?
?
y
2?y
1
?
2
?
?
z
2
?z
1
?
2
八、导数
93、导数的几何意义即曲线在该点处的切线的斜率，学会定义的多种变形。
94、几个重要
函数的导数：①
C?0
,（C为常数）②
x
n
''
导数的四
运算法则
?
?
?
?
?
?
?
?
?<
br>
'
'
??
?nx
?
n?Q
?
'
n?1
95、利用导数可以证明或判断函数的单调性，注意当f ’(x)≥0或f
’(x)≤0，带上等号。
96、
f
?
(x
0
)=0是函
数f(x)在x
0
处取得极值的非充分非必要条件，f(x)在x
0
处取得极
值的充
分要条件是什么？
97、利用导数求最值的步骤：（1）求导数
f
'
?
x
?
（2）求方程
f
'
?
x
?
=0的根
x
1
,x
2
,?,x
n
（3）计算极值及端点函数值的大小
（4）根据上述值的大小,确定最大值与最小值. 98、求函数极值的方法：先找定义域，再求导，找出定义域的分界点，根据单调性求出极值。
告诉
函数的极值这一条件，相当于给出了两个条件：①函数在此点导数值为零，②函数
在此点的值为定值。
九、概率统计
99、有关某一事件概率的求法：把所求的事件转化为等可能事件的概率(常常
采用排列组合
的知识)，转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率，利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率，看作某一事件在n次实验中恰有k次发生的概率，但要
注意公式的使
用条件。
1）若事件A、B为互斥事件,则
P（A+B）=P（A）+P（B）
（2）若事件A、B为相互独立事件,则
P（A·B）=P（A）·P（B）
（3）若事件A、B为对立事件,则
P（A）+P（B）=1
一般地,
pA?1?P
?
A
?
（4）如果在一次试验中某
事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中这个事恰好发生
K次的概率
kk
P
n
?
K
?
?C
n
p
?
1?p
?
n?k
??
100、抽样方法主要有：简单随机抽样(抽
签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时，
它的主要特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常常用
于总体个数较多时，它的主要特
征就是均衡成若干部分，每一部分只取一个；分层抽样，主要特征分层按
比例抽样，主
要使用于总体中有明显差异。它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等。
101、用总体估计样本的方法就是把样本的频率作为总体的概率。
十、解题方法和技巧
102、总体应试策略：先易后难，一般先作选择题，再
作填空题，最后作大题，选择题力保
速度和准确度为后面大题节约出时间，但准确度是前提，对于填空题
，看上去没有思路
或计算太复杂可以放弃，对于大题，尽可能不留空白，把题目中的条件转化代数都有可
能得分，在考试中学会放弃，摆脱一个题目无休止的纠缠，给自己营造一个良好的心理
环境，这
是考试成功的重要保证。
103、 解答选择题的特殊方法是什么？(顺推法，估算法，特例法，特征
分析法，直观选择
法，逆推验证法、数形结合法等等)
104、解答填空题时应注意什么？（特殊化，图解，等价变形）
105、解答应用型问题时
，最基本要求是什么？（审题、找准题目中的关键词，设未知数、
列出函数关系式、代入初始条件、注明
单位、答）
106、 解答开放型问题时，需要思维广阔全面，知识纵横联系．
107、解答信息型问题时，透彻理解问题中的新信息，这是准确解题的前提．
108、解答多参型问题时，关键在于恰当地引出参变量, 想方设法摆脱参变量的困绕．这当
中，参变量的分离、集中、消去、代换以及反客为主等策略，似乎是解答这类问题的通
性通法．
109、 学会跳步得分技巧，第一问不会，第二问也可以作，用到第一问就直接用第一问的结
论即可，要学会用“由已知得”“由题意得”“由平面几何知识得”等语言来连接，一旦
你想来了，可在
后面写上“补证”即可。
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