高中数学知识点总结(精华版)

高中数学必修+选修知识点归纳

一、集合
新课标人教A版




















文档

1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总
体叫做集合。集合三要素 ：确定性、互异性、无
序性。
2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个
集合相等。
3、 常见集合：正整数集合：< br>N
*
或
N
?
，整数集合：
域.如果两个函数的定义域 相同，并且对应关系完
全一致，则称这两个函数相等.
§1.2.2、函数的表示法
1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.
§1.3.1、单调性与最大（小）值
1、注意函数单调性的证明方法：
(1)定 义法：设
x
1
、x
2
?[a,b],x
1
?x2
那么
Z
，有理数集合：
Q
，实数集合：
R
.
4、集合的表示方法：列举法、描述法.
§1.1.2、集合间的基本关系
1、 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任
意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是
集合B的子集。记作
A?B
.
2、 如果集合
A?B
，但存在元素
x?B
，且
x?A
，
则称集合A是集合B的真子集.记作：AB.
3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：
?
.并规定：
空集合是任何集合的子集.
4、 如果集合A中含有n个元素，则集合A有
2
个子
集，
2?1< br>个真子集.
§1.1.3、集合间的基本运算
1、 一般地，由所有属于集合A或集 合B的元素组成
的集合，称为集合A与B的并集.记作：
A?B
.
2、 一 般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素
组成的集合，称为A与B的交集.记作：
A?B< br>.
3、全集、补集？
C
U
A?{x|x?U,且x?U}

§1.2.1、函数的概念
1、 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应
关系
f
，使对于集合A中的任意一个数
x
，在集
合B中都有惟一确定 的数
f
?
x
?
和它对应，那么就
称
f:A?B为集合A到集合B的一个函数，记
作：
y?f
?
x
?
, x?A
.
2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值
文档
f(x
1
)?f(x
2
)?0?f(x)在[a,b]
上是增函数； f(x
1
)?f(x
2
)?0?f(x)在[a,b]
上是减函 数.
步骤：取值—作差—变形—定号—判断
格式：解：设
x
1
, x
2
?
?
a,b
?
且
x
1
?x< br>2
，则：
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
=…
(2)导数法：设函数
y?f(x)
在某 个区间内可导，
若
f
?
(x)?0
，则
f(x)
为 增函数；
若
f
?
(x)?0
，则
f(x)
为减函数.
§1.3.2、奇偶性
1、 一般地，如果对于函数
f
?
x
?
的定义域内任意一个
x
，都有
f
?
?x
??f
?
x
?
，那么就称函数
f
?
x
?
为
偶函数.偶函数图象关于
y
轴对称.
n
2、 一般地， 如果对于函数
f
?
x
?
的定义域内任意一个
n
x< br>，都有
f
?
?x
?
??f
?
x
?< br>，那么就称函数
f
?
x
?
为
奇函数.奇函数图象关于 原点对称.
知识链接：函数与导数
1、函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数的几何意义： < br>函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数是曲线
y?f( x)
在
P(x
0
,f(x
0
))
处的切线的斜率< br>f
?
(x
0
)
，相应的切线方
程是
y?y< br>0
?f
?
(x
0
)(x?x
0
)
.




2、几种常见函数的导数
'
①
C
?0
；②
(x)?nx
'
n'n?1
；
'
③
(sinx)?cosx
； ④
(cosx)??sinx
；

⑤
(a)?alna
； ⑥
(e)?e
； ⑦
(log
a
x)?
'
x'xx'x
?
a?0 ,m,n?N
⑵
a
?n
*
,m?1
；
?
'
1
1
'
；⑧
(lnx)?

