最新高中数学知识点汇总

高中数学知识汇总
1.集合与常用逻辑用语
概念
关系
一组对象的全体.
x?A,x?A
。
子集
集
合
真子集
相等
交集
运算
集
合
与
常< br>用
逻
辑
常
用
用
语
逻
辑
用
语
并集
补集
概念
命题
四种
命题
充分条件





能够判断真假的语句。
原命题：若
p
，则
q

逆命题：若
q
，则
p

否命题：若
?p
，则
?q

逆否命题：若
?q
，则
?p


元素特点：互异性、无序性、确定性。
x?A?x?B?A?B
。
??A
；
n
个元素集合子集数
2
n
。
原命题与逆命题，否命题与逆否命题互
逆；原命题与否命题、逆命题与逆否命
题互否；原命题与 逆否命题、否命题与
逆命题互为逆否。互为逆否的命题等价。
p?q
，
p
是
q
的充分条件
若命题
p< br>对应集合
A
，命题
q
对应集合
充要
则
p? q
等价于
A?B
，
p?q
等
必要条件
p?q
，
q
是
p
的必要条件
B
，
条件
充要条件
p?q
，
p,q
互为充要条件
价于
A?B
。
类比集合的并
p?q
，
p,q
有一为真即为真，
p,q
均为假时才为假。
或命题
逻辑
类比集合的交
p?q
，
p,q
均为真时才为真，
p,q
有一为假即为假。
且命题
连接词
类比集合的补
?p
和
p
为一真一假两个互为对立的命题。
非命题
全称量词
?
，含全称量词的命题叫全称命题，其否定为特称命题。
量词
存在量词
?
，含存在量词的命题叫特称命题，其否定为全称命题。
规定：
i
2
??1
；实数可以与它进行四则运算，并且运算时原有的加、
虚 数单位
乘运算律仍成立。
i
4k
?1,i
4k?1
?i, i
4k?2
??1,i
4k?3
??i(k?Z)
。
形如
a?bi(a,b?R)
的数叫做复数，
a
叫做复数的实部，
b叫做复数
概念
复数
的虚部。
b?0
时叫虚数、
a?0,b?0
时叫纯虚数。
复数相等

共轭复数
加减法
乘法
运算
除法
几何
意义

一一对应一一对应
2.复数

复数
实部相等，虚部互为相反数。即
z?a?bi
，则
z?a?bi
。
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
，
(a,b,c,d?R)
。
(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i
，
(a ,b,c,d?R)

uuur
?
复平面内的点
Z(a,b)
?????
向量
OZ
复数
z?a?bi
????
uuu r
OZ
向量的模叫做复数的模，
z?a
2
?b
2

大多数复数问题，主要是把复数化成标准的
z?a?bi
的类型来处理，若是分数形式 z=
a?bi
，则首
c?di
先要进行分母实数化（分母乘以自己的共轭复数 ），在进行四则运算时，可以把i看作成一个独立的
字母，按照实数的四则运算律直接进行运算，并随时 把i
2
换成-1
3.平面向量
平
面
向
重
要
概
r
0
向量
平行向量
向量 既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段的长度叫做该向量的模。
r
长度为
0
，方向任意的向量。【
0
与任一非零向量共线】
方向相同或者相反的两个非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。

量 念
向量夹角
投影
基本定理
重
要
法

则
共线条件
定
理
垂直条件
加法
法则
运算
算律
减法
法则
运算
分解
各
概念
数乘
种
运
运算
算律
算 < br>rr
rr
起点放在一点的两向量所成的角，范围是
?
0,
?< br>?
。
a,b
的夹角记为
?a,b?
。
rr
r
rr
?a,b??
?
，
bcos
?
叫做
b
在
a
方向上的投影。【注意：投影是数量】
rrr
rrrra?
?
e?
?
e
不共线，存在唯一的实数对，使。若
(
?
,
?
)
e
1
,e
2
e
1
,e
2
为
x,y
轴上
12
r
的单位正交 向量，
(
?
,
?
)
就是向量
a
的坐标。
rr
rr
a,b
（
b?0
共线
?
存在唯一 实数
?
，

rr
a?
?
b

rr rr
x
1
y
1
?x
2
y
2
?0< br>。
a?b?agb?0
。
rr
rr
a?b?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
。
a?b
的平行四边形法则、三角形法则。
rrrr
rrrrrr
与加法运算有同样的坐标表示。
a?b?b?a
，
(a?b)?c?a?(b?c)

rr

a?b
的三角形法则。
uuuur
uuuuruuuruuuur
MN?(x
N
?x
M
,y
N
?y
M
)。
MN?ON?OM
。
rr
?
?a
为向量，
?
?0
与
a
方向相同，
r
r
rr
?< br>a?(
?
x,
?
y)
。
?
?0
与
a
方向相反，
?
a?
?
a
。
一般表示 坐标表示（向量坐标上下文理解）
?
(
?
a)?(
??
) a
，
(
?
?
?
)a?
?
a?
?< br>a
，
rrr
2
rrrr
aga?a
，
agb?a?b
。
rrrr
rrrrrr
(a?b)gc?agc?bgc
，
agb ?bga
，
rrrrrr
(
?
a)gb?ag(
?
b)?
?
(agb)
。
与数乘运算有同样的坐标表示。
概念

数量
积运
算
主要
性质
算律
rr< br>agb?x
1
x
2
?y
1
y
2
。
r
a?x
2
?y
2
，
与上面的数量积、数乘等具有同样
的坐标表示方法。

圆的方程
x
2
+ y
2
= r
2

标准方程
(x –
a
)
2
+ ( y – b )
2
= r
2

圆心
（0，0）
（
a
，b）
半径
r
r
一般方程 x
2
+ y
2
+D x + E y + F = 0

4.算法、推理与证明

顺序结构
逻辑
条件结构
结构
循环结构
算法
基本
语句
依次执行
根据条件是否成立有不同的流向
按照一定条件反复执行某些步骤
输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句。
归纳推理
由部分具有某种特征推断整体具有某种特征的推理。

