(完整版)高中数学知识点归纳(理科)

高中数学必备(必须理解与记忆)知识点归纳
必 修 一
第一章 集合与函数的概念
一、集合：
1．集合的定义与表示
（1）集合的定义：把一些元素组成的总体叫做集合
（2）集合的表示：常用大写拉丁字母< br>A,B,C,?
表示，集合中的元素一般用小写拉丁字母
a,b,c,?
表示
（3）集合的性质：确定性、互异性、无序性（集合中元素的性质）
（4）元素与集合的关系：属于(
a?A
) , 不属于(
a?A
)
（5）常用数集：
N,N,Z,Q,R

（6）集合的表示：列举法，描述法
2．集合间的基本关系（从文字语言、图形语言、符号语言等方面理解）
（1）子集：
一般地，对于两个集合
A,B
，如果集合
A
中任意一个元素都 是集合
B
中的元素，称集合
A
是集合
B

的子集， 记作
A?B
（读作
A
含于
B
）或
B?A
（ 读作
B
包含
A
）。韦恩表示图略
（2）集合相等：
如果 集合
A
是集合
B
的子集（
A?B
），且集合
B是集合
A
的子集（
B?A
），称集合
A
与集合
B
相等。记作
A?B
。韦恩表示图略
（3）真子集： 如果集合
A?B
，但存在元素
x?B,
且
x?A,
称集 合
A
是集合
B
的真子集，记作
A
?
B
（ 读作
A
?
*
真含于
B
）或
B
?
A
（读作
B
真包含
A
）。韦恩表示图略
?
（4）空集：
不含任何元素的集合叫做空集。
空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集
（5）集合的子集个数：
含有
n
个元素的集合的子集个数为
2
，真子集个数为
2?1
，非空真子 集个数为
2?2

3．集合的基本运算从文字语言、图形语言、符号语言等方面理解）
（1）并集：
一般地，由所有属于集合
A
或属于集合
B< br>的元素组成的集合，称为集合
A
与集合
B
的并集，记作
AUB
（读作：“
A
并
B
”），即
AUB?xx?A,或x?B< br>，韦恩表示图略
（2）交集：
一般地，由属于集合
A
且 属于集合
B
的元素组成的集合，称为集合
A
与集合
B
的交集 ，记作
AIB
（读
作：“
A
交
B
”），即
AIB?xx?A,且x?B
，韦恩表示图略，数轴表示略
1
nnn
??
??

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（3）补集：
对于一个集合
A
，由全集
U
中 不属于集合
A
的所有元素组成的集合称为集合
A
相对于全集
U
的补集，
简称为集合
A
的补集，记作
?
U
A
，即
?
U
A=xx?U,且x?A
，韦恩表示图略，数轴表示略
说明：求并集、交集与补集时可借用数轴处理
4．集合的主要性质和运算律
集合的主要性质和运算律
包含关系：
??
A?A,
?
? A,若A?U则C
U
A?U
A?B,B?C?A?C;(A?B)?A,(A?B)? B;A?(A?B),B?(A?B).
集合的运算律：
交换律：
A?B?B?A;A?B?B?A.

结合律：
(A?B)?C?A?(B?C);(A?B)?C?A?(B?C).
< br>分配律：
A?(B?C)?(A?B)?(A?C);A?(B?C)?(A?B)?(A?C) .

0—1律：
?
?A?
?
,
?
?A?A ,U?A?A,U?A?U.

等幂律：
A?A?A,A?A?A;A?B?A?B?A?A?B?B.

求 补律：
A?C
U
A?
?
,A?C
U
A?U,CU
U?
?
,C
U
?
?U,C
U
(C< br>U
A)?A.

反演律：
(C
U
A)?(C
U
B)?C
U
(A?B);(C
U
A)?(C
U
B )?C
U
(A?B).

二、函数及其表示
1．函数的定义：（集合对应定义法）

设
A、B
是非空 数集，如果按照某种确定的对应关系
f
，使对于集合
A
中的任意一个
x
，在集合
B
中都有
唯一确定的数
f(x)
和它对应，那么 就称
f:A?B
为从集合
A
到集合
B
的一个函数，记作y?f(x),x?A
，
其中，
x
叫做自变量，
x
的 取值范围叫做函数的定义域；与
x
的值对应的
y
值叫做函数值，函数值的集合
?
f(x)x?A
?
叫做函数的值域，值域是集合
B
的子集 .
函数三要素：定义域（集合），值域（集合），解析式（表达式）
区间（集合的另一种表示方式）：开区间、闭区间、半开半闭区间（左开右闭、左闭右开）
< br>(a,b);
?
a,b
?
;
?
a,b
?,
?
a,b
?
;
?
??,a
?
,?
??,a
?
;
?
b,??
?
,
?< br>b,??
?
,
?
??,??
?

无穷大的引入：
?,??,??

2．函数的表示：
解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
图像法：用图表表示两个变量之间的对应关系
2

高中数学必备(必须理解与记忆)知识点归纳
列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系
分段函数：
映 射：设
A、B
是非的集合，如果按某一个确定的对应关系
f
，使对于集合A
中的任意一个元素
x
，在集
合
B
中都有唯一确定的元 素
y
与之对应，那么就称对应
f:A?B
为从集合
A
到集合
B
的一个映射。
会区分函数与映射的关系
3．函数的性质：（主要从文字叙述，数学符号，图象特征方面理解）
（1） 单调性
① 增函数，增区间，递增性
一般地，设函数
f(x)
的定义域为
I
：如果对于定义域
I
内某个区间
D
上的任意两个自变量的值
x
1
,x
2
，当
x
1
?x
2
时 ，都有
f(x
1
)?f(x
2
)
，那么就说函数
f (x)
在区间
D
上是增函数；区间
D
叫做函数
f(x)的一个增
区间；这种性质叫做函数的递增性。
② 减函数，减区间，递减性
一 般地，设函数
f(x)
的定义域为
I
：如果对于定义域
I
内 某个区间
D
上的任意两个自变量的值
x
1
,x
2
， 当
x
1
?x
2
时，都有
f(x
1
)?f( x
2
)
，那么就说函数
f(x)
在区间
D
上是减函 数；区间
D
叫做函数
f(x)
的一个减
区间；这种性质叫做函数的递 减性。
注：会从文字叙述，数学符号，图象特征等方面理解函数单调性
会用定义判断并证明函数单调性
（2）函数的最大值与最小值：
① 函数的最大值：
一般地，设函数
y?f(x)
的定义域为
I
，如果 存在实数
M
满足:（1）对于任意的
x?I
，都有
f(x)?M；
（2）存在
x
0
?I
，使得
f(x
0
)?M
。那么，我们称
M
是函数
y?f(x)
的最大值。
② 函数的最小值：
一般地，设函数
y?f(x)
的定义域为
I< br>，如果存在实数
M
满足:（1）对于任意的
x?I
，都有
f( x)?M
；
（2）存在
x
0
?I
，使得
f(x0
)?M
。那么，我们称
M
是函数
y?f(x)
的最小 值。
注：函数最小值的求法：基本函数法，图像法，单调性法等
（3）函数的奇偶性：
① 偶函数：
一般地，如果对于函数
f(x)
的定义域内任意一个
x
，都有
f(?x)?f(x)
，那么函数叫做偶函数。偶函数
图象关于y
轴对称。
② 奇函数：
一般地，如果对于函数
f(x)
的 定义域内任意一个
x
，都有
f(?x)??f(x)
，那么函数叫做奇函数。 奇函
数图象关于原点对称。

3

高中数学必备(必须理解与记忆)知识点归纳
第二章 基本初等函数
一、指数与指数函数
1．指数与指数幂的运算
（1）根式：
一般地，如 果
x?a
，那么
x
叫做
a
的
n
次方根；
当
n
是奇数时，正数的
n
次方根是一个正数，负数的
n次方根是一个负数。
当
n
是偶数时，正数的
n
次方根有两个， 它们是一对互为相反数，记作
?
n
a(a?0)
。
负数没有偶次方根。
n
式子
n
a
叫做根式，
n< br>是根指数，
a
叫做被开方数；由
n
次方根的意义得：
(
n
a)?a

n
（2）分数指数幂：

a
m< br>n
?
n
a
m
；0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没 有意义
（3）指数幂的运算性质：
a
r
a
s
?a
r?s
,(a
r
)
s
?a
rs
,(ab)
r
?a
r
b
r
,其中a?0,b?0；r,s?Q

2．指数函数及其性质：
（1）指数函数：
一般地，形如
y?a(a?0 ,a?1)
的函数，叫做指数函数；其中
x
是自变量，函数的定义域为
R。
（2）指数函数的图像与性质：
指数函数
y?a(a?0,a?1)
的图象与性质

图
象
定义域
值域
（1）过定点
性
质
（3）范围
（2）单调性

x
x
0?a?1


a?1


R

(0,??)

（0，1），即
x?0
时
y?1

在
R
上是减函数 在
R
上是增函数
x?0
时
y?1
；
x?0
时
0?y?1
；
x?0
时
0?y?1
；
x?0
时
y?1
；

4

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3．对数与对数的运算：
（1）对数：（定义、记法、读法，各部分符号及名称）
x
一般地，如果
a ?N(a?0,a?1)
，那么数
x
叫做以
a
为底
N
的对数，记作
x?log
a
N

注：理解对数定义的本质；熟记对数符号各部分名称，明确各部分的范围
常用对数：
log
10
N?lgN
自然对数：
log
e
N?lnN

x
（2）对数与指数的互 化：
a?N?x?log
a
N,(a?0,a?1)

（3）对数的性质：
log
a
1?0,log
a
a?1

log
a
(M?N)?log
a
M?log
a
N
（4）对数的运 算性质：
log
M
?logM?logN

aaa
N
log
a
M
n
?nlog
a
M(a?0,a?1,M?0 ,N?0)
（5）对数恒等式：
a
log
a
b
?b(a?0 ,a?1,b?0)

log
c
b
(a?0,a?1;c?0,c?1,b?0)

log
c
a
1
,log
a
b?log
b
c?log
c
d?log
a
d

log
b
a
（6）对数换底公式：
log
a
b?

log
a
b?
4．对数函数及其性质：
（1）对数函数：
一般地，形如
y?log
a
x(a?0,a?1)
的函数，叫做对数函数； 其中
x
是自变量，函数的定义域为
?
0,??
?
。
（2）对数函数的图象与性质：
指数函数
y?log
a
x(a?0,a?1)
的图象与性质

图
象
定义域
值域
（1）过定点
（2）单调性
0?a?1


a?1


?
0,??
?

R

（1，0），即
x?1
时
y?0

在
?
0,??
?
上是减函数 在
(0,??)
上是增函数
性
质
0?x?1
时
y?0
；
（3）范围
0?x?1
时
y?0
；
x?1
时
y?0
；
x?1
时
y?0
；
5

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5．幂函数：
（1）幂函数定义：
一般地，形如
y?x
的函数，叫做幂函数；其中
x
是自变量，
a
是常数。
（2）幂函数的图象与性质：

a
y?x

y?x


2
y?x


3
y?x


1
2
y?x
?1

图象
定义域
值域
奇偶性
对称性
R

R

奇函数
原点对称
R

R

R

奇函数
原点对称
?
0,??
?

?
xx?0
?

?
0,??
?

偶函数
?
0,??
?

无
?
yy?0
?

奇函数
原点对称
y
轴对称
?
??,0
?
上递减
单调性
在
R
上递增
?
0,??
?
上递增
在
R
上递增
?
0,??
?
上递增
?
??,0
?
及
?
0,??
?
上递减
公共点
6．函数图象变换
平移变换：左右平移与上下平移
?
1,1
?

