高中数学知识点人教版总结(专题汇总)

高考数学专题一函数
专题一函数
【知识概要】

一、映射
●映射：映射是两个集合A、B间一种特殊的对应，
f:A?B
表示对集合 A中
的任何一个元素，在集合B中有唯一确定的元素与之对应。如果
a?A
，
b?B
，且
元素
a
和元素
b
对应，那么，元素
a< br>叫做元素
b
的原像，元素
b
叫做元素
a
的像，
记为
b?f(a)
。
【特别提醒】：
（1）映射由三要素组成，集合A 、B以及A到B的对应法则
f
，集合A、B
可以是数集，也可以是点集或其他集合。对 于A中每一个元素，在B中有且只
有一个元素和它对应。
（2）A中的不同元素允许对应B中 的相同元素，即映射允许“多对一”、“一
对一”，但不允许“一对多”。B中的元素可以在A中没有元 素和它对应。
二、函数的概念
●1. 函数的定义：
如果A、B都是非 空的数集，映射
f:A?B
就叫做A到B的函数，记作：
y?f
?
x
?
，
x?A
，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的 值相对应
的y值叫做函数值，函数值的集合
?
y|y?f(x)x?A
?叫做函数的值域．如果用
f(A)
表
示值域，则有
f(A)?B
。
通常
y?f
?
x
?
表示“y是x的函数”，简记作函数
f
?
x
?
。
●2. 函数的三要素：定义域A，对应法则f，值域
f(A)
。
●3. 函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法．函数解析式的求法：
（1）待定系数法. 若已知函数的类型，可用待定系数法；
（2）换元法. 已知复合函数
f(g(x))
的解析式，可用换元法，要注意变量的
取值范围；
（3）消参法. 若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出
f
?x
?
。
（4）直接法.变形后直接代换
【特别提醒】函数解析式是函 数表示法的一种.求函数的解析式一定要注明
定义域，特别是利用换元法求解析式时，不注明定义域往往 导致错解。
分段函数：在定义域内不同部分上有不同的解析式，这样的函数通常叫分段
函数， 分段函数虽由几个部分构成，但它表示的是一个函数。

壹

高考数学专题一函数
复合函数：如果
y?f(u),u?g(x)< br>，则称函数
y?f(g(x))
为
f
和g构成的复合函
数，其 中
y?f(u),
u?g(x)
分别叫做外层函数和内层函数，内层函数的值域是外层
函数的定义域。
●4. 函数的基本性质：
（1）单调性：设函数的定义域为A，区间
I?A
。
如果对于任意
x
1
，
x
2
?
I，当
x
1
?x< br>2
时，都有
f
?
x
1
?
?f
?x
2
?
，那么就说
f
?
x
?
在区间I上是单调减函数．区间I叫做
f
?
x
?
的单调减区间； < br>如果对于任意
x
1
，
x
2
?
I，当
x
1
?x
2
时，都有
f(x
1
)?f(x
2
)
，那么就说
f
?
x
?
在区间
I上是单 调增函数．区间I叫做
f
?
x
?
的单调增区间；
单调增区间或单调减区间统称为单调区间。
单调性的求解方法：
①定义法:取值——作差——变形——定号——判断
②复合函数：“同增异减”
（ 2）最大（小）值：设函数
f
?
x
?
的定义域为I，如果存在实数M 满足：
①对于任意的
x?I
，都有
f(x)?M
（或
f( x)?M
）；
②存在
x
0
?I
，使得
f(x0
)?M
．那么我们称M是函数
y?f(x)
的最大（或小）
值 。
求函数最大（小）值的常用方法：分析观察法、反函数法、分离常数法、配
方法、不等式法 、判别式法、利用函数的单调性法、换元法、数形结合法、导数
法。
函数的单调性与最值在高 考中常以选择填空题形式出现，但近几年高考常以
导数为工具，研究函数的单调性问题在大题中是必考内 容。
（3）奇偶性：
如果对于函数
f
?
x
?< br>的定义域内任意一个x，都有
f
?
?x
?
??f
?< br>x
?
，那么函数
f
?
x
?
就叫做奇函数。奇 函数的图象关于原点对称。
如果对于函数
f
?
x
?
的定义域内任意一个x，都有
f
?
?x
?
?f
?
x
?
，那么函数
f
?
x
?
就叫做偶函数。偶函数的 图象关于y轴对称。
奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据，为了便于判断函数的奇偶
性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：
f(?x)??f(x)?f(?x)?f( x)?0
，也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶

贰

高考数学专题一函数
性。
【特别提醒】（1）若
f(x) ?0
，则
f(x)
既是奇函数又是偶函数，
f(x)?a(a?0)
，
则
f(x)
是偶函数；若
f(x)
是奇函数且在
x?0< br>处有定义，则
f(0)?0
.（3）函数的奇
偶性常与函数的单调性、最值或周 期结合考查，以选择填空题居多，且是高考考
查的热点。
（4）周期性：
对于函数
f
?
x
?
，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内 的每一个值
时，都有
f
?
x?T
?
?f
?
x
?
，那么函数
f
?
x
?
就叫做周期函数。非零常 数T叫做这个函
数的周期。对于常数T，如果存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做函
数
f
?
x
?
的最小正周期。
【特别提醒】：函数的图象是 “形”与“数”的有机组合，由性质看图象，
由图象研究性质是函数的永恒的主题，以图象考查函数性质 是高考的常考点。

●5. 一些有用的结论：
①奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。
②在公共定义域内 ：增函数
f(x)?
增函数
g(x)
是增函数；减函数
f(x)?< br>减函数
g(x)
是减函数；
③函数
y?ax?
b
(a?0,b?0)
的单调性：
x< br>单调增区间是：
(??,?
b
]
和
[
b
,? ?)
；单调减区间是：
[?
b
,0)
和
(0,
b< br>]
。
aaa
a
④如果函数
y?f(x)
对 于一切
x?R
，都有
f
?
a?x
?
?f
?
a?x
?
，那么函数
y?f(x)
的
图象关于直线
x?a
对称。
⑤函数
y?f(x)
与函数
y?f(?x)
的图象关于直线
x?0
对称；
函数
y?f(x)
与函数
y ??f(x)
的图象关于直线
y?0
对称；
函数
y?f(x)与函数
y??f(?x)
的图象关于坐标原点对称。
三、初等函数
●1. 二次函数
（1）二次函数的三种表示形式：
①标准式：
y?ax
2
?bx?c
?
a?0
?
；

叁

高考数学专题一函数
②顶点式：
y?a?
x?m
?
2
?n
，顶点
?
m,n
? ?
a?0
?
；
③零点式：
y?a
?
x?x
1
??
x?x
2
?

?
a?0
?
。
（2）二次函数的图象：
图象是抛 物线，其对称轴方程为
x??
b
．当
a?0
时，开口向上；当
a?0
时，
2a
开口向下。
（3）二次函数的性质
2
bb
4ac?b
①
a?0
时，单调递减区间(??,?]
；单调递增区间
[?,??)
，
y
min
?
。
2a2a
4a
②
a?0
时，单调递增区间< br>(??,?
b
]
；单调递减区间
x
1
x
2< br>2a
2
4ac?b
y?
。
x
3
x
4
，
max
4a
（4）求解二次函数在限定区间上的最大（小）值要抓住四点 ：
①图象的开口方向；②顶点；③区间与对称轴的位置关系；④区间端点函数
值。
●2. 指数函数和对数函数
（1）指数和对数
指 数
▲
对 数
y
y=f(x)
x
a
b
定
n
（
b
叫做以
a
为底
N
的对数）

x?a
（
a
叫做
x
的
n
次幂）

义
关系
a
b
?N?log
a
N?b

?
a?0, a?1 , N?0
?

式

a
r
?a
s
?a
r?s

s
< br>log
a
?
MN
?
?log
a
M?log< br>a
N

运算

?
a
r
?
?a
rs


log< br>a
M
?log
a
M?log
a
N

N
性质

?
ab
?
r
?a
r< br>b
r
?
a?0 , b?0 , r , s?Q
?


log
a
M
n
?nlog
a
M
?
M?0 , N?0 , a?0 , a?1
?

①根式：如果
x
n
?a
（
n?1
，且
n?N
*
），那么
x
叫做a的n次方根，记作
n
a
。
式子
n
a
叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数．根式的性质有：
（i）
(
n
a)
n
?a
（
n?1
，且
n?N
*
）；
（ii）当n为奇数时，
n
a
n
?a
；当n为偶数 时，
n
a
n
?
②分数指数幂
?
a
?
a?0
?
。
?a
?
a?0
?

肆

高考数学专题一函数
（i）
a
n
?
n
a
m
（ii）
a
m
?
m
n
*
?
1
；
m
（
a?0 , m , n?N
，且
n?1
）
a
n
（iii）0的正分数指数幂等于0，0的负数指数幂、零指数幂没有意义。
③
lgN
叫做常用对数，
lnN
叫做自然对数，其底数分别为10和
e?2.71828L< br>
④
log
a
b?
对数的换底公式及它的变形：
lo g
c
b
,log
a
n
b
n
?log
a
b(a?0,a?1,c?0,c?1,b?0)
。
log
c
a
a
⑤对数恒等式：
a
logb
?b(a?0,a?1,b?0)< br>。
（2）指数函数和对数函数
指数函数


▲
对数函数
y?log
a
x (a?0 , a?1)

y
S
x
a
标准正态分布曲线
S
阴
=0.5
Sa=0.5+S

图

像

y?a
x

?
0?a?1
?
y
y ?a
x
?
a?1
?
o
1
x





y
y?log
a
x

?
a?1
?
o
1
y?log
a
x
?
0?a?1
?
x
①定义域：
(0,??)
②值域：R
①定义域：R ②值域：
(0,??)

性

③过
(0, 1)
点，即
x?0
时，
y?1

质
④当
a?1
时，在R上是增函数；
当
0?a?1
时，在R是减函数．
③过
(0, 1)
点，即
x?1
时，
y?0

④当
a?1
时，在
(0,??)
上是增函数；
当
0?a?1
时，在
(0,??)
是减函数．
关
y?a
x
与
y?log
a
x
（
a?0,a?1
）互为反函数，其图象关于
y?x
对称
系
●3. 幂函数
y
?
x
?
（
x
是自变量，
?
是常数）












伍

高考数学专题一函数
四、函数与方程
●1. 函 数的零点：
y?f(x)
有零点
?
y?f(x)
的图象与x轴有交点
?
方程
f(x)?0
有实根。
●2. 函数零点的存在性 ：如果函数
y?f(x)
在区间
[a,b]
上的图象是连续不断的
一 条曲线，并且有
f(a)?f(b)?0
，那么函数
y?f(x)
在区间(a,b)
内有零点，即存在
使得
f(c)?0
，这个
c
就是方程的根． 注意：①上述判定方法中在
(a,b)
内
c?(a,b)
，
的零点不一定唯一；②逆命题不成立。
●3. 二分法求方程近似解
（1）确定 区间
[a,b]
，验证
f(a)?f(b)?0
，给定精确度
?；
（2）求区间
(a,b)
的中点
x
1
；
（3）计算
f(x
1
)
：①若
f(x
1
)?0，则
x
1
就是函数的零点；
②若
f(a)?f(x
1
)?0
，则令
b?x
1
，此时零点
x
0
? (a,x
1
)
；
③若
f(x
1
)?f(b)?0
，则令
a?x
1
，此时零点
x
0
?(x
1
,b)
。
（4）判断是否达到精确度
?
：
即若
a?b?
?
，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)－(4)步。
●4. 二次方程根的分布
利用二次函数的图象讨论二次方程根的分布的关键：①开口方向；②区间的
端点值；③对称轴；④判别式。
五、函数模型及其应用
求解函数应用问题（如增长率、利润、产量、银行存款、节水等）要注意解
题的步骤。
（1）步骤：①设出未知数；②构建函数模型；③求解；④作答。
（2）常见函数模型：
①一次函数、正比例函数模型；
②二次函数模型；
③近似于指数函数模型；
④
y?x?
p
(p?0)
模型；
x
⑤分段函数模型；
⑥其它函数模型。

专题二 三角

陆

高考数学专题一函数
【知识概要】
一、角的概念的推广、弧度制
●1．任意角：角是由射线绕端点旋转而成的，它有正角、负角与特殊的零角。
●2．终边相 同的角：所有与角
?
终边相同的角，连同角
?
在内，称为终边相
同的 角，记为
S?{
??
?
?
?k?360
o
,k?Z }

●3．象限角：把角置于直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与
x
轴的正半轴重合，那么角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象
限 角。例如：第二象限角的集合：
S?{
?
k?360??90??
?
?k?360??180?,k?Z}

●4．坐标轴上的角
终边 在
x
轴上的角的集合：
S?{
??
?k?180?,k?Z}

终边在
y
轴上的角的集合：
S?{
??
?k? 180??90?,k?Z}

终边在坐标轴上的角的集合：
S?{
??
?k?90?,k?Z}

●5．角的度量：弧度制，角度制。
1rad
角：弧长与圆半径长相等的弧所对的圆心角的大小称为
1rad
角。
弧度和角度的换算：
180??
?
(rad)

1??
?
rad?0.01745rad

180

1(rad)?(
180
)??57.30??57?18
?

