高中数学复习全套知识点-高中数学知识点最全版

高中数学总复习资料（文）

第一章 集合
一 定义 集合是高中数学中最原始的不定义的概念，只给出描述性的说明。某些确定的且不同的
对象集在一起 就成为集合。组成集合的对象叫做元素。
二 集合的抽象表示形式
用大写字母A，B，C……表示集合；用小写字母a，b，c……表示元素。
三 元素与集合的关系
有属于，不属于关系两种。元素a属于集合A，记作
a?A
；元素 a不属于集合A，记
作
a?A
。
四 几种集合的命名
有限集：含有有限个元素的集合；
无限集：含有无限个元素的集合；
空 集：不包含任何元素的集合叫做空集，用
?
表示；
自然数集：N；正整数集：N
*
或N
+
；整数集：Z；
有理数集：Q；实数集：R。
五 集合的表示方法
(一) 列举法：把元素一一列举在大括号内的表示方法，
例如：{a,b,c}。
注意：凡是以列举法形式出现的集合，往往考察元素的互异性。
(二) 描述法：有以下两种描述方式
1．代号描述：【例】方程
x?3x+2=0
的所有解 组成的集合，可表示为{x|x
2
-3x+2=0}。
x是集合中元素的代号，竖线也 可以写成冒号或者分号，竖线后面的式子的作用是描述集合
中的元素符合的条件。
2．文字描 述：将说明元素性质的一句话写在大括号内。【例】{大于2小于5的整数}；
描述法表示的集合一旦出 现，首先需要分析元素的意义，也就说要判断元素到底是什么。
(三) 韦恩图法：用图形表示集合定义了两个集合之间的所有关
系。
1．子集：如果属于A的所有元 素都属于B，那么A就叫做B的
子集，记作：
A?B
，如图1-1所示。 图1-1
子集有两种极限情况：(1)当A成为空集时，A仍为B的子集；
(2)当A和B相等时，A仍为B的子集。
真子集：如果所有属于A的元素都属于B，而且Ｂ中至少有 一个元素不属于A，那么A
叫做B的真子集，记作
A?B
或
A?B
。
真子集也是子集，和子集的区别之处在于
A?B
。对于同一个集合，其真子集的个数< br>比子集少一个。
(1)求子集或真子集的个数，由n各元素组成的集合，
有2
n
个子集，有2
n
-1个真子集；
(2)空集的考 查：凡是提到一个集合是另一个集合的子集，作为子集的集合首先可以是
空集，
A?B
的等价形式主要有：
A?B?A，A?B?B
。
2．交集：由两个集合的公共元素组 成的集合，叫做这两个集合的交集，记作
A?B
，
2

读作A交 B，如图1-2所示。





图1-2 图1-3 图1-4
3．并集：由两个集合所有元素组成的集合，叫做这两个集合的并集，记作
A?B
，读
作A并B，如图1-3所示。
4．补集：由所有不属于Ａ的元素组成的集合，叫做Ａ在全集Ｕ 中的补集，记作
C
U
A
，
读作A补，如图1-4所示。
德摩根公式 ：
C
U
(AB)?C
U
AC
UB;C
U
(AB)?C
U
AC
U
B
.
(四) 区间表示法：数轴上的一段数组成的集合可以用区间表示，区间分为开区间和闭
区间， 开区间用小括号表示，是大于或小于的意思；闭区间用中括号表示，是大于等于或小
于等于的意思；【例 】(2，3)，[2,3]，(2,3]，[2，3]．．．



第二章 函数

一 映射与函数的基本概念

(一) 映 射
A集合中的每个元素按照某种对应法则在B集合中都能找到唯一的元素和它对应，这
种对应关系叫做 从A集合到B集合的映射。A中的元素叫做原象，B中的相应元素叫做象。
在A到B的映射中，从A中元素到B中元素的对应，可以多对一，不可以一对多。












图2-1是映射 图2-2是一一映射 图2-3不是映射
(Ⅰ)求映射(或一一映射)的个数，m个元素的集合到n个元素的集合的映射的个 数是n
m
。
(Ⅱ)判断是映射或不是映射：可以多对一，不可以一对多。

(二) 函数的概念

定义域到值域的映射叫做函数。如图2-4。高中阶段，函数 用f(x)来表示：即x按照对

应法则f对应的函数值为f(x)．函数有解析式和图像 两种具体的表示形式。偶尔也用表格表
示函数。
函数三要素：定义域A：x取值范围组成的集 合。值域B：y取值范围组成的集合。
对应法则f：y与x的对应关系。有解析式和图像和映射三种表示 形式
函数与普通映射的区别在于：
(1)两个集合必须是数集；
(2)不能有剩余的象，即每个函数值y都能找到相应的自变量x
与其对应。





图2-4
二 定义域题型

(一) 具体函数：即有明确解析式的函数，定义域的考查有两种形式
直接考查：主要考解不等式。利用：在< br>f(x)
中
f(x)?0
；在
g(x)
中，
f(x) ?0
；
f(x)
0
在
log
a
f(x)
中 ，
f(x)?0
；在
tanf(x)
中，
f(x)?k
?< br>?
在
?
2
；在
f(x)
中，
f(x)? 0
；
a
x
与
log
a
x
中
a?0
且
a?1
，列不等式求解。
(二)抽象函数：只要对应法则相同，括号里整体的取值范围就完全相同。

三 值域题型

(一) 常规函数求值域：画图像，定区间，截段。
常规函数有：一次函数，二次函数，反比例函数，指数对数函数，三角函数，对号函数。
(二) 非常规函数求值域：想法设法变形成常规函数求值域。
解题步骤：(1)换元变形；
(2)求变形完的常规函数的自变量取值范围；
(3)画图像，定区间，截段。
(三) 分式函数求值域 ：四种题型
cx?d
c
y?
y?
(a?0)
(1) ：则且
y?R
。
ax?b
a
(2)
y?
cx?d
(x?2)
：利用反表示法求值域。先反表示，再利用x的范围解不等式求
ax?b< br>y的范围。
2x
2
?3x?2
(3)
y?
： 6x
2
?x?1
(2x?1)(x?2)x?21
?(x?)
，
y?
(2x?1)(3x?1)3x?12
1
y?且y?1
且
y?R
。 则
3
2x?1
(4)求
y?
2
的值域，当
x?R
时，用判别式法
x?x?1

求值域。y?
2
2x?1
2
yx?(y?2)x?y?1?0
，
?
x
2
?x?1

??(y?2)?4y(y?1)?0?
值域
(四) 不可变形的杂函数求值域： 利用函数的单调性画出函数趋势图像，定区间，截段。
判断单调性的方法：选择填空题首选复合函数法 ，其次求导数；大题首选求导数，其
次用定义。详情见单调性部分知识讲解。
(五) 原函数反函数对应求值域：原函数的定义域等于反函数值域，原函数值域等于反
函数定义域。
(六) 已知值域求系数：利用求值域的前五种方法写求值域的过程，将求出的以字母形
式表示 的值域与已知值域对照求字母取值或范围。



四 函数运算法则
（一） 指数运算法则
?a
n
?a
m?n
②
a
m
?a
n
?a
m?n

mnmn
mmm
③
(a)?a
④
ab?(ab)

①
a
运用指数运算法则，一般从右往左变形。
（二） 对数运算法则
同底公式：①
a
log
a
b
m
?b

M
N

②
log
a
M?log
a
N?log
a
(MN)

③
log
a
M ?log
a
N?log
a
④
log
a
M
n
?nlog
a
M

运用对数运算法则，同底的情况，一般从右往左变形。
不同底公式：①
log
a
N?
log
m
N

log
m
a
n
n
②
log
a
m< br>b?log
a
b

m
1
③
log
a
b?

log
b
a
运用对数运算法则，不同底的情况，先变成同底。

五 函数解析式


(一) 换元法：如f(2x + 3)=x+ 3x + 5，求f(3-7x)，
(设2x + 3=3-7t)。
2
(二) 构造法：如
f(x?)?x?
(三) 待定系数法：通过图像求出y=Asin(ωx +
?
) + C中系数
(四) 递推：需利用奇偶性、对称性、周期性的定义式或运算式递推。
(五) 求原函数的反函数：先反表示，再x、y互换。