x
xlna
''
?
1
?
n?0
?
；
n
a
r?s
3、导数的运算法则
（1）
(u?v)?u?v
.
（2）
(uv)?uv?uv
.
'''
4、 运算性质：
⑴
aa?a
⑵
a
r
rs
?
a?0 ,r,s?Q
?
；
u
'
u
'
v?uv
'
(v?0)
. （3）
()?
2
vv
4、复合函数求导法则
复合函数
y? f(g(x))
的导数和函数
y?f(u),u?g(x)
的导数间的关系为
y
x
?
?y
u
?
?u
x
?
，即
y
对
x
的导数等于
y
对
u
的导数与
u
对
x
的导数的
乘积.
解题步骤:分层—层层求导—作积还原.
5、函数的极值
(1)极值定义：
极值是在
x
0
附近所有的点，都有
f(x)
＜
f( x
0
)
，
则
f(x
0
)
是函数
f (x)
的极大值；
极值是在
x
0
附近所有的点，都有f(x)
＞
f(x
0
)
，
则
f(x
0
)
是函数
f(x)
的极小值.
(2)判别方法：
①如果 在
x
0
附近的左侧
f
'
(x)
＞0，右侧
f
'
(x)
＜0，
那么
f(x
0
)
是极大 值；
②如果在
x
0
附近的左侧
f
'
(x)
＜0，右侧
f
'
(x)
＞0，
那么
f(x
0)
是极小值.
6、求函数的最值
(1)求
y?f(x)
在
(a,b)
内的极值（极大或者极小值）
??
s
?a
rs
?
a?0,r,s?Q
?
； rr
⑶
?
ab
?
?ab
?
a?0,b?0,r ?Q
?
.
r
§2.1.2、指数函数及其性质
1、记住图象：
y?a
?
a?0,a?1
?

x




2、性质：
§2.2.1、对数与对数运算
x
1、指数与对数互化式：
a?N?x?log
a
N
；
2、对数恒等式：
a


log
a
N
?N
.
a?1

0?a?1

图
象
1
-4-2
1
0
-1

-4-2
0
-1

(1)定义域：R
(2)将
y?f(x)
的各极值点与
f(a),f(b)
比较，其中
最大的一个为最大 值，最小的一个为极小值。
§2.1.1、指数与指数幂的运算
1、 一般地，如果
x?a
，那么
x
叫做
a
的
n
次方根。
其中
n?1,n?N
?
.
2、 当
n
为奇数时，
n
a?a
；
当
n
为偶数时，
a?a
.
3、 我们规定：
⑴
a
n
m
性
（2）值域：（0，+∞）
质
（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1
（4）在 R上是增函数 （4）在R上是减函数
(5)
x?0,a?1
;
x?0,0?a?1

x
x
(5)
x?0,0?a?1
;
x?0,a?1

x
x
n
3、基本性质：
log< br>a
1?0
，
log
a
a?1
.

n
4、运算性质：当
a?0,a?1,M?0,N?0
时：
⑴log
a
?
MN
?
?log
a
M?loga
N
；
⑵
log
a
?
n
n
?
m
a
n

0y
y=a
x
a>1
1
o
x
文档
?
M
?
N
?
?
?log
a
M?log
a
N
；
?

n
⑶
log
a
M?nlog< br>a
M
. 1、方程
f
?
x
?
?0
有实根

?
函数
y?f
?
x
?
的图象与
x
轴有交点

?
函数
y?f
?
x
?
有零点.
2、 零点存在性定理：
如果函数
y?f
?
x
?
在区间
?
a,b
?
上的图象是连续不断
的一条曲线，并且有
f
?
a
?
?f
?
b
?
?0
，那 么函数
5、换底公式：
log
a
b?
log
c
b< br>
log
c
a
m
log
a
b

n
?
a?0,a?1,c?0,c?1,b?0
?
.
6、 重要公式：
log
a
n
b?
7、倒数关系：
log
a
b?
m
1
?
a?0,a?1,b?0,b?1
?
.
log
b
a
§2..2.2、对数函数及其性质


1、记住图象：
y?log
a
x
?
a?0,a?1
?

y
y?f
?
x
?
在区间
?
a ,b
?
内有零点，即存在
c?
?
a,b
?
，
使得
f
?
c
?
?0
，这个
c
也就是方程
f
?
x
?
?0
的根.
第一章：空间几何体
1、空间几何体的结构
⑴
常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：< br>圆柱、圆锥、圆台、球。

⑵棱柱：
有两个面互相平行，其余各面都是四边形， 并且
每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围
成的多面体叫做棱柱。






2、性质：


图
-1
2.5
1.5
y=log
a
x
0o
1
a>1
x
a?1

2.5
1.5
0?a?1

1
0.5
⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与
截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。

2、空间几何体的三视图和直观图
把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫
1
0
0.5
象 < br>-0.5
1
-1
0
-0.5
1
-1
-1-1.5
-1.5
-2
-2.5

-2
-2.5

平行投影，平行投影的投影线是平行的。

(1)定义域：（0，+∞）
性
（2）值域：R
3、空间几何体的表面积与体积
，即x=1时，y=0
质
（3）过定点（1，0）
（4）在 （0，+∞）上是增函数 （4）在（0，+∞）上是减函数
(5)
x?1,log
a
x?0
； (5)
x?1,log
a
x?0
；
0?x?1,log
a
x?0

