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高中数学知识点总结(新课标大纲版)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 05:36
tags:高中数学知识点

学高中数学哪个软件好免费-评讲高中数学试卷思考



高中数学考点总结





一.集合与简易逻辑
1.注意区分集合中元素的形式.如:
{x|y?l gx}
—函数的定义域;
{y|y?lgx}
—函数的值域;

{(x,y)|y?lgx}
—函数图象上的点集.
2.集合的性质: ①任何一个集合
A
是它本身的子集,记为
A?A
.
②空集是任何集合的子集,记为
??A
.
③空集是任何非空集合的真子集;注意 :条件为
A?B
,在讨论的时候不要遗忘了
A??
的情况
如:
A?{x|ax
2
?2x?1?0}
,如果
A?R
?< br>??
,求
a
的取值.(答:
a?0
)
(A?B)?C?A?(B?C)

C
U
(A?B)?C
U
A?C
U
B
,
C
U
(A?B)?C
U
A?C
U
B
;;
(A?B)?C?A?(B?C)
.

A?B?A?A?B?B
?A?B?C
U
B?C
U
A?A?C
U
B???C
U
A?B?R
.

A?B
元素的个数:
card(A?B)?cardA?cardB?card(A ?B)
.
⑦含
n
个元素的集合的子集个数为
2
n;真子集(非空子集)个数为
2
n
?1
;非空真子集个数为
2< br>n
?2
.
3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。
如:已知函数
f(x)?4x
2
?2(p?2)x?2p
2< br>?p?1
在区间
[?1,1]
上至少存在一个实数
c
,使

f(c)?0
,求实数
p
的取值范围.(答:
(?3,)
)
2
3
4.原命题:
p?q
;逆命题:
q?p
;否命题:
?p??q
;逆否命题:
?q??p
;互为逆否的两
个命题是等价的.如:“
sin
?
?sin
?
”是“
?
?
?
”的 条件.(答:充分非必要条件)
5.若
p?q

q??p
,则p

q
的充分非必要条件(或
q

p
的必要非 充分条件).
6.注意命题
p?q
的否定与它的否命题的区别: 命题
p?q
的否定是
p??q
;否命题是
?p??q
.
命题“
p

q
”的否定是“
?p

? q
”;“
p

q
”的否定是“
?p

?q
”.
如:“若
a

b
都是偶数,则
a?b< br>是偶数”的否命题是“若
a

b
不都是偶数,则
a?b
是奇数”
否定是“若
a

b
都是偶数,则
a?b
是奇数”.
7.常见结论的否定形式

原结论 否定 原结论 否定

是 不是 至少有一个 一个也没有

都是 不都是 至多有一个 至少有两个


大于 不大于 至少有
n
个 至多有
n?1


小于 不小于 至多有
n
个 至少有
n?1


对所有
x
,成立 存在某
x
,不成立
p

q

?p

?q


对任何
x
,不成立 存在某
x
,成立
p

q

?p

?q


二.函数
1.①映射
f
:
A?B
是:⑴ “一对一或多对一”的对应;⑵集合
A
中的元素必有象且
A
中不
同元素在
B
中可以有相同的象;集合
B
中的元素不一定有原象(即象集
?B
).
②一一映射
f
:
A?B
: ⑴“一对一”的对应;⑵
A
中不同元素的象必不同,
B
中元素都有原象.
2.函数
f
:
A?B
是特殊的映射.特殊在定义域
A和值域
B
都是非空数集!据此可知函数图像与
x

的垂线至多有一个公共点,但与
y
轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个.
3.函数的三要素:定义域,值域,对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则.
4.求定义域:使函数解析式有意义(如:分母
?0
;偶次根式被开方数非负;对数真数?0
,底数
?0


?1
;零指数幂的底数
?0
);实际问题有意义;若
f(x)
定义域为
[a,b]
,复合 函数
f[g(x)]
定义
域由
a?g(x)?b
解出;若f[g(x)]
定义域为
[a,b]
,则
f(x)
定义域相当于
x?[a,b]

g(x)
的值域.
5.求值域常用方法: ①配方法(二次函数类);②逆求法(反函数法);③换元法(特别注意新元的范围).
④三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域;
⑤不等式法⑥单调性法;⑦数形结合:根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域;
⑧判别式法(慎用):⑨导数法(一般适用于高次多项式函数).
6.求函数解析式的常用方法:⑴待定系数法(已知所求函数的类型); ⑵代换(配凑)法;



⑶方程的思想---- 对已知等式进行赋值,从而得到关于
f(x)
及另外一个函数的方程组。
7.函数的奇偶性和单调性
⑴函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、图像法等;
⑵若
f(x)
是偶函数,那么
f(x)?f(?x)?f(|x|)
;定义域 含零的奇函数必过原点(
f(0)?0
);
⑶判断函数奇偶性可用定义的等价 形式:
f(x)?f(?x)?0

f(?x)
f(x)
??1(f (x)?0)

⑷复合函数的奇偶性特点是:“内偶则偶,内奇同外”.
注意:若判断较为复杂解析式函数的奇偶性,应先化简再判断;既奇又偶的函数有无数个
(如
f(x)?0
定义域关于原点对称即可).
⑸奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;
⑹确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题)等.
⑺复合函数单调性由“同增异减”判定. (提醒:求单调区间时注意定义域)
如:函数< br>y?log
1
(?x
2
?2x)
的单调递增区间是
_ ____________
.(答:
(1,2)
)
2
8.函数图象 的几种常见变换⑴平移变换:左右平移---------“左加右减”(注意是针对
x
而言) ;
上下平移----“上加下减”(注意是针对
f(x)
而言).⑵翻折变换:
f(x)?|f(x)|

f(x)?f(|x|)
.
⑶对称变换:①证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上.
②证明图像
C
1

C
2
的对称性,即证
C
1
上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在
C
2
上,反之亦然.
③函数
y?f(x)

y?f(?x)
的图像关于直线
x?0
(
y
轴)对称;函数
y?f(x)
与函数

y?f(?x)
的图像关于直线
y?0
(
x
轴)对称;
④若函数
y?f(x)

x?R
时,
f(a?x)? f(a?x)

f(x)?f(2a?x)
恒成立,则
y?f(x)
图像关
于直线
x?a
对称;
⑤若
y?f(x)< br>对
x?R
时,
f(a?x)?f(b?x)
恒成立,则
y?f (x)
图像关于直线
x?
⑥函数
y?f(a?x)
,
y?f(b?x)
的图像关于直线
x?
b?a
2
a?b
2< br>对称;
对称(由
a?x?b?x
确定);
对称;
f(x)?A?f(x)
2
⑦函数
y?f(x?a)

y?f(b?x)
的图像关于直线
x?
⑧函数
y?f(x)
,
y?A?f(x)
的图像关于直线
y?
A
2
a?b
2
对称(由
y?
确定);
⑨函数
y?f(x)

y??f(?x)
的图像关于原点成中心对称;函数
y?f(x)
,
y?n?f(m?x)

的图像关于点
(,)
对称;
22
mn
⑩函数
y?f(x)
与函数
y?f
?1
(x)
的图像关于直线
y?x
对称;曲线
C
1

f(x,y)?0
,关于

y?x?a
,
y ??x?a
的对称曲线
C
2
的方程为
f(y?a,x?a)?0(或
f(?y?a,?x?a)?0

曲线
C
1

f(x,y)?0
关于点
(a,b)
的对称曲线
C
2
方程为:
f(2a?x,2b?y)?0
.
9.函数的周期性:⑴若< br>y?f(x)

x?R

f(x?a)?f(x?a)
恒成立 ,则
f(x)
的周期为
2|a|

⑵若
y?f( x)
是偶函数,其图像又关于直线
x?a
对称,则
f(x)
的周期为
2|a|

⑶若
y?f(x)
奇函数,其图像又关于直线< br>x?a
对称,则
f(x)
的周期为
4|a|

⑷若
y?f(x)
关于点
(a,0)
,
(b,0)
对称,则
f(x)
的周期为
2|a?b|


y?f(x)
的图象关于直线
x?a
,
x?b(a?b)
对称,则函数
y ?f(x)
的周期为
2|a?b|


y?f(x)

x?R
时,
f(x?a)??f(x)

f(x?a)??1
f(x)
,则
y?f(x)
的周期为
2|a|
; < br>10.对数:⑴
log
a
b?log
a
n
b
n
(a?0,a?1,b?0,n?R
?
)
;⑵对数恒等式
a
log
a
N
?N(a?0,a?1,N?0)