程序框图，是一种用程序
框、流程线及文字说明来表
示算法的图形。
推理
推理
合情推理
类比推理 由一类对象具有的特征推断与之相似对象的某种特征的推
理。
与
证明
演绎推理
根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊性命题为真的推理．
数学直接证明 综合法 由已知导向结论的证明方法。

证明
分析法 由结论反推已知的证明方法。
间接证明
主要是反证法，反设结论、导出矛盾的证明方法。
数学归纳法是以自然数的归纳公理做为它的理论基础的，因此，数学归纳法的适用范
数学 围仅限于与自然数有关的命题。分两步：首先证明当n取第一个值n
0
（例如n
0
=1）时
归纳
结论正确；然后假设当n=k
(k?N
?
,k ?n
0
)
时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确．
法
5.不等式、线性规划
（1）
a?b，b?c?a?c
；
（2）
a?b，c?0?ac?bc；a?b，c?0?ac?bc
；
（3）
a?b?a?c?b?c
；
不等式的
性质
（4）
a?b，c?d?a?c?b?d
；
（5）
a?b?0，c?d?0?ac?bd
；
（6）
a?b?0，n?N，n?1?a?b；a?b

一元二次
不等式
*nn
nn
两个实数的顺序关系：
a? b?
11
?
的充要条件
ab
是
ab?0
。
解一元二次不等式实际上就是求出对应的一元二次方程的实数根（如果有实数根），再结合对
应的函数 的图象确定其大于零或者小于零的区间，在含有字母参数的不等式中还要根据参数
的不同取值确定方程根 的大小以及函数图象的开口方向，从而确定不等式的解集．
基本
不等式
a?b? 2ab
（
a,b?0
）；
ab?(
（
a?0,b?0
）
a?b
2
；
)
（
a,b?R
）
2< br>a
2
?b
2
2aba?b
22
≤
ab
≤≤（
a,b?0
）；
a?b?2ab
。
2
a?b2< br>二元一次不等式
Ax?By?C?0
的解集是平面直角坐标系中表示
Ax?By ?C?0
某一侧所
二元一次
有点组成的平面区域。二元一次不等式组的解集是指各个不 等式解集所表示的平面区域的公
不等式组
共部分。
6.计数原理与二项式定理 < br>分类加法
中有
m
2
种不同的方法，…，在第
n
类方案 中有
m
n
种不同的方法．那么完成这件
计数原理
事共有
N ?m
1
?m
2
?L?m
n
种不同的方法．
完成一 件事情，需要分成
n
个步骤，做第
1
步有
m
1
种不 同的方法，做第
2
步有
m
2
种不同的方法……做第
n
步有
m
n
种不同的方法.那么完成这件事共有
完成一件事有
n类不同方案，在第
1
类方案中有
m
1
种不同的方法，在第
2
类方案
排
基本
列
原理
组
分步乘法
合
计数原理
二
项
式
定义
定
理
排列
排列数
公式
N?m
1
?m
2
?????m
n
种不同的方法.
从
n
个不同元素中取出
m(m?n)
个元素，按照一定的次序排成一 列，叫做从从
n
个不同元素中取出
m(m?n)
个元素的一个排列，所有不同 排列的个数，叫做从
n
m
个不同元素中取出
m(m?n)
个元素的排 列数，用符号
A
n
表示。
m
A
n
?n(n?1) (n?2)
L
(n?m?1)?
n!
(n
，
m?
Ν ，
m?n)
，规定
0!?1
．
(n?m)!

从
n
个不同元素中，任意取出
m(m?n)
个元素并成一组叫做从
n
个不同元素中取
定义
组合
出
m(m?n)
个元素的组 合，所有不同组合的个数，叫做从
n
个不同元素中取出
m(m?n)
个元素的 组合数，用符号
C
m
n
表示。
组合数
公式
性质
定理
二项
式定
理
m
A
n
n(n?1)L(n?m?1)
m
，
C
n
?
m
．
C?
m!
A
m
m
n
mn?mmmm?1
C
n
?C
n
(
m,n?N,且m?n
)；
C
n?1
?C
n
?C
n
(
m,n?N,且m?n
)．
0n1n?1rn?rrnn
r
(a?b)
n
?C
n
a?C
n
ab?L?C
n
ab?L?C
n
b
（< br>C
n
叫做二项式系数）
rn?rr
通项公式
T
r ?1
?C
n
ab
（其中
0
?
k
?
n，k?N，n?N
?
）
系数和
公式
012rnn
? 1
；
C
n
?C
n
?C
n
???C
n
???C
n
?2
C
r
r
?C
r
r
?1
?C
r
r
?2
???C
n
r
?C
n
r
?1
；
135024123n
C
n?C
n
?C
n
?L?C
n
?C
n
?C
n
?L2
n?1
;C
n
?2C
n
?3C< br>n
?L?nC
n
?n2
n?1
.

