人教版高中数学知识点大全(文科版)-高中数学知识点最全版

高中文科数学常用公式及常用结论总结
1、集合的运算
（1）交集
A?B?{x|x?A，且x?B}
（
A、B
中的公共元素组成的集合）
（2）并集
A?B?{x|x?A，或x?B}
（
A、B
中的所有元素组成的集合）
（3）补集 记全集为
U
,则
C
U
A?{x|x?U，且 x?A}
（全集
U
中除去
A
中的元素组成的集合）
2、四种命题及其相互关系








原命题
若
p
则
q

互
互逆
逆命题
若
q
则
p

否
为
逆
逆
否
互
否
互
为
互



否命题
若
?
p
则
?
q

否
逆否命题
互逆
若
?
q
则
?
p




注意：“否命题”和“命题的否定”是两个不同的概念.命题“若
p则
q
”的否命题为“若
?p
则
?q
”，
命题“ 若
p
则
q
”的否定为“若
p
则
?q
”.
3、充分必要条件
定义：若
p?q
则
p
是
q的充分条件，
q
是
p
的必要条件.



p
p
是
q
的充分条件
q
是
p
的必要条件
q
（1）若
p?q
且
q?p
，则称
p
是
q
的充分不必要条件；
（2） 若
p?q
且
q?p
，则称
p
是
q
的必要不 充分条件；
（3）若
p?q
且
q?p
，则称
p
是
q
的充分必要条件；
（4）若
p?q
且
q?p
， 则称
p
是
q
的既不充分也不必要条件.
例：（1）在
?A BC
中，“
A?B
”是“
sinA?sinB
”的充分必要条件.
（2）若
f(x)
在
x
0
处可导，则“
f
?
(x
0
)?0
”是“
f(x)
在
x
0< br>处有极值”的必要不充分条件.
（3）“
A,B
互为互斥事件”是“
A,B
互为对立事件”的必要不充分条件.
（4）若
f(x)
在
[ a,b]
上连续，则
“
f(a)?f(b)?0
”
是“
y? f(x)
在闭区间
[a,b]
上有零点”的充
分不必要条件．
4、复合命题的真假
（1）“或”
p?q
：一真则真，全假才假.
（2）“且”
p?q
：一假则假，全真才真.
（3）“非”
?p
： 与
p
的真假性相反.
—1—

5、含有一个量词的命题的否定
命题
?x?M,p(x)

命题的否定
?x
0
?M,?p(x
0
)

?x?M,?p(x)

?x
0
?M,p(x
0
)

6、二次函数在闭区间
?
m,n
?
上的值域
二次 函数
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
在闭区间
?
m ,n
?
上的最值必在
x??
点处取得，故计算出
f(?
b< br>处，或区间的两端
2a
b
)
、
f(m)
、
f (n)
的值，比较产生最大值和最小值即可.
2a
7、函数的单调性
（1）定义法
设函数
f(x)
的定义域为
I
,
?x
1
,x
2
?I

若
x
1
? x
2
?f(x
1
)?f(x
2
)
，则
f( x)
在
I
上是增函数（自变量的不等式和函数值的不等式同向）；
若
x
1
?x
2
?f(x
1
)?f(x
2
)
，则
f(x)
在
I
上是减函数（自变量的不等式和函数值的不等式反 向）.
（2）导数法 （正增负减）
设函数
y?f(x)
在某个区间内可 导，如果
f
?
(x)?0
，则
f(x)
为增函数；如果f
?
(x)?0
，则
f(x)
为减函数.
（3）复合函数的单调性（同增异减）
如果外层函数和内层函数的单调性相同（同增同减），则复合函数为增函数；
如果外层函数和内层函数的单调性不同（内增外减或内减外增），则复合函数为减函数.
例： 函数
f(x)?ln(x
2
?2x?8)
的单调递减区间是
?
??,?2
?
.
?
x
2
?2x?8?0
?复合函数的定义域
解：
?
?
?
?x??2
（尤其注意函 数的定义域）.
x?1
?
内层函数的单调递减区间
?
（4）函数单调性的性质
① 函数
f(x)
和
f(x)?c
（
c
为常数）的单调性相同.
②
k?0
时，
kf(x)
和
f(x)
的单调性相 同；
k?0
时，
kf(x)
和
f(x)
的单调性相反.
③ 若函数
f(x)
恒为正或恒为负，则
f(x)
和
1单调性相反.
f(x)
④ 增函数
?
增函数
?
增函数 ，减函数
?
减函数
?
减函数.
8、函数的奇偶性
（1） 定义及图象特征：设函数
f(x)
的定义域为
I
,
?x?I

若
f(?x)??f(x)
?
f(x)
为奇函数
?
图象关于原点对称;
若
f(?x)?f(x)
?
f(x)
为偶函数
?
图象关于
y
轴对称.
—2—

（2）函数奇偶性的性质
① 如果奇函数
f(x)
在
x?0
处有定义，则一定有
f(x)?0
.
② 奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反.
③ 若函数
f(x)
为偶函数，则
f(x)?fx