翻折变换：如何由
y?f(x)
图象 得到
y?f(x),y?f(x)
图象
对称变换：如何由
y?f(x)图象得到
y?f(?x),y??f(x),y??f(?x)
图象

第三章 函数的应用
一、函数与方程
1．方程的根与函数的零点：
（ 1）函数的零点：对于函数
y?f(x)
，我们把使
f(x)?0
的实数x
叫做函数
y?f(x)
的零点。
（2）方程的根与函数的零点的关系：
方程
f(x)?0
有实数根
?
函数
y?f(x)
的图象与
x
轴有交点
?
函数< br>y?f(x)
有零点
（3）方程的根与函数的零点存在性定理：
一般地，我们有：
如果函数
y?f(x)
在区间
?
a,b
?
上的图象是连续不断的一条曲线，并且有
f(a)?f(b)?0
，那么，函数y?f(x)
在区间
?
a,b
?
内有零点，即存在
c?
?
a,b
?
，使得
f(c)?0
，这个
c
也就是方程
f(x)?0
的根。
6

高中数学必备(必须理解与记忆)知识点归纳
2．二分法：
（1）二分法定义：
对于区间
?
a,b
?
上连续不断且< br>f(a)?f(b)?0
的函数
y?f(x)
，通过不断地把函数
f( x)
的零点所在的区
间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法 叫做二分法
（2）给定精度
?
，用二分法求函数
f(x)
零点近似 值得基本步骤：
1. 确定区间
?
a,b
?
，验证
f(a )?f(b)?0
，给定精度
?
；
2. 求区间
?
a,b)
?
的中点
c

3. 计算
f(c)

（1）若
f(c)?0
，则
c
就是函数的零点；
（2）若
f(a)?f(c)?0
，则令
b?c
（此时零点
x
0?(a,c)
）；
（3）若
f(c)?f(b)?0
，则令
a ?c
（此时零点
x
0
?(c,b)
）；
4. 判断是否达 到精度
?
：即若
a?b??
，则得到零点近似值
a
（或b
）；否则重复2~4。
二、函数模型及其应用：
1．几类不同增长的函数模型：
一次函数型（直线型）：均匀上升
指数型：爆炸式上升
对数型：缓慢式上升
幂函数型：爆炸或缓慢式上升
2．函数模型的应用：
必 修 二
第一章 空间几何体
1.空间几何体的结构

（1）柱、锥、台、球的结构特征：
棱柱：定义，基本元素（底面、侧面、侧棱、顶点），表示方法
棱锥：定义，基本元素（底面、侧面、侧棱、顶点），表示方法
棱台：定义，基本元素（底面（上、下）、侧面、侧棱、顶点），表示方法
圆柱：定义，基本元素（底面、侧面、轴、母线），表示方法
圆锥：定义，基本元素（底面、侧面、轴、母线），表示方法
圆台：定义，基本元素（底面、侧面、轴、母线），表示方法
球：定义，基本元素（球心、半径（直径）），表示方法
（2）简单组合体：一种是由简单几何体拼接，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成
7

高中数学必备(必须理解与记忆)知识点归纳
2.空间几何体的三视图和直观图
（1）中心投影与平行投影：投影，投影线，投影面；中心投影，平行投影
（2）空间几何体的三视图
三视图： 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下
画三视图的原则：长对正（正视、俯视有长）、高平齐（正视、侧视有高）、宽相等（侧视、俯视有宽）
（3）直观图：斜二测画法
平面图形斜二测画法
① 确定坐标系：
x?
o
?
y
?
（
?x
?
o
?< br>y
?
?45
0
）
② 平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；
③ 平行于
y
轴的线长度变半，平行于
x
，
z
轴的线长度不变；
几何体斜二测画法：
一画轴 二画底面 三画侧棱 四成图
3. 空间几何体的表面积与体积
（1）空间几何体的表面积
棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和
圆柱的表面积
S?2?rl?2?r
2

圆锥的表面积
S?
?
rl?
?
r
2

圆台的表面积
S??(R
2
?r
2
?Rl?rl)

球的表面积
S?4
?
R
2

（2）空间几何体的体积
柱体的体积
V?S
底
?h

锥体的体积
V?
1
3
S
底
?h

台体的体积
V?
1
3
（S
上
?S
上
S
下
?S
下
)?h

球体的体积
V?
4
3
3
?
R


第二章 点、直线、平面之间的位置关系
1.空间点、直线、平面之间的位置关系
（1）平面含义：平面是无限延展的
（2）平面的画法及表示
① 平面的画法：水 平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45
0
，
且横边画成邻边的2倍长（ 如图）
8
D C
A
α
B

高中数学必备(必须理解与记忆)知识点归纳
② 平面通常用希腊字母α、β 、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四
个顶点或者相对的两个顶点的大 写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。
（3） 三个公理：
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
符号表示为：A∈L，B∈L， 且A∈α，B∈α
?l??

公理1作用：判断直线是否在平面内
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α，
使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且P∈L
公理3作用：判定两个平面是否相交的依据
2.空间中直线与直线之间的位置关系
（1）空间的两条直线有如下三种关系：

共面直线：相交直线（同一平面内，有且只有一个公共点）
平行直线（同一平面内，没有公共点）
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
（2）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条直线
a∥b， c∥b
?
a∥c
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
（3）等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
（4）异 面直线所成的角：已知异面直线
a,b
，经过空间任一点
O
作直线
a
?
a,b
?
b
，则
a
?
与
b?
所成的
锐角（或直角）叫做异面直线
a
与
b
所成的角 （或夹角）
①
a
?
与
b
?
所成的角的大小只由
a,b
的相互位置来确定，与
O
的选择无关，为简便，点
O
一般取在两直
线中的一条上或空间图形的特殊位置上；
α
β
·

L
P
A
A
α
·


L
B
α
·

C
·

·

?
② 两条异面直线所成的角
??(0,
?
；
2
?
?
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；
④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
3.空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
平行问题：
（1）直线与平面有三种位置关系：
9

高中数学必备(必须理解与记忆)知识点归纳
直线在平面内——有无数个公共点
直线与平面相交——有且只有一个公共点
直线在平面平行——没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用
a??
来表示

a??

a???A

a?

（2）直线与平面平行的判定
直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内
的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
α
符号表示：
a??,b??,且ab?a?

（3）平面与平面平行的判定
两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
简记为：线面平行，则面面平行
符号表示：
a??,b??,a?b?P,a?,b????

判断两平面平行的方法有三种：
①用定义；
②判定定理；
③垂直于同一条直线的两个平面平行。
（4）直线与平面、平面与平面平行的性质
定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行，则线线平行
符号表示：
a?,a??,????b?ab

作用：利用该定理可判断直线的平行问题。
结论：
a??,b??,a??b?

定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
简记为：面面平行，则线线平行。
符号表示：
??,a???a,????b?ab

作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
结论：夹在两平行平面间的平行线段相等。
10
a

b

高中数学必备(必须理解与记忆)知识点归纳
垂直问题：
（5）直线与平面垂直
①定义：如果直线
l
与平面
?
内的 任意一条直线都垂直，我们就说直线
l
与平面
?
互相
垂直，记作l
⊥
?
，直线
l
叫做平面
?
的垂线，平面?
叫做直线
l
的垂面。如图，直线与
平面垂直时,它们唯一公共点
P
叫做垂足。
②判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
符号表示：
l?a,l?b,a??,b??,a?b?P?l??

a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
重要结论：
ab,a???b?a

③直线与平面所成的角：
如图 ：
PA
是平面
?
的一条斜线，
A
为斜足，
PO是平面
?
的一条垂线，
l

?

P

P

A

?

O

O
为 垂足；则直线
AO
为斜线
PA
在平面内
?
上的射影.
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角
(6)平面与平面垂直
①二面角（图形）
概念：从一直线出发的两个半平面所组成 的图形(如图)，这条直线叫做二
面角的棱（
AB
），两个半平面（
?,?< br>）叫做二面角的面
记法：二面角
P?AB?Q或P?l?Q或?-l??
等
二面角的平面角： 如图：在平面
?
和
?
内分别作垂直于棱
l
的射线
?

M

gP

l

N

?

B

gQ

O

A

OM,ON
,则射线
OM和ON
构成的
?MON
叫做二面角 的平面角
二面角的平面角的做法：垂线法与垂面法
当二面角的平面角为直角时叫做直二面角。
②两个平面垂直：
定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
记作：
???
画法（略）
判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
图形（略） 符号：
a??,a??????

性质：
定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。 符号：
a??,b???ab

定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
11

高中数学必备(必须理解与记忆)知识点归纳
符号：
???,????l,a??,a?l?a??


第三章 直线与方程
1.直线的倾斜角和斜率
①直线的倾斜角的概念：
当直线
l
与
x
轴相交时, 取
x
轴作为基准, < br>x
轴正向与直线
l
向上方向之间所成的角α叫做直线
l
的倾< br>斜角.
特别地,当直线
l
与
x
轴平行或重合时, 规定α= 0°.
倾斜角α的取值范围：0°≤α＜180°. 当直线
l
与
x
轴垂直时, α= 90°.
②直线的斜率:
一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k =
tanα
当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
由此可知, 一条直线
l
的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
③直线的斜率公式:
给定两点
P
1
(x
1
,y
1
),P
2
(x
2
,y
2
),且x
1
?x
2；则直线
P
1
P
2
的斜率为
k?
2.两条直线 的平行与垂直
①两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们 的斜率相等，那
么它们平行，即
y
2
?y
1

x
2
?x
1
注意前提条件，若情况特殊则特殊判断
②两条 直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒
数，那 么它们互相垂直，即
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1

注意前提条件，若情况特殊则特殊判断
3. 直线的方程
直线的点斜式方程：直线
l
经过点
P
0
(x
0
,y
0
)
，且斜率为
k
的直线方程：
y?y0
?k(x?x
0
)

直线的斜截式方程：已知直线
l
的斜率为
k
，且与
y
轴的交点为
(0,b)
（< br>b
为直线
l
在
y
轴上的截距），
y?kx?b

直线的两点式方程：已知两点
P
1
(x
1
,x
2
),P
2
(x
2
,y
2
)
其中
(x
1

?x
2
,y
1
?y
2
)
，则直线方程为：
y?y
1
x?x
1
?

y
2
?y
1
x
2
?x
1
12

高中数学必备(必须理解与记忆)知识点归纳
直线的截距式方程：已知直线< br>l
与
x
轴的交点为A
(a,0)
，与
y
轴的 交点为B
(0,b)
，其中
a?0,b?0
，则直线方程为
??1< br>
直线的一般式方程：关于
x,y
的二元一次方程
Ax?
注意 ：理解各种直线方程得推导过程
会对特殊情况进行分类讨论
各种直线方程之间的互化
4.直线的交点坐标与距离公式
两直线的交点坐标：联立方程组求解即可
两点间的距离公式：若
P
(x2
?x
1
)?(y
2
?y
1
)
12
?
1
(x
1
,x
2
),P
2(x
2
,y
2
)
，则
PP
22
xa
y
b
By?C?0
（A，B不同时为0）
点到直线距离公式 ：点
P(x
0
,y
0
)
到直线
l:Ax?By?C ?0
的距离为：
d?
两平行线间的距离公式：
Ax
0
?By
0
?C
A?B
22

已知两条平行线直线
l
1
和
l
2
的一般式方程为
l
1
：
Ax?By?C
1
?0
，
l
2：
Ax?By?C
2
?0
，则
l
1
与
l
2
的距离为
d?
C
1
?C
2
A?B22


第四章 圆与方程
1. 圆的标准方程
22
（1）圆的标准方程：
(x?a)?(y?b)?r
圆心为
A (a,b)
,半径为
r
；特别：
x?y?1
（单位圆）
2 22
222
（2）点
M(x
0
,y
0
)
与 圆
(x?a)?(y?b)?r
的关系的判断方法：
(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
>
r
2
，点 在圆外
(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)2
=
r
2
，点在圆上
(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
<
r
2
，点在圆内
2.圆的一般方程
（1）圆的一般方程：
x?y?Dx?Ey?F?0

22
x
和
y
的系数相同，
D
2
?E
2
?4F?0
（2）圆的一般方程的特点：且不等于0，没有xy这样的二次项，
(3) 圆的一般方程与标准方程相 比，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出
了圆心坐标与半径大小，几何特 征较明显。
3.直线与圆的位置关系
13
2
2