⑶< br>log
a
(M?N)?log
a
M?log
a
N;l og
a
1
n
M
N
?log
a
M?log< br>a
N;log
a
M
n
?nlog
a
M

log
b
N
log
b
a

l og
a
n
M
?log
a
M
;⑷对数换底公式
log
a
N?
(a?0,a?1,b?0,b?1)



推论:
log
a
b?log
bc?log
c
a?1?log
a
1
a
2
?lo g
a
2
a
3
???log
a
n?1
an
?log
a
1
a
n
.
(以上
M?0,N?0,a?0,a?1,b?0,b?1,c?0,c?1,a
1
,a
2< br>,?a
n
?0

a
1
,a
2
,?a
n
均不等于
1
)
11.方程
k?f(x)
有解< br>?k?D
(
D

f(x)
的值域);
a?f(x)< br>恒成立
?a?[f(x)]
最大值
,

a?f(x)
恒成立
?a?[f(x)]
最小值
.
12.恒成立问题的处理方法:⑴分离参数法(最值法); ⑵转化为一元二次方程根的分布问题;
13.处理二次函数的问题勿忘数形结合;二次函数在闭区间上必有最值,求最值问题用“两看法”:
一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系;
14.二次函数解析式的三种形式: ①一般式:
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
;②顶点式:

f(x)?a(x?h)
2
?k(a?0)
; ③零点式:
f(x) ?a(x?x
1
)(x?x
2
)(a?0)
.
15.一元 二次方程实根分布:先画图再研究
??0
、轴与区间关系、区间端点函数值符号;
1 6.复合函数:⑴复合函数定义域求法:若
f(x)
的定义域为
[a,b]
, 其复合函数
f[g(x)]
的定义域可由
不等式
a?g(x)
?b
解出;若
f[g(x)]
的定义域为
[a,b]
,求
f (x)
的定义域,相当于
x?[a,b]
时,求

g(x)
的值域;⑵复合函数的单调性由“同增异减”判定.
17.对于反函数,应掌握以下一些结论:⑴定义域上的单调函数必有反函数;⑵奇函数的反函数
也是奇函数;⑶定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;⑷周期函数不存在反函数;
⑸互为反函数的两个函数在各自的定义域具有相同的单调性;⑹
y?f(x)

y?f
?1
(x)
互为
反函数,设
f(x)
的定义域为A
,值域为
B
,则有
f[f
?1
(x)]?x(x?B )
,
f
?1
[f(x)]?x(x?A)
.
18.依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题:
?
f(a)?0
?
f(a)?0

f(u)?g(x)u ?h(x)?0
(或
?0
)
(a?u?b)
?
?
( 或
?
);
f(b)?0
f(b)?0
?
?
19. 函数
y?
ax?b
(c?0,ad?bc)
的图像是双曲线:①两渐近线分别 直线
x??
d
(由分母为零确定)和
cx?dc
直线
y?
a
(由分子、分母中
x
的系数确定);②对称中心是点
(?d
,
a
)
;③反函数为
y?
b?dx
ccccx?a
20.函数
y?ax?(a?0,b?0)
:增区间为
( ??,?
x
b
b
a
],[
b
a
,??)< br>,减区间为
[?
,
b
a
,0),(0
,
b< br>a
]
.
1
如:已知函数
f(x)?
三.数列
ax?1
x?2
在区间
(?2,??)
上为增函数,则实数
a
的取值范围是
_____
(答:
(,??)
).
2?
?
S
1
(n?1)
1.由
S
n
求< br>a
n
,
a
n
?
?
注意验证
a
1
是否包含在后面
a
n
的公式中,若不符合要
*
S?S(n?2,n?N)
?
n?1
?
n
54(n?1)
单独列出.如:数列
{a
n
}
满足
a
1
?4,S
n
?S
n?1
?a
n?1
,求
a
n
(答:
a
n
?
).
3?4
n?1
(n?2)
3
?
2.等差数列
{a
n
}?a
n
?a
n?1
?d
(
d
为常数)
?2a< br>n
?a
n?1
?a
n?1
(n?2,n?N*)


?a
n
?an?b(a?d,b?a
1
?d)?Sn
?An
2
?Bn(A?,B?a
1
?)

22
dd
3.等差数列的性质: ①
a
n
?a
m< br>?(n?m)d
,
d?
a
m
?a
n
m?n< br>;

m?n?l?k?a
m
?a
n
?a
l
?a
k
(反之不一定成立);特别地,当
m?n?2p
时,有< br>a
m
?a
n
?2a
p

③若
{a
n
}

{b
n
}
是等差数列,则
{k a
n
?tb
n
}
(
k

t
是非零 常数)是等差数列;
④等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即
S
m
,S
2m
?S
m
,S
3m
?S
2m
,??
仍是等差数列;
⑤等差数列
{a
n
}
,当项 数为
2n
时,
S

?S

?nd
,
S

?
a
n
;项数为
2n?1
时,
S

a
n?1

S

?S

?a

?a
n
(n?N*)
,
S
2n? 1
?(2n?1)a
n
,且
S

?
n
;< br>A
n
?f(n)?
a
n
?f(2n?1)
.
S

n?1
B
n
b
n
⑥首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前n项和的最大(或最小)问题,转化为解不等式



?
a
n
?0
?
a
n
?0

?
(或
?
).也可用
S
n
?An
2
?Bn
的二次函数关系来分析.
?
a
n?1
?0
?
a
n?1
?0
⑦若
a
n
?m,a
m
?n(m?n)
,则
a
m?n
?0
;若
S
n
?m,S
m
?n(m?n)
,则
S
m?n
??(m?n)


Sm
?S
n
(m?n)
,则S
m+n
=0;S
3 m
=3(S
2m
-S
m
);
S
m?n
?S
m
?S
n
?mnd
.
4.等比数列
{a
n
}?
5.等比数列的性质
a
n
?a
m
q
n?m
,
q?
n?m< br>a
n
;②若
{a
n
}

{b
n}
是等比数列,则
{ka
n
}

{a
n
b
n
}
等也是等比数列;
a
m
a
n?1
a
n
2
?q(q?0)?a
n
?a
n?1
an?1
(n?2,n?N*)?a
n
?a
1
q
n?1< br>.
?
na
1
(q?1)
?
na
1
(q?1)
??

S
n
?
?
a
(1? q
n
)
a
?
a
q
;④
m?n?l?k?a
m
a
n
?a
l
a
k
(反之不一定成 ?
?
a
1
n
a
1
1n
1
?< br>1?q
?
1?q
(q?1)
?
?
1?q
q?
1?q
(q?1)
?
?
立);
S
m?n?S
m
?q
m
S
n
?S
n
?q
n
S
m
. ⑤等比数列中
S
m
,S
2m
?S
m
,S
3m
?S
2m
,??
(注:各项均不为 0)
仍是等比数列. ⑥等比数列
{a
n
}
当项数为
2n
时,
S