??
例：< br>已知函数
y?f(x)
是
R
上的偶函数，且在
?
0, ??
?
上是增函数，若
f(a)?f(2)
，则实数
a
的< br>取值范围是
?
??,?2
?
?
?
2,??
?
2
．
解：因为
f(x)
在
?
0,??
?
上为增函数,且为偶函数，所以
f(a)?f(2)?fa?f(2)
.
所 以
a?2
.所以
a?4
.所以
a??2
或
a?2< br>.即
a?
?
??,?2
?
?
?
2,???
.
??
9、根据对称性求函数解析式
根据所给函数图象的对称性及函数在某一区间上的解析式，求另一区间上的解析式.
例：已知
y?f(x)
是定义在
R
上的奇函数，且当
x?0
时，f(x)?2x?x
2
，求函数
f(x)
解析式.
解：∵当
x?0
时，
f(x)?2x?x
2
， ∴
?x?0,?x?0
，
?f(?x)?2(?x)?(?x)
2
??2x?x
2
.
又∵
y?f(x)
是定义在
R
上的奇函数，
?f(x)??f(?x)??(?2x?x
2
)?2x?x
2
.
?
2x?x
2
,x?0;

?f(x)?
?
2
?
2x?x,x?0.
10、指数及其运算性质
（1）分数指数幂和负指数幂
①
a
m
n
?
?< br>1
n
a
1
m
（
a?0,m,n?N
?
，且
n?1
）.
②
a
?
m
n
am
n
（
a?0,m,n?N
，且
n?1
）.
?
（2）根式的性质
①
(
n
a)
n
?a
.
② 当
n
为 奇数时，
n
a
n
?a
；当
n
为偶数时，
n
a
n
?|a|?
?
（3）幂的运算性质（正用，逆用都要掌握）
①
a?a?a
rsrs
rsr?s
?
a,a?0
.
?
?a,a?0
（同底数幂相乘，底数不变，指数相加）
②
(a)?a
.（幂的乘方相乘，底数不变，指数相乘）
（ab）?a?b
.（积的乘方，等于给积的每个因式分别乘方，再将所得的幂相乘） ③
rrr
11、对数及其运算性质
（1）指数式与对数式的互化式
log
a
N?b?a
b
?N
(a?0,a?1,N?0)
.

—3—

（2）对数的换底公式
log
a
N?
log
m
N
(
a?0,且
a?1
,
m?0
,且
m?1
,

N?0
).
log
m
a
n
1
n
， ②
log
a
m
b?log
a
b
， ③
l og
a
b?log
b
c?log
c
d?log
a< br>d
.
m
log
b
a
log
a
N
推论:①
log
a
b?
（3）对数恒等式
a?N
(
a?0
,且
a?1
,

N?0
)
（4）对数的运算性质（正用，逆用都要掌握）
若
a?0,a?1,M?0,N?0
，则
①
log
a< br>(MN)?log
a
M?log
a
N
;
M
?log
a
M?log
a
N
;
N
③
log
a
M
n
?nlog
a
M(n?R)
.
②
log
a
12、零点存在性定理
若函数
y?f(x)
在闭区间
[a,b]
上的图象是连续不断的一条曲线，并 且有
f(a)?f(b)?0
，则函数
y?f(x)
区间
(a,b)
上一定有零点．
13、数列中已知
S
n
，求
a
n

n?1
?
s
1
,
a
n
?
?
( 数列{a
n
}
的前
n
项的和为
s
n
?a< br>1
?a
2
??a
n
).
?
s
n< br>?s
n?1
,n?2
注：若
n?1
时
a
1< br>的值满足
n?2
时的关系式，则通项公式统一用
a
n
?Sn
?S
n?1
表示;否则，用分段
函数的形式表示.
14、等差数列
（1）定义
a
n?1
?a
n
?d（d为常数）

（2）通项公式
a
n
?a
1
?(n?1)d

（3）等差中项 若
a,A,b
是等差数列，则
A?
（4）等差数列的性质
① 若< br>m?n?p?q
，则
a
m
?a
n
?a
p?a
q
.特别地若
m?n?2k
，则
a
m
?a
n
?2a
k
.
② 若等差数列
?
a
n< br>?
的前
n
项和为
S
n
，则
S
n?na
n?1
.(如
S
5
?5a
3
)
2
a?b
，或
2A?a?b
.
2
③ 若等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n，则
S
k
，
S
2k
?S
k
，
S
3k
?S
2k
，…成等差数列.
（5）前
n
项和
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)
?na
1
?d
（其中第一个公式常和性质①结合考察） .
22
1
例：已知等差数列
?
a
n
?
中 ，
a
2
?a
6
?a
3
?
，求
S< br>9
.

3
9(a
1
?a
9
)
1
?9a
5
?3
.

