高中数学知识点总结精简

高中数学必修1知识点总结

第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念
1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个
对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性：
1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性
非负整数集（即自然数集）记作：N
正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R
关于“属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a
属于集合A 记作 a∈A ，相反，a不属于集合A 记作 a
?
A

列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
描述法：
①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x| x-3>2}

二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意： 有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A

2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)
实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”
结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集 合B的元
素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等
于集合B，即 ：A=B
任何一个集合是它本身的子集。A
?
A
②真子集:如果A
?
B,且B
?
A那就说集合A是集合B的真子集，记作A
?

B(或B
?
A)
③如果 A
?
B, B
?
C ,那么 A
?
C
④如果A
?
B 同时 B
?
A 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

四、函数的有关概念

定义域补充
能使函数式有意义的实 数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列
不等式组的主要依据是：
(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的
真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函< br>数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分
都有意义的x的值组 成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (6)实际问题
中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)
构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域



补充一：分段函数 （参见课本P24-25）
在定义 域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值
时必须把自变量代入相应的表达式 。分段函数的解析式不能写成几个不同的方
程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来 ，并分别注明各
部分的自变量的取值情况．（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个
函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

补充二：复合函数
如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 称为f、g
的复合函数。
例如: y=2sinx y=2cos(2x+1)

7．函数单调性

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区
间上具 有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减
函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法：任取a，b∈D，且a式分解和配方）；4 定号（即判断差f(a)－f(b)的正负）；5 下结论（指出函
数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
(B)图象法(从图象上看升降)_

8．函数的奇偶性
（1）偶函数
一般地，对于函数f( x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)
就叫做偶函数．
（2）．奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f (x)，那么
f(x)就叫做奇函数．
注意：1、 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶 性，函数的奇偶性是函数
的整体性质；函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。
2、 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义
域内的任意一个 x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原
点对称）．

10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）
（1）、 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值. （2）、 利
用图象求函数的最大（小）值 （3）、 利用函数单调性的判断函数的最大（小）
值： 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则
函数y=f(x) 在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递
减，在区间[b，c] 上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；







第二章 基本初等函数
一、指数函数




二、对数函数





三、幂函数

第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
4、二次函数的零点：
二次函数
y?ax
2
?bx?c(a?0)
．
１）△＞０ ，方程
ax
2
?bx?c?0
有两不等实根，二次函数的图象与
x< br>轴
有两个交点，二次函数有两个零点．
２）△＝０，方程
ax
2?bx?c?0
有两相等实根（二重根），二次函数的
图象与
x
轴有一个 交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
３）△＜０，方程
ax
2
?b x?c?0
无实根，二次函数的图象与
x
轴无交点，
二次函数无零点．




高中数学必修二知识点

一、直线与方程

（
2
）直线的斜率


①
定义：倾斜角不是
90
°
的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。 直线的斜率常用
k
表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。

②
过两点的直线的斜率公式：



（
6
）两直线平行与垂直



；

（
7
）两条直线的交点

二、圆的方程

1
、圆的 定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆
的半径。

2
、圆的方程

（
1
）标准方程，圆心，半径为
r
；

（
2
）一般方程

3
、直线与圆的位置关系：

直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：

（
1
）设直线，圆，圆心到
l
的距离为

，则有

（
2
）过圆外一点的切线：

(3)< br>过圆上一点的切线方程：圆
(x-a)2+(y-b)2=r2
，圆上一点为
( x0
，
y0)
，则过此点的切线方
程为
(x0-a)(x-a)+( y0-b)(y-b)= r2
4
、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心 距（
d
）之间的大小比较来确定。

设圆，

两圆的位置关 系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（
d
）之间的大小比较来确定。

当时两圆外离，此时有公切线四条；

当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；

当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；

当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；

当时，两圆内含；

当时，为同心圆。

注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线


圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点

三、立体几何初步

1
、柱、锥、台、球的结构特征

（
1
）棱柱：

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且
相等 ；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

（
2
）棱锥


几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

（
3
）棱台：

几何特征：
①
上下底面是相似的平行多边形

②
侧面是梯形

③
侧棱交于原棱锥的顶点

（
4
）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转
,
其余三边旋转所成< br>

几何特征：
①
底面是全等的圆；
②
母线与轴平行 ；
③
轴与底面圆的半径垂直；
④
侧面展开
图是一个矩形。


（
5
）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴
,
旋转一周所成

几何特征：
①
底面是一个圆；
②
母线交于 圆锥的顶点；
③
侧面展开图是一个扇形。


（
6
）圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴
,
旋转一周所成

< br>几何特征：
①
上下底面是两个圆；
②
侧面母线交于原圆锥的顶点；③
侧面展开图是一个弓
形。


（
7
）球体： 定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体

几何特征：
①
球的截面是圆；
②
球面上任意一点到球心的距离等于半径。

2
、空间几何体的三视图


定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、


俯视图（从上向下）

注：正视图反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体的长度 和宽度；侧视图反映了物体
的高度和宽度。

5
、空间中的平行问题

（
1
）直线与平面平行的判定及其性质

线面平行的判定定理：平面 外一条直线与此平面内一条直线平行
,
则该直线与此平面平行。



线线平行线面平行


线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，

那么这条直线和交线平行。

线面平行线线平行

（
2
）平面与平面平行的判定及其性质

两个平面平行的判定定理

（
1
）如果一个平面内的两条相交直线都 平行于另一个平面，那么这两个平面平行


（线面平行
→
面面平行），

（
2
）如果在两个平 面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。


（线线平行
→
面面平行），

（
3
）垂直于同一条直线的两个平面平行，

两个平面平行的性质定理

（
1
）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。

（面面平行
→
线面平行）

（
2
）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

（面面平行
→
线线平行）

7
、空间中的垂直问题

（
1
）线线、面面、线面垂直的定义

①
两条异面直线的垂直：

如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异 面直线互相垂直。
②
线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线 和这个平面垂
直。

③
平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（ 从一条直线出发的两个半平面所组
成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。
（
2
）垂直关系的判定和性质定理

①
线面垂直判定定理和性质定理


判定定理：如果一条直线和一个 平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面 ，那么这两条直线平行。

②
面面垂直的判定定理和性质定理

判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

性 质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一
个平面。




高中数学必修三知识点


1
、
WHILE
语句

、

（
1
）
WHILE
语句的一般格式是

对应的程序框图是

循环体
WHILE
条
件

循环体
WEND
满足条件？

否

（
2
）当计算机遇到
WHILE
语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行
WHILE
与

