高中数学知识点归纳总结

集合的概念与运算
1．集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法．
(4)常见数集的记法
集合
符号
(5)集合的分类
若按元素的个数分类，可分为有限集、无限 集、空集；若按元素的属性分类，可分为点集、
数集等．特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，如果 一个集合不包含任何元素，这个集
合就叫做空集，空集用符号“?”表示，规定：空集是任何集合的子集 ，是任何非空集合的
真子集．解题时切勿忽视空集的情形．
2.集合间的基本关系
关系 自然语言 符号语言 Venn图
自然数集
N
正整数集
N
＋
(或N
*
)
整数集
Z
有理数集
Q
实数集
R
子集
集合A中所有元素都在集合B中(即若
x∈A，则x∈B)
A?B
(或B?A)

真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少
有一个元素不在集合A中
AB
(或BA)

集合相等
集合A，B中元素完全相同或集合A，B互
为子集
A＝B

子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集.
3.集合的运算
(1)如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为 全集 ，
全集通常用字母 U 表示；

集合的并集 集合的交集 集合的补集

图形

符号


?
U
A＝{x|x∈U，且x?A}

A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
命题和简易逻辑
1．命题的概念
在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其 中判断为真的
语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．
2．充分条件与必要条件
(1)如果p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
(2)如果p?q，q?p，则p是q的充要条件．
3.全称量词和存在量词
量词名称
全称量词
存在量词
常见量词
所有、一切、任意、全部、每一个、任给等
存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等
表示符号
?
?
4.全称命题和特称命题
命题名称
全称命题
特称命题
命题结构
对M中任意一个x，有p(x)成立
存在M中的一个x
0
，使p(x
0
)成立
命题简记
?x∈M，p(x)
?x
0
∈M，p(x
0
)
5.含有一个量词的命题的否定
命题
?x∈M，p(x)
?x
0
∈M，p(x
0
)


命题的否定
?x
0
∈M，綈p(x
0
)
?x∈M，綈p(x)
函数的概念和性质
1．函数的有关概念

(1)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫 做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对
应的y值叫做函数值，函数值的集合{f( x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．
(3)函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
2．函数的单调性
(1)单调函数的定义

增函数 减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的
定义
任意两个自变量的值x
1
，x
2

当x
1
2
时，都有f(x
1
)2
)，那么就
说函数f(x)在区间D上是增函数
当x
1
2
时，都有f(x
1
)>f(x
2
)，那么
就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象
描述

自左向右看图象是上升的

(2)单调区间的定义
自左向右看图象是下降的

如果函数y＝f(x) 在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格
的)单调性，区间D叫 做y＝f(x)的单调区间．
3．函数的奇偶性
奇偶性
偶函数
定义
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都
有f(－x)＝f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都
有f(－x )＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
图象特点
关于y轴对称
奇函数

关于原点对称

4.周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当x取定义域内的任何值时，
都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期 函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最 小的正数，那么这个最小正数
就叫做f(x)的最小正周期．
基本初等函数
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝x
α
的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较

函数 y＝x y＝x
2
y＝x
3

y＝
x

1
2
y＝x
1

－
图象

定义域
值域
奇偶性
性
质
单调性
在R上单
调递增
R
R
奇函数
R
{y|y≥0}
偶函数
在(－∞，0]
上单调递减；在R上单调
在(0，＋∞)
上单调递增
公共点

2.二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax
2
＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax
2
＋bx＋c(a<0)
(1,1)
递增
在[0，＋∞)上单
调递增

R
R
奇函数

{x|x≥0}
{y|y≥0}
非奇非偶函数

{x|x≠0}
{y|y≠0}
奇函数
在(－∞，0)
和(0，＋∞)
上单调递减

图象

定义域
值域
R R

?
4ac－b
2
，＋∞
?

?
4a
?
b
－∞，－
?
上单调递减； 在x∈
?
2a
??
b
－，＋∞
?
上单调递增 在x ∈
?
?
2a
?
?
－∞，
4ac－b
2?

4a
??
b
－∞，－
?
上单调递增； 在x∈
?
2a
??
b
－，＋∞
?
上单调递减 在x∈
?
?
2a
?
单调性
对称性
3．分数指数幂
b
函数的图象关于直线x＝－对称
2a
(1)我 们规定正数的正分数指数幂的意义是
a
＝
a
m
(a>0，m，n∈N
*
，且n>1)．于是，在条
件a>0，m，n∈N
*
，且n>1下 ，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂
的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定
a
－
m
n
m
n
n
＝
1
a
m
n
(a>0，m，n∈N
*
，且n>1).0的正
分数指 数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的运算性质：a
r
a
s
＝a
rs
，(a
r
)
s
＝a
r s
，(ab)
r
＝a
r
b
r
，其中a>0，b>0 ，r，s∈Q.
4．指数函数的图象与性质
y＝a
x

a>1 0＋

图象

定义域
值域
(1)R
(2)(0，＋∞)
(3)过定点(0,1)
性质
(4)当x>0时，y>1；当x<0时，
0(6)在(－∞，＋∞)上是增函数
5．对数的概念

(5)当x>0时，0时，y>1
(7)在(－∞，＋∞)上是减函数
一般地，如果a
x
＝N(a>0，且a ≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log
a
N，其
中a 叫做对数的底数， N 叫做真数．
6．对数的性质与运算法则
(1)对数的运算法则
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
M
①log
a
( MN)＝log
a
M＋log
a
N；②log
a
＝log< br>a
M－log
a
N；③log
a
M
n
＝nl og
a
M (n∈R)．
N
(2)对数的性质
①
a
log
a
N
＝ N ；②log
a
a
N
＝ N (a>0，且a≠1)．
(3)对数的换底公式
log
c
b
log
a
b＝ (a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
log
c
a
7．对数函数的图象与性质
y＝log
a
x
a>1 0

图象

定义域
值域
(1)(0，＋∞)
(2)R
(3)过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
性质
(4)当x>1时，y>0；当0时，y<0
(6)在(0，＋∞)上是增函数