解：由等差数列的性质可知
a
2
?a
6
?a
3
?a
5
，所以
a
5
?
.所以
S
9
?
32
15、等比数列
s
n
?
—4—

（1）定义
a
n?1

?q（q为常数，且q?0）
a
n
（2）通项公式
a
n
?a
1
q
n?1

（3）等比中项 若
a,G,b
是等比数列，则
G?ab
，或
G?
（4）等比 数列的性质
2
① 若
m?n?p?q
，则
a
m
? a
n
?a
p
?a
q
.特别地若
m?n?2k
，则
a
m
?a
n
?a
k
.
2
ab
.
② 若等比数列
?
a
n
?的前
n
项和为
S
n
，则
S
k
，S
2k
?S
k
，
S
3k
?S
2k，…成等比数列（
q?1
）.
?
a
1
(1?q
n
)
?
a
1
?a
n
q
,q?1
,q?1
?
?
（5）前
n
项和
s
n
?
?
1?q
或
s
n
?
?
1?q
.
?
na,q?1?
na,q?1
?
1
?
1
16、数列求和
(1) 裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
常见数列 裂项方法
?
k
?
??

n(n?1)
??
??
1
??

(3n?1)(3 n?2)
??
?
1
?
?
2
?

?
4n?1
?
11
?
11
?
?
?
?
?

n(n?1)k
?
nn?1
?
11
?
11
?
?
?
?
?

(3n?1)(3n? 2)3
?
3n?13n?2
?
11
?
11
?
?
?
?
?

(2n?1)(2n?1)2
?
2n ?12n?1
?
1
n?n?1
?n?1?n

1
??
??

?
n?n?1
?
?
?
1
?
?
log
?
a
?
1?
?< br>?

?
n
?
??
例：已知等差数列
?
a
n
?
中，
a
1
?2
，
a
6< br>?a
2
?8
，
（1）求通项公式
a
n
；
（2）
b
n
?
?
1
?
log
a< br>?
1?
?
?log
a
(n?1)?log
a
n

?
n
?
1
，求数列
?
b
n< br>?
的前
n
项和
T
n
.
S
n?1< br>解：（1）设数列
?
a
n
?
的公差为
d
，由
a
6
?a
2
?8
得，
4d?8
，所以d?2
.
所以
a
n
?2?2(n?1)?2n
. < br>（2）由（1）得，
S
n
?
n(2?2n)
1111
?n(n?1)
，所以
b
n
?
，
???
2
S
n?1
(n?1)(n?2)n?1n?2
—5—

所以
T
n
?b
1
?b
2
?
?
?bn
?
（2）错位相减法
11111111n
????
?
?????
.
2334n ?1n?22n?22n?4
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的 ，那么这个数列的前
n
项和可用此法来求，如等比数列的前
n
项和公式就是用 此法推导的．
例：已知数列
?
b
n
?
的通项
b< br>n
?n?2
n
，求其前
n
项和
T
n
.
解：
T
n
?1?2
1
?2?2
2
?3 ?2
3
?
?
?(n?1)?2
n?1
?n?2
n< br>，
2T
n
?
123
1?2
2
?2?23
???(n?1)?2
n
?n?2
n?1
.
两式相减 ，得
n?1
?T
n
?2?2?2???2?2?n?2
nn?1< br>2(1?2
n
)
??n?2
n?1
??2?(1?n)?2< br>n?1
，
1?2
?T
n
?2?(n?1)?2
n? 1
(n?N
?
)
．
17、正弦、余弦、正切的诱导公式
诱导公式可简记为：“奇变偶不变，符号看象限”．“奇”与“偶”指的是诱导公式
k?
?2
?
?
中的整
数k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的 变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k
为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在
k?
?
2
?
?
中，将α看成锐角时
k?
?
2
?
?
所在的象限．

18、三角恒等变换
（1）同角三角函数的基本关系式
sin
2
?
?cos
2
?
?1
，
tan
?
=
（2）和角与差角公式
sin
?
.
cos
?

sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
;
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
sin
?
sin
?
;
tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
.
1tan
?
tan
?
（3）辅助角公式（和角与差角公式的逆用）
asin
?
?bcos
?
=
a
2
?b2
sin(
?
?
?
)
(辅助角
?
所在 象限由点
(a,b)
的象限决定,
tan
?
?
（4）二倍角 公式
b
).
a
sin2
?
?2sin
?
cos
?
.
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?< br>?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
.
tan2
?
?
2tan
?
.
2
1?tan
?
—6—

（5）常用变形
①
1?sin2x?(sinx?cosx)
2
；
1?sin2x ?(sinx?cosx)
2
.
1?cos2
?
?
2sin
?
?
?
2
?
1?cos2
?
?
2
② 余弦二倍角公式的推论（降幂公式）：
?
cos
?
?

2
?
?
tan
2
?
?
1?cos2
??
1?cos2
?
?
2
例：已知
sinx?2cosx
，求
cosx?sin2x
的值.
sinx
cos
2x?sin2x
2
?2
，所以
cosx?sin2x?
解：因为
sinx?2cosx
，所以
tanx?

cosx
1cos
2
x2sinxcos
?
2
cos
2
x ?2sinxcos
cos
2
xcosx
?
1?2tanx
?1

??
sin
2
xcos
2
x
sin
2
x?cos
2
xtan
2
x?1
?
2< br>cosxcos
2
x
19、三角函数
（1）三角函数的周期公式
函数
y?sin(
?
x?
?
)
及函数
y? cos(
?
x?
?
)
的周期
T?
2
??
，
?
?
2
?
；（正弦曲线、余弦曲线相邻
T
1
个周期）．
4
两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对 称中心与对称轴之间的距离是
函数
y?tan(
?
x?
?
)
的周期
T?
（2）三角函数的图象和性质
三角函数

??
，
?
?
.（正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期）.
?
T
y?sinx
y?cosx

y?tanx

图象

对称轴
对称中心


无
x?
?
2
?k
?
,k?Z

x?k
?
,k?Z

k?Z

?
k
?
,0
?