0?x?1,log
a
x?0

§2.3、幂函数
1、几种幂函数的图象：

⑴圆柱侧面积；
S
侧面
?2
?
?r?l



⑵圆锥侧面积：
S
侧面
?
?
?r?l

⑶圆台侧面积：
S
侧面
?
?
?r?l?
?
?R?l

⑷体积公式：

§3.1.1、方程的根与函数的零点
文档
V
柱体
?S?h
；
V
锥体
?
1S?h
；
3

V
台体
?
1< br>S
上
?S
上
?S
下
?S
下
h

3
??
2、直线方程：
⑴点斜式：
y?y
0
?k
?
x?x
0
?

⑵斜截式：
y?kx?b

⑸球的表面积和体积：
4
S< br>球
?4
?
R
2
，V
球
?
?
R
3
.
3
第二章：点、直线、平面之间的位置关系
1、公理1：
如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条
直线在此平面内。
⑶两点式：
y?y
1
y
2
?y
1
?
< br>x?x
1
x
2
?x
1
2、公理2：
过不在一 条直线上的三点，有且只有一个平面。
3、公理3：
如果两个不重合的平面有一个公共点，那 么它
们有且只有一条过该点的公共直线。
⑷截距式：
xy
??1

ab
4、公理4：
平行于同一条直线的两条直线平行.
5、定理：
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这
两个角相等或互补。
⑸一般式：
Ax?By?C?0

3、对于直线：
6、线线位置关系：
平行、相交、异面。
7、线面位置关系：
直线在平面内、直线和平面平行、直
线和平面相交。
l
1
:y?k
1
x?b
1
,
l
2
: y?k
2
x?b
2
⑴
l
1
l
2
?
?
有：
8、面面位置关系：
平行、相交。
9、线面平行： ⑴判定：
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则
该直线与此平面平行（简称线线平 行，则线面平行）。

⑵性质：
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一
平面与此平面的交线与该直线平行（简称线面平行，则
线线平行）。
?
k
1
?k
2
；
b?b
2
?< br>1
⑵
l
1
和
l
2
相交
?k
1
?k
2
；
⑶
l
1
和
l
2重合
?
?
?
k
1
?k
2
；
?
b
1
?b
2
10、面面平行：
⑴判定：
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，
则这两个平面平行（简称线面平行，则面面平行）。
⑷
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1
.
4、对于直线：
⑵性质：
如果两个平行平面同时和第三个平面 相交，那么
它们的交线平行（简称面面平行，则线线平行）。
l
1
:A1
x?B
1
y?C
1
?0,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
⑴
l
1
l
2
?
?
有：
11、线面垂直：
⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，
那么就说这条直线和这个平面垂直。
< br>⑵判定：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直（简称线 线垂直，则线面垂直）。
?
A
1
B
2
?A
2B
1
；
BC?BC
21
?
12
⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。
12、面面垂直：
⑴定义：
两个平面相交 ，如果它们所成的二面角是直二面
角，就说这两个平面互相垂直。
⑵
l
1< br>和
l
2
相交
?A
1
B
2
?A
2
B
1
；
⑶
l
1
和
l
2重合
?
?
?
A
1
B
2
?A
2
B
1
；
?
B
1
C
2
?B
2
C
1
⑵判定：
一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个
平 面垂直（简称线面垂直，则面面垂直）。
⑷
l
1
?l
2
? A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
.

5、两点间距离公式：
⑶性质：
两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于 交线的
直线垂直于另一个平面。（简称面面垂直，则线面垂直）。

直线与方程 < br>P
1
P
2
?
?
x
2
?x
1
?
2
?
?
y
2
?y
1
?
2

y?y
1
1、倾斜角与斜率：
k?tan
?
?
2

x
2
?x
1
文档
6、点到直线距离公式：

d?
Ax
0
?By
0
?C
A?B
22

7、两平行线间的距离公式：
l
1
：
Ax?By ?C
1
?0
与
l
2
：
Ax?By?C
2< br>?0
平行，
则
d?
C
1
?C
2
A? B
22
1、抽样方法：
①简单随机抽样（总体个数较少）
②系统抽样（总体个数较多）
③分层抽样（总体中差异明显）
注意：在N个个体的 总体中抽取出n个个体组成样本，
n
每个个体被抽到的机会（概率）均为。
N
2、总体分布的估计：
⑴一表二图：
①频率分布表——数据详实
②频率分布直方图——分布直观
③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势
注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。
⑵茎叶图：
①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据
的分布，以及中位数、众位数等。
②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大
书写，相同的数据重复写。
3、总体特征数的估计：
x?x?x???x
n
⑴平均数：
x?
123
；
n
取值为
x
1
,x
2
,?,x
n
的频率分 别为
p
1
,p
2
,?,p
n
，则其
平均数 为
x
1
p
1
?x
2
p
2
???x
n
p
n
；
注意：频率分布表计算平均数要取组中值。
⑵ 方差与标准差：一组样本数据
x
1
,x
2
,?,x
n