(5)当x>1时，y<0；当0时，y>0
(7)在(0，＋∞)上是减函数
函数图像和零点
1．图象变换
(1)平移变换

(2)对称变换
①y＝f(x)――――――→
y＝－f(x)；
②y＝f(x)――――――→
y＝f(－x)；
③y＝f(x)―――――→
y＝－f(－x)；
关于原点对称
关于y轴对称
关于x轴对称

④y＝a
x
(a>0且a≠1)――――――→y＝log
a
x(a>0且a≠1)．
(3)伸缩变换
1
a>1，横坐标缩短为原来的
倍，纵坐标不变
a
①y＝f(x)――――――――――――――――――――――→
y＝f(ax)．
1
―
0倍，纵坐标不变
a
关于y＝ x对称
②y＝f(x)――――――――――――――――――――→
y＝af(x)．
0(4)翻折变换
①y＝f(x)――――――――――→
y＝|f(x)|.
将x轴下方图象翻折上 去
②y＝f(x)―――――――――――→
y＝f(|x|)．
关于y轴对称的图象
2．函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝ f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
(2)三个等价关系
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象 是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，
函数y＝f(x)在区间(a，b)内 有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个 c 也就是方程
f(x)＝0的根．

保留y轴右边图象，并作其
保留x轴上方图象
a>1，纵坐标伸长为原来的 a倍，横坐标不变
导数和导数应用
1. 基本初等函数的导数公式
原函数

导函数
f
(
x
)＝
c
(
c
为常数)
< br>f
(
x
)＝
x
n
(
n
∈Q
*
)

f
(
x
)＝sin
x
f
(
x
)＝cos
x
f
(
x
)＝
a
x

f
(
x
)＝e
x

f
(
x
)＝log
a
x
f
′(
x
)＝0
f
′(
x
)＝
nx
n
－1

f
′(
x
)＝cos
x

f
′(
x
)＝－sin
x

f
′(
x
)＝
a
x
ln
a

f
′(
x
)＝e
x

f
′(
x
)＝
1

x
ln
a

f
(
x
)＝ln
x
2．导数的运算法则
（1） [
f
(
x
)±
g
(
x
) ]′＝
f
′(
x
)±
g
′(
x
)；
f
′(
x
)＝
x
1
（2） [
f
(
x
)·
g
(
x
)]′＝
f
′(
x
)
g
(
x
)＋
f
(
x
)g
′(
x
)；
（3）
?
?
f(x)
?
f'(x)?g(x)?g'(x)?f(x)
(
g
(
x
)≠0)．
'?
?
2
g(x)g(x)
??
3. 函数< br>y
＝
f
(
x
)在
x
＝
x
0
处的导数几何意义：
函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数
f'(x
0
)
就是曲线
y?f(x)
在点
(x
0
,f(x
0
))
处的切线和斜率，
即
k?f '(x
0
)
.相应地，切线方程为
y
－
f
(
x
0
)＝
f
′(
x
0
)(
x
－
x
0
)．
4．函数的单调性
在某个区间(a，b)内，如果f′ (x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(
x)<0，那么函数y＝f(x )在这个区间内单调递减．
5．函数的极值
(1)判断f(x
0
)是极值的方法
一般地，当函数f(x)在点x
0
处连续时，
①如果在x
0
附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x
0
)是极大值；
② 如果在x
0
附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x
0
)是极小值．
(2)求可导函数极值的步骤
①求f′(x)；
②求方程f′(x)＝0的根；
③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧 导数值的符号．如果左正右负，那么
f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这 个根处取得极小值．
6．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2 )若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函
数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
(3 )设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求f(x)在(a，b)内的极值；
②将f(x)的各极值与f(a) ，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小
值．

空间几何体表面积和体积
1. 空间几何体的结构特征
棱柱
多面
体
棱台
圆柱
旋转
体

圆锥

圆台
球

2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱 圆锥 圆台
棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是平行且全等的多边形
棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形
棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是平行
且相似的多边形
圆柱可由矩形绕其任意一边旋转得到
圆锥可以由直角三角形绕其直角边旋转得到
圆 台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上、下底中点连线旋转
得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆 锥得到
球可以由半圆或圆绕直径旋转得到
棱锥
侧面展开图

侧面积公式

3.空间几何体的表面积与体积公式
名称
几何体
柱体(棱柱和圆柱)
锥体(棱锥和圆锥)
台体(棱台和圆台)
表面积
S
表面积
＝S
侧
＋2S
底

S
表面积
＝S
侧
＋S
底

S
表面积
＝S
侧
＋S
上
＋S
下

S
圆柱侧
＝2πrl S
圆锥侧
＝πrl


S
圆台侧
＝π(r
1
＋r
2
)l
体积
V＝S
底
·h
1
V＝
S
底
·h
3
1
V＝
(S
上
＋S
下
＋S
上
S
下
)h
3

球

S＝4πR
2

4
V＝
πR
3

3
空间点、直线、平面的位置关系和平行证明
1. 空间点、线、面之间的位置关系

图形
平行
关系
语言
符号
语言
图形
相交
关系
语言
符号
语言
图形
独有
关系
语言
符号
语言

2． 直线与平面平行的判定与性质
判定

定义 定理
性质
直线与直线 直线与平面 平面与平面

a∥b

a∥α

α∥β



a∩α＝A α∩β＝l

a∩b＝A

a，b是异面直线 a?
α




图形

条件
结论
a∩α＝?
a∥α

a?α，b?α，a∥b
b∥α
a∥α
a∩α＝?

＝b
a∥b

a∥α，a?β，α∩β
3. 面面平行的判定与性质
判定

定义 定理
性质

图
形
条
件
结
论


α∩β＝?

a?β，b?β，a∩b
＝P，a∥α，b∥α
α∥β

α∥β，α∩γ＝a，
β∩γ＝b
a∥b

α∥β，a?β
α∥β a∥α
直线、平面垂直的判定与性质
1．直线与平面垂直

图形 条件
a⊥b，b?α(b为α内的任意直线)

判定

a∥b，a⊥α

a⊥α，b?α
性质

a⊥α，b⊥α

2．两个平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)平面与平面垂直的判定定理

判定
定理

(3)平面与平面垂直的性质定理

文字语言 图形语言 符号语言
文字语言
如果一个平面经过另一个平面的一条
垂线那么这两个平面互相垂直

图形语言 符号语言
a∥b
a⊥b
b⊥α
a⊥m，a⊥n，m、n?α，m∩n＝O a⊥α
结论
a⊥α

l?β
?
?
?
?α⊥β
?
l⊥α
?

