(完整版)高中数学知识点宝典汇总

第一章 集合与简易逻辑
一、集合知识
1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.
2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.
3. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.
4. 集合运算：交、并、补.
5. 主要性质: ①
A?B?AIB?A?AUB?B?C
U
AUB?U

②C
U
(A∩B)= (C
U
A)∪(C
U
B) C
U
(A∪B)= (C
U
A)∩(C
U
B)
6. 设集合A中有n个元素,则①A的子集个数为
2
n
；②A的真子集个数 为
2
n
?1
；

③A的非空子集个数为
2n
?1
；④A的非空真子集个数为
2
n
?2
.
7. 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集

二．含绝对值不等式、一元二次不等式的解法
1.整式不等式的解法：① 一元一次不等式
ax?b的解集
（
分a?0或a?0)

②一元二次 不等式
ax?bx?c?0(a?0)的解集
：（大于取两边，小于取中间）
③一元 高次不等式：穿根法（零点分段法）（记忆：x的系数全化为正，从右到左、从上到下，奇（次幂）穿，
偶（次幂）穿而不过）
2.分式不等式的解法
2
f(x)f(x)
f(x)g(x)?0
（移项通分，不能去分母） ?0?f(x)g(x)?0;?0?
?
?
g(x)?0
?
g( x)g(x)
3.含绝对值不等式的解法
ax?b?c
,与
ax?b?c(c?0)
型的不等式的解法.
（将x的系数化为正,大于取两边，小于取中间）

三．简易逻辑
1．构成复合命题的形式：p或q(记作“p∨q” )(一真则真)；
p且q(记作“p∧q” )（一假则假）；非p(记作“┑q” )（真假相反） 。
2．四种命题的形式：原命题：若P则q； 逆命题：若q则p；
否命题：若┑P则┑q；逆否命题：若┑q则┑p。
(原命题
?
逆否命题)
3、充要条件：
原命题
若p则q
互
否
否命题
若┐p则┐q
互
逆
互
为
为互
逆
否
逆命题
若q则p
互
否
逆否命题
若┐q则┐p
逆
否
互
逆
4、反证法：从命题结论的反面出发（假设） ，引出(与已知、公理、定理…)矛盾，从而否定假设证明原命题成立，
这样的证明方法叫做反证法。

1

第二章 函 数
一、函数与映射
1．
映射的性质：从A到B的映射：①A中不能有剩余元素，B中可以有剩余元素，
②允许多对一，不允许一对多。③若A有3个元素，B有4个元素，则有
4
3
个映射。
2．
函数的三要素：定义域，值域，对应法则。

二、函数的性质
（1）奇偶性（在整个定义域内考虑定义域是否关于原点对称）
奇函数：
f(?x)??f(x)
、图象关于原点对称，在两个对称区间具有相同的单 调性；
偶函数：
f(?x)?f(x)
、图象关于
y
轴对称，在两 个对称区间具有相反的单调性；
常用的结论：若
f(x)
是奇函数，且
0? 定义域
，则
f(0)?0或f(?1)??f(1)
；
若
f(x)
是偶函数，则
f(?1)?f(1)
；反之不然。
常见的奇函数：①
y?lg(x?x
2
?1)
②
y?lg
1?x
1?x
③
y?e
x
?e
?x

④
y?
1
e
x
?1
1?x
2
?
1
2
2
x< br>?1
⑤
y?
e
x
?1
⑥
y?
x?2?2

非奇非偶函数：f（x）=
1?cosx?si nx
1?cosx?sinx
.
（2）单调性（在定义域的某一个子集内考虑）
①定义法 步骤：a.设
x
1
,x
2
?A且x< br>1
?x
2
；b.作差
f(x
1
)?f(x
2
)
；c.判断正负号。
②掌握函数
y?
ax?bb?aca
x?c
?a?
x?c
(b?ac?0);y?x?
x
(a?0)< br>的图象和性质；
函
数
y?
ax?b
x?c
?a?
b?ac
x?c
y?x?
a
(a?0
）

x
(b – ac≠0)


y

y
图
Y=a

o x

X=-c

象
o
X

单
当b-ac>0时:
在
(??,?a]和[a,??)

在
(??,?c)和(c,??)
上单调递减；
调
上单调递增；

当b-ac<0时:
在
[?a,0)和(0,a]
上单
性
在
(??,?c)和(c,??)
上单调递增。
调递增。
2

③一些有用的结论： .在公共定义域内
增函数
f(x)?
增函数
g(x)
是增函数； 减函数
f(x)?
减函数
g(x)
是减函数；
增函数
f(x)?
减函数
g(x)
是增函数； 减函数
f(x)?
增函数
g(x)
是减函数。

（3）函数的周期性：
f(x?T)?f(x)

①y=f(x)对x∈R时，f(x +a)=f(x－a) (a>0)恒成立,则y=f(x)的周期为2a；
②若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)的周期为2︱a︱；
③若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x) 的周期为4︱a︱；
④y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=－f(x)(或f(x+a)=
?
1
，则y=f(x) 的周期为2
a
；
f(x)

三、函数的图象
1、基本函数的图象：（1）一次函数、（2）二次函数、（3）反比例函数、
（4）指数函数、（5）对数函数、（6）三角函数。
2、图象的变换：（1）平移变换 （先表示成y=f(x)
：
左加右减，上加下减。）
（2）对称变换：函数
y?f(x)
与函数
y?f(?x)
的图象关于
y
轴对称；
函数
y?f(x)
与函数
y??f(x)
的图象关于
x
轴 对称；
函数
y?f(x)
与函数
y??f(?x)
的图象关于坐标 原点对称；
②如果对于函数y=f(x)都有f(x+a)=f(a-x)，那么y=f(x) 的图象关于直线
x?a
对称。
如果对于函数y=f(x)都有f(x+a)=f(b-x)，那么y=f(x) 的图象关于直线
x?
③
y?f(x)
?
y?f(x)
（把
x
轴下方的图象翻折到上方）
④
y?f(x)
?
y?f(x)
（擦掉
y
轴左侧的图象，把右侧的图象对称到左侧）
⑤
y?f
?1
a?b
对称。
2
(x)
与
y?f(x)
关于直线
y?x
对称。性质：
f(a)?b?f
?1
(b)?a

