高中数学全部知识点整理_超经典

?
3
?
sin
?
?
?
?
??sin
?
，cos
?
?
?
?
?cos
?
，
tan
?
?
?
?
??tan
?
．
?
4
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
，
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
，
tan
?
?
?
?
?
??tan
?
．
口诀：函数名称不变，符号看象限．
?
?
??
?
??
?
??
?
?
，．，
5sin?
??cos
?
cos?
?
?sin
?
6sin?
?
?cos
?
cos
??
?
??
???????
?
?
??sin
?
．
?
2
??< br>2
??
2
??
2
?
口诀：正弦与余弦互换，符号看象 限．
14、函数
y?sinx
的图象上所有点向左（右）平移
?
个 单位长度，得到函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象；再将函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象上所有点的横坐标 伸长（缩短）到原来的
1
?
倍（纵坐标不变），得到函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象；再将函数
y?sin
??
x?
?
?
的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的
?< br>倍
（横坐标不变），得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象．
函数
y?sinx
的图象上所有点的横坐标伸长（缩 短）到原来的
1
?
倍（纵坐标不变），得到函数
?
y?sin?
x
的图象；再将函数
y?sin
?
x
的图象上所有点 向左（右）平移个单位长度，得到函数
?
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象；再将函数
y?sin
?
?
x?
?< br>?
的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的
?
倍
（横坐标不变） ，得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象．
函数
y??sin
?
?
x?
?
??
??0 ,
?
?0
?
的性质：
①振幅：
?
；②周期：??
2
?
?
；③频率：
f?
1
?
?< br>；④相位：
?
x?
?
；⑤初相：
?
．
?2
?
函数
y??sin
?
?
x?
?
?
??
，当
x?x
1
时，取得最小值为
y
min
；当
x?x
2
时，取得最大值为
y
max
，则
??









1 1?
?
y
max
?y
min
?
，
???
y
max
?y
min
?
，
?x
2< br>?x
1
?
x
1
?x
2
?
．
222
12

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

函
数
y?sinx

性
质
y?cosx

y?tanx

图
象

定
义
域
值
域

R

R

?
?
?
?
xx?k
?
?,k ??
?

2
??
?
?1,1
?

当
x?2k
?
?
?
?1,1
?

?
k??
?
当
x?2k
?
?
k??
?时，
R

?
2
最
时，
y
max
?1
；当
y
max
?1
；当
x?2k?
?
?

既无最大值也无最小值
值
x?2k
?
?
?
2

?
k??
?
时，
y
min
??1
．
?
k??
?
时，
y
min
??1
．
周
期
性
奇
偶
性
在
?
2k
?
?
单
奇函数 偶函数 奇函数
2
?

2
?

?

?
?
?
2
,2k
?
?
?
?
2
?
?

在
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
?
k??
?
??
??
k
?
?, k
?
?
在
上是增函数；在
k??
上是增函数；在
??
??

22
??
调
?
2k
?
,2k
?
?
?
?

?
3
?
??

性
?
2k
??,2k
?
?
?
k??
?
上是增函数．
?
22
??
?
k??
?
上是减函数．
?
k??
?
上是减函数．

13

对
对
称
对
性
称中心
对称中心对称中心
?
k
?
,0
??
k??
?

称轴
?
??
k
?
?,0
?
?
k? ?
?

?
2
??
对称轴
x?k
?
?
k??
?

?
k
?
?
,0
?< br>?
k??
?

?
2
??
无对称轴
x?k
?
?
?
2
?
k??
?