性质
定理
如果两个平面垂直，那么在
一个平面内垂直于它们交线
的直线垂直于另一个平面


α⊥β
?
α∩β＝a
?
?
?l⊥α
l?β
?
?
l⊥a

直线、平面所成的角
1．两条异面直线所成角的求法
设a，b分别是两异面直线l
1
，l
2
的方向向量，则

范围
求法
2.直线与平面所成角的求法
设直线l的方向向量为a，平面 α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹
角为β，则sin θ＝|cos β|＝
3．求二面角的大小
(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝
→→
〈AB，CD〉．
|a·n|
.
|a||n|
l
1
与l
2
所成的角θ
π
(0，
]
2
|a·b|
cos θ＝
|a||b|
a与b的夹角β
[0，π]
cos β＝
a·b

|a||b|

(2)如图②③，n
1
，n
2
分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小
θ满 足|cos θ|＝|cos〈n
1
，n
2
〉|，二面角的平面角大小是向量 n
1
与n
2
的夹角(或其补角)．

直线方程
1．直线的倾斜角
(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴 (正方向)按逆时针方
向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角．当直线l和x轴 平行或重
合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)倾斜角的范围为[0°，180°)．

2．直线的斜率
π
(1)定义：当直线l的倾斜角α≠
时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率
2
通常用小写字母k表示，即k＝tan α.
(2) 过两点的直线的斜率公式：经过两点P
1
(x
1
，y
1
)， P
2
(x
2
，y
2
) (x
1
≠x
2
)的直线的斜率公式为k
y
2
－y
1
＝
.
x
2
－x
1
(3) 直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系 每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率，倾斜角是90°的直线斜率不存在．它们之
间的关 系如下：
α
k
3．直线方程的五种形式
名称
点斜式
斜截式
两点式
截距式
方程
y－y
0
＝k(x－x
0
)
y＝kx＋b
y－y
1
x－x
1
＝
y
2
－y
1
x
2
－x
1
xy
＋＝1
ab
Ax＋By＋C＝0
(A
2
＋B
2
≠0)
适用范围
不含垂直于x轴的直线
不含垂直于x轴的直线
不含直线x＝x
1
(x
1
≠x
2
)和直线y＝y
1

(y
1
≠y
2
)
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
0°
0
0°<α<90°
k>0
90°
不存在
90°<α<180°
k<0
一般式 平面直角坐标系内的直线都适用
4．两直线平行、垂直与斜率的关系
条件 两直线位置关系
平行
两条不 重合的直线
l
1
，l
2
，斜率分别为
k
1
， k
2

k
1
与k
2
都不存在
k
1
k
2
＝－1
垂直
k
1
与k
2
一个为零、另一个不存在
说明：利用斜率判定 平行应先判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若
k
1
＝k
2
，且b
1
≠b
2
，则两直线平行；若斜率都不存在，还要判定是否 重合．
5．利用一般式方程系数判断平行与垂直
设直线l
1
：A
1
x＋B
1
y＋C
1
＝0，l
2
：A
2< br>x＋B
2
y＋C
2
＝0，
l
1
∥l
2
?A
1
B
2
－A
2
B
1
＝0 ，且B
1
C
2
－B
2
C
1
≠0.
斜率的关系
k
1
＝k
2

l
1
⊥l
2
?A
1
A< br>2
＋B
1
B
2
＝0.
6．三种距离公式
(1)两点间距离公式
点A(x
1
，y
1
)，B(x2
，y
2
)间的距离：|AB|＝
(2)点到直线的距离公式
点P(x
0
，y
0
)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离：d＝
|Ax
0
＋By
0
＋C|
.
A
2
＋B
2
?x
2
－x
1
?
2
＋?y
2
－y
1
?
2
.
说明：求解点到直线的距离时，直线方程要化为一般式．
(3)两平行线间距离公式
两平行直线l
1
：Ax＋By＋C
1
＝0与l
2
：Ax＋ By＋C
2
＝0 (C
1
≠C
2
)间的距离为d＝
说明：求解两平行线间距离公式时，两直线x，y前系数要化为相同．
|C
2
－C
1
|
.
A
2
＋B
2
圆的方程
1．圆的定义
在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．确定一个圆最基本的要素是圆心和半
径．
2. 圆的标准方程
(1) 以(a，b)为圆心，r (r>0)为半径的圆的标准方程为 (x－a)
2
＋(y－b)
2
＝r
2
．
(2) 特殊的，以(0，0)为圆心，r (r>0)为半径的圆的标准方程为x
2
＋y
2
＝r
2
．
3. 圆的一般方程
DED
＋E－4F
x＋
?
＋
?
y＋
?
＝方程x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0 可变形为
?
.
?
2
??
2
?
4
(1) 当D
2
＋E
2
－4F>0
DE
?
D
2
＋E
2－4F
?
时，方程表示以
?
－
2
，－
2
?
为圆心，为半径的圆；
2
22
22
DE
－，－
?
；
(2) 当 D
2
＋E
2
－4F＝0时，该方程表示一个点
?
2
??
2
(3) 当D
2
＋E
2
－4F＜0时，该方程不表示任何图形．
4. 直线与圆的位置关系的判断方法
设直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)，圆为(x－a)
2
＋(y－b)
2
＝r
2
(r>0)，d为圆心(a，b)
到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
方法
位置关系
相交
相切
几何法
dd＝r
代数法
Δ>0
Δ＝0