（3）伸缩变换： ②
y?f(x)
?
y?f(ax),(a?0)
系数变小伸长；系数变大缩短。

四、函数的反函数
求反函数的步骤：①求原函数
y?f(x)
，
(x?A)
的值域B ②把
y?f(x)
看作方程，解出
x??(y)
；x，y
互换的y?f(x)
的反函数为
y?f
?1
(x)
，
(x?B )
。

五、求函数的值域的常用解题方法：
① 配方法。如函数
y?x?x?1
的值域，特点是可化为二次函数的形式；
x
②换元法：如y=
1?2x?x
③单调性：如函数
y?2?log
2
x
x∈[1,2]
42
x
2
?2x?3
④判别式法（△法）如函数y=
2

x?2x?3
3

⑤利用函数的图像：如函数y=|x+3|+|x－2| ⑥利用反函数：如函数y=
2?sinx
2?sinx

⑦利用基本不等式：如函数y=
2
x
2
?3
⑧.方程k=f(x)有解
?
k∈D(D为f(x)的值域)；
⑨.a≥f(x)
?
a≥［f(x)］
max,
; a≤f(x)
?
a≤［f(x)］
min
;

六、指数、对数的性质：
mm
1.
指数运算：a
0
?1(a?0)，a
?p
?
1
n
n
m
?
n
1
a
p
(a?0)
,
a?a(a?0)，a?
n
a
m
(a?0)< br>
2.
对数运算：log
a
(M·N)?log
a
M ?log
a
N
?
M?0，N?0
?

< br>log
M
n
1
a
N
?log
a
M? log
a
N，log
a
M?
n
log
a
M
，
log
a
m
b
n
?
n
m
log
a
b


对数恒等式：a
log
ax
?x(x?0)
，
log
a
a
k
?k(k? R)


对数换底公式：log
log
c
b
a< br>b?
log
,

c
a
3.
log
a
b
的符号由口诀“同正异负”记忆; 如：
log
2
3?0.....log
1
5?0
。
2
七、复合函数单调性：
y?f
?
g
?
x
??
，
f(x)与g(x)
：
同增同减为增，一增一减为减
。


















4

第三章 数 列

一．数列及数列的通项公式
1.数列的前n项和：
S
n
?a
1
?a
2
?a
3
???a
n
2.数列的通项公式：
a
n?
?
?
a
1
?S
1
(n?1)
S?S(n?2)
nn?1
?
3.递推公式：已知数列
?
an
?
的第一项（或前几项），且任一项
a
n
与它的前一项
a
n?1
（或前几项）间的关系可以用一个
公式来表示，那么这个公式叫做数列的递 推公式。

二．等差数列
1.定义： 即：
a
n
?a< br>n?1
?d(n?2,a
n
?0,q?0)?{a
n
}成等差 数列

2.判定方法：①定义法：
a
n?1
?a
n
?d
(常数)； ②等差中项法：
2a
n?1
?a
n
?a
n?2
。
3.通 项公式：若首项是
a
1
，公差是
d
，则通项为
a
n
?a
1
?(n?1)d
。是关于n的一次函数。
4.等差数列的前n项和： ①
S
?a
n
?
n(a
1n
)
2
②
S
n(n?1)
n
?na
1
?
2
d

对于公式②整理后是关于n的没有常数项的二次函数（充要条件）。
5.等差中项 ：如果
a
，
A
，
b
成等差数列，则有
A?
a?b
2
或
2A?a?b

6.等差数列的性质： ①．等差数列任意两项间的关系：如果
a
n
是等差数列的第
n
项，
a
m
是等差数列的第
m
项，且
m?n
，公差为d
，则有
a
n
?a
m
?(n?m)d

②.若
n?m?p?q
，则
a
n
?a
m
?ap
?a
q
。
③.
S
*
n
是其前n项 的和，
k?N
，那么
S
k
，
S
2k
?S< br>k
，
S
3k
?S
2k
成等差数列。
④.< br>S
奇
是奇数项的和，
S
偶
是偶数项的和，
S
n
是前n项的和，
结论：(i)
若有偶数项2n项，则S
a
1?a
2n?1
奇
?
2
?n?n?a
a?a
n< br>；
S
22n
偶
?
2
?n?n?a
n?1 所以有
S
偶
?S
奇
?
?
a
2
?a
1
?
?
?
a
4
?a
3< br>?
???
?
a
2n
?a
2n?1
?
?nd

（ii）
若有奇数项2n?1项，则S
a
奇
?1
?a
2n?1
2
?(n?1)?a
n?1
?(n?1 )


S?
a
2
?a
2n
?S
奇
?S
偶
?a
n?1
?(2n?1)?(2n?1) a
中
?
偶
2
?n?a
n?1
?n


?
?
S
奇
?S
偶
?a

n?1
?a
中
S
奇
n?1
S
?
偶
n
；
S
n
S
?
S
奇
?S偶
?2n?1

奇
?S
偶
S
奇
?S< br>偶
⑤．若等差数列
?
a
n
?
的前
2n?1< br>项的和为
S
2n?1
，等差数列
?
b
n
?< br>的前
2n?1
项的和为
T
2n?1
，
则
a< br>n
?
S
2n?1
a
T
。(比如：
9
?
S
17
；
a
10
?
S
19
b< br>)
n2n?1
b
9
T
17
b
10
T
19