16、向量：既有大小，又有方向的量．
数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度．
零向量：长度为
0
的向量．
单位向量：长度等于
1
个单位的向量．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．
相等向量：长度相等且方向相同的向量．
17、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点．






⑶三角形不等式：
a?b?a?b?a?b
．
⑷运算性质：①交换律：a?b?b?a
；②结合律：
a?b?c?a?b?c
；③
a?0?0? a?a
．
⑸坐标运算：设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?< br>，则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
18、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
⑵坐标运算：设
a?< br>?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
设
?
、
?
两点的坐标分别为
?
x
1
,y1
?
，
?
x
2
,y
2
?
，则
???
19、向量数乘运算：
⑴实数
?
与向量
a
的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作
?
a
．

14
????
C

a
?

b

?
a?b??C?????C

?
?
x
1x
2
y,
1
?y
2

?
．

①
?
a?
?
a
； < br>②当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的 方向相同；当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向相反；当
?
?0
时，
?
a?0
．
⑵运算律 ：①
?
?
?
a
?
?
?
??
?a
；②
?
?
?
?
?
a?
?
a ?
?
a
；③
?
a?b?
?
a?
?
b
．
⑶坐标运算：设
a?
?
x,y
?
，则
?
a?
?
?
x,y
?
?
?
?
x ,
?
y
?
．
20、向量共线定理：向量
aa?0
与
b
共线，当且仅当有唯一一个实数
?
，使
b?
?
a
．
设
a?
?
x
1
,y
1
?< br>，
b?
?
x
2
,y
2
?
，其中b?0
，则当且仅当
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
时，向量
a
、
bb?0
共线．
21、平面向量基本定理：如果
e
1
、
e
2
是同一平面内的 两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量
a
，
有且只有一对实数
?< br>1
、
?
2
，使
a?
?
1
e
1
?
?
（不共线的向量
e
1
、
e
2
作为这一平面内所有向量的一组基
2
e
2
．
底）
22、 分点坐标公式：设点
?
是线段
?
1
?
2
上的一点，
?
1
、
?
2
的坐标分别是
?
x
1
,y
1
?
，
?
x
2
,y
2
?
，当
?
1
??
?
??
2
时，点
?
的坐标是
?
??
??
??
?
x
1?
?
x
2
y
1
?
?
y
2?
,
?
．
1?
?
??
1?
?
23、平面向量的数量积：
⑴
a?b?abcos
?
a?0,b?0,0?
?
?180
． 零向量与任一向量的数量积为
0
．
⑵性质：设
a
和
b都是非零向量，则①
a?b?a?b?0
．②当
a
与
b
同向时，
a?b?ab
；当
a
与
b
反
2
向 时，
a?b??ab
；
a?a?a?a
或
a?
2
? ?
a?a
．③
a?b?ab
．
⑶运算律：①
a?b?b? a
；②
?
?
a
?
?b?
?
a?b?a?< br>?
b
；③
a?b?c?a?c?b?c
．
⑷坐标运算：设两 个非零向量
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?x< br>1
x
2
?y
1
y
2
．
若
a?
?
x,y
?
，则
a
2
????
??< br>?x
2
?y
2
，或
a?x
2
?y
2
．
设
a?
?
x
1
,y
1
?，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
．
设
a
、
b
都是非零向量，
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，
?
是
a
与
b
的夹角 ，则
cos
?
?
a?b
ab
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y
2
1
2
1
x?y
2
2
2
2
．
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
；

15

⑵
cos< br>?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?< br>?sin
?
sin
?
；
⑶
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
；
⑷
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?sin
?
；
⑸
tan
?
?
?
??
?
tan
?
?tan
?
（
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
）；
1?tan
?< br>tan
?
tan
?
?tan
?
（
tan?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
）．
1?tan
?
tan
?
⑹
tan
?
?
?
?
?
?
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴
sin2
?
?2sin
?
cos
?
．
⑵
cos2
?
?cos
⑶
tan2
?
?< br>2
?
?sin
2
?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
（
cos
2
?
?
cos2
?
?11?cos2
?
2
，
sin
??
）．
22
2tan
?
．
1?tan
2< br>?
?
2
??
2
sin
?
?
?
?
?
，其中
tan
?
?
?
．
?
26、
?sin
?
??cos
?
?