?
?
?
?
?k
?
,0
?

?
2
?
?
k
?
?
,0
?

?
?
2
?
—7—

增区间
k?Z

减区间
?
?
?
?

? ?2k
?
,?2k
?
??
2
?
2
?
3
?
?
?
?

?2k
?
,?2k
?
??
2
?
2
?
?
?
?
?2k
?
,2k
?
?

?
2k
?
,
?
?2k
?
?
?
?
?
?
?
??k
?
,?k
?
?

2
?
2
?
无
k?Z

（3）图象变换
① 平移变换 “左加右减（只给
x
加减），上加下减”
② 伸缩变换
1
a?1,横向缩短为原来的倍
a
1）y?f(x) y?f(ax)
1
0?a?1,横向伸长为原来的倍
a

2）y?f(x)
③ 对称变换
1）
y?f(x)
与
y??f(x)
关于x轴对称；
2）
y?f(x)
与
y?f(?x)
关于y轴对称；
3）
y?f(x)
与
y??f(?x)
关于原点对称；
4 ）
y?a
x
(a?0且a?1)
与
y?log
a
x (a?0且a?1)
关于直线
y?x
对称．
④ 翻折变换
a?1 ,纵向伸长为原来的a倍
y?af(x)
0?a?1,纵向缩短为原来的a倍

1）y?f(x)
2）y?f(x)
保留x轴上方图象
将x轴下方图象翻折上去保留y轴右边图象，并作其
关于y轴对称的图象
y?f(x)

y?f(x)

（4）弧长和扇形面积
弧长公式
l?
?< br>r
；扇形面积公式
S?
11
lr?
?
r
2< br>
22
20、正弦定理
（1）内容
（2）推论
ab c
???2R
（
R
为
?ABC
外接圆的半径）.
sinAsinBsinC
a
?
sinA?；
?
2R
?a?2RsinA；
?
b
?
?
；
“角化边”
?
b?2RsinB；
“边化角”
?
sinB?

2R
?
c?2RsinC.
?
?
?
sinC?
c
.
?
2R
?
—8—

21、三角形面积定理
（1）
S?
（2）
S?
111
ah
a
?b h
b
?ch
c
（
h
a
、h
b
、h
c
分别表示
a,b,c
边上的高）.
222
11112
?
absinC?bcsinA?acsinB
.（如边长为
a
的正三角形的面积为
S?asin60
）
2222
22、余弦定理 ?
b
2
?c
2
?a
2
,
?
c osA?
222
2bc
?
a?b?c?2bccosA
?
a
2
?c
2
?b
2
?
2
?
22(边角边)
?
b?a?c?2accosB?
?
cosB?,
（ 边边边）
2ac
?
c
2
?a
2
?b
2< br>?2abcosC
?
222
?
?
cosC?
a?b? c
.
?
2ab
?
23、三角形内角和定理
在
?ABC
中，
A?B?C?
?
?C?
?
?(A?B)
?sinC?sin(A?B)
,
cosC??cos(A?B)

24、向量中的两大定理
?
??
?
（1）共线向量定理：向量
a(a?0)
与
b
共线，当且仅当存在有唯一实数
?
，使得
b?
?
a
.
??
（2）平面向量基本定理：如果
e
1
,e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一???
向量，有且只有一对实数
?
1
,
?
2
， 使得
a?
?
1
e
1
?
?
2
e2
．
??
不共线的向量
e
1
,e
2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．（可以做基底的两个向量不共线.）
25、向量
（1）向量的数量积(或内积)
a?b?|a||b|cos
?
（
?
为两向量的夹角）
?
?
?
?
?
数量积
a?b
等于
a
的 长度
a
与
b
在
a
方向上的投影
bcos
?
的乘积．
（3）平面向量的坐标运算
（2）
a?b
的几何意义
?
?
①设
a?(x
1
,y
1
)
,
b?
(x
2
,y
2
)
，则
a?b?(x< br>1
?x
2
,y
1
?y
2
)
.
②设
A
(x
1
,y
1
)
，
B
(x
2
,y
2
)
,则
AB?OB?OA?(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
)
（终点 坐标减起点坐标）.
③设
a?
(x,y),
?
?R
，则< br>?
a
=
(
?
x,
?
y)
.
（4）两向量的夹角公式
??
?
?
?
?
④设a?(x
1
,y
1
)
,
b?
(x
2< br>,y
2
)
，则
a?b?x
1
x
2
? y
1
y
2
.
?
?
?
?
a
设
a?(x
1
,y
1
)
,
b?
(x2
,y
2
)
，则和
b
的夹角
?
满足
cos
?
?
（5）向量的平行与垂直
a?b
|a||b |
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
x
1
?y
1
22
x
2
?y
2
2 2