?
●6．弧长和扇形面积公式

l?
?
?R

S?
1
l?R?
1
?
?R
2

22
二、任意角的三角函数
●1．任意角的三角函数的定义：设点
P(x,y)
是角
?
终边上一点，点O是坐标
原点，
r?| OP|?x
2
?y
2
，那么角
?
的正弦、余弦、正切分别是
yy
sin
?
?,cos
?
?
x
,tan
?
?(x?0)
。
rrx
●2．三角函数值的符号：正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号是：

y y y

＋ ＋ － ＋ － ＋

x x x

O O
O

－
－
－
＋
＋
－

cos
?

tan
?


sin
?


●3．三角函数线：正弦线
MP?s in
?
，余弦线
OM?cos
?
，正切线
AT?tan?
。
y

y
y
?

y
T
P
P
M
M
O
A
x
O
A
x
O
T
柒
M
A
P
T

?

O
M
A
x
x
?

P

高考数学专题一函数





三、同角三角函数的基本关系式与诱导公式
●1．同角三角函数的基本关系式，注意公式的变形使用。
（1）
sin
2
?
?cos
2
?
?1
（2）
tan
?
?
sin
?

cos
?
●2．诱导公式：与角“
2k
?
?
?
,?
?
,
?
?
?
,
?
??
,
3
?
?
?
”有关的诱导公式的记
22忆口诀是“奇变偶不变, 符号看象限”。应用诱导公式，重点是“函数名称”与
“正负号”的判断 。求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化归为
锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负 角化正角”
?
“正角化锐角”
?
求
值。
四、正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质（以下
k?Z
）
函数
y?cosx

y?tanx

y?sinx

名



y

y

y

?
?

?

图象
?
?
?

?


?


x

?
2


x
O

x
O
O
2

定义
{x|x?k
?
?
?
}

R R
2
域
[?1,1]

[?1,1]

值域 R
奇偶
性
单
增
调
性
减
周期
性
对称
点
对称
轴
最大
值
最小
值

奇函数
[2k
?
?
?
,2k
?
?
?
]

22
[2k
?
?
?
,2k
?
?
3
?
]

22
偶函数
[2k
?
?
?
,2k
?
]

[2k
?
,2k
?
?
?
]

奇函数
增区间：
(k
?
?
?
,k
??
?
)

22
T?2
?

(k
?
,0)

x?k
?
?
?

2
T?2
?

(k
?
?
?
,0)

2
T?
?

(
k
?
,0)

2
x?k
?

不存在
不存在
不存在
x?2k
?
?
?

2
x?2k
?
?
?

2
y
max
?1

y
min
??1

x?2k
?

y
max
?1

y
min
??1

x?2k
?
?
?


捌

高考数学专题一函数
五、函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象与性质
●1．图象的作法：
方法一：“五点法”。先找出确定图象形状起关键作用 的五个点（强调：这五
个点应该是使函数取得极大值、极小值和曲线与
x
轴相交的点） ，找出它们的方
法是作变量代换：设
X?
?
x?
?
，由X
取
0,
?
,
?
,
3
?
,2
?
来求出对应的
x
的值，再
22
用光滑曲线将它们连接起来 。
方法二：图象的初等变换
振幅变换：函数
y?sinx
函数
y?Asinx



纵坐标伸长
(A?0)

或缩短
(0?A?1)
到原来的A倍
横坐标伸长
(0?
?
?1)

或缩短
(
?
?1)
到原来的
周期变换：函数
y?sinx

1
函数
y?sin
?
x



?
倍
向右
(
?
?0)
或向左
(
?
?0)

平移变换：函数
y?sinx

|
?

|

个单位


函数
平移
y?sin(x?
?
)


一般 地，由
y?sinx
的图象通过变换得到函数
y?Asin(
?
x?
?
)
图象的两种常见方
法, 其步骤如下：（
?
?0,A?0)


横坐标伸长
(0?
?
?1)
或
①
y?sinx

y?sin
?
x

1
缩短(
?
?1)
到原来的倍
?


?
?
向左或向右
(?0)(

?

?

?0)



y?sin(
?
x?
?
)


?
平移个单位

?

纵坐标伸长

(

A

?

1

)

y?Asin(
?
x?
?
)


或缩短(
0?A?1
)到原来的A倍

向左
(
?
?0)
或向右
(
?
?0)

②
y?sinx

平移

|
?
|
个单位



y?sin(x?
?
)








横坐标伸长

x

x
12
x
3

x
或


4

y?sin(
?
x?
?
)

缩短(
?
?1)
到原来的
纵坐标伸长(
A?1
)
1
倍
?
或缩短(
0?A?1
)到原来的A倍
玖

高考数学专题一函数



▲
y
y=f(x)
x
a
b

●2．性质：周期为
T?
2
?

|
?
|
六、和、差、倍、半公式
●1．两角和与差的三角函数公式：
< br>C
?
?
?
:cos(
?
?
?
)?c os
?
cos
?
msin
?
sin
?
< br>S
?
?
?
:sin(
?
?
?
)?s in
?
cos
?
?cos
?
sin
?

T
?
?
?
:tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?

1
m
tan
?
tan
?

●2．二倍角公式：

S
2
?
:sin2
?
?2sin
?
cos
?


C< br>2
?
:cos2
?
?cos
2
?
?sin< br>2
?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?


T
2
?
:tan2
?
?
2tan
?

2
1?tana
●3．降幂公式：

sin
2
?
?
1?c os2
?
,cos
2
?
?
1?cos2
?

22
七、正弦定理、余弦定理
●1．正弦定理：

a
?
b
?
c
?2R
（R是三角形外接圆的半径）
sinAsinBsinC
●2．余弦定理：

a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA
；
b< br>2
?c
2
?a
2
?2cacosB
；
c2
?a
2
?b
2
?2abcosC
。
●3．三角形面积公式：

S
?
?
1
ab sinC?
1
bcsinA?
1
casinB

222正三角形的面积公式：
S
正△
＝
3
a
2

4
●4．三角形中的边与角的关系：
a
2
?b
2
?c
2
?A?90?


a
2
?b
2
?c
2
?A?90?


a
2
?b
2
?c
2
?A?90?



专题三平面向量
【知识概要】
一、向量的概念及其运算
●1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量。常用一条有向线段

AB
表示
壹拾

高考数学专题一函数
向量，
AB
的长度表示向量的大小，记为
AB
，长度为零的向量，记为
0
。
0
●2．平行向量：方向相同或相反的向量。平行向量也叫共线向量，且规定
与任一向量平行。
●3．向量加法的定义及向量加法的三角形法则。
已知向量
a,b
，在平面内任取一点
a b
C
A，作
A
B
AB?a,BC?b
，则向量
AC
叫做
a
与
b
的和，
记作
a?b
，即
a?b ?AB?BC?AC
。
规定：
0?a?a?0
（
a
为任意向量）
a?b?b?a

●4．向量加法的性质
（1）交换律：
（2）结合律：
(a?b)?c?a?(b?c)

●5．向量加法的平行四边形法则
已知向量
a,b
，在平面内任取一点A ，作
AB?a,AD?b
，则以
AB,AD
为邻边的平行四边形ABCD的对 角线向量
AC
就是
a?b
。
●6．向量减法的定义
（1）与向量
（2）向量
a
长度相等，方向相反的向量叫做
a
的相反向量。
a< br>加上
b
的相反向量，叫做
a
与
b
的差，记做
a?b
，即
a?b?a?(?b)
。
●7．向量的数乘
实数
?
与向量
a
的积是一个向量，记作
?
a
，它的 长度和方向规定如下：
（1）
?
a?
?
a
；
壹拾壹

高考数学专题一函数
（2）
（3）
?
a
的方向与
a
相同(
?
?0)
或 与
a
相反(
?
?0)
；
0a?0
。
性质：若
?
,
?
?R
，则
（1）
（2）
（3）
?
(
?
a)?(
??
)a
；
(< br>?
?
?
)a?
?
a?
?
a
；
?
(a?b)?
?
a?
?
b
。
b
与非零向量
a
共线的充要条件是有且只有一个●8．共线判定定理：向量
实数
?
，使得
b?
?
a
。
是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量
1
二、向量的坐标表示
●1．平面向量基本定理：
如果
e,e
12
a
，有且只有一对实数
?
如果
则有
，
?
2
，使
a?
?
e?
?
e
1122
；不共线向 量
e,e
12
叫
做平面内所有向量的一组基底。
●2．平面向量的坐标表示
a?xi?yj
，其中
i,j
分别为与
x
轴，
y
轴方向相同的单位向量，
a?(x,y)

●3．平面向量的坐标运算
（1）
（2）
（3）
（4）
a?b?(x?x,y?y)
；
1212
（
a?b?(x?x,y?y)
；
1212
?< br>a?(
?
x,
?
x)
；
12
AB?(x?x,y?y)
。
BABA
●4．数量积的坐标表 示：若
a?
(
x
,
y
),
b?
(
x
,
y
)
，则有
1122
a?b?xx?yy

1212

壹拾贰

高考数学专题一函数
●5．向 量平行的判定定理：设
a?
(
x
,
y
),
b?(
x
,
y
)
，则
1122
ab?xy?xy< br>。
1221
●6．向量垂直判定定理：设
a?
(
x
,
y
),
b?
(
x
,
y
)
，则< br>1122
a?b?xx?yy?0
。
1212
●7．向量长计算公式
x?y
（1）若
a?(x,y)
，则
a?
22
；
（2）若 点
P
则
P
2
(x
2
,y
2
)，
1
(x
1
,y
1
)
，
●8．三角形不等式
定理：设是任意两个向量
三、向量的数量积
●1．数量积的定义：设向量
为向量
pp?(x?x)?(y?y)
2
122 121
2
。
a,b
，则有
a?b?a?b?a?b
。 < br>a
与
b
的夹角为
?
，我们将数值
abcos
?
称
a
与
b
的数量积．记为
a?b
，并规定
0?a?0
，因此得定义式
a?b?abcos
?
：。
●2．数量积的运算律
（1）交换律：
a?b?b?a

（2）数乘结合律：
（3）分配律：
?
(a?b)?(
?
a) ?b?a?(
?
b)

(a?b)?c?a?c?b?c

a?b?a?b?0

●3．数量积的基本性质
（1）垂直条件：

壹拾叁

高考数学专题一函数
（2）同向反向性：
a
与
b
同向
?a?b?ab
，
a
与
b
反向
?a?b??ab

（3）数量积表示模：
a?a?a
2
；或者
aa?a

a?b
（4）夹角公式：设
?
??a,b?
，则
co s
?
?

ab
（5）数量积不等式：
a?b?ab

四、向量的应用
●1．平面几何中的向量问题
向量的运算与几何图形的性质密切相关，向量的运算可以用图形 简明地表
示，而图形的性质又可以反映到向量的运算上来。
●2．向量在物理中的应用
物理学中有很多矢量，因此其研究过程若引入向量的基本方法，可以收到较
好的效果。


专题四数列
【知识概要】
一、数列的概念
●1. 数列的有关概念：
（1）定义：按一定的次序排列的一列数；它是定义域为
N
?
（或
N
?
的有限子
集）的函数
f(n)
所对应的一列函数值
f(1),f(2),L,f(n),L
，数列是自变量离散变
化 的函数。
（2）通项公式：数列的第
n
项
a
n
与项 数
n
之间的函数关系，如果能用一个公
式表示，这个公式叫做数列的通项公式。
●2. 数列的表示法：

壹拾肆

高考数学专题一函数
（1）列表法：用列表法给出函数关系，自变量省 略，仅列出函数值；如：
2,?4,8,?16,L

（2）图象法：以序号为 横坐标，相应项
a
n
为纵坐标，描点画图得到函数图象，
用一群孤立点
(n,a
n
)
表示。
（3）解析法：一般用通项公式
a
n
?f(n)
表示，或用递推关系式表示。
如
a
n
?2a
n?1
?1,a
1
?1)< br>
●3. 数列
{a
n
}
的通项
a
n
与前
n
项和
S
n
的关系：
n
S
1
(n?1)

a
n
?
，其中
S
n
?
?
a
i
?a
1< br>?a
2
???a
n

S
n
?S
n?1
(n?2)
i?1
?
●4. 两个重要的变形：
（1）
a
n
?a
1
?( a
2
?a
1
)?(a
3
?a
2
)???( a
n
?a
n?1
)

（2）
a
n
?a
1
?