高中数学必备(必须理解与记忆)知识点归纳
（1）
d,r
法：
当
d?r
时，直线
l
与圆
C
相离；当
d?r
时，直线
l
与圆
C
相切；当
d?r
时，直线
l
与圆
C
相交。
（2）
?
法：
当
??0
时，直线
l
与圆
C
相交；当
??0
时，直线
l
与圆
C
相切 ；当
??0
时，直线
l
与圆
C
相离。
4. 圆与圆的位置关系
设两圆的连心线长为
l
，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1 ）当
l?r
1
?r
2
时，圆
C
1
与圆C
2
相离；
（2）当
l?r
1
?r
2
时，圆
C
1
与圆
C
2
外切；
（3）当
|r
1
?r
2
|?l?r
1
?r
2
时，圆
C
1
与圆
C
2
相交；
（4）当
l?|r
1
?r
2
|
时，圆
C
1
与圆
C< br>2
内切；
（5）当
l?|r
1
?r
2
|< br>时，圆
C
1
与圆
C
2
内含。
5.直线与圆的方程的应用
（1）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；
（2）过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐 标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为
代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．
6.空间直角坐标系
（1）空间直角坐标系：坐标原点，坐标轴，坐标平面；右手直角坐标系
（2）在空间直角坐标系中，任一点M对应着唯一确定的有序实数组
(x,y,z)
，
x
、
x
P
O
R
M
Q
M '
y
y
、
z
分别是P、Q、R在
x
、
y< br>、
z
轴上的坐标；反之有序实数组
(x,y,z)
，对应着空间直角坐 标
系中的一点。
（3）空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组
(x,y,z)< br>来表示，该数组叫
做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M
(x,y,z)
，
x
叫做点M的
横坐标，
y
叫做点M的纵坐标，
z
叫 做点M的竖坐标。
会建空间直角坐标系，会确定点的坐标
7.空间两点间的距离公式 空间中任意一点
P
1
(x
1
,y
1
,z
1
)
到点
P
2
(x
2
,y
2
, z
2
)
之间的距离公式
x
14
z
P
1
O
M
1
N
1
M
P
2
M
2
H
N
2
y
N

高中数学必备(必须理解与记忆 )知识点归纳
P
1
P
2
?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
?(z
1
?z
2
)
2

必 修 三
第一章 算法初步
1.算法的概念
（1）算法概念：
最初指用阿拉伯数字进行算术运算的 过程。在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的
明确和有限的步骤。
（2）算法的特点:
①有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的.
②确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可.
③顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步< br>骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题.
④不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法.
⑤普 遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先
设计好 的步骤加以解决.
2.程序框图
（1）程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用的 程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形。
（2）程序框图的基本要素：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明。
（3）构成程序框的图形符号及其作用
图形



输入、输出框



处理框（执行框）
名称
终端框（起止框）
功能
表示一个算法的起始和结束，是任何流程图不可
少的。
表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中
任何需要输入、输出的位置。
赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公式
等分别写在不同的用以处理数据的处理框内。
判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明
“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”。
连结程序框
判断框

流程线

连接点
连接程序框图的两部分
学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下：
15

高中数学必备(必须理解与记忆)知识点归纳
（1）使用标准的图形符号。
（2）框图一般按从上到下、从左到右的方向画。
（ 3）除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一
符 号。
（4）判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一 类是多
分支判断，有几种不同的结果。
（5）在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。
3.算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。
（1）顺序结构：
顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，它是由若
干 个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。
顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，按顺序
执行算法步骤。如在示意图中，A框和B框是依次执行的，只有在执行完A框指定
的操作后，才能接着执行B框所指定的操作。
（2）条件结构：
条件结构是指在算法中通过对条件的判断根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。
条件 P是否成立而选择执行A框或B框。无论P条件是否成立，只能执行A框或B框之一，不可能同
时执行A 框和B框，也不可能A框、B框都不执行。一个判断结构可以有多个判断框。
（3）循环结构： 在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环
结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含条件结构。循环结构又称重复结构，循
环结构可细分为两类：
①一类是当型循环结构，如下左图所示，它的功能是当给定的条件P成立时，执 行A框，A框执行完
毕后，再判断条件P是否成立，如果仍然成立，再执行A框，如此反复执行A框，直 到某一次条件P不成
立为止，此时不再执行A框，离开循环结构。
②另一类是直到型循环结构 ，如下右图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条件P是否成立，
如果P仍然不成立，则继续执行 A框，直到某一次给定的条件P成立为止，此时不再执行A框，离开循环
结构。


当型循环结构 直到型循环结构



A
B
A
P
不成立
16
A
P
不成立
成立
成立

高中数学必备(必须理解与记忆)知识点归纳
注意：
（1）循环结 构要在某个条件下终止循环，这就需要条件结构来判断。因此，循环结构中一定包含条
件结构，但不允许 “死循环”。
（2）在循环结构中都有一个计数变量和累加变量。计数变量用于记录循环次数，累加变 量用于输出
结果。计数变量和累加变量一般是同步执行的，累加一次，计数一次。
4.输入、输出语句和赋值语句
（1）输入语句
①输入语句的一般格式
图形计算器
格式

INPUT“提示内容”；变量

INPUT “提示内容”，变量

②输入语句的作用是实现算法的输入信息功能；
③“提示内容”提示用户输入什么样的信息，变量是指程序在运行时其值是可以变化的量；
④输入语句要求输入的值只能是具体的常数，不能是函数、变量或表达式；
⑤提示内容与变量之间用分号“；”隔开，若输入多个变量，变量与变量之间用逗号“，”隔开。
（2）输出语句
PRINT“提示内容”；表达式
①输出语句的一般格式
图形计算器
格式
Disp “提示内容”，变量
②输出语句的作用是实现算法的输出结果功能；
③“提示内容”提示用户输入什么样的信息，表达式是指程序要输出的数据；
④输出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及字符。
（3）赋值语句
①赋值语句的一般格式


②赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量；
③赋值语句中的“＝”称作赋值号，与数 学中的等号的意义是不同的。赋值号的左右两边不能对换，
它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边 的变量；
④赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个数据、常量或算式； ⑤对于
一个变量可以多次赋值。
注意：
①赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。如：2=X是错误的。
②赋值号左右不能对换。如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的。
③不能利用赋值语句进行代数式的演算。（如化简、因式分解、解方程等）
④赋值号“=”与数学中的等号意义不同。
17
变量＝表达式
图形计算器
格式
表达式
?
变量

高中数学必备(必须理解与记忆)知识点归纳
5.条件语句
（1）条件语句的一般格式有两种：①IF—THEN—ELSE语句；②IF—THEN语句。
（2）IF—THEN—ELSE语句
IF—THEN—ELSE语句的一般格式为图1，对应的程序框图为图2。




IF 条件 THEN
语句1
ELSE
否
满足条件？
是
语句1
语句2
语句2

END IF

图1 图2
注意：在IF—THEN—ELSE语句中，“条件”表示判断的条件，“语句1”表示满足条件 时执行的操作内
容；“语句2”表示不满足条件时执行的操作内容；END IF表示条件语句的结束 。计算机在执行时，首先
对IF后的条件进行判断，如果条件符合，则执行THEN后面的语句1；若条 件不符合，则执行ELSE后面的
语句2。
（3）IF—THEN语句
IF—THEN语句的一般格式为图3，对应的程序框图为图4。




IF 条件 THEN
语句
END IF
（图3）
（图4）
是
满足条件？
否
语句

注意：“条件”表示判断的条件；“语句”表示满足条件时执行的操作内容，条件不满足时，结束程序；
END IF表示条件语句的结束。计算机在执行时首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合就执 行THEN
后边的语句，若条件不符合则直接结束该条件语句，转而执行其它语句。
6.循环语句
循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序 设计语言中也有当型
（WHILE型）和直到型（UNTIL型）两种语句结构。即WHILE语句和U NTIL语句。
(1)WHILE语句
①WHILE语句的一般格式是 对应的程序框图是





循环体
WHILE 条件
循环体
WEND
满足条件？

否
是
②当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执 行WHILE与WEND之间的循
环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个 过程反复进行，直到某一次条件不
18

高中数学必备(必须理解与记忆)知识点归纳
符合为止。这时，计算机将不执 行循环体，直接跳到WEND语句后，接着执行WEND之后的语句。因此，当
型循环有时也称为“前测 试型”循环。
(2)UNTIL语句
①UNTIL语句的一般格式是 对应的程序框图是






DO
循环体
LOOP UNTIL 条件
循环体
满足条件？
是
否
②直到型循环又称为“后测试型”循环，从UNTIL型循环结构分析，计算 机执行该语句时，先执行一次
循环体，然后进行条件的判断，如果条件不满足，继续返回执行循环体，然 后再进行条件的判断，这个过
程反复进行，直到某一次条件满足时，不再执行循环体，跳到LOOP UNTIL语句后执行其他语句，是先执
行循环体后进行条件判断的循环语句。
分析：当型循环与直到型循环的区别：（先由学生讨论再归纳）
当型循环先判断后执行，直到型循环先执行后判断；
在WHILE语句中，是当条件满足时执行循环体，在UNTIL语句中，是当条件不满足时执行循环
7.辗转相除法与更相减损术
（1）辗转相除法。也叫欧几里德算法，用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：
①用较大的 数
m
除以较小的数
n
得到一个商
S
0
和一个余数< br>R
0
；
②若
R
0
?0
，则
n为
m,n
的最大公约数；若
R
0
?0
，则用除数
n
除以余数
R
0
得到一个商
S
1
和一个余数R
1
；
③若
R
1
?0
，则
R
1
为
m,n
的最大公约数；若
R
1
?0
，则用除 数
R
0
除以余数
R
1
得到一个商
S
2和一个
余数
R
2
；
……依次计算直至
R
n< br>?0
，此时所得到的
R
n?1
即为所求的最大公约数。
（2）更相减损术
我国早期也有求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。在《九章算术》 中有更相减损术求最大公
约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母?子之数，以少减多，更相减损 ，求其等也，以等数约之。
翻译为：①任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简； 若不是，执行第二步。②以较
大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。 继续这个操作，直到
所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。
例：用更相减损术求98与63的最大公约数.
（3）辗转相除法与更相减损术的区别： < br>①都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗
转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。
19

高中数学必备(必须理解与记忆)知识点归纳
②从结果体现形式来看，辗转相 除法体现结果是以相除余数为0而得到，而更相减损术则以减数与差
相等而得到
8.秦九韶算法与排序
（1）秦九韶算法概念：
f(x)=a
n
x
n
+a
n-1
x
n-1
+…+a
1
x+ a
0
求值问题
f(x)=a
n
x
n
+a
n-1
x
n-1
+…+a
1
x+a
0
=( an
x
n-1
+a
n-1
x
n-2
+…+a1
)x+a
0
=(( a
n
x
n-2
+a< br>n-1
x
n-3
+…+a
2
)x+a
1
)x +a
0

=......=(...( a
n
x+a
n-1
)x+a
n-2
)x+...+a
1
)x+a
0< br>
求多项式的值时，首先计算最内层括号内依次多项式的值，即
v
1
= a
n
x+a
n-1

然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即
v
2
=v
1
x+a
n-2
v
3
=v
2
x+a
n-3
......

v
n
=v
n-1
x+a
0
这样，把< br>n
次多项式的求值问题转化成求
n
个一次多项式的值的问题。
9.进位制
（1）进位制：是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可 使用数字符号的个数称
为基数，基数为
n
，即可称
n
进位制，简称< br>n
进制。现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字
0-9进行记数。对于任何 一个数，我们可以用不同的进位制来表示。比如：十进数57，可以用二进制表示
为111001，也可 以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的。
一般地，若
k
是一个大于1的整数，那么以
k
为基数的
k
进制可以表示为： < br>a
n
a
n?1
...a
1
a
0(k)
(0?a
n
?k,0?a
n?1
,...,a
1
,a0
?k)
，
而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001
(2)
表示二进制数,34
(5)
表示5进制数
（2）各种不同进位制数的互化
二进制化为十进制：如
110011
( 2)
?1?2?1?2?0?2?0?2?1?2?1?2

八进制化为二进制：如
7342
(8)
?7?8?3?8?4?8?2?8

十进制化为二进制：除2取余法（见课本）
十进制化为
k(k?1,k?N)
进制：除
k
取余法
3210
543210
第二章 统 计
一、简单随机抽样
1．总体和样本
在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体．把每个研究对象叫做个体． 把总体中个体的总数叫做总
体容量．为了研究总体
x
的有关性质，一般从总体中随机抽 取一部分：
x
1
,x
2
,x
3
,L,x
n
研究，我们称它为
样本．其中个体的个数称为样本容量．
2．简单随机抽样，也叫纯随机抽样。
就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。
特点是：每个样本单 位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独立，彼此间无一定
20