??
?
?
b?b
设
a?(x
1
,y
1
)
,
(x
2
,y
2
)
， 且
?0
，则
?
?
?
?
ab?a?
?b?x
1
y
2
?y
1
x
2
（两外向之 积等于两内项之积）.
—9—

?
?
a?b
?a? b?0
?x
1
x
2
?y
1
y
2
? 0
.
（6）向量的模
?
?
22
设
a?(x,y )
，则
|a|?x?y
;对于两项的情况
a?b?a?2a?b?b

22
26、两点间的距离公式
（1）平面内两点设
A(x
1
,y
1
)、B(x
2
,y
2
)
间的距离
|AB|?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2

（2）空间两点
A(x
1
, y
1
,z
1
)、B(x
2
,y
2
,z2
)
间的距离
|AB|?(x
2
?x
1
)< br>2
?(y
2
?y
1
)
2
?(z
2< br>?z
1
)
2

27、线段的中点坐标公式
x< br>1
?x
2
?
x?,
?
0
2
P
点坐标满足
?
设两点
P

12
的中点，则
1(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
，若
P(x
0
,y
0
)
为线段
PP
y
1
?y
2
?
y
0
?.
2
?
28、三角形重的性质
（1）三条中线的交点叫做三角形的重心.三角形的重心将中线三等份.
（2）若
? ABC
三个顶点的坐标分别为
A(x
1
,y
1
)、B(x< br>2
,y
2
)、C(x
3
,y
3
)
， 则其重心
G
的坐标是
G(
x
1
?x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3
,)
. < br>33
（3）
O
为
?ABC
的重心
?OA?OB?OC ?0
.
29、常用不等式：
22
（1）重要不等式
a?b? 2ab
，
a,b?R
(当且仅当
a?b
时取“
?
” 号)．
（2）基本不等式
a?b
?ab
，
a,b?R
?
（一正二定三相等）.
2
30、极值定理
已知
x,y
都是正数，则有
（1）若 积
xy
是定值
p
，则当
x?y
时和
x?y
有最小值
2p
（积定和最小）；
（2）若和
x?y
是定值
s
，则当
x?y
时积
xy
有最大值
1
2
s
（和定积最大）.
4
31、解一元二次不等式
ax
2
?b x?c?0或ax
2
?bx?c?0(a?0,??0)
（大于取两边，小于
取中间）.记方程
ax
2
?bx?c?0
的两根为
x
1,x
2
，且
x
1
?x
2
，则不等式
ax
2
?bx?c?0
的解集为
?
x|x
1
?x? x
2
?
；
ax
2
?bx?c?0
的解集为
?
x|x?x
1
或x?x
2
?
.
32、利用线性规划求线性目标函数最值的步骤
（1）画出约束条件对应的可行域（直线定界，点定域）.
（2）作出目标函数值
z?0
时对应的直线
l
0
.
—10—

（3）在可行域内平行移动直线
l
0
，从 图中找出使得截距取得最大或最小的点的坐标．
（4）代入点的坐标，求出最优解，从而得到目标函数的最值.
注：当
y
的 系数为正时，截距最大
z
最大，截距最小
z
最小.相反地，当
y的系数为负时，截距最大
z
最小，截距最小
z
最大．
33、斜率公式
（1）已知两点
P
1
(x
1
, y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2)
，则经过这两点的直线的斜率
k?
（2）直线的一般式
Ax?By?C ?0
下求斜率
①“移项”
By??Ax?C
；②“系数化为1”
y ??
y
2
?y
1
.
x
2
?x
1
ACA
x?
，所以斜率
k??.

BBB
34、直线的三种常用方程
（1）点斜式
y?y
0
?k(x?x
0
)
(直线
l
过 点
P(x
0
,y
0
)
，且斜率为
k
)．
（2）斜截式
y?kx?b
(
b
为直线
l
在y
轴上的截距).
（3）一般式
Ax?By?C?0
(其中
A,B
不同时为
0
).
35、两条直线的平行和垂直
若
l
1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2< br>，则
① 平行
l
1
||l
2
?k
1
?k
2
,b
1
?b
2
;
② 垂直
l< br>1
?l
2
?k
1
k
2
??1
.
36、几种常用直线系方程
（1）定点直线系方程：经过定点
P
0
(x
0
,y
0
)
的直线系方程为
y?y
0
?k(x?x
0
)
(除直线
x?x
0
),
其中< br>k
是待定的系数（斜率）.
（2）平行直线系方程：直线
y?kx?b
中当斜率
k
一定而
b
变动时，表示平行直线系方程．与
直线
Ax?By?C?0
平行的直线系方程是
Ax?By?
?
?0
(< br>?
?0
)，
?
是参变量．
（3）垂直直线系方程：与直线< br>Ax?By?C?0
(A?0,B?0)
垂直的直线系方程是
Bx?Ay??
?0
,
?
是参变量．
37、点与直线
（1）点到直线的距离公式：
点
P(x
0
,y
0
)
到直线
l
：
Ax?By?C?0
的距离
d?
（2 ）点关于直线的对称点的求法：
设点
P(x
0
,y
0
)< br>关于直线
l:Ax?By?C?0
的对称点坐标为
Q(x,y)
,则< br>|Ax
0
?By
0
?C|
A?B
22
. < br>y
0
?y
?
x
0
?x
A?B?C?0
x?xy
0
?y
?
?
P,Q的中点（
0
?
,）在直线l上
?
22
?
?
?Q(x,y)
.
?
22
A
y?y
0
????1
??
直线PQ和直线 l垂直
?
?
Bx?x
0
?
—11—