7.函数﹑基本初等函数I的图像与性质

指数函数

基本
初等
函数
Ⅰ

对数函数


幂函数

在在
(0,??)
单调递减
在
(0, ??)
单调递增，
0?x?1
时
y?0
，
x?1
时
y?0

在在
(0,??)
单调递增，图象过坐标原点
( ??,??)
单调递减，
x?0
时
y?1
，
x?0
时
0?y?1

(??,??)
单调递增，
x?0
时
0?y?1
，
x?0
时
y?1

在
(0,??)
单调递减，
0?x?1
时
y?0
，
x?1
时
y?0

函数图象过
定点
(0,1)

函数图象过
定点
(1,0)

函数图象过
定点
(1,1)

8. 函数与方程﹑函数模型及其应用
概念
方程
f(x)?0
的实数根。方程
f(x)?0
有实 数根
?
函数
y?f(x)
的图象与
x
轴有交
点?
函数
y?f(x)
有零点．
图象在
[a,b]
上连 续不断，若
f(a)f(b)?0
，则
y?f(x)
在
(a,b)< br>内存在零点。
函数
零点
存在定理
对于在区间
?
a,b
?
上连续不断且
f
?
a
?
?f
?< br>b
?
?0
的函数
y?f
?
x
?
，通 过不断把函数
方法
二
分
法
步骤
第二步
求区间
?
a,b
?
的中点
c
；
f
?
x
?
的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点 近
似值的方法叫做二分法．
第一步
确定区间
?
a,b
?
，验证
f(a)?f(b)?0
，给定精确度
?
。

计算
f
?
c
?
：（1）若
f
?
c
?
?0
，则
c
就是函数的零点；（2）若
f
?a
?
?f
?
c
?
?0
，
第三步 则令
b?c
（此时零点
x
0
?
?
a,c
?
）；（3）若
f
?
c
?
?f
?
b?
?0
，则令
a?c
（此
时零点
x
0
?
?
c,b
?
）．（4）判断是否达到精确度
?
:
即若
a?b?
?
，则得到零
点近似值
a
（或
b）；否则重复（2）～（4）．
概念 把实际问表达的数量变化规律用函数关系刻画出来的方法叫作函数建模。
阅读审题 分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题。
函数
建模
数学建模 弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式。
解题步骤
解答模型 利用数学方法得出函数模型的数学结果。
解释模型 将数学问题的结果转译成实际问题作出答案。
9. 导数及其应用
概念
与几
何意
义
概念
几何
意义
函数
y?f(x)
在点
x?x
0处的导数
f'(x
0
)?lim
?x?0
f(x
0??x)?f(x
0
)
。
?x
f'(x
0
)
为曲线
y?f(x)
在点
(x
0
,f(x
0
)
处的切线斜率，切线方程是
y?f(x
0
)?f'(x
0
)(x?x
0
)
。
nn?1?
；
(x)
?
?nx(n?N)
；
C< br>?
?0
（
C
为常数）
(sinx)
?
?co sx，(cosx)
?
??sinx
；
(e
x
)
?
?e
x
，(a
x
)
?
?a
x
l na
（
a?0
，且
a?1
）；
11
且
a?1
）．
(lnx)
?
?，(log< br>a
x)
?
?log
a
e
（
a?0
，
xx
基本
公式
导
数
及
运算
其
应
用
1
?
1
?
'??
；
??
2
xx
??
1
(lnx)'?
。
x
[f(x)?g(x)]
?
?f
?
(x)?g
?
( x)
；
[f(x)gg(x)]
?
?f
?
(x)gg(x )?f(x)gg
?
(x)
运算
法则
，
[Cf(x) ]
?
?Cf
?
(x)
；
?
1
?
?
?
f(x)
?
?
f
?
(x)g(x)?g
?
(x)f(x)
g
?
(x)
??
?(g(x)?0)， ．
?
g(x)
?
?
g(x)
?
2
2
g(x)
g(x)
??
??
复合函数求导法则
y??
f(g(x))
?
'?f'(g(x))g'(x)
。
单调性
研究
函数
性质
极值
最值
f'( x)?0
的各个区间为单调递增区间；
f'(x)?0
的区间为单调递减区间。 f'(x
0
)?0
且
f'(x)
在
x
0
附近左负（正）右正（负）的
x
0
为极小（大）值点。
?
a,b
?
上的连续函数一定存在最大值和最小值，最大值和区间端点值和区间内的极
大值中的 最大者，最小值和区间端点和区间内的极小值中的最小者。

f
?
x< br>?
在区间
?
a,b
?
上是连续的，用分点
a?x0
?x
1
?L?x
i?1
?x
i
?L?xn
?b
将
概念
区间
?
a,b
?
等分 成
n
个小区间，在每个小区间
?
x
i?1
,x
i< br>?
上任取一点
?
i
（
i?1,2,L,n
），
如果
f
?
x
?
是
b
a
b
?a
f
?
x
?
dx?lim
?
n??
i ?1
n
b?a
f
?
?
i
?
。
n
基本
定理
定积
分
?
a,b
?上的连续函数，并且有
F
?
?
x
?
?f
?x
?
，则
?
f
?
x
?
dx?F
?
b
?
?F
?
a
?
．
?
?< br>f
?
x
?
?g
?
x
?
?
?
dx?
?
f
?
x
?
d?
?
g?
x
?
dx
；
?
?
?
f
?
x
?
dx?
?
f
?
x
?
dx?
?
f
?
x
?
dx
．
aa
bbb
aa
x
a
b
kf
?
x
?
dx?k
?
f
?
x
?
dx
（
k
为常数）；
cd
b
性质
b
aac
简单
应用
区间
?
a,b
?
上的连续的曲线
y?f(x)
，和直线
x?a.x?b(a?b),y?0
所围成的曲
边梯形的面积
S?
?
b
a
f(x)dx
。
10. 三角函数的图像与性质
定义
基
本
问
题
三
角
函
数
的
图
象
与
性
质
任意角
?
的终边与单位圆交于点
P(x,y)
时，
sin< br>?
?y,cos
?
?x,tan
?
?
y
．
x
同角三角
函数关系
诱导公式

sin
2< br>?
?cos
2
?
?1,
sin
?
?tan< br>?
。
cos
?
360??
?
,180??
?
，
?
?
，
90??
?
,270??
?< br>， “奇变偶不变，符号看象限”．
值域 周期 单调区间 奇偶性 对称中心 对称轴
三
角
函
数
的
性
质
与
图
象
增
?
?
（
x?R
）

?
?< br>?
?
?2k
?
,?2k
?
?

2< br>?
2
?
3
?
?
?
?
?2k
?
?
减
?
?2k
?
,
2
?
2
?
奇函数

（
x?R
）

增
?
?
?
?2k
?
,2k
?
?