S

?q
;项数为
2n? 1
时,
S

?a
1
S

?q
.
6.①如果数列
{a
n
}
是等差数列,则数列
{A
a
n
}
(
A
a
n
总有意义)是等比数列;如果数列
{a
n
}
是等比数列,
则数列
{log
a
|a
n
|}(a?0,a?1)
是等差数列;
②若
{a
n
}
既是等差数列又是等比数列,则
{a
n
}
是非零常数数列;
③如果两个等差数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差数列,且新数列的公差
是原两个等差数列公差的最小公倍数;如果一个等差数列和一个等比数列有公共项,那么由他们的
公共项顺次组成的数列是等比数列,由特殊到一般的方法探求其通项;
④三个数成等差的设法:< br>a?d,a,a?d
;四个数成等差的设法:
a?3d,a?d,a?d,a?3d
三个数成等比的设法:
,a,aq
;四个数成等比的错误设法:q
aa
q
,,aq,aq
3
(为什么?)
3
q
a
7.数列的通项的求法:⑴公式法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式.
?
S
1
,(n?1)
⑵已知
S
n
(即
a
1
?a
2
???a
n
?f(n)
)求< br>a
n
用作差法:
a
n
?
?
.
S? S,(n?2)
n?1
?
n
?
?
f(1),(n?1) ⑶已知
a
1
?a
2
???a
n
?f(n)

a
n
用作商法:
a
n
?
?
f( n)
,(n?2)
.
?
?
f(n?1)
a
⑷ 若
a
n?1
?a
n
?f(n)

a
n用迭加法. ⑸已知
n?1
?f(n)
,求
a
n
用迭乘法.
a
n
⑹已知数列递推式求
a
n
,用构造法(构造等差、 等比数列):①形如
a
n
?ka
n?1
?b
,
a< br>n
?ka
n?1
?b
n
,

an
?ka
n?1
?a?n?b
(
k,b
为常数)的递推 数列都可以用待定系数法转化为公比为
k
的等比数列后,
再求
a< br>n
.②形如
a
n
?
a
n?1
ka
n ?1
?b
的递推数列都可以用 “取倒数法”求通项.
8.数列求和的方法:①公式法:等差数列,等比数列求和公式;②分组求和法;③倒序相加;④错位
相减;⑤分裂通项法.公式:
1?2?3???n?n(n?1)

1< br>2
?2
2
?3
2
???n
2
?n(n?1) (2n?1)

26
11

1
3
?2
3
?3
3
???n
3
?[

1
n(n? k)
n(n?1)
2
]
2

1?3?5???n?n
2
;常见裂项公式
1
1
n(n?1)
1
n!
?< br>1
1
n
?

1
n?1

?(?< br>kn
111
n?k
)

n(n?1)(n?1)
?[
2
11
2n(n?1)
?
1
(n?1)(n?2)
]

n
(n?1)!
??
(n?1)!
常见放缩公式:
2(
n?1
?
n
)?
n?1?n
?
1n
?
2
n?n?1
?2(
n
?
n?1
)
.
9.“分期付款”、“森林木材”型应用问题
⑴这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中,务必“卡手指”,细心计算



“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题,则常选用“统一法”统一到“最后”解决.
⑵利率问题:①单利问题:如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型:若每期存入本金
p
元,每 期利
率为
r
,则
n
期后本利和为:
S
n
?p(1?r)?p(1?2r)??p(1?nr)?p(n?
n(n?1)
2r)
(等差数列问
题);②复利问题:按揭贷款的分期等额还款(复利)模型: 若贷款(向银行借款)
p
元,采用分期等
额还款方式,从借款日算起,一期 (如一年)后为第一次还款日,如此下去,分
n
期还清.如果每期利
率为
r
(按复利),那么每期等额还款
x
元应满足:
n

p(1?r)?x(1?r)
n?1
?x(1?r)
n?2
???x (1?r)?x
(等比数列问题).
四.三角函数
1.
?
终边与
?
终边相同
?
?
?
?
?2k
?
( k?Z)

?
终边与
?
终边共线
?
?
?< br>?
?k
?
(k?Z)

?
终边
?
终边关于
x
轴对称
?
?
??
?
?k
?
(k?Z)

?
终边与
?
终边关于
y< br>轴对称

?
?
?
?
?
?
?2k
?
(k?Z)

?
终边与
?
终边关于原点对称?
?
?
?
?
?
?2k
?
(k?Z)< br>;

?
终边与
?
终边关于角
?
终边对称
?
?
?2
?
?
?
?2k
?
(k? Z)
.
2.弧长公式:
l?|
?
|r
;扇形面积公式:< br>S
扇形
?
1
lr?
1
|
?
|r2

1
弧度(
1rad
)≈
57.3?
.
22
3.三角函数符号(“正号”)规律记忆口诀:“一全二正弦,三切四余弦”.
注意:
tan15??cot75??2?
3

tan75??cot15 ??2?
3

4.三角函数同角关系中(八块图):注意“正、余弦三兄妹
0

sinx?cosx

sinx?cosx
”的关系.

(sinx?cosx)
2
?1?2sinxcosx
等.
?1
5.对于诱导公式,可用“奇变偶不变,符号看象限”概括;
(注意:公式中始终视)
...
?

为锐角
....
?2
1
2
2
1
0
?1
1
1
0
?1
0
?1
6.角的变换:已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角
与其倍角或半角、两角与其和差角等变换.
?2
sin
?
?cos
?
sin
?
?cos
?
如:
?
?(
?
?
?
)?
?

2
?
?(
?
?
?
)?(
?
?
?
)

2
?< br>?(
?
?
?
)?(
?
?
?
)

?
?
?
?2?
222
?
?
?
2


?
?
?
?(
?
?
?< br>)?(
?
?
?
)
等;“
1
”的变换:
1?sin
2
x?cos
2
x?tanx?cotx?2sin30??t an45?

7.重要结论:
asinx?bcosx?
a
2?b
2
sin(x?
?
)
其中
tan
?
?
);重要公式
sin
2
?
?
1?cos2
?< br>;
cos
2
?
?

a
b
2

1?cos2
?
2

tan
?
2
??1?cos
?
1?cos
?
?
sin
?
1?c os
?
?
1?cos
?
sin
?
2
2
1?sin
?
?(cos?sin)
2
?|cos?sin|
.
2222
????
万能公式:
sin2
?
?
2tan
?
1?tan
?
2

cos2
?
?
1?tan
?
1?tan
?
?
2
;< br>tan2
?
?
?
?
2tan
?
1?tan< br>?
2
.
k
?
?
?
k
?
?
8.正弦型曲线
y?Asin(
?
x?
?
)
的对称 轴
x?
?
k
?
?
?
(k?Z)
;对称中心
(
?
?
2
,0)(k?Z)

k
?
??
?
余弦型曲线
y?Acos(
?x?
?
)
的对称轴
x?
?
(k?Z)
;对称中 心
(
a
sinA
?
,0)(k?Z)

bcsinC
9.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式,正、余弦定理,处理三角形内的三角函数问 题勿忘三
内角和等于
180?
,一般用正、余弦定理实施边角互化;正弦定理:
余弦定理:
a?b?c?2bccosA,cosA?
222
?
sinB
??2 R

b?c?a
2bc
222
?
(b?c)?a
2bc
22
?1

2S
?ABC
a?b?c
正弦平方差公式:
sin
2
A?sin
2
B?sin(A?B)si n(A?B)
;三角形的内切圆半径
r?
面积公式:
S
?
?absinC?
2
1abc
4R

;射影定理:
a?bcosC?ccosB
.
10.
?ABC中,易得:
A?B?C?
?
,①
sinA?sin(B?C)
,
cosA??cos(B?C)
,
tanA??tan(B?C)
.




sin
A
2
?cos< br>B?C
2
,
cos
A
2
?sin
2
B?C
2
,
tan
A
2
?cot
B?C
2
. ③
a?b?A?B?sinA?sinB

④锐角
?A BC
中,
A?B?
?
,
sinA?cosB,cosA?cosB< br>,
a
2
?b
2
?c
2
,类比得钝角
?ABC
结论.
?

tanA?tanB?tanC?tanAtanBtanC
.
11.角的范围: 异面直线所成角
(0,]
;直线与平面所成角
[0,]
;二面角和两向量的夹 角
[0,
?
]
;直线
22
?
的倾斜角[0,
?
)

l
1

l
2
的 角
[0,
?
)

l
1

l
2的夹角
(0,]
.注意术语:坡度、仰角、俯角、方位角等.
2
?


