高中数学知识点总结(史上最全版)

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解三角形
一.三角形中的基本关系：
(1)
sin(A?B)?sinC,

cos(A?B)??cosC,

tan(A?B)??tanC,
< br>A?BCA?BCA?BC
(2)
sin
2
?cos
2
,cos
2
?sin
2
,tan
2
?cot
2< br>
(3)a>b则Ａ＞Ｂ则sinA>sinB,反之也成立
二.正弦定理：
abc
???2R
．
R
为
???C
的外接圆的半径
）
sin?sin?sinC
正弦定理的变形公式：
b?2Rsin?
，
a?2Rsin?
，
c?2RsinC
；①化角为边：
c
b
a
②化边为角：
sin??
2R
，
sin??
2R
，
sinC?
2R
；
③
a:b:c?sin?:sin?:sinC
；
a?b?cabc
④
sin??sin??sinC
?
sin?
?
sin?
?
sinC
．
两类正弦定理解三角形的问题：
①已知两角和任意一边求其他的两边及一角.
②已知两边和其中一边的对角，求其他边角.
(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注
意解的情况（一解、两解、无解）)

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三．余弦定理：
a?b?c ?2bccos?
222
b?a?c?2accos?
222
c?a?b?2 abcosC
．
注意：经常与完全平方公式与均值不等式联系
推论：
2 22
b
2
?c
2
?a
2
cos??

2bc
a?c?b
cos??
2ac
222
222

a?b?c
cosC?
．
2ab
①若
a
2
2
?b?c
2
22
，则
C?90
；
； ②若
a?b?c
，则
C
2
?90
③若
a


2
?b?c
，则
C?90
．
22

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余弦定理主要解决的问题：
（1）.已知两边和夹角求其余的量。
（2）.已知三边求其余的量。
注意：解三角形与判定三角形形状时，实现边角
转化，统一成边的形式或角的形式
四、三角形面积公式：

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等差数列
一．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与
它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称
为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．
二．符号表示:
a
n?1
?a
n
?d
（n>=1）
三．判断数列是不是等差数列有以下四种方法：
(1)
a
n
?a
n?1
?d(n?2,d为常数)
（可用来证明）
a?a?a
nn?1n?1
(
n?2
)（可用来证明） 2
(2)
(3)
a
n
?kn?b
(
n,k
为常数)
(4)
s
n
?a
1
?a
2
??a
n
是一个关于n 的2次式且无常数项
四.等差中项
a
，
?，
b
成等差数列，则
?
称为
a
与
b
的 等差中
a?c
项．若
b?
2
，则称
b
为
a
与
c
的等差中项．
五.通项公式:
a
n
?a
1
?
?
n?1
?
d
(
是一个关于的一次式 ,一次项系数是公差)
通项公式的推广
：
a
n
?a
m< br>a
n
?a
m
?
?
n?m
?
d
；
d?
n?m
．

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六.等差数列的前
n
项和的公式：
n
?
a1
?a
n
?
S?
n
①(
注意利用性质特别是下 标为奇数)
2
②
S
n
?na
1
?
n?
n?1
?
2
d
(是一个关于n 的2次式且
无常数项,二次项系数是公差的一半)
七.等差数列性质:
a?a?a?a
m?n?p?q
mnpq
； (1)若则
(2)若< br>2n?p?q
则
2a
n
?a
p
?a
q
．
(3)
S

n
,S
2n
?S
n< br>,S
3n
?S
2n
?

成等差数列
(4)< br>S
n
{}成等差数列,且公差为原公差的
n
(5)①若项数为
2nn??
，则
S
2n
?n
?
a
n
?a< br>n?1
?
，
S
奇
a
n
且
S
偶
?S
奇
?nd
，
S
?
a
．
n?1
偶
?
*
?
②若项数为
2n?1
?< br>n??
?
，则
S
2n?1
?
?
2n?1?
a
n
，且
*
S
奇
?S
偶
S
奇
n
?
?a
n
，（其中
S
奇
?n a
n
，．
S
偶
?
?
n?1
?
a
n
）
S
偶
n?1

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（6）若等差数列{ an} {bn}的前n项和为
a
n
S
2n?1
S
n
,T
n
?
则
b
n
T
2n?1



八．等差数列前n项和的最值
d
2
d
(1)利用二次函数的思想:
S
n
?
2
n?(a
1
?
2
)n< br>

(2)找到通项的正负分界线





?
a
1
?0
?
?若 则
n
有最大值，当n=k时取到的
?
d?0
s
?
a
k
?0
最大值k满足 < br>?
a?0
?
k?1
?
a
1
?0
?< br>n
有最大值，?若 当
?
d?0
则
s
n=k时取到的最大
?
a
k
?0
值k满足
?
?
a
k?1
?0