减
?
2k
?
,2k
?
?
?
?

偶函数

(
x?k
?
?
?
2
)

增
?
?
?
?
?
?
?k
?
,?k
?
?

2
?
2
?
奇函数 无

上下平移
y?f(x)
图象平移
k
得
y?f( x)?k
图象，
k?0
向上，
k?0
向下。
平移变换

左右平移
y?f(x)
图象平移
?
得
y?f( x?
?
)
图象，
?
?0
向左，
?
?0向右。
图
象
变
换
x
轴方向
y?f(x)< br>图象各点把横坐标变为原来
?
倍得
y?f(
伸缩变换
1
?
x)
的图象。
y
轴方向
y?f(x)图象各点纵坐标变为原来的
A
倍得
y?Af(x)
的图象。
中心对称
y?f(x)
图象关于点
(a,b)
对称图象的解析式是
y?2b?f(2a?x)

对称变换
轴对称
y?f(x)图象关于直线
x?a
对称图象的解析式是
y?f(2a?x)
。
11. 三角恒等变换与解三角形
和差角公式
正弦

倍角公式

变换
公式
余弦


正切

定理
三
角
恒
等
变
换
与
解
三
角
形
正弦
定理
变形
a
?
b
?
c
。
sinAsinBsinC
a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC
（
R
外接圆半
径 ）。
三角形两边和一边对角、三角形两角与一边。
射影定理：
类型
定理
余弦
定理
变形
类型
面积
公式
基本
公式
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA,b
2
?a
2
?c
2
?2accosB, c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
。
b
2
?c
2
?a
2
(b?c)
2
?a2
cosA???1
等。
2bc2bc
两边及一角（一角为夹角时直接使用、一角为一边对角时列方程）、三边。 111111
S?a?h
a
?b?h
b
?c?h
c?absinC?bcsinA?acsinB
。
222222

导出
公式
基本思想
S?
abc1
（
R
外接圆半径）；
S?(a?b?c)r
（
r< br>内切圆半径）。
4R2
把要求解的量归入到可解三角形中。在实际问题中，往往涉及到 多个三角形，只
要根据已知逐次把求解目标归入到一个可解三角形中。
仰
视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角。
角
实际
应用
俯
视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角。
角
常用术语
方
方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始向
方向旋转到目标的方向线所成的角（一般是锐角，如北偏西30°）。
角
方
位某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角。
角
12. 等差数列﹑等比数列

通项公式
一般
数列
前
n
项和

数列
?
a
n
?< br>中的项用一个公式表示，
a
n
?f(n)


累加法
累乘法
数
列
、
等
差
数
列
等比
数
列
简单
的递
推数
列解
法
a
n?1
?a
n
?f(n)
型
a
n?1
?a
n
f(n)
型

解决递推数列问题的
基本思想是“转
化”，即转化为两类
基本数列---- 等差数
列、等比数列求解。
转化法
待定
系数法
a
n ?1
?ca
n
?d(c?0,1,d?0)?a
n?1
?
?
?c(a
n
?
?
)
。
比较系数得出
?，转化为等比数列。
概念
满足
a
n?1
?a
n?d
（常数），
d?0
递增、
d?0
递减、
d?0常数数列。
等差
数列
通项
公式

a
m
?a
n
?a
p
?a
q
?m?n?p?q
。
a
m
?a
n
?2a
p
?m?n?2p
。
前
n
项
和公式
等比
数列
概念
< br>S
m
,S
2m
?S
m
,S
3m
?S
2m
,L
为等差数列。
满足
a
n?1
:a
n
?q
（
q?0
的常数），单调性由
a
1
的正负 ，
q
的范围确定。

通项
公式

am
a
n
?a
p
a
q
?m?n?p?q
，
前
n
项
和公式

S
m
,S
2m
公比不等于
?1
时，
?S
m
,S
3m
?S
2m
,L
成等比数列。
13.
数列求和及其数列的简单应用
等差数列
S
n
?na
1< br>?
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)n(n?1)，特别
1?2?3?L?n?
。
d?
222
常
用
求
和
公
式
数< br>列
求
和
及
数
列
的
简
单
常< br>应
用
用
求
和
方
法
?
a
1
(1?q
n
)
a
1
?a
n
q
? ,q?1,
?
2n?1n
，特别
1?2?2?L?2?2?1
。
1?q
等比数列
S
n
?
?
1?q
?na,q?1.
?
1
自然数
平方和
1
2
? 2
2
?3
2
?L?n
2
?
(2n?1)n(n?1 )(2n?1)
。
(1?2?L?n)?
36
2
自然数
立方和
?
n(n?1)
?
。
1
3
?2
3
?L?n
3
?(1?2?L?n)
2
?
??2
??
n
如
a
n
?2?2n,a
n
? 3
。
nn
如
a
n
?2n?2
，
a
n
?(?1)n?2
。
公式法
分组法
常用裂项方法：
裂项法
如
a
n
?
111
??
。
n(n?1)nn?1
错位
相减法
n
如
a
n
?(2n?1)?2
。
1
?
1
(
1
?
1
)
；
n(n?k)knn?k
11
?
11
?
??
??
；
n
2
?12
?
n?1n?1
?
11
?11
?
??
??
；
2
4n?12
?
2n?12n?1
?
n?111
??
。
n(n?1)?2
n
(n?1)2
n?1
n?2
n
倒序
相加法
0 1kn
如
C
n
?C
n
?L?kC
n
?L? C
n
。
数
等差数列 基本特征是均匀增加或者减少。
列
模
等比数列 基本特征是指数增长，常见的是增产率问题、存款复利问题。
型

一个简单
基本特征是指数增长的同时又均匀减少。如年收入增长 率为
20%
，每年年底要拿出
递推数列
a
（常数）作为下年度的开 销，即数列
?
a
n
?
满足
a
n?1
?1. 2a
n
?a
。
注：表中
n,k
均为正整数
14 .空间几何体（其中
r
为半径、
h
为高、
l
为母线等）