5

三．等比数列
a
1．定义：
n
?q(n ?2,a
n
?0,q?0)?{a
n
}成等比数列

an?1
2.等比中项：如果
a
，
G
，
b
成等比 数列，那么
3.等比数列的判定方法：
⑴定义法：对于数列
?
a
n
?
，若
a
n?1
?q(q?0)
，则数列
?
a
n
?
是等比数列。
a
n
Gb
2
?
，即
G
aG
?ab
。
2
⑵等比中项：对于数列< br>?
a
n
?
，若
a
n
a
n?2
?a
n?1
(a
n
?0)
，则数列
?
a
n
?
是等比数列。
n?1
4.等比数列的通项公式：
a
n
?a
1
q
。
na
1
(q?1)
?
?
n
5.等比数列的前n项和：
S
n
?
?
a1
(1?q)
a
1
?a
n
q

?(q?1)
?
1?q
?
1?q
6.等比数列的性质： < br>⑴．等比数列任意两项间的关系：如果
a
n
是等比数列的第
n
项，
a
m
是等差数列的第
m
项，且
m?n
，公比 为
q
，
⑵.对于等比数列
?
a
n
?
，若< br>n?m?p?q
，则
a
n
?a
m
?a
p?a
q

⑶．若数列
?
a
n
?
是等比 数列，
S
n
是其前n项的和，
k?N
*
，那么
S< br>k
，
S
2k
?S
k
，
S
3k
?S
2k

成等比数列。

四．数列的通项求法：
(1)等差，等比数列的通项公式；
(2)
已知S
n
求a
n,则有a
n
?
?
则有
a
n
?a
mq
n?m

a
1
,(n?1)
a
（3）累乘法：
形如
n
?g(n)

a
n?1
?< br>S
n
?S
n?1
,(n?2)
?
；
(5)构造法：
形如a
n?1
?pa
n
?q.
(4)累 加法：
形如a
n
?a
n?1
?f(n),(n?2)

五．数列的求和方法：(1)公式法：即等差与等比数列的公式；
(2)裂项相消法： 如：
a
n?1
?
111
??

n(n?1)nn?1
?
c
n
?
为等比数列
为等差数列，
(3)错位相减法：
a
n
?b
n
?cn
,
?
b
n
?
n
⑷倒序相加法：如an
=
nC
100
; ⑸分组求和法：
a
n
?b
n
?c
n
如：a
n
=2n+3
n


六．其他结论：
1、
?
a
n
?
成等差 数列?a
n
?An?B?S
n
?An?Bn

2
(1)
?
a
n
?
成等差数列?b
(2 )
?
a
n
?
成等比数列?
??
成等比数列

a
n
k
a
n
a
n
?0
nb
??
成等比数列
；
?
a
?
成等比数列
?
?
loga
n
?
成等差数列

6

2、在等差数列
?
a
n
?
中,( 1)当
a
1
?0
,d<0时，满足
?
?
a
m
?0
的项数m使得
S
m
取最大值.
a?0
?
m?1
(2)当
a
1
?0
,d>0时，满足
??
a
m
?0
的项数m使得
S
m
取最小值。
?
a
m?1
?0
3、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四 个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d
4、三个数成等比的设法：aq,a,aq；

第四章 三角函数
一、基本概念和知识要点
1．三角函数定义：sin
?
=
xryxyr
，cos
?
=，tan
?
=，cot
?
=，sec
?
=，csc
?
=。

yy
rxrx
2
2．同角三角函数的关系中，平方关系是：
sin
?
?c os
2
?
?1
；
cos
2
?
?
1
；
1?tan
2
?
倒数关系是：
tan
?
?cot
?
?1
，商数关系是：
tan
?
?
si n
?
cos
?
，
cot
?
?
。
cos
?
sin
?
3． 诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变， 符号看象限（
如：
sin(
?
的奇、偶数倍）。
2
3?
15
?
?
?
)?
?cos
?
，cot(?
?
)
=
tan
?
，
tan(3?
?
?
)?
?tan
?
。
22
4、
三角函数的图象：

y＝sinx

y＝cosx

y?tanx
（略）

（其中A?0，
?
?0）
5． 函数
y?Asin(
?x?
?
)?B
的最大值是
A?B
，最小值为
B?A，周期是
T?
2
?
?
，频率是
f?
?
?
，相位是
?
x?
?
，初相是
?
；其图象的对称轴 是直线
?
x?
?
?k
?
?(k?Z)
，对称中心为 （
x
0
，0），
2
?
2
其中横坐标满足
?
x
0
?
?
?k
?
(k?Z)
。
6． 三角函数的单调区间：
y?sinx
的递增区间是
?
2k?
?

?
?
?
2
，2k
?
?
?
?
2
?
?
(k?Z)
递减区间是
7

?
?
?
2k
?
?
?2
，2k
?
?
3
?
?
2
?
?
(k?Z)
；
y?cosx
的递增区间是
?
2k
?
?
?
，2k
?
?
(k?Z)
，递减区间是
?
2k
?
，2k
?
?
?
?
(k?Z)，
y?tanx
的递增区间是
?
?
??
?
?< br>k
?
?
2
，k
?
?
2
?
?
，
7．y＝Asin(ωx＋ψ)五点法作图：依次取ωx＋ψ＝
0,
?< br>2
,
?
,
3
?
2
,2
?
.

8．三角变换： (A>0，ω>0) ①先平移变换，再伸缩变化
②先伸缩变化，再平移变化。（注：平移多少个单位，一定要把解析式中x的系数提出）
如将 函数
y?2sin(3x?
?
3
)?3
的图象按
a
平移后得函数
y?2sin3x
的图象，则
a
＝
9．两角和与差公式：
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

< br>cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
??sin
?
sin
?

tan(
??
?
)?
tan
?
?tan
?
1?tan?
?tan
?