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等比数列
一．定 义、如果一个数列从第
2
项起，每一项与
它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列 称
为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．
a
n?1
二．符号表示：
a
?q

n
注：①等比数列中不会出现值为0的项；
②奇数项同号，偶数项同号
（３）合比性质的运用
三．数列是不是等比数列有以下四种方法：
①
a< br>n
?a
n?1
q(n?2,q为常数,且?0)
（可用来证明） 2
a
②
n
?a
n?1
?a
n?1
(< br>n?2
)（可用来证明）

a?cq
n
③(
c,q
为非零常数).（指数式）
④从前n项和的形式（只用来判断）
四.等比中项:
在
a
与b
中间插入一个数
G
，使
a
，
G
，
b
成等
比数列，则
G
称为
a
与
b
的等比中项 ．若
G?ab
，
2
G
则称
G
为
a
与
b
的等比中项．（注：由
?ab
不能
得出
a
，< br>G
，
b
成等比，由
a
，
G
，
b?
G

2
n
2
?ab
）

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五.等比数列的通项公式：
a
n
通项公式的变形：
(1)
a
n
(2)
?a
1
q
n?1
．
?a
m
q
n?m
；
q
n?m
a
n
?
a
m
．(注意合比性质的利用)
六．前
n
项和的公式：
?
na
1
?
q? 1
?
?
S
n
?
?
a
1
?
1?q
n
?
a?aq
1n
①
?
?
q?1< br>?
．
?
1?q
?
1?q
s?a?a?
n1 2
②
七．等比数列性质:
(1)若
m?n?
?a
n
=
A+B*q
n
,则A+B=0
p?q
，则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；
(2)若
2n?p?q

(3)


a?a?a
pq
． 则
2
n
S
n
,S2n
?S
n
,S
3n
?S
2n
?
成等 比数列

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通项公式的求法:
(1).归纳猜想
(2).对任意的数列{
a
}的前< br>n
项和
S
与通项
a
的关
nnn
?
s
1
?a
1
(n?1)
a
n
?
?
系 ：
?
s
n
?s
n?1
(n?2)

检验第②式满不满足第①式，满足的话写一个式
子，不满足写分段的形式
(3).利用递推公式求通项公式
1、定义法:符合等差等比的定义
2、迭加法:
a
n?1
?a
n
?f(n)

3、迭乘法:
4、构造法:

a
n?1
?f(n)
a
n
a
n?1
?qa
n
?p
5.
如果上式后面加的是指数时可用同除指数式
6.如果是分式时可用取倒数
(4)同时有和与通项有两种方向
一种:
当n大于等于2,再写一式,两式相减,可以
消去前n项和
二种:消去通项

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数列求和的常用方法
1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等
差、等比数列的数列。
2.裂项 相消法:适用于
?
c
?
??
aa
?
nn?1
?
其中{
a
}是各项不
n
为0的等差数列，c为常数；部分无理 数列、含
阶乘的数列等。(分式且分母能分解成一次式的
乘积)
3.错位相减法:适用于
?
ab
?
其中{
a
}是 等差数
nn
n
列，
?
b
?
是各项不为0的等比数列 。
n
4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式
的推导方法.
5.常用结论
n(n?1)
（1）: 1+2+3+...+n =
2
（2） 1+3+5+...+(2n-1) =
n

?
1
?
n(n?1)
?
（3）
1?2??? n?
?
?
2
?
333
2
2
1
（４ ）
1?2?3???n?
6
n(n?1)(2n?1)

;
2222
111
（5)
n(n?1)
?
n
?
n?1

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不等式

一、不等式的主要性质：
（1）对称性：
a?b?b?a

（2）传递性：
a?b,b?c?a?c

（3）加法法则：
a?b?a?c?b?c
；
（4）同向不等式加法法则：
a?b,c?d?a?c?b?d

（5）乘 法法则：
a?b,c?0?ac?bc
；
a?b,c?0?ac?bc

（6）同向不等式乘法法则：
a?b?0,c?d?0?ac?bd

（7） 乘方法则：
a?b?0?a
n
n
?b
n
(n?N*且n?1 )
n

（8）开方法则：
a?b?0?a?b(n?N*且n?1)

11
（9）倒数法则：
a?b,ab?0?
a
?

b
二、一元二次不等式
ax
其解法

数
y?a x
2
?bx?c
2
?bx?c?0
和
ax
2
?bx?c?0(a?0)
及

??0

y?ax
2
?bx?c
?a(x?x
1
)(x?x
2
)

??0

y?ax
2
?bx?c
?a(x?x
1< br>)(x?x
2
)

??0

y?ax
2
?bx?c
二次函


（
a?0
）的
图象
方程 根

实根

实根

一元二次有两相异实有两相等 无

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ax
2
?bx?c?0
?
a?0
?
的根
ax
2
?bx?c?0
(a?0)的解集
ax
2
? bx?c?0
(a?0)的解集

x
1
,x
2
(x
1
?x
2
)

x
1
?x
2
??
b
2a

R

?
xx?x或x?x
?