棱柱
表面积


表面
积即
空间< br>几何
体暴
露在
外的
所有
面的
面积
之和。
体积
棱锥


表
面
积
和
体
积
棱台


圆柱
圆锥

圆台

球

15.空间点、直线、平面位置关系（大写字母表点、小写字母表直线、希腊字母表平面）：
公理1
A?l,B?l,A?
?
,B?
?
?l?
?
。
判断直线在平面内。
基
公理2
A,B,C
不共线
?A,B,C
确定平面
?
。
本
公
理
公理3

公理4
线线
确定平面。
用途
确定两平面的交线。
两直线平行。
空
间
点
、
直
线
、
平
面
的
位
置
关
系
a
∥
c
，
b
∥
c
?
a
∥
b

共面和异面。共面为相交和平行。不同在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。
位
A?l,B?l
；
A?
?
,B?
?
。
置
点线面
关
线面
lP
?
,lI
??A,l?
?
.
。分别对应线面无公共点、一个公共点、无数个公共点。
系
面面
?
∥
?
，
?
I
??l
。分别对应两平面无公共点、两平面有无数个公共点。
……
平
行
关
系
线面
判定定理
线线平行
?
线面平行
性质定理
a
∥
?
，
a?
?
，
?
I
?
?b
?
a∥
b

线面平行
?
线线平行
面面平行
?
线线平行

面面 线面平行
?
面面平行

垂
直
关
系
线面 线线垂直
?
线面垂直
a?
?
?
?
?a
∥
b

b?
?
?
线线垂直
?
线线平行
面面垂直
?
线面垂直
特殊情况
两直线平行时角为
0?

所成角为
90?
时称两直
线垂直
线面平行或线在平面内
时线面角为
0?

线面垂直时线面角为
90?

两个半平面重合时为
0?


范围
面面
……
线面垂直
?
面面垂直
定义
把两异面直线平移到相交时两相交直线
线线角
所成的角。
空
线面角
平面的一条斜线与其在该平面内射影所
成角。
间
角

二面角
在二面角的棱上一定向两个半平面内作
垂直棱的垂线，这两条射线所成角。
两个半平面成为一个平
面时为
180?

当二面角为
90?
时称两
个平面垂直

线面距和面面距
空
点面距
从平面外一点作平面的垂线，该点与垂足之间的距离。
转化为点面距。
间
线面距
直线与平面平行时，直线上任一点到平面的距离。
距
一个平面内任一点到另一个平面的距离。
离
面面距 两个平面与平面平行时，
16. 空间向量与立体几何
重要
概念
空
间
向
量
基本
定理
共面向量
一组向量在一个平面内或者通过平移能够在同一个平面内。
rrr
空间基底
空间任何三个不共面的向量
a,b,c
都可做空间的一个基底。
rr
rr
rr
共线定理
a,b
（
b?0
共线
?
存在唯一实数
?
，
a?
?
b
。
共面定理
基本定理
空
间
向
量
与
立
体
几
何
r
rr
r
r
r
r
r
p
与
a,b< br>、（
a,b
不共线）共面
?
存在实数对
x,y
，使< br>p?xa?yb
．
rrr
rrrur
r

a,b, c
不共面，空间任意向量
p
存在唯一的
(x,y,z)
，使
p?xa?yb?zc
。
立
体
几
何
中
的
向
量
方
法
线面
标志
r
方向向量
所在直 线与已知直线
l
平行或者重合的非零向量
a
叫做直线
l
的方 向向量。
r
所在直线与已知平面
?
垂直的非零向量
n
叫做 平面
?
的法向量。
法向量
线线平行
方向向量共线。
判定定理；直线的方向向量与平面的法向量垂直；使用共面向量定理。
判定定理；两个平面的法向量平行。
两直线的方向向量垂直。
位置
关系
线面平行
面面平行
线线垂直

线面垂直
面面垂直
线线角
?

空间
角
判定定理；直线的方向向量与平面的法向量平行。
判定定理；两个平面的法向量垂直。
rr
rr
两直线方向向量为
a,b
，
cos
?
?cosa,b
。
rr
rr
sin
?
?cosa,n
。 直线的方向向量为< br>a
，平面的法向量为
n
，
uruur
rr
两平面的法 向量分别为
n
1
和
n
2
，则
cos
??cosn
1
,n
2
。
r
直线的方向向量为
a
，直线上任一点为
N
，点
M
到
uuuuruuuurr
两平行线距离 转化
直线
a
的距离
d?MNsinMN,a
。
为点线距。
线面角
?

二面角
?

点线距
空间
距离
点面距
r
平面
?
的法向量为
n
，平面
?
内任一点为
N
，点
M

uuu urr
MN?n
uuuuruuuurr
到平面
?
的距离
d ?MNcosMN,n?
。
线面距、
r
面面距转化
n
为点面距。
17.直线与圆的方程
倾斜角
概念
斜率
x
轴正向与 直线向上的方向所成的角，直线与
x
轴平行或重合时倾斜角为
0?

倾斜角为
?
，斜率
k?tan
?
?
y
2
?y
1
（
x
1
?x
2
），
(x< br>1
,y
1
),(x
2
,y
2
)
在直 线上。
x
2
?x
1
在
y
轴截距为
b时
y?kx?b
。
在
x,y
轴截距分别为
a,b
时
点斜式


直线
两点式
方程
直
线
与
圆
的
方
程
直
线
与
方
程
位置
关系
xy
??1
。
ab
C
A
22
A?B?0
k???
（），时斜率，纵截距。
Ax?By?C?0
B?0
一般式
B
B
当不重合的两条直 线
l
1
和
l
2
的斜率存在时，
l
1l
2
?k
1
?k
2
；如果不重合直
平行 线
l
1
和
l
2
的斜率都不存在，那么它们都与
x
轴垂直，则
l
1
l
2




l
1
l
2
l
1
?l
2
?
k
1
?k
2
??1
l
1
,l
2
0


P
(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2

1
(x
1
,y
1
),P
2
(x
2
,y
2
)
PP
12
?
P(x
0
,y
0
)
l:Ax?By?C?0
d?