相离
5. 圆与圆的位置关系及判断方法
d>r
Δ<0
(1) 圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．
(2) 判断两圆位置关系的方法
设圆O
1
：(x－a
1
)
2
＋(y－b
1
)
2
＝r
2
圆O
2
：(x－a
2
)
2
＋(y－b
2
)
2
＝r
2
圆心距O
1
O
2
＝d，
1
(r
1
>0)，
2
(r
2
>0)．
则
方法 几何法：圆心距d与r
1
，
代数法：两圆方程联立
位置关系
相离
外切
相交
内切
内含
r
2
的关系
d>r
1
＋r
2

d＝r
1
＋r
2

|r
1
－r
2
|1
＋r
2

d＝|r
1
－r< br>2
|(r
1
≠r
2
)
0≤d<|r
1－r
2
|(r
1
≠r
2
)
组成方程组的解的情况
无解
一组实数解
两组不同的实数解
一组实数解
无解
两圆公切线的条数
4
3
2
1
0
6．求圆的弦长的常用方法
l
(1)几何法：设圆的半径 为r，弦心距为d，弦长为l，则()
2
＝r
2
－d
2
.
2
(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：
设直线与圆的交点为A(x< br>1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)，
则|AB|＝1＋k
2
|x
1
－x
2
|＝（1＋k
2
）[（x
1
＋x
2
）
2
－4x
1x
2
].
注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题．
椭圆
1．椭圆的概念
把平面内到两个定点F
1
，F
2
的距离之 和等于常数(大于|F
1
F
2
|)的点的集合叫作椭圆．这两个
定点 F
1
，F
2
叫作椭圆的焦点，两个焦点F
1
，F
2
间的距离叫作椭圆的焦距．
椭圆定义用集合语言表示如下：
P＝{M||MF< br>1
|＋|MF
2
|＝2a}，|F
1
F
2
| ＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．
在椭圆定义中，特别强调到两定点的距离之和要大于 |F
1
F
2
|．当到两定点的距离之和等于
|F
1
F
2
|时，动点的轨迹是线段F
1
F
2
；当到两定点的距离 之和小于|F
1
F
2
|时，动点的轨迹不存在．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
x
2
y
2
＋＝1
a
2
b
2
(a>b>0)
y
2
x
2
＋＝1
a
2
b
2
(a>b>0)

图形

范围
对称性
顶点
性
质
轴
焦距
离心率
a，b，c
的关系
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a

对称轴：坐标轴 对称中心：原点
A
1
(－a,0)，A
2
(a,0)
B
1
(0，－b)，B
2
(0，b)
A
1
(0，－a)，A
2
(0，a)
B
1
(－b,0)，B
2
(b,0)
长轴A
1< br>A
2
的长为2a；短轴B
1
B
2
的长为2b
|F
1
F
2
|＝2c
c
e＝∈(0,1)
a
c
2
＝a
2
－b
2

说明：当 焦点的位置不能确定时，椭圆方程可设成Ax
2
＋By
2
＝1的形式，其中A ，B是不相
x
2
y
2
等的正常数，或设成
2
＋2
＝1(m
2
≠n
2
)的形式．
mn
3．椭圆中的弦长公式
(1)若直线y＝kx＋b与椭圆相交于两点A(x1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)，则
|AB|＝1＋k
2
|x
1
－x
2
|＝
1
1＋
2
|y
1
－y
2
|.
k
2b
2
(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长
，最长为2a.
a
双曲线
1．双曲线的概念
把平面内到两定点F
1
，F
2
的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F
1
F
2
|)的点的集合叫
作双曲线．定点F
1
，F
2
叫作双曲线的焦点，两 个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．
用集合语言表示为：P＝{M|||MF
1
| －|MF
2
||＝2a}，|F
1
F
2
|＝2c，其中a， c为常数且a>0，c>0.
说明：定义中，到两定点的距离之差的绝对值小于两定点间距离非常重要 ．令平面内一点到
两定点F
1
，F
2
的距离的差的绝对值为2a(a 为常数)，则只有当2a<|F
1
F
2
|且2a≠0时，点的
轨迹才 是双曲线；若2a＝|F
1
F
2
|，则点的轨迹是以F
1
， F
2
为端点的两条射线；若2a>|F
1
F
2
|，
则点的轨迹不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质

标准方程
x
2
y
2
－＝1
a
2
b
2
(a>0，b>0)
y
2
x
2
－＝1
a
2
b
2
(a>0，b>0)
图形

范围
对称性
顶点
性
质
渐近线
离心率
x≥a或x≤－a，y∈R

x∈R，y≤－a或y≥a
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
A
1
(－a,0)，A
2
(a,0)
b
y＝±
x
a
A
1
(0，－a)，A
2
(0，a)
a
y＝±x
b
c
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝a
2
＋b
2

a
线段A
1
A
2
叫作双 曲线的实轴，它的长|A
1
A
2
|＝2a；线段B
1
B2
叫
实虚轴 作双曲线的虚轴，它的长|B
1
B
2
|＝ 2b；a叫作双曲线的实半轴长，
b叫作双曲线的虚半轴长
a、b、c
的关系
c
2
＝a
2
＋b
2
(c>a>0，c>b>0)
说明：在双曲线的标准方程中，决定焦点位置的因素是x
2
或y
2
的 系数．若x
2
系数为正，则
焦点在x轴上，若y
2
的系数为正，则焦 点在y轴上．
3．双曲线与椭圆的区别
(1) 定义表达式不同：在椭圆中|PF
1
|＋|PF
2
|＝2a，而在双曲线中||PF
1
|－|PF2
||＝2a；
(2) 离心率范围不同：椭圆的离心率e∈(0，1)，而双曲线的离心率e∈(1，＋∞)；
(3) a， b，c的关系不同：在椭圆中a
2
＝b
2
＋c
2
，a＞c； 而在双曲线中c
2
＝a
2
＋b
2
， c＞a．
抛物线
1．抛物线的概念
把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距 离相等的点的集合叫作抛物线．这个定
点F叫作抛物线的焦点，这条定直线l叫作抛物线的准线．
|MF|
用集合语言描述：P＝{M|＝1}，即P＝{M||MF|＝d}．
d< br>注意：抛物线的定义中不可忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动
点的轨 迹是过定点且与定直线垂直的直线．
2．抛物线的标准方程与几何性质

标准
方程
y
2
＝2px
(p>0)
y
2
＝－2px
(p>0)
x
2
＝2py
(p>0)
x
2
＝－2py
(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形

顶点
对称轴
焦点
离心率
准线方程
焦半径
开口方向

p
x＝－
2
p
|PF|＝＋x
0

2
向右
p
x＝
2
p
|PF|＝
－x
0

2
向左
p
?
F
?
?
2
，0
?

y＝0
p
－，0
?
F
?
?
2
?
e＝1
p
y＝－
2
p
|PF|＝
＋y
0

2
向上
p
y＝
2
p
|PF|＝
－y
0

2
向下
p
0，
?
F
?
?
2
?