二、等差数列和等比数列
等差数列
如果a
n
?a
n?1
?d
（常数）
(n?2)
，< br>●1. 定
那么
{a
n
}
就称为等差数列，
d
为公
义
差。
●2. 通
a
n
?a
1
?(n?1)d,
a
n
?a
m
?(n?m)d

项
公式
a
n
?a
1
?q
n?1
,a
n
?a
m
?q
n?m

a
a
2
a
3
????
n
(n?2)

a
1
a
2
a
n?1
等比数列
如果
a
n
?q
（常数）
(n?2)
，那么
a
n?1< br>{a
n
}
就称为等比数列，q为公比。

壹拾伍

高考数学专题一函数
等差数列 等比数列
a,G,b
●3. 中
a,A,b
成等差数列
?2A?a?b

项
a?a
公
a
n
?
n?1n?1
?2an
?a
n?1
?a
n?1
2
式
(n?2)

前
n

n(a
1
?a
n
)

S
n
?
●4. 项
2
和
n(n?1)d

公
或
S
n
?na
1
?
2
式
1） 若正自然数
m
、
n
、
p
、
q
满足
成等比数列

?G
2
?ab
(ab?0)

2a
n
?a
n?1
?a
n?1
(n?2)

(q?1)
?
na
1
?

S
n
?
?
a
1
(1?q
n
)
a
1
?a< br>n
q
?
1?q
?
1?q
(q?1)
?
1）若正自然数
m
、
n
、
p
、
q
满足

m?n?p?q
，则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
。
m?n?p?q
，则
a
m< br>?a
n
?a
p
?a
q
。

2）若
{a
n
}
为等差数列，则
2）若
{a
n
}
为等比数列，且

S
n
,S
2n
?S
n
,S
3n
?S
2n,L
均不为零，
●5. 重
要

S
n
, S
2n
?S
n
,S
3n
?S
2n
,L为等差数列。 则
S
n
,S
2n
?S
n
, S
3n
?S
2n
,L
为等比数
性
质 列。
3）若
{a
n
}
为等差数列，则 3）若
{a
n
}
为等比数列，则
1
，
a
，
{
?
a}
也是
?
n
?

?
pa
n
?q
?
也是等差数列，公差为

?
a
n
2
?
，
n
a
n
??pd
。
等比数列，公比分别为
q
2
,
1
,q ,
?
q
。
q
a
n
2
?a
n?1
?a
n?1
(a
n
,a
n?1
,a
n?1
?0)

?{a
n
}
为等比数列。
●6. 充
要
条
件
●7. 相
互
关
系

{a
n
}
为等差数列
?S
n?an
2
?bn

?2a
n
?a
n?1
?a
n?1
(n?2)
。
1）设
a?0
且
a? 1
，则
a
x
,a
y
,a
z
,L
成 等比数列
?x,y,z,L
成等差数列。
2）
{a
n
}< br>是正项等比数列
?{log
c
a
n
}
是等差数列。
三、数列通项公式的求法

壹拾陆

高考数学专题一函数
●1. 根据S
n
，利用公式
a
n
?
S
1
(n?1)
nn?1
?
S?S(n?2)
求通项a
n
。
●2. 根据数列的递推关系，叠加法、累乘法求通项
a
n
，其要点是：
（1 ）
a
n
?a
1
?(a
2
?a
1
) ?(a
3
?a
2
)?L?(a
n
?a
n?1
)
；（2）
a
n
?a
1
?
a
2
?
a
3
?L?
a
n
(n?2)

a
1
a
2
a
n?1
●3. 构造新的等差、等比数列，转化法求通项
a
n
。
四、特殊数列求和
●1. 利用等差、等比数列的公式求和。
●2. 倒序相加法求和。
●3. 乘公比错位相减法求和. 适用于由一个等差数列和一个等比数列对应项
乘积组成的数列。
●4. 裂项法求和. 它的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项（裂项），并
使它们在相加时除了首尾各有 一项或少数几项外，其余各项都能前后相消.常见
裂项公式：
（1）
1
1
?
1
(
1
?
1
)
（2）
?
1
(n?k?n)

n(n?k)knn?k
n?k?n
k
●5. 分组求和. 通过拆和组的手段把问题化归为可求或易求的数列的问题。
五、数列应用题
在应用问题中，根据问题构造等差、等比数列的模型，然后再用数列的通项
公式或求和公式等知识求解。

专题五不等式
【知识概要】
一、不等式的性质
●1. 两个实数大小的比较
（1）设
a、b?R
，则
a?b?a ?b?0
，
a?b?a?b?0
。
（2）设
a,b?R,b?0,
则有
a
?1?a?b
；
a
?1?a?b
。
bb
●2. 不等式的性质
不等式的基本性质：

壹拾柒

高考数学专题一函数
性质1：
a?b?b?a
性质2：
a?b
，
b?c?a?c

性质3：
a?b
，
?
a?c?b?c
性质4：
a?b
，
c?0?ac?bc
;
a?b
，
c?0?ac?bc

不等式的运算性质：
性质5：
a?b
，
c?d?a?c?b?d
性质6：
a?b?0
，
c?d?0?ac?bd

性质7：
a?b?0
，
n?N
*
?a
n
?b
n
性质8：
a?b?0
，
n?N
*
?
n
a?
n
b

对不等式性质，关键是正确理解和运用，要弄清每一条性质的条件和结论，以及条件与结论之间的相互联系；不等式性质包括“单向性”和“双向性”两个
方面。单向性主要用 于证明不等式，双向性是解不等式的理论基础。
二、不等式的解法
解不等式的基本思路是等价转化. 分式不等式整式化，高次不等式低次化，
使要求解的不等式 转化为一元一次不等式或一元二次不等式，进而获得解决。在
转化的过程中一定要注意变换的等价性，因 为不等式的解集多为无限集，不等价
变换所产生的未知数取值范围扩大或缩小难以发现和控制，所以等价 变换才能保
证解题的正确性。
●1. 一元一次不等式解法的基本步骤：
（1）化成
ax?b
的形式；
（2）求解集。(含字母系数要注意讨论)
●2. 一元二次不等式解法的基本步骤：
（1）化成
ax
2
?bx?c?0
或
ax
2
?bx?c?0
的形式；
（2）判断?，进一步求方程的根；
（3）根据?及
a
的正负，写解集。
●3. 分式不等式解法的基本步骤：
（1）化成
f(x)f(x)
?0
或
?0
的形式；
g(x)g(x)
（2）同解变形为
f(x)?g(x)?0
或
f(x)?g(x)?0
；
●4. 含字母不等式解法要注意的问题
字母的不同取值范围，不等式的转 化结果也会不同，因而必须对字母分类讨
论。对字母分类讨论时，一要考虑字母总的取值范围，二要用同 一标准对字母进

壹拾捌

高考数学专题一函数
行划分，三要使得划分后不等式的解集表达式是确定的。
三、简单线性规划与应用
●1. 二元一次不等式所表示的平面区域判定方法。
（1）特殊点代入检验法. 特殊点主要用原点、坐标轴上的点。
（2）系数判定法：
Ax?By?C?0
(
B?0
) 不等式表示直线上半部分平面区
域。
Ax?By?C?0
(
B?0
) 不等式表示直线下半部分平面区域。（当
B?0
时，
简记为“大于号取上边，小于取下边”）
●2. 求解线性规划应用问题的基本步骤：
（1）分析题意，设出决策变量，找出所有线性约束条件和目标函数。
（2）做出可行域(注意边界及边界上的特殊点)。
（3）利用可行域和线性目标函数寻找最优解。(注意利用目标函数几何意义)
（4）根据题设的实际需要调整最优解(如整数解)。
四、基本不等式及不等式应用
●1. 基本不等式：
ab?
a?b
(a,b?0)

2
●2. 运用基本不等式解决最值问题，要注意“一正、二定、三相等”的条件.
（1）当
a,b?R
?
，
a?b
为定值且
a ?b
时，
a?b
有最小值
2ab
；
?
a?b
?
； （2）当
a,b?R
?
，< br>a?b
为定值且
a?b
时,
a?b
有最大值
4
2
（3）若等号取不到时，应改用函数的单调性解决最值问题。
专题六立体几何
【知识概要】
一、多面体
●1. 多面体——由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。多面体有几
个面就称为几面体。
棱柱 棱锥 棱台
由一个平面多边形 当棱柱的一个底面 棱锥被一个平行于
定
沿某一方向平移形成的收缩为一点时，得到的底面的平面所截后，截
义
空间几何体。 几何体。 面和底面之间的部分。

壹拾玖

高考数学专题一函数
(1) 两个底面与平行于
底面的截面是对应边互
相平行的全等多边形；
性 (2) 侧面都是平行四边
质 形， 侧棱都相等；
(3) 过棱柱不相邻的两
条侧棱的截面都是平行
四边形。

●2.