六 常规函数的图像
1
x
2
1
，求f(x)。
2
x

常规函数图像主要有：










指数函数：逆时针旋转， 对数函数：逆时针旋转，
底数越来越大 底数越来越小









幂函数：逆时针旋转，指数越来越大。其他象限图象看函数奇偶性确定。

七 函数的单调性
(一) 定义：在给定区间范围内，如果x越大y越大，那么原函数为增函数；如果x越
大y越小，那么原函数为减函数。
(二) 单调性题型：
1.求单调性区间：先找 到最基本函数单元的单调区间，用复合函数法判断函数在这个区
间的单调性，从而确定单调区间。
复合函数法：
?1
1?x
2
：
↓，
当0 < x <1时，x↑，x
2
↑，- x
2
↓，
1
↑，
?1
↓
2.判断单调性
(1).求导函数：
f
?
(x)?0
为增函数，
f
?
(x)?0
为减函数
(2).利用定义：设x
1
2
，比较f(x
1
)与f(x
2
)大小，把
f(x
1
)?f(x
2
)
因式分解，看正负。
(3).原反函数：具有 相同的单调性，一个函数具有反函数的前提条件是它具有严格的单
调性。
3.利用函数单调性：
(1).求值域：利用单调性画出图像趋势，定区间，截断。
(2).比较函数值的大小：画图看
(3).解不等式：利用以下基本结论列不等式，解不等式。
增函数
x
1< br>?x
2
?f(x
1
)?f(x
2
)
或
f(x
1
)?f(x
2
)?x
1
?x
2

减函数
x
1
?x
2
?f(x
1)?f(x
2
)
或
f(x
1
)?f(x
2)?x
1
?x
2

(4).求系数：利用常规函数单调性结论，根据单调性求系数。
八 函数的奇偶性 (一)定义：如果
f(?x)?f(x)
,则
f(x)
为偶函数；如果< br>f(?x)??f(x)
,则
f(x)
为奇
函数。这两个式子有意义的前提条件是：定义域关于原点对称。

(二)奇偶性题型：
1.判断奇偶性 ：
(1).先看定义域是否关于原点对称，再比较f(x)与f(-x)正负
(2).看图像对称性：关于y轴对称为偶，关于原点对称为奇
(3).原、反函数：奇函数的反函数是奇函数，偶函数没有反函数。
2.利用奇偶性：
(1).利用公式：f(-x)=- f(x)，f(-x)= f(x)，计算或求解析式
(2).利用复合函数奇偶性结论：
F(x)=f(x)g(x)，奇奇得偶，偶偶得偶，奇偶得奇
F(x)=f(x)+g(x)，当f(x)为奇，g(x)为偶时，代入-x得：
F(-x )=-f(x)+g(x),两式相加可以消去f(x),两式相减可以消去g(x),从而解决问题。
3.奇偶函数图像的对称性
偶函数：关于y轴对称
?
若
f(a?x)?f(b?x)
?，
a?b
对称
2
奇函数：关于原点对称
?
若
f(a ?x)?f(b?x)?2m
，
a?b
则f(x)关于点(，m)?对称
2
则f(x)关于
x?
九 函数的周期性
(一) 定义： < br>若
f(x?T)?f(x)
，则
f(x)
为周期函数，
T为
f(x)
周期
(二) 周期性考点：
1.求周期：
(1).利用f(x)=f(T?+?x)列出方程解出T?=
(2).把所给函数化为y=Asin(ωx +ф) + C标准形式，直接读出周期
T?
2.利用周期性：利用公式f(x)=f(T?+?x)
(1).求解析式
(2).求函数值
十 函数图像的对称性

(一) 一个图关于点对称：
(Ⅰ)奇函数关于原点对称
(Ⅱ)若f(a+x) + f(b-x)=2m，则f(x)关于(
(二) 一个图关于直线对称：
(Ⅰ)偶函数关于
y
轴对称
(Ⅱ)?
f(a?x)?f(b?x)
，则
f(x)
关于
x?
2
?
?

a?b
，m)对称
2
a?b
对称
2
(三) 两个图关于点对称
(Ⅰ)
y?f(x)
关于原点对称的函数：x→-x，y→-y，
即-y=f(-x)

(Ⅱ)
y?f(x)
关于
(a,b)
对称的函数：
x?2a?x,y?2b?y
即
2b?y?f(2a?x)

(四) 两个图关于线对称
(Ⅰ)原函数与反函数：关于y=x对称
(Ⅱ)y=?f(x)关于y=x?+?c对称的函数:x→y-c，y→x+c，
即x+c=?f(y-c)
(Ⅲ)y=?f(x)关于y=-x+c对称的函数:?x→-y+c,y→-x+c，
即-x+c=?f(-y+c)
????????
(Ⅳ)f(x)与f(-x)关于y轴对
?
f(a+x)与f(b-x)关于
x?
b?a
对称???
2

?????????????(Ⅴ)f(x)与-f(x)关于x轴对称
十一 原函数与反函数
反函数反映了两个函数之间的关系有两方面考点：求反函数，利用原函数与反函数关
系解题。
（一） 求反函数：先反表示，再
x,y
互换；或先
x,y
互换再反 表示。一个函数有反函
数的前提条件是在整个定义域内具有严格的单调性。
（二） 利用原函 数反函数的关系解题：已知原函数或反函数情况求反函数或原函数情
况时，往往不用求反函数可依据以下 结论解题。
1．定义域、值域：
原函数自变量等价于反函数函数值，
原函数函数值等价于反函数自变量；
原函数定义域等价于反函数值域，
原函数值域等价于反函数定义域。
2．单调性：原函数与反函数具有相同的单调性
3．奇偶性：奇函数反函数是奇函数，偶函数没有反函数。
4．对称性：原函数与反函数图像 关于
y?x
对称，原函数与反函数交点一定在
y?x
上。

第三章 数列
第一部分 等差数列
一 定义式：
a
n
?a
n?1
?d

二 通项公式：
a
n
?
?
?a
m
?(n?m)d

?
?a
1
?(n?1)d
一个数列是等差数列的等价条件：
a
n
?an?b
(a，b为常数)，即
a
n
是关于n的一次函数，因
为
n?Z
，所以
a
n
关于n的图像是一次函数图像的分点表 示形式。
三 前n项和公式：
n(a
1
?a
n
)

S
n
?
………… ①
2
?na
中间项
………… ②
?na
1
?
n(n?1)
d
…… ③
2
按照序号顺序，使用公式。即首选①公式解题，再选②、③

2一个数列是等差数列的另一个充要条件：
S
n
?an?bn
(a，b为常 数，a≠0)，即
S
n
是关于
n的二次函数，因为
n?Z
， 所以
S
n
关于n的图像是二次函数图像的分点表示形式。
四 性质结论
(一)3或4个数成等差数列求数值时应按对称性原则设置，
如：3个数a-d,a,a+d； 4个数a-3d,a-d,a+d,a+3d
(二)
a
与
b
的等差中项
A?
a?b
；
2
在等差数列
?
a
n
?
中，若
m?n?p ?q
，则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；若
m?n?2p
，则
a
m
?a
n
? 2a
p
；
(三)若等差数列的项数为2
nn?N
?
，则< br>S
偶
?S
奇
?nd，

??
S
奇
S
偶
a
n
?
；
a
n?1
若等差数列的项数为
2n?1n?N
?
，则
S< br>2n?1
?
??
?
2n?1
?
a
n
，且
S
奇
?S
偶
?a
n
，
S
奇< br>?
S
偶
n

n?1
(四)凡按一定规律和次序选出的 一组一组的和仍然成等差数列。设
A?a
1
?a
2
???a
n,
，
B?a
n?1
?a
n?2
???a
2n，
C?a
2n?1
?a
2n?2
???a
3n
，则有
2B?A?C
；
(五)
a
1
?0,
S
m
?S
n
,则前
S
m?n
(m+ n为偶数)或
S
m?n?1
(m+n为奇数)最大
22

第二部分 等比数列

a
n
?q(n?2,a
n?0,q?0)?{a
n
}
成等比数列。 一 定义：
a
n?1
二 通项公式：
a
n
?a
1q
n?1
，
a
n
?a
m
q
n?m
数列{a
n
}是等比数列的一个等价条件是：
S
n
?a(b
n
?1),(a?0,b?0，1）
a
n
关于n的图像是指 数函数图像的分点当
q?0
且
q?0
时，
表示形式。
(q?1)
?
na
1
?
n
三 前n项和：
S
n
?
?
a
1
(1?q)
a
1
?a
n?1
q
；
?(q?1)
?
1?q1?q
?
(注意对公比的讨论)
四 性质结论：
(一)
a
与
b
的等比中项
G
?G?a b?G??ab
(
a,b
同号)；
(二)在等比数列
?
a
n
?
中，若
m?n?p?q
，则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；
若
m?n?2p，则
a
m
?a
n
?a
p
；
(三)设
A?a
1
?a
2
???a
n,
，
B?a< br>n?1
?a
n?2
???a
2n
，
2
2< br>C?a
2n?1
?a
2n?2
???a
3n
， 则有
B
2
?A?C