高中数学必备(必须理解与记忆)知识点归纳
的关联性和排斥性。简单随机抽 样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单位之间差异程度较小和
数目较少时，才采用这种方法。
3．简单随机抽样常用的方法：
（1）抽签法（抓阄法）；主要步骤：①编号，②制签，③抽签
（2）随机数表法；主要步骤：①编号，②在随机数表中任取一数，③按规则依次取数
二、系统抽样
1.系统抽样（等距抽样或机械抽样）：
把总体的单位进行排序，再 计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采
用简单随机抽样的办法抽取。
k
（抽样距离）=
N
（总体规模）
n
（样本规模）
2.基本步骤：①编号，②确定分段间隔
k
，③在第一段内用简单随机抽样确定第一个个体编 号，④按规则
抽取其他样本。
三、分层抽样
1．分层抽样（类型抽样）：
先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个
类 型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体
的 样本。
两种方法：
（1）先以分层变量将总体划分为若干层，再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。
（2） 先以分层变量将总体划分为若干层，再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列，最后用系统抽样
的方法抽 取样本。
2．分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体，再抽取不同的子总体中 的样本分别
代表该子总体，所有的样本进而代表总体。
分层标准：
（1）以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。
（2）以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分层变量。
（3）以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。
三、用样本的数字特征估计总体的数字特征
1.频率分布直方图：
（1）求极差； （2）决定组距与组数；（3）将数据分组；（4）列频率分布表；（5）画频率分布直方图
注意：横坐标——基本数据；纵坐标——频率组距；小矩形面积——频率（小矩形面积之和为1）
2.总体密度曲线：有频率分布折线图而来
3.茎叶图：①做法 ②使用条件（数据较少） ③体现信息
4.众数、中位数、平均数：
众数：一组数据中出现次数最多的数值，亦叫高频 数；原始意义是在统计分布上具有明显集中趋势点的
数值，代表数据的一般水平，众数可以不存在或者多 个。在频率从分布直方图中为最高的矩形的中点对应
的数值。
21

高中数学必备(必须理解与记忆)知识点归纳
中位数：一组数据中最中间的的 数，可将数据按序排列找最中间的数即为之；在频率分布直方图中为面
积平分点的值，及中位数左右面积 相等。
平均数：可用公式计算
x?
底边中点横坐标之和
4.标准差： < br>（1）本均值：
x?
x
1
?x
2
???x
n
，在频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以相应小矩形
n
x
1
?x
2
???x
n

n
2
(x
1
?x )
2
?(x
2
?x)
2
???(x
n
?x )
2
（2）样本标准差：
s?s?

n
说明：（1）如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数，标准差不变
（2）如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数k，标准差变为原来的k倍
（3） 一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响较大，区间
(x?3s,x?3s)
的应用；
“去掉一个最高分，去掉一个最低分”中的科学道理
5.两个变量的线性相关
（1）基本概念:
散点图：两个变量间的坐标图
正相关：散点的位置在从左下到右上的区域
负相关：散点的位置在从左上到右下的位置， < br>回归直线（方程）：散点图中心点的分布从整体上看大致在一条直线附近，这条直线叫回归直线，求
出的直线方程叫回归直线方程。
（2）最小二乘法：
n
?
x
i
y
i
?nxy
?
?
1
?
b?
i?
n
?
?bx?a
，
?
回归直线方程：
y
2 2

x?nx
?
i
?
i?1
?
?
?
a?y?bx
（3）直线回归方程的应用
①描述两变量之间的依存关系；利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系
②利用回归方程进行预测；把预报因子（即自变量x）代入回归方程对预报量（即因变量Y）
进行估计，即可得到个体Y值的容许区间。
③利用回归方程进行统计控制规定Y值的变化，通过控制x的范围来实现统计控制的目标。如
已经得到 了空气中NO
2
的浓度和汽车流量间的回归方程，即可通过控制汽车流量来控制空气中NO2
的
浓度。
(4)应用直线回归的注意事项
22

高中数学必备(必须理解与记忆)知识点归纳
①做回归分析要有实际意义；
②回归分析前,最好先作出散点图；
③回归直线不要外延。
第三章 概 率
一、随机事件的概率及概率的意义
1．基本概念：
必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件，简称必然事件
不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件
确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件
随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件，简称随机事件 2.频数、频率及概率：在相同的条件S下重复
n
次试验，观察某一事件
A
是否出现，称
n
次试验中事件
A

出现的次数
n
A
为事件
A
出现的频数；称事件
A
出现的比例
f
n
(A)?
n
A
为事件
A
出现的概率：对于
n给定的随机事件
A
，如果随着试验次数的增加，事件
A
发生的频率
f
n
(A)
稳定在某个常数上，把这
个常数记作
P(A)
，称为事件
A
的概率。
3.频率与概 率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数
n
A
与试验总次数
n
的比值
n
A
，它
n
具有一定的稳定性，总在某个常数附近 摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。
我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在
大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率。
二、 概率的基本性质
1．基本概念：
（1）事件的包含：如果事件
A
发生，则事件
B< br>一定发生，称事件
B
包含事件
A
，记作
A?B
， < br>相等事件：如果事件
A
发生，则事件
B
一定发生，反之也对，称这两个 事件相等，记作
A?B

并事件：若某事件发生当且仅当事件
A
发生 或事件
B
发生，称此事件为事件
A
发生与事件
B
的并事件（或和事件），记作
A?B
(或
A?B
)
交事件: 若某事 件发生当且仅当事件
A
发生且事件
B
发生，称此事件为事件
A
发生与事件
B
的交事
件（或积事件），记作
A?B
(或
A B
)
上述事件可类比集合的关系，可用韦恩图表示
（2）若A∩B为不可能事件，即A∩B=ф，那么称事件A与事件B互斥；
（3）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件；
（4）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A与B为对立事件，则A∪B
为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)
2．概率的基本性质：
（1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；
（2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；
23

高中数学必备(必须理解与记忆)知识点归纳
（3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；
（4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件 是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其
具体包括三种不同的情形：①事件A发生且事件B不 发生；②事件A不发生且事件B发生；③事件A与
事件B同时不发生；而对立事件是指事件A与事件B有 且仅有一个发生，其包括两种情形；①事件A发
生B不发生；②事件B发生事件A不发生，对立事件互斥 事件的特殊情形。
四、古典概型及随机数的产生
1.古典概型
（1）古典概率模型：
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，
②每个基本事件出现的可能性相等；
（2）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。
（3）古典概型的解题步骤：
①求出总的基本事件数；
②求出事件A所包含的基本 事件数，然后利用公式
P(A)?
2.几何概型及均匀随机数的产生
（1）基本概念：
①几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面 积或体积）成比例，则称这
样的概率模型为几何概率模型；
②几何概型的概率公式：
A包含的基本事件的个数
；
基本事件的总数
P(A)?
构成事件A的区域长度（面积或体积）
；
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
(2)几何概型的特点：①试验中所有可能出现的结 果（基本事件）有无限多个；②每个基本事件出现的可
能性相等．

必 修 四
第一章三角函数
一、任意角和弧度制：
（一）任意角：
1. 任意角的定义（旋转定义法）：正角 零角 负角
2. 象限角与轴线角：
3. 终边相同角的集合：
终边落在射线上（过原点）的角的集合：
终边落在直线上（过原点）的角的集合：
终边落在坐标轴上的角的集合：
24

高中数学必备(必须理解与记忆)知识点归纳
4. 基本题型：
判断给定角的终边的位置：如角
?95012
?
的终边位置。
在给定范围内找与已知角终边相同的角: 如在
?720~360
内找出终边与角
?225
相同的所有角。
（二）弧度制：
1. 弧度制定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
2. 弧度数公式：
?
?
000
0
l

r
0
?
?
180
?
0
3. 弧度与角度之间的互化：
1rad?
?
rad

?
,1?
180
?
?
?
00
4.
0~180
之间特殊角的弧度数与角度数：
30,45,60,90,120,135,15 0,180,270,360


5. 扇形的面积公式：
S?
6. 基本题型：
1l
lR
,与
?
?
结合后有三种形式
2r
角度数与弧度数的互化
弧度数公式及扇形面积公式的应用
二、任意角的三角函数：
(一) 任意角的三角函数：
1. 任意角的三角函数的 定义：坐标定义法：
sin??
y
r
cos??
x
r
tan??
y

x
2. 三个三角函数的符号（从定义出发）：一全（正），二正弦（正），三正切（正），四余弦（正）
3. 公式一：
sin(??2k?)?sin?,cos(??2k?)?cos?,tan(??2 k?)?tan?,(k?Z)

4．三个三角函数线：正弦线、余弦线、正切线
5. 同角三角函数的基本关系：
sin??cos??1,
6．基本题型：
利用定义求一些特殊角的三个三角函数值：如：求
22
sin?
? tan?
（变形）
cos?
5
?
的正弦、余弦与正切值
3
给出角终边上的点或其他信息求三个三角函数值：
三角函数符号的应用：
作出已知角的三角函数线：
利用三角函数线比较三角函数值的大小与解简单的三角不等式：
利用同角三角函数的基本关系进行简单的计算、化简与证明：
（二）三角函数的诱导公式：
1. 基本公式：
公式一：
?
?k?2
?
与
?< br>的三个三角函数值的关系：
sin(??2k?)?sin?cos(??2k?)?cos?
25
tan(??2k?)?tan?,(k?Z)

高中数学必备(必须理解与记忆)知识点归纳
公式二：
?
?
?
与
?
的三个三角函数值的关系：
sin(???)??sin?cos(???)??cos?tan(???)?tan?

公式三：
?
?
与
?
的三个三角函数值的关系：
sin(??)??sin?cos(??)?cos?tan(??)??tan?

公式四：
?
?
?
与
?
的三个三角函数值的关系：
sin(???)?sin?cos(???)??cos?tan(???)??tan?

以上公式特点：函数名不变，符号看象限
公式五：
?
2
?
?
与
?
的正余弦的关系：
?
cos(??)?sin?

2
?
sin(??)?co s?
2
公式六：
?
2
?
?
与
?
的 正余弦的关系：
?
cos(??)??sin?

2
?
s in(??)?cos?
2
以上公式特点：函数名改变，符号看象限
对上述公式要求理解证明方法，牢记公式
2. 基本题型：
利用基本公式进行计算与化简
三、三角函数的图像与性质
1.正弦曲线、余弦曲线，五点作图法及换元五点法
2.正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
数
性
质

函



y?sinx

y?cosx

y?tanx

图象

定义域

R

R

?
?
?
?
xx?k
?
?,k??
?

2
??
值域
?
?1,1
?

当
?
?1,1
?

R

x?2k
?
?
最值
y
max
?
?
k??
?
时，
当
x?2k
?
?k??
?
时，
2
?
?1
；当
x?2k
?
?
y
max
?1
；当
x?2k
?
?
?

2
26
既无最大值也无最小值

高中数学必备(必须理解与记忆)知识点归纳
?
k??
?
时，
y
min
??1
．
周期性
奇偶性
在
?
k??
?
时，
y< br>min
??1
．
2
?

2
?

?

奇函数 奇函数 偶函数
??
??
2k
?
?,2k
?
?

?
22
?
??
在
?
k??
?
上是增函数； 在
单调性
?
2k
?
?
?
,2k
??
?
k??
?
上是
?
2k
?
,2k< br>?
?
?
?

在
?
k
?
增函 数；在
?
?
?
?
2
,k
?
?
?< br>?
?

2
?
?
3
?
??
2 k
?
?,2k
?
?

??
22
??
?
k??
?
上是减函数．
?
k??
?
上是增函数．
?
k??
?
上是减函数．
对称中心
对称性
对称 轴
x
?
k
?
,0
??
k??
?

?k
?
?
?
2
对称中心
?
k
?< br>?
k??
?

?
?
?
?
?
,0
?
?
k??
?

2
?
对称中心
?
无对称轴
?
k
?
?
,0
?
?
k??
?

?
2
?
对称轴
x?k
?
?
k??
?