五.平面向量
????????
1.设
a?(x
1
,y
1
)
,
b?(x
2
,y
2
)
. (1)
ab?x
1
y
2
? x
2
y
1
?0
;(2)
a?b?a?b?0?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
.
??? ??
2.平面向量基本定理:如果
e
1

e
2
是同 一平面内的两个不共线的向量,那么对该平面内的任一向
?
??????
a
,有且只有一对实数
?
1

?
2
,使
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2.
???
??????
3.设
a?(x
1
,y
1
)
,
b?(x
2
,y
2
)
,则
a?b?|a||b|cos
?
?x
1
x
2
?y
1
y
2
;其几何意义是
a?b
等于
a
的长度 ??
????
?
a?b
xx?y
1
y
2

b

a
的方向上的投影的乘积;
a

b< br>的方向上的投影
|a|cos
?
?
?
?
12
.
22
|b|
x
2
?y
2
???
??? ?
????????
AB
4.三点
A

B

C
共线
?AB

AC
共线;与
AB
共线的单位向 量
?
???
.
|AB|
??
??
x
1< br>x
2
?y
1
y
2
a?b
5.平面向量数量积 性质:设
a?(x
1
,y
1
)
,
b?(x
2
,y
2
)
,则
cos
?
?
??
?
;注意:
2222
|a||b|
x
1
?y
1
x
2
?y
2
????
??????
??????< br>
?a,b?
为锐角
?a?b?0
,
a,b
不同向;
?a,b?
为直角
?a?b?0

?a,b?
为钝角
?a?b?0
,
a,b
不反向.
?????????
?????
6.
a?b
同向或有
0?|a?b|?|a|?|b|?|a|?|b|?| a?b|

a?b
反向或有
0

???????????? ??
??
?|a?b|?|a|?|b|?|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|?| a?b|?|a|?|b|
. ;
a?b
不共线
????
7.平 面向量数量积的坐标表示:⑴若
a?(x
1
,y
1
)
,b?(x
2
,y
2
)
,则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2

?
?
2
??
????
22

|AB| ?(x
1
?x
2
)?(y
1
?y
2
); ⑵若
a?(x,y)
,则
a?a?a?x
2
?y
2
.
?
?0
;当点
P
在线段
P
8.熟 记平移公式和定比分点公式. ①当点
P
在线段
P
1
P
2< br>上时,
1
P
2
(或
P
2
P
1
)
x
1
?
?
x
2
x
1
?x< br>2
?
?
x?
x?
?
?
??
1??
2
(
?
??1)(
?
?1)
. 则
?
, 中点坐标公式:
?
y?
?
y
y?y
2
?
y?
1
?
y?
12
?
?
1 ?
?
2
?
?
?????????????

P< br>1
,
P
,
P
2
三点共线
?
存在实数
?

?
使得
OP?
?
OP?
?
O P
12

?
?
?
?1
.
|AB||AC ||AB||AC|
????????
?
??1
?1?
?
? 0
延长线上时,或.②分点坐标公式:若
PP?
?
PP
2
;且
P
1
(x
1
,y
1
)
,
P( x,y)
P
2
(x
2
,y
2
)

1
????????????
????????
ABACABAC
9.三角 形中向量性质:①
AB?AC

BC
边的中点:
(
???< br>?
???
)?(
???
?
???
)


PG?(PA?PB?PC)?GA?GB?GC?0?G

?ABC
的重心;
3
????????????????????????
???? ?????????????????????

PA?PB?PB?PC?PA?PC?P

?ABC
的垂心; ④
|BC|PA?|CA|PB?|AB|PC?0?P

??????
ABAC

?ABC
的内心;
?
(
???
?
???
)(
?
?0)
所在直线过?ABC
内心. ⑤设
A(x
1
,y
1
),B( x
2
,y
2
)
,
|AB||AC|
????1
?????????????????????????

S
? AOB
?
1
2
1
x
A
y
B
?x< br>B
y
A
.
S
?ABC
?|AB||AC|sinA ?
1
|AB|
2
|AC|
2
?(AB?AC)
2< br>.
2
2
????????????????????????


?????????????
O
⑥为
?ABC
内 一点,则
S
?BOC
OA?S
?AOC
OB?S
?AOB< br>OC?0
.
??
?
x
?
?x?h
???? ?
按a?(h,k)平移按a?(h,k)平移
10.
P(x,y)?????
(
PP
?
?a
);
y?f(x)??????P
?
(x
?
,y
?
)
,有
?
?y?k?f(x?h)
.
?
y?y?k
?
六.不等式
1.掌握课本上的几个不等式性质,注意使用条件,另外需要特别注意:
①若
ab?0
,
b?a
,则
1
a

?
.即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变.
b
1
②如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论.
2.掌握几类不等式(一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式)的解法,尤其注意
用分类讨论的思想解含参数的不等式;勿忘数轴标根法,零点分区间法.
22
3 .掌握重要不等式,(1)均值不等式:若
a,b?0
,则
a?b
?
a?b
?
ab
?
2
1
?
1
ab
2 2
(当且仅当
a?b

取等号)使用条件:“一正二定三相等 ” 常用的方法为:拆、凑、平方等;(2)
a,b,c?R


a?b?c ?ab?bc?ca
(当且仅当
a?b?c
时,取等号);(3)公式注意变形如:< br>
ab?(
a?b
2
222
a?b
2
22
?(
a?b
2
)
2
,
)
2
;( 4)若
a?b?0,m?0
,则
?
a
bb?m
a?m
(真分数的性质);
4.含绝对值不等式:
a,b
同号或有
0
? |a?b|?|a|?|b|?|a|?|b|?|a?b|

a,b
异号或有
0


?|a?b|?|a|?|b|?|a|?|b|?|a?b|
.
5.证明不等式常用方法:⑴比较法:作差比较:
A?B?0?A?B
.注意:若两个 正数作差比较有困
难,可以通过它们的平方差来比较大小;⑵综合法:由因导果;⑶分析法:执果索因.基本步骤:要证…
需证…,只需证…; ⑷反证法:正难则反;⑸放缩法:将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的.
放缩法的方法有: ①添加或舍去一些项,如:
a
2
?1
?|a|

n(n?1 )
?n
.②将分子或分母放大(或缩小)
③利用基本不等式,如:
n(n?1)
?

2
0
?
k
11
k?1
n?(n?1)
2
1
k?1< br>.④利用常用结论:
1
0

k?1
?
k
?< br>1
1
k?1?k
?
1
2k

?
1
(k?1)k
?
1
k
2
?
1
(k?1)k
?
0
?
(程度大);
3

1
k
2
k
?
1
k?1
2
?(
11
2k?1
?
1
k?1
)
(程度小);
⑹换元法:换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元
代数换元.如:知
x
2
?y
2
?a
2
,可设
x?acos
?
,y?asin
?
;知
x
2
?y
2
?1
,可设
x?rcos
?
,
y?rsin?

(
0?r?1
);知
x
a
2
2
?
y
b
2
2
?1
,可设
x?acos< br>?
,y?bsin
?
;已知
x
a
2
2
?
y
b
2
2
?1
,可设
x?asec
?
,y?btan
?
.
⑺最值法,如:
a?f(x)
最大 值
,则
a?f(x)
恒成立.
a?f(x)
最小值
,则a?f(x)
恒成立.
k

七.直线和圆的方程
1.直线的倾斜角
?
的范围是
[0,
?

2.直线的倾斜角与斜率的变化关系
k?tan
?
(
?
?)(如右图):
2
?
O

?

?

?

3.直线方程五种形式:⑴点斜式:已知直线过点
(x
0
,y
0
)
斜率为
k
,则直线
方程为
y?y
0
?k(x?x
0
)
,它不包括垂直于
x
轴的直线 .⑵斜截式:已知直线在
y
轴上的截距为
b

和斜率
k
,则直线方程为
y?kx?b
,它不包括垂直于
x
轴的直线. ⑶两点式:已知直线经过

P
1
(x
1
,y
1
)

P
2
(x
2
,y
2
)
两点,则直线方程为
y?y
1
y
2
?y
1
?x?x
1
x
2
?x
1
,它不包括垂直于坐标轴的直线.
xy
b
⑷截距式:已知直线在
x
轴和
y
轴上的 截距为
a,b
,则直线方程为
?
a
?1
,它不包括垂直于坐 标
轴的直线和过原点的直线.⑸一般式:任何直线均可写成
Ax?By?C?0
(
A,B
不同时为0)的形式.
提醒:⑴直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截距式呢?)
⑵直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为
0
.直线两截距相等
?
直线的斜 率为
?1
或直线过
原点;直线两截距互为相反数
?
直 线的斜率为
1
或直线过原点;直线两截距绝对值相等
?