底面是平

行四边形



四棱柱 平行六面体
(1) 底面是多边形；
(2) 平行于底面的截面
与底面相似；
(3) 侧面是有一个公共
顶点的三角形。
(1) 两个底面是相似多
边形；
(2) 两个底面以及平行
于底面的截面是对应边
互相平行的相似多边
形；
(3) 侧面都是梯形。
侧棱与
底面垂直
底面
是矩形
棱长
相等
直平行六面体

长方体

正方体
二、中心投影和平行投影
●1. 投影——是光线（投射线）通过物体，向选定的面（投影面 ）投射，并
在该面上得到图形的方法。投射线交于一点的投影称为中心投影。投射线相互平
行的 投影称为平行投影。 平行投影按投射方向是否正对着投影面，可分为斜投
影和正投影。
●2. 视图——物体按正投影向投影面投射所得的图形。光线从物体的前面向
后投射所得的投影称为主 视图或正视图，自上向下的称为俯视图，自左向右的称
为左视图。正视图、俯视图、左视图称为三视图； 作图关键：按“长对正、高平
齐、宽相等”。
●3. 空间几何体画在纸上，要体现 立体感，底面常用斜二侧画法，画出它的
直观图。三角形ABC的面积为S，用斜二测画法画得它的直观 图三角形
A
?
B
?
C
?
的
面积为
S
?
，则
S
?
?
2
S
。作图关键：倾斜4 5?，横“等”纵“半”。
4

三、平面基本性质：（三公理三推论）
名
称
公理1
内 容
如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个
平面内。
如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的
公理2
集合是一条直线。
公理3 经过不在一条直线上的三点，有且仅有一个平面。
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且仅有一个平面。
推论2 经过两条相交直线，有且仅有一个平面。
推论3 经过两条平行线，有且仅有一个平面。

贰拾

高考数学专题一函数

四、空间两条不重合的直线的位置关系
●1. 空间两条直线有三种位置关系：(1)相交直线； (2)平行直线； (3)异面
直线。
●2. 若从有无公共点角度看，可分两类：
有且只有一个公共点——相交直线
平行直线
没有公共点
异面直线
●3. 若从是否共面的角度看, 可分为两类：
相交直线
在同一平面内
平行直线
不同在任一平面内——异面直线
●4. 异面直线
(1) 定义: 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
(2) 性质: 两条异面直线既不相交也不平行。
(3) 判定定理——连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经
过此点的直线是异面直线。
(4) 异面直线所成的角——设
a,b
是两条异面直线，经过空间任一点
O
作直
线
a
?
a,b
?
b
，我们把
a
?
与
b
?
所成的锐角(或直角)叫做异面直线
a
与
b
所成的角
(或夹角)。
(5) 异面直线所成角的范围为
0,
?
?
?
。
2
?
(6) 求异面直线所成的角分两步：一是找角，通过平行移动找两直线所成的< br>角；二是求角，通过解三角形求角。
两条异面直线所成的角是直角,则称两条异面直线互相垂直 .所以线线垂直包
括两条相交直线互相垂直和两条异面直线互相垂直两种情况。
?

贰拾壹

高考数学专题一函数
五、空间的直线与平面
●1 定义 线面平行的判定定理 线面平行的性质定理
如果一条直线
l
与
a?< br>?
,l?
?
?
l
?
,l?
?
?线
?l
?

一个平面
?
没有公共
??
?la

la
?
I
?
?a
面
??
点，我们就说直线
l
与
平
平面
?
平行。记作: 即：线线平行
?
线面平即：线面平行
?
线线平
行
l

?

行 行
●2 定义 线面垂直的判定定理
l?a,l?b
?
?
a
I
b?O
?
?l?
?

a,b?
?
?
?
线面垂直的性质定理
a?
?
,b?
?
?ab

即：线线垂直
?
线面垂
直
证明线面平行，要抓住上述判定定理中的 “内”“外”两关键字眼，“内应外
合”。通过勾股定理的逆定理计算得出垂直也是常用手段。
●3. 点到平面的距离——过
?
外一点
A
向
?< br>作垂线，则
A
和垂足
B
之间的距
离叫做点
A
到平面
?
的距离。
●4. 线面所成的角——平面
?
的一 条斜线
l
与它在该平面内的射影所成的锐
角，叫做这条直线与这个平面所成的角. < br>l?
?
时称
l
与
?
所成的角为直角；
l?
时
称
l
与
?
所成的角为
0?
角。线 面角范围为
[0,
?
]
。
2
线
面
?a?
?
，有
l?a

垂 记作:
l?
?

直
即：线面垂直
?
线线平
行
●5. 三垂线定理：如果平面内一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，
那么它也和这条斜线垂直。
●6. 三垂线逆定理：如果平面内一条直线和这个平面的一条斜线垂直，那么
它也和这条斜线的射影垂直。
六、空间的平面与平面
●1
面
面
平
行
●2

?
I
?
?
?

定义 面面平行的判定定理 面面平行的性质定理
记为:
?

?

如果一个平面内有两
如果两个平行平面同
条相交直线分别平行于另
时与第三个平面相 交，那
一个平面，那么这两个平
么它们的交线平行。
面平行
即：面面平行
?
线线平行
即：线面平行
?
面面平行
面面垂直的判定定理 面面垂直的性质定理 定义
如果两个平面互相垂
面 如果两个平面如果一个平面经过另
直，那么在一个平面内垂
面 所成的二面角是直一个平面的一条垂线，那
直于它们交线的直线垂直
垂 二面角, 我们就说这么这两个平面互相垂直。
于另一个平面。
直 两个平面互相垂直。 即：线面垂直
?
面面垂直
即：面面垂直
?
线面垂直

●3. 二面角——从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这

贰拾贰

高考数学专题一函数
条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫 做二面角的面。棱为
l
，两个半平面分别
为
?
,
?
的二面角记为
?
?l?
?
。二面角范围为
[0,
?
]
。
●4. 二面角平面角的作法：一是定义，在棱上取一点，分别在二面角的两个
面作与棱垂直的射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角；二是利用线面
垂直的判定和性 质，在二面角的一个面内取一点
P
作另一个面的垂线，自垂足
A
作二面角的棱 的垂线
AO
，
AO
与棱交于点
O
，则
?POA即为二面角的平面角或其
补角；三是过空间一点作二面角的棱的垂面，垂面与二面角的两个面的交线 所成
的角是二面角的平面角。
七、柱、锥、台、球的表面积和体积
●1. 侧面积公式（注:
c
表示柱、锥、台的底面周长，
c
?
表 示棱台上底面周
长，
h
?
表示正棱锥或正棱台的斜高）

直棱柱 正棱锥 正棱台
公式
S
直棱柱侧
?ch

S
正棱锥侧
?
1
ch
?

2
S< br>正棱台侧
?
1
(c?c
?
)h
?

2
●2. 体积公式

棱柱
公式
V
柱体
?Sh

棱锥
V
锥体
?
1
Sh

3
棱台
V< br>台体
?
1
（hS?SS
?
?S
?
)

3
●3. 球——与定点的距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球。
球面——与定点距离等于定长的点的集合。
大圆——球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截
得的圆叫做小圆。
两点的球面距离——球面上两点之间的最短距离（就是经过两点的大圆在这
两点间的一段劣弧的长度）。
●4. 球的截面性质
(1) 用一个平面截球，所得的截面是一个圆面；
(2) 球心和截面圆心的连线
?
截
?

面；
r
(3) 球心到截面距离d与球的半径
d
R
R及截面的半径r满足关系：
r?R
2
?d
2
。
●5. 球面面积公式：
S
球面
?4
?
R
2

●6. 球体积公式：
V
球
?
4
?
R
3

3


专题七解析几何之圆锥曲线
【知识概要】

贰拾叁

高考数学专题一函数
●1．圆锥曲线的概念、标准方程与几何性质
椭圆 双曲线 抛物线
与两个定点
F
1
，
F
2
的距 与两个定点
F
1
，
F
2
的距
定
义
离
点
的轨迹
(2a?2c)
。

离
数

(2a)
的点的轨迹
(2a?2c)
。
①焦 点在
x
轴上，开口向右：
y
2
?2px

②焦点在
x
轴上，开口向左：
y
2
??2px

③焦点在y轴上，开口向上：
x
2
?2py

④焦点在y轴上，开口向下：
x
2
??2py

①焦点在
x
轴上，开口向右:
y
2
?2px

②焦点在
x
轴上，开口向左：
y
2
??2px

①
y
②
F
1
O F
2
x
y
P

x
x
l
与一个定点
F
和一条定直线
l
的距
离相等
(F?l)的点的轨迹
。

(2c)
之和等于常数
(2a)
的(2c)
之差的绝对值等于常
①焦点在
x
轴上： ①焦点在
x
轴上：
x
2
y
2
??1

标准
a
2
b
2
方程
②焦点在
y
轴上：
xy
??1

22
ba
①焦点在
x
轴上







图
②焦点在










O
P

F
1
x
y
F
1
O
F
2
P
22
x
2
y
2
??1

a
2
b
2
②焦点在
y
轴上：

yx
??1

22
ab
22
①焦点在
x
轴上



x
P
y
y








l
O
P

y
轴上

②焦点在
y
轴上


y
F

F

O
形
F
2
③焦点在
y
轴上，开口向上：
x
2
?2py

F
2
④焦点在
y
轴上，开口向下：
x
2
??2py

O
F
1
P

x
③ ④
y





P

O
y
F

x
P
O
x
F

焦
点
①
(?c,0)

②
(0,?c)

①
(?c,0)

②
(0,?c)

①
(,0)
；②
(?
③
(0,
p
2
p
,0)

2
pp
)
；④
(0,?)

22

贰拾肆

高考数学专题一函数

顶
点
关
系
离
心
率
椭圆
焦点在
x
轴上：
(?a,0)
，
(0,?b)

焦点在
y
轴上：
双曲线
焦点在
x
轴上：
(?a,0)

焦点在
y
轴上：
(0,?a)

抛物线
(0,0)

(0,?a)
，
(?b,0)

c
2
?a
2
?b
2
(
a?b?0
)
c
2
?a
2
?b
2
(
a?0,b?0
)
p
为焦点到准线的距离
e?1

e?
c
?1

a
e?
c
?1
< br>a
a
2
a
2
①焦点在
x
轴上，开口向右准线 ：
①焦点在
x
轴上：
x??
①焦点在
x
轴上：
x??

准
cc
p

线
②焦点在
y
轴上：
y??
2
aa
②焦点在
y
轴上：
y??

cc
②焦点在
x
轴上，开口向左准线：
22
x??
x?
p

2
渐
近
线
①焦点在
x
轴上：
y??x

②焦点在
y
轴上：
y??
b
a
③焦点在
y??p

2
y
轴上，开口向上准线：
a
x

④焦点在
y
轴上，开口向下准线：
b
y?
p

2
统一
到定点
F
的距离与到定直线
l
(F?l )
的距离之比等于定值
e
的点的集合
．
0?e?1
时，轨迹 是椭
定义 圆；
e?1
时，轨迹是双曲线，
e?1
时，轨迹是抛物线。 (注:焦点要与对应准线配对使用)

●2．椭圆与双曲线的定义反映了它们的图形特点，是画 图的依椐和基础，而
定义中的定值是求标准方程的基础。在许多实际问题中正确使用这一定义可以使问题的解决更加灵活。另外当焦点位置不确定时，椭圆的标准方程可以统一设成
mx
2< br>?ny
2
?1(m?0,n?0,m?n)
，双曲线的标准方程可以统一设成< br>mx
2
?ny
2
?1(mn?0)
。
●3．椭圆和 双曲线的离心率是反映椭圆的扁平程度以及双曲线开口大小的一
个量，其取值范围分别是
0?e ?1
和
e?1
．离心率的求解问题是本单元的一个重点，
也是高考的热点内容 ，在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出
c
和
a
的
值去计 算，而是根椐题目给出的椭圆与双曲线的几何特征，建立关于参数
c
、
a
、< br>b
的方程或不等式求得离心率的值或范围。
222
ca?b
椭圆的离 心率
e
与
c
、
a
、的关系：
e?
2
?
2
?1?(
b
)
2
；
a
aa
2
▲
y
y=f(x)
双曲线的离心率
e
与
c、
a
、
b
的关系：
a
b
x
。
●4．双曲线的特殊性质
（1）等轴双曲线：双曲线
x
2
? y
2
??a
2
称为等轴双曲线，其渐近线方程为