3. 函数
y?Asin
?
?
x?
?
??
A?0,
?
?0
?
及y?Asin
?
?
x?
?
??< br>A?0,
?
?0
?
的图象与性质：
（1）图象：可用换元五点法或图像变换作图；
（2）性质：用整体代换思想结合相应基本三 角函数求解，主要包括以下几个方面：周期，最值（相应自
变量的值），单调区间，对称轴方程及对称轴 点坐标等。
4. 函数
y??sin
?
?
x?
?
??
??0,
?
?0
?
的性质：
①振幅：
?；②周期：
??
2
?
?
；③频率：
f?
1?
；④相位：
?
x?
?
；⑤初相：
?
． ?
?2
?
函数
y??sin
?
?
x?
?
?
??
，当
x?x
1
时，取得最小值为
y
min
；当
x?x
2
时，取得最大值为
y
max
，则
??
11?
?
y
max
?y
min
?
，
??
?
y
max
?y
min
?
，
?x
2
?x
1
?
x
1
?x
2
?
．
222
5.图像变换：平移变换（水平方向与竖直方向），周期变换，振幅变换
①的图象上所有点向左（右）平移
?
个单位长度，得到函数
y?sin
?x?
?
?
的图象；再将函数
1
倍（纵坐标不变），得到函数?
y?sin
?
x?
?
?
的图象上所有点的横坐标伸长 （缩短）到原来的
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象 ；再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上所有 点的纵坐标伸长（缩短）到原来的
?
倍
（横坐标不变），得到函数
y??si n
?
?
x?
?
?
的图象．
②数
y?si nx
的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
1
倍（纵坐标不变），得到函数
?
27

高中数学必备(必须理解与记忆)知识点归纳
y? sin
?
x
的图象；再将函数
y?sin
?
x
的图 象上所有点向左（右）平移
?
个单位长度，得到函数
?
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象；再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的
?倍
（横坐标不变），得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象．
6.三角函数模型的简单应用：

第二章 平面向量
一、平面向量的基本概念
1．平面向量的定义：既有大小，又有方向的量叫做向量
r
r
uuu
2．平面向量的表示：几何表示——带方向的线段；字母表示：
a
或
AB

rr
ruuur
3．向量的模：向量的长度
(a或AB)
、零向量 （
0
）、单位向量（
e
）
4．相等向量：长度相等且方向相同的向量
5．共线向量：即平行向量
二、平面向量的线性运算
1．向量加法运算及其几何意义：
rr
向量加 法的代数表示（
a?b
），向量加法的三角形法则与平行四边形法则（合成与分解）
2．向量减法运算及其几何意义：
rr
向量减法的代数表示（
a?b
），向量减法的三角形法则（合成与分解）
rrrr
3．向量不等式：
a?b?a?b
（注意取“=”条件）
4．向量数乘运算及其几何意义：
r
r
向量数乘定义：实数
?与向量
a
的积，记作
?
a

r
r
r< br>rr
向量数乘规定：（1）
?
a?
?
a
；（2）当< br>?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向相同；当
?
?0
时，
?
a
的
r
rr
方向与
a
的方向相相反；当
?
?0
时，
?
a?0

rrrrrrrrr
向量数乘运算律：
?
(
?
a)?(??
)a;(
?
?
?
)a?
?
a?
?
a;
?
(a?b)?
?
a?
?
b

r
rr
rrr
5．向量共线定理：向量
a(a?0)
与
b
共线
?
存在实数
?
，使
b?
?
a
（用于判断向量共线与多点共线等）
三、平面向量的基本定理及坐标表示
r
uruur
1．平面向量基本定理：如果
e
1
、e2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量
a
，
ruruururuur
有且只有一对实数
?
1
、
?
2，使
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
。不共线向量
e
1
、e
2
叫做一组基底
28

高中数学必备(必须理解与记忆)知识点归纳
rr
2．向量夹角（定义及范围）、向量垂直（夹角
90
，记作
a?b

0
r
3．平面向量的正交分解及坐标表示：
a?(x,y)

rr
4．平面向量的坐标运算：设
a?(x
1
,y
1),b?(x
2
,y
2
),
?
?R

r
rrrr
加法：
a?b?(x
1
?x
2
,y1
?y
2
)
；减法：
a?b?(x
1
?x2
,y
1
?y
2
)
；数乘：
?
a?(
?
x,
?
y)
；
uuur
向量坐标与两个端点坐 标的关系：若
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y< br>2
)
，则
AB?(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
)

5．平面向量共线的坐标表示：已知
ra?(x
r
rr
1
,y
1
),b?(x
2,y
2
),
则
a
与
b
?
x
1
y
2
?x
2
y
1

四、平面向量的数量积
1．两个向量的数量积（内积）：
r
ag
r
b?
r
a
r
bcos
?
（其中
?
是两个向量的夹角） 2．向量的投影：向量
r
a
在向量
r
b
方向上的投影为
r
acos
?

r
a?
r
3．数量积的 性质：
当
r
b?
rr
a与
r
agb?0;
b同向时，
r
ag
r
b=
r
a
r
b；当< br>r
a与
r
b反向时,
r
ag
r
b=-
r
a
r
b

特别：
r
ag
r
a =
r
a
2
=
r
a
2
或
r
a=
r
ag
r
a
rr
4．数量积的运算律：
已知 向量
r
a、
r
b、
r
agb
c
和实数?
，则
(
?
r
?
r
a)g
r
bg
r
a
b?
?
(
r
ag
r
b< br>rr
(
r
a?
r
b)g
r
c?
r< br>ag
r
)?ag(
?
b)

c?
r
bg
r
c
5．平面向量数量积的坐标表示：设
r
a?(xy
r
1
,
1
),b?(x
2
,y
2
)
，则
r
ag
r
b?x
r
1
x
2
?y
1
ya?x
2
?y
2
11
,
ra
2
2
?x
2
1
?y
2
1
r
rr
a?
r
b?
r
ag
r
b?0?xy< br>agb
x
1
x
2
?y
1
y

2
1
x
2
?
1
y
2
?0cos
?
?
r
a
r
b
?
x
2
1
?y
2
1
x
2
2
?y
2
2
五、平 面向量应用举例
1．平面几何中的向量方法
2．向量在物理中的应用举例
第三章 三角恒等变换
一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1.基本公式：
sin(???)?sin?cos??cos?sin?(S
(???)
)

sin(???)?sin?cos??cos?sin?
cos(???)?cos?cos ??sin?sin?(C
(???)
)

cos(???)?cos?cos??sin?sin?
29
(S
(???)
)
(C
(???)
)

高中数学必备(必须理解与记忆)知识点归纳
tan(???)?
2.重要结论：
tan??tan?
1?tan?ta n?
(T
(???)
)

tan(???)?
tan?? tan?
1?tan?tan?
(T
(???)
)

sinx?cosx?
??
2sin(x?)sinx?cosx?2sin(x?)
44
??
sinx?3cosx?2sin(x?)sinx?3cosx?2 sin(x?)

33
b
asinx?bcosx?a
2
? b
2
sin(x??)tan??

a
1?tan??1?tan??
?tan(??)?tan(??)

1?tan?41?tan?4
3.重要方法：
对公式会顺用、逆用、变形用、构造用（辅助角公式）；整体变角思想（角的拆分与拼凑）
二、二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin2??2sin?cos?
cos2?? cos
2
??sin
2
?

S
2?

?2cos
2
??1
?1?2sin
2
?
tan2 ??
2tan?
1?tan
2
?
2
C
2?
T
2?
?1?cos2??1?cos2??1?cos2?

?,cos< br>2
?,tan
2
?
222221?cos2?
三、简单的三角 变换
将次扩角公式：
sin
半角公式：
和差化积公式：
必 修 五
第一章 解三角形
一、正弦定理
1．正弦定理：
abc
? ??2R
(
R
为
?ABC
外接圆的半径)
sinAsin BsinC
2．解三角形：已知三角形的几个元素（边或角）求其它元素的过程。
3．正弦定理一般使用条件：
已知“两角一边”求其它边和角，此种情况解唯一；
已知“两边一对角”求其它边和角，此种情况存在多解；
4．已知“两边一对角”求其它边和角时多解问题的处理方法。
（1）初步判断方法：用大边对大角判断，
在有解的前提下，若所求角为较大角且不为直角时存在两解；
在有解的前提下，若所求角直角或所求角为较小角时只有一解；
（2）求解方法：
一用正弦定理求另一边对角的正弦；
30

高中数学必备(必须理解与记忆)知识点归纳
二用该角正弦值结合大边对大角判断。
二、余弦定理
1．余弦定理：
2
a?b
2
?c
2
?2bccosA,b
2
?a
2< br>?c
2
?2accosB,c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
推论：
b
2
?c
2
?a
2
a
2
?c
2
?b
2
a
2
?b
2
?c
2
cosA?,cosB?,cosC?

2bc2ac2ab
2．余弦定理一般使用条件：
已知“两边夹角”求其它边和角；
已知“两边一对角”列等式。
三、应用举例
在实际问题中能构造三角形而后求解相关问题。
四、重要结论
1．三角形 面积公式：
S
?ABC
?
111
absinC?bcsinA?ac sinB

222
2．三角形中的射影定理：
a?bcosC?ccosB, b?ccosA?acosC,c?acosB?bcosA

3．三角形中线公式：
m
a
?
4．设
p?
（1）
S?
（2）
r?
（3）
h
a
?
111
2(b
2
?c
2
)?a
2
,m
b
?2(a
2
?c
2< br>)?b
2
,m
c
?2(a
2
?b
2
)?c
2

222
1
(a?b?c)

2
p(p?a)(p?b)(p?c)

(p?a)(p?b)(p?c)

p
222
p(p?a)(p?b )(p?c),h
b
?p(p?a)(p?b)(p?c),h
c
?p(p? a)(p?b)(p?c)

abc




第二章 数 列
一、数列的概念与简单表示法
1．基本概念：
数列 ：按照一定顺序排列着的一列数。数列是有序的。数列是定义在自然数N*或它的有限子集{1,2,3,…,n }
上的函数。 项，首项
通项公式：数列
?
a
n
?的第
n
项
a
n
与序号
n
之间的关系可以用一个 式子来表示，这个公式叫做这个数列
的通项公式。如:
数列的表示方法：
列举法：如1，3，5，7，9，… 图象法：用（n, an）孤立点表示。
解析法：用通项公式表示。 递推法：用递推公式表示。
31
a
n
?2n
2
?1
。

高中数学必备(必须理解与记忆)知识点归纳
数列的分类：



?
有穷数列

按项数
?
?
无穷数列
?
常数列:a
n
?2
?
n
?
递 增数列:a
n
?2n?1,a
n
?2

按 单调性
?
2
?
递减数列:a
n
??n?1
?
摆动数列:a?(?1)
n
?2n
?
n
递推公式：已知数列
?
a
n
?
的第1项（或前几项），且任一项
a
n
与他的前一项
a
n?1
（或前几项）可以用
一个公式来表示，这个公式叫做这 个数列的递推公式。
2. 常见数列的通项公式：
二、等差数列
1.等差数列的概念：
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等差数列，
这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母
d
表示。即
a
n?1
?a
n
?d(n?N*,d为常数）
。
2.等差中项：
若三个数
a,A,b
组成等差数列，此时
A
叫做
a与b
的等差中项，即
A?
3.等差数列的通项公式：
an
?a
1
?
?
n?1
?
d

4.等差数列的前
n
项和：
（1）数列的前
n
项和 S
n
?a
1
?a
2
?a
3
?K?a< br>n
，
a
n
?
?
a?b
或
2A?a? b
。
2
?
S
1
,(n?1)

?
S
n
?S
n?1
,(n?2)
（2）等差数 列的前
n
项和公式：
S
n
?
5.常见结论（公式）： n
?
n?1
?
n
?
a
1
?a
n
?
?na
1
?d

2
2
（1）
a
n
?a
m
?
?
n?m
?
d,a
n
?a
m
?
?
n?m
?
d,
a
n
?a
m
?d
（广义通项公式）
n?m
（2）
a, b,c成等差?2b?a?c
，称
b
为
a
与
c
的等 差中项
（3）若
m?n?p?q
（
m
、
n
、p
、
q??
*
），则
a
m
?a
n?a
p
?a
q
，
*
特别
2a
n?a
n?k
?a
n?k
(n、k?N,k?n)
（等差数列的等 和性）
（4）
S
n
，
S
2n
?S
n，
S
3n
?S
2n
成等差数列
（5）
Sn
?
n(a
1
?a
n
)
中
a
1
?a
n
的灵活变化
2
三、等比数列
1. 等比数列的概念：
32

高中数学必备(必须理解与记忆)知识点归纳 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，
这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母
q(q?0)
表示。即
2. 等比中项：
若三个数
a,G,b
组成等比数列，此时
G
叫做
a与b的等比中项，即
G?a?b
。
n?1
3. 等比数列的通项公式：
a
n
?a
1
q

a
n?1
?q(q为常数,且q?0）
。
a
n
2
4. 等比数列的前
n
项和：
(q?1)
?
na
1
?
等比数列的前
n项和公式：
S
n
?
?
a
1
(1?q
n
)

(q?1)
?
1?q
?
5.常见结论（公式）：
（1）< br>a
n
?a
m
q
n?m
,
a
n
?q
n?m
，（广义通项公式）
a
m
（2）
a,b,c 成等比?b
2
?ac
，称
b
为
a
与
c的等比中项
（3）若
m?n?p?q
（
m
、
n
、
p
、
q??
*
），则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
，
2*
特别
a
n
?a
n?k
a
n?k
(k、n?N,k?n)
（等比数 列的等积性）
（4）
S
n
，
S
2n
?S
n
，
S
3n
?S
2n
成等比数列
6.求数列通项公式的常见方法：
（1）公式法：先判断为等差或等比数列，在用相 应公式求解。已知
S
n
求
a
n