高中数学必修5知识点
1、正弦定理：在
???C
中，
a
、
b
、
c
分别为角
?
、
?
、
C< br>的对边，
R
为
???C
的外接圆的半径，则
有
abc
???2R
．
sin?sin?sinC
abc
，
sin ??
，
sinC?
；
2R2R2R
2、正弦定理的变形公式：①< br>a?2Rsin?
，
b?2Rsin?
，
c?2RsinC
；
②
sin??
③
a:b:c?sin?:sin?:sinC
；
a?b?cabc
???
．
sin??sin??sinCsin?sin ?sinC
111
3、三角形面积公式：
S
???C
?bcsin? ?absinC?acsin?
．
222
④
4、余弦定理：在
?? ?C
中，有
a?b?c?2bccos?
，
b?a?c?2accos?，
222222
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
．
b
2
?c
2
?a
2
a
2
?c
2
?b
2
a
2
?b
2< br>?c
2
5、余弦定理的推论：
cos??
，
cos??
，
cosC?
．
2bc2ac2ab
6、设
a
、
b
、
c
是
???C
的角
?
、
?
、
C
的对边，则：①若
a?b?c
，则
C?90
；
②若
a?b?c
，则
C?90
；③若
a?b?c
，则C?90
．

16
222222
222

7、数列：按照一定顺序排列着的一列数．
8、数列的项：数列中的每一个数．
9、有穷数列：项数有限的数列．
10、无穷数列：项数无限的数列．
11、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．
12、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．
13、常数列：各项相等的数列．
14、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．
15 、数列的通项公式：表示数列
?
a
n
?
的第
n
项与 序号
n
之间的关系的公式．
16、数列的递推公式：表示任一项
a
n
与它的前一项
a
n?1
（或前几项）间的关系的公式．
17、如 果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这
个常数 称为等差数列的公差．
18、由三个数
a
，
?
，
b
组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则
?
称为
a
与
b的等差中项．若
b?
a?c
，则称
b
为
a
与< br>c
的等差中项．
2
19、若等差数列
?
a
n
?
的首项是
a
，公差是
d
，则
a
1
n< br>?a
1
?
?
n?1
?
d
．
an
?a
1
20、通项公式的变形：①
a
n
?a
m
?
?
n?m
?
d
；②
a
1
?a
n
?
?
n?1
?
d
；③
d?
；
n?1
a
n
?a
m
a
n
?a
1< br>d?
?1
；⑤④
n?
n?m
d
．
*
21、若
?
a
n
?
是等差数列，且
m?n?p?q
（
m
、
n
、
p
、
q??
），则
a
m
?a
n
*
差数列，且
2n?p?q
（
n
、
p
、
q??
），则
2a
n
?a
p
?a
q
；若
?
a
n
?
是等
? a
p
?a
q
．
n
?
a
1
?a< br>n
?
n
?
n?1
?
S?
S?na?d
． 22、等差数列的前
n
项和的公式：①
n
；②
n1
2
2
*
23、等差数列的前
n
项和的性质：①若项数为
2nn ??
，则
S
2n
??
?n
?
a
n
?a
n?1
?
，且
S
偶
?S
奇
?nd，
S
奇
a
?
n
S
偶
a
n?1
．
*
②若项数为
2n?1n??
，则
S
2n?1
?
?
2n?1
?
a
n
，且
S
奇< br>?S
偶
?a
n
，
??
S
奇
n
（其中
S
奇
?na
n
，
?
S
偶
n?1
．
S
偶
?
?
n?1
?
a
n
）