贰拾伍

高考数学专题一函数
y??x
，离心率
e?2
。
（2）共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做
x
2
y
2
x
2
y
2
已知双曲线的共轭双曲线。
2
?
2
?
?
与
2
?
2
???
互为共轭双曲线，它们具有
ab
ab
x
2
y
2
共同的渐近线：
2
?
2
?0
。
ab
（3）渐近线是双曲线的特有标致，它反映了双曲线的变化范围和趋势。如果
b
x
2< br>y
2
双曲线的渐近线为
y??x
，则它的双曲线方程可设为
2
?
2
?
?
(
?
?0
)；要求双
a b
a
x
2
y
2
曲线
2
?
2
?
?
(
?
?0
)的渐近线，只需令
?
?0
即可。
ab
x
2
y
2
●5．若
P
是椭 圆
2
?
2
?1(a?b?0)
上一点，
F
1
、
F
2
是其两个焦点，且
ab
x
2
y
2
?F
1
PF
2
?
?
，则
?F
1< br>PF
2
的面积
S?btan
；若
P
是双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
上一
ab
2
2?
点，
F
1
、
F
2
是其两个焦点，且
?F
1
PF
2
?
?
，则
?F
1
P F
2
的面积
S?
b
2
tan
?
2
。
●6．已知过抛物线
y
2
?2px(p?0)
的焦点的直线交抛 物线于两点
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
，则有下列性质：
AB?x
1
?x
2
?p
，或
AB?
▲
2p
(
?
为直线< br>AB
的倾斜角
)
，
sin
2
?
y
S
x
a
标准正态分布曲线
S
阴
=0.5
Sa=0.5 +S
p
2
，
x
1
x
2
?
。 4
●7．直线
l
与圆锥曲线
C
的位置关系有相交、相切、相离三 种情况。
其判断方法都是利用代数方法，将直线
l
的方程与圆锥曲线
C的方程联立，
消去
y
得到一个关于
x
的一元二次方程
a x
2
?bx?c?0
。
（1）当
a?0
时，若有
??0
，则
l
与
C
相交；若有
??0
，则
l
与
C
相切；若有
??0
，
则
l
与
C
相离；
（2）当
a?0
时，即得到一个一次方程，若方程有解，则l
与
C
相交，此时只
有一个公共点，若
C
为双曲线，则 直线
l
与双曲线的渐近线平行；若
C
为抛物线，
直线
l与抛物线的对称轴平行。所以当直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时，
直线
l
的与双曲线、抛物线可能相切，也可能相交。
若斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点
A(x< br>1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2)
，则弦长：
AB?1?k
2
?|x
2
?x
1
|?(1?k
2
)[(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
]


?1?
11
?|y?y|?(1?)?[(y
1
?y
2
)
2
?4y
1
y
2
]

(k?0)

21
22
kk
●8．高考导航
圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，它的基本特点是数形兼备，兼容并包，

贰拾陆

高考数学专题一函数
可与代数、三角、几何知识相沟通，历来是高考的重点内 容。纵观近几年高考试
题中对圆锥曲线的考查，基本上是两个客观题，一个主观题，分值21分～24分 ，
占15%左右，并且主要体现出以下几个特点：
1）圆锥曲线的基本问题，主要考查以下内容：
①圆锥曲线的两种定义、标准方程及
a
、
b
、
c
、
e
、
p
五个参数 的求解。
②圆锥曲线的几何性质的应用。
2）求动点轨迹方程或轨迹图形在高考中出现的频率较高，此类问题的解决
需掌握四种基本方法：
①直接法：建系、设点、列式、化简、证明（可以省略），此法适用于较简
单的问题；
②定义法：如果能够确定动点的轨迹满足已知曲线（椭圆、双曲线、抛物线）
的定义，则可由 曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的定义直接写出轨迹方程；
③待定系数法：若已知曲线的形状（如椭圆、双曲线、抛物线），可用待定
系数法；
④相关 点法（坐标代换法）：若动点
P(x,y)
依赖于另一动点
Q(x
1
,y
1
)
，而
Q(x
1
,y
1
)
又在某已知曲线上，则可先写出关于
x
1
,y
1
的方程，再将
x
1
,y
1
换成
x,y
。
3）有关直线与圆 锥曲线位置关系问题，是高考的重热点问题，这类问题常
涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段 中点、弦长等，分析这类问题时，
往往要利用数形结合思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定 理，多以解
答题的形式出现。
4）求与圆锥曲线有关的参数或参数范围问题，是高考命题的 一大热点，这
类问题综合性较大，运算技巧要求较高；尤其是与平面向量、平面几何、函数、
不 等式的综合，特别近年出现的解析几何与平面向量结合的问题，是常考常新的
试题，将是今后高考命题的 一个趋势。


专题七解析几何之直线与圆的方程
【知识概要】
一、直线
●1．直线的方程
（1）直线
l
的倾斜角
?< br>的取值范围是
0?
?
?
?
；平面内的任意一条直线都有
唯一确定的倾斜角。
（2）直线
l
的斜率
k?tan
?
(0?
?
?
?
,
且
?
?
变化情况如下：
倾斜角
?
斜率
k
变化关系
?
2
）。
?
?(0,
?
)

2
k?0

k
随
?
的增大而增大

贰拾柒

高考数学专题一函数
?
?(
?
,
?
)

2
k?0

k
不存在
k
随
?
的增大而增大
任何直线都有倾斜角，
但不一定有斜率
?
?
?

2
斜率的计算公式：若 斜率为
k
的直线过点
P
1
(x
1
,y
1< br>)
与
P
2
(x
2
,y
2
)
，则
k?
y
2
?y
1
(x?x)
。
x
2
?x
1
12
（3）直线方程的五种形式
名称
点斜式
条件
直线
l
的斜率为
k
，
且经过点
P(x
1
,y
1
)

直线
l
的斜率为
k
，
在
y
轴上的截距为
b

方程形式 不能表示的直线 特殊情况
k?0
时，
不能表示垂直于
x
轴
y?y
1
?k(x?x
1
)

方程为
y?y
1

的直线
y?kx?b

不能表示垂直于
x
轴
的直线
斜截式
k?0
时
y?b

x
1
?x
2
时，
直线
l
经过两点
两点式
P
1
(x
1
,y
1
)
，
P
2
(x
2
,y
2
)

且
x
1
?x
2
，
y
1
?y
2

y?y
1
x?x
1
不能表示垂直于
x
轴

?
y
2
?y
1
x
2
?x
1
和
b
轴的直线
方程为
x?x
1
；
y
1
?y
2
时，
方程为
y?y
1

直线
l
在
x
轴和
y
轴上的
截距式 截距分别为
a
和
b
（
a?0,b?0
）

x
?
y
?1

ab
不能表示垂直于
x轴
和
y
轴及过原点的直
线
可以表示平面内的
任意直线

一般式
Ax?By?C?0

（
A,B
不同时为
零）


●2．两条直线位置关系
（1）设两条直线
l
1
:y?k
1
x?b
1
和
l
2
:y?k
2
x?b2
，则有下列结论：
l
1
l
2
?k
1
?k
2
且
b
1
?b
2
；
l
1
?l
2
?k
1
?k
2
??1
。 （2）设两条直线
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0(A
1
,B
1
不全为
0)
和
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0(A
2
,B
2
，
不全为0)，则有下列结论：
l1
l
2
?
A
1
B
2
?A
2< br>B
1
?0
且
BC
12
?B
2
C1
?0
或
A
1
B
2
?A
2
B
1
?0
且
AC
12
?A
2
C
1< br>?0
；
l
1
?l
2
?
A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
。

贰拾捌

高考数学专题一函数
（3）求两条直线交点的坐标：解两条直线方程所组成的二元一次方程组而
得解。
（ 4）与直线
Ax?By?C?0
平行的直线一般可设为
Ax?By?m?0
；
与直线
Ax?By?C?0
垂直的直线一般可设为
Bx?Ay?n?0
。
（5）过两条已知直线
A
1
x?B
1
y?C
1
?0,A
2
x?B
2
y?C
2
?0
交点 的直线系：
A
1
x?B
1
y?C
1
?
?
(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0(其中不包括直线 A
2
x?B
2
y?C
2
?0)

●3．中点公式：
平面内两点
P
1
,P
2
两点的 中点
P(x,y)
为
1
(x
1
,y
1
)< br>、
P
2
(x
2
,y
2
)
，则
P
x?
y?y
x
1
?x
2
,y?
12< br>。
22
●4．两点间的距离公式：
平面内两点
P
1
,P
2
两点间的距离为：
1
(x
1
,y
1
)
，
P
2
(x
2
,y
2
)
，则
P
22
PP
12
?(x
1
?x
2
)?(y
1
?y
2
)
。
●5．点到直线的距离公式： < br>平面内点
P
1
(x
1
,y
1
)
到直 线
Ax?By?C?0
的距离为：
d?
|Ax
1
?By1
?C|
。
22
A?B
设平面两条平行线
l
1
:Ax?By?C?0,l
2
:Ax?By?D?0,C?D
，
则l
1
与l
2
的距离为
d?
C?D
A
2< br>?B
2
。



二、圆
●1．圆的方程
（1）圆的标准方程：
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r< br>2
(r?0)
，其中圆心为
(a,b)
，半径为r。
（2） 圆的一般方程：
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0(D
2< br>?E
2
?4F?0)
，
其中圆心为
(?
D
,?
E
)
，半径
r?
1
D
2
?E
2
?4F
。
222

圆的方程的确定：数形结合是常用的方法，结 合圆所具有的平面几何性质常
能使解题过程简化；待定系数法也是求圆的方程常用的方法。
① 几何法：若已知圆心坐标或半径，用标准式方程，求
a,b,r
；

贰拾玖

高考数学专题一函数
② 代数法：若已知圆上三个点的坐标，用一般式求
D,E,F
。
●2．直线与圆、圆与圆的位置关系
（1）直线与圆的位置关系
设直线
l
：
▲
x
1
x
2
x
3
x
4
和圆
C
：
(x?a)
2
?(y?b)
2
? r
2
，圆心
(a,b)
到直线
l
的距
y
y =f(x)
离为
d
，则
a
b
x
。
或直线 与圆的方程组成的方程组，消去
y
?r(几何法）
①相交
?d?
Aa ?Bb?C
A?B
22
或
x
转化为一元二次方程，其判别式
??0
；（代数法）
②相切
?d?
③相离
?d?
Aa?B b?C
A
2
?B
2
Aa?Bb?C
A?B
22或
??0
；（代数法）
＝r(几何法）
或
??0
。（代数法）
?r(几何法）
（2）圆与圆的位置关系
设两圆圆心分别为
O
1< br>,O
2
，半径分别为
r
1
,r
2
，则： < br>①两圆相交
?|r
1
?r
2
|?OO
12
? r
1
?r
2
；②两圆外切
?O
1
O
2?r
1
?r
2
；
③两圆内切
?OO
12?|r
1
?r
2
|
； ④两圆相离
?O
1
O
2
?r
1
?r
2
。
（3）研究直 线与圆、圆与圆的位置关系要紧紧抓住圆心到直线的距离与圆
的半径的大小关系这一关键点，这个过程充 分体现了数形结合、分类讨论的思想
在解析几何中的应用。
（4）直线被圆截得弦长的求法：
①几何方法：
AB?2r
2
?d
2
，
d
为弦心距，
r
为圆半径。
②代数方法：设 直线
y?kx?m
与圆
C
：
C:(x?a)
2
?( y?b)
2
?r
2
相交于A、B两点，
将直线方程与圆的方程联立后 ，整理出关于
x
的方程，求出
x
1
?x
2
，
x
1
x
2
，
则
AB?(1?k
2
)[ (x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
]
。（整体运算）
三、对称问题
●1. 点关于点成中心对称的对称中 心恰是这两点为端点的线段的中点，因此
中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题。
设
P(x
0
,y
0
)
，对称中心为
A(a,b)，则P关于A的对称点为
P
?
(2a?x
0
,2b?y
0
)
。

●2. 点关于直线成轴对称问题
由轴对称定义知，对 称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”.利用“垂直”
“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对顶 点的坐标.一般情形如下：