WEND
之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个

过
程反复进行，

直到某一次条件不符合为止。

这时，

计算机将不执行循环体，

直接跳到

WEND
语句后，接着执行
WEND
之后的语句。因此，当型循环有时 也称为
“
前测试型
”
循
环。

是

2
、
UNTIL
语句

、

（
1
）
UNTIL
语句的一般格式是

对应的程序框图是
DO
循环体
LOOP
UNTIL
条件

循环体

满足条件？


（2
）直到型循环又称为
“
后测试型
”
循环，从
UNTIL
型循环结构分析，计算机执行该语句

时，先执行一次循环体，然后进行条件的判断，如果条件不满足，继续返回执行循环体，然

后再进行条件的判断，这个过程反复进行，直到某一次条件满足时，不再执行循环体，跳到

LOOP UNTIL
语句后执行其他语句，是先执行循环体后进行条件判断的循环语句。

分析：分析：当型循环与直到型循环的区别：

（
1
）

当型循环先判断后执行，直到型循环
先执行后判断；

在
WHILE
语句中，是当条件满足时执行循环体，在
UNTIL
语句中，是
当条件不满足时执行循环

1
、

辗转相除法。







1
、

秦九韶算法概念：






进制数

第二章
2.1.1
简单随机抽样

统计
1
．总体和样本

总体：在统计学中
,
把研究对象的全体
叫做总体．

个体：把每个研究对象叫做个体．

总体容量：把总体中个体的总数叫做总体容

为了研究总体

的有关性质，

研究，量．一般从总体中随机抽取一部分：我们称它为样本．其
中个体的个数称为样本容量。

．．

．．．．
2
．简 单随机抽样，也叫纯随机抽样。就是从总体
中不加任何分组、划类、排队等，完全随

机地抽取调查单位。特点是：每个样本单位被抽
中的可能性相同（概率相等）

，样本的每

个单位完全独立，

彼此间无一定的关联性和排

简单随机抽样是其它各种抽样形式的基

础。斥性。通常只是在总体单位之间差异程度较小
和数目较少时，才采用这种方法。
3
．简单随机抽样常用的方法：

（
1
）抽签法；
⑵
随机数
⑶
计算机模拟法；
⑷
使用统计软件直接抽取。

在简单随机抽样的样本容量设计中，

主表法；
要考虑：
①
总体变异情况；
②
允许误差范围；
③
概率保证程度。
4
．抽签法
:
（
1
）给调
查对象群体中的每一个对象编号；

（
2
）准备抽签的工具，实施抽签

，

，

，

（
3
）对样

本中的每一个个体进行测量或调查

例：请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。
5
．

例：
2.1.2
系随机数表法：利用随机数表在所在的班级中抽取
10
位同学参加某项活动。
统抽样
1
．系统抽样（等距抽样或机械抽样）

：

把总体的单位进行排序，再计算出抽样距

第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。
K
离，然后按照这一固定的抽样距离抽取 样本。
（抽样距离）
=N
（总体规模）
n
（样本规模）

前提条件：总体中个体的排列对于研究的变
量来说，应是随机的，即不存在某种与研究

变量相关的规则分布。可以在调查允许的条件
下，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的
特点。如果有明显差别，说明样本在总体中
的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样 距

离重合。
2
．系统抽样，即等距抽样是实
际中最为常用的抽样 方法之一。因为它对抽样框的要求较低，

实施也比较简单。更为重要
的是，如果有某 种与调查指标相关的辅助变量可供使用，总体单

元按辅助变量的大小顺序
2.1.3
分层抽样
1
．

：

排队的话，使 用系统抽样可以大大提高估计精度。分层抽样（类型抽样）
先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（ 性别、年龄等）划分成若干类型或层次，

然

最后，

将

后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，< br>这些子样本合起来构成总体的样本。

两种方法：
1
．先以分层变量将总体划分为若干层，
再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。
2
．先以分层变量将总体划分为若干层，再将各
层中的元素按分层的顺序整齐排列，最

后用系统抽样的方法抽取样本。
2
．分层抽样是把
异质性较强的总体分成一 个个同质性较强的子总体，再抽取不同的子总体

中的样本分别代
表该子总体，所有的样本进而代表总体。

分层标准：

（
1
）以调查所要分析和研究的主要
变量或相 关的变量作为分层的标准。

（
2
）以保证各层内部同质性强、各层之间异质 性强、
突出总体内在结构的变量作为分

层变量。

（
3
）以那些有明显分层区分的变量作为分层变
量。
3
．分层的比例问题：

（
1
）按比例分层抽样：根据各种类型或层 次中的单位数目占总
体单位数目的比重来抽取

子样本的方法。

（
2
）不按比例分层抽样：有的层次在总体中的
比重太小，其样本量就会非常少，此时采

用该方法，

主要是便于对不同层次的子总体进行

如果要用样本资

料推断总体时，专门研究或进行相互比较。则需要先对各层的数据资料进
2.2.2
用行加权处理，调整样本中各层的比例，使数据

恢复到总体中各层实际的比例结构。
样本的数字特征估计总体的数字特征
1
、本均值：
x = x1 + x 2 + L + x n n 2
、

．样本标准
差：
s = s2 = ( x1 ? x) 2 + ( x 2 ? x) 2 + L + ( x n ? x) 2 n 3
．用样本估计总体时，如果抽样的方
法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样

本得到的信息会有偏差。在随机抽样
中，这种偏差是不可避免的。

虽然我们用样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体
的真正的分布、

均值和标准差，而只是一个估计，但这种估计是合理的，特别是当样本量
很大时，

它们确实反映了总体的信息。
4
．

（
1
）如果 把一组数据中的每一个数据都加上

或减去同一个共同的常数，标准差不变

（
2
）如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同
的常数
k
，标准差变为原来的
k
倍

（
3
）一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响，
区间
( x ? 3s, x + 3s )
的应用；
“
去掉一个最高分，去掉一个最低分
”
中的科学道理
2.3.2
两
个变量的线性相关
1
、概念
:
（
1
）回归直线方程