17

24、如果一个数列从第
2
项 起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这
个常数称为等比数列的公比 ．
25、在
a
与
b
中间插入一个数
G
，使
a
，
G
，
b
成等比数列，则
G
称为
a< br>与
b
的等比中项．若
G?ab
，
则称
G
为< br>a
与
b
的等比中项．
26、若等比数列
?
a
n
?
的首项是
a
1
，公比是
q
，则
a< br>n
?a
1
q
n?1
．
27、通项公式的变形：①< br>a
n
2
?a
m
q
n?m
；②
a1
?a
n
q
?
?
n?1
?
；③
q
n?1
a
n
n?m
a
n
?
；④
q
．
?
a
a
1
m
28、若
?
a
n
?
是等比数列，且
m?n?p?q
（
m
、n
、
p
、
q??
*
），则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；若
?
a
n
?
是等比
*
数列，且
2n?p?q
（
n
、
p
、
q??
），则
a
n
2
?a
p
?a
q
．
?
na
1
?
q?1
?
?
29、等比数列
?
a
n
?
的前
n项和的公式：
S
n
?
?
a
1
?
1?q
n
?
a?aq
．
1n
?
?
q?1
?
?
1?q
?
1?q
*
30、等比数列的前
n< br>项和的性质：①若项数为
2nn??
，则
??
S
偶
S
奇
?q
．
②
S
n?m
?S
n
? q
n
?S
m
．
③
S
n
，
S2n
?S
n
，
S
3n
?S
2n
成等比 数列．
31、
a?b?0?a?b
；
a?b?0?a?b
；
a?b?0?a?b
．
32、不等式的性质： ①
a?b?b?a
；②< br>a?b,b?c?a?c
；③
a?b?a?c?b?c
；
④
a?b,c?0?ac?bc
，
a?b,c?0?ac?bc
；⑤
a?b,c ?d?a?c?b?d
；
⑥
a?b?0,c?d?0?ac?bd
；⑦a?b?0?a?b
⑧
a?b?0?
n
a?
n
b
?
n??,n?1
?
．
33、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是
2
的不等式．








18
nn
?
n??,n?1
?
；

34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：
判别式
??b?4ac

2
??0

??0

??0

二次函数
y?ax
2
?bx?c

?
a?0
?
的图象

有两个相异实数根
一元二次方程
ax?bx?c?0

2


?
a?0
?
的根
ax
2
?bx?c?0

一元二次
不等式的
解集
?b??
x
1,2
?

2a
有两个相等实数根?
x
1
?x
2
?

b
x
1
?x
2
??

2a
没有实数根
?
xx?x或x?x
?
12
?
a?0
?

ax
2
?bx?c?0


?b?
?
xx??
?

2a
??
R

?
a?0
?

?
xx
1
?x?x
2
?

?

?

35、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是
1
的不等式．
36、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．
37、二元一次不等式（ 组）的解集：满足二元一次不等式组的
x
和
y
的取值构成有序数对
?
x,y
?
，所有这
样的有序数对
?
x,y
?
构成的集合．
38、在平面直角坐标系中，已知直线
?x??y?C?0
，坐标平 面内的点
?
?
x
0
,y
0
?
．
①若
??0
，
?x
0
??y
0
?C?0
， 则点
?
?
x
0
,y
0
?
在直线
? x??y?C?0
的上方．
②若
??0
，
?x
0
??y
0
?C?0
，则点
?
?
x
0
,y< br>0
?
在直线
?x??y?C?0
的下方．
39、在平面直角坐标系中，已知直线
?x??y?C?0
．
0
表 示直线
?x??y?C?0
上方的区域；
?x??y?C?0
表示直线①若< br>??0
，则
?x??y?C?
?x??y?C?0
下方的区域． 0
表示直线
?x??y?C?0
下方的区域；
?x??y?C?0
表示直线②若
??0
，则
?x??y?C?
?x??y?C?0
上 方的区域．