10、二倍角公式是：sin2
?
=< br>2sin
?
?cos
?

cos2
?
=cos
2
?
?sin
2
?
=
2cos
2
?
?1
=
1?2sin
2
?
tan
2
?
=
2tan
?
1?tan
2
?
。 tan
?
2
=
1?cos
?
sin
?
sin
?
=
1?cos
?
。
11、升 幂公式是：
1?cos
?
?2cos
2
?
2

1?cos
?
?2sin
2
?
2
。
12 、降幂公式是：
sin
2
?
?
1?cos2
?
2< br>
cos
2
?
?
1?cos2
?
2
。 2tan
?
13、万能公式：sin
?
=
2
1?tan
2
?
2tan
?
cos
?
=
2?
2
1?tan
2
?
2
tan
?
=
2

1?tan
2
1?tan
2
?
2
14、特殊角的三角函数值：（自己总结）
15、正弦定理：（其中 R表示三角形的外接圆半径）：
a
sinA
?
b
sinB
?
c
sinC
?2R

2
22
?2accosB；第二形式：cosB=
a
2
?c
2
?b
2
1 6、余弦定理第一形式：
b
=
a?c
2ac


17、△ABC的面积用S表示，外接圆半径用R表示，内切圆半径用r表示，则：
①
S?
1
2
a?h
②
S?
1
a
??
；
2
bcsinA??
；④
S?2R
2
sinAsinBsinC
；
③
S?
abc
4R
； ⑤
S?
1
2
pr
（
p
为△ABC的周长）
8

18、在△ABC 中，①
b?a?cosC?c?cosA< br>，…②
A?B?sinA?sinB
（充要条件）
③
sin(A+B)=sinCcos(A+B) ?-cosCtan(A+B) ?-tanC

④
sin
A?B
2
?cos
C
2

cos
A?B
2
?sin
C
2

tan
A?B
2
?cot
C
2

⑤
tanA?tanB?tanC?tanA?tanB?tanC

19．解斜三角形的常规思维方法是：
（1）已知两角和一边，由正弦定理求； （2）已知两边和夹角，应用余弦定理求c边；
（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，
（4）已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C = π，求角C．
20.弧度制：
|
?
|?
l
r
，弧长公式：l?r
?
； 扇形面积公式：
s?
11
2
2
l r?
2
?
r
；
21．几个重要的三角变换：sin α cos α可凑倍角公式； 1±cos α可用升幂公式；
asin
?
?bcos?
?a
2
?b
2
sin
?
?
?
?
?
（其中
tan
?
?
b
a
）这一公式应用广泛。
22．函数y = sin (ωx＋φ)：奇函数
?
?
?k
??
k?Z
?
．偶函数
?
?
?k
?
?< br>?
2
?
k?Z
?

函数y =cos (ωx＋φ) ：奇函数
?
?
?k
?
?
?
2
?
k ?Z
?
．偶函数
?
?
?k
?
?
k?Z?
．











9

第五章 平面向量
1.向量的概念
（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量。向量的大小也就是向量的长度，叫做向量的模。
（2）几种向量：零向量，单位向量，共线向量（平行向量），相等向量，相反向量。
向量的 坐标表示：
AB
=(x
2
-x
1
,y
2
- y
1
)，其中A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
（3）向量的运算 ①向量的加法与减法：定义与法则（如图5-1）：

②坐标运算：
a+b=(x< br>1
+x
2
,y
1
+y
2
),a-b=(x< br>1
-x
2
,y
1
-y
2
)。其中a=(x< br>1
，y
1
),b=(x
2
,y
2
)。

2.平面向量的数量积定义与法则（如图5-3）：
①向量的夹角： （
0?
?
?180
） ②两个向量的数量积：
a
·
b
=︱
a
︱·︱
b
︱cos
?
．
其中︱
b
︱cos
?
称为向量
b
在
a
方 向上的投影．
③向量的数量积的性质： 若
a
=（
x
1
,y
1
）,
b
=（
x
2
,y
2
）
则
a
·
b
=
x
1
x
2
?y
1
y
2

a
⊥
b
?a
·
b
=0
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0

00
?
xx?y
1
y
2
?0
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
a
与
b
夹角为锐角
?
?
12
;
a
与
b
夹角为钝角
?
?

?
(x
1
,y
2
)?
?
(x
2
,y
2
)
?
(x
1
,y
2
)?
?
(x
2
,y
2
)
3.定理与公式
① 共线定理：向量
b
与非零向量
a
共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得
b
=λ
a
。

?
??
结论：
a
∥
b
(
b
?< br>0
)的充要条件是
x
1
y
2
-x
2
y
1
=0

②平面向量基本定理：如果
e
1
，e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量
a
，有且只有
一对实数λ
1
,λ
2
使
a
=λ
1
e
1
+λ
2
e
2

③两向量垂直的充要条件(i)

a
⊥
b
?
a
·
b
=0 (ii)

a
⊥
b
?
x
1
·x
2
+y
1
·y
2
=0
④三点共线定理： 平面上三点A、B、C共线的充要条件是：存在实数α、β,
使
OA
=α
O B
+β
OC
，其中α+β=1，O为平面内异于A、B、C的任一点。
⑤两 点间的距离公式：|
P
1
P
2
|=
(x
2
?x
1
)?(y
2
?y
1
)
，其中[P
1
(x
1
,y
1
),P
2
(x
2
, y
2
)]
⑥点的平移公式：若点P
0
(x,y)按向量
a
=(h,k)平移至P(x′,y′)，则
?
22
?
x'?x?h,

y'?y?k.
?
10

x
1
?λx
2
?
x?
?
?
1?λ
x,yP,P,Px,yx,y
⑦定比分点公式：若
P
=；的坐标分别为（）,（）,（ ）；则：
PPP
?
?
121122
12
y?λy
2
?
y?
1
?
1?λ
?
?
中点坐标公式 ：
?
x
1
?x
2
?
x
1
?x2
?x
3
?
x?
?
?
2
?
x ?
?
?
?
y?
y
1
?y
重心公式：
?
3
2
?
y?y