叁拾

高考数学专题一函数
设点
P(x
0
,y
0
)
关于直线
y?kx?b的对称点为
P
?
(x
?
,y
?
)
，则 有
?
y
??
y
0
?k??1,
?
?
x
??
x
0
，
?
?
?
y?y
x?x
0
0
?
?k??b,
?
22
?
可求 出
x
?
,
y
?
。
特殊地，点
▲
y
S
x
a
标准正态分布曲线
S
阴
=0.5
Sa=0.5+S
关于直线
x?a
的对称点为
P
?
(2a? x
0
,y
0
)
；点
P(x
0
,y
0
)
关于
直线
y?b
的对称点为
P
?
(x
0
,2b?y
0
)
。
●3. 曲线关于点、曲线关于直线 成中心对称或轴对称问题，一般是转化为点
的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施 转化）。一般结论
如下：
（1）曲线
f(x,y)?0
关于已知点< br>A(a,b)
的对称曲线的方程是
f(2a?x,2b?y)?0
。
（2）曲线
f(x,y)?0
关于直线
y?kx?b
的对称曲线的求法： < br>设曲线
f(x,y)?0
上任意一点为
P(x
0
,y
0
)
，P点关于直线
y?kx?b
的对称点为
?
y?y0
?k??1
?
?
x?x
0
，从中解出
x0
、
y
0
，
P
?
(x,y)
，则由（ 2）知，P与
P
?
的坐标满足
?
y?y
x?x
?< br>0
?k?
0
?b
?
2
?
2
代入已知 曲线
f(x,y)?0
，应有
f(x
0
,y
0
)? 0
。利用坐标代换法就可求出曲线
f(x,y)?0
关于直线
y?kx?b< br>的对称曲线方程。
●4. 两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：
（1）点
(x,y)
关于
x
轴的对称点为
(x,?y)
；
（2）点
(x,y)
关于
y
轴的对称点为
(?x,y)
；
（3）点
(x,y)
关于原点的对称点为
(?x,?y)
；
（4）点
(x,y)
关于
x?y?0
的对称点为
(y ,x)
；
（5）点
(x,y)
关于直线
x?y?0
的对称点为
(?y,?x)
。




叁拾壹

高考数学专题一函数
专题八之复数
【知识概要】
一、复数的概念
●1、虚数单位i
（1）
i
2
??1
；
（2）i的幂的周期性：
i
4n?1
?i
，
i
4n ?2
??1
，
i
4n?3
??i
，
i
4n
?1
(
n?Z
)。
●2、复数的定义：形如
a?bi( a,b?R)
的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数
的虚部；
a?bi(a,b?R )
又叫做复数的代数形式；复数集用字母C表示。
●3、复数的分类：

b?0
????z
是实数

复数
z?a?bi


b?0
????z
是虚数
(a,b?R)


a?0
????
纯虚数bi
a?0
????
非纯虚数
●4、复数集与其它数集之间的关系：
N?Z?Q?R?C

●5、两个复数相等的充要条件：
a?bi?c?di?a?c且b?d
,
(a,b,c,d?R)

●6、复数的模：
（1）定义：复数z在复平面上对应的点Z到原点的距离，叫复数z的模. 用
z
表示。
若
z?a?bi(a,b?R)
，则
|z|? a
2
?b
2
。
（2）模的性质：
z
1?z
2
?z
1
?z
2
；
z
z1
n
?
1
；
z
n
?z
。
z
2
z
2
●7、共轭复数：
（1）定义: 当两个复数的 实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做
互为共轭复数。z的共轭复数记为
z
。
（2）性质：
①z是实数
?z?z
； ②
z?z?z
；
③
z
1
?z
2
?z1
?z
2
； ④
z
1
z
2
?z
1
z
2
； 2
?
z
?
z
⑤
?
1
?
?1
； ⑥若
z?1,
则
z
?1
?z
。
?
z
2
?
z
2


叁拾贰

高考数学专题一函数

二、复数的运算
●1、
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i

●2、
(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i

● 3、
?(bc?ad)i
a?bi
(a?bi)(c?di)（ac?bd）
(以上
a,b,c,d?R)

??
c?di(c?di)(c?di)c
2
?d
2
●4、复数的运算律：对任意的
z,z1
,z
2
,z
3
?C
及
n,m?N
*
有：
①交换律：
z
1
z
2
?z
2
z
1
；
②结合律：
z
1
(z
2
z3
)?(z
1
z
2
)z
3
；
③分配 律：
z
1
(z
2
?z
3
)?z
1
z
2
?z
1
z
3
；
④
z
n
z
m
?z
n?m
；
⑤
(z
m
)
n
?z
nm
；
n< br>⑥
(z
1
z
2
)
n
?z
1
n
z
2

y
b
z(a, b)
三、复数的几何意义
●1、复数
z?a?bi
(a,b?R)
的几何意义：
一一对应
一一对应
O
a
图8-1
x
uuu r
?
点
Z(a,b)
?????
平面向量
OZ
，如 右图8-1所示。
z?a?bi
????

●2、复数加法的几何意义：
复数的加法满足向量运算的平行四边形法则，
设复数
z
1
,z
2
在复平面上所对应的向量为
OZ
1、
OZ
2
，
uuuuruuuur
以
OZ
1
、
OZ
2
为邻边作平行四边形
OZ
1
ZZ
2
，
uuuuruuuur
y
Z
2
Z
1
O
图8-2
y
Z
1
Z
2
O
x
图8-3
x
Z

uuuruuuuruuuur< br>则
OZ?OZ
1
?OZ
2
. 如右图8-2所示。
●3、复数减法的几何意义：
复数的减法满足向量运算的三角形法则，
uuuuu ruuuuruuuur
Z
1
Z
2
?OZ
2
?OZ
1
，如右图8-3所示。


专题八之概率

叁拾叁

高考数学专题一函数
【知识概要】
一、古典概型
●1．随机事件
（1）必然事件：在一定条件下必然发生的事件。
（2）随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生事件的事件。
（3）不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。
●2．频率与概率
（1）频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，
称n次试验中事件A出现的次 数
n
A
为事件A出现的频数，称事件A出现的比例
f
n
?< br>A
?
?
n
A
为事件A出现的频率。
n
（2）概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发
生的频率
f
n
(A)
稳定在某个常数上，把这个常数记作
P(A)
，称为事件A的概率，
简称为A的概率。
●3．概率的性质与计算
（1）随机事件A的 概率为：
P
?
A
?
?
A包含的基本事件的个数

基本事件的总数
（2）概率的基本性质：
0?P(A)?1
；必然事 件的概率为1，不可能事件的概
率为0。
●4．基本方法：寻找一次试验等可能的结 果数的基本方法——枚举法，用枚
举法来寻找试验的结果数时注意合理地分类。
二、几何概型
●1．几何概型的概念：如果每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度(面
积或体积等)成比例，则这样的概率模型叫几何概型。
●2．几何概型计算：在几何概型中，事件A的概率为：

P
?
A
?
?
构成事件A的区域长度（面积或体积）

试验的全部结果所构成的长度（面积或体积）
●3．基本方法
（1）适当地选择角度；
（2）将基本事件转化为与之对应的区域；
（3）将事件A转化为与之对应的区域；
（4）一般如果所设及的问题是一个单变量，可能测 度是长度，角度等，如
果涉及两个变化量的随机试验，可设这两个变量
x,y
(如约会 问题)，利用平面直
角坐标系研究
(x,y)
组成的点集。
三、互斥事件及其概率
●1．基本概念
（1）互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件。


叁拾肆

高考数学专题一函数
一般地，如果事件
A
1
,A
2
,L,A
n
中的任何两个都是互斥事件，那么就说
A
1
,A
2
,L,A
n
彼此互斥。
（2）对立事件：如果两个互斥事件中必有一个发生，那么这两个事件叫对
立事件。
●2．有关计算：若事件A与事件B互斥，则
P(A?B)?P(A)?P(B)
; 特别地，若事
件A与事件B互为对立事件，则
P(A)?1?P(B)
；如果事件A
1
,A
2
,L,A
n
中的任何两
个都是互斥 事件，则
P(A
1
?A
2
?L?A
n
)?P(A< br>1
)?P(A
2
)?L?P(A
n
)
。
四、随机变量
1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：
①试验可以在相同的情形下重复进行；
②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次
试验会出现哪一 个结果.
它就被称为一个随机试验.
2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值 ，可以按一定次序一一列出，
这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a，b是常数 .则
?
?a
?
?b
也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，< br>f(x)
是连续函数或单调
函数，则
f(
?
)
也是随 机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.
设离散型随机变量ξ可能取的值为：
x
1
,x
2
,?,x
i
,?

ξ取每一个 值
x
1
(i?1,2,?)
的概率
P(
?
?xi
)?p
i
，则表称为随机变量ξ的概率分布，
简称ξ的分布列.
?

x
1

p
1

P
x
2

p
2

…
…
x
i

p
i

…
…
有性质①
p
1
?0,i?1,2,?
； ②
p
1
?p
2
???p
i
???1
. < br>注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.
例如：
?
?[0,5]
即
?
可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.
3. ⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重
kn?k复试验中这个事件恰好发生k次的概率是：
P(ξ?k)?C
k
[其中
n
pq
k?0,1,?,n,q?1?p
]

叁拾伍

高考数学专题一函数
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机 变量ξ服从二项分布，
kn?k
记作
?
～B（n·p），其中n，p为参数， 并记
C
k
?b(k;n?p)
.
n
pq
⑵二项分布的判断与应用.
①二项分布，实际是对n次独立重复试验 .关键是看某一事件是否是进行n次独
立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变 量就不服从二
项分布.
②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小， 而每次抽
取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其
分布列 .
4. 几何分布：“
?
?k
”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次 发生，如果把
k次试验时事件A发生记为
A
k
，事A不发生记为
A< br>k
,P(A
k
)?q
，那么
P(ξ?k)?P(A
1
A
2
?A
k?1
A
k
)
.根据相互独立事 件的概率乘法分式：
k?1
P(ξ?k)?P(A
1
)P(A
2)?P(A
k?1
)P(A
k
)
?qp(k?1,2,3,?)
于是得到随机变量ξ的概率分布
列.
?

P
1
q
2
qp
3
q
2
p

…
…
k
q
k?1
p

…
…
我们称ξ服从几何分布，并记
g(k,p)?q
k?1
p
，其中
q?1?p.k?1,2,3?

5. ⑴超几何分布：一批产品共有N件， 其中有M（M＜N）件次品，今抽取
n(1?n?N)
件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变 量，分布列为
P(ξ?k)?
kk
C
M
?C
N
n< br>?
?
M
n
C
N
?(0?k?M,0?n?k?N?M )
.〔分子是从M件次品中取k件，从N-M
件正品中取n-k件的取法数，如果规定
m
＜
r
时
C
m
r
?0
，则k的范围可以写 为k=0，
1，…，n.〕
⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由 a件次品、b件正品组 成，今抽取n
件（1≤n≤a+b），则次品数ξ的分布列为
P(ξ?k)?
C
a
?C
n
kn?k
b
C
a?b
k?0,1,?, n.
.
⑶超几何分布与二项分布的关系.
设一批产品由a件次品、b件正品组成， 不放回抽取n件时，其中次品数ξ服从
超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数
?
的 分布列可如下求得：把
a?b
个产
kn?k
品编号，则抽取n次共有
(a?b)
n
个可能结果，等可能：
(η?k)
含
C
k个结果，
n
ab
故
P(η?k)?
C
n
akk
b
n?k
n
(a?b)
?C
k
n
(
a
a
k
a
n?k
)
.[我们先为
)(1 ?),k?0,1,2,?,n
，即
?
～
B(n?
a?b
a ?ba?b
k

叁拾陆

高考数学专题一函数
个次 品选定位置，共
C
k
n
种选法；然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置
有b种选法] 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，
P(ξ?k)?P(η?k)< br>，
因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.
五、数学期望与方差.
1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
?

x
1

x
2

x
i

… …
p
1

p
2

p
i

P … …
则称
E
?
?x
1
p
1
?x
2
p
2???x
n
p
n
??
为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望 又简称
期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.
2. ⑴随机变量
?
?a
?
?b
的数学期望：
E
?
?E(a
?
?b)?aE
?
?b

①当
a?0
时，
E(b)?b
，即常数的数学期望就是这个常数本身.
②当
a?1
时，E(
?
?b)?E
?
?b
，即随机变量ξ与常数之和的期望等于 ξ的期望与这
个常数的和.
③当
b?0
时，
E(a
?)?aE
?
，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变
量期望的乘积.
⑵单点分布：
E
?
?c?1?c
其分布列为：
P(
?
?1)?c
.
ξ
P
⑶两点分布：
E
?< br>?0?q?1?p?p
，其分布列为：
（p + q = 1）
⑷二项分布：
E
?
?
?
k?
概率）
⑸几何分布：
E
?
?
1
其分布列为
?
～
q(k,p)
.（P为发生
?
的概率）
p
n!
p
k
?q
n?k
?np
其分布列为
?
～
B(n,p)
.（P
k!(n?k)!
0
q
1
p
为发生
?
的
3.方差、标准差的定义 ：当已知随机变量ξ的分布列为
P(
?
?x
k
)?p
k(k?1,2,?)
时，
则称
D
?
?(x
1
? E
?
)
2
p
1
?(x
2
?E
?< br>)
2
p
2
???(x
n
?E
?
)< br>2
p
n
??
为ξ的方差. 显然
D
?
?0< br>，故
??
?D
?
.
??
为ξ的根方差或标准差.随机 变量ξ的方差与标准差都反映了随机
变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.
D
?
越小，稳定性越高，波动越小.
．．．．．．．．．．．．．．
4.方差的性质.
⑴随机变量
?
?a
?
?b
的方差
D(
?< br>)?D(a
?
?b)?a
2
D
?
.（a、b均为常数 ）

叁拾柒

高考数学专题一函数
⑵单点分布：
D
?
?0
其分布列为
P(
?
?1)?p

ξ
P
⑶两点分布：
D
?
?pq
其分布列为：（p + q
= 1）
⑷二项分布：
D
?
?npq

⑸几何分布：
D
?
?
q
p
2
0
q
1
p

5. 期望与方差的关系.
⑴如果
E
?
和
E
?
都存在，则
E(
?
?
?
)?E
?
?E
?