1
方差：
s
2
?
n






第四章：圆与方程
1、圆的方程：
⑴标准方程：
?
x?a
?
?
?
y?b
?
?r
2

22
其中圆心为
(a,b)
，半径为
r
.
⑵一般方程：
x?y?Dx?Ey?F?0
.
其中圆心为
(?
22
D
22
2、直线与圆的位置关系 ,?
E
)
，半径为
r?
1
2
D
2?E
2
?4F
.
直线
Ax?By?C?0
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关系有三种:
222
?
(x
i?1
n
2
i
?x)
；
d?r?相离???0
;
d?r?相切???0
;
d?r?相交???0
.
弦长公式：
l?2r
2
?d
2

标准差：
s?
1
n
?
(x
i?1
n
2
i
? x)

?1?k
2
(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2

3、两圆位置关系：
d?O
1
O
2

⑴外离：
d?R?r
；
⑵外切：
d?R?r
；
⑶相交：
R?r?d?R?r
；
⑷内切：
d?R?r
；
⑸内含：
d?R?r
.
3、空间中两点间距离公式：
注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。
平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的
稳定水平。
⑶线性回归方程
①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；
②制作散点图，判断线性相关关系
③线性回归方程：
y?bx?a
（最小二乘法）
n
?
x< br>i
y
i
?nxy
?
?
i?1
?
?< br>b?
n
2
注意：线性回归直线经过定
(x,y)
。
2
?
x?nx
?
i
?
i?1
?
?
?
a?y?bx
?
P
1
P
2
?
统计 ?
x
2
?x
1
?
2
?
?
y< br>2
?y
1
?
2
?
?
z
2
? z
1
?
2

文档
第三章：概率
1、随机事件及其概率：

随机事件A的概率：
P(A)?
m
,0?P(A)?1
.
n
1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度
的角.
2、
?
?
2、古典概型：
⑴特点：
①所有的基本事件只有有限个；
②每个基本事件都是等可能发生。
⑶古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事
件共有n个，事件A包含了其中的m个基本事件，则
事件A发生的概率
P(A)?
m
.
n
l
.
r
3、弧长公式：
l?
n< br>?
R
?
?
R
.
180


3、几何概型：
⑴几何概型的特点：
①所有的基本事件是无限个；
②每个基本事件都是等可能发生。
⑵几何概型概率计算公式：
P(A)?
d的测度
；
D的测度
n
?
R
2
1
?lR
. 4、扇形面积公式：
S?
3602
§1.2.1、任意角的三角函数
1、 设
?
是一个任意角，它的终边与单位圆交于点
P
?
x,y
?
，那么：
sin
?
?y,cos
?
?x,tan
?
?
2、 设点
A
?
x,y
y

x
那么：（设
?
为角
?
终边上任意一点，
其中测度根据题目确定，一般 为线段、角度、面积、
体积等。
4、互斥事件：
⑴不可能同时发生的两个事件称为互斥事件；
⑵如果事件
A
1
,A
2
,?,A
n
任意两个都是互斥事件，则称
事件
A
1
,A
2
,?,A
n
彼此互斥。
⑶如果事件A，B互斥，那么事件A+B发生的概率，
等于事件A，B发生的概率的和，
即：
P(A?B)?P(A)?P(B)

⑷如果事件
A
1
,A
2
,?,A
n
彼此互斥，则有：
P(A
1< br>?A
2
???A
n
)?P(A
1
)?P(A
2
)???P(A
n
)

⑸对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称
这两个事件为对立事件。
①事件
A
的对立事件记作
A

P(A)?P(A)?1,P(A)?1?P(A)

r?x
2
?y
2
）

sin
?
?
x
yxy
cot
?
?