19

40、线性约束条件：由
x
，
y
的不等式（或方程）组成的不等式组，是
x
，
y
的线性约 束条件．
目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量
x
，
y
的解析式．
线性目标函数：目标函数为
x
，
y
的一次解析式．
线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．
可行解：满足线性约束条件的解
?
x,y
?
．
可行域：所有可行解组成的集合．
最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解． a?b
称为正数
a
、
b
的算术平均数，
ab
称 为正数
a
、
b
的几何平均数．
2
a?b
?ab
． 42、均值不等式定理： 若
a?0
，
b?0
，则
a?b?2ab
，即
2
41、设
a、
b
是两个正数，则
a
2
?b
2
43、常用的 基本不等式：①
a?b?2ab
?
a,b?R
?
；②
ab?
?
a,b?R
?
；
2
22
a
2
?b
2
?
a?b
??
a?b
?
③
ab?< br>?
?
??
?
a?0,b?0
?
；④
?
?
a,b?R
?
．
2
?
2
??
2?
44、极值定理：设
x
、
y
都为正数，则有
22< br>s
2
⑴若
x?y?s
（和为定值），则当
x?y
时， 积
xy
取得最大值．
4
⑵若
xy?p
（积为定值），则当
x?y
时，和
x?y
取得最小值
2p
．高中数学函数知识点 梳理
1. .函数的单调性
(1)设
x
1
?x
2
?
?
a,b
?
,x
1
?x
2
那么 (x
1
?x
2
)
?
f(x
1
)?f( x
2
)
?
?0
?
(x
1
?x
2< br>)
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
? 0?
f(x
1
)?f(x
2
)
?0?f(x)在
?
a,b
?
上是增函数；
x
1
?x
2
f( x
1
)?f(x
2
)
?0?f(x)在
?
a,b< br>?
上是减函数.
x
1
?x
2
(2)设函数
y?f(x)
在某个区间内可导，如果
f
?
(x)?0
，则
f(x)
为增函数；如果
f
?
(x)?0
，则
f(x)为减函数.
注：如果函数
f(x)
和
g(x)
都是减函数,则 在公共定义域内,和函数
f(x)?g(x)
也是减函数;如果函数
y?f(u)和
u?g(x)
在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数
y?f[g(x)]
是增函数.
2. 奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象 关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对

20

称， 那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
注：若函数y?f(x)
是偶函数，则
f(x?a)?f(?x?a)
；若函数
y? f(x?a)
是偶函数，则
f(x?a)?f(?x?a)
.
注：对于函数
y?f(x)
(
x?R
),
f(x?a)?f(b?x)
恒 成立,则函数
f(x)
的对称轴是函数
x?
a?ba?b
;两个函数
y?f(x?a)
与
y?f(b?x)
的图象关于直线
x?
对称.
22
a
注：若
f(x)??f (?x?a)
,则函数
y?f(x)
的图象关于点
(,0)
对称;若
f(x)??f(x?a)
,则函数
2
y?f(x)
为周期为
2a
的周期函数.
3. 多项式函数
P(x)?a
n
x
n
?a
n?1
x
n?1
??a
0
的奇偶性
多项式函数
P(x)
是奇函数
?
P(x)
的偶次项(即奇数项)的 系数全为零.
多项式函数
P(x)
是偶函数
?
P(x)
的 奇次项(即偶数项)的系数全为零.
23.函数
y?f(x)
的图象的对称性 (1)函数
y?f(x)
的图象关于直线
x?a
对称
?f(a? x)?f(a?x)

?f(2a?x)?f(x)
.
(2)函数
y?f(x)
的图象关于直线
x?
a?b
对称
?f(a?mx)?f (b?mx)