2
?y3
2
?
?
y?
1
3

第六章 不等式
一、不等式的性质
(3)a＞b?a＋c＞b＋c(加法单调性)(5)a＋b＞c?a＞c－b(移项法则)

(6)
a＞b
?
c＞d
?
?
?a＋c＞b＋d(同 向不等式可加)(8)
a＞b＞0
?
c＞d＞0
?
?
?ac ＞bd(同向正数不等式可乘)

(12)a＞b＞0?
1
a
＜1
b
(正数不等式两边取倒数)


二、常用的基本不等式和重要的不等式：
（1）
a,b?R,则a
2
?b
2
?2ab
，当且仅当
a?b时取“?”
号；
（2 ）
a,b?R
?
，则
a?b?2ab
；当且仅当
a?b时取 “?”
号；
注：
a?b
2
??算术平均数，ab??几何平均数

a< br>2
?b
2
a?b
（3）
2
?()
2
；
2ab
?ab?
a?b
?
a
2
?b
2< br>2
?
a?b22
(a,b?R)
；
（4）若a、b、m∈R
+
，且aa?mab?mb
b?m
?
b
或
a?m
?
a
；

三、最值定理（均值不等式）
（1）如积
xy?P(定值），则和x?y有最小值2P

（2）如和
x?y?S(定值），则积xy有最大值（
S
2
）
2

即；积定和最小，和定积最大。注；运用最值定理求最值的三要素：“一正、二定、三相等”

四、恒成立问题
如：关于x的不等式
(a?2)x
2
?2(a?2 )x?4?0
对
x?R
恒成立，则
a
的取值范围 。


11

五、不等式的同解性
( 1)当a＞1时，a
f(x)
＞a
g(x)
与f(x)＞g(x)同解，当0 ＜a＜1时，a
f(x)
＞a
g(x)
与f(x)＜g(x)同解．
(2)当a?1时，log（x）与
?
?
f（x）?g（x）
a
f （x）?log
a
g
?
g（x）?0
同解.

?< br>f(x)＜g(x)
当0＜a＜1时，log与
?
a
f(x)＞log
a
g(x)
?
f(x)＞0同解．
?
?
g(x)＞0



第七章 直线和圆的方程
一、
解析几何中的基本公式
1、 两点间距离 ：若
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，则
AB?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
2
1
)

2、 平行线间距离: 若
l
?C
2
1
:Ax?By?C
1
?0,l
2
:Ax?By?C
2
?0
则
d?
C
1
A
2
?B
2

3、 点到直线的距离：若
P(x
?
,y
?
),l:Ax? By?C?0
， 则
d?
Ax
?
?By
?
?C< br>A
2
?B
2

4、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：
?
?
y?kx?m
2
?
F(x,y)?0
消y：
ax?bx?c?0
，注意
??0.

若A
(x1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
则：
AB?(1?k
2
)(x
2
?x
1
)
2< br>?
?
1?k
2
?
?
x?x
?
2?
?
12
?4x
1
x
2
?
?

5、 若直线l
1
的斜率为k
1
，直线l
2
的斜率 为k
2
，k
1
，k
2
都存在且k
1
k2
?
－1
则l
1
到l
2
的角为
?, ??(0,?)
，
tan??
k
2
?k
1
1?k< br>
1
k
2
若l
1
与l
2
的夹角为< br>?
，则
tan??
k
1
?k
2
1?k
，
??(0,
?
]

1
k
2
2
注意：（1）l时，夹角、到角=
?
1
?
l
2
2
。
（2）当l
1
与l
2
中有一条斜率不存在时，画图求到角或夹角。
6、直线的倾斜角的取值范围：
?
?
?
0,
?
)
；
① 每一条直线都有倾斜角
?
，但不一定有斜率。
（斜率k=tanα，
?
?90?
时，无斜率）
② 若直线存在斜率k，而倾斜角为
?
，则k=tan
?
。(如图)



12

二． 线方程的五种形式
①斜截式：y=kx+b 斜率不存在的直线不能用斜截式表示
②点斜式：
y?y
?
?k(x?x
?
)
斜率存在时为
y?y
?
?k(x?x
?
)

③两点式：
y?y
1
yy
?
x?x
1
（x
1
≠x
2
）
2
?
1
x
2
?x
1
④截距式：
x
a
?
y
b
?1
其中l交x轴于
(a ,0)
，交y轴于
(0,b)
,a
≠0,b≠0,
当直线l坐标轴上的截距相等时应分：(1)截距=
a?0
设
x
a
?
y
a
?1
即x+y=
a

（2）截距=0 设y=kx
⑤一般式：
Ax?By?C?0
（其中A、B不同时为零）

三、简单的线性规划 线性规划问题一般用图解法.

四、.圆的方程 （1）标准方程：
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
，
(a,b)??圆心，r??半径
。
（2）一般方程：
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
，（
D
2
?E
2< br>?4F?0)

(?
D
,?
E
)??圆心,

r?
D
2
?E
2
?4F
22
2

(3)参数方程 ①以(a，b)为圆心，以r为半径的圆的参数方程为
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
?