第三部分 求杂数列通项公式
a
n

一 构造等比数列：凡是出现关于后项和前项的一次递推式都可以构造等比数列求通项公式。
第一类： < br>3a
n
?2a
n?1
?5?0?3(a
n
?5)?2 (a
n?1
?5)

a
n
?5
2
???{ a
n
?5}
a
n?1
?53
2
2
n?1< br>是公比为的等比数列
?a
n
?5?(a
1
?5)()
，从而求出
a
n
。
3
3
第二类：
a
n ?1
?3a
n
?4n?8?0?a
n?1
?2(n?1)?5?3( a
n
?2n?5)
?
a
n?1
?2(n?1)?5
?3
a
n
?2n?5

?{a
n
?2n?5}

是公比为3的等比数列
?a
n
?2n?5?(a
1
?7)?3
n?1
.
第三类：< br>a
n
?a
n?1
?3n
，系数之比为1的时候用叠加法。 < br>第四类：既有
S
n
又有
a
n
利用
S
n
?S
n?1
?a
n
，将所有S换成a，或者将所有a换成S。 < br>第五类：关于
a
n
与
a
n?1
的二次式，或者
S
n
与
S
n?1
的二次式，先因式分解成一次式，再构造等
比数列。

二 构造等差数列：递推式不能构造等比时，构造等差数列。
第一类：凡是出现分式递推式都可以构造等差数列来求通项公式，
a
n?1
?1
?a
n
?1
，
2a
n?1
?1
111
两边取倒数
??2??{}
是公差为2的等差数 列
a
n?1
?1a
n
?1a
n
?1
例如：
?
11
??2(n?1)
，从而求出
a
n
。
a
n
?1a
1
?1
第二类：
(n
2?1)a
n
?n
2
a
n?1
?n(n?1)?

n?1n
?
n?1
?
a
n
?
是公差为1的 等差数列
a
n
?a
n?1
?1?
?
n
n n?1
??
n?11?12n

?a
n
?a
1?a
n
?
n1n?1
三 递推：即按照后项和前项的对应规律，再往前项推写对应式。
例如
a
n
?n a
n?1
?a
n
?nn
?
?1a
?
n【注:
n!?n(n?1)(n?2)
?2
?????a
n
? na!
1

1
】
求通项公式
a
n
的题， 不能够利用构造等比或者构造等差求
a
n
的时候，一般通过递推来求
a
n
。

第四部分 求前n项和
S
n


一 裂项分组法：

1111
?????
1111
1?22?33?4（nn?1）
1,2,3,4,的前n和是：
392781
111 11111
(?)?(?)?(?)??(?)
、
1111
122334n n?1
（+12+3+4+）+（+++?）
11n
392781
???1n?1n?1
二 错位相减法：凡等差数列和等比数列对应项的乘积构成的数列求和时用此方法，
求：
S< br>n
=x?3x
2
?5x
3
?
?(2n-1)x
n
(x?1)
S
n
=x?3x
2
?5x
3?
xS
n
=x
2
?3x
3
?5x
4< br>①减②得：
?(2n-5)x
n-2
?(2n-3)x
n-1
?(2n-5)x
n-2
?(2n-3)x
n-1
?(2n-1)x
n
(x?1)
①
?(2n-5)x
n-1
?(2n-3)x< br>n
?(2n-1)x
n+1
(x?1)
②
(1?x)S< br>n
=x?
?
2x
2
?2x
3
??2x
n-1
?2x
n
?
?
?
2n?1
?
x< br>n+1
?x?
2x
2
?
1?x
n-1
?1?x
?
?
2n?1
?
x
n+1

从而求出
S
n
。
错位相减法的步骤：
(1)将要求和的杂数列前后各写出三项，列出①式
(2)将①式左右两边都乘以公比q，得到②式
(3)用①
?
②，错位相减
(4)化简计算
三 倒序相加法：前两种方法不行时考虑倒序相加法
1：等差数列求和：
S
n
=a
1
?a
2
?a
3
?
两式相加可得：
?a
n?2
?a
n?1
?a
n
?a
3
?a
2
?a
1
S< br>n
=a
n
?a
n?1
?a
n?2
?

2S
n
=
?
a
1
?a
n
?
?
?
a
2
?a
n?1
?
?
?
a
3
?a
n?2
?
?
?
?
a
2?a
n?1
?
?
?
a
1
?a
n
?
?n
?
a
1
?a
n
?
?S
n
2：设
?
?
a
3
?a
n?2
?

f(x)?
1
.利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得
x
2?2
f(?5)?f(?4)?......?f(0)?......f(5)?f(6)
的值为_________.
S
n
?f(?5)?f(?4)??f(5)?f(6)
①
S
n
?f(6)?f(5)?
①+②得
?f(?4)?f(?5)
②
2S
n
?
?
f(?5)?f(6)
?
?
?
f(?4)?f(5)
?
?< br>?
?
f(6)?f(?5)
?
?
?
f(5)?f(? 4)
?

112
f(?n)?f(n?1)?
? n
?
n?1
?
,
2
2?22?2

∴
S
n
?32



第四章 三角函数
一 任意角的概念与弧度制
（一）角的概念的推广
1、角概念的推广：
在平面内，一条射线绕它的端点旋转有 两个相反的方向，旋转多少度角就是多少度角。
按不同方向旋转的角可分为正角和负角，其中逆时针方向 旋转的角叫做正角，顺时针方向的
叫做负角；当射线没有旋转时，我们把它叫做零角。习惯上将平面直角 坐标系x轴正半轴作
为角的起始边，叫做角的始边。射线旋转停止时对应的边叫角的终边。
2、特殊命名的角的定义：
(1)正角，负角，零角 ：见上文。
(2)象限角： 角的终边落在象限内的角,根据角终边所在的象限把象限角分为：第一象限
角、第二象限角等
(3)轴线角：角的终边落在坐标轴上的角
终边在x轴上的角的集合：
?
|
?
?k?180
?
,k?Z

终边在y轴上的角的集合：
?
|
?
?k?180
??90
?
,k?Z

终边在坐标轴上的角的集合：
?
|
?
?k?90
?
,k?Z

(4)终边相同的角：与
?
终边相同的角
x?
?
?2k
?

(5)与
?
终边反向的角：
x?
?
?(2k?1)
?

终边在y=x轴上的角的集合：
?
|
?
?k?180
?
?45
?
,k?Z

终边在
y??x
轴上的角的集合：
?
|
??k?180
?
?45
?
,k?Z

(6)若角
?
与角
?
的终边在一条直线上，则角
?
与角
?
的 关系：
?
?180
?
k?
?

(7)成特殊关系的两角
若角
?
与角
?
的终边关于x轴对 称，则角
?
与角
?
的关系：
?
?360
?
k?
?

若角
?
与角
?
的终边关于y轴对称，则角
?
与角
?
的关系：
?
?360
?
k?18 0
?
?
?

若角
?
与角
?
的终边 互相垂直，则角
?
与角
?
的关系：
?
?360
?< br>k?
?
?90
?

注：(1)角的集合表示形式不唯一.
(2)终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同.
3、本节主要题型：
1.表示终边位于指定区间的角.
1:写出在
?720?
到
720 ?
之间与
?1050?
的终边相同的角.
??
??
??< br>??
??

2:若
?
是第二象限的角,则
2?
,
?
2
是第几象限的角?写出它们的一般表达形式.
3:①写出终边在
y
轴上的集合.
②写出终边和函数
y??x
的图像重合,试写出角
?
的集合. < br>③
?
在第二象限角,试确定
2
?
,
??
,< br>所在的象限.
23
④
?
角终边与
168?
角终边相 同,求在
[0?,360?)
内与

（二）弧度制
1、弧度制的定义：
?
?
?
终边相同的角.
3
l

R

2、角度与弧度的换算公式：
360°=2
?
180°=
?
1°=0.01745 1=57.30°=57°18′
注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.
一个式子中不能角度,弧度混用.
3、题型
（1）角度与弧度的互化
例:
315?,330?,
?
,
?