⑵设ξ和是互相独立的两个随 机变量，则
E(
??
)?E
?
?E
?
,D(
?
?
?
)?D
?
?D
?

⑶期望与方差 的转化：
D
?
?E
?
?E
?
?E
?
?0
.
2
?(E
?
)
2
⑷
E (
?
?E
?
)?E(
?
)?E(E
?
)< br>（因为
E
?
为一常数）
六、正态分布.
1.密度曲线与密 度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x轴上方，ξ落在任一区
间
[a,b)
内的概率 等于它与x轴.直线
x?a
与直线
x?b
所围成的曲边梯形的面积
▲
（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为
图像的函数
f(x)
叫做ξ的密度函数，由于“
x?(??,??)
”
y
y=f(x)
x
是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1.
a
b
2. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：
f(x) ?
1
2
??
e
?
(x?
?
)
2< br>2
?
2
.
（
x?R,
?
,
?为常数，且
?
?0
），称ξ服从参数为
?
,
?
的正态分布，用
?
～
N(
?
,
?
2
)表
示.
f(x)
的表达式可简记为
N(
?
,
?
2
)
，它的密度曲线简称为正态曲线.
⑵正态分布的期望与方差：若
?
～
N(
?
,
?
2
)
，则ξ的期望与方 差分别为：
E
?
?
?
,D
?
?
?
2
.
⑶正态曲线的性质.
①曲线在x轴上方，与x轴不相交.
②曲线关于直线
x?
?
对称.
③当
x?
?
时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现

叁拾捌

高考数学专题一函数
出“中间高、两边低”的钟形曲线.
④当x
＜
?
时，曲线上升；当
x
＞
?
时，曲线下降 ，并且当曲线向左、向右两边
无限延伸时，以x轴为渐近线，向x轴无限的靠近.
⑤当
?
一定时，曲线的形状由
?
确定，
?
越大，曲线越“矮胖”.表示 总体的分
布越分散；
?
越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
3. ⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为
?
(x)?
1
2
?
e
?
x
2
2
(???x???)
，< br>则称ξ服从标准正态分布. 即
?
～
N(0,1)
有
?
(x)?P(
?
?x)
，
?
(x)?1?
?
(? x)
求出，而
P（a＜
ξ
≤b）的计算则是
P(a?
??b)?
?
(b)?
?
(a)
.
注意：当标准正态分 布的
?(x)
的X取0时，有
?(x)?0.5
当
?(x)
的X取大于0的数
时，有
?(x)?0.5
.比如
?(
然小于0，如 图.
x
0.5?
?
?
)?0.0793?0.5
则< br>0.5?
?
?
必
▲
y
S
⑵正态分布与标准正 态分布间的关系：若
?
～
N(
?
,
?
)
2
a
标准正态分布曲线
S
阴
=0.5
Sa=0.5+S
则ξ的分布函数通
常用
F(x)
表示，且有
P(ξ?x)?F(x)?< br>?
(
x
?
μ
)
.
σ
4.⑴“3
?
”原则.
假设检验是就正态总体而言的，进行假设 检验可归结为如下三步：①提出统计假
设，统计假设里的变量服从正态分布
N(
?,
?
2
)
.②确定一次试验中的取值
a
是否落
入范围
(
?
?3
?
,
?
?3
?
)
.③做出判断：如果
a?(
?
?3
?
,
?
?3
?
)
，接受统计假设. 如果
a?(
?
?3
?
,
?
?3
?
)
，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.
⑵“3
?
”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布
N(
?
,
?
2
)
则 ξ落在
(
?
?3
?
,
?
?3
?
)
内的概率为99.7％ 亦即落在
(
?
?3
?
,
?
?3
?
)
之外的概率为0. 3％，此为小概率事
件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）.




专题八之算法初步

叁拾玖

高考数学专题一函数
【知识概要】
一、算法的定义
对一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法，算法是对特定问题求解步
骤的一种描述. 现代意义的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题
的程序或步骤。
二、算法的五个特征
●1. 确定性：算法的每一步必须是确切定义的，且无二义性，算法只 有唯一
的执行路径，对于相同的输入只能得出相同的输出。
●2. 有限性：一个算法必须在执行有限次运算后结束. 在所规定的时间和空
间内，若不能获得正确结果，其算法也是不能被采用的。
●3. 可行性：算法中的每一个步骤必须能用实现算法的工具——可执行指令
精确表达，并在有限步骤内完成， 否则这种算法也是不会被采纳的。
●4. 算法一定要根据输入的初始数据或给定的初值才能正确执行它的每一
步骤。
●5. 有输出: 算法一定能得到问题的解，有一个或多个结果输出，达到求解
问题的目的，没有输出结果的算 法是没有意义的。
三、算法的描述
描述算法可以有不同的方式，常用的有自然语言、框图、伪代码、程序设计
语言等。
●1. 自然语言：自然语言就是人们日常使用的语言，如汉语、英语或数学语
言等，使用自然语言描述 算法的优点是通俗易懂，当算法中的操作步骤都是顺序
执行时比较容易理解。缺点是如果算法中包括判断 和转向，并且操作步骤较多时，
就不那么直观清晰了。
●2. 框图（流程图）：（共有顺序结构、选择结构、循环结构三种结构）
程序框图又称流程图，是 一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直
观地表示算法的图形。画程序框图的规则：
（1）使用标准的框图符号。
（2）框图一般按从上到下、从左到右的方向画。
（3）除判断框外，大多数框图符号只一个进入点和一个退出点。判断框是
具有超过一个退出点的唯一符 号。
（4）在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。
（5）流程线必须画箭头，因为它是反映流程的执行的先后次序的。

肆拾

高考数学专题一函数
顺序结构：顺序结构是由若干个依次执行的处理 步骤组成的，这是任何一个
算法结构都离不开的最简单、最基本的结构。其流程图如图1所示。

选择结构：先进行判断，判断的结果决定后面的步骤，这样的结构称为选择
结构，或称为条件分支结构。其流程图如图2所示。
循环结构：循环结构（重复结构）是指按 照一定条件，反复执行某一操作的
算法结构。在循环结构中，反复执行的处理步骤称为循环体。需要注意 的是，循
环结构中一定包含条件结构。其流程图如图3、图4所示。

Y

N
P
A


B
A
B

图1 图2



A
A


N
Y
P
P

Y
N


图3 图4
图3、图4均为循环结构，只是图3表示直到型循环，图4表示当型循环。
当型循环（While型）和直到型（until型）循环的区别是：当型循环是先判
断（条件）再执行 ，而直到型循环是先执行后判断；当型循环是条件满足时执行
有关操作，直到型循环是满足了条件就不再 执行的有关操作。对同一个问题，既
可以用当型循环来处理，也可以用直到型循环来处理。
●3. 伪代码：我们在研究算法的时候，可以采用与程序设计语言类似的形式，
我们称之为伪代码。它 有5种语句：输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、
循环语句。
（1）赋值语 句：在表述一个算法时，经常要引入变量，并赋给变量一个值，
用来表明赋给某一个变量一个具体的确定 值的语句叫做赋值语句。
赋值语句用符号 “
x?y
”或“
x?y
”等表示。
（2）输入语句：用来 实现算法的输入信息，本质是通过计算机的外设（如
键盘等）把数据送到计算机内存。
输入语句用符号“Read a, b”等表示。
（3）输出语句：用来输出算法的结果， 本质是从计算机向外部输出设备（如
显示器、打印机、磁盘等）输出数据。
输出语句用符号“Print x”等表示。

肆拾壹

高考数学专题一函数

（4）条件语句：一个选择结构，执行此算法时，要根据条件选择流程线的
方向. 我们用条件语句来实现这一过程. 其一般形式是图5：


N
Y
A
If A then B

Else C

B
C
End if


图5
（5）循环语句：一个循环结构，可以用循环语句来实现。
▲当循环次数已定，可用“
For
”语句. “
For
”语句的形式为：

ForIfrom
“初值”
to
“终值”
step
“步长”…
Endfor

▲当循环次数不能确定时，可用“
While
”语句来实现循环。“
While
”语句
的形式为图6：



While P

…
A

End while
Y
P


N


图6
四、算法案例
●1. 辗转相除法与更相减损术
（1）辗转相除法：欧几里德辗转相除法找到
a, b
的最大公约数的步骤是：
计算出
a?b
的余数
r
，若r?0
，则
b
为
a,b
的最大公约数；若
r?0
，则把前面
的除数
b
作为新的被除数，把余数
r
作为新的除数，继 续运算，直到余数为零，
此时的除数即为自然数
a,b
的最大公约数。
（2）更相减损术：我们以求119和85这两个数的最大公约数加以说明：以
两数中较大的数减去较小 的数，即
119?85?34
，以差数34和较小的数85构成新
的一对数，对这一对 数再用大数减去小数，即
85?34?51
，再以差数51和较小的
数34构成新的一 对数，对这一对数，大数减去小数，这样的操作一直做下去，
直到产生一对相等的数，这个数就是最大公 约数。

专题八之统计
【知识概要】
一、抽样方法
●1. 简单随机抽样——设一个总体的总数为N，若通过逐个抽取的方法从总

肆拾贰

高考数学专题一函数
体中抽取一个样本，且每次抽取时，各个个体被抽到的概 率相等，这样的抽样方
法叫简单随机抽样。
特点：不放回抽样；逐个抽取；被抽取的样本的总数是有限的。
主要方法：抽签法；随机数表法。
●2. 系统抽样——将总体平均分成几个部分，然后按照 预先定出的规则，从
每个部分中抽取一个个体，得到所需的样本，这样的抽样方法叫简单系统抽样。
特点：等概率抽样；等距离（或按预先定出的规则）抽样；不放回抽样。
系统抽样的步骤：
①采用随机的方式将总体中的个体编号；
②将整个的编号按一定的间隔(设为k)，当
N
（N为总体中的个体数，n为
n
样本容量）是整数时，
k?
N< br>;
当
N
不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩
n
n1
N
下的总体中个体的个数
N
能被n整除，这时
k?
， 并将剩下的总体重新编号；
n
1
③在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体标号l；
④将编号为
l,l?k,l?2k,L,l?(n?1)k
的个体抽出。
●3. 分层抽样——当总体由差异明显的几个部分组成时，将总体中的个体按
不同的特点分成 层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比进行抽
样，这样的抽样方法叫分层抽样。 特点：每层抽取的样本数＝
每层的个数
?所要抽取的总体数
；等概率抽样；
总体样本个数
不放回抽样。
分层抽样的步骤：
①将总体按一定标准分层；
②计算各层的个数与总体的个数的比；
③按各层个数占总体的个数的比确定各层应抽取的样本容量；
④在每一层进行抽样(可用简单随机抽样或系统抽样)。
二、总体分布的估计和总体特征数的估计
●1. 频率分布表的有关概念
（1）频数: 在一组数据中，某范围内的数据出现的次数；
（2）频率: 频数除以数据的总个数；
（3）全距: 数据中最大与最小值的差；
（4）组距＝
全距
；
组数
（5）分组要求:通常对组内数值所在区 间取左开右闭区间，最后一组取闭区
间，并且使分点比数据多一位小数。
●2. 频率分布直方图
具体做法如下：
（1）求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）；
（2）决定组距与组数；
（3）将数据分组；