38、圆的方程
（1）圆的标准方程
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
.其参数方程为
?
?
x?a?rcos
?
(
?
为参数)
.
?
y?b?rsin
?
（2）圆的一般方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0(D
2
?E
2
?4F?0)< br>.
圆心
?
?
1
?
DE
?
D
2
?E
2
?4F
.
,?
?
,半径
r?
2
?
22
?
39、直线与圆的位置关系
直线
l< br>：
Ax?By?C?0
与圆
C
:
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
的位置关系有三种:
记圆心
C( a,b)
到直线
l
:
Ax?By?C?0
的距离为
d?（1）
d?r?相离???0
;
（2）
d?r?相切???0
;
（3）
d?r?相交???0
.
相离常考题型：1）记圆心
C(a ,b)
到直线
l
的距离为
d
，则圆上任意一点
P(x,y)
到直线
l
的最大距
离为
d?r
.若直线
l
与圆
C
相离.则点
P(x,y)
到直线
l
还有最小距离d?r
.
2）记平面内一定点
M(x
0
,y
0
)
到圆心
C(a,b)
的距离为
d
，则
M(x
0
,y
0
)
到圆上任意一点
P(x,y)
的
最大距离 为
MP
max
?d?r
,若点
M(x
0
,y
0
)
在圆外.则点
M(x
0
,y
0
)
到 圆上任意一点
P(x,y)
还有最小
距离
MP
min
?d? r
.
相交常考题型：圆的弦长的计算常用弦心距
d
，弦长的一半
2
Aa?Bb?C
A?B
22
.
1
l
及圆的
2
?
1
?
半径
r
所构成的直角三角形来解，即
r
2
?d
2
?
?
l
?
，或
l?2r
2
?d
2
.
?
2
?
40、两圆位置关系
设两圆圆心分别为
O
1
,O
2
，半径分别为
r1
,r
2
，圆心距
d?O
1
O
2

（1）
外离?d?r
1
?r
2
?4条公切线
;
（2）
外切?d?r
1
?r
2
?3条公切线
;
（3）
相交?r公切线
;
1
?r
2
?d?r1
?r
2
?2条
（4）
内切?d?r条公切线
;
1
?r
2
?1
（5）
内含?0?d?r公切线
.
1
?r
2
?无
两圆相交下常考题型：求两相交圆的公共弦长的步骤：
①求公共弦所在直线方程，利用两圆方程作差消去二次项即可得到．
②求两圆的公共弦长，在其中一圆中，由弦心距
d
、半弦长
勾股定理求解．
l
2
l
、半径
r
构成的直角三角形中，利用
2—12—

41、圆的切线方程
(1)过圆
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
上一点
(x
0
,y
0
)
的切线方程是
x
0
x?y
0
y?
D (x
0
?x)E(y
0
?y)
??F?0
.
22
2
(2)过圆
x
2
?y
2
?r
2
上的点
P
0
(x
0
,y
0
)
的切线方程为
x
0
x?y
0
y?r
;
42、椭圆
(1)定义、标准方程及其简单的几何性质

标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
x
2
y
2
?
2
?1
2
ab
y
2
x
2
?
2
?1

2
ab
定义
顶点
焦点坐标
离心率
PF1
?PF
2
?2a?2c?F
1
F
2

，
（?a,0）（0,?b）

（?c,0）
（0，?a）
，
（?b,0）
（0，?c）

c
e?，（0?e?1）

a
a,b,c
的关系
a
2
?b
2
?c
2
(
a
最大)
?
x?acos
?
x
2
y
2
（2）椭圆< br>2
?
2
?1(a?b?0)
的参数方程是
?
(
?
为参数)
.
ab
y?bsin
?
?
43、双曲线
(1)定义、标准方程及其简单的几何性质

标准方程
定义
顶点
焦点坐标
离心率
焦点在x轴上 焦点在y轴上
x
2
y
2
?
2
?1

2
ab
y
2
x
2
?
2
?1

2ab
PF
1
?PF
2
?2a?2c?F
1
F< br>2

（?a,0）

（?c,0）

c
e?，（e?1）

a
（0，?a）

（0，?c）

a,b,c
的关系
c
2
?a
2
?b
2
(
c
最大)
—13—

渐近线
y??
b
x

a
y??
a
x

b
（2）焦点到渐近线的距离为
b
.
2b
2
（3）通径（过焦点且与对称轴垂直的弦）长为.
a

44、抛物线
方程
y
2
?2px(p?0)

y
y
2
??2px(p?0)

y
x
2
?2py(p?0)

y
x
2
??2py(p?0)

y
l
O
F
x
图形
O
F
x
F
O
x
F
O
l
x
l

l



定义
开口
方向
焦点
准线
到焦点
F
的距离等于到准线
l
的距离的点的轨迹
x
轴的正方向
p
(,0)

2
x??
p

2
x
轴的负方向
(?
p
,0)

2
p

2
y
轴的正方向
y
轴的负方向
p
(0,)

2
y??
p

2
p
(0,?)