cos
?
?
，
tan
?
?
，，
y
rrx
3、
sin
?
，
cos
?
，< br>tan
?
在四个象限的符号和三角
函数线的画法.
y
T

P
§1.2.2、同角三角函数的
基本关系式
O
M
A
x
1、 平方关系：
sin
2
?< br>?cos
2
?
?1
.
2、 商数关系：
tan
?
?
sin
?
.
cos
?
②对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事
件。
3、 倒数关系：
tan
?
cot
?
?1

§1.3、三角函数的诱导公式
（概括为
“奇变偶不变，符号看象限”
k?Z
）
1、 诱导公式一：
必修4数学
知识点

第一章：三角函数
§1.1.1、任意角
1、 正角、负角、零角、象限角的概念.
2、 与角
?
终边相同的角的集合：

sin
?
?
?2k
?
?
?sin
?
,
cos
?
??2k
?
?
?cos
?
,
（其中：
k?Z）
tan
?
?
?2k
?
?
?tan
?
.
2、 诱导公式二：
?
??
?
?
?2k?
,k?Z
?
.

§1.1.2、弧度制
文档

sin
?
?
?
?
?
??sin
?
,

cos
?
?
?< br>?
?
??cos
?
,

tan
?
?
?
?
?
?tan
?
.


3、诱导公式三：

?
?
?
sin
??
?
?
?cos
?
,
?
2
?
?
?
?
cos
?
?
?
?
??sin
?
.
?
2
?

sin
?
?
?
?
??sin
?
,

cos
?
?
?
?
?cos
?
,

tan
?
?
?
?
??tan
?
.
4、诱导公式四：
sin
?
?
?
?
?
?sin< br>?
,

cos
?
?
?
?
?< br>??cos
?
,

tan
?
?
?
?
?
??tan
?
.


5、诱导公式五：
§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质
1、记住正弦、余弦函数图象：

y
y=sinx

?
3
?
-5
?
-
1

2
2
2
o
?
?-2
?
-3
?
-
?< br>2
?
5
?3
?

-4
?
-7
?
-3
?
-1
22
2
2

y

y=cosx
?
3
?
-5
?

1
-
-3
?-3
?
2
?
2
?
2
< br>-7
?
o
?
-2
?
-3
?
2
?5
?
-4
?
-1

22
2
2
7
?
2
4
?
x
7
?
2
4
?
x
2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定
义域、值域、最大最小值、 对称轴、对称中心、
奇偶性、单调性、周期性.
3、会用五点法作图.
?
?
?
sin
?
?
?
?
?cos
?
,
?
2
?

?
?
?
cos
?
?
?
?
?sin
?
.
?
2
?
6、诱导公式六：
y?sinx
在
x?[0,2
?
]
上的五个关键点为： < br>?
3
?
（0，0）（，，1）（，
?
，0）（，，-1）（， 2
?
，0）.

22

§1.4.3、正切函数的图象与性质

1、记住正切函数的图象：
-3
?
2
y
y=tanx
-
?
-
?2
o
?
2
?
3
?
2
x

3、正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.

周期函数定义：对于函数
f
?
x
?
，如果存在一个非零常数T，使得 当
x
取定义域内的每一个值时，都有
f
?
x?T
?
?f
?
x
?
，那么函数
f
?
x
?
就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质

y?sinx

文档
y?cosx


y?tanx

图象

定义域
值域
x?2k
?
?

R

[-1,1]
?
2
R

[-1,1]

{x|x?
?
2
?k
?
,k?Z}

R



无
,k?Z时，y
max
?1
最值
x?2k
?
?
?
2

,k?Z时，y
mi n
??1
x?2k
?
,k?Z时，y
max
?1
x ?2k
?
?
?
,k?Z时，y
min
??1

周期性
奇偶性
2
T?2
?

奇
在< br>[2k
?
?
?
,2k
?
?
?
]上单调递增
2
T?2
?

偶
在
[2k?
?
?
,2k
?
]
上单调递增
T?
?

奇
单调性
在
(k
?
?
?
,k
?
?
?
)
上单调递增
22
k?Z

在
[2k
?
?
?
, 2k
?
?
3
?
]
上单调递减
在
[2k< br>?
,2k
?
?
?
]
上单调递减
22
?
对称性
对称轴方程：
x?k
?
?

2
k?Z

对称中心
(k
?
,0)

对称轴方程：
x?k
?

对称中心
(k
?
?
无对称轴
对称中心
(
?
2
,0)

k
?
2
,0)

§1.5、函数
y?Asin?
?
x?
?
?
的图象
1、对于函数：
横坐标变为原来的
|
平移
|B|
个单位

（上加下减）
1
?
|
倍
y?Asin
?
?
x?
?
?
?B
?
A?0,
?
?0?
的周期
T?
2
?
y?Asin
?
?
x?
?
?
?B

?