（2）
?
?
7
6
4
3
L11
2
，
l? r
?
,s?lr?r
?
的应用问题
R
22
21:已知扇形周长
10cm
,面积
4cm
,求中心角.
2:已知扇形弧度数为
72?
,半径等于
20cm
,求扇形的面积.
3:已知扇形周长
40cm
,半径和圆心角取多大时,面积最大.
4:?
1
??570?,
?
2
?750?,
?
1< br>?
?
,
?
2
??
?

a.求出
?
1
,
?
2
弧度,象限.
b.< br>?
1
,
?
2
用角度表示出,并在
?720?~0?< br>之间找出，他们有相同终边的所有角.
二 任意角三角函数
（一）三角函数的定义
1、任意角的三角函数定义
3
5
7
3
正弦sin
?
?
yxyx
,余弦cos
?
?,正切tan
?
? ,余切cot
?
?
2、三角函数的定义域：
rrxy

三角函数
f(x)?
sinx
f(x)?
cosx
f(x)?
tanx
f(x)?
cotx
f(x)?
secx
f(x)?
cscx
定义域
?
x|x?R
?

?
x|x?R
?
1
??
?
x|x?R且x?k
?
?
?
,k?Z
?

2
??
?
x|x?R且x?k
?
,k ?Z
?

1
??
?
x|x?R且x?k
?
?
?
,k?Z
?

2
??
?
x|x?R且 x?k
?
,k?Z
?



（二）单位圆与三角函数线
1、单位圆的三角函数线定义
如图(1)PM表示?
角的正弦值，叫做正弦线。OM表示
?
角的余弦值，叫做余弦线。
如 图(2)AT表示
?
角的正切值，叫做正切线。
AT
?
表示
?
角的余切值，叫做余切线。
注：
线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负

（三）同角三角函数的基本关系式

同角三角函数关系式
(1)
sin
?
?csc
?
?1
，
cos
?
?s ec
?
?1
，
tan
?
?cot
?
?1< br>
(2)商数关系：

sin
?
co
?
s
?tan
?

?co
?
t

cos
?
sin
?
222222
(3)平方关系：
sin
?
?cos
?
?1< br>，
1?tan
?
?sec
?
，
1?cot
?
?csc
?

（四）诱导公式

sin(2k
?
?x)?sinx
cos(2k
?
?x)?cosx
sin?(x )??sinx
cos?(x)?cosx
?(x)??tanx

tan(2k
?
?x)?tanx

tan
co t?(x)??coxt
cot(2k
?
?x)?cotx

s in(
?
?x)??sinx
cos(
?
?x)??cosx
tan(
?
?x)?tanx
cot(
?
?x)?cotx
sin(
?
?x)?sinx
sin2(
?
?x)??sinx< br>cos2(
?
?x)?cosx
tan2
?
(?x)??ta nx

2
?
(?x)??coxt

co t
1
cos(
?
?
?
)??sin
?
2< br>1
sin(
?
?
?
)?cos
?
2
1
tan(
?
?
?
)??cot
?
2
1< br>sin(
?
?
?
)?cos
?
2
cos(< br>?
?x)??cosx
1
cos(
?

)

?

?

?

sin

?
tan(
?
?x)??tanx

2
1
tan(
?
?
?
)?cot
?
co t(
?
?x)??cotx
2

三 三角函数的图像与性质
（一）基本图像：
1．正弦函数





2．余弦函数





3．正切函数

4.余切函数




（二）、函数图像的性质
正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：

y?sinx
R
定义域

y?cosx
R

xy?tany

?cotx

?
x|x?R且
1
x?k
?
?
?
?
2
?
x|x?R且x?k
?
?
R R

值域
周期
奇偶
[?1,?1]

[?1,?1]

2
?

奇函数 偶函数

上为
2
?

?

奇函数
?

奇函数
[?
?
2
?2k< br>?
,
[
?
2k?1
?
?
,
2k?
]
?
2
单调
上为增
?
?
??
?
??k
?
,?k
?
?
2
?
2
?
上为增函数
(
k?Z
)
?
k
?
,k
?
?
?
?

上为减函数
(
k?Z
)
?2k
?
]
[
函数
?
增函数
2
3
?
?2k
?
]
2
?2k
?
,

[2k
?
,
?
2k?1
?
?
]
(
k?Z
)


上为减函数
上为减函数
(
k?Z
)
对称轴为
对称轴为
x

?k
?
，
无对称轴，
对称中心为
无对称轴，
对称中心为
x?k
?
?
对称
?
，对称
2
对称中心为
中心为
(k
?
,0)
，
(k
?
?
?
2
,0)
k?Z

(
k
?
,0)
k?Z
2

(
k
?
,0)
k?Z

2
k?Z



（三）、常见结论：
1.
y?sinx
与
y?cosx
的周期是
?
.

2.
y?sin(
?
x?
?
)
或< br>y?cos(
?
x?
?
)
(
?
?0
)的周期
T?
2
?
?
.
3.
y?tan
x
的周期为2
?
.
2
4.
y?sin(
?
x?
?
)
的对称轴方程是
x? k
?
?
?
2
(
k?Z
)，对称中心(
k< br>?
,0
)；
y?cos(
?
x?
?
)的对称轴方程是
x?k
?
(
k?Z
)，对称中心(
k< br>?
?
1
?
,0
)；
2
y?tan(
?
x?
?
)
的对称中心(
tan
?
?1,
?
?
?
?k
?
?
5.当
tan
?
·
k
?
,0
).
2
2
(k?Z)
；
?
?
·
tan
?
??1,
?
?
?
?k
?
?

tan
6.函数
?
2
(k?Z)

y?tanx
在
R
上为增函数.(×) [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，
y?tanx
为增函数，同样也是错误的.
7.奇函数特有性质： 若
0?x
的定义域，则
f(x)
一定有
f(0)?0
.(< br>0?x
的定义域，则无此性
质)
8.
y?sinx
不是周 期函数；
y?sinx
为周期函数(
T?
?
)；
y?co sx
是周期函数(如图)；
y?cosx
为周期函数(
T?
?
)；
y?cos2x?











1
的周期为
?
(如图)，并非所有周期函数都有最小正周期，例如：
2
▲
▲
y
y
x
12
x
y=cos|x| 图象
y=|cos2x+12|图象

四 和角公式
两角和与差的公式
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

tan(
?
?
?
)?
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin?

tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?

1?tan
?
tan
?
tan
?
?tan
?

sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
si n
?

sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

五 倍角公式和半角公式

（一）倍角与半角公式：
sin2
?
?2sin
?
cos
?

sin
?
2
??
1?cos
?
2

cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
cos
?
cos
?
2
??
1?
2

tan2
?
?
2tan
?
1?tan
2
?
tan
?
1?cos
?
sin
?
1?cos
2
??
1?cos
?
?
1?cos
?
?
?
sin
?

（二）万能公式：
2tan
?
sin
?
?
2
1?tan
2< br>?
1?tan
2
?

cos
?
?
2

2
1?tan
2
?

2



六 三角函数的积化和差与和差化积
公式
1?tan
?
tan
?
2tan
?
tan
?
?
2
1?tan< br>2
?
2

1
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
?
?
?
?
?
?
2
?
1
cos
?
sin
?
?< br>?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?< br>?
?
?
?
?
??
2

1
c os
?
cos
?
?
?
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
?
?
?
?
?< br>??
2
1
sin
?
sin
?
??
?
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
?
?
?
?
?
?
2
?
sin
?
cos
?
?
sin
?
?sin
?
?2sinsin
?
?sin
?
?2cos
?
?
?
2
2
cos
?
?
?
2
2

?< br>?
?
sin
?
?
?
cos
?
?co s
?
??2sin
?
?
?
2
sin
??
?
2

sin15
?
?cos75
?
?
6?2
6?2
??
,
sin75?cos15?
,
4
4
tan15
?
?cot75
?
?2?3
,
tan75
?
?cot15
?
?2?3




第五章 平面向量
一 向量的概念
向量的常识性概念
1．向量：既有大小又有方向的量
2．向量的表示：图形表示， 箭头的方向表示向量的方向，线段的长短表示向量的
大小；字母表示，向量可以写成
AB
,
a
(手写版)或
a
(印刷版)
3．零向量：大小为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。
4．向量共线或平行：两个 向量方向相同或相反时，都可以称作两个向量共线或平行。
a
与
b
平
行或共线的等价条件是：
a=kb

图9-1
二 向量的加减法运算

（一）几何运算：五大运算工具，凡是加减法几何运算，先从加法角
度来理解，再利 用加法交换律算减法
1.平行四边形法则(如图9-1)：两个向量的和等于以
这两个向量的临边的平行四边形的对角线表示的向量
AB?AD?AC
图9-1