（2）累加（积） 法：
a
n?1
?a
n
?f(n)
（
a
n? 1
?f(n)
）型求通项
a
n
（3）构造法：构造为特殊数列而后求和。
7.数列求和的常见方法：
（1）公式法：等差（比）数列求和，特殊数列求和（如
a
n
?n< br>2
,S
n
?
1
n(n?1)(2n?1);

6
?
1
?
a
n
?n
3
,S
n< br>?
?
n(n?1)
?
）
?
2
?
（ 2）分组求和（拆项求和）：将数列通项中的等差与等比部分分开，而后求和
（3）错位相减：
（4）倒序相加：
33
2

高中数学必备(必须理解与记忆)知识点归纳
（5）裂项相消：

第三章 不等式
1．大小关系与不等关系：
a?b?0?a?b
；
a?b?0?a?b
；
a?b?0?a?b
．
2．不等式的性质：
①
a?b?b?a
；
②
a?b,b?c?a?c
；
③
a?b?a?c?b?c
；
④
a?b,c?0?ac?bc
，
a?b,c?0?ac?bc
；
⑤
a?b,c?d?a?c?b?d
；
⑥
a?b?0,c?d?0?ac?bd
；
⑦
a?b?0?an
?b
n
?
n??,n?1
?
；
⑧
a?b?0?
n
a?
n
b
?
n??,n?1
?< br>．
小结：代数式的大小比较或证明通常用作差比较法：作差、化积（商）、判断、结论。
在字母比较的选择或填空题中，常采用特值法验证。
3．一元二次不等式解法：
（1）化成标准式：
ax?bx?c?0,(a?0)
；
（2）判断判别式；若有根，求出对应的一元二次方程的根；
（3）根据不等号方向取出相应的解集（结合对应的二次函数的图象）。
（4）将结果写成集合形式。
4.线性规划问题：
（1）会确定不等式及不等式组表示的区域
（2）基本概念：线性约束条件、目标函数、可行域、可行解、最优解
（3）线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．
（4）解线性规划实际问题的步骤：
① 将数据列成表格；
② 列出约束条件与目标函数；
③ 根据求最值方法：一画：画可行域；二移：移与目标函数一致的平行直 线；三求：求最值点坐标；
四答；求最值；
④ 验证。
（5）两类主要的目标函数的几何意义:
①
z?ax?by
-----直线的截距；
34
2

高中数学必备(必须理解与记忆)知识点归纳
②
z?(x?a)?(y?b)
-----两点的距离或圆的半径；
5.均值定理：
22
?
a?b
?
a?b
若a?0
，
b?0
，则
a?b?2ab
，即
?ab
．
ab?
??
?
a?0,b?0
?
；
2?
2
?
a?b
称为正数
a
、
b
的算术 平均数，
ab
称为正数
a
、
b
的几何平均数．
2
6.均值定理的应用：设
x
、
y
都为正数，则有
s
2
⑴若
x?y?s
（和为定值），则当
x?y
时，积< br>xy
取得最大值．
4
⑵若
xy?p
（积为定值），则当x?y
时，和
x?y
取得最小值
2p
．
注意：（1）在应用的时候，必须注意“一正二定三等”三个条件同时成立。
（2）主要技巧：拆项凑积为常数；变指数，配系数，凑和为常数。
2

选修2—1
第一章 常用逻辑用语
一、命题及其关系
1．命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.
命题分为真命题和假命题；真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.
2．本节主 要研究“若
p
，则
q
”形式的命题；“若
p
，则
q
”形式的命题中的
p
称为命题的条件，
q
称为
命题的结论.
3．四种命题：原命题，逆命题，否命题，逆否命题
若原命题为“若
p
，则
q
”，
它的逆命题为“若
q
，则
p
”.
它的否命题为“若
?p
，则
?q
”.
它的否命题为“若
?q
，则
?p
”.
注意：在处理否命题时既要否定条件，又要否定结论
4.四种命题的真假性：
原命题
真
真
假
假
逆命题
真
假
真
假
35
否命题
真
假
真
假
逆否命题
真
真
真
假

高中数学必备(必须理解与记忆)知识点归纳
四种命题的真假性之间的关系：
（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
二、充分条件与必要条件
1.若
p?q
，则
p
是
q
的充分条件，
q
是
p
的必要条件．
2.若
p?q
，则
p
是
q
的充要条件（充分必要条件）．
三、简单的逻辑联结词
1.用联结词 “且”把命题
p
和命题
q
联结起来，得到一个新命题，记作
p?q< br>．
当
p
、
q
都是真命题时，
p?q
是真命 题；当
p
、
q
两个命题中有一个命题是假命题时，
p?q
是 假
命题．
2.用联结词“或”把命题
p
和命题
q
联结起来 ，得到一个新命题，记作
p?q
．
当
p
、当
p
、
q
两个命题中有一个命题是真命题时，
p?q
是真命题；
q
两个命题都是假命题时，
p?q
是假命题．
3.对一个命题
p
全盘否定，得到一个新命题，记作
?p
．
若
p
是真命题，则
?p
必是假命题；若
p
是假命题，则< br>?p
必是真命题．
说明：(1)处理否命题问题时只否定结论。
(2)“且”“或”“非”类似于“交”“并”“补”
四、全称量词与存在量词
1.全称量词：
短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“
?
”表示．
含有全称量词的命题称为全称命题．
全称命题“对
?
中任意一个
x
，有
p
?
x
?
成立”，记作“
?x??
，
p
?
x
?
”．
2. 存在量词
短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“
?
”表示．
含有存在量词的命题称为特称命题．
特称命题“存在
?
中的一个
x
，使
p
?
x
?
成立”，记作“
?x??
，
p
?
x
?
”．
3.含有一个量词的否定
全称命 题
p
：
?x??
，
p
?
x
?
，它 的否定
?p
：
?x??
，
?p
?
x
?．全称命题的否定是特称命题；
特称命题
p
：
?x??
，p
?
x
?
，它的否定
?p
：
?x??
，
?p
?
x
?
．特称命题的否定是全称命题．



36

高中数学必备(必须理解与记忆)知识点归纳
第二章 圆锥曲线与方程
一、椭圆：
1.椭圆定义：
平面内与两个定 点
F
1
，
F
2
的距离之和等于常数（大于
F
）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点
1
F
2
称为椭圆的焦点，两焦点的距离 称为椭圆的焦距．
2.椭圆方程及其简单的几何性质：
焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形


标准方程
x
2
y
2
?
2
?1
?
a?b?0
?

2
ab
y
2
x
2
?
2
?1
?
a?b?0
?

2
ab
范围
?a?x?a
且
?b?y?b

?b?x?b
且
?a?y?a

A
1
?
? a,0
?
、
A
2
?
a,0
?

顶点
A
1
?
0,?a
?
、
A
2
?
0,a
?

B
1
?
?b,0
?
、
B
2
?
b,0
?

F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?

B
1
?
0,?b
?
、
B
2
?
0,b
?

轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
短轴的长为
2b
，短半轴的长为
b
；长轴的长为< br>2a
，长半轴的长为
a

F
1
?
?c,0< br>?
、
F
2
?
c,0
?

F
1
F
2
?2c
?
c
2
?a
2
?b
2
?
,半焦距
c

关于
x
轴、
y
轴及原点对称
cb
2
e??1?
2
?
0?e?1
?

aa
a
2
x??

c
a
2
y??

c

准线方程
焦半径公式
r
左
?a?ex
0
r
右
?a ?ex
0
r
下
?a?ex
0
r
上
?a?e x
0

说明：熟练点的坐标、线段长度、线的方程，会数形结合，抓住特征三角形。
3.椭圆的第二定义：
设
M
是椭圆上任一点，点
M
到F
1
对应准线的距离为
d
1
，点
M
到
F
2
对应准线的距离为
d
2
，则
37

高中数学必备(必须理解与记忆)知识点归纳
MF
1
d1
?
MF
2
d
2
?e
．由此可推出焦半径公式 。
二、双曲线：
1.双曲线的定义：
平面内与两个定点
F
1< br>，
F
2
的距离之差的绝对值等于常数（小于
F
）的点的轨迹称 为双曲线．这
1
F
2
两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的 焦距．
2.双曲线的方程及简单的几何性质：
焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形

标准方程

x
2
y
2
??1
?
a?0,b?0
?
a
2
b
2
y
2
x
2
??1
?
a?0,b?0
?

a
2
b
2
范围
顶点
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
x??a
或
x?a
，
y?R

y??a
或
y?a
，
x?R

A
1
?
?a,0
?
、
A
2
?
a,0
?

F
1
?
?c,0
?
、
F
2
?
c,0
?

A
1
?
0,?a
?
、
A
2
?
0,a
?

F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?

虚轴的长为
2b
；实轴的长为
2a

F
1
F
2
?2c
?
c
2
?a
2
?b
2
?

关于
x
轴、
y
轴对称，关于原点中心对称
cb
2
e??1?
2
?
e?1
?

aa
a
2
x??

c
a
2
y??

c
准线方程
渐近线方程
y??
b
x

a

y??
a
x

b

焦半径公式
r
左
?a?ex
0
r
右
?a?ex
0
r
下
?a?ex
0
r
上
?a?ex
0
说明：熟练点的坐 标、线段长度、线的方程，会数形结合，抓住特征三角形。
3.等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．
4.双曲线的第二定义：
38

高中数学必备(必须理解与记忆)知识点归纳
设
M< br>是双曲线上任一点，点
M
到
F
1
对应准线的距离为
d
1
，点
M
到
F
2
对应准线的距离为
d2
，则
MF
1
d
1
?
MF
2
d
2
?e
．由此可推出焦半径公式。
三、抛物线：
1.抛物线的定义：
平面内与一个定点
F
和一条定直线
l
的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点
F
称为抛物线的焦
点，定直线
l称为抛物线的准线．
2.过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于
A
、B
两点的线段
AB
，称为抛物线的“通径”，即
AB?2p
．
3.抛物线的方程及简单的几何性质：
y
2
?2px

标准方程
y
2
??2px

x
2
?2py

x
2
??2py

?
p?0
?

图形

顶点
对称轴
?
p?0
?

?
p?0
?

?
p?0
?




?
0,0
?

x
轴
y
轴
p
??
F
?
0,
?

2
??
p
??
F
?
0,?
?

2
??
焦点
?
p
?
F
?
,0
?

?
2
?
?
p
?
F
?
?,0
?

?
2
?
准线方程
离心率
范围
焦半径公
四、曲线与方程：
x??
p

2
x?
p

2
y??
p

2
y?
p

2
e?1

x?0

?F?x
0
?
p

2
x?0

?F??x
0
?
p

2
y?0

y?0

?F?y
0
?
p

2
?F??y
0
?
p

2
1.曲线的方程与方程的曲线：
（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
2.求曲线的方程：
（1）建：建立适当的坐标系；
（2）设：设坐标，引参数；用有序实数对
(x,y )
表示曲线上任意一点
M
的坐标，引入必要的参数；
39

高中数学必备(必须理解与记忆)知识点归纳
（3）限：找出满足条件的等式（几何等式）；
（4）带：将变量及参数带入等式；
（5）化：对上述代数等式进行化简；
（6）验：说明化简后的方程就是所求曲线的方程（一般省略）。
3．求曲线方程的常用方法：
（1）定义法：先判断曲线类型，而后用设出方程并求解；或先 确定几何等式而后代数化并化简求出方程；
（2）参数法：引入必要的参数，建立变量间的间接关系，而后消元得方程；
（3）转移法：通过多动点建立关系。

第三章 空间向量与立体几何
一、空间向量及其运算：
1.空间向量的概念：
（1）在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．
（2）向量可用一条有向线段来表示．用 向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方
r
r
uuu
向．
a或AB

uuur
uuur
(3)向量
AB
的大 小称为向量的模（或长度），记作
AB
．
r
(4)模（或长度）为
0
的向量称为零向量,记为
0
；模为
1
的向量称为单位向量． rr
r
（5）与向量
a
长度相等且方向相反的向量称为
a
的相反向量，记作
?a
．
（6）方向相同且模相等的向量称为相等向量．
2.空间向量的基本运算（加法，减法与数乘）：
（1）加法：
求两个向量和的运 算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．即：在
r
r
空间以同一点
?为起点的两个已知向量
a
、
b
为邻边作平行四边形
??C?，
uuur
r
r
则以
?
起点的对角线
?C就是
a
与
b
的和，这种求向量和的方法，称为向
量加法的平行四 边形法则．
（2）减法：
求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在 空
uuur
r
uuur
r
uuur
r
r
间 任取一点
?
，作
???a
，
???b
，则
???a ?b
．
（3）数乘：
实数
?
与空间向量
a
的乘 积
?
a
是一个向量，称为向量的数乘运算．当
?
?0
时，< br>?
a
与
a
方向相同；
r
rr
r
r< br>r
r
rr
r
当
?
?0
时，
?
a
与
a
方向相反；当
?
?0
时，
?
a< br>为零向量，记为
0
．
?
a
的长度是
a
的长度 的
?
倍，即
40