?
?
x?a?rcos
?
②
?
x?rco s
?
?
y?b?rsin
?
x
2
?y
2< br>?r
2
?
?
?
y?rsin
?
(
?
为参数）
2、直线
Ax?By?C?0
与圆
(x?a)
2< br>?(y?b)
2
?r
2
的位置关系有三种：
d?r?相离? ??0
；
d?r?相切???0
；
d?r?相交???0

3.
圆
x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
与圆
x
2
?y
2
?D
2
x?E
2
y?F
2
?0
的公共弦所 在
直线方程
(D
1
?D
2
)x?(E
1
?E
2
)?(F
1
?F
2
)?0






13

第八章 圆锥曲线定义、标准方程及性质
一、椭圆
1.定义Ⅰ：若F
1
，F
2
是两定点，P为动点，且
PF
1
?PF
2< br>?2a?F
1
F
2
（
a
为常数）则P点的轨迹是椭圆。
定义Ⅱ：若F
1
为定点，l为 定直线，动点P到F
1
的距离与到定直线l的距离之比为常数e（0迹是椭圆。
x
2
y
2
2.标准方程：
a
2
?
b
2
?1

(a?b?0)

长轴长=
2a
，短轴长=2b 焦距：2c
x??
a
2
准线方程：
c
焦半径：
设 P(x
?e(x
a
2
1
,y
1
)，
PF< br>11
?
c
?a?ex
a
2
)
1
，< br>PF
2
?e(
c
?x
1
)?a?ex
1 （ 左加右减）
注意：（1）通径为
2b
2
?
x?acos?
a
（2）椭圆上的点可设为
?
y?bsin?
；
?
（3）请自己补充当焦点在y轴上时，其相应的性质。

二、双曲线 < br>(1)Ⅰ.若F
1
，F
2
是两定点，
PF
1
?PF
2
?2a?F
1
F
2
（
a
为常数） ，则动点P的轨迹是双曲线。
Ⅱ.若动点P到定点F与定直线l的距离之比是常数e（e>1），则动点P的轨迹是双曲线。
（2）若双曲线方程为
x
2
y
2
x
2
y
2
b
a
2
?
b
2
?1
?
渐近线方 程：
a
2
?
b
2
?0?
y??
a
x


若渐近线方程为
y??
b
xy
x
2
y
2
a
x
?
a
?
b
?0
?
双曲线可设为
a
2
?
b
2
??

若双曲线与
x
2
y
2
x
2
y
2

a
2
?
b
2
?1
有公共渐近线，可设为
a
2
?
b
2
??

（
??0
，焦点在x轴上，
??0
，焦点在y轴上）
（3 ）特别地当
a?b时?
离心率
e?2
?
两渐近线互相垂直，分别为y =
?x
，
此时双曲线为等轴双曲线，可设为
x
2
?y2
??
；

三、抛物线
1.定义：到定点F的距离与到定直线l的距离之比是常数e（e=1）。
2.性质：
y
2
?2px,(p?0),p??焦参数
（焦点到准线的距离）；
14

焦点：
(
p
2
,0)
，
通径
AB?2p
； 准线：
x??
p
2
；


焦 半径：
CF?x
ppp
?
?
2
,
过焦点弦长
CD?x
1
?
2
?x
2
?
2
?x
1
?x
2
?p

3.焦点弦长公式：
设过抛物线y< br>2
=2px（p＞O）的焦点F的弦为AB，A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），
直线AB的倾斜角为α，则有①|AB|=x
1
+x
2
+p
2
③抛物线
y
2
?2px
上的动点可设为P
(
y
?
2
2p
,y
?
)
或
P(2pt,2pt )

四
、
曲线和方程
1．交点：求两曲线的交点，就是解这两条曲线方程组成的方程组．
2．过两曲线f
1
(x，y)=0和f
2
(x，y)=0的交点的曲线系方程是f
1
(x，y)＋λf
2
(x，y)=0(λ∈R)．

第九章 直线、平面、简单几何体
一、知识结构
二、经纬度及球面距离：
⑴根据经线和纬线的意义可知，某地的经度是一个二面角的度数，
某地的纬度是一个线面角的度数。
⑵求球面上两点A、B间的距离求法：①计算线段AB的长，
15

②计算球心角∠AOB的弧度数；③用弧长公式计算劣弧AB的长；

三、三角形的心1、内心：内切圆的圆心，角平分线的交点
2、外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点3、重心：中线的交点4、垂心：高的交点

四、其他结论：
1、 三余弦公式：（如图）其中
?
为斜线与平面内直线所成的角,
?
为线面角,（竖直平面内）
?
为射影与平面内直线所成的角，
（水平平面内） 有
cos
?
?cos
?
?cos
?
。
2 、正（长）方体的外接球的直径等于其体对角线长；即：
2R?a
2
?b
2< br>?c
2


五、高考立体几何解答题空间向量解法
1．建立 空间直角坐标系（1分）：
x
轴是横轴（对应为横坐标），
y
轴是纵轴（对应 为纵坐标），
z
轴是竖轴（对
应为竖坐标）.（解题时先找出三条两两垂直的直线）
例如：点A的坐标为(
x
1
,y
1
,z
1
),
点B的坐标为(x
2
,y
2
,z
2
)
，（1分）则
uuur
AB?(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
,z
2
?z
1
)
， （终点坐标减去起点坐标）
线段AB的中点坐标（
y?y
2
z?z
2
x
1
?x
2
，
1
，
1
） 22
2
rrrr
2．令
a?(a
1
,a
2,a
3
)
,
b?(b
1
,b
2
,b< br>3
)
，则
a?b?a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
，
r
rr
a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
a?b
r
r
?
夹角公式
c os?a,b??
r

222222
|a|?|b|
a
1< br>?a
2
?a
3
?b
1
?b
2
?b< br>3
3．求法向量的常用方法：
uuuruuur
①例如：求平面AEF的法向 量，若求出
AE?(1,0,1)
，
AF?(0,2,?1)

r
则设
n?(x,y,z)
是平面AEF的一个法向量，
ruuu r
?
?
x?z?0
?
n?AE?0
由
?
r uuu
（1分） 得
?
令
y?1
，则
z?2,x??2

r
2y?z?0
?
?
?
n?AF?0
r
?n?(?2,1,2)