2.三角形法则(如图9-2)： 首位相连的两个向量之和
等于另一个向量(与前两个不首尾相连)
AB?BC?AC
，
AC?AB?BC
图9-2

3.多边形法则(如图9-3)：首尾相连的若干 个向量之和等于另一个
向量
AB?BC?CD?DF?AF

4.中线法则(如图9-4)：三角形底边中线所表示的向量等于两临边
向量之和的一半。在向 量图形中提到中点，一定用中线 图9-3
法则解题。 图中 D 为 BC 中点。
AB?AC?2AD




图9-4
(五)终边在一条直线上的多向量运算(如图9-5)：起始点相同，
终点落在同一 条直线上的三个向量，其中任何一个可以用其他两
个乘以系数加和表示。两个系数之和一定为1。凡在同 一个图中出
现以下形式的三个向量，
一定用此结论解题。证明过程如下：


图9-5
BC?AC?AB
BC与CD共线
CD?AD?AC
?BC?kC D
?AC?AB?kAD?AC
?AB?（1+k）AC?kAD
AD?
??
AC?
k1
AD?AB
1+k1+k

1+k1< br>AC?AB
kk
结论：
AB?m
1
AC?n
1
ADm
1
?n
1
?1

AC?m
2
AB ?n
2
AD
AD?m
3
AB?n
3
AC
（ 二）坐标运算：基本运算法则
已知
a?(x
1
,y
1
),

三 向量的乘法运算

（一）坐标运算：
已知
a?(x
1
, y
1
),
m
2
?n
2
?1

m
3
?n
3
?1

b?(x
2
, y
2
)
，
a?b?(x
1
?x
2
,y1
?y
2
)
，
a?b?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)

ka?(kx
1,ky
1
)?a?(?x
1
,?y
1
)
，表示 与
a
大小相等方向相反的向量，叫
a
的相反向量。
b?(x
2
,y
2
)

a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2

注：向量的加减法结果得到的是向量，向量的乘法得到是数。
（二）向量的公式运算：
1．乘法公式：
a?b?a?b?cos
?

?
是
a
与
b
的夹角，
?
?
?
0,
?
?

2．混合运算公式：
(1)
a?bc?d?a?c?a?d?b?c?b?d

(2)
a?b?b?a

????

(3)
a?b?c?c?b?a
即多个向量相乘除不能改变运算顺序。

四 向量运算的应用
2
（一）求向量的模：根据向量的乘法公式
a?a
=
x?y

2
22
（二）求向量的夹角：根据向量的乘法公式
cos
?
?
公式解题。
（三）投影问题(如图9-6 )：
a
在
b
上的投影就是
a
a?b
a?b
，凡是提到向量夹角，一律列向量乘法
cos
?
，只有
乘法运算中才能出现这种形式，凡是提到一个向量在另一个向量上的< br>投影，一定要列这两个向量的
乘法公式解决问题。

图9-6
（四）向量垂直：
a?b?夹角
?
?90
o
?a?b?0?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0

（五）向量平行：
ab?a?kb?x
1
y
2
? x
2
y
1




第六章 不等式
一 不等式的证明
证明不等式选择方法的程序：
①做差：证明不等式首选不等式 ，做差的本质是因式分解，能否使用做差法取决于做差
后能否因式分解；
②作比：通过构造同底或同指数合并作比结果，再利用指对数图像判断大于小于1；
③用公式：构造公式形式；等价变形：左右两边n次方；
平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a、b为正数)：
a
2
?b
2
a?b2
(当a = b时取等)
??ab?
11
22
?
ab
3
a?b?c
abc?
3
，
a
1
?a
2
?a
3
?a
1
?a
2
?a
3
，
a?b?a?b?a?b( ab?0时,取等)

④等价变形： 不能直接做差、做比、用公式的先等价变形在做差、做比、用公式证明，
后面的方法都是特殊的等价变形 方法；
⑤逆代：把数换成字母；
⑥换元：均值换元或三角换元；
⑦放缩：放大或缩小成一个恰好可以化简的形式；
⑧反证：条件比较复杂，结论比较简洁时，把结论的相反情况当成条件反证；
⑨函数求值域：共有四种方法：见函数值域部分；
⑩几何意义：斜率，截距，距离；数学归纳法:适合数列不等式。

二 不等式的解法
(一)有理不等式
1．一次不等式：
ax?b

解一次不等式主要考察讨论系数大于零小于零等于零的三种情况。
2．二次不等式：
ax?bx?c?0

两根之内或两根之外，主要考查根与系数的关系。
3．高次不等式：序轴标根法
(二)绝对值不等式、无理不等式、分式不等式
先变形成有理不等式，再求解。
绝对值不等式：
当a> 0时，有
2
x?a?x
2
?a??a?x?a
.
2
x?a ?x
2
?a
2
?x?a
或
x??a
.
无理不等式：
(1)
?
f(x)?0
?
.
f (x)?g(x)?
?
g(x)?0
?
f(x)?g(x)
?
?
f(x)?0
?
f(x)?0
?
.
f(x)?g(x )?
?
g(x)?0
或
?
?
f(x)?[g(x)]
2
?
g(x)?0
?
?
f(x)?0
?

f(x)?g(x)?
?
g(x)?0
?
f(x)?[g(x)]
2
?
(2)
(3)

(三)指数不等式 对数不等式
不等号两边同时取指数或同时取对数，变成相同的形式后，再换元成有理不等式求解。
(1)当
a?1
时,
a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)?g(x)
; ?
f(x)?0
?
log
a
f(x)?log
a
g(x)?
?
g(x)?0
.
?
f(x)?g(x)
?
(2)当
0?a?1
时,
a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)?g(x)
;

?
f(x)?0
?
log
a
f(x)?loga
g(x)?
?
g(x)?0

?
f(x)?g(x)
?
三 线性规划
线性规划，出题现象如下：
?
x?y??1,
?
设变量
x,y
满足约束条件
?
x?y?1,
则目标函数
z?4x?y
的最大值为（ )
?
3x?y?3,
?
A.4 B.11 C.12 D.14
解题步骤：
（1）把不等式组中的一次式看成直线，在平面直角坐标系中画直线，
标明直线序号
（2）依据以下结论确定平面区域：
y?f(x)
是点在直线上方（包括直线）
；
y?f(x)
是点在直线下方（包括直线）
y?f(x)
是点在直线上方（不包括直线）
y?f(x)
是点在直线下方（不包括直线）
（3）确定目标函数函数值的几何意义
1
若目标函数值z表示截距，在已知区域内平移目标函数直线，找出使截距取最大值和最小值（ 4）○
2
若目标函数z表示距离或者距离的平方，精的端点，求出端点坐标代入目标函数，得出 z的最值。○
确作图，在图像中直接观察距离的最大值与最小值相当于是点与点的距离还是点与直线的距 离，用距
离公式直接求最值。
○
3若目标函数z表示斜率，精确画图，利用求斜率取值 范围结论，求最值。

第七章 直线和圆的方程
一、直线方程.
1）. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与
x
轴正方向所成的最小正角叫做这条直 线的倾斜
角，其中直线与
x
轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是< br>0
?
?
?
?180
?
(0?
?
?< br>?
)
.
注：①当
?
?90
?
或
x
2
?x
1
时，直线
l
垂直于
x
轴，它的斜 率不存在.
②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与
x
轴垂直的直线不存在斜率外， 其余每一条直线都
有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.
2）. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.
特别地，当直线经过两点
(a,0 ),(0,b)
，即直线在
x
轴，
y
轴上的截距分别为
a, b(a?0,b?0)
时，