直线的斜率为
?1
或直线过原点.
⑶截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形.
4.直线
l
1
: A
1
x?B
1
y?C
1
?0
与直线
l2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
的位 置关系:
⑴平行
?
A
1
B
2
?A
2
B
1
?0
(斜率)且
B
1
C
2
?B
2
C
1
?0
(在
y
轴上截距);
⑵相交
?
A
1
B
2
?A
2
B
1< br>?0
;(3)重合
?
A
1
B
2
?A
2
B
1
?0

B
1
C
2
?B2
C
1
?0
.
5.直线系方程:①过两直线
l
1

A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2

A
2
x?B
2
y?C
2
?0
.交点的直线系方程可设

A
1
x?B
1
y?C
1
?
?
(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0
;②与直线
l:Ax?By?C?0
平行的直线系 方程可设为

Ax?By?m?0(m?c)
;③与直线
l:Ax?By ?C?0
垂直的直线系方程可设为
Bx?Ay?n?0
.
6.到角和夹角公 式:⑴
l
1

l
2
的角是指直线
l
1绕着交点按逆时针方向转到和直线
l
2
重合所转的角
?
,

?
?(0,
?
)

tan
?
?
k
2
?k
1
1?k
1
k
2
( k
1
k
2
??1)

?
k
2
? k
1
1?k
1
k
2
2

l
1

l
2
的夹角是指不大于直角的角
?
,
?
?(0,]

tan
?
?|
2
|(k
1
k
2
??1)
.

.
7.点
P(x
0
,y
0
)
到直线
Ax?By?C?0
的距离公式
d ?
Ax
0
?By
0
?C
A?B
2
两条 平行线
Ax?By?C
1
?0

Ax?By?C
2
?0
的距离是
d?
C
1
?C
2
22
A?B
x?x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3
8.设三角形
?ABC
三顶点
A(x
1
,y1
)
,
B(x
2
,y
2
)
,
C(x
3
,y
3
)
,则重心
G(
1
,)< br>;
33
9.有关对称的一些结论
⑴点
(a,b)
关于
x
轴、
y
轴、原点、直线
y?x
的对称点分别是
( a,?b)
,
(?a,b)
,
(?a,?b)
,
(b,a)
.
⑵曲线
f(x,y)?0
关于下列点和直线对称的曲线方程为:①点
(a,b)

f(2a?x,2b?y)?0


x
轴:
f(x,?y)?0
;③
y
轴:
f(?x,y)?0
;④原点:
f(?x,?y)?0
;⑤直线
y?x


f(y,x)?0
;⑥直线
y??x

f(?y,?x)?0
;⑦直线
x?a

f(2a?x,y)?0
.
10.⑴圆的标准 方程:
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
. ⑵圆的一般方程:

x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0 (D
2
?E
2
?4F?0)
.特别提醒:只有当
D
2
?E
2
?4F?0
时,方程

x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
才表示圆心为
(?
22
D2
,?)
,半径为
2
E
1
2
D?E?4F的圆(二元二次方程
22

Ax?Bxy?Cy?Dx?Ey?F?0
表示圆
?A?C?0
,且
B?0,D
2
?E
2
? 4AF?0
).
?
x?a?rcos
?
⑶圆的参数方程:?
(
?
为参数),其中圆心为
(a,b)
,半径为
r< br>.圆的参数方程主要应用是
?
y?b?rsin
?
三角换元:< br>x
2
?y
2
?r
2
?x?rcos
?
,y?rsin
?

x
2
?y
2
?t
2
?x?rcos
?
,y?rsin
?
(0?r?t)
.
⑷以
A(x
1
,y
1
)

B(x2
,y
2
)
为直径的圆的方程
(x?x
1
)( x?x
2
)?(y?y
1
)(y?y
2
)?0

11.点和圆的位置关系的判断通常用几何法(计算圆心到直线距离).点
P(x
0< br>,y
0
)
及圆的方程

(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
.①
(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
?r
2
?

P
在圆外;

(x
0
?a)
2
?(y0
?b)
2
?r
2
?

P
在圆内;③
(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
?r
2
?

P
在圆上.
12.圆上一点的切线方程:点
P(x
0
,y
0
)
在圆
x
2
?y
2
?r
2
上,则过点
P
的切线方程为:
x
0
x?y
0
y?r
2

过圆
(x?a)< br>2
?(y?b)
2
?r
2
上一点
P(x
0< br>,y
0
)
切线方程为
(x
0
?a)(x?a)?(y
0
?b)(y?b)?r
2
.
13.过圆外一点作圆的切线,一定 有两条,如果只求出了一条,那么另外一条就是与
x
轴垂直的直线.
14.直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理,构造直角三角形解
决弦长问题.①
d?r?
相离 ②
d?r?
相切 ③
d?r?
相交
15.圆与圆的位置关系,经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之 间的关系.设两圆的圆心距为
d
,
两圆的半径分别为
r,R

d?R?r?
两圆相离;
d?R?r?
两圆相外切;
|R?r|?d?R?r?

圆相交;
d?|R?r|?
两圆相内切;
d?|R?r|?
两圆内含;
d?0?
两圆同心.
16.过圆C
1

x
2
?y
2
?D
1
x ?E
1
y?F
1
?0
,
C
2

x
2
?y
2
?D
2
x?E
2
y?F
2
?0
交点的圆(相交弦)系方程

(x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F
1
)?
?(x
2
?y
2
?D
2
x?E
2
y?F
2
)?0
.
?
??1
时为两圆相交弦所在直线方程.



17.解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成
直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等).
18.求解线性规划问题的 步骤是:(1)根据实际问题的约束条件列出不等式;(2)作出可行域,写出目标
函数(判断几何意义);(3)确定目标函数的最优位置,从而获得最优解.
八.圆锥曲线方程 x
2
y
2
1.椭圆焦半径公式:设
P(x
0
, y
0
)
为椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
上任一点,焦点为
F
1
(?c,0)
,
F
2
(c, 0)
,
ab

PF
1
?a?ex
0
,PF
2
?a?ex
0
(“左加右减”);
x
2
y
2
2.双曲线焦半径:设
P(x
0
,y
0
)为双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
上任一点,焦点为F
1
(?c,0)
,
F
2
(c,0)
,
ab
则:⑴当
P
点在右支上时,
|PF
1
|? a?ex
0
,|PF
2
|??a?ex
0
;⑵当
P
点在左支上时,
|PF
1
|??a?ex
0
,
x
2
y
2
x
2
y
2

|PF
2
|?a?ex
0
;(
e
为离心率).另:双曲线< br>2
?
2
?1(a?0,b?0)
的渐近线方程为
2
?
2
?0
.
abab
2
3.抛物线焦半径公式:设
P(x
0
,y
0
)
为抛物线
y?2px(p?0)
上任意一点,
F
为焦点,则

|PF|?x
0
?
p
2

y
2
??2px(p?0)
上任意一点,
F
为焦点,则
|PF|??x
0
?
b
p
2
.
x
2
y
2
4.共渐近线
y??x
的双曲线标准 方程为
2
?
2
?
?
(
?
为参数,
?
?0
).
ab
a
5.两个常见的曲线系方程: ⑴过曲线
f
1
(x,y)?0
,
f
2
(x,y)?0
的交 点的曲线系方程是
x
2
y
2
?
2
?1
,其中
f
1
(x,y)?
?
f
2
(x,y)?0
(
?
为参数).⑵共焦点的有心圆锥曲线系方程
2
a?kb?k
222222

k?max{a,b}
.当
k?min{a,b}
时,表示椭圆 ;当
min{a,b}?k?max{a
2
,b
2
}
时,表 示双曲线.
6.直线与圆锥曲线相交的弦长公式
AB?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2

AB?1?k
2
|x
1
?x
2
|


?(1?k
2
)[(x
1
?x
2
)< br>2
?4x
1
x
2
]?1?
?
y?kxc?b
1
A(x,y),B(x,y)
(弦端点,由方程消去
|y
1?y
2
|
?
1122
2
k
?
F(x, y)?0
2
2

y
得到
ax?bx?c?0
,< br>??0
,
k
为斜率). 这里体现了解几中“设而不求”的思想;
7 .椭圆、双曲线的通径(最短弦)为
2b
a
,焦准距为
p?
b
2
c
,抛物线的通径为
2p
,焦准距为
p

x
2
y
2
双曲线
2
?
2
?1 (a?0,b?0)
的焦点到渐近线的距离为
b

ab
8.中心在 原点,坐标轴为对称轴的椭圆,双曲线方程可设为
Ax
2
?By
2
? 1
(对于椭圆
A?0,B?0
);
9.抛物线
y?2px(p?0 )
的焦点弦(过焦点的弦)为
AB
,
A(x
1
,y
1
)