2
y?
p

2
x?
记抛物线上任意一点
P（x
0
,y
0
）
，则
PF
的长为
焦半径
p
?x
0

2
p
?x
0

2
p
?y
0

2
p
?y
0

2
记经过焦点
F
的 直线
l
与抛物线相交与
A（x
1
,y
1
）
两点，则
AB
的长为
,B（x
2
,y
2
）
焦点弦
p?(x
1
?x
2
)

通径
p?(x
1
?x
2
)

2p

p?(y
1
?y
2
)

p?(y
1
?y
2
)

45、直线与圆锥曲线相交的弦长公式
,B（x
2
,y
2
）
设直线
l
：
y?kx?m
与圆锥曲线
F(x,y)?0< br>相交与
A（x
1
,y
1
）
两点，求弦长的计算步骤如下：
?
y?kx?m
2
解：联立方程组
?
，消去
y
得到关于
x
的一元二次方程
ax?bx?c?0
，
?
F(x,y)?0
由韦达定理得
x
1
?x
2??
bc
,x
1
x
2
?
，所以，
aa
—14—

AB?1?k
2
?x
1?x
2
?1?k
2
?(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
?1?k
2
?
若 消去
x
得到关于
y
的一元二次方程
ay
2
?by? c?0
，则
?
a

AB?1?
46、中点弦的性质 111?
2
?y?y?1??(y?y)?4yy?1??
121212
k
2
k
2
k
2
a

x
2
y
2
AB
为椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的弦，
A（x
1
,y
1
）
，弦中点
M（x
0
,y
0
）
，则
,B（x
2
,y
2< br>）
ab
b
2
x
0
① 直线
AB
的斜率
k??
2
；
ay
0
b
2
② 弦
AB
的斜率与弦中点
M
和椭圆中心
O
的连线的斜率之积为定值
?
2
.
a



46、概率
（1）概率的几个性质
①
A、B
为互斥事件，则
P(A?B)?P(A)?P(B)
.
②
A、B
为对立事件，则
P(A)?P(B)?1
或
P( A)?1?P(B)
.
（2）古典概型（等可能性事件）的概率公式
P(A) ?
（3）几何概型的概率公式
P(A)?
事件A包含的事件个数

基本事件总数
构成事件A的区域的长度（面积或体积）
.
试验的全部结果所构成的区域的长度（面积或体积）
47、统计
（1）频率分布直方图中的几个重要结论
① 频率、频数、样本容量间的关系
频率 ?
频数频数
，
频数?频率?样本容量
，
样本容量?
.
样本容量频率
② 各小矩形的面积即为该组数据的频率；各个小矩形的面积之和为；纵轴上的数 据是各组的频率
．．．．．．．．．．．
1
．
除以组距（而不是频率）．
③ 最高小矩形的组中值即为样本数组的众数.
④ 在频率分布直方图中，各组的中点值乘以各组的频率之和即为样本数组平均值的估计值．
．．．．．．．
⑤ 在频率分布直方图中，如果垂直于横轴的直线把所有小矩形的面积一分为二 ，则这条直线对应的
横轴的数据即为中位数的估计值．
．．．．．．．
—15—

（2）独立性检验的步骤
①计算随机变量
K
的观测值
k
，查临界值表确定临界值
k
0
；
②如果
k?k
0
，就推断“
X
与
Y
有关系”，这种推断犯错误的概率不超过P(K
2
?k
0
)
；否则，就
认为在犯错误的概率不超 过
P(K
2
?k
0
)
的前提下不能推断“
X
与
Y
有关系”．
2
?
x
?
a
?
?
b
?
必过样本点的中心
?
x,y
?
.
48、回归直线
y
49、常见几何体的表面积和体积
几何体
正四面体（边长为
a
）
圆柱
圆锥
球
表面积 体积
13
4?a
2
??3a
2

22
2
3
a

12
2
?
r
2
?2
?
rl

?
r
2
l

1
?
r
2
h

3
4
3
?
R

3
?
r
2
?
?
rl

4
?
R
2

50、常见多面体外接圆半径和内切圆半径
几何体
长方体
（长宽高分别为
a,b,c
）
一顶点所在棱（棱长分别为
外接圆半径 内切圆半径
无
R
外?
1
2
a?b
2
?c
2

2
可扩充成长宽高分别为
a,b,c
的长方体求解
a,b,c
）两两垂直的三棱 锥

R
外
?
1
2
a?b
2
?c
2

2
无
底面是直角三角形（直角边为
可扩充成长宽高分 别为
a,b,c
的长方体求解
a,b
）的直三棱柱（高为
c
）
正方体（棱长为
a
）
正四面体（棱长为
a
）
R
外
?
1
2
a?b
2
?c
2