直线方程是：
注：若
y??
y??
x
y
??1
.
ab
22
x?2
是一直线的方程，则这条直线的方程是
y??x?2
，但若
33
2
x ?2(x?0)
则不是这条线.
3
附：直线系：对于直线的斜截式方程
y? kx?b
，当
k,b
均为确定的数值时，它表示一条确定
的直线，如果
k,b
变化时，对应的直线也会变化.①当
b
为定植，
k
变化时， 它们表示过定点
（0，
b
）的直线束.②当
k
为定值，
b< br>变化时，它们表示一组平行直线.
3）. ⑴两条直线平行：
l
1
∥
l
2
?k
1
?k
2
两条直线平行的条件是：①< br>l
1
和
l
2
是两条不重合的直线. ②在
l
1
和
l
2
的斜率
都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的
错误.
（一般的结论是： 对于两条直线
l
1
,l
2
，它们在
y
轴上的纵截距 是
b
1
,b
2
，则
l
1
∥
l2
?k
1
?k
2
，
且
b
1
? b
2
或
l
1
,l
2
的斜率均不存在，即
A
1
B
2
?B
1
A
2
是平行的必要不充分条 件，且
C
1
?C
2
）
推论：如果两条直线
l1
,l
2
的倾斜角为
?
1
,
?
2则
l
1
∥
l
2
?
?
1
??
2
.
⑵两条直线垂直：
两条直线垂直的条件：①设两条直线
l
1
和
l
2
的斜率分 别为
k
1
和
k
2
，则有
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1
这
里的前提是
l
1
,l
2
的斜率都存在. ②
l
1
?l
2
?k
1
?0
，且
l
2
的斜率不存在或
k
2
?0
，且
l
1
的斜率不
存在. （即
A
1
B
2
?A
2
B
1
?0
是垂直 的充要条件）
4）. 直线的交角：
⑴直线
l
1
到
l< br>2
的角（方向角）；直线
l
1
到
l
2
的角， 是指直线
l
1
绕交点依逆时针方向旋转到与
l
2
重合时所转 动的角
?
，它的范围是
(0,
?
)
，当
?
?90
?
时
tan
?
?
k
2
?k
1
.
1?k
1
k
2
⑵两条相交直线
l
1
与
l
2
的夹角：两条相交直线
l
1
与
l< br>2
的夹角，是指由
l
1
与
l
2
相交所成的四
?
?
?
?
0,
个角中最小的正角
?
，又称 为
l
1
和
l
2
所成的角，它的取值范围是
?
，当，则有
?
?90
?
2
?
?
?
k2
?k
1
.
1?k
1
k
2
?
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0?
?
l
2
:A
2
x?B
2
y?C2
?0
tan
?
?
5). 过两直线的交点的直线系方程
A
1
x?B
1
y?C
1
?
?
(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0(
?
为参数，
A
2
x?B
2
y?C
2
?0
不包括在内）

6）. 点到直线的距离：
⑴点到直线的距离公式：设点
P(x0
,y
0
)
，直线
l:Ax?By?C?0,P
到l
的距离为
d
，则有
d?
Ax
0
?By
0
?C
A?B
22
.
注：
22
1. 两点P
1
(x
1
,y
1
)、P
2
(x
2
,y
2
)的距离公式：
|P
.
1
P
2< br>|?(x
2
?x
1
)?(y
2
?y
1
)
特例：点P(x,y)到原点O的距离：
|OP|?x
2
?y
2

2. 定比分点坐标分式。若点P(x,y)分有向线段
PP
,其中12
所成的比为
?
即PP
1
?
?
PP
2
P
1
(x
1
,y
1
),P
2
( x
2
,y
2
).则
x?
x
1
?
?
x
2
y?
?
y
2

,y?
1
1?
?
1?
?
特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式 。
3. 直线的倾斜角（0°≤
?
＜180°）、斜率:
k?tan
?

4. 过两点
P
1
(x
1
,y
1
),P< br>2
(x
2
,y
2
)的直线的斜率公式：k?
当
x
1

⑵两条平行线间的距离公式：设两条平行直线
l
1
:Ax?By?C
1
?0,l
2
:Ax?By?C
2
?0( C
1
?C
2
)
，
它们之间的距离为
d
，则 有
d?
C
1
?C
2
A?B
22
y
2
?y
1
.
x
2
?x
1
(x
1
?x
2
)

?x
2
,y
1
?y< br>2
（即直线和x轴垂直）时，直线的倾斜角
?
＝
90?
，没有 斜率
王新敞
.
注；
直线系方程
1. 与直线：Ax+By+C= 0平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.( m?R, C≠m).
2. 与直线：Ax+By+C= 0垂直的直线系方程是：Bx-Ay+m=0.( m?R)
3. 过定点（x
1
,y
1
）的直线系方程是： A(x-x
1
)+B(y-y
1
)=0 (A,B不全为0)
4. 过直线l
1
、l
2
交点的直线系方程：（A
1
x+B
1
y+C
1
）+λ( A
2
x+B
2
y+C
2
）=0 (λ?R） 注：该
直线系不含l
2
.

7). 关于点对称和关于某直线对称：
⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.
⑵关于某直线对称 的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称

直线距离相等.
若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.
⑶点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对
称点的直线方 程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.
注：①曲线、直线关于一直线（
y??x?b
）对称的解法：y换x，x换y. 例：曲线f(x ,y)=0
关于直线y=x–2对称曲线方程是f(y+2 ,x –2)=0.
②曲线C: f(x ,y)=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是f(a – x, 2b – y)=0.
二、圆的方程.
1. ⑴曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线
C
上的 与一个二元方程
f(x,y)?0
的实数
建立了如下关系：
①曲线上的点的坐标都是这个方程的解.
②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）.
⑵曲线和方程的关系，实质 上是曲线上任一点
M(x,y)
其坐标与方程
f(x,y)?0
的一种关系，
曲线上任一点
(x,y)
是方程
f(x,y)?0
的解；反过来，满 足方程
f(x,y)?0
的解所对应的点是
曲线上的点.
注：如果曲线C的方程是f(x ,y)=0，那么点P
0
(x
0
,y)线C上的充要条件是f(x
0
,y
0
)=0
2. 圆的 标准方程：以点
C(a,b)
为圆心，
r
为半径的圆的标准方程是
( x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
.
特例：圆心 在坐标原点，半径为
r
的圆的方程是：
x
2
?y
2
?r
2
.
注：特殊圆的方程：①与
x
轴相切的圆方程
(x ?a)
2
?(y?b)
2
?b
2

[r?b,圆心(a,b)或(a,?b)]

②与
y
轴相切的圆方 程
(x?a)
2
?(y?b)
2
?a
2

[r?a,圆心(a,b)或(?a,b)]

③与
x
轴
y
轴都相切的圆方程
(x?a)
2
?(y?a)
2
?a
2

[r?a,圆心(?a,?a)]

3. 圆的一般方程：
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
. < br>?
DE
?
当
D?E?
4
F?
0
时， 方程表示一个圆，其中圆心
C
?
?,?
?
，半径
r?
2
??
2
22
D
2
?E
2
?4F
.
2
当
D
2
?E
2
?4F?0
时，方 程表示一个点
?
?
?
DE
?
,?
?
. < br>22
??
当
D
2
?E
2
?
4
F?
0
时，方程无图形（称虚圆）.

注：①圆的参数方程：
?
?
x?a?rcos
?
（
?
为参数）.
y? b?rsin
?
?
②方程
Ax
2
?Bxy?Cy
2
?Dx?Ey?F?0
表示圆的充要条件是：
B?0
且
A?C?0< br>且
D
2
?E
2
?
4
AF?
0
.
③圆的直径或方程：已知
A(x
1
,y
1
)B(x< br>2
,y
2
)?(x?x
1
)(x?x
2
)? (y?y
1
)(y?y
2
)?0
（用向量可征）.
4. 点和圆的位置关系：给定点
M(x
0
,y
0
)
及圆
C:(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
.
①< br>M
在圆
C
内
?(x
0
?a)
2
?( y
0
?b)
2
?r
2

（x
0
? a)
2
?(y
0
?b)
2
?r
2
②M
在圆
C
上
?
③
M
在圆
C
外
?(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2?r
2

5. 直线和圆的位置关系：
设圆圆
C
：
(
x?a
)
2
?
(
y?b
)
2
?r
2
(
r?
0)
； 直线
l
：< br>Ax?By?C?
0(
A
2
?B
2
?
0)< br>；
圆心
C(a,b)
到直线
l
的距离
d?①
d?r
时，
l
与
C
相切；
22
?
?
x?y?D
1
x?E
1
y?F
1
?0< br>附：若两圆相切，则
?
?
相减为公切线方程.
22
?
?
x?y?D
2
x?E
2
y?F
2
?0
Aa?Bb?C
A?B
22
.
②
d?r
时，
l
与
C
相交；
C
1
:

x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
附：公共弦方程：设
C
2
:x
2
?y
2
?D
2
x?E
2
y?F
2
?0

有两个交点，则其公共弦方程为
(D
1
?D
2
)x?(E
1
?E
2
)y?(F
1
?F
2
)?0
.
③
d?r
时，
l
与
C
相离.
22?
?
x?y?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
附：若两圆相离，则
?
?
相减为圆心
O
1
O< br>2
的连线的中与线方程.
22
?
?
x?y?D
2< br>x?E
2
y?F
2
?0
?
?
(x?a)2
?(y?b)
2
?r
2
由代数特征判断：方程组
?
用代入法，得关于
x
（或
y
）的一元二次方
?
A x?Bx?C?0
?
程，其判别式为
?
，则：
??0?l
与
C
相切；
??0?l
与
C
相交；