B(x
2
,y
2
)
,则有如下结论 :

|AB|?x
1
?x
2
?p
;⑵< br>x
1
x
2
?
p
2
2
4
,< br>y
1
y
2
??p
2
; ⑶
???
?
???
?
|AF||BF|
112
p
.
x
2
y
2
10.椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)< br>左焦点弦
|AB|?2a?e(x
1
?x
2
)
,右焦 点弦
|AB|?2a?e(x
1
?x
2
)
.
ab
2
y
0
2
11.对于
y?2px(p?0)
抛物线 上的点的坐标可设为
(,y
0
)
,以简化计算.
2p
x< br>2
y
2
12.圆锥曲线中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差 法”求解.在椭圆
2
?
2
?1
中,
ab
2
22
bx
xy

P(x
0,y
0
)
为中点的弦所在直线斜率
k??
2
0
;在双曲线
2
?
2
?1
中,以
P(x
0
, y
0
)
为中点的弦所
ab
ay
0
b
2
x
0
p
在直 线斜率
k?
2
;在抛物线
y
2
?2px(p?0)
中,以
P(x
0
,y
0
)
为中点的弦所在直线的斜率
k?
.
y
0
ay
0
13.求轨迹方程的常用方法:
⑴直接法:直接通过建立
x

y
之间的关系,构成
F (x,y)?0
,是求轨迹的最基本的方法.



⑵待定系数法:可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可.
⑶代入法(相关点法或转移法).
⑷定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方程.
⑸交轨法(参数法):当动点
P(x,y)
坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用 时,可考虑

x

y
均用一中间变量(参数)表示,得 参数方程,再消去参数得普通方程.
14.解析几何与向量综合的有关结论:
??
n
⑴给出直线的方向向量
u?(1,k)

u?( m,n)
.等于已知直线的斜率
k
或;
m
⑵给出
OA ?OB

AB
相交,等于已知
OA?OB

AB
的 中点;
?
⑶给出
PM?PN?0
,等于已知
P

MN
的中点;
????????????????
⑷给出
AP?AQ?
?
(B P?BQ)
,等于已知
P,Q

AB
的中点三点共线;
????????????
????????


给出以下情形之一: ①
ABAC
; ②存在实数
?
,使
AB?
?
AC
; ③若存在实数
?
,
?
,

?
?
?
?1
;使
OC?
?
OA?
?
OB
,等 于已知
A,B,C
三点共线.
??????
????
OA?
?
OB
⑹给出
O P?
,等于已知
P

AB
的定比分点,
?
为定比, 即
AP?
?
PB

1?
?
⑺给出
MA ?MB?0
,等于已知
MA?MB
,即
?AMB
是直角,给出
MA?MB?m?0
,等于已

?AMB
是钝角或反向共线,给 出
MA?MB?m?0
,等于已知
?AMB
是锐角或同向共线.
? ??????
????
MAMB
???????
?)?MP
,等于已 知
MP

?AMB
的平分线.
⑻给出
?
(
|
MA
||
MB
|
⑼在平 行四边形
ABCD
中,给出
(AB?AD)?(AB?AD)?0
,等于已知
ABCD
是菱形.
????????????????
⑽在平行四边形
ABCD
中,给出
|AB?AD|?|AB?AD|
,等于已知
AB CD
是矩形.
222



?ABC
中,给出
OA?OB?OC
,等于已知
O

?ABC
的外心(三角形 的外心是外接圆
的圆心,是三角形三边垂直平分线的交点).


?ABC
中,给出
OA?OB?OC?0
,等于已知
O

?ABC
的重心(三角形的重心是三角形
三条中线的交点).
⒀在
?ABC
中,给出
OA?OB?OB?OC?OC?OA
, 等于已知
O

?ABC
的垂心(三角形的垂心
是三角形三条高的交点).
??????
ABAC
?
⒁在
?A BC
中,给出
OP?OA?
?
(
???
?
???< br>)
(
?
?R
)
等于已知
AP
通过
? ABC
的内心.
|AB||AC|
⒂在
?ABC
中,给出a?OA?b?OB?c?OC?0,
等于已知
O

?ABC
的 内心(三角形内切圆
的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点).
⒃在
?ABC
中,给出
AD?(AB?AC)
,等于已知
AD

?ABC

BC
边的中线.
2
????
1
????????
九.直线、平面、简单几何体 1.从一点
O
出发的三条射线
OA

OB

O C
.若
?AOB??AOC
,则点
A
在平面
BOC
上的射影在

?BOC
的平分线上;
2.立平斜三角余弦公式:(图略 )
AB
和平面所成的角是
?
1
,
AC
在平面内,< br>AC

AB
的射影
AB
1

?
2< br>,

?BAC?
?
3
,则
cos
?< br>1
cos
?
2
?cos
?
3

3.异面直线所成角的求法:⑴平移法:在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的平行线.
⑵补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,其目的在
于容易发现两条异面直线间的关系;
4.直线与平面所成角:过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,是产生线面角的关键.
5. 二面角的求法:⑴定义法;⑵三垂线法;⑶垂面法;⑷射影法:利用面积射影公式
S

?S

cos
?

其中
?
为平面角的大小,此方法不必在图形中画出平面角;
6.空间距离的求法:⑴两异面直线间的距离,高考要求是给出公垂线,所以一般先利用垂直作出公垂
线,然后再进行计算.⑵求点到直线的距离,一般用三垂线定理作出垂线再求解.



⑶求点到平面的距离,一是用垂面法,借助面面垂直的性质来作.因此,确定已知面的垂面是关键;
二是不作出公垂线,转化为求三棱锥的高,利用等体积法列方程求解.
??
7.用向量方法求 空间角和距离:⑴求异面直线所成的角:设
a

b
分别为异面直线
a

b
的方向向量,
??
??
|a?b|
??l
?
?arccos
则两异面直线所成的角
.⑵求线面角:设l
是斜线的方向向量,
n
是平面
?

??
?
法向量,则斜线
l
与平面
?
所成的角< br>?
?arcsin
??
. ⑶求二面角(法一)在
?

a?l
,在
?

|l ?n|
|a|?|b|
??
?
??????
a?b
b?l
,其方向如图(略),则二面角
?
?l?
?
的平面角?
?arccos
??
.(法二)设
n
1
,
n
2
是二面角
|a|?|b|
|l|?|n|

?
?l?
?
的两个半平面的法向量,其方向一个指向内侧,另一个指向外侧,则二面角
?
?l?
?
的平面
?

?
?arccos< br>?
n
1
?n
2
?????
?????
??? ?
?
????
|AB?n|
?
(即
AB

n
方向上投影的绝对值).
d?|AB||cos
?
|?
|n |
8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等,记为
?
,则
S

cos
?
?S

.
9.正四面体(设棱长为
a
)的性质:
①全面积
S?
3
a
2
;②体积
V?
⑤外接球半径
R?
6
4
2
12
|n
1
|?|n
2
|
?
???
.(4)求点面距离:设
n
是平面
?
的法向量,在
?
内取一点
B
,则
A

?
的距离
a
3
;③对棱间的距离
d?
6
12
2
2
a
;④相邻面所成二面角
?
?arccos

3
6
3
1
a
;⑥内切球半径
r?a
;⑦正四面体内任一点到各面距离之和为定值< br>h?a
.
10.直角四面体的性质:(直角四面体—三条侧棱两两垂直的四面体).在 直角四面体
O?ABC

中,
OA,OB,OC
两两垂直,令< br>OA?a,OB?b,OC?c
,则⑴底面三角形
ABC
为锐角三角形;
2
⑵直角顶点
O
在底面的射影
H
为三角形
AB C
的垂心;⑶
S
?
S
?ABC

BOC
?S
?BHC
?
2222

S
?AOB
?S
?BOC
?S
?COA
?S
?ABC
;⑸
1
OH
2
?
1
a
2
?
1b
2
?
1
c
2
;⑹外接球半径R=
R?
1
2
a?b?c
.
222
11.已知长方体的体对角线与过同一 顶点的三条棱所成的角分别为
?
,
?
,
?
因此有
c os
2
?
?cos
2
?