2
无
R
外
?
R
外
?
3
a

2
6
a

4
R
内
?
a

2
R
内
?
6
a

12
51、导数
（1）几种常见函数的导数公式
①
C
?
?0
（
C
为常数）.（常为零）
②
(x
n
)?nx
'n?1
?
1
?
1
?< br>(n?Q)
.（幂降次）
??
??
2
，
x
?
x
?
?
x
?
?
?
2
1
x
.
—16—

③
(sinx)
?
?cosx
.（正变余）
④
(cosx)
?
??sinx
.（余变负正）
⑤ (loga)
?
?
1
1
；
(lnx)
?
?
.（对取反）
x
xlna
⑥
(a
x
)< br>?
?a
x
lna
；
(e
x
)
??e
x
.（指不变）
(e
?x
)
?
??e?x

x
（2）函数
y?f(x)
在点
x
0< br>处的导数的几何意义
函数
y?f(x)
在点
x
0
处 的导数
f
?
(x
0
)
是曲线
y?f(x)
在点
P(x
0
,f(x
0
))
处的切线的斜率
k< br>，相应
的切线方程是
y?y
0
?f
?
(x
0
)(x?x
0
)
.
（3）导数的运算法则
①
?
f(x)?g(x)
?
?
?f
?
(x)?g
?(x)
.
②
?
f(x)?g(x)
?
?
?f
?
(x)g(x)?f(x)g
?
(x)
.
③
?
?
f(x)
?
?
f
?
(x)g(x)?f(x)g
?
(x)
.
?
?
2
g(x)
?
g(x)
?
（4）判别
f(x
0
)
是极大（小）值的方法
当函数
f(x)
在点
x
0
处连续时，
①如果在< br>x
0
附近的左侧
f
?
(x)?0
，右侧
f< br>?
(x)?0
，则
f(x
0
)
是极大值；（左正右负 极大值）
②如果在
x
0
附近的左侧
f
?
(x)? 0
，右侧
f
?
(x)?0
，则
f(x
0
)
是极小值.（左负右正极小值）
52、复数
（1）复数的相等
a?bi?c?di?a?c,b?d
.（
a,b,c,d?R
）
（2）共轭复数
z?a?bi
的共轭复数为
z?a?bi
（实部相同，虚部互为相反数）
（3）复数
z?a?bi
的模（或绝对值）
|z|
=
|a ?bi|
=
a
2
?b
2
?a?bi?z

53、极坐标
?
?
2
?x
2
?y
2?
y
?
tan
?
?
（1）极坐标和直角坐标互化公式
?
x

?
x?
?
cos
?
?y?
?
sin
?
?
（2）
?
的几何意义 极坐标方程下，点
P(
?
,
?
)
中的极径
?< br>表示点
P
到极点
O
的距离
OP
.
54、直线参数方程中的
t
的几何意义
?
x?x
0
?tcos
?
若过点
M(x
0
,y
0
)
，倾斜角为
?
的直线
l
的参数方程为
?
(t为参数)
，则参数方程下
y?y?tsin
?
0
?
—17—

点
P(x,y)
所对的参数
t
的几何意义为
t?MP.
当
t?0
时，
P
在
M
上方；
当
t?0
时，
P
和
M
重合；
当
t?0
时，
P
在
M
下方.
所以，直线 在参数方程下的弦长公式为
t
1
?t
2
?
?
t1
?t
2
?
2
?4t
1
t
2
.
55、正四面体(棱长为
a
)的相关计算
底面高
AD?
正四面体的高
323
a
；
AE?AD?a
；
233
2
?
3
?
6
222
?
?PE?PA?AE?a?
?< br>aa
；
?
3
?
3
??
外接球半径
R
外
?
内切球半径
R
内
?

36
PE?a
；
44
16
PE?a
.
412
56、线、面之间的位置关系
（1）四大判定定理
① 线面平行的判定定理：
平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行.(简记为“线线平行?线面平行”)
② 面面平行的判定定理：
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.(简记为“线面平行?面面平行”)
③ 线面垂直的判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面 垂直.(简记为“线线垂直?线面垂
直”)
④ 面面垂直的判定定理：
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.(简记为“线面垂直?面面垂直”)
（2）四大性质定理
① 线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任 一平面与此平面的交线与该
直线平行.(简记为“线面平行?线线平行”)
② 面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.
③ 线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.
④ 面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
—18—

（3）两个常用基本性质
① 线面垂直的基本性质：如果一条直线垂直于一个平面，则该直线垂直于此平面内的任意一条直线.
① 面面平行的基本性质：如果两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.
（4）几个常用结论
① 垂直于同一直线的两条平面平行.
② 一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直.
③ 两平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直.
④ 如果一条直线垂直与两平行线中的一条，则它也垂直于另一条直线.
⑤ 如果一条直线和一个平面垂直，和另一个平面平行，则这两个平面垂直.
⑥ 夹在两平行平面间的平行直线相等.
57、球体中的相关计算

记球心为
O
，球半径为
R
，小圆圆心为
O
1
，半径为
r，
球心到小圆面的距离为
d
，
则
d
，
r
，
R
构成直角三角形，
即
d?r?R
.
222
—19—