（
2
）回归系数
2
．最小二乘法
3
．直线
回归方程的应用

（
1
）描述两变量之间的依存关系；利用直线回归方程即可定量描述两个变
量间依存

的数量关系

（
2
）利用回归方程进行预测；把预报因子（即自变量
x
）代入回归
方程对预报量（即

因变量
Y
）进行估计，即可得到个体
Y
值的容许区间。

（
3
）利用回
归方程进行统计控制规定
Y
值的变化，通过控制
x
的范围来实现统计控

制的目标。如已
经得到了空气中
NO2
的浓度和汽车流量间的回归方程，即可

通过控制汽车流量来控制空
气中
NO2
的浓度。
4
．应用直线回归的注意事项

（
1
）做回归分析要有实际意义；

（
2
）
回归分析前
,
最好先作出散点图；

（
3
）回归直线不要外延。

第三章
3.1.1 —3.1.2
随机事件
的概率及概率的意义
1
、基本概念：

基本概念：

概

率

（
1
）必然事件：在条件
S
下，
一定会发生的事件，叫相对于条件
S
的必然事件；

（
2
）不可能事件：在条件
S
下，一
定不会发生的事件，叫相对于条件
S
的不可能事件；

（
3
）确定事件：必然事件和不可能
事件统称为相对于条件
S
的确定事件；

（
4
）随机事件：在条件
S
下可能发生也可能不
发生的事件，叫相对于条件
S
的随机事件；

（
5
）频数与频率：在相同的条件
S
下重复
n
次试验，观察某一事件
A
是否出现，称
n
次试

验中事件
A
出现的次数
nA
为事件
A
出
现的频数；称事件
A
出现的比例
nA fn(A)= n
为事件
A
出现的概率：对于给定的随机事
件
A
，如果随着试验次数的增加，

事件
A
发生的频率
fn(A)
稳定在某个常数上，

把这个
常数记作
P
（
A
）

，

称为事件
A
的概率。

（
6
）频率与概率的区别与联系：随机事件的
频 率，指此事件发生的次数
nA
与试验总次数
n nA
的比值
n
，它具有一定的稳定性，总
在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅 度越来越小。我们把这个常

概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。

频率在大量数叫做随机事件的概率，
重复试验的前

提下可以近似地作为这个事件的概率
3.1.3
概率的基本性质
1
、基本概念：

（
1
）事件的包含、并事件、交事件、相等事件

（
2
）若
A∩B
为不可能事件，即
A∩B=ф
，
那么称事件
A
与事件
B
互斥；

（
3
）若
A∩B
为不可能事件，
A∪B
为必然事件，那么
P(A∪B)=
称事件
A
与事件
B
互为对立事件；（
4
）当事件
A
与
B
互斥时，满足加法公式：
P(A)+ P(B)
；若事件
A
与
B
为对立

事件，则
A∪B
为必然事件，所以
P(A∪B)= P(A)+
P(B)=1
，于是有
P(A)=1— P(B) 2
、概率的基本性质：
1
）必然事件概率为
1
，不可能事件
概率为
0
，因此
0≤P(A)≤1
；
2
）当事件
A
与
B
互斥时，满足加法公式：
P(A∪B)= P(A)+
P(B)
；
3
）若事件
A
与
B
为对立事件，则
A∪B
为必然事件，所以
P(A∪B)= P(A)+
P(B)=1
，于

是有
P(A)=1—P(B)
；
4
）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事
件
A
与事件
B
在一次试验中不

会同时发生，其具体包括三种不同的情形：

（
1
）事件
A
发生且事件
B
不发生；

（
2
）事件
A
不发生且事件
B
发生；

（
3
）事件
A
与事件
B
同
时不发生，而对立事件是指事件
A
与

事件
B
有且仅有一个发生，其包括两种情形；

（
1
）
事件
A
发生
B
不发生；

（
2
）事件
B
发

生事件
A
不发生，对立事件互斥事件的特殊
情形。
3.2.1 —3.2.2
古典概型及随机数的产生
1
、

（
1
）古典概型的使用条件：试验结果

（
2
）
①
求出总的基本事件数；
A
的有限性和所有结果的等可能性。古典概型的解题步骤；
包含的基本事件数
②
求出事件
A
所包含的基本事件数，然后利用公式
P
（
A
）
=
总的基本
事件个数
3.3.1—3.3.2
几何概型及均匀随机数的产生
— 1
、基本概念：

（
1
）

几何概率模
型：

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度

（面积或体积）

成比例，则称

（
2
）

构成事件
A的区域长度这样的概率模型为几何概率模型；几何概型的概率公式：（面

积或体积）

；
P
（
A
）
=
试验的全部结果所构 成的区域长度（面积或体积）（
3
）几何概型
的特点：
1
）试验中所 有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；
2
）每

个基本事件出现
的可能性相等．




高中数学必修4知识点总结

第一章 三角函数（初等函数二）
?正角:按逆时针方向旋转形成的角
?
1、任意角
?
负角:按顺时针方向旋 转形成的角

?
零角:不作任何旋转形成的角
?
2、角
?< br>的顶点与原点重合，角的始边与
x
轴的非负半轴重合，终边落在第几象
限，则称
?
为第几象限角．
??
第二象限角的集合为
?
?
k?360?90?k?360?180,k??
?

第三象限角的集合为
?
?
k?360?180?
?
?k?360?270,k??
?

第四象限角的集合为
?
?
k?360?270?
?
?k ?360?360,k??
?

终边在
x
轴上的角的集合为
?
??
?k?180,k??
?

终边在
y
轴上的 角的集合为
?
??
?k?180?90,k??
?

终边在坐标轴上的角的集合为
?
??
?k?90,k??
?

3、与角
?
终边相同的角的集合为
?
??
?k?360?< br>?
,k??
?

第一象限角的集合为
?
k?360?
?
?k?360?90,k??

4、已知
?
是第几象限角 ，确定
?
?
n??
?
所在象限的方法：先把各象限均分
n< br>等
n
*
份，再从
x
轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一 、二、三、四，则
?
原来
?
是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域．
n
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1
弧度．

6、半径为
r
的圆的圆心角
?
所对弧的长为
l
，则角< br>?
的弧度数的绝对值是
?
?
7、弧度制与角度制的换算公式：
2
?
?360
，
1?
l
．
r
?
180
?
，
1?
??
?57.3
．
180
?
??
?
8、若扇形的圆心角为
?
?
?
为弧度制
?
，半径为
r
，弧长为
l
，周长为
C
，面 积为
S
，
11
则
l?r
?
，
C?2r?l
，
S?lr?
?
r
2
．
22
9、设?
是一个任意大小的角，
?
的终边上任意一点
?
的坐标是
?
x,y
?
，它与原点
yx
y
，
cos
?
?
，
tan
?
?
?
x?0
?
．
rr
x
10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象 限
正切为正，第四象限余弦为正．
11、三角函数线：
sin
?
? ??
，
cos
?
???
，
tan
?
???
．
的距离是
rr?x
2
?y
2
?0
，则
sin
?
?
?
?
12、同角三角函数的基本关系：
?
1
?
sin
?
?cos
?
?1