2
?f(a?b?mx)?f(mx)
.
4. 两个函数图象的对称性
(1)函数
y?f(x)
与函数
y?f(?x)的图象关于直线
x?0
(即
y
轴)对称.
(2)函数
y?f(mx?a)
与函数
y?f(b?mx)
的图象关于直线
x?
(3)函数
y?f(x)
和
y?f
?1
a?b
对称.
2m
(x)
的图象关于直线y=x对称.
25.若将函数
y?f( x)
的图象右移
a
、上移
b
个单位，得到函数
y?f(x? a)?b
的图象；若将曲线
f(x,y)?0
的图象右移
a
、上移< br>b
个单位，得到曲线
f(x?a,y?b)?0
的图象.
5. 互为反函数的两个函数的关系
f(a)?b?f
?1
(b)?a
.
27.若函数
y?f(kx?b)
存在反函数,则其反函数为
y?
1
[f
k
?1
(x)?b]
,并不是
y?[f
?1
(kx?b)
,而

21

函数
y?[f
? 1
(kx?b)
是
y?
1
[f(x)?b]
的反函数.
k
6. 几个常见的函数方程
(1)正比例函数
f(x)?cx
,
f(x?y)?f(x)?f(y),f(1)?c
.
(2)指数函数
f( x)?a
x
,
f(x?y)?f(x)f(y),f(1)?a?0
. (3)对数函数
f(x)?log
a
x
,
f(xy)?f(x) ?f(y),f(a)?1(a?0,a?1)
.
(4)幂函数
f(x)?x
?
,
f(xy)?f(x)f(y),f
'
(1)?
?
.
(5)余弦函数
f(x)?cosx
,正弦函数
g(x)?sinx
，
f(x?y)?f(x)f(y)?g(x)g(y)
，
f(0)?1,lim
x?0
g(x)
?1
.
x
7. 几个函数方程的周期(约定a>0)
（1）
f(x)?f(x?a)
，则
f(x)
的周期T=a；
（2）
f(x)?f(x?a)?0
，
或
f(x?a)?
1
1
(f(x)?0)
，或
f(x?a)??
(f(x)?0),
f(x)
f(x)
或
1
?
2
f(x)?f
2
(x)?f(x?a),(f(x)?
?
0,1
?
),则
f(x)
的周期T=2a；
(3)
f(x)?1?
1(f(x)?0)
，则
f(x)
的周期T=3a；
f(x?a)
(4)
f(x
1
?x
2
)?
T=4a；
f(x
1
)?f(x
2
)
且
f(a)?1(f(x
1)?f(x
2
)?1,0?|x
1
?x
2
|?2a)< br>，则
f(x)
的周期
1?f(x
1
)f(x
2
)
(5)
f(x)?f(x?a)?f(x?2a)f(x?3a)?f(x?4a)

?f(x)f(x?a)f(x?2a)f(x?3a)f(x?4a)
,则
f( x)
的周期T=5a；
(6)
f(x?a)?f(x)?f(x?a)
，则
f(x)
的周期T=6a.
8. 分数指数幂
(1)
a
m
n
?
1
n
a
m
1
m
n
（
a?0,m,n?N
，且
n?1
）.
?
(2)
a
?
m
n
?
（
a?0,m,n?N
，且
n?1
）.
?
a

22

9. 根式的性质
（1）
(
n
a)
n
?a
. （2）当
n
为奇数时，
n
a
n
?a
；
?
a,a?0
当
n
为偶数时，
a?|a|?
?
.
?a,a?0
?
n
n
10. 有理指数幂的运算性质
(1 )
a
r
?a
s
?a
r?s
(a?0,r,s?Q)
.(2)
(a
r
)
s
?a
rs
(a?0, r,s?Q)
.
(2)(3)
(ab)
r
?a
r
b
r
(a?0,b?0,r?Q)
.
注：若a＞0，p是一个无理数，则a 表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数
指数幂都适用.
33.指数式与对数式的互化式
p
log
a
N?b?a
b
?N
(a?0,a?1,N?0)
.