②若所求平面由两个坐标轴确定，则选第三个坐标轴的一个向量作为法向量。

16

4.几个常用的公式：
|AB?n|
r
①点B到平面
?
的距离公式为
d?
.（1分）(
A?
的一个法向量)
|n|
?
,n
是平面
?
②.直线
AB
与平面
?
所成角，先设直线
AB
与平面
?
所 成角为
?
，
uuurr
u
则
sin
?
?
AB
|
u
AB
uur
?n
||
r
n|
（1分）(
r
n
为平面
?
的法向量).再求出?
=
?arcsin
|
u
AB
uur
ABuur
?
r
n
||
r
n|
。
③.求 二面角的大小：设
u
m
r
，
r
n
为平面
?
，
?
的法向量
先求
cos?
u
m
r,
r
u
n??
|
u
m
r
m
r
?
r
n
u
|?|
r
n|
，（1分）就得二 面角的大小为
arc
cos
|
u
m
rr
m
r
?n
||
r
n|

（其中要证面面垂直，则证
u
m
r
?
r
n?0
）
④．异面直线所成的角
例如：求异面直线AB和CD所成的角。
uuuruuu

cos?
u
AB
uur
,
u
CD
uur
??
AB
r
|
u
AB
uur
?CD
|?|
u
CD
uur
|
，（1分）（其中要证线线垂直，则证
u
AB
uur
?
u
CD
uur
?0
）
⑤．证直线AB 与平面CDE垂直，则证
u
AB
uur
?
u
CD
u ur
?0,
u
AB
uur
?
u
CE
uur
?0
（1分）
⑥．证直线AB与直线CD平行，则证
u
AB
uur
?
?
u
CD
uur
，（1分）（
?
为常数）
⑦．证直线AB与平面
?
平行，则证
u
AB
u ur
?
r
n?0
，（1分）(
r
n
为平面
?
的法向量)。
⑧．证平面
?
与平面
?
平行，先设
u
m
r
，
r
n
分别为平面
?
，
?
的法向量，
则证
u
m
r
与
r
n
平行，即证
u
m
r
?
?
r
n
。（1分） （
?
为常数）









17
（夹角是锐角还是钝角由图象可知）

第十章 排列组合、二项式定理
1.分类计数原理（加法原理）
N?m
1
?m
2
?L?m
n
.（加法分类，类类独 立
）

分步计数原理（乘法原理）
N?m
1
?m
2
?L?m
n
.（乘法分步，步步相关
）
2、排列数公式是：
A
m
n
=
n(n?1)?(n?m?1)
=
n！
(n?m)！
；
3、 组合数公式是：
C
m
n(n?1)?(n? m?1)
n！
n
=
1?2???m
=
m！?(n?m)！< br>；
组合数性质：
C
mn?m
n
=
C
n

C
m
+
C
m?1m
n
n
=
C
n? 1

n
组合恒等式（1）
?
C
r
=
2n
;（2）
C
r
?C
rrrr?1
n
rr?1
?C
r?2
???C
n
?C
n?1

r?0
4、排列组合应用问题的处理方法：
(1)要分清是先分步还是先分类，(2) 混合应用题要注意先组合再排列.
(3)解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合．
(4)解排列 组合问题的规律是：①相邻问题捆绑法；②不邻问题插空法；③多排问题单排法；
④定位问题优先法；⑤ 定序问题倍缩法；⑥多元问题分类法；⑦选取问题先选后排法；
⑧至多至少问题间接法．⑨分配名额隔板法
注意：要区别平均分组与不平均分组的处理方法。
6、二项式定理
(a?b)
n
?C
0n1
a
n?1
b?C
2n?22rn?rrnn
n
a?C
nn
ab??? C
n
ab???C
n
b

（1）二项展开式的通项：< br>T
rn?rr
r?1
?C
n
ab(r?0,1,2,..., n);

（2）
C
012
??C
nn0213
?2
n?1
n
?C
n
?C
n
???
n
?2;C
n
?C
n
?????C
n
?C
n
????;

（3）F(x)=(ax+b)
n
展开式的各项系数和为f(1 );奇数项系数和为
1
2
[f(1)?f(?1)]
；
偶数项的系数和为
1
2
[f(1)?f(?1)]
；（赋值法）





18

第十一章 概率统计
（
理 科
）
一、概率：1.①等可能事件的概率：P(A)=
m
理解这里m、ｎ的意义。
n
②互斥事件（A、B互斥，即事件A、B不可能同时发生，P(A+B)=P（A）+ P(B)
③对立事件：即事件A、B不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生。P（A）+ P(B)＝１
④相互独立事件：（事件A、B的发生相互独立，互不影响）P(A?B)＝P(A) ? P(B)
⑤独立重复事件 如果在1次实验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复 实验中这个事件发生k次的概率
P
n
=C
n
p(1－p)
2.三种抽样：（1）简单随机抽样：常用抽签法和随机数表法。 （2）分层抽样；（3）系统抽样：
3．频率分布直方图：画图时，应以横轴表示 总体 ，纵轴表示 频率与组距的比值，以每个组距 为底，以各频率除
以组距的商为高分别画成矩形，这样得到的直方图就是频率分布直方图．图中每个矩形 的面积等于相应组的频率 。
二、随机变量.
1、分布列、数学期望与方差.
（1） 数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
(K)kkk
?