12
?
b?
xx??
??
2a
??


?
xx
1
?x?x
2
?


?

?

三．含有参数的二次不等式的解法:
(1) 二次项系数(正负零)
(2) 根
一种:能分解因式,主要是比较根的大小 。
二种:能分解因式就从判别式进进行行讨论
(3)画图写解集
四、线性规划
1.在平面直角坐标系中，直线
?x??y?C?0
同侧的点代入后符号相同，异侧的点相反
2.由A的符号来确定：先把x的系数A化为正后，
看不等号方向：
①若是“>”号 ，则
?x??y?C?0
所表示的区
域为直线:
?x??y?C?0
的右边部分。
②若是“<”号，则
?x??y?C?0
所表示的区
域为直线
?x??y?C?0
的左边部分。

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注意：
Ax?By?C?0(或?0)
不包括边界；
Ax?B y?C?0(?0)
包括边界
3.求解线性线性规划问题的步骤
(1)画出可行域(注意实虚)
(2)将目标函数化为直线的斜截式
(3)看前的系数的正负.若为正时则上大下小,若
为负则上小下大
4.非线性问题:
(1)看到比式想斜率
（2）看到平方之和想距离
四、均值不等式
a?b
1、设
a
、
b
是两个正数 ，则
2
称为正数
a
、
b
的
算术平均数(等差中项) ，
ab
称为正数
a
、
b
的
几何平均数．(等比中项 )
2、基本不等式（也称均值不等式）：
如果a,b是正数，那么
a?b
a?b?2ab即?ab(当且仅当a?b时取?号).
2
注意：
使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等

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3、平均不等式：（
a、b
为正数），即
a
2
? b
2
a?b2
??ab?
11
（当
22
?
ab
a
=
b
时取等）
4、常用的基本不等式：
22
a?b
22
?
a,b?R
?
；
a?b?2ab?
a,b?R
?
；②
ab?
①
2
?
a?b
?
a
?
?
a?0,b?0
?
；③
a b?
?
④
?
2
?
2
2
?b
2?
a?b
?
?
??
?
a,b?R
?
2
?
2
?
2
．
5、极值定理：设
x
、
y
都为正数，则有：
⑴若
x?y?s
（和为定值），则当
x?y
时，
s
2
积
xy
取得最大值
4
．
⑵若
xy?p
（积为定值），则当< br>x?y
时，
和
x?y
取得最小值
2p
．
五、含有绝对值的不等式
1．绝对值的几何意义：
|x|
是指数轴上点x
到原
点的距离；
|x
1
?x
2
|
是 指数轴上
x
1
,x
2
两点间的
距离 ；
?
a a?0
?
0 a?0
代数意义：
|a|?
?
?
?a a?0
?

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2、

如果a?0,则不等式：

； (1)
|x|?a
(2)
|
???x?a或x??a

x|?a
x|?a
???x?a或x??a

????a?x?a
； (3)
|
(4)
|x|?a????a?x?a

注意:上式中的x可换成f(x)
3、解含有绝对值不等式的主要方法：解含绝对
值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号
、其他常见不等式形式总结：
式不等式的解法：移项通分,化分为整
f(x)< br>?0?f(x)g(x)?0
g(x)
?
f(x)g(x)?0
f(x )
?0?
?

g(x)?0
g(x)
?
；
②指数不等式：
a
f(x)
?a
g(x)
(a?1)?f(x)?g(x)

a
f(x)
?a
g(x)
(0?a?1)?f(x)?g(x)

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③对数不等式：
?< br>f(x)?0
?
log
a
f(x)?log
a
g(x )(a?1)?
?
g(x)?0
?
f(x)?g(x)
?
?
f(x)?0
?
log
a
f(x)?log
a
g( x)(0?a?1)?
?
g(x)?0
?
f(x)?g(x)

?

④高次不等式：数轴穿线法口诀: “从右向左，
自上而下；奇穿偶不穿，遇偶转个弯；小于
取下边，大于取上边”