22
y
P
T
OM
A
x
?
sin
2
?
?1?cos
2
?
,cos
2
?
?1 ?sin
2
?
?
；
?
2
?
sin
?
?tan
?

cos
?
sin
?
??< br>sin
?
?tan
?
cos
?
,cos
?< br>?
??
．
tan
?
??
13、三角函数的诱导公式：
?
1
?
sin
?
2k
?
?
?
?
?sin
?
，
cos
?
2k
?
?
?
?
? cos
?
，
tan
?
2k
?
?
?
?
?tan
?
?
k??
?
．
?
2
?
sin
?
?
?
?
?
??sin
?，
cos
?
?
?
?
?
??cos
?< br>，
tan
?
?
?
?
?
?tan
?< br>．
?
3
?
sin
?
?
?
?
??sin
?
，
cos
?
?
?
?
?co s
?
，
tan
?
?
?
?
??tan
?
．
?
4
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
，
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
，
tan
?
?
?
?
?
??tan
?
．
口诀：函数名称不变，符号看象限．
?
5
?
sin
?
?
??
?
?
?
?
?
?cos
?
，
cos
?
?
?
?
?sin
?
．
?
2
??
2
?
??
?
?
?
?
?
?cos
?
，< br>cos
?
?
?
?
??sin
?
．
?
2
??
2
?
?
?
6
?
sin< br>?
?
?
口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．
14、函数
y ?sinx
的图象上所有点向左（右）平移
?
个单位长度，得到函数
y?si n
?
x?
?
?
的图象；再将函数
y?sin
?x?
?
?
的图象上所有点的横坐标伸长（缩

短）到原来的
1
?
倍（纵坐标不变），得到函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象；再将函数
y?sin
?
?
x?< br>?
?
的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的
?
倍（横坐标不< br>变），得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象．
函数
y?sinx
的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
得到函数
1
?
倍（纵坐标不变），
?
y?sin
?
x
的图象；再将函数
y?sin
?
x
的图象上所有点向左（右）平移个单?
位长度，得到函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象；再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上所
有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的
?
倍（横坐标不变），得到函数y??sin
?
?
x?
?
?
的图象．
函数< br>y??sin
?
?
x?
?
??
??0,
?< br>?0
?
的性质：
①振幅：
?
；②周期：
??
相：
?
．
函 数
y??sin
?
?
x?
?
?
??
，当< br>x?x
1
时，取得最小值为
y
min
；当
x?x< br>2
时，取得
11?
?
y
max
?y
min< br>?
，
??
?
y
max
?y
min
?
，
?x
2
?x
1
?
x
1
?x2
?
．
222
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

函
y?cosx

y?tanx

数
y?sinx

性
2
?
?
；③频率：
f ?
1
?
?
；④相位：
?
x?
?
；⑤初?2
?
最大值为
y
max
，则
??
质
图
象

定
?
?
?
R

R

义
?
xx?k
?
?,k??
?

2
??
域
值
?1,1
?

?1,1
?

R

??
域
?
最 既无最大值也无最小
当
x?2k
?
?
k??
?
当< br>x?2k
?
?
k??
?
时，
?
值 值
2

时，
y
max
?1< br>；当
x?2k
?
?
y
max
?1
；当
x?2k
?
?
?

?
2

?
k??
?
时，
y
min
??1
．
?

?
k??
?
时，
y
min
??1
．
周
期
性
奇
偶
性
2
?

2
?

奇函数 偶函数 奇函数
??
??
在?
2k
?
?,2k
?
?
?

22??
在
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
?
k??
?
??
??
单
?
k???
上是增函数；在
上是增函数；在
在
?
k
?
?,k
?
?
?

22
??
调
?
2 k
?
,2k
?
?
?
?

?
3
?
?
性
?
2k
?
?,2k
?
?
?

?
k??
?
上是增函数．
?
22
??
?
k??
?
上是减函数．
?
k??
?
上是减函数．
对称中心对称中心
对称中心?
??
对
?
k
?
,0
??
k???

k
?
?,0
?
?
k??
?

?
称
2
??
对称轴
性
?
对称轴
x?k
?
?
k??
?

x?k
?
?
?
k??
?

2
< br>?
k
?
?
,0
?
?
k??
?

?
2
??
无对称轴
第二章 平面向量
16、向量：既有大小，又有方向的量．
数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度．
零向量：长度为
0
的向量．
单位向量：长度等于
1
个单位的向量．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．
相等向量：长度相等且方向相同的向量．
17、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点．

⑶三角形不等式：
a?b?a?b?a?b
．
⑷运算性质：①交换律：a?b?b?a
；②结合律：
a?b?c?a?b?c
；
③
a?0?0?a?a
．











????
C

a

?

b

?

a?b??C?????C

⑸坐标运算：设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?
?
x
1
?x2
,y
1
?y
2
?
．
18、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
⑵坐标运算：设
a?< br>?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
设
?
、
?
两点的坐标分别为
?
x
1
,y1
?
，
?
x
2
,y
2
?
，则
???
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
19、向量数乘运算：
⑴实数
?
与向量
a
的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作
?
a
．
①
?
a?
?
a
；
②当
?
?0< br>时，
?
a
的方向与
a
的方向相同；当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向相
反；当
?< br>?0时，
?
a?0
．
⑵运算律：①
?
?
?
a
?
?
?
??
?
a
；②
?
?
?
?
?
a?
?
a?
?
a
；③
?
a?b?
?
a?
?
b
．
⑶坐标运算： 设
a?
?
x,y
?
，则
?
a?
?
?
x,y
?
?
?
?
x,
?
y
?< br>．
20、向量共线定理：向量
aa?0
与
b
共线，当且仅当 有唯一一个实数
?
，使
??
??