Ax
0
?By
0
?C
A?B
22

l
1
:Ax?By?C< br>1
?0
l
2
:Ax?By?C
2
?0
d?< br>
C
1
?C
2
A?B
22

(a, b)
r
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2

DE
(?,?)
22
D
2
?E
2
?4 F

2
D
2
?E
2
?4F?0
























d?r
1
?r
2
d?r
1
?r
2

d?r
1
?r
2
d?r
1
?r
2

几何性质
d
锥曲线的定义、方程与性质

定义 标准方程
范围 顶点 焦点 对称性 离心率
平面内与两个定点
F
1
，F
2
椭
（大于
F
1
F
2
?2c
）的点
圆
的轨迹叫做椭圆．
的距离之和等于常数
2a

圆

222
b?a?c
【，】
a?b
锥
曲
线
的
平面内与两个定点
F
1
，
F
2
定
的距离之差的绝对值等于
义
双
常数
2a
（ 小于
、
曲
方
线
F
1
F
2
?2c
）的点的轨迹

程
叫做双曲线．
222
与
【
b?c?a
】
性
质
平面内到一个定点
F
和一
条定直线
l
（定点
F
不在
抛
定直线
l
）距离相等的点的
物< br>轨迹是抛物线。
线
【焦点到准线的距离等于
p
，
p?0
，焦参数】


椭圆中
x
轴
a?c

y
轴
双曲线
中
坐标原点
a?c




x
轴


y
轴
【离心
率是曲
线上的
点到焦
点的距
离与到
准线的
距离之< br>比】

ba
x
，
y??x
。
ab
pppp
2.表中四种形式的抛物线方程对应的准线方程分别是
x??,x?,y??,y?
。
2222
19. 圆锥曲线的热点问题
曲线
C
上点的坐标都是方 程
f(x,y)?0
的解，以
f(x,y)?0
的解为坐标的点都在曲线C
概念
上，则称曲线
C
为方程
f(x,y)?0
的曲 线、方程
f(x,y)?0
为曲线
C
的方程。
注：1.表中两种形式的双曲线方程对应的渐近线方程分别为
y??
曲
线 < br>动点
P
?
x,y
?
随动点
Q
?
x< br>0
,y
0
?
运动，
Q
在曲线
C:f
?
x,y
?
?0
上，以
x,y
表示
与
代入法
x
0
,y
0
，代入曲线
C
的方程 得到动点轨迹方程的方法。
方
求法
程
把动点坐标
(x,y)< br>用参数
t
进行表达的方法。此时
x?
?
(t),y?
?
(t)
，消掉
t
即
参数法
得动点轨迹方程。
轨迹是由两动直线（或曲线）交点构成的，在两动直线（曲线）中消掉参数即
得轨迹方程的方法。
含有可变参数的曲线系所经过的点中不随参数变化的某个或某几个点。
把曲线系方程按照参数集项，使得方程对任意参数恒成立的方程组的解即为曲
线系恒过的定点。
不随其它量的变化而发生数值发生变化的量。
建立这个量关于其它量的关系式，最后的结果是与其它变化的量无关。
一个量变化时的变化范围。
建立这个量关于其它量的函数关系式或者不等式，求解这个函数的变化范围或
者解不等式。
一个量在变化时的最大值和最小值。
建立这个量的函数关系式，求解这个函数的最值。
直接法
把动点坐标直接代入已知几何条件的方法。
。
定义法
已知曲线类型，求出确定曲线的系数得出曲线方程的方法（待定系数法）
曲
线
方
程
与
圆
交规法
锥
曲
含义
线
定点
解法
热
点
含义
问
热
定值
解法
题
点
问
含义
题
范围
解法
最值
含义
解法
20.概率
如果随机事件
A
在
n< br>次试验中发生了
m
次，当试验的次数
n
很大时，我们可以将发生的定义
频率
mm
作为事件
A
发生的概率的近似值，即
P
?
A
?
?
。
nn
①包含关系；②相等关系；③和事件；④积事件.
事件
A
和事件
B
在任何一次实验中不会同时发生
事件
A
和事件
B
，在任何一次实验中有且只有一个发生。
基本关系
事件
互斥事件
关系
对立事件

概
率
基本性质
性质
互斥事件
对立事件
特征
古典
概型
计算公式
几何特征
0?P(A)?1
，
P(?)?0
，
P(?)?1
。
事件
A,B
互斥，则
P(A?B)?P(A)?P(B)
。
事件
A
与它的对立事件
A
的概率满足
P(A)?P(A)?1.
基本事件发生等可能性和基本事件的个数有限性
类比集合关系。
P(A)?
m
，
n
基本事件的个数、
m
事件
A
所包含的基本事件个数。
n
基本事件个数的无限性每个基本事件发生的等可能性。