O(0,0)
x＝0
p
0，－
?
F
?
2
??


三角函数概念及诱导公式

1．角的概念
(1)任意角：
①角的 定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图
形．旋转开始的射线叫 做角的始边，旋转终止的射线叫做角的终边，射线的端点叫做角的顶
点；
②角的分类：按照逆 时针方向旋转形成的角叫做正角；按照逆时针方向旋转形成的角叫做俯
角；如果一条射线没有作任何旋转 ，我们称它形成了一个零角．
(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝ {β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
注意：终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍.
(3 )象限角与轴线角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，
角的终边在第 几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不
属于任何一个象限，称之为 轴线角．
2．弧度制

(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，这种用弧度作单位来 度量
角的单位制叫做弧度制．弧度的单位符号是“rad”，读作“弧度”（用弧度制表示角时，rad
常常省略不写）．
l
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度 数的绝对值是|α|＝
.正角的弧
r
度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数 是0.
180
?
π
(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝ rad，1 rad＝
?
?
π
?
°.
1 80
11
(3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝lr＝|α|·r< br>2
.
22
3．任意角的三角函数
（1）单位圆定义：任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sin α＝y，cos α＝x，tan α
y
＝
(x≠0)．
x
y
（2）比值式 定义：设P(x，y)是角α终边上任意一点，且|OP|＝r(r＞0)，则sin α＝，cos α
r
xy
＝，tan α＝
.它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.
rx
y
注意：三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sin α＝y，cos α＝x，tan α＝，但
x
yxy
若不是单位圆时，设|OP|＝r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝
.
rrx
（3）三角函数值在各象限的符号：
记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，即第一象限三个三角函数都是正值，第二
象限正 弦值为正，其余两个为负值；第三象限正切值为正，其余两个为负值；第四象限余弦
值为正值.
4．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin
2
α＋cos
2
α＝1.
sin α
(2)商数关系：
＝tan α.
cos α

5.诱导公式
角
函数
正弦
余弦
正切
口诀

统一记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，
kπ
对于角“
±α”(k∈ Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当
2
k为奇数时 ，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在
α的三角函数值前 面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．
2kπ＋α
(k∈Z)
sin α
cos α
tan α
π＋α
－sin α
－cos α
tan α
－α
－sin α
cos α
－tan α
π－α
sin α
－cos α
－tan α
π
－α
2
cos α
sin α

π
＋α
2
cos α
－sin α

函数名不变
符号看象限
函数名改变
符号看象限
三角函数图像与性质
1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象



定义域
R
[－1，1]
ππ
[－
＋2kπ，＋
22
单调性
2kπ](k∈Z)上递增；
π3π
[
＋2kπ，＋
22
2kπ](k∈Z)上递减
最值
π
x＝＋2kπ(k∈Z)时，
2
R
[－1，1]
[－π＋2kπ，2kπ]
(k∈Z)上递增；
[2kπ，π＋2kπ]
(k∈Z)上递减
x＝2kπ(k∈Z)时，
y
max
＝1；
ππ
(－
＋kπ，＋kπ)
22
(k∈Z)上递增
π
{x|x∈R且x≠
＋
2
kπ，k∈Z}
值域
R

y
max
＝1；
π
x＝－
＋2kπ(k∈ Z)
2
时，y
min
＝－1
奇偶性
对称中心
奇函数
(kπ，0)(k∈Z)
π
x＝
＋kπ
2
(k∈Z)
2π
x＝π＋2kπ(k∈Z)时，
y
min
＝－1
偶函数
π
(
＋kπ，0)
2
(k∈Z)
奇函数
kπ
(
，0)(k∈Z)
2
对称轴
方程
周期
x＝kπ(k∈Z)
2π

π
2．五点法作y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
π3π
用“五点法”作图，就是令ωx＋φ取下列5个特殊值：0,
, π, , 2π，通过列表，计算五
22
点的坐标，描点得到图象.
3．三角函数图象变换


三角恒等变换
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β (S
(α
＋
β)
)
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β (S
(α
－
β)
)
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β (C
(α
＋
β)
)
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C
(α
－
β)
)

tan α＋tan β
tan(α＋β)＝
(T
(α
＋
β)
)
1－tan αtan β
tan α－tan β
tan(α－β)＝
(T
(α
－
β)
)
1＋tan αtan β
2．二倍角公式
sin 2α＝2sin αcos α (S
2α
)
cos 2α＝cos
2
α－sin
2
α＝2cos
2
α－1＝1－2sin
2
α (C
2α
)
2tan α
tan 2α＝ (T)
1－tan
2
α
2α
3．公式的变形和逆用
在准确熟练地 记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用
等．常见变形如下：
1＋cos 2α1－cos 2α
降幂公式：cos
2
α＝
，sin
2
α＝
，
22
升幂公式：1＋cos 2α＝2 cos
2
α，1－cos 2α＝2sin
2
α
αα
1＋cos α＝2cos
2
，1－cos α＝2sin
2
.
22
正切和差公式变形：
tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)，
tan α＋tan βtan α－tan β
tan αtan β＝1－
＝－1.
tan?α＋β?tan?α－β?
αα
配方变形：1＋sin α＝(sin＋cos
)
2
，
22
αα
1－sin α＝(sin
－cos
)
2
.
22
4．辅助角公式
b
asin α＋bcos α ＝a
2
＋b
2
sin(α＋φ)，其中tan φ＝.
a
解三角形
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理
abc
＝＝＝2R
sin Asin Bsin C
余弦定理
a
2
＝b
2
＋c
2
－2bccos A；
内容
b
2
＝c
2
＋a
2
－2cacos B；
c
2
＝a
2
＋b
2
－2abcos C