b?
?a
．
设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，其中
b?0
，则当且仅当
x
1
y
2
?x
2y
1
?0
时，向量
a
、
bb?0
共线． ??
21、平面向量基本定理：如果
e
1
、
e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于
这一平面内的任意向量
a
，有且只有一对 实数
?
1
、
?
2
，使
a?
?
1< br>e
1
?
?
2
e
2
．（不共
线的向量
e
1
、
e
2
作为这一平面内所有向量的一组基底）
22、分点坐标公式：设点
?
是线段
?
1
?
2
上 的一点，
?
1
、
?
2
的坐标分别是
?
x< br>1
,y
1
?
，
?
x
1
?
?
x
2
y
1
?
?
y
2
?
， 当时，点的坐标是
,
x,y
???
?
??
?
?22
?
??
．
12
1?
?
??
1?
?
23、平面向量的数量积：
⑴
a?b?abcos
?
a?0,b?0,0?
?
?180
．零向量与任一向量的数量积为
0
．
⑵性质：设
a
和b
都是非零向量，则①
a?b?a?b?0
．②当
a
与
b
同向时，
a?b?ab
；当
a
与
b
反向时，a?b??ab
；
a?a?a
2
?a
或
a?a?a．③
a?b?ab
．
2
??
⑶运算律：①
a?b?b ?a
；②
?
?
a
?
?b?
?
a?b?a?
?
b
；③
a?b?c?a?c?b?c
．
⑷坐标运算：设 两个非零向量
a?
?
x
1
,y
1
?
，b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
．
若
a?
?
x,y
?
，则
a?x
2
?y
2< br>，或
a?x
2
?y
2
．
设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?x
1
x
2?y
1
y
2
?0
．
设
a
、
b
都是非零向量，
a?
?
x
1
,y
1
?< br>，
b?
?
x
2
,y
2
?
，
?
是
a
与
b
的夹角，则
2
??????
c os
?
?

a?b
ab
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y
2
1
21
x?y
2
2
2
2
．
第三章 三角恒等变换
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴
cos
?< br>?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?s in
?
sin
?
；

⑵
cos
?< br>?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?s in
?
sin
?
；
⑶
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
；
⑷
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
；
⑸
tan
?
?
?
?
??
tan
?
?tan
?
1?tan
?
tan< br>?
（
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?< br>）；
⑹
tan
?
?
?
?
?
?tan
?
?tan
?
1?tan
?
tan
?< br>（
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
）．
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴
sin2
?
?2sin
?
cos
?
．
⑵
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2< br>?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
（
cos
2
?
?
cos2
?
?1
2
sin
2
?
?
1?cos2
?
2
）．
⑶
tan2
?
?
2tan
?
1?tan
2
?
．
26、
?sin
?
??cos
?
??
2
??
2
sin
?
?
?
?
?
， 其中
tan
?
?
?
?
．





















，

必修5知识点总结
1、正弦定理：在
???C
中 ，
a
、
b
、
c
分别为角
?
、
?< br>、
C
的对边，
R
为
???C
的外接
圆的半径 ，则有
abc
???2R
．
sin?sin?sinC
2、正弦定 理的变形公式：①
a?2Rsin?
，
b?2Rsin?
，
c?2R sinC
；
abc
，
sin??
，
sinC?
； ③
a:b:c?sin?:sin?:sinC
；
2R2R2R
a?b?cabc
???
④．
sin??sin?? sinCsin?sin?sinC
②
sin??
（正弦定理主要用来解决两类问题： 1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。2、
已知两角和一边，求其余的量。）
⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）
如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A为锐角）求B。具体的做法是：数形结合思想
画出图：法一：把a扰着C点旋转，看所得轨迹以AD有无交点：
当无交点则B无解、
当有一个交点则B有一解、
当有两个交点则B有两个解。
法二：是算出CD=bsinA,看a的情况：
当a当bsinA当a=bsinA或a>b时，B有一解
注：当A为钝角或是直角时以此类推既可。
3、三角形面积公式：
S
???C
?
A
b
bsinA
D
a
C
111
bcsin??absinC?acsin?
．
222
22 2222
4、余弦定理：在
???C
中，有
a?b?c?2bccos?，
b?a?c?2accos?
，
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
．
b
2
?c
2
?a
2
a
2
?c2
?b
2
a
2
?b
2
?c
2
5、余弦定理的推论：
cos??
，
cos??
，
cosC?
．
2bc2ac2ab
(余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。2 、已知三边求角)
6、如何判断三角形的形状：设
a
、
b
、
c
是
???C
的角
?
、
?
、
C
的对边，则：①若
a
2
?b
2
?c
2
，则
C?90
；

②若
a?b?c
，则
C?90
；③若
a?b?c
，则
C?90
．
正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标A、B,
但不能到达，在岸边选取相距
3
千米的C、D两点，
并测得∠ACB=75, ∠BCD=45, ∠ADC=30,
∠ADB=45(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离。
本题解答过程略


附：三角形的五个“心”；
重心：三角形三条中线交点.
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.
内心：三角形三内角的平分线相交于一点.
垂心：三角形三边上的高相交于一点.
7、数列：按照一定顺序排列着的一列数．
8、数列的项：数列中的每一个数．
9、有穷数列：项数有限的数列．
10、无穷数列：项数无限的数列．
O
OOO
222222
B
A
C D
11、递增 数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列（即：a
n+1
>a
n
）．
12、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列（即：a
n+1
n
）．
13、常数列：各项相等的数列（即：a
n+1
=a
n
）．
14、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．
15 、数列的通项公式：表示数列
?
a
n
?
的第
n
项与 序号
n
之间的关系的公式．
16、数列的递推公式：表示任一项
a
n
与它的前一项
a
n?1
（或前几项）间的关系的公式．
17、如 果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为
等差数列，这个常数 称为等差数列的公差．符号表示:
a
n?1
?a
n
?d
。注 ：看数列是不是等
差数列有以下三种方法：
①
a
n
?a
n?1
?d(n?2,d为常数)
②2
a
n
?a
n?1< br>?a
n?1
(
n?2
) ③
a
n
?kn?b
(
n,k
为常数
18、由三个 数
a
，
?
，
b
组成的等差数列可以看成最简单的等差数列， 则
?
称为
a
与
b
的

等差中项．若< br>b?
19、若等差数列
a?c
，则称
b
为
a
与
c
的等差中项．
2
1
?
a
n
?
的首项是
a
，公差是
d
，则
a
n
?a
1
?
?
n?1
?
d
．
20、通项公式的变形：①< br>a
n
?a
m
?
?
n?m
?
d
；②
a
1
?a
n
?
?
n?1
?
d
；③
d?
a
n
?a
1
n?1
；
a
n
?a
m
a
n
?a
1
?1
； ⑤
d?
④
n?
n?m
d
．
21、若
?< br>a
n
?
是等差数列，且
m?n?p?q
（
m
、
n
、
p
、
q??
*
），则
a
m
?a
n
若
?
a
n
?
是等差数列，且
2n?p?q
（
n
、
p
、
q??
*
）， 则
2a
n
?a
p
?a
q
；
?a
p
?a
q
．
n
?
a
1
?a
n?
n
?
n?1
?
S?
d
．③22、等差数列的 前
n
项和的公式：①
n
；②
S
n
?na
1
?
2
2
s
n
?a
1
?a
2
??a
n