肆拾叁

高考数学专题一函数
（4）列频率分布表；
（5）画频率分布直方图：
① 横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值；
② 以每个组距为底，以各频率除以组距的商为高，分别画成矩形；
③ 图中每个矩形的面积等于相应组的频率，即：
频率
?组距?频率
；
组距
④ 各组频率的和等于1，即各小矩形的面积的和等于1。
●3. 频率分布折 线图：将频率分布直方图中，取各相邻矩形的上底边中点顺
次连接，再将矩形的边去掉，就得到频率分布 折线图。
●4. 密度曲线：当样本容量取得足够大，分组的组距取得足够小，则这条折
线就 越接近于一条光滑的曲线，这条光滑的曲线称为总体密度曲线。
●5. 中位数：将数据按从小到大或 从大到小排列，处在中间位置上的一个数
据（或中间两位数据的平均数）叫做这组数据的中位数。
●6. 众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数；众数不一
定是唯一的。
●7. 平均数计算的方法：
（1）简单平均数
x?
x
1
?x
2
?
L
?x
n
；
n
（2）离散型平 均数计算：
x
1
,x
2
,L,x
n
所发生的频率分 别为
p
1
,p
2
,L,p
n
，则平
均数为
x
1
p
1
?x
2
p
2
?L?x< br>n
p
n
；
（3）区间型平均数计算:
[a
1
,a
2
),[a
2
,a
3
),
L
,[a
n
,a
n?1
]
所发生的频率分别为
p
1
,p
2
,L,p
n
，则平均数为
2
n
a
2
?a
3
a
n
?a
n?1
a
1
?a
2
P?P?...?P
n

12
222
●8. 方差：
s?
1
?
(x
i
?x)
2

n
i?1
●9. 标准差：
s?
1
?
(x
i
?x)
2

n
i?1
三、统计案例
作
出
统
计
推
断
n
背


独立性检验
抽取样本 提出统计假设 运用χ
2
检验
景


线性回归分析
抽取样本 提出统计假设 运用r检验


●1. 回归分析
回归分析：对于两个变量，当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随
机性的两个变量之间的关系叫相关关系或回归关系。对具有相关关系的两个变量
肆拾肆

高考数学专题一函数
进行统计分析的方法叫回归分析。
线性回归方 程：设
x
与
y
是具有相关关系的两个变量，且相应于
n
个观 测值
的
n
个点大致分布在某一条直线的附近，就可以认为
y
对
x
的回归函数的类型为
?
?a?bx
，我们称这个方程为
y
对
x
的线性回归方程。 直线型：
y
（1）设两个具有线性相关的一组数据 为：
?
x
1
,y
1
?
,
?
x2
,y
2
?
,L
?
x
n
,y
n
?

?
n
??
n
?
n
?
x
i
y
i
?
?
?
x
i
???
y
i
?
?
i?1
??
i?1
?，
a?y?bx

?
?bx?a
其中
b?
i? 1
则线性回归方程为：
y
2
nn
??
n
?
x
i
2
?
?
?
x
i
?
?
i?1
?
i?1
n
x,y
分别为
x
1
,x
2
,L,x
n
，
y
1
,y
2
,L ,y
n
的算术平均数。
（2）特点：线性回归方程过点
(x,y)
；
●2. 相关系数
对于变量y与x的一组观测值，
把
r?
?
(x?x)(y?y)< br>ii
i?1
n
?
(x?x)
?
(y?y)
i
2
i
i?1i?1
nn
?
2
?
xy?nx y
ii
i?1
n
(
?
x
i
2
?n x
2
)
i?1
n
?
(y
i?1
n
叫做变量y与x之间的样本相
?ny
2
)
2
i
关系数，简称 相关系数，用它衡量两个变量之间的线性相关程度。
相关系数的性质：
|r|
≤1， 且
|r|
越接近1，相关程度越大；
|r|
越接近0，相
关程度越小 。
●3独立性检验
独立性检验是对两种分类变量之间是否有关系进行检验。
① 独立性检验的必要性：2×2列联表中的数据是样本数据，它只是总体的
代表，具有随机性，故需要用列 联表检验的方法确认所得结论在多大程度上适用
于总体。

② 独立性检验的原理（与反证法类似）：
反证法 假设检验
备择假设H
1

要证明结论A
在H
1
不成立的条件下，即H
0
成立的条件
在A不成立的前提下进行推理
下进行推理
推出有利于H
1
成立的小概率事件（概率
推出矛盾，意味着结论A成立 不超 过
?
的事件）发生，意味着H
1
成立
的可能性（可能性为（1－?
））很大

肆拾伍

高考数学专题一函数
没有找到矛盾，不能对A下任
推出有利于H
1
成立的小概率事件不发
何结论， 即反证法不成功
生，接受原假设

③ 独立性检验的步骤
第一步：提出假设检验问题；
第二步：选择检验的指标（卡方检验）；
n(ad? bc)
2
（它越小，原假设“H
0
：成立的可能性越大”；它
x?< br>(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)
2
越大，备择假设“H
1
：成立的可能性越大”。
第三步：查表得出结论。
0.020.010.000.00P(
x
2
?x
0
)
0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05
5 0 5 1
x
0

0.450.701.322.072.703.845.026.637.8710.8
5 8 3 2 6 1 4 5 9 3
如：当
x
2
?3.841
时 ，有95%的把握说两事件有关；
x
2
?6.635
时，有99%的把
握说两事件有关；如果
x
2
?2.706
，没有充分的证据显示两事件有关 。
四、计数原理与二项式定理
●1. 两个原理.
1. 乘法原理、加法原理.
2. 可以有重复元素的排列.
．．．．．．．
从m个不同元素中，每次取出n个元 素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排
成一排，那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m 个，所以从m个不
同元素中，每次取出n个元素可重复排列数m·m·… m = m
n
.. 例如：n件物品
放入m个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：
m
n
种）
●2.排列.
1. ⑴对排列定义的理解. < br>定义：从
n
个不同的元素中任取
m(m
≤
n
)个元素 ，按照一定顺序排成一列，叫做
．．．．．．
从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一个排列.
⑵相同排列.
如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也
必须完全相同.
⑶排列数.
从
n
个不同元素中取出
m
(
m≤n< br>)个元素排成一列，称为从
n
个不同元素中取出
m
m
个元素的 一个排列. 从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一个排列数，用符号
A
n
表
示.
⑷排列数公式：
A
m
?n( n?1)?(n?m?1)?
n!
(m?n,n,m?N)

(n?m)!
注意：
n?n!?(n?1)!?n!
规定0! = 1

肆拾陆

高考数学专题一函数
mmmm?1mm?1
0

A
n
m
?nAn
m
?
?
1
1
规定
C
n
?C
n
A
n?
n
?1

1
?A
n
?A
m
?C
n
?A
n< br>?mA
n
2. 含有可重元素的排列问题.
．．．．．．
对含有相同 元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a
1
，a
2
,…...a
n
其中限重复数为n
1
、n
2
……n
k
， 且n = n
1
+n
2
+……n
k
, 则S的排列个数等于
n?
n!
.
n
1
!n2
!...n
k
!
1!2!
例如：已知数字3、2、2，求其排 列个数
n?
(1?2)!
?3
又例如：数字5、5、5、求
其排列个 数？其排列个数
n?
3!
?1
.
3!
●3.组合.
1. ⑴组合：从
n
个不同的元素中任取
m
(
m≤n
)个元素并成一组，叫做从
n
个不
同元素中取出
m
个元素的一个组 合.
A
n
⑵组合数公式：
C
m
n
?
m< br>A
m
m
?
n(n?1)?(n?m?1)
n!
C
m
n
?
m!m!(n?m)!
n?mm?1mm
⑶两 个公式：①
C
m
n
?C
n
;
②
C
n
?C
n
?C
n?1

①从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中
取出 n-m个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n个不同元素
中取出n-m个元素的唯一的 一个组合.。（或者从n+1个编号不同的小球中，n个
白球一个红球，任取m个不同小球其不同选法， 分二类，一类是含红球选法有
m
1m?1
C
m?
n
?C1
1
?C
n
一类是不含红球的选法有
C
n
）
②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时，对
于某一元素， 只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n个元
1
素中再取m-1个元素，所 以有C
m?
n
，如果不取这一元素，则需从剩余n个元素中
m?1mm
取出m个元素，所以共有C
m
n
种，依分类原理有
C
n
? C
n
?C
n?1
.
⑷排列与组合的联系与区别.
联系：都是从
n
个不同元素中取出
m
个元素.
区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序
关系.
⑸①几个常用组合数公式
012n

C
n
?C
n
?C
n
???
n
n
?2
024135
C< br>n
?C
n
?C
n
???C
n
?C
n
?C
n
???2
n?1
mmmm?1
C
m
n
?C
m?1
?C
m?2
?C
m?n
?C
m?n?1
kC?nC
k
n
k?1
n?1

11< br>?1
C
k
C
k
n
?
n?1
k?1n ?1
②常用的证明组合等式方法例.

肆拾柒

高考数学专题一函数
i. 裂项求和法. 如：
123n1
n?111
（利用
??
）
?????1?
n!(n?1)!n!
2!3!4!(n?1)!(n?1)!
ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.
m?1m33334
v. 递推法（即 用
C
m
n
?C
n
?C
n?1
递推）如：< br>C
3
?C
4
?C
5
??C
n
?C< br>n?1
.
02122n
vi. 构造二项式. 如：
(C
n
)?(C
n
)???(C
n
n
)?C
2n

证明：这里构造二项式
(x?1)
n
(1?x)
n
?(1? x)
2n
其中
x
n
的系数，左边为
01n?12n?2n00212n2
，而右边
?C
2n

C
n
?C
n
n
?C
n
?C
n
?C
n
?C
n
???C
n
?C
n
?(C
n
)?(C
n
)???(C
n
)
n
●4.排列、 组合综合.
1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型：
①直接法. ②排除法.
③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体
排 好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，
一般地，n个不同元素排 成一列，要求其中某
m(m?n)
个元素必相邻的排列有
n?m?1
?m?1 m
A
n
，而
A
m
m
则是“局部排列”.
n?m?1
?A
m
个.其中
A
n?m?1
是一个“整体排列 ”
2
又例如①有n个不同座位，A、B两个不能相邻，则有排列法种数为
A
n
?
2
.
A
n?
1
1
?A
2
?12
②有n件不同商品，若其中A、B排在一起有
A
n
. n?1
?A
2
2?1
③有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有A
n
.
?A
n
n?1
注：①③区别在于①是确定的座 位，有
A
2
2
种；而③的商品地位相同，是从n件不
同商品任取的2 个，有不确定性.
④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.
例如：n个元素全排列，其中m个元素互不相邻，不同的 排法种数为多少？
?mm
，当n – m+1≥m, 即m≤
n?1
时有意义.
A
n
n?m
?A
n?m ?1
（插空法）
2
⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列， 然后再排其
他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排
其他 剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.
⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题 方法是：先将n个元素进行
m
全排列有
A
n
n
种，
m(m?n)
个元素的全排列有
A
m
种，由于要求m个元素次序一定，
因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若
n
个元素
排成 一列，其中
m
个元素次序一定，共有
A
n
n
A
m< br>m
种排列方法.

肆拾捌