概型
计算公式
21.离散型随机变量及其分布
概念
随机变
量及其
分布列
随着试验结果变化而变化的量叫做随机变量，所有取值 可以一一列出的随机叫做
离散型随机变量。
分布列
离散型随机变量的所有取值及取值的概率列成的表格
（1）
p
i
。
性质
?
0(i?1，2，L，n)
；（2）
p
1
?p
2
?L?p
n
?1
。
P(AB)
。
P(A)
概念：事件
A
发生的条件下，事件
B
发生的概率，
P(B|A)?
条件概率
事件的
独立性
性质：
0
≤
P(B|A)
≤
1
．
B,C
互斥，
P(BUC|A)?P(B|A)?P(C|A)
．
独立事件
事件
A
与事件
B
满足
P(AB)?P( A)P(B)
，事件
A
与事件
B
相互独立。
离
散
型
随
机
变
量
及
其
分
布
n
次独立
重复试验
每次试验中事件
A
发生的概率为p
，在
n
次独立重复试验中，事件
A
恰好发生
k
kkn?k
(k?0，1，2，L，n)
。 次的概率为
P(X?k)?C
n
p(1?p)，
超几何
分布 kn?k
C
M
C
N?M
P(X?k)?，k?0，1，2，L< br>，
m
，其中
m?min
?
M，n
?
，且n
≤
N
，
n
C
N
且
n
?N,M
?
N,n，M,N?N
?
．＂
典型
分布
二项分布
kkn?k
(k?0，1，2，L，n)
，
X~B(n，p)
。 分 布列为：
P(X?k)?C
n
p(1?p)，
数学期望
EX?np< br>、方差
DX?np(1?p)
【
n?1
时为两点分布】
?
(x)?
正态分布
1
e
2π
?
?(x?
?
)
2
2a
2
图象称为正态密度曲线，随机变量
X
满足
P(a?X
≤
b)?
?
?
(x)d x
，则称
X
的分布为正态分布．正态密度曲线的特点。
a
b
数学期望

数字
特征
方差和
标准差
方差：
DX?

?
(x?EX)
i
i?1
n
2
p
i
，标准差：
?
X?DX


22. 统计与统计案例
统
计
与
统
统
计
计
案
例
简单抽样 从总体中逐个抽取且不放回抽取样本的方法。
随机
分层抽样 将总体分层，按照比例从各层中独立抽取样本的方法。
抽样
系统抽样 将总体均匀分段，每段抽取一个样本的方法。
样本在样本中某个（范围）数据在总体中占有的比例成为这个（范
估计频率分布 围）数据的频率，使用频率分布表、频率分布直方图表达样
总体 本数据的频率分布。茎叶图也反映样本数据的分布。
等概率抽样。
统计的基
本思想是以样
本的分布估计

众数
中位数
平均数
样本数据中出现次数最多的数据。
从小到大排序后，中间的数或者中间两数的平均数。
x
1
,x
2< br>,L,x
n
的平均数是
x?
1
(x
1
?x< br>2
?L?x
n
)
。
n
2
方差
1
n
x
1
,x
2
,L,x
n
的平均数为x
，
s?
?
(x
i
?x)
2
。
n
i?1

样
本
特
征
数
总体的 分布。
即以样本的频
率分布估计总
体的频率分
布，以样本的
特征数估 计总
体的特征数。
标准差
相关关系 两个变量之间的一种不确定性关系，有正相关和负相关。
统
计
案
例
回归
分析
独立
性检
验
最小
二乘法
Q??(y
i
?a?bx
i
)
2
最小时得到回归直线方程< br>$$
y?bx?a
的方法。
i?1
n
对于值域分别是
?
x
1
,x
2
?
和
?
y
1
,y
2
?
的分类变量
X
和
Y
，列出其样本频数列 联表，通过计
算卡方统计量判断两个分类变量是否有关的方法。
23. 函数与方程思想,数学结合思想
函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用
函数联系 和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立
思想 各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的
有关性质，使问题得到解决．
方程思 想的实质就是将所求的量设成未知数，用它表
方程示问题中的其他各量，根据题中隐含的等量关系，列方 程
思想 （组），通过解方程（组）或对方程（组）进行研究，以求
得问题的解决．
根据数与形之间的对应关系，通过把数转化为形，通
以形
过对形的研究解决数的问题、或者获得 解决数的问题解决
助数
思路解决数学问题的思想。
函数与方程思想在
一定 的条件下是可以相
互转化的，是相辅相成
的，函数思想重在对问
题进行动态的研究，方
程思想则是在动中求
静，研究运动中的等量
关系．
函
数
函数与方
与
程思想
方
程
思
想
、
数
形
结
合
数形结合
思
思想
想
根据数与形之间的对应关系，通过把形转化为数，通
以数
助形
过数的计算、式子的变换等解决数学问题的数学方法。
数形结合的重点是
研究“以形 助数”，这
在解选择题、填空题中
更显其优越，要注意培
养这种思想意识，做到
心中有图，见数想图，
以开拓自己的思维视
野.
24. 分类与整合思想,化归与转化思想
分
类
与
整
合
、
化
解答数学问题，按照问题的不同发展方向分别进行解
分类
分类
思想
决的思想方法。
与
整合
整合 把一个问题中各个解决的部分，基本合并、提炼得出
思想 整体结论的思想方法。
分类与整合思想的主要问题
是“分”，解题的过程是“合
—分—合”。

归
与
转
化
化归
与
转化
根据熟知的数学结论和已知掌握的数学题目解法，把
化归
数学问题化生疏为熟练、化困难为容易、化整体为局部、
思想
化复杂为简单的解决问题的思想方法。
根据熟知的数学结论和已知掌握的数学题目解法，把
转化
数学问题化空间为平面、化高维为低维、化复杂为简单解
思想
决问题的思想方法。
化归转化思想的实质是
“化不能为可能”，使用化归
转化思想需要有数学知识和
解题经验的积累。
25.坐标系与参数方程
'
?
?
x?
?
?x,
?
?
?0
?
,
设点
P
?
x,y
?
是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
?
:
?
'
的作
?
?
y?
?
?y,
?
?< br>?0
?
.
伸缩变换
用下，点
P
?
x,y< br>?
对应到
P
'
x
'
,y
'
，称?
为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简
称伸缩变换．
??
坐
标
直角坐标
系
与极坐标
的互化
把直角坐标系的原点作为极点，
x
轴的正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的
长度 单位，设
M
是平面内任意一点，它的直角坐标是
?
x,y
?
，极坐标是
?
?
,
?
?
，则
x?
?
cos
?
,y?
?
sin
?
.
且
?< br>2
?x
2
?y
2
,tan
?
?
y< br>?
x?0
?
.