23、等差数列的前
n
项和的性质：①若项数为
2nn??
?
*
?
，则
S
2n
?n
?< br>a
n
?a
n?1
?
，且
S
奇
a?
n
S
偶
?S
奇
?nd
，
S
偶
a
n?1
②若项数为
2n?1n??
．
?
*< br>?
，则
S
2n?1
?
?
2n?1
?
a
n
，且
S
奇
?S
偶
?a
n
，< br>S
奇
n
（其中
?
S
偶
n?1
． < br>S
奇
?na
n
，
S
偶
?
?
n?1
?
a
n
）
24、如果一个数列从第
2
项起， 每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为
等比数列，这个常数称为等比数列的公比．符 号表示：
a
n?1
?q
（注：①等比数列中不会出
a
n现值为0的项；②同号位上的值同号）
注：看数列是不是等比数列有以下四种方法：
2
?a
n?1
?a
n?1
(
n?2
，
an
a
n?1
a
n?1
?0
) ①
a
n
?a
n?1
q(n?2,q为常数,且?0)

②
a
n
③
a
n
?cq
n
(
c,q
为非零常数).
④正数列{
a
n
}成等比的充要条件是数 列{
log
x
a
n
}（
x?1
）成等比数列. < br>25、在
a
与
b
中间插入一个数
G
，使
a< br>，
G
，
b
成等比数列，则
G
称为
a
与
b
的等比中项．若

2
G
2
?ab
，则称
G
为
a
与
b
的等比中项．（注：由
G?ab
不能得出
a
，
G
，
b
成等比，由
a
，
G
，
b
?
G
2
?ab
）
2 6、若等比数列
?
a
n
?
的首项是
a
1
， 公比是
q
，则
a
n
?a
1
q
n?1
．
27、通项公式的变形：①
a
n
?a
m
q
n ?m
；②
a
1
?a
n
q
?
?
n? 1
?
；③
q
n?1
?
a
n
；④
a
1
q
n?m
?
a
n
a
m
． 28、若
?
a
n
?
是等比数列，且
m?n?p?q（
m
、
n
、
p
、
q??
*
） ，则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；
若
?
a
n
?
是等比数列，且
2n?p?q
（
n
、
p
、
q??
*
），则
a
n
2
?a
p
?a
q
．
?
na
1< br>?
q?1
?
?
29、等比数列
?
a
n
?
的前
n
项和的公式：①
S
n
?
?
a< br>1
?
1?q
n
?
a?aq
．②
1n
?
?
q?1
?
?
1?q
?
1?q
s
n
?a
1
?a
2
??a
n

?
s
1
?a
1
(n?1)
a?
30、对任意的数列{
a
n
}的前
n
项和
S
n
与通项
a
n
的关系：
n
?

s?s(n?2)
nn?1
?
[注]： ①
a
n
? a
1
?
?
n?1
?
d?nd?
?
a
1
?d
?
（
d
可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若
d
不为0，则是等差数列充分条件）.
②等差{
a
n
}前
n
项和
S
n
?An
2
?Bn?
??
n
2
?
?
a
1
?
?
?
d
?
?
2
?
?
d
?
d
?
n
→可以为零也可不为零→为等差
2
?
2
的 充要条件→若
d
为零，则是等差数列的充分条件；若
d
不为零，则是等差数列 的充分条件.
③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）
．．
附：几种常见的数列的思想方法：
⑴等差数列的前
n
项和为< br>S
n
，在
d?0
时，有最大值. 如何确定使
S
n
取最大值时的
n
值，有
两种方法：
一是求使
a
n
?0,a
n?1
?
0
，成立的n
值；二是由
S
n
?
的值.
数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下：
数列 通项公式 对应函数
d2
d
n?(a
1
?)n
利用二次函数的性质求
n
22

等差数列
等比数列


数列
等差数列
前n项和公式

（时为一次函数）
（指数型函数）
对应函数
（时为二次函数）

等比数列

（指数型函数）
我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”，将数列的通项公式以及前n项 和看成是关于
n的函数，为我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。
例题：1、等差数列
分析：因为
中，，则 .
是等差数列，所以是关于n的一次函数，
)三点共线， 一次函数图像是一条直线，则（n, m）,(m,n),(m+n,
所以利用每两点形成直线斜率相等，即，得=0（图像如上），这
里利用等差数列通项公式与一次函数的对应关系，并结合图像，直观、简洁。
例题：2、等差数列

中，，前n项和为，若，n为何值时最大？
分析：等差 数列前n项和可以看成关于n的二次函数=，
是抛物线=上的离散点，根据题意，，
则因为 欲求
即当
最大值，故其对应二次函数图像开口向下，并且对称轴为
时，最大。
，对任意正整数n，恒成立，求
，
例题：3递增数列

分析：
即
构造一次函数，由数列
恒成立，所以
递增得到：
对一切
有 最大值
对于一切
恒成立，设
，所以
恒成立，
，
的取值范围是 ：则只需求出
。
的最大值即可，显然
构造二次函数，看成函数，它的定义域是
为递增函数，单调增区间为，因为是递增数列，即函数
,抛物线对称轴，因为函数f(x)为离散函数 ，要函数单调递增，就看动轴与
已知区间的位置。从对应图像上看，对称轴在的左侧
也可以（如图），因为此时B点比A点高。于是，

，得
⑵如果数列可以看 作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前
n
项和可依
111
照等比数列前
n
项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：
1?,3,...(2n?1)
n
,...

24
2
⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第
一个 相同项，公差是两个数列公差
d
1
，d
2
的最小公倍数.
2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,< br>验证
a
n
?a
n?1
(
a
n
)为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证
a
n?1
2
2 a
n?1
?a
n
?a
n?2
(a
n?1
? a
n
a
n?2
)n?N
都成立。
3. 在等差数列｛
a
n
｝中,有关S
n
的最值问题：(1)当
a
1
>0,d<0时，满足
?
?
a
m
?0
的项数
?
a
m?1
?0
?
a
m
?0
m使得
s
m
取最大值. (2)当
a
1
<0,d>0时， 满足
?
的项数m使得
s
m
取最小值。在解
a?0
?
m?1
含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
附：数列求和的常用方法

1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
2.裂项相消法:适用于
?
?
c
?
?
其中{ a
n
}是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理
?
a
n< br>a
n?1
?
数列、含阶乘的数列等。
例题：已知数列{a
n
}的通项为a
n
=
1
,求这个数列的前n项和S
n
.
n(n?1)
解：观察后发现：a
n
=
11
?