(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
变形
abc
(2)sin A＝
，sin B＝，sin C＝；
2R2R2R
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
b
2
＋c
2
－a
2
cos A＝
；
2bc
c
2
＋a
2
－b
2
cos B＝
；
2ac
a
2
＋b
2
－c
2
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cos C＝
2ab


2.三角形面积公式：
1
S
△
ABC
＝ ah(h表示边a上的高) ；
2
111
S
△
ABC
＝absin C＝bcsin A＝acsin B；
222

平面向量的概念和运算
1．向量的有关概念
→
(1) 向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量AB
的大小叫做向量的长度(或模)，记作
→
|AB|.
(2) 零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的．
(3) 单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．
(4) 平行向量：方向相 同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又称为共线向量，任一
组平行向量都可以移到同一直线上．
规定：0与任一向量平行．
(5) 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．
(6) 相反向量：与向量a长度相等且方向相反的向量叫做a的相反向量．规定零向量的相反
向量仍是零向量．
2.向量的加法
(1) 定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
(2) 法则：三角形法则；平行四边形法则．

(3) 运算律：a＋b＝b＋a；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
3.向量的减法
(1) 定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法．

(2) 法则：三角形法则．

(3) 运算律：a－b＝a＋(－b)
4.向量的数乘
(1) 实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：
① |λa|＝|λ||a；
② 当λ>0时，λa与a的方向相同；
当λ<0时，λa与a的方向相反；
当λ＝0时，λa＝0.
(2) 运算律：设λ、μ∈R，则：① λ(μa)＝(λμ)a；② (λ＋μ)a＝λa＋μa；③ λ(a＋b)＝λa＋λb．
5. 向量共线的判定定理
a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．
6．平面向量基本定理
如果e
1
，e
2
是同一平面内的两 个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一
一对实数λ
1
、λ
2
，使a＝λ
1
e
1
＋λ
2
e
2
.
我们把不共线的向量e
1
，e
2
叫作表示这一平面内所有向量 的一组基底．
一个平面向量a能用一组基底e
1
，e
2
表示，即a ＝λ
1
e
1
＋λ
2
e
2
.则称它为向量的 分解。当e
1
，e
2
互相垂直时，就称为向量的正交分解。
7．平面向量的坐标运算
→→
(1)设A(x
1
，y
1< br>)，B(x
2
，y
2
)，则AB
＝(x
2
－ x
1
，y
2
－y
1
)，|AB|＝?x
2
－x
1
?
2
＋?y
2
－y
1
?
2
.
(2)设a＝(x
1
，y
1
)，b＝(x
2< br>，y
2
)，则
a＋b＝(x
1
＋x
2
，y
1
＋y
2
)，a－b＝(x
1
－x
2
，y
1
－y
2
)，
(3)若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy) ；|a|＝x
2
＋y
2
.
8．向量平行的坐标表示
设a ＝(x
1
，y
1
)，b＝(x
2
，y
2
) ，其中b≠0.a∥b?a＝λb? x
1
y
2
－x
2
y
1
＝0.

平面向量的数量积
1．两个向量的夹角

已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，∠AOB＝θ(0°≤θ≤180 °)叫作向量a与b的夹角，
记作< a，b>．当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与 b反向；当θ＝90°时，则称向
量a与b垂直，记作a⊥b.
2．平面向量的数量积
已知两个向量a和b，它们的夹角为θ，我们把|a||b|cos θ叫作a与b的数量积(或内积)，记
作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.
3．平面向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的射影|b|cos θ的乘积或b的长度|b|与a在b方向
上的射影|a|cos θ的乘积．
a·ba·b
注意：b在a方向上的投影为|b|cos θ＝，而a在b方向上的投影为|a|cos θ＝，投影是
|a||b|
一个数量，它可以为正，可以为负，也可以为0.
4．平面向量数量积的重要性质
(1) a⊥b?a·b＝0；
(2)当a和b同 向时，a·b＝|a||b|；当a和b反向时，a·b＝﹣|a||b|；特别地，a·a ＝|a|
2
，|a|＝a·a；
a·b
(3)cos θ＝
；
|a||b|
5．平面向量数量积的坐标运算
设两个非零向量a，b，a＝(x1
，y
1
)，b＝(x
2
，y
2
)，
(1) a·b＝x
1
x
2
＋y
1
y
2

(2) |a|
2
＝x
1
2
＋y
1
2或|a|＝x
1
2
＋y
1
2
.
(3) a⊥b?x
1
x
2
＋y
1
y
2
＝0.
(4) cos θ＝
x
1
x
2
＋y
1
y
2
x
1
2
＋y
1
2
·x
2
2
＋y
2
2


等差数列
1．数列的定义
按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项．
2．数列的通项公式
如果数列{a
n
}的第n项与序号n之间的函数关系可 以用一个式子表示成a
n
＝f(n)，那么这个
式子叫作这个数列的通项公式．
3．已知数列{a
n
}的前n项和S
n
，
?
?
S
1
?n＝1?
则a
n
＝
?
.
?
S
n
－S
n
－
1
?n≥2?
?