② 先伸缩后平移：
2、能够讲出函数
y?sinx
的图象与
y?Asin< br>?
?
x?
?
?
?B
的图象之间的平移伸缩变
换关系.
① 先平移后伸缩：
y?sinx

横坐标不变
y?Asinx

纵坐标变为原来的A倍

纵坐标不变
y?Asin
?
x

y?sinx

平移
|
?
|
个单位

y?sin
?
x?
?
?

y?Asin
?
x?
?
?

y?Asin
?
?
x?
?
?

文档
横坐标变为原来的
|
平移
?
?
1
?
|
倍
（左加右减）
个单位

y?Asin
?
?
x?
?
?


横坐标不变

纵坐标变为原来的A倍
（左加右减）
平移
|B|
个单位

（上加下减）
y?Asin
?
?
x?
?
?
?B


纵坐标不变

3、三角函数的周期，对称轴和对称中心
函数
y?sin(
?
x?
?
)
，x∈R及函数
y?cos(
?
x?< br>?
)
，
x∈R(A,
?
,
?
为常数，且A≠ 0)的周期
T?
数
y?tan(
?
x?
?
)
，
x?k
?
?
常数，且A≠0)的周期
T?
2
?
；函
|
?
|
?
cos
2
?
?1
(1?cos2
?
)
?
2
降幂公式：
?
2
?
sin
?
?
1
(1?cos2
?
)
?2
3、
tan2
?
?
?
2
,k?Z
(A,ω,
?
为
?
.
|
?
|
2tan
?
.
2
1?tan?
4、
tan
?
?
对于
y?Asin(
?x?
?
)
和
y?Acos(
?
x?
?
)
来
说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.
求函数
y?Asi n(
?
x?
?
)
图像的对称轴与对称中心，
只需令
?
x?
?
?k
?
?
sin2
?
1?cos 2
?

?
1?cos2
?
sin2
?
§3 .2、简单的三角恒等变换
1、 注意正切化弦、平方降次.

2、辅助角公式
?
2
(k?Z)
与
?
x?
?
?k
?
(k?Z)

解出
x
即可.
4、由图像确定三角函数的解析式
利用图像特征：
A?
y?asinx?bcosx ?a
2
?b
2
sin(x?
?
)

（其 中辅助角
?
所在象限由点
(a,b)
的象限决
定,
tan< br>?
?
?
要根据周期来求,
?
要用图像的关键点来求.
第三章、三角恒等变换
§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1、< br>sin
?
?
?
?
?
?sin
?
co s
?
?cos
?
sin
?

2、
sin< br>?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?< br>?cos
?
sin
?

3、
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

4、
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?sin
?

5、
tan
?
?
?
??
?
y
max
?y
min
y?y
min
，
B?
max
.
22
b
).
a
第二章：平面向量
1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.






2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.






向量数乘运算及其几何意义
1、 规定：实数
?
与向量
a
的积是一个向量，这种运
ta n
?
?tan
?
1?tan
?
tan
?
.
tan
?
?tan
?
6、
tan
?
??
?
?
?
1?tan
?
tan
?
.
§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式
1、
sin2
?
?2sin
?
cos
?
，
变形：
sin
?
cos
?
?
1
.
2
sin2
?
2、
cos2
?
?cos
?
?sin
?

22
?2cos
2
?
?1

?1?2sin
2
?
.
变形如下：
2
?
?
1?cos2
?
?2cos
?
升幂公式：
?

2
?
?
1?cos2
?
? 2sin
?
算叫做向量的数乘.记作：
?
a
，它的长度和方向
规定如下：
⑴
?
a?
?
a
,
⑵当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相同；当
文档

?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相反.
2、 平面向量共线定理：向量
aa?0
与
b
共线，当
且仅当有唯一一个实数
?
，使
b?
?
a
.
平面向量基本定理：如果
e
1
,e
2
是同一平面内的两个不
共线向量，那么对于这一平面内任一向量
a
，
有且只有一对实数
?< br>1
,
?
2
，使
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
.
§2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表
1、
a?xi?yj?
?
x,y
?
.
§2.3.3、平面向量的坐标运算
1、 设
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2< br>?
，则：
⑴
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
，
⑵
a?b ?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2< br>?
，
⑶
?
a?
?
?
x
1
,
?
y
1
?
，
⑷
ab?x
1
y
2
?x
2
y
1
.
2、
A
?x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
, y
2
?
则：
AB?
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?
.
△ABC中：
1、设
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
,C
?
x
3
,y
3
?
，则
⑴线段AB中点坐标为
1、 设
a??
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
，则：
⑴
a?b?x
1
x< br>2
?y
1
y
2