nn?1
s
n
?a
1
?a
2
?????a
n
∴
11111
?(1?)?(?)?????(?)
223nn?1
1
?1?
n?1
3.错位相减法:适用于
?a
n
b
n
?
其中{
a
n
}是等差数 列，
?
b
n
?
是各项不为0的等比数列。
例题：已知数列 {a
n
}的通项公式为
a
n
?n?2
n
，求这个数 列的前n项之和
s
n
。
解：由题设得：
s
n
? a
1
?a
2
?a
3
?????a
n

=
1?2?2?2?3?2?????n?2

即
123n
s
n
=
1?2
1
?2?2
2
?3?23
?????n?2
n
①
把①式两边同乘2后得
2s
n
=
1?2
2
?2?2
3
?3?2
4
?????n?2
n?1
②
用①-②，即：
s
n< br>=
1?2
1
?2?2
2
?3?2
3
???? ?n?2
n
①
2s
n
=
1?2
2?2?2
3
?3?2
4
?????n?2
n?1
②
得

?s
n
?1?2?2
2
?2
3
?????2
n
?n?2
n?1
2(1?2
n
)< br>??n?2
n?1
1?2
?2
n?1
?2?n?2
n ?1
?(1?n)2
n?1
?2
∴
s
n
?(n?1 )2
n?1
?2

4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法.
5.常用结论
1）: 1+2+3+...+n =

n(n?1)
2
2） 1+3+5+...+(2n-1) =
n
3）
2
2
?
1
?
1
3
?2
3
???n
3
?
?
n(n?1)
?

?
2
?
4）
1?2?3???n?
222 2
1
111
n(n?1)(2n?1)
5）
??

6
n(n?1)nn?1
1111
?(?)

n(n?2)2nn?2
6）

31、
a?b?0?a?b；
a?b?0?a?b
；
a?b?0?a?b
．
32、不等式的性质： ①
a?b?b?a
；②
a?b,b?c?a?c；③
a?b?a?c?b?c
；
④
a?b,c?0?ac?bc
，
a?b,c?0?ac?bc
；⑤
a?b,c?d?a?c?b?d
；
⑥
a?b?0,c?d?0?ac?bd
；⑦
a?b?0?a?b
⑧
a?b?0?
n
a?
n
b
?
n??,n?1
?
．
33、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是
2
的不等式．
34、含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸
1.整式不等式（高次不等式）的解法
穿根法（零点分段法）
求解不等式：
a0
x
n
?a
1
x
n?1
?a
2
x
n?2
?
?
?a
n
?0(?0)(a
0
?0)

nn
1111
?(?)(p?q)

pqq?ppq
?
n??,n?1
?
；

解 法：①将不等式化为a
0
(x-x
1
)(x-x
2
)…(x -x
m
)>0(<0)形式，并将各因式x的系数化“+”；
(为了统一方便)


②求根，并将根按从小到大的在数轴上从左到右的表示出来；
③由右上方穿线 （即从右向左、从上往下：偶次根穿而不过，奇次根一穿而过），经过
数轴上表示各根的点（为什么？） ；
④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等
式 是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.







（自右向左正负相间）
例题：求不等式
x?3x?6x?8?0
的解集。
解：将原不等式因式分解为：
(x?2)(x?1)(x?4)?0

由方程：
(x?2)(x?1)(x?4)?0
解得
x
1
??2,x
2
?1,x
3
?4

将这三个根按从小到大顺序在数轴上标出来，如图








由图可看出不等式
x?3x?6x?8?0
的解集为：
22
22
+

X
1
+

—
X
2
X
3
+

X
n-2
X
n-1
—
X
n
+

X

+
+
1
?

-2
?

4
x

?
x|?2?x?1,或x?4
?

例题：求解不等式
解：略


一元二次不等式的求解：
特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；
②一元二次不等式ax+bx+c>0(a>0)解的讨论.

二次函数

??0

??0

??0

2
(x?1)(x?2)(x?5)
?0
的解集。
(x?6)(x?4)
y?ax
2
?bx?c

（
a?0
）的图象
一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根


无实根

R


?


?


ax?bx?c?0
2
?
a?0
?
的根
ax
2
?bx?c?0
(a?0)的解集
x
1
,x
2
(x
1
?x
2
)

x
1
?x
2
??
b

2a

b
?
?
xx?x
1
或x?x
2
?

?
xx??
??

2a
??
ax
2
?bx?c?0
(a?0)的解集

?
xx
1
?x?x
2
?

对于a<0的不等式可以先把a化为正后用上表来做即可。
2.分式不等式的解法
（1）标准化：移项通分化为
f(x)f(x)f(x)f(x)
>0(或<0)； ≥0(或≤0)的形式，
g(x)g(x)g(x)g(x)
（2）转化为整式不等式（组）
f(x)f(x)
f(x)g(x)?0
?0?f(x)g(x)?0;?0?
?
?
g(x)?0
?
g(x)g(x)

例题：求解不等式：
解：略
1
??1

x

例题：求不等式
x
?1
的解集。
x?1
3.含绝对值不等式的解法：
基本形式：
①型如：|x|＜a (a＞0) 的不等式 的解集为：
?
x|?a?x?a
?

②型如：|x|＞a (a＞0) 的不等式 的解集为：
x|x??a,或x?a

变型：
??
|ax?b|? c(c?0)型的不等式的解集可以由
?
x|?c?ax?b?c
?
解得。其 中
?
ax?b?c
-c?
在解-cax?b??c
?
ax?b?c(c?0)
型的不等式的解法可以由
?
x|ax?b?c,或ax?b??c
?
来解。
③对于含有两个或两个以上的绝对值的不等式：用“零点分区间法”分类讨论来解.
④绝对值不等式解法中常用几何法：即根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解
题.
例题：求解不等式
|x?2|?1

解：略
例题：求解不等式：
|x?2|?|x?3|?10

解：零点分类讨论法：
分别令
x?2?0和x?3?0

解得：
x??3和x?2

在数轴上，-3和2就把数轴分成了三部分，如右上图
①当
x??3
时，（去绝对值符号）原不等式化为：
?
3 2
x
11
?
?
?(x?2)?(x?3)?10
11
?
x??

?
?
?
2
?
??x??3

2
?
x??3
?
x??3
?
②当
?3?x?2
时，（去 绝对值符号）原不等式化为：
?
?3?x?2
?
?3?x?2
??
?3?x?2

?
?
?
?(x?2)?(x?3)?10
?
x?R
③当
x?2
时，（去绝对值符号）原不等式化为：

?
x?2
?
x?2
9
?
2?x?