P
x
1

p
1

x
2

p
2

…
…
x
i

p
i

…
…
性质①
p
1
?0,i?1,2,?
； ②
p
1
?p
2
???p
i
???1
则称
E
?
?x
1
p
1
?x
2
p
2
???x
n
p
n
??
为ξ的数学期望
方差、标准差：
D
?
?
(x
1
?
E
?< br>)
2
p
1
?
(x
2
?
E
?
)
2
p
2
???
(x
n
?
E?
)
2
p
n
??
为ξ的方差. 显然
D
?
?0
，
故
??
?D
?
.
??
为ξ的根方差或标准差.
D
?
越小，稳定性越高，波动越小.
．．．．．．．．．．．．．．
（2）①随机变量
?
?a
?
?b
的数学期望：
E
?
?E(a
?
?b)?aE
?
?b

方差
D(
?
)?D(a
?
?b )?a
2
D
?
.
②二项分布： 分布列为
?
～< br>B(n,p)
.（P为发生
?
的概率）
E
?
?np< br>，
D
?
?npq

③几何分布：分布列为
?
～
q(k,p)
.（P为发生
?
的概率）
E
?
?< br>q
1
，
D
?
?
2

p
p< br>1
2
?
e
?
x
2
2
三、正态分布< br>：
1、 ⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为
?
(x)?(???x ???)
，则称ξ服从标准正
态分布. 即
?
～
N(0,1)
有
?
(x)?P(
?
?x)
，
?
(x)?1?< br>?
(?x)
求出，而P（a＜
ξ
≤b）的计算则是
P(a?< br>?
?b)?
?
(b)?
?
(a)
.

注意：当标准正态分布的
?(x)
的X取0时，有
?(x)?0.5

⑵正态分布与标准正态分布间的关系：
若
?
～
N(
?,
?
2
)
则有
P(ξ?x)?F(x)?
?
(
x
?
μ
)
.
σ
▲
y
S
x
a
标准正态分布曲线
P(a?
?
?b)?
?
(
b?
?
?
)?
?
(
a?
?
?)



S
阴
=0.5
Sa=0.5+S
19

第十二章 极 限（理 科）
一、数学归纳法
证明一个与正整数
n
有关的命题，可按下列步骤：
1．(归纳奠基)证明当
n
取 第一个值
n
0
时命题成立；
2．(归纳递推)假设n＝k(k≥
n
0
，k∈N*)时命题成立，证明当< br>n?k?1
时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从
n
0
开始的所有正整数n都成立．
二、数列极限 （1）如果lima
n
＝A，limb
n
＝B，C为常数，那么：①lim (a
n
±b
n
)＝
A?B
；
n→∞n→∞n→∞
a
n
A
②lim (a
n
·b
n
)＝
A?B
； ③lim ＝(B≠0)； ④lim (C·a
n
)＝
C?A
。
n→∞n→∞
b
n
n→∞
B
（2）常用的几个极限 ①若C为常数，则
n
limC＝ C ；
→∞
C
②若C为常数，则
n
lim ＝ 0 ； ③若|a|＜1，则
n
lima
n
＝ 0 ；
→∞
n→∞
④如果等比数列{a
n
}的首项为a
1
，公比满足|q|＜ 1且q≠0，S
n
为其前n项和，则limS
n
＝
n
→∞< br>二、函数极限 ：
1.当x0
且x→x
0
时，f(x) →a，记作limf(x)＝a，称a为f(x)在x
0
点处的左极限；
x→x0
2．当x>x
0
且x→x
0
时，f(x)→a，记作limf (x)＝a，称a为f(x)在x
0
点处的右极限．
x→x
0
3．当且仅当 左极限=右极限=
a
时，limf(x)＝a.
x→x
0
0
4．对于“”型的极限，一般对分子 、分母进行因式分解（若含根号，则需进行分母或分子有理化），找出公共的零
0
因子并约去， 使化简后的式子的分母的极限存在且不为零，从而求出极限值.
三、函数的连续性 （①有定义，②极限存在，③极限值=函数值）
函数f(x)在点x＝x
0
处连续， 如果函数y＝f(x)在点x＝x
0
处及其附近有定义，
且limf(x)＝
f(x
0
)
，就说f(x)在点x
0
处连续．
x→x
0
a
1
.
1?q






20

第十三章 导 数（理 科）
一、导数的背景：①瞬时速度; ②切线斜率。
二、导数的定义
1.y=f(x)在点x
0
处的导数记作
y
?
x?x< br>0
?f
?
(x
0
)?lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
；
?x
2.导数的几何意义：曲线y＝f（x） 在点P（x
0
,f(x
0
)）处的切线的斜率是
f
?
(x
0
).
相应地 ，切线方程是
y?y
0
?f
?
(x
0
)(x?x< br>0
);

3.常见函数的导数公式：①
C
?
?0(C 为常数)
；②
(x)
?
?nx(n?Q);

1
③
(sinx)
，
?cosx
；④
(cosx)
，
? ?sinx
；⑤
(e
x
)
，
?e
x
；⑥< br>(lnx)
，
?

x
1
⑦
(a
x< br>)
，
?a
x
lna
，⑧
(log
a
x)
，
?

xlna
4.导数的运算法则： ①
(f (x)?g(x))
，
?f
'
(x)?g
'
(x)

nn-1
f(x)
，
f
'
(x)g(x)?f(x)g'
(x)
②
(f(x)?g(x))?f(x)g(x)?f(x)g(x)；③
(

)?
2
g(x)
?
g(x)
?
，
''
5复合函数的导数：（注意继续对子函数进行求导）
6.导数的应用：（1）求函数的单调区间： 令
f
?
(x)?0
，或
f
?
(x)?0
，
（2）求可导函数极值的步骤：①求导数
f
?
(x)
；②求方程f
?
(x)?0
的根；③检验
f
?
(x)
在方 程
f
?
(x)?0
根
的左右的符号，如果左正右负，那么函数y=f (x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数y=f(x)在这个根
处取得极小值；
（3）求可导函数最大值与最小值的步骤：①求y=f(x)在[a,b]内的极值；②将y=f(x)在各极 值点的极值与f（a）、f
（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值。


第十四章 复 数（理 科）
① 复数的形式：
Z?a?b i(a,b?R),
共轭复数
Z?a?bi
；复数的模
Z?
② i
2
??
1,
i?i
2
?i
3
?i< br>4
?
0
③
(1?i)
2
?2i,(1?i)
2
??2i,

④复数的运算与多项式的运算（注意除法，分子、分母同乘以分母的共轭复数）



a
2
?b
2



21