高中数学必备(必须理解与记忆)知识点归纳
rr
?a??a
。
r
r
（4）设
?
，< br>?
为实数，
a
，
b
是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配 律及结合律．
r
r
r
r
rr
分配律：
?
a?b?
?
a?
?
b
；结合律：
?
?
?< br>a
?
?
?
??
?
a
．
??
3.共面向量：
（1）共面向量：平行于同一平面的向量称为共面向量.
（2）向量共面定理：
uuuruuuruuur
空间一点
P
在平 面
ABC
内的充要条件是存在有序实数对
x,y
，使
AP?xAB? yAC

uuuruuuruuuruuur
或对空间任意一点
O
， 有
OP?OA?xAB?yAC

空间任意一点
O
和不共线的三点< br>A,B,C
；点
P
与点
A,B,C
共面的充要条件是存在实数 对
x,y,z
，使
uuuruuuruuuruuur
OP?xOA?yOB ?zOC(其中x?y?z?1)

4.共线向量：
（1）定义：如果表示空间的有 向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，
r
r
rr
a,b
a
并规定零向量与任何向量都共线．共线（平行），记作
b。
r
r
r
rr
（2）向量共线的充要条件：对于空间任意两个 向量
a
，
bb?0
，
ab
的充要条件是存在实数
?
，使
??
r
r
a?
?
b
．
5.空间向量的数量积运算：
（1）向量的夹角：
uuur
r
u uur
r
r
r
r
r
已知两个非零向量
a
和
b
，在空间任取一点
O
，作
OA?a
，
OB?b< br>，则
?AOB
称为向量
a
，
b
的
r
r
r
r
夹角，记作
?a,b?
．两个向量夹角的取值范围是：
?a,b??
?
0,
?
?
．
(2)向量的垂直： r
r
?
r
r
r
r
r
r
对于两 个非零向量
a
和
b
，若
?a,b??
，则向量
a< br>，
b
互相垂直，记作
a?b
．
2
(3)向量的数量积：
rr
r
r
r
r
r
r
rr
已知两个非零向量
a
和
b
，则
a bcos?a,b?
称为
a
，
b
的数量积，记作
a?b．即
r
r
r
r
r
r
a?b?abcos?a, b?
．零向量与任何向量的数量积为
0
．
r
r
r
r
r
r
r
rr
向量数量积的意义：
a?b
等于a
的长度
a
与
b
在
a
的方向上的投影
bcos?a,b?
的乘积．
（4）数量积的性质：
r
r
r若
a
，
b
为非零向量，
e
为单位向量，则有
41

高中数学必备(必须理解与记忆)知识点归纳
①
e?a?a?e?acos?a,e?

rrrrrrr
r
r
r
r
②
a?b?a?b?0

r
r
r
r
?
r
r
?
aba与b同向
rrr
2rrr
③
a?b?
?
r
r
r
r
，a?a?a
，
a?a?a

?aba与b反向
?
?r
r
r
a?b
r
④
cos?a,b??
rr

ab
??
??
r
r
r
r
⑤
a?b?ab

（5）向量数乘积的运算律：
r
r
rr
r
r
r
r
r
rr
r
rrr
rr
①
a?b?b?a
；②
?
?
a
?
?b?
?
a?b?a?
?
b
；③
a?b?c?a?c?b? c
．
??????
6.空间向量的正交分解及其坐标表示：
r
r
r
r
（1）若
i
，
j
，
k
是空间 三个两两垂直的向量，则对空间任一向量
p
，存在有序实数组
?
x,y,z< br>?
，使得
r
r
r
rr
r
r
r
r
r
r
p?xi?yj?zk
，称
xi
，
yj< br>，
zk
为向量
p
在
i
，
j
，
k
上的分量．（图形略）
（2）空间向量基本定理：
r
rrr
r
r
r
r
若三个向量
a
，
b
，
c
不共面，则对空间任一向量
p
，存在实数组
?
x,y,z
?
，使得
p?xa?yb?zc
．
rrr
r
r
r< br>r
r
若三个向量
a
，
b
，
c
不共面 ，则所有空间向量组成的集合是
pp?xa?yb?zc,x,y,z?R
．这个集
? ?
r
r
r
r
r
rr
r
r
合可看作 是由向量
a
，
b
，
c
生成的，
a,b,c
称为空间的一个基底，
a
，
b
，
c
称为基向量．空间任意< br>??
三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
（3）空间向量的坐标表示： < br>uruurururuurur
设
e
1
，
e
2
，
e
3
为有公共起点
O
的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位 正交基底），以
e
1
，
e
2
，
e
3
uruurur
的公共起点
O
为原点，分别以
e
1
，e
2
，
e
3
的方向为
x
轴，
y
轴，
z
轴的正方向建立空间直角坐标系
r
O?xyz
．则对于空间 任意一个向量
p
，一定可以把它平移，使它的起点与原点
O
重合，得到向量< br>uuur
r
uruurur
r
r
OP?p
．存在有序 实数组
?
x,y,z
?
，使得
p?xe
1
?ye< br>2
?ze
3
．把
x
，
y
，
z
称作向量
p
在单位正交基
uruurur
r
r
底
e
1
，
e
2
，
e
3
下的坐标，记作
p?
?
x,y,z
?
．此时，向量
p
的坐标是点
P
在空间直角坐标系
O?xyz
中的
坐标
?
x,y,z?
．
（4）空间向量的坐标运算：
r
r
设
a??
x
1
,y
1
,z
1
?
，
b ?
?
x
2
,y
2
,z
2
?
，则
42

高中数学必备(必须理解与记忆)知识点归纳
r
r< br>r
r
①加法与加法：
a?b?
?
x
1
?x< br>2
,y
1
?y
2
,z
1
?z
2?
，
a?b?
?
x
1
?x
2
,y1
?y
2
,z
1
?z
2
?

②数乘：
?
a?
?
?
x
1
,
?
y
1
,
?
z
1
?

r
r
r
③数量积：
a?b?x
1
x
2
?y
1
y< br>2
?z
1
z
2

r
r
r
r
r
r
④垂直：若
a
、
b
为非零向量，则
a ?b?a?b?0?x
1
x
2
?y
1
y
2
?z
1
z
2
?0
．
r
r
r
r< br>r
r
⑤平行：若
b?0
，则
ab?a?
?
b ?x
1
?
?
x
2
,y
1
?
?y
2
,z
1
?
?
z
2
．
r r
a?a?x
1
2
?y
1
2
?z
1
2

r
r
r
x
1
x
2
?y1
y
2
?z
1
z
2
a?b
r
⑦夹角：
cos?a,b??
r
r
?
．
222222ab
x
1
?y
1
?z
1
?x
2
?y
2
?z
2
⑥模：
a?
⑧两点间的距离公式：
A
?
x
1
,y
1
,z
1
?
，B?
?
x
2
,y
2
,z
2
?
，
则
d
AB
r
uuur
?AB?
?
x< br>2
?x
1
?
?
?
y
2
?y
1
?
?
?
z
2
?z
1
?
222< br>．
7.立体几何中的向量表示：
（1）空间中点的位置的向量表示：
uu uruuur
在空间中，取一定点
O
作为基点，那么空间中任意一点
P
的位置可以用向量
OP
来表示．向量
OP
称
为点
P
的位置向量．
(2) 空间中的直线的向量表示：
空间中任意一条直线
l
的位置可以由
l
上一个定点
A
以及一个定方向确定．点
A
是直线
l
上一点，向量
uuur
r
rr
a
表示直线
l
的方向向量，则对于直线
l
上的任意一点
P
，有
AP?ta
，这样点
A
和向量
a
不仅可以确定
直线
l
的位置，还可以具体表示出直线
l
上的任意一点．
（3）空间中平面的向量表示：
空间中平面
?
的位置可以由
?内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点
O
，它们的方
uuurr
r
r
r
向向量分别为
a
，
b
．P
为平面
?
上任意一点，存在有序实数对
?
x,y
?< br>，使得
OP?xa?yb
，这样点
O
与
r
r
向量
a
，
b
就确定了平面
?
的位置．
(4)平面的法向量：
直线
l
垂直
?
，取直线
l
的方向向量
a
，则向量
a
称为平面
?
的法向量．
8. 立体几何中基本关系的向量表示
(1)空间两直线垂直和平行关系的向量表示： rr
r
r
r
r
若空间不重合两条直线
a
，b
的方向向量分别为
a
，
b
，则
ab?ab?

r
r
r
r
r
r
a?
?
b
?
?
?R
?
，
a?b?a?b?a?b?0
．
43

高中数学必备(必须理解与记忆)知识点归纳
（2）空间直线与平面平行和垂直关系的向量表示：
rrrrrrrrr
?a?n? a?n?0
，
a?
?
?a?
?
?an?a?
?n
．
（3）空间两个平面平行和垂直关系的向量表示：
若直线
a的方向向量为
a
，平面
?
的法向量为
n
，且
a ?
?
，则
a
?
?a
?

rr
r< br>r
r
r
r
若空间不重合的两个平面
?
，
?< br>的法向量分别为
a
，
b
，则
?

?
? ab?

r
r
r
r
r
r
a?
?< br>b
，
?
?
?
?a?b?a?b?0
．
9.立体几何中空间运算的向量表示
角的计算：
（1）异面直线所成的角： r
r
a?b
r
r
设异面直线
a
，
b< br>的夹角为
?
，方向向量为
a
，
b
，其夹角为
?
，则有
cos
?
?cos
?
?
r
r．
ab
r
（2）直线与平面所成的角：
设直线
l
的 方向向量为
l
，平面
?
的法向量为
n
，
l
与
?
所成的角为
?
，
l
与
n
的夹角为?
，则有
r
r
r
r
r
l?n
sin< br>?
?cos
?
?
r
r
．
ln
（3）二面角：
uruururuur
设
n
1
，
n
2
是二面角
?
?l?
?
的两个面
?
，
?
的法向量，则向量
n
1
，
n
2
的夹角（或其补角）就是二
uruur
n
1
?n
2
面角的 平面角的大小．若二面角
?
?l?
?
的平面角为
?
，则cos
?
?
uruur
．
n
1
n
2
距离的计算：
（4）两点间的距离：
uuur
uuur
点
A
与点
B
之间的距离可以转化为两点对 应向量
AB
的模
AB
计算．
（5）点到直线的距离：
在 直线
l
上找一点
P
，过定点
a
且垂直于直线
l的向量为
n
，则定点
A
到直线
l
的距离为
r< br>uuur
r
PA?n
uuuruuur
r
d?PAcos?P A,n??
r
．
n
（6）点到平面的距离：
点
P
是平面
?
外一点，
A
是平面
?
内的一定点，
n< br>为平面
?
的一个法向量，则点
P
到平面
?
的距离r
uuur
r
PA?n
uuuruuur
r
为
d?PAcos?PA,n??
r
．
n

44

高中数学必备(必须理解与记忆)知识点归纳
选修2—2
第一章 导数及其应用
一、变化率与导数
1.平均变化率：从气球的膨胀率、高台跳水中引出变化率问题

f(x
2
)?f(x
1
)
?f
?,?f?f(x
2
)? f(x
1
),?x?x
2
?x
1

?xx
2
?x
1
2.导数的概念：
函数
y?f( x)
在
x?x
0
处的瞬时变化率是
lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?f
，称它为函数
y?f(x)
?lim
?x?0
?x?x
?x?0
在
x?x
0
处的导数，记作
f
?
(x
0
)或y
?< br>x?x
,即f
?
(x
0
)?lim
0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
.
?x
3.导数的几何意义：
函数
y?f(x)
在点
x0
处的导数是曲线
y?f(x)
在
P(x
0
,f(x< br>0
))
处的切线的斜率
f
?
(x
0
)
，
4.导函数：
当
x
变化时，
f
?
(x)< br>是
x
的一个函数，称为函数
f(x)
的导函数，简称导数，记作
f
?
(x)
或
y
?