4．等差数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，我们称这样的 数列为等差数
列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母d表示．
5．等差数列的通项公式
如果等差数列{a
n
}的首项为a
1，公差为d，那么它的通项公式是a
n
＝a
1
＋(n－1)d.
说明：等差数列{a
n
}的通项公式可以化为a
n
＝pn＋q(其中p，q 为常数)的形式，即等差数列
的通项公式是关于n的一次表达式，反之，若某数列的通项公式为关于n的 一次表达式，则
该数列为等差数列.
6．等差数列的前n项和公式
n?a
1
＋a
n
?n?n－1?
设等差数列{a
n
}的公差为d， 其前n项和S
n
，则S
n
＝
＝na
1
＋d. 22
说明：数列{a
n
}是等差数列?S
n
＝An
2< br>＋Bn(A、B为常数)．这表明d≠1时，等差数列的前n
项和公式是关于n的二次表达式，并 且没有常数项.
7．等差中项
a＋b
如果A＝，那么A叫作a与b的等差中项．
2
8．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：a
n
＝am
＋(n－m)d(n，m∈N
＋
)．
(2)若{a
n
}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N
＋
)，则a
k
＋a
l
＝a
m
＋a
n
.
等比数列
1．等比数列的有关概念
(1)定义：
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前 一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列
a
n
＋
1
就叫做等 比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，＝q．
a
n
说明：等比数列中没有为0的项，其公比也不为0.
(2)等比中项：
如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项?a，
G，b成等比数列?G
2
＝ab?G＝±ab ．
说明：任何两个实数都有等差中项 ，但与等差中项不同，只有同号的两个数才有等比中项．两
个同号的数的等比中项有两个，它们互为相反 数．
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：a
n
＝a
1
q
n
1
．
－

na
1
，q＝1，
?
?
(2)前n项和公式：S
n
＝
?
a
1
（1－q
n
）
a
1
－ a
n
q

＝，q≠1.
?
1－q
?
1－q
3．等比数列的性质 已知数列{a
n
}是等比数列，S
n
是其前n项和．(m，n，p，q， r，k∈N
*
)
(1)若m＋n＝p＋q＝2r，则a
m
·an
＝a
p
·a
q
＝a
2
r
；
数列求通项
1．等差等比数列求a
n
的方法
列关于首项和公差或公比的方程組.
2．已知数列的前n项和S
n
，求a
n
的方法
(1)第一步，令n=1,求出a
1
＝S
1
；
(2)第二 步，当n≥2时，求a
n
＝S
n
－S
n
－
1
；
(3)第三步，检验a
1
是否满足n≥2时得出的a
n
，如果 适合，则将a
n
用一个式子表示；若不
适合，将a
n
用分段形式写出 。
3．已知a
n
与S
n
的关系式，求a
n
的方法
(1)第一步，令n=1,求出a
1
＝S
1
；
(2)第二 步，当n≥2时，根据已有a
n
与S
n
的关系式，令n＝n＋1(或n＝n－ 1)，再写出一个
a
n+1
与S
n+1
(或a
n
－
1
与S
n
－
1
)的关系式，然后两式相减，利用公式an
＝S
n
－S
n
－
1
消去S
n
，得出
a
n
与a
n+1
(或a
n
与a
n
－
1
)的关系式，从而确定数列{a
n
}是等差数列、等比数列或其 他数列，然
后求出通项公式。
4．累加法求通项
5. 累乘法求通项
数列求和
1．公式法求和
常用的求和公式有：
n?a
1
＋a
n
?n?n－1?
(1) 等差数列的前n项和公式：S
n
＝
＝na
1
＋d.
22
na
1
，q＝1，
?
?
(2) 等比数列的前 n项和公式：S
n
＝
?
a
1
（1－q
n
）
a
1
－a
n
q

＝，q≠1.
?
1－q
?
1－q
2.错位相减法求和
适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．
3.裂项相消法求和

方法是把数列的通项拆分成两项之差，在求和时一些项正负抵消，从而可以求和．
常用的裂项公式有：
111
(1)
＝－；
n?n＋1?
n
n＋1
1
11
1
(2)
＝
?
2n－1< br>－
2n＋1
?
；
?
?2n－1??2n＋1?
2
?
(3)
(4)
1
n＋n＋1
＝n＋1－n.
11
11
＝
?
n(n＋1)
－
(n＋1)(n＋2)
?
；
?
n(n＋1)(n＋2)
2
?
4.分组求和
通过把数列分成若干组，然后利用等差、等比等求和公式求和．
基本不等式及其应用
1．重要不等式：a
2
＋b
2
≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时 取等号．
2．基本不等式：ab≤
a＋b
( a≥0，b≥0)，当且仅当a＝b时取等号．
2
a＋b
其中称为a，b的算术平均 数，ab称为a，b的几何平均数.因此基本不等式可叙述为两
2
个非负数的算术平均数不小于 它们的几何平均数；也可以叙述为两个正数的等差中项不小于
它们的等比中项．
3.基本不等式的几个常见变形
(1) a＋b≥2ab (a，b＞0)．
1ba
(2) x＋
≥2(x＞0)，＋≥2(a，b同号)．
xab(3)ab≤
?
a＋b
?
2
?
2
?
(a，b∈R)．
a
2
＋b
2
?
a＋b
?
2
(4)
≥
2
?
2
?
(a，b∈R)．
4.利用基本不等式求最值的条件：一正二定三相等
所谓“一正”是指正数，“二定”是指应 用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”
是指满足等号成立的条件．
5.利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则

s
2
(1)和定积最大：若x＋y＝s(和为定值)，则当 x＝y时，积xy取得最大值
；
4
(2)积定和最小：若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2p.
古典概型和几何概型
1．事件概念
(1)在条件S下，一定会发生的事件，叫作相对于条件S的必然事件．
(2)在条件S下，一定不会发生的事件，叫作相对于条件S的不可能事件．
(3)必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件．
(4)在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫作相对于条件S的随机事件．
(5)不可能同时发生的两个事件称为互斥事件。
(6)不可能同时发生且二者之一必须有一个发生的两个事件称为对立事件。
如果事件A与事件B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．
若事件A与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(A)．
2．频率估计概率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现
n
A
的次数n
A
为事件A出现的频数，称事件A出现的比例f
n
(A) ＝
为事件A出现的频率．
n
(2)在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机 事件A发生的频率会在某个常数附近
摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．这时，我们把这个常数 叫作随机事件A的概
率，记作P(A)．
3．古典概型
具有以下两个特征的随机试验的数学模型称为古典的概率模型，简称古典概型．
(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果．
(2)每一个试验结果出现的可能性相等．
4．古典概型的概率公式
事件A包含的可能结果数
m
P(A)＝
＝
.
试验的所有可能结果数
n
5．几何概型
如果每个事件发生的概率只与构成该 事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率
模型为几何概率模型，简称几何概型．
6．几何概型的概率公式
构成事件A的区域长度（面积或体积）
P(A)＝