34.对数的换底公式
log
a
N?
log
m
N
(
a?0,且
a?1
,
m?0
,且
m?1
,

N?0
).
log
m
a
n
推论
log
a
m
b?
n
log
a
b
(
a?0
,且
a?1
,
m,n?0
,且
m?1
,
n ?1
,

N?0
).
m
11. 对数的四则运算法则
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1)
log
a
(MN) ?log
a
M?log
a
N
; (2)
log
a
(3)
log
a
M
n
?nlog
a
M (n?R)
.
2
注：设函数
f(x)?log
m
(ax< br>2
?bx?c)(a?0)
,记
??b?4ac
.若
f(x)
的定义域为
R
,则
a?0
，
M
?log
a
M?log
a
N
;
N
且
??0
;若f(x)
的值域为
R
,则
a?0
，且
??0
. 对于
a?0
的情形,需要单独检验.
12. 对数换底不等式及其推论
1
,则函数
y?log
ax
(bx)

a
1
1
(1)当
a?b
时,在
(0,)
和
(,??)
上
y?log
ax
(bx)
为增函数.
a
a1
1
(2)(2)当
a?b
时,在
(0,)
和
(,??)
上
y?log
ax
(bx)
为减函数.
aa
若
a?0
,
b?0
,
x?0
,
x?
推论:设
n?m?1
，
p?0
，
a?0
，且
a?1
，则
（1）
log
m?p
(n?p)?log
m
n
.（2）
log
a
mlog
a
n?log
a

23
2
m?n
.
2

高三数学备课组
椭 圆
1. 点P处的切线PT平分△PF
1
F
2
在点P处的外角.
2. PT 平分△PF
1
F
2
在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是 以长轴为直径的圆，除去长
轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
4. 以焦点半径PF
1
为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
x
0
x y
0
y
x
2
y
2
?
2
?1
.
??1
5. 若
P
在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是
P(x,y)
0
000
2
22
ab
ab
x
2
y
2
6. 若
P
0
(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1
外 ，则过Po作椭圆的 两条切线切点为P
1
、P
2
，则切点弦P
1
P
2< br>的直线
ab
方程是
x
0
xy
0
y
?
2
?1
.
a
2
b
x
2
y
2
7. 椭圆
2
?
2
?1
(a＞b＞0)的左右焦点分别为F
1
，F
2
，点P为椭圆上任意一点?F
1
PF
2
?
?
，则椭圆
ab
的焦 点角形的面积为
S
?F
1
PF
2
?btan
2?
2
.
x
2
y
2
8. 椭圆
2
?
2
?1
（a＞b＞0）的焦半径公式：
ab|MF
1
|?a?ex
0
,
|MF
2
|?a? ex
0
(
F
1
(?c,0)
,
F
2
(c,0)M(x
0
,y
0
)
).
9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应
于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.
10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A
1
、A
2
为椭圆长轴上 的顶点，A
1
P和A
2
Q交于点M，A
2
P
和A< br>1
Q交于点N，则MF⊥NF.
x
2
y
2
b
2
11. AB是椭圆
2?
2
?1
的不平行于对称轴的弦，M
(x
0
,y
0
)
为AB的中点，则
k
OM
?k
AB
??2
，
aba
即
K
AB
b
2
x
0
??
2
。
ay
0
x
0
xy
0
yx
0
2
y
0
2
x
2
y
2
?
2
?
2
?
2
. 12. 若
P0
(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1
内，则被Po所平分的中点弦的方程是
aba
2
babx
2
y
2
x
2
y
2
x
0xy
0
y
?
2
. 13. 若
P
0
( x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1
内，则过Po的弦中点的轨迹方程是
2
?
2
?
2
a babab