??0?l
与
C
相离.
注：若两圆为同心圆则x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F< br>1
?0
，
x
2
?y
2
?D
2
x?E
2
y?F
2
?0
相减，不表示直
线.
6. 圆的切线方程：圆
x
2
?y
2
?r
2
的斜率为
k
的切线方程是
y?kx?1?k
2
r
过圆x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0

上一点
P (x
0
,y
0
)
的切线方程为：
x
0
x? y
0
y?D
x?x
0
y?y
0
?E?F?0
.
22
①一般方程若点(x
0
,y
0
)在圆上，则(x – a)(x
0
– a)+(y – b)(y
0
– b)=R
2
. 特别地，过圆
x
2
?y
2
?r
2
上
一点
P(x
0
,y0
)
的切线方程为
x
0
x?y
0
y?r
2
.
?
y
1
?y
0
?k(x
1
?x
0
)
?
b?y
1
?k(a?x
1
)
，联立求出
k?
切线方程.
B
②若点(x
0
, y
0
)不在圆上，圆心为(a,b)则
?
?
R?
R
2
?1
?
A
C
D
(a,b)
7. 求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图：ABCD四类共
圆. 已知
?O
的方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0…① 又以ABCD为圆为方程为
(x?x
A
)(x?a)?(y?y
A
)(x?b)?k
2
…②
(x
A
?a)
2?(y
A
?b)
2
…③，所以BC的方程即③代②，①②相切即为所求.
R?
4
2

三、曲线和方程
1.曲线与方程：在直角坐标系中，如果曲线C和方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：
1） 曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解（纯粹性）；
2） 方程f(x, y)=0的解为坐标的点都在曲线C上（完备性）。则称方程f(x,y)=0为曲线C的
方程，曲线C 叫做方程f(x,y)=0的曲线。
2.求曲线方程的方法：.
1）直接法：建系设点，列式表标,简化检验; 2）参数法; 3）定义法， 4）待定系
数法.



第八章 圆锥曲线

一 椭圆方程

（一） 椭圆的定义：
PF
1
?PF
2
?2a?F
1
F
2
方程为椭圆；
PF
1
?PF
2
?2a?F
1
F
2
无轨迹；
PF
1
?PF
2
?2a?F
1
F
2
以
F1
,F
2
为端点的
线段。
（二） 椭圆的方程:
①椭圆的标准方程：
i. 中心在原点，焦点在x轴上：
x
2
y< br>2
a
2
?
b
2
?1(a?b?0)
. 中心在原点，焦点在
y
轴上：
y
2
x
2
ii.
a
2
?
b
2
?1(a?b?0)
. < br>②一般方程：
Ax
2
?By
2
?1(A?0,B?0)
.
③椭圆的标准参数方程：
x
2
y
2
?
x?a cos
?
a
2
?
b
2
?1
的参数方程为< br>?
?
y?bsin
?

（三）椭圆的几何性质：
①顶点：A
(a,0)
,B
(?a,0)
,C
(0,b)
和 D
(0,?b)
.
②轴：对称轴：x轴，
y
轴；长轴长
A B
=
2a
，短轴长
CD
=
2b
.
③焦点：
F
1
(?c,0)
,
F
2
(c,0)

④焦距：
F
1
F
2
?2c
，
a
2
?b
2
?c
2
.
⑤离心率：
e?
c
a
(0?e?1)
.


二 双曲线方程
（一）双曲线的定义：
PF
1
?P F
2
?2a?F
1
F
2
方程为双曲线
PF
1
?PF
2
?2a?F
1
F
2
无轨迹
< br>PF
1
?PF
2
?2a?F
1
F
2
以F
1
,F
2
的一个端点的一条射线
（二）双曲线的方程
①双曲线标准方程：

x
2
y
2
?
2
?1(a,b?0)
.
2
ab
y
2
x
2
ii. 中心在原点，焦点在y
轴上：
2
?
2
?1(a,b?0)

ab
i. 中心在原点，焦点在x轴上：
②一般方程：
Ax
2
?Cy
2
?1(AC?0)
.
?
x?asec
?
x
2
y
2
的参数方程为
??1
?
22
y?btan
?
ab
?
（三 ）双曲线的几何性质
③椭圆的标准参数方程：
①i. 焦点在
x
轴上：顶点 ：
(a,0),(?a,0)
；焦点：
(c,0),(?c,0)
；
x
2
y
2
x
y
渐近线方程：
??0
或< br>2
?
2
?0

ab
ab
ii. 焦点在y
轴上：顶点：
(0,?a),(0,a)
；焦点：
(0,c),(0, ?c)
；
y
2
x
2
y
x
渐近线方程：< br>??0
或
2
?
2
?0
，
ab
ab
②轴：
x,y
为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c.
c
.
a
222
③离心率
e?
④ 参数关系
c?a?b,e?
（四）常见的特殊双曲线：
c
.
a
①等轴双曲线：双曲线
x
2
?y
2
??a
2称为等轴双曲线，其渐近线方程为
y??x
，离心率
e?2
.
②共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的
x
2y
2
x
2
y
2
共轭双曲线.
2
?2
?
?
与
2
?
2
??
?
互为 共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：
ab
ab
x
2
a
2< br>?
y
2
b
2
?0
.
x
2
a
2
③共渐近线的双曲线系方程：
?
y
2
b
2?
?
(
?
?0)
的渐近线方程为
x
2
a
2
?
y
2
b
2
?0
如果双曲
x
2
y
2
x
y
线的渐近线为
??0
时，它的 双曲线方程可设为
2
?
2
?
?
(
?
?0)
.
ab
ab
例如：若双曲线一条渐近线为
y?
11
x
且过
p(3,?)
，求双曲线的方程？
22
1
x2
y
2
x
2
2
解：令双曲线的方程为：
??1
.
?y?
?
(
?
?0)
，代入
(3,? )
得
2
82
4
（五）直线与双曲线的位置关系：如下图.

区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；
区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；
区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；
▲
y
直线，合区 域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的
计2条；
3
4
2
区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.
小结 ：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直
1
线数目可能有0、2、3、4条.
5
3
F
1
F
2


3
三 抛物线方程
设
p?0
，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：

y
2
?2px

▲
x
y
2
??2px

▲
x
2
?2py

▲
x
2
??2py

▲
y
y
y
y
图形
x
O
x
O
x
O
x
O

焦点
准线
范围
对称轴
顶点
离心率
焦半径
PF?
p
?x
1

2
PF?
F(
p
,0)

2
p

2
x
轴

F(?
p
,0)

2
p

2
F(0,
y??
p
)

2
p

2

F(0,?
y?
p
)

2
p

2

x??x?
x?0,y?R

x?0,y?R

x?R,y?0

x?R,y?0

y
轴
(0，0)
e?1

p
?x
1

2
PF?
p
?y
1

2
PF?
p
?y
1

2
4ac?b
2
b
?)
. 注：①
ay?by?c ?x
顶点
(
4a2a
2
②
y?2px(p?0)
则 焦点半径
PF?x?
P
x
2
?2py(p
;
2< br>2
?0)
则焦点半径为
PF?y?
P
.
2
③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.
?
x?2pt
2
?
x?2pt
④
y?2px
(或
x?2py
)的参 数方程为
?
(或
?
2
)(
t
为参数).
y?2pty?2pt
??
22

第九章. 立体几何
一、
平面.
1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.
注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.
2. 两个平面可将平面分成3或4部分.
（①两个平面平行，②两个平面相交）
3. 过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面.
（①三条直线在一个平面内平行，②三条直线不在一个平面内平行）
[注]：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有0或1个.
4. 三个平面最多可把空间分成 8 部分.（X、Y、Z三个方向）

二、 空间直线.