?cos
2
?
?1

sin
2
?
?sin
2
?
?sin
2
?
?2
;若长方体的体对角线与过同一顶点 的三侧面所成
的角分别为
?
,
?
,
?
,则 有
sin
2
?
?sin
2
?
?sin
2< br>?
?1

cos
2
?
?cos
2
?
?cos
2
?
?2
.
12.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长;
13.球的体积公式
V?
?
R
3
,表面积公式
S?4
?
R
2
;掌握球面上两点
A

B
间的距离求法:
3
4
⑴计算线段
AB
的长;⑵计算球心角
?AOB
的弧度数;⑶用弧长公式计算劣 弧
AB
的长.
十.排列组合和概率
m
?n(n?1)?(n?m ?1)?
1.排列数公式:
A
n
n!
m!(n?m)!
n< br>(m?n,m,n?N*)
,当
m?n
时为全排列
A
n
?n!
.
m
A
n
n?(n?1)???(n?m?1)
0n
?(m?n)
,
C
n
?C
n
?1
. 2.组合数公式:
C?
m!m?(m?1)?(m?2)???3?2?1
m
n
mn?mrr?1r
?C
n
?C
n
?C
n
3.组合数性质:
C
n

C
n?1
.
4.排列组合主要解题方法:①优先法:特殊元素优先或特殊位置优先;②捆绑法(相邻问题);
③插空法(不相邻问题);④间接扣除法;(对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件
的所有情况去掉)⑤多排问题单排法;⑥相同元素分组可采用隔板法(适用与指标分配,每部分至
少有一个);⑦先选后排,先分再排(注意等分分组问题);⑧涂色问题(先分步考虑至某一步时再分
类).⑨分组问题:要注意区分是平均分组还是非平均分组,平均分成
n
组问题别忘除以
n!
.
nn?1nrrrr?1
5.常用性质:
n?n!?(n?1)! ?n!
;即
nA
n
?A
n?1
?A
n
;< br>C
r
?C
r?1
?????C
n
?C
n?1
(1?r?n)

rn?rr
ab(r?0,1,2,...,n)
; 6.二项式定理: ⑴掌握二项展开式的通项:
T
r?1
?C
n
⑵注意第r+1项二项式系数与第r+1项系数的区别.
7.二项式系数具有下列性质:⑴与首末两端 等距离的二项式系数相等;⑵若
n
为偶数,中间一项



(第
?1
项)的二项式系数最大;若
n
为奇数,中间两项(第< br>2
0
n
1
n
2
n
n
n
n0
n
2
n
1
n
3
n
n
n?1
2
?1

n?1
2
?1
项)的二项式系数最大.

C?C?C?????C?2

C?C?????C?C?????2
.
8.二项式定理应用:近似计算、整除问题、结合放缩法证明与指数有关的不等式、用赋值法求展开式
的某些项的系数的和如
f(x)?(ax?b)
n
展开式的各项系数和为
f(1)
,奇数项系数和为

[f(1)?f(?1)]
,偶数项的系数和为
[f(1)?f(?1)]
.
2
11
2
n
n?1
9.等可能事件的概率公式:⑴
P(A)?
m
; ⑵互斥事件有一个发生的概率公式为:
P(A?B)?


P(A)?P(B)
;⑶相互独立事件同时发生的概率公式为
P(AB) ?P(A)P(B)
;⑷独立重复试验
kk
概率公式
P
n(k)?C
n
p(1?p)
n?k
;⑸如果事件
A
与< br>B
互斥,那么事件
A

B

A

B
及事件

A

B
也都是互斥事件;⑹如果事件
A

B
相互独立,那么事件
A

B
至少有一个不发 生
的概率是
1?P(AB)?1?P(A)P(B)
;(6)如果事件
A

B
相互独立,那么事件
A

B
至少有
一个发生的概率是
1?P(A?B)?1?P(A)P(B)
.
十一.概率与统计
1.理解随机变量,离散型随机变量的定义,能够写出离散型随机变量的分布列,由概率的性质可
知,任意离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质:⑴
P
i
?0, i?1,2,?
;⑵
P
1
?P
2
???1
. kkn?k
kkn?k
2.二项分布记作
?
~B(n,p)(n,p为参数),
P(
?
?k)?C
n
pq
,记
C< br>n
pq?b(k;n,p)
.
3.记住以下重要公式和结论:

⑴期望值
E
?
?x
1
p
1
?x
2
p
2
???x
n
p
n
??
.
⑵方差
D
?
?(x
1
?E
?
)
2
p
1
?(x
2
?E
?
)
2
p
2
?????(x
n
?E
?
)
2
p
n
????
.
⑶标准差
??
?
D
?

E(a
?
?b)?aE
?
?b;D(a
?
?b )?a
2
D
?
.
⑷若
?
~B(n,p)(二项分布),则
E
?
?np
,
D
?
?npq(q?1?p)
.
⑸若
?
~g (k,p)
(几何分布),则
E
?
?
1
p
,
D
?
?
q
p
2
.
4.掌握抽样的三种方法:⑴简单随机抽样(包括抽签法和随机数表法);⑵(理)系统抽样,也叫等距
抽样;⑶分层抽样(按比例抽样),常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形.它们的共同点
都是等概率抽样.对于简单随机抽样的概念中,“每次抽取时的各个个体被抽到的概率相等”.如从
含有
N
个个体的总体中,采用随机抽样法,抽取
n
个个体,则每 个个体第一次被抽到的概率为

1
N
,第二次被抽到的概率为
1
N
,…,故每个个体被抽到的概率为
n
N
,即每个个体入样的概率为
n
N
.
5.总体分布的估计:用样本估计总体,是研究统计问题的一个基本思想方法,一般地,样本容量越大,
这种估计就越精确,要求能画出频率分布表和频率分布直方图;⑴学会用样本平均数

x?(x
1
?x
2
?????x
n
)?
n
11
n
i?1
?
x
i
去估计总体平均数;⑵会用样 本方差
S
n
2
?[(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
?

n
1

??? ?(x
n
?x)
2
]?
?
(x
i
?x)< br>2
?
?
(x
i
2
?nx
2
)
去估计总体方差
?
及总体标准差;⑶学会用修正的
样本方差
S
*2
?
n
i?1
1
n
i?1
n?1
2< br>[(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
?????(x
n
?x)
2
]
去估计总体方差
?
,会用
S*
去估计
?
.
1
n
1
n
2
6.正态总体的概率密度函数:
f(x)?
1
2
??
e
?
(x?
?
)
2
2
?
2
,x?R
,式中
?
,
?
是参数,分别表示总体的平均
数与标准差;
7.正态曲线的性质:⑴曲线在
x?
?
时处于最高点,由这一 点向左、向右两边延伸时,曲线逐渐降
低;⑵曲线的对称轴位置由确定;曲线的形状由确定,< br>?
越大,曲线越矮胖;反过来曲线越高瘦.
⑶曲线在
x
轴上方,并且关于直线x=
?
对称;
8.利用标准正 态分布的分布函数数值表计算一般正态分布
N(
?
,
?
2
)
的概率
P(x
1
?
?
?x
2
)
, 可由变




x?
?
?
? t
而得
F(x)??(
x?
?
?
)
,于是有
P(x
1
?
?
?x
2
)??(
x
2?
?
?
)??(
x
1
?
?
?
)
.
9.假设检验的基本思想:⑴提出统计假设,确定随机变量服从正态分布
N(< br>?
,
?
2
)
;⑵确定一
次试验中的取值
a
是否落入范围
(
?
?3
?
,
?
?3< br>?
)
;⑶作出推断:如果
a?(
?
?3
?
,
?
?3
?
)
,接受统
计假设;如果
a?(< br>?
?3
?
,
?
?3
?
)
,由于这是 小概率事件,就拒绝假设.
十二.极限
1.与自然数有关的命题常用数学归纳法证明(注意步骤,两步缺一不可).
2.数列极限: ⑴掌握数列极限的运算法则,注意其适用条件:一是数列
{a
n
}
,
{b
n
}
的极限都存在;二
是仅适用于有限个数列的和、差、积、商,对于无限个数列的和(或积),应先求和(或积),再求极限.
⑵常用的几个数列极限:
limC?C
(
C
为常数);
lim
n??
1
?0
,
limq
n
?0
(
|q|?1
,
q
为常数).
n??
n
n??
⑶无穷递缩等比数列各项和公式
S?limS
n
?
n??
a
1
1?q
(
0?|q|?1
).
n???n???
3.函数的极限: ⑴当
x
趋向于无穷大时 ,函数的极限为
a
?limf(x)?limf(x)?a
.
f(x)?lim
?
f(x)?a
.⑶掌握函数极限的四则运算法则. ⑵当
x?x
0
时函数的极限为
a?lim
?
x?x
0
x?x
0
4.函数的连续性:⑴如果对函数
f(x)
在点
x?x
0
处及其附近有定义,且有
limf(x)?f(x
0
),就
x?x
0
说函数
f(x)
在点
x
0
处连续;⑵若
f(x)

g(x)
都在点
x
0处连续,则
f(x)?g(x)
,
f(x)?g(x)
,

f(x)
g(x)
(g(x)?0)
也在点
x
0
处 连续;⑶若
u(x)
在点
x
0
处连续,且
f(u)

u
0
?u(x
0
)
处连续,则复合
函数
f[u(x)]
在点
x
0
处也连续.
十三.导数 < br>1.导数的定义:
f(x)
在点
x
0
处的导数记作
y
?