⑵
a?
??
x
1
2
?y
1
2

rrrr
⑶
a?b?a?b?0?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0

rrrr
⑷
ab?a?
?
b?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0

2、 设
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x< br>2
,y
2
?
，则：
AB?
?
x
2
?x
1
?
2
?
?
y
2
?y
1
?
2
x
1
x
2
?y
1
y2
.
3、 两向量的夹角公式
rr
a?b

cos
?
?
rr
?
ab

x?y?x2
?y
2
2
1
2
1
22


必修5数学
知识点
第一章：解三角形
1、正弦定理：
abc
???2R
.
sinAsinBsinC
（其中
R
为
?ABC
外接圆的半径）
?a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC;

?
x
1
?x
2
2
y
2
，
,
y
1
?
2
?
?sinA?
abc
,s inB?,sinC?;

2R2R2R
?a:b:c?sinA:sinB:sinC.

⑵△ABC 的重心坐标为
?
x
1
?x
2
?x
3
3,
y
1
?y
3
2
?y
3
.
?
§2.4.1、平面向量数量积
1、
a?b?abcos
?
.
2、
a
在
b
方向上的投影为：
acos
?
.
3、
a?a
.
4、
a?
2
2
用途：⑴已知三角形两角和任一边，求其它元素；
⑵已知三角形两边和其中一边的对角，求其它
元素。

2、余弦定理：
?
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA,
?
222
?
b?a?c?2accosB,

?
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC.
?
a
.
2
5、
a?b?a?b?0
.
§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
文档

?
b
2
?c
2
?a
2
,
?
co sA?
2bc
?
a
2
?c
2
?b
2
?
,

?
cosB?
2ac
?
?
a2
?b
2
?c
2
.
?
cosC?
2a b
?
用途：⑴已知三角形两边及其夹角，求其它元素；
⑵已知三角形三边，求其它元素。
做题中两个定理经常结合使用
.
3、三角形面积公式：
S
n
?na
1
?
n
?
n?1
?
n
?
a
1
?a
n
?
d?

22
⑸常用性质：
①若
m?n?p?q??
?
m,n,p,q?N
?
?
，则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；
②下标为等差数列的项
?< br>a
k
,a
k?m
,a
k?2m
,?
?
，仍组成
等差数列；
③数列
?
?
a
n
?b?
（
?
,b
为常数）仍为等差数列；
④若
{a
n
}
、
{b
n
}
是等差数列，则
{ka
n
}
、
{ka
n
?pb
n
}

(
k
、
p
是非零常数)、
{a
p?nq
}(p,q? N)
、，…也成等
差数列。
⑤单调性：
?
a
n
?
的公差为
d
，则：
ⅰ）
d?0?
?
a
n
?
为递增数列；
ⅱ）
d?0?
?
a
n
?
为递减数列；
ⅲ）
d?0?
?
a
n
?
为常数列；
⑥数 列{
a
n
}为等差数列
?a
n
?pn?q
（p,q 是常数）
⑦若等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
，则
S
k
、
S
2k
?S
k
、
*
S
?ABC
?
111
absinC ?bcsinA?acsinB

222
4、三角形内角和定理：
在△ ABC中，有
A?B?C?
?
?C?
?
?(A?B)
?
C
?
A?B
?2C?2
?
?2(A?B)
.
??
222


5、一个常用结论：
在
?ABC
中，
a?b?sinA?sinB?A?B;

若
sin2A?sin2B,则A?B或A?B?