x
在极坐标系中，如果平面曲线C
上任意一点的极坐标至少有一个满足方程
坐
标
系
与
参
数
方
程
曲线的极
坐标方程
f
?
?,
?
?
?0
，并且坐标适合
f
?
?
,
?
?
?0
的点都在曲线
C
上，那么方程
f
?
?
,
?
?
?0
就叫做曲线
C
的极坐标方 程．
在平面直角坐标中，如果曲线
C
上任一点
M
的坐标
x
，
y
都是某个变数
t
的函数
概念
?
x? f(t)
?
x?f(t),
反过来，对于的每个允许值，由函数式 所确定的点
M(x,y)
t
??
y?g(t),y?g(t)
?
?
?
x?f(t)
都在曲线
C
上，那么方程
?
叫做曲线
C
的参数方程，联系变数
x,y
的变数
?
y?g(t)
t
是参变数，简称参数．
化参数方程为普通方程为
F(x,y)?0
：在< br>消参过程中注意变量
x
、
y
取值范围的一
②三角法：利用三角 恒等式消去参数；
致性，必须根据参数的取值范围，确定
③整体消元法：根据参数方程本身的 结
f(t)
和
g(t)
值域得
x
、
y
的取 值范围．
构特征，从整体上消去．
①代入法：利用解方程的技巧求出参数
t，然后代入消去参数；

普通方程
过点
(x
0
,y
0
)
倾斜角为
?

或者
x?x
0

参数方程
参
数
方
参数方程
化为
程
普通方程
常见曲线
的普通方
程与参数
方程
直线
?
x?x
0
?tcos
?
（
t
为参数）
?
y?y?tsin
?
0
?

圆

?
x?x
0
?rcos
?
（
?
为参数）
?
?
y?y
0
?rsin
?
椭圆

?
x?acos
?
（
?
为参数）
?
?
y?bsin
?
?
x?asec
?
（
?
为参数）
?
y?btan
?
?
?
x?2pt
2
（
t
为参数）
?
?
y?2pt
双曲线

抛物线
26. 不等式选讲
x?a??a?x?a;x?a?x?a
或
x??a
。
绝
对
值
不
等
式
ax?b?c??c?ax?b? c;ax?b?c?ax?b??c
或
ax?b?c
。
解法
根据绝对值的意义结合数轴直观求解。
x?a?x?b?c
；
零点分区去绝对值，转化为三个不等式组求解。
x?a?x?b?c
。
构造函数利用函数图象求解。
三角不等式
a?b?a?b?a?b?a?b
；
a?c?a?b?b?c
。
均值不等式
a
1
?a
2
?L?a
n
n< br>?a
1
a
2
La
n
?
a
1
?0,a
2
?0,L,a
n
?0
?
。
n
二维形式
不
等
式
选
讲
?
a
2
?b
2
??
c
2
?d
2
??
?
ac?bd
?
2
?
a,b,c,d?R
?
，等号当且仅当
ad?bc
时成立。
向量形式
重
柯西不等式
要
不
等
一般形式
式
α ,β
是两个向量，则
α?β?αβ
，当且仅当
β
是零向量或存在实数
k
，
使
α?kβ
时，等号成立。
?
a
1
b
1
?a
2
b
2
???a
n
b< br>n
?
2
?
?
a
1
2
?a
2
2
???a
n
2
?
2
?
b
12
?b
2
2
???b
n
2
?
2
?
a
i
b
i
?R,i?1,2?n
?
等号当且仅 当
a
1
?a
2
???a
n
?0
或
b
i
?ka
i
时
成立（
k
为常数，
i?1 ,2?n
）。
c
1
,c
2
,L,c
n
是
b
1
,b
2
,L,b
n
的任意设
a
1
?a
2
?L?a
n
,b
1
?b
2?L?b
n
为两组实数，
排列，
排序不等式
则
a< br>1
b
n
?a
2
b
n?1
?L?a
n
b
1
?a
1
c
1
?a
2
c
2
?L?a
n
c
n
?a
1
b
1
?a
2
b
2
?L?a
n
b
n
，

反序和
144424443
乱序和
144424443
顺序和
当且仅当
a
1
?a
2
?L?a
n
或
b< br>1
?b
2
?L?b
n
时反序和等于顺序和。
证
明
比较法
综合法
作差和作商比较
根据已知条件、不等式的性质、基本不等式，通过逻辑推理导出结论

方
法
分析法
反证法
放缩法
执果索因的证明方法
反设结论，导出矛盾
通过把不等式中的部分值放大或缩小的证明方法
数学归纳法 证明与正整数有关的不等式。
27.二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：
判别式
??b?4ac

2

二次函数
y?ax?bx?c

2
?
a?0
?
的图象

一元二次方程
ax?bx?c?0

有两个相异实数根
2
有两个相等实数根
?
a?0
?
的根
b
x
1
?x
2
??

2a
没有实数根

一元二次不
等式的解集



28.三角函数的图象与性质：
函数 正弦函数
图象

定义域
值域
周期性
奇偶性
R
余弦函数

正切函数
{x| x≠
R
[-1,1] [-1,1]
2π 2π
奇函数 偶函数
??
增区间[-π+2kπ, 2kπ]
增区间[-+2kπ,+2k
减区间[2kπ,π+2kπ] 增区间
22
??
π] ( k∈Z )
(-+kπ,+kπ)
单调性
?
3
?
22
减区间[+2kπ, +2k
( k∈Z )
2
2
π]
?
+kπ,k∈
2
Z}
R
π
奇函数

对称轴
对称中
心

x =
?
+ kπ( k∈Z )
2
(
x = kπ ( k∈Z ) 无
( k
( kπ,0 ) ( k∈Z )
?
+ kπ,0 )( k∈Z )
2
?
,0 ) ( k∈Z )
2