??
?
9
?
2
?
(x?2)?(x?3)?10
?
x?
? 2
由①②③得原不等式的解集为：
?
x|?
函数图像法：
令
f(x)?|x?2|?|x?3|

?
?
119
?
是把①②③的解集并在一起）
?x?
?
（注：
22
?
y
f(x)
=10
5
?
?2x?1(x??3)
?
?
则有：
f(x)?
?
5(?3?x?2)

?
2x?1(x?2)
?
?
在直角坐标系中作出此分段函数及
f(x)?10< br>的图像如图
?
11
o
?3

2
2
9

2
x
由图像可知原不等式的解集为：
?
x| ?
2
?
?
119
?
?x?
?

2 2
?
4.一元二次方程ax+bx+c=0(a>0)的实根的分布常借助二次函数图像来分析 ：
y
设ax+bx+c=0的两根为
?
、
?
，f(x) =ax+bx+c,那么：
22
?
??0
?
①若两根都大于0，即
?
?0,
?
?0
，则有
?
?
?
?
?0

?
?
?
?
?0
?



o
?

对称轴x=
?
?

x
b

2a
?
??0
?
b
?< br>②若两根都小于0，即
?
?0,
?
?0
，则有
???0

?
2a
?
?
f(0)?0





y
y
?
对称轴x=
?
?
b

2a
o
x
?

o
x

③若两根有一根小于0一 根大于0，即
?
?0?
?
，则有
f(0)?0




④若两根在两实数m,n之间，即
m?
?
?
?
?n
，
y
?
??0
?
b
?
? n
?
m??
则有
?

2a
?
f(m)?0
o
m
?
?
?f(n)?0
⑤若两个根在三个实数之间，即
m?
?
?t?
?< br>?n
，
y
?
X=
?
?

n
b

2a
x
?
f(m)?0
?
则有
?
f(t)?0

?
f(n)?0
?




常由根的分布情况来求解出现在a、b、c位置上的参数
例如：若方程
x?2(m? 1)x?m?2m?3?0
有两个正实数根，求
m
的取值范围。
解：由①型得
22
o m
?
X=
?
t
?

n
x
b

2a
?
4(m ?1)
2
?4(m
2
?2m?3)?0
?
??0
?
m??1
?
?
?
?
?
m??1
?
m?3

?
?
?
?
?0
?
?
2( m?1)?0
?
?
?
?
?0
?
m??1或m??
m
2
?2m?3?0
,
?
?
?
所以 方程有两个正实数根时，
m?3
。
又如：方程
x?x?m?1?0
的一根大于1，另一根小于1，求
m
的范围。
解：因为有两个不同的根，所以由22
3
?
55
22
?
(?1)?4(m?1)?0?
??0
?
?m?
?
?
?
?
2
?
?
2
?
2
?
?1?m?1

2
?m?1?0
?
f(?1)
?
?
1?1
0
??1?m?1
?

35、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次 数是
1
的不等式．
36、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．
37、二元一次不等式（ 组）的解集：满足二元一次不等式组的
x
和
y
的取值构成有序数对
?
x,y
?
，所有这样的有序数对
?
x,y
?
构成的 集合．
38、在平面直角坐标系中，已知直线
?x??y?C?0
，坐标平面内的点
?
?
x
0
,y
0
?
．
①若??0
，
?x
0
??y
0
?C?0
，则点?
?
x
0
,y
0
?
在直线
?x??y ?C?0
的上方．
②若
??0
，
?x
0
??y< br>0
?C?0
，则点
?
?
x
0
,y
0
?
在直线
?x??y?C?0
的下方．
39、在平面直角坐标系中，已知直线
?x??y?C?0
．
（一）由B确定：
?C?
①若
??0
，则
?x??y0< br>表示直线
?x??y?C?0
上方的区域；
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
下方的区域．
?C?
②若
??0< br>，则
?x??y0
表示直线
?x??y?C?0
下方的区域；
?x??y?C?0
表
示直线
?x??y?C?0
上方的区域．
（二）由A的符号来确定：
先把x的系数A化为正后，看不等号方向：
①若是“>”号，则
?x??y?C?0
所表示的区域为直线l:
?x??y?C?0
的右边部分。
②若是“<”号，则
?x??y?C?0
所表示的区域为直线l:
?x??y?C?0
的左边部分。
（三）确定不等式组所表示区域的步骤：
①画线：画出不等式所对应的方程所表示的直线
②定测：由上面（一）（二）来确定
③求交：取出满足各个不等式所表示的区域的公共部分。
?
2x?y?5?0
?
例题：画出不等式组
?
y?3x?5
所表示的平面区域。
?
2y?x?5?0
?
解：略
40、线性约束条件：由
x
，
y
的不等式（或方程）组成的不等式组，是
x
，
y
的线性约束条

件．
目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量
x
，
y
的解析式．
线性目标函数：目标函数为
x
，
y
的一次解析式．
线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．
可行解：满足线性约束条件的解
?
x,y
?
．
可行域：所有可行解组成的集合．
最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．
41、设
a
、
b
是两个正数，则
几何平均数．
42、均值不等式定理： 若
a?0
，
b?0
，则
a?b? 2ab
，即
a?b
称为正数
a
、
b
的算术平均数，
ab
称为正数
a
、
b
的
2
a?b
?ab
．
2
a
2
?b
2
43、常用的基本不等式 ：①
a?b?2ab
?
a,b?R
?
；②
ab?
?
a,b?R
?
；③
2
22
?
a?b
?ab?
??
?
a?0,b?0
?
；
?
2?
a
2
?b
2
?
a?b
?
④
?
??
?
a,b?R
?
．
22
??
44 、极值定理：设
x
、
y
都为正数，则有：
2
2
s
2
⑴若
x?y?s
（和为定值），则当
x?y
时，积
xy
取得最大值．⑵若
xy?p
（积为定值），
4
则当
x ?y
时，和
x?y
取得最小值
2p
．
例题：已知
x?
解：∵
x?
5
1
，求函数
f(x)?4x?2?
的最大值。
4
4x?5
5
，∴
4x?5?0

4
由原式可以化为：

f(x)?4x?5?5?2?

1111
??(5?4x)??3??[( 5?4x)?]?3??(5?4x)??3??1
4x?55?4x5?4x5?4x

当
5?4x?
13
，即
(5?4x)
2
?1
?
x?1，或x?(舍去）
时取到“=”号
5?4x2
也就是说当
x?1
时有
f(x)
max
?2