试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）

7．几何概型与古典概型的区别
古典概型与几何概型中基本事件发 生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限
个，而几何概型则是无限个．
随机抽样和样本估计总体
1．简单随机抽样
(1)定义：一般地，设一个总体含有 N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，
如果每次抽取时总体内的各个个体被抽 到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．
(2)最常用的简单随机抽样方法有两种——抽签法和随机数法．
(3)应用范围：总体个体数较少．
2．系统抽样的步骤
一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．
(1)先将总体的N个个体编号；
NN
(2)确定分段间隔k，对编号进行分段．当(n是样本容量)是整数时，取k＝
；
nn
(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l (l≤k)；
(4 )按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得
到第3个 个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本．
3．分层抽样
(1)定义：一 般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独
立地抽取一定数量的个体， 将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层
抽样．
(2)分层抽样的应用范围：
当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．
4.频率分布表
(1)含义：把反映总体频率分布的表格称为频率分布表．
(2)频率分布表的画法步骤：
极差
第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝；
组数
第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；
第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表．
5. 频率分布直方图
利用直方图反映样本的频率分布规律，这样的直方图称为频率分布直方图．
(1)作频率分布直方图的方法

①先制作频率分布表，然后作直角坐标系．
②把横轴分成若干段， 每一线段对应一个组的组距，然后以此线段为底作一矩形，它的高等
频率
于该组的，这样得出一 系列的矩形．
组距
③每个矩形的面积恰好是该组的频率，这些矩形就构成了频率分布直方图．
(2)频率分布直方图的特征
①直方图中各小长方形的面积之和为1.
频率频率
②直方图中纵轴表示，故每组样本的频率为组距×，即矩形的面积．
组距组距
③直方图中每组样本的频数为频率×总体数．
6．茎叶图
茎相同 者共用一个茎(如两位数中的十位数)，茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎的叶
(如两位数中的个 位数)，一般按从小到大(或从大到小)的顺序同行列出．这样将样本数据有
条理地列出来的图形叫做茎 叶图．其优点是当样本数据较少时，茎叶图可以保留样本数据的
所有信息，直观反映出数据的水平状况、 稳定程度，且便于记录和表示；缺点是对差异不大
的两组数据不易分析，且样本数据很多时效果不好．
茎叶图的画法步骤
第一步：将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分；
第二步：将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列；
第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的两侧．
7．样本的数字特征：众数、中位数、平均数、方差、标准差
(1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数．
(2)中位数：把 n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据叫做这组数据的中位
数．
在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等．
1
(3)平均数 ：样本数据的算术平均数，即x＝(x
1
＋x
2
＋…＋x
n
)．
n
(4)标准差与方差：设一组数据x
1
，x
2
，x
3
，…，x
n
的平均数为x，则这组数据的标准差和方
差分别是
s＝
1
[(x
1
?x)
2
?(x
2?x)
2
?L?(x
n
?x)
2
]
，
n
1
s
2
＝
[(x
1
－x)
2
＋(x
2
－x)
2
＋…＋(x
n
－x)
2
]
n

< br>标准差是反映总体波动大小的特征数，样本方差是标准差的平方．通常用样本方差估计总体
方差， 当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差．
(5)标准差和方差的一些结论
若 取值x
1
，x
2
，…，x
n
的频率分别为p
1，p
2
，…，p
n
，则其平均值为x
1
p
1< br>＋x
2
p
2
＋…＋x
n
p
n
；若x
1
，x
2
，…，x
n
的平均数为
x
，方差为s
2
，则ax
1
＋b，ax
2
＋b，…，ax< br>n
＋b的平均数为a
x
＋b，方差为a
2
s
2
.
变量间的相关关系、统计案例
1．两个变量的线性相关
(1)正相关 < br>在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它
称为正 相关．
(2)负相关
在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关．
(3)线性相关关系、回归直线
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称 这两个变量之间具有线性相关
关系，这条直线叫做回归直线．
2．回归方程
(1)最小二乘法
求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．
(2)回归方程
方程y＝b
x＋a
是两个具有线性相关关系的变量的一组数 据(x
1
，y
1
)，(x
2
，y
2
)，… ，(x
n
，y
n
)的
回归方程，其中a，b是待定参数．
^^
^^^
?
b
＝
∑
?x－x??y－y?
＝
∑
xy－nx y
，
∑
x－nx
?
∑
?x－x?
?
a< br>＝y－b
x.
^
i
＝
1
ii
i
＝< br>1
ii
n
i
＝
1
i
2
n
i
＝
1
2
i
2
^^
nn


3．回归分析
(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
(2)样本点的中心

< /p>

对于一组具有线性相关关系的数据(x
1
，y
1
)，( x
2
，y
2
)，…，(x
n
，y
n
)，其 中(x，y)称为样本
点的中心．
(3)相关系数
当r>0时，表明两个变量正相关；
当r<0时，表明两个变量负相关．
r的绝对 值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个
变量之间几乎不存在 线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．
4．独立性检验
(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．
(2)列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它
们的可能取 值分别为{x
1
，x
2
}和{y
1
，y
2
}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为
2×2列联表

x
1

x
2

总计

构造一个随机变量
(3)独立性检验
利用随机变量K
2
来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．
当χ
2
≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联；
当χ
2
>2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；
当χ>3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；
当χ>6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．

K
2＝
n?ad－bc?
2
，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．
?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?
y
1

a
c
a＋c
y
2

b
d
b＋d
总计
a＋b
c＋d
a＋b＋c＋d
复数
1．复数的有关概念
(1)定义：
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做实部，b叫做虚部．(i为虚数单位)
(2)分类：

满足条件(a，b为实数)

a＋bi为实数?b＝0
复数的分类
a＋bi为虚数?b≠0
a＋bi为纯虚数?a＝0且b≠0
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
2．复数的运算
(1)运算法则：设z
1
＝a＋bi，z
2
＝c＋di，a，b，c，d∈R

3．复数的几何意义
→
(1)复数 z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量OZ
＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系 ．
→
(2)模：向量OZ
的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z |，即|z|＝|a＋bi|＝a
2
＋b
2
(a，b∈R)．