y?f(x)
在点
x
0
处连续却不一定可导.
3.函数< br>f(x)
在点
x
0
处有导数,则
f(x)
的曲线在该 点处必有切线,且导数值是该切线的斜率.但函数

f(x)
的曲线在点
x
0
处有切线,则
f(x)
在该点处不一定可导.如
f(x)?x

x?0
有切线,但不可导.
4.函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数的几何意义是指:曲线
y?f(x)
在点
P(x
0
,f(x
0
))
处切线的斜率,
即曲线y?f(x)
在点
P(x
0
,f(x
0
))
处 的切线的斜率是
f
?
(x
0
)
,切线方程为
y?f (x
0
)?f
?
(x
0
)(x?x
0
)< br>.
5.常见函数的导数公式:
C
?
?0
(
C
为常数);
(x
n
)
?
?nx
n?1
(n?Q)
.
(sinx)
?
?cosx

(cosx)
?< br>??sinx


(a
x
)
?
?ax
lna

(e
x
)
?
?e
x

(log
a
x)
?
?
1
log
ae
.
(lnx)
?
?
x
x?x
0
?f
?
(x
0
)?lim
f(x
0
??x)?f(x< br>0
)
?x
?x?0
.
2.可导与连续的关系:如果函数y?f(x)
在点
x
0
处可导,那么函数
y?f(x)
在点
x
0
处连续,但是
1
x

u
vu
?
v?uv
?
v
2
6.导数的四则运算法则:
(u?v)
?
?u
?
?v
?

(uv)
?
?u
?
v?uv
?

()
?
?
.
??
7.复合函数的导数:
y
?
x
?y
u?u
x
.
8.导数的应用:
(1)利用导数判断函数的单调性:设 函数
y?f(x)
在某个区间内可导,如果
f
?
(x)?0
,那么
f(x)
为增
函数;如果
f
?
(x)?0< br>,那么
f(x)
为减函数;如果在某个区间内恒有
f
?
(x) ?0
,那么
f(x)
为常数;
(2)求可导函数极值的步骤:①求导数< br>f
?
(x)
;②求方程
f
?
(x)?0
的根 ;③检验
f
?
(x)
在方程

f
?
( x)?0
根的左右的符号,如果左正右负,那么函数
y?f(x)
在这个根处取得最大 值;如果左负
右正,那么函数
y?f(x)
在这个根处取得最小值;
(3)求可导函数最大值与最小值的步骤:①求
y?f(x)

(a,b)
内 的极值;②将
y?f(x)
在各极值点
点的极值与
f(a)

f(b)
比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
十四.复数
1.理解复数、实数、虚数、纯虚数、模的概念和复数的几何表示.
2.熟练掌握与灵活运用 以下结论:⑴
a?bi?c?di?a?c

c?d(a,b,c,d?R)
;⑵复数是



实数的条件:①
z?a?bi?R?b ?0(a,b?R)
;②
z?R?z?z
;③
z?R?z
2
?0
.
3.复数是纯虚数的条件: ①
z?a?bi
是纯虚数
?a ?0

b?0(a,b?R)
; ②
z
是纯虚数
?z?z?0(z?0)
;③
z
是纯虚数
?z
2
?0< br>.
4.⑴复数的代数形式:
z?a?bi
;⑵复数的加、减、乘、除运算按以 下法则进行:设
z
1
?a?bi
,

z
2?c?di(a,b,c,d?R)
,则
z
1
?z
2
? (a?c)?(b?d)i
,
z
1
z
2
?(a?bi)(c ?di)?(ac?bd)?(ad?bc)i
,
z
ac?bdbc?ad

1
?
2
?i(z
2
?0)
.
z
2
c?d
2
c
2
?d
2
5.几个重要的结论:

|z
1
?z
2
|
2
?|z
1
?z
2
|
2
?2(|z
1
|
2
?|z
2
|
2
)
;⑵
z?z?|z|
2
? |z|
2
;⑶若
z
为虚数,则
|z|
2
?z
2
.
6.运算律仍然成立:(1) ⑴
z
m
?z
n
?z
m?n
; ⑵
(zm
)
n
?z
mn
;⑶
(z
1
?z2
)
m
?z
1
m
z
2
m
(m ,n?N)
.
7.注意以下结论:⑴
(1?i)
2
??2i
;⑵

|z|?1?zz?1?z?
1
z
1?i
1?i
1?i1?i
?i
,
??i
;⑶
i
n
?i
n ?1
?i
n?2
?i
n?3
?0(n?N)

.
十五.答题技巧
1.技术矫正:考试中时间分配及处理技巧非常重要,有几点需要必须提醒同学们注意:
⑴按序答题,先易后难.一定要选择熟题先做、有把握的题目先做.
⑵不能纠缠在某一题、某一细节上,该跳过去就先跳过去,千万不能感觉自己被卡住,这样会心慌,
影响下面做题的情绪.
⑶避免“回头想”现象,一定要争取一步到位,不要先做一下,等回过头 来再想再检查,高考时间较紧张,
也许待会儿根本顾不上再来思考.
⑷做某一选择题时 如果没有十足的把握,初步答案或猜估的答案必须先在卷子上做好标记,有时间再推
敲,不要空答案,否 则要是时间来不及瞎写答案只能增加错误的概率.
2.规范化提醒:这是取得高分的基本保证.规范化 包括:解题过程有必要的文字说明或叙述,注意解完后再
看一下题目,看你的解答是否符合题意,谨防因 解题不全或失误,答题或书写不规范而失分.总之,要吃透题
“情”,合理分配时间,做到一准、二快、 三规范.特别是要注意解题结果的规范化.
⑴解与解集:方程的结果一般用解表示(除非强调求 解集);不等式、三角方程的结果一般用解集(集合
或区间)表示.三角方程的通解中必须加
k ?Z
.在写区间或集合时,要正确地书写圆括号、方括
号或大括号,区间的两端点之间、集合的元素之间用逗号隔开.
⑵带单位的计算题或应用题,最后结果必须带单位,解题结束后一定要写上符合题意的“答”.
⑶分类讨论题,一般要写综合性结论.
⑷任何结果要最简.如
?
4
2 1
2
,
1
2
?
2
2
等.
⑸排列组合题,无特别声明,要求出数值.
⑹函数问题一般要注明定义域(特别是反函数).
⑺参数方程化普通方程,要考虑消参数过程中最后的限制范围.
⑻轨迹问题:①轨迹与轨迹方程的区别:轨迹方程一般用普通方程表示,轨迹则需要说明图形形状.
②有限制条件的必须注明轨迹中图形的范围或轨迹方程中
x

y
的范围.
⑼分数线要划横线,不用斜线.
3.考前寄语:
①先易后难,先熟后生;
②一慢一快:审题要慢,做题要快;
③不能小题难做,小题大做, 而要小题小做,小题巧做;
④我易人易我不大意,我难人难我不畏难;
⑤考试不怕题不会,就怕会题做不对;
⑥基础题拿满分,中档题拿足分,难题力争多得分,似曾相识题力争不失分;
⑦对数学解题有困难的考生的建议:立足中下题目,力争高上水平,有时“放弃”是一种策略.

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