第二章：数列
1、数列中
a
n
与
S
n
之间的关系：
.
特别注意，
2
在三角函数中，
sinA?sinB?A?B
不成立。
?
S
3k
?S
2k
… 是等差数列。
3、等比数列
⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前
一项的比等于同一 个常数，那么这个数列就叫做等
比数列。
,(n?1)
?
S
1a
n
?
?
注意通项能否合并。
S?S,(n?2).
n?1
?
n
2、等差数列：
⑴定义 ：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前
一项的差等于同一个常数，即
a
n
－
a
n?1
=d ，（n≥
2，n∈N），
那么这个数列就叫做等差数列。
⑵等差中项：若三数
a、A、b
成等差数列
?
G、b
成等比数列
?G?ab,
⑵等比中项：若三数
a、
（
ab
同号）。反之不一定成立。
n?1n?m
⑶通项公式：a
n
?a
1
q?a
m
q

2
⑷前
n
项和公式：
S
n
?
⑸常用性质
a
1
?
1?q
n
?
1?q
?
a< br>1
?a
n
q

1?q
?A?
a?b

2
①若
m?n?p?q??
?
m,n,p,q?N
?
?
，则
⑶通项公式：
a
n
?a
1
?(n?1)d ?a
m
?(n?m)d

或
a
n
?pn?q(p、q是常数）.

⑷前
n
项和公式：
文档
a
m
?a
n?a
p
?a
q
；
②
a
k
,a
k?m
,a
k?2m
,?
为等比数列，公比为
q
(下标成
等差数列,则对应的项成等比数列)
③数列
?
?
a
n?
（
?
为不等于零的常数）仍是公比为
q
的

k

等比数列；正项等比数列
?
a
n
?
；则< br>?
lga
n
?
是公差为
lgq
的等差数列；
④若
?
a
n
?
是等比数列，则
?
ca
n
?
，

?
a
n
2
，
??
?
1
?

?
，
a
?
n
?
2
1
r
q ，q，，q
r
.
是等比数列，公比依次是
a(r?Z)
?
n
?
q
?
a
n
?
a
?f(n?1)
?
n?1
?a
n?1
?f(n?2)
?
中
f(n )
是关于
n
的函数）
可构造：
?
a
n?2

?
...
?
?
a
2
?
a
?f(1 )
?
1
类型Ⅴ 构造数列法：
㈠形如
a
n?1
?pa
n
?q
（其中
p,q
均为常数且
p?0
）
型的递推式：
（1）若
p?1
时，数列{
a
n
}为等差数列;
（2）若
q?0
时，数列{
a
n
}为等比数列;

类型Ⅶ 倒数变换法：
形如
a
n?1
?a
n
?pa
n?1
a
n
（
p
为常数且
p?0
） 的递推
式：两边同除于
a
n?1
a
n
，转化为
⑤单 调性：
a
1
?0,q?1或a
1
?0,0?q?1
??
a
n
?
为递增数列；
a
1
?0,0?q?1 或a
1
?0,q?1?
?
a
n
?
为递减数列；
q?1?
?
a
n
?
为常数列；
q?0?
?
a
n
?
为摆动数列；
⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。
⑦若等比数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
，则
S
k< br>、
S
2k
?S
k
、
S
3k
?S2k
… 是等比数列.
4、非等差、等比数列通项公式的求法
类型Ⅰ 观察法：已知数列前若干项，求该数列
的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从
而根 据规律写出此数列的一个通项。
类型Ⅱ 公式法：若已知数列的前
n
项和
S
n
与
a
n
a
n
11
??p
形式 ，
a
n
a
n?1
化归为
a
n?1
?pa< br>n
?q
型求出
1
的表达式，再求
a
n
；



5、非等差、等比数列前
n
项和公式的求法
的关系，求数列
?
a
n
?
的通项
a
n
可 用公式
,(n?1)
?
S
1
a< br>n
?
?
构造两式作差求解。
S?S,(n?2)
n?1
?
n

类型Ⅲ 累加法：
形如
a
n?1
?a
n
?f(n)
型的递推数列（其 中
f(n)
是关
⑴错位相减法
①若数列
?
a
n< br>?
为等差数列，数列
?
b
n
?
为等比数列，
则数列
?
a
n
?b
n
?
的求和就要采用此法. < br>②将数列
?
a
n
?b
n
?
的每一项分别乘以
?
b
n
?
的公比，
然后在错位相减，进而可得到数列
?
a
n
?b
n
?
的前
n
项
和.
?
a
n
?a
n?1
?f(n?1)
?
a? a?f(n?2)
?
n?1n?2
于
n
的函数）可
构造：
?

...
?
?
?
a
2
?a1
?f(1)
类型Ⅳ 累乘法：
此法是在推导等比数列的前
n
项和公式时所用的方
法
.
⑵裂项相消法
一般地，当数列的通项
a
n
?
?
a
?
形如
a
n?1
?a
n
?f(n)
?n?1
?f(n)
?
型的递推数列（其
?
a
n
?
c

(an?b
1
)(an?b
2
)
文档