即：
f
?
(x)?y
?
?lim
二、导数的计算
1.基本初等函数的导数：
?x?0
f(x??x)?f(x)

?x
c
?
?0
（
c
为常数），
(x
n)
?
?nx
n?1
(n?N
*
)
；
(sinx)
?
?cosx,
(e
x
)
?
?ex
,
(cosx)
?
??sinx
；
1
(a
x
)
?
?a
x
lna(a?0,a?1)
；
(lnx)
?
?,
x
1
(log
a
x)< br>?
?log
a
e(a?0,a?1)

x
2.导数的运算法则：
和与差的导数：
?
f(x)?g(x)< br>?
?
?f
?
(x)?g
?
(x)
.
积的导数：
?
f(x)gg(x)
?
?
?f
?< br>(x)g(x)?f(x)g
?
(x)
.
?
f(x)
?
?
f
?
(x)g(x)?f(x)g
?
(x)
商的导数：
?
?(g(x)?0)
.
?
2
?
g( x)
?
?
g(x)
?
3.符合函数的导数：
（1）复合函数：
对于两个函数
y?f(u)和u?g(x)
，若通过变量
u
，
y
可以表示成
x
的函数，称这个函数为函数
45

高中数学必备(必须理解与记忆)知识点归纳
y?f(u)和u?g(x)
的复合函数，记作
y?f(g(x))

??
（2）符合函数的导数：
y
?
x
?y
u
?u
x

三、导数在研究函数中的应用
（1）函数的单调性与导数：
在区间
( a,b)
内，如果
f
?
(x)?0
，则函数
y?f(x)< br>在这个区间内单调递增；
如果
f
?
(x)?0
，则函数y?f(x)
在这个区间内单调递减。
（2）函数的极值与导数：
①函数的极大值、极小值及极值的概念（刻画局部性质）
②函数极值的求法：解方程
f
?
(x)?0,得x?x
0

如果在
x
0
附近的左侧
f
?
(x)?0
， 右侧
f
?
(x)?0
，那么
f(x
0
)
是 极大值；
如果在
x
0
附近的左侧
f
?
(x)?0
，右侧
f
?
(x)?0
，那么
f(x
0
)
是极小值。
（3）函数的最大（最小）值与导数：（两步）
①求函数
y?f(x)
在
(a,b)
的极值；
②将函数
y ?f(x)
的各极值与端点处的函数值
f(a),f(b)
比较，可得最大值与最小值 。
四、生活中的优化问题
函数导数的应用（略）
五、定积分
1.两个引例：
曲边梯形的面积（以直代曲）：
S?lim
?x?0
?
i?1
n
f(?
i
)?x?lim
?
n??< br>i?1
n
n
1
f(?
i
)

n
n
汽车的行驶路程（以匀速代变速）：
S?lim
2.定积分
(1)定积分的概念：
1
v(?)?t?limv(?
i
)

??
i?x?0n??
i?1i?1
n
如果函数
f(x)
在区间
?
a,b
?
上连续，用分点
a?x
0
?x
1?L?x
i?1
?x
i
?L?x
n
?b
将区间
?
a,b
?
等
分成
n
个区间，在每个小区间
?
x
i?1
,x
i
?
上任取一点
?
i< br>(i?1,2,L,n)
，作和式
?
i?1
n
f(?
i
)?x?
?
i?1
n
b?a
f(?
i
)
，
n
46

高中数学必备(必须理解与记忆)知识点归纳 < br>当
n??
时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数
f(x)
在区间
?
a,b
?
上的积分，记作
?
b
a
f(x)dx,即
?
f(x)dx?lim
?
a
n??
i? 1
b
n
b?a
f(?
i
)
.
n
a与b
分别叫做积分的下限与上限，
x
叫积分变量，
f(x)dx
叫 做被积式.
(2)定积分的几何意义：

?
b
a< br>f(x)dx
表示直线
x?a,x?b(a?b),y?0
和曲线
y? f(x)
所围成的曲边梯形的面积（图形略）.
(3)定积分的性质：



?
?
b
a
kf(x)dx? k
?
f(x)dx(k为常数）；

a
b
?
?f(x)?f
a
1
b
a
b
2
(x)
?
dx?
?
f
1
(x)dx?
?
f
2
(x)dx
；
aa
b
c
bb
f(x)dx?
?
f(x)dx?
?
f(x)dx(其中a?c?b)

a
c
六、微积分基本定理
1. 微积分基本定理
一般地， 如果
f(x)
是区间
?
a,b
?
上的连续函数，并且
F
?
(x)?f(x)
，那么
?
b
a
f(x)dx?F(b)?F(a)
.
这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式.
为方便，将
F(b )?F(a)
记成
F(x)
a
，有
2.定积分与曲边梯形的面积
当对应的曲边梯形位于
x
轴上方时，定积分为正值，且等于曲边梯形的面积；
当对应的曲边梯形位于
x
轴下方时，定积分为负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；
当
x
轴上方的曲边梯形的面积等于
x
轴下方的曲边梯形的面积时，定 积分的值为0（上方面积减去下方
面积）.
七、定积分的简单应用
1.定积分在几何中的应用：计算曲线围成的面积（见课本例题）
2.定积分在物理中的应用：
（1）求变速直线运动的路程；
（2）变力做功.
b
?
b
a
f(x)dx?F(x)
a
?F(b)? F(a)

b

47

高中数学必备(必须理解与记忆)知识点归纳
第二章 推理与证明
一、合情推理与演绎推理
1. 合情推理
（1）定义：归纳推理和类比推理都是根 据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类
比，然后提出猜想的推理，统称为合情推 理.
（2）合情推理的主要过程：
从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想
2.演绎推理
（1）定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论；即由一般到特殊的推理
（2）演绎推理的一般模式（三段论）：
①大前提（已知的一般原理）
②小前提（所研究的特殊情况）
③结论（根据一般原理，对特殊情况做出的判断）
二、直接证明与间接证明
1.综合法与分析法：
（1）综合法：
利用已 知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论
成立的方法 .
（2）分析法：
从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明 的结论归结为判断一个明显
成立的条件为止的方法.
2.反证法：
假设原命题不成 立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立的
方法.
3.数学归纳法：
证明一个与正整数
n
有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）证明当
n取第一个值
n
0
时命题成立；（只需验证，是归纳的基础）；
（2）假 设
n?k(k?n
0
,k?N
*
)
时命题成立，证明当n?k?1
时命题也成立.（循环的保证）
只要完成这两个步骤，就可以判定命题从n
0
开始的所有正整数
n
都成立.
上述方法叫做数学归纳法.
第三章 数系的扩充与复数的引入
一、数系的扩充和复数的概念
1．复数的概念：
48

高中数学必备(必须理解与记忆)知识点归纳
形如
a?bi( a,b?R)
的数叫做复数，其中
i
叫做虚数单位
(i??1)
，全 体复数构成的集合
C
叫做复数
集；
复数常用字母
z
表示，即
z?a?bi(a,b?R)
，称之为复数的代数形式；其中
a
叫做 实部，
b
叫做虚部.
2.复数相等：

a?bi?c?di?a?c且b?d

3.复数的分类：
复数包括：实数，虚数，纯虚数
4.复数的几何意义：
（1）基本概念：复平面，实轴，虚轴
（2）复数的几何意义：
2
uuu r
z?a?bi?????复平面内的点Z(a,b)?????复平面内的向量OZ

一一对应一一对应
5.共轭复数：复数
a?bi(a,b?R)
与
a?bi (a,b?R)
叫做互为共轭复数.
二、复数代数形式的四则运算
1.复数的加法：
（1）加法法则：
若
z
1
?a?b i,z
2
?c?di
，则
z
1
?z
2
?( a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
（同类合并）
（2）加法运算律：满足加法交换律和结合律
（3）加法的几何意义：平行四边形法则（同向量加法）
2.复数的减法：
（1） 减法法则：若
z
1
?a?bi,z
2
?c?di
，
则
z
1
?z
2
?(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b ?d)i
（同类合并）
（2）减法的几何意义：三角形法则（同向量减法）
3.复数的乘法：
（1）乘法法则：
若
z
1
?a?bi ,z
2
?c?di
，则
z
1
?z
2
?(a ?bi)?(c?di)?(ac?bd)?(ad?bc)i
（多项式乘法，合并同
类项）
（2）运算律：乘法结合律，乘法对加法的分配率
4.复数的除法：
若
z
1
?a?bi,z
2
?c?di
，
则
z
1
a?bi(a?bi)(c?di)ac?bdbc?ad
????i
（分母实数化，合并同类项）
z
2
c?di(c?di)(c?di)c< br>2
?d
2
c
2
?d
2
49

高中数学必备(必须理解与记忆)知识点归纳
选修2—3
第一章 计数原理
一、分类加法原理与分步乘法原理
1.分类加法原理：
完成一件事有两 类不同方案，在第1类方案中有
m
种不同的方法，在第2类方案中有
n
种不同 的方法。
那么完成这件事共有
N?m?n
种不同的方法。
加法原理的推广：
注：① 理解“分类”的含义：各类方法相互独立，每类方法均可完成该件事
② 分类时要合理确定分类标准，确保“不重复，不遗漏”
2.分步乘法原理：
完成一件事需 要两个步骤，做第1步有
m
种不同的方法，做第2有
n
种不同的方法。那么完 成这件事
共有
N?m?n
种不同的方法。
乘法原理的推广：
注：① 理解“分步”的含义：各个步骤相互依存，每步方法都完成才能完成该件事
② 分步时要合理确定分步标准，确保“步骤完整”
3.
n
元集合的不同子集的个数：
2
个
二、排列与组合
1.排列：
从n个不同元素中取出
m(m?n)
个元素，按照一定顺序排成 一列，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个
．．．．．．
元素的 一个排列。
2.排列数：
从n个不同元素中取出
m(m?n)
个元素的所 有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素
m
的排列数，用符号
A
n
表示。
m
相关公式：
A
n
?n(n?1)(n?2)L (n?m?1)
（理解填空法推到排列数公式）
n

A
n
?n(n?1)(n?2)L3?2?1?n!
（
n
个元素的全排 列，读作
n
的阶乘
0!?1
）
n
m
A
n
?n(n?1)(n?2)L(n?m?1)

n(n?1)(n?2)L(n?m?1)(n?m)L3?2?1

(n?m)L3?2?1
n!
?
(n?m)!
?
m
即
A
n
?
n!

(n?m)!
50

高中数学必备(必须理解与记忆)知识点归纳
3.组合：
从
n
个不同元素中取出
m(m?n)
个元素合成一组，叫做从
n
个不 同元素中取出
m
个元素的一个组合。
4.组合数：
从
n
个不同元素中取出
m(m?n)
个元素合的所有不同组合的个数，叫做从
n
个 不同元素中取出
m
个
元素的组合数，用符号
C
n
表示。 < br>m
mmm
相关公式：
C
m
?
A
n
?
n(n?1)(n?2)L(n?m?1)
（可从
A
n
?C
n
?A
m
中得出）
n
m
m
A
m
m!

C
n
?
m
n!

m!(n?m)!
mn? m0
性质1C
n
?C
n
(C
n
?1)
mm m?1
性质2C
n?1
?C
n
?C
n
组合数的两个 性质：

5.解决排列组合问题的基本方法:
列举法（树形图） 位置法（位置选元素） 元素法（元素选位置） 直接法 间接法
捆绑法（相邻问题） 插空法（不相邻问题） 挡板法（相同元素问题）
三、二项式定理
1.二项式定理 0n1n?11kn?kknn
(a?b)
n
?C
n
a?Cn
ab?L?C
n
ab?L?C
n
b(n?N
*
)

k
二项式系数：
C
n
(k?0,1,2,L,n)

kn?kk
二项展开式的通项：
T
k?1
?C
n
ab(k ?0,1,2,L,n)

n01kknn*
若
a?1,b?x
，得 到如下公式：
(1?x)?C
n
?C
n
x?L?C
n
x?L?C
n
x(n?N)

2.“杨辉三角”与二项式系数的性质
杨辉三角形：探究与发现材料











(a?b)
1
……………………………………………1 1
(a?b)
2
…………………………………………1 2 1
(a?b)
3
………………………………………1 3 3 1
(a?b)
4
……………………………………1 4 6 4 1
(a?b)
5
…………………………………1 5 10 10 5 1
(a?b)
6
………………………………1 6 15 20 15 6 1
(a?b)
7
……………………………1 7 21 35 35 21 7 1
51
(a?b)
…………………………1 8 28 56 70 56 28 8 1
………………………………………………………………
8