24

双曲线
1. 点P处的切线PT平分△PF
1
F
2
在点P处的内角.
2. PT 平分△PF
1
F
2
在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是 以长轴为直径的圆，除
去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
4. 以焦点半径PF
1
为直径的圆必 与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）
x
2
y
2
?
2
?1
（a＞0,b＞0）上，则过
P
0
的双曲 线的切线方程是5. 若
P
0
(x
0
,y
0
)在双曲线
2
ab
x
0
xy
0
y
?2
?1
.
2
ab
x
2
y
2
6. 若
P
0< br>(x
0
,y
0
)
在双曲线
2
?
2< br>?1
（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P
1
、ab
P
2
，则切点弦P
1
P
2
的直线方程是< br>x
0
xy
0
y
?
2
?1
.
a
2
b
x
2
y
2
7. 双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F
1
，F< br> 2
，点P为双曲线上任意一点
?F
1
PF
2
??
，
ab
则双曲线的焦点角形的面积为
S
?F
1
PF
2
?bcot
2
?
2
.
x
2
y
2
8. 双曲线
2
?
2
? 1
（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(
F
1
(?c,0)
,
F
2
(c,0)

ab
当
M(x
0
,y
0
)
在右支上时，
|MF
1
|?ex
0?a
,
|MF
2
|?ex
0
?a
.
当
M(x
0
,y
0
)
在左支上时，
|MF
1
|??ex
0
?a
,
|MF
2
|??ex
0
?a

9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ
分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.
10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A
1
、A
2
为双曲线 实轴上的顶点，A
1
P和A
2
Q交
于点M，A
2
P 和A
1
Q交于点N，则MF⊥NF.
x
2
y
2
11. AB是双曲线
2
?
2< br>?1
（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M
(x
0
,y
0
)
为AB的中点，则
ab
K
OM
?K
ABb
2
x
0
b
2
x
0
?
2，即
K
AB
?
2
。
ay
0
ay0
x
2
y
2
?
2
?1
（a＞0,b＞ 0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是12. 若
P
0
(x
0
, y
0
)
在双曲线
2
ab

25

< br>x
0
xy
0
yx
0
2
y
0
2
?
2
?
2
?
2
.
a
2
bab
x
2
y
2
?
2
?1
（a＞0,b ＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是13. 若
P
0
(x
0
, y
0
)
在双曲线
2
ab
x
2
y
2
x
0
xy
0
y
???
2
.
a< br>2
b
2
a
2
b
椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导 的经典结论）
高三数学备课组
椭 圆
x
2
y
2
1. 椭圆
2
?
2
?1
（a＞b＞o）的两个顶点为
A
1
(?a,0)
,
A
2
(a,0)
，与y轴平行的直线交椭圆于P
1、
ab
x
2
y
2
P
2
时A
1
P
1
与A2
P
2
交点的轨迹方程是
2
?
2
?1
.
ab
x
2
y
2
2. 过椭圆
2
?
2
?1
(a＞0, b＞0)上任一点
A(x
0
,y
0
)
任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C
a b
两点，则直线BC有定向且
k
BC
b
2
x
0?
2
（常数）.
ay
0
x
2
y
2
3. 若P为椭圆
2?
2
?1
（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F
1
, F
2
是焦点,
?PF
1
F
2
?
?
,
ab
?P F
2
F
1
?
?
，则
a?c
??
? tancot
.
a?c22
x
2
y
2
4. 设椭 圆
2
?
2
?1
（a＞b＞0）的两个焦点为F
1
、 F
2
,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在
ab
△PF
1F
2
中，记
?F
1
PF
2
?
?
,
?PF
1
F
2
?
?
,
?F
1
F
2
P?
?
，则有
sin
?
c
??e
.
sin
?
?sin
?
a
x
2< br>y
2
5. 若椭圆
2
?
2
?1
（a＞b＞0 ）的左、右焦点分别为F
1
、F
2
，左准线为L，则当0＜e≤
2? 1
时，
ab
可在椭圆上求一点P，使得PF
1
是P到对应准线距离d 与PF
2
的比例中项.
x
2
y
2
6. P为椭圆
2
?
2
?1
（a＞b＞0）上任一点,F
1
,F< br>2
为二焦点，A为椭圆内一定点，则
ab
2a?|AF?|PA|?|PF|2 a?|AF|A,F
2
,P
三点共线时，等号成立.
2
|
1
?
1
,当且仅当

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