1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点；平行直
线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内
[注]：①可能两条直线平行，也可能是点和直线等
②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交
③若直线a
、
b异面，a平行 于平面
?
，b与
?
的关系是相交、平行、在平面
?
内.
④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.
⑤射影不一定只有直线，也可以是其他图形
⑥并非是从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段
．．
⑦
a,b是夹在两平行平面间的线段，若
a?b
，则
a,b
的位置关系为相交或平 行或异面.
2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是 异
面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）
3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角
相等（如下图）.
（二面角的取值范围
?
?
?
0
?
,180
?
?
）
（直线与直线所成角
?
?
?
0
?
,90
?
?
）

1

1

2
（斜线与平面成 角
?
?
?
0
?
,90
?
?
）

2
（直线与平面所成角
?
?
?
0
?
,90
?
?
）
方向相同
方向不相同
（向量与向量所成角
?
?[0< br>?
,180
?
])

推论：如果两条相交直线和另两条相交直 线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）
相等.
5. 两异面直线的距离：公垂线的长度.
空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直. l
1
,l
2
是异面直线，则过
l
1
,l
2
外一点P，过点P且与
l
1
,l
2
都平行平面有一个或 没有，但与
l
1
,l
2
距离相等的点在同一平面内. （
L
1
或
L
2
在这个做出的平面内不能叫
L
1
与
L
2
平行的平面）
三、 直线与平面平行、直线与平面垂直.
1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.
2. 直线与平面平行判定定理 ：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条

直线和这个平面平行.（“ 线线平行，线面平行”）
[注]：①直线
a
与平面
?
外一条直线平 行，则
a
∥
?
.
②直线
a
与平面
?外一条直线相交，则
a
与平面
?
相交.
③若直线
a
与平面
?
平行，则
?
内必存在无数条直线与
a
平行 .
④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面或在平面上
⑤平行于同一直线的两个平面平行或相交
⑥平行于同一个平面的两直线相交或异面或平行 < br>⑦直线
l
与平面
?
、
?
所成角相等，则
?< br>∥
?
或
?
与
?
相交
3. 直线和平面平行 性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个
平面相交，那么这条直线和交线平 行.（“线面平行，线线平行”）
4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有 且只有一条直线和一个平
P
面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.
? 若
PA
⊥
?
，
a
⊥
AO
，得
a< br>⊥
PO
（三垂线定理），
a
O
A
得不出
?
⊥
PO
. 因为
a
⊥
PO
，但
PO
不垂直OA.
? 三垂线定理的逆定理亦成立.
直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直 线都垂直，那么这
两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）
直线与平面垂直的 判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直
于这个平面.
推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.
[注]：①垂直于同一条直线的两个平面平行
．．．．．
②垂一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面
③垂直于同一平面的两条直线平行
5. ⑴垂线段和斜线段长定理：从平面外一点向这个平面 所引的垂线段和斜线段中，①射影
．．
相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等 的斜线段的射影相等，较长的斜线
段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.
[注]：垂线在平面的射影为一个点.
⑵射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两 边的距离相等，那么这点在平面内的
射影在这个角的平分线上
四、 平面平行与平面垂直.
1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.
2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有 两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个
平面平行.（“线面平行，面面平行”）
推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.
[注]：一平面间的任一直线平行于另一平面.
3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平 面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平
行.（“面面平行，线线平行”）
4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.
两个平面垂直性质判 定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于
P
这个平面.（“线面垂 直，面面垂直”）
注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，
?
?
则两个二面角没有什么关系.
B
M
A
5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么
O
θ
在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.

推论：如果两个相交平面都垂直于第三
平面，则它们交线垂直于第三平面.
证明：如图，找O作OA、OB分别垂直
于
l
1
,l
2
，
因为
PM?
?
,OA?
?
,PM?
?
,OB?
?

则
PM?OA,PM?OB
.
6. 两异面直线任意两点间的距离公式：
θ
θ
1
θ
2
图2
图1
?
?
?
l?m
2
?n
2
?d
2
?2mncos
?
（
?
为锐角取加，
?
为钝取减，综上，都取加则必有
?
?
?
0,
?
）
2
??
7. ⑴最小角定 理：
cos
?
?cos
?
1
cos
?
2< br>（
?
1
为最小角，如图）
⑵最小角定理的应用（∠PBN为最小角）
简记为：成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，一定有4条.
成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，一定有2条.
成角比交线夹角一半大，又与交线夹角相等，一定有3条或者2条.
成角比交线夹角一半小，又与交线夹角一半小，一定有1条或者没有.
五、 棱锥、棱柱.
1. 棱柱.
⑴①直棱柱侧面积：
S?Ch
（
C
为底面周 长，
h
是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为
矩形得出的.
②斜棱住侧 面积：
S?C
1
l
（
C
1
是斜棱柱直截面周长，< br>l
是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜
棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.
⑵{四棱柱}
?
{平行六面体}
?
{直平行六面体}
?
{ 长方体}
?
{正四棱柱}
?
{正方体}.
{直四棱柱}
?
{平行六面体}={直平行六面体}.
四棱柱
底面 是侧棱垂直底面是
平行六面体直平行六面体
底面矩形
平行四边形
长方体
底面是
正方形
正四棱柱
侧面与
正方体
底面边长相等

⑶棱柱具有的性质：
①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧 面都是矩形；正棱
．．．．．．．．
柱的各个侧面都是全等的矩形.
．．．．．
②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形.
．．
③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.
注：①直棱柱不能保证底面是钜形可如图
②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直.
⑷平行六面体：
定理一：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分.
．．．．．．．．．．．．．
[注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点.
定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.
推论一：长方体一 条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为
?
,
?
,
?
，则
co
2
s
?
?co
2
s
?
?co
2
s
?
?1
.
推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的 三各侧面所成的角为
?
,
?
,
?
，则
222
cos
?
?cos
?
?cos
?
?2
.

[注]：①斜四面体的两个平行的平面可以为矩形
②应是各侧面都是正方形的直棱柱才行
．
③只能推出对角线相等，推不出底面为矩形
④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. （两条边
可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件）
2. 棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.
[注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.
②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥； 所以
V
棱柱
?Sh?3V
棱柱
.
⑴①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心.
[注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）
ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等
iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底
面为正多边形.
②正棱锥的侧面积：
S?
1
Ch
'
（底面周长为
C
，斜高为
h
'
）
2
S
底
cos
?
（侧面与底面成的二面角为
?
） ③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：
S
侧
?
附：
c
以知
c
⊥
l
，
cos
?
?a?b
，
?
为二面角
a?l?b
.
a
则
S
1
?
l
b
1
1
a?l
①，< br>S
2
?l?b
②，
cos
?
?a?b
③ < br>?
①②③
2
2
得
S
侧
?
S
底
cos
?
.
注：S为任意多边形的面积（可分别多个三角形的方法）.
⑵棱锥具有的性质：
①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边 上的高相等（它叫
做正棱锥的斜高）.
②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直 角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱
在底面内的射影也组成一个直角三角形.
⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：
①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.
②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.
③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.
④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.
⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.
⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.
⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半
径；
⑧每个四面体都有内切球，球心
I
是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离 等于
半径.

[注]：i.各个侧面的等腰三角形不知是否全等
A
ii. 若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直.
a
b
简证：AB⊥CD，AC⊥BD
?
BC⊥AD. 令
AB?a,AD?c,AC?b

B
c
C
D
E< br>F
得
BC?AC?AB?b?a,AD?c?BC?AD?bc?ac
，已知< br>a?c?b?0,b?a?c?0

D
A
?
?
??
O'
H
B
G
C
?ac?bc?0
则
BC?AD?0
.
iii. 空间四边形OABC且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形.
iv. 若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形.
简证：取AC中点O'
，则
oo
?
?AC,BO
?
?AC?AC?
平面
OO
?
B?AC?BO??FGH?
90°
易知EFGH为平 行四边形
?
EFGH为长方形.若对角线等，则
EF?FG?EFGH
为正方 形.
3. 球：⑴球的截面是一个圆面.
①球的表面积公式：
S?4
?
R
2
.
4
②球的体积公式：
V?
?
R
3
.
3
O
r
⑵纬度、经度：
①纬度：地球上一点
P
的 纬度是指经过
P
点的球半径与赤道面所成的角的度数.
②经度：地球上
A, B
两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面
的二面角的度数，特别 地，当经过点
A
的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是
B
点
的经度.
附：①圆柱体积：
V?
?
r
2
h
（r
为半径，
h
为高）
1
②圆锥体积：
V?
?
r
2
h
（
r
为半径，
h
为高）
3
1
③锥形体积：
V?Sh
（
S
为底面积，
h为高）
3
R
O


4. ①内切球：当四面体为正 四面体时，设边长为a，
h?
得
3
2
3
2
6
a
，
S
侧
?a

a
，
S
底?
3
44
3
2
63
2
13
2
2426
a?a?a?R??a?R?R?a3?a?3?a
.
434344344
11
V??S?R?3?S
底
?R?S
底
?h
注 ：球内切于四面体：
B?ACD
侧
33
②外接球：球外接于正四面体，可如图 建立关系式.
六. 空间向量.
1. （1）共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重
合.
注：①若
a
与
b
共线，
b
与
c
共线，则< br>a
与
c
共线.（×） [当
b?0
时，不成立]
②向量
a,b,c
共面即它们所在直线可能异面
③若
a
∥
b
，则存在小任一实数
?
，使
a?
?
b
. （×）[与
b?0
不成立]

④若
a
为非零向量，则
0?a?0
.
（2）共线向量定理：对空间任意两个向量
a,b(b?0)
，
a
∥
b
的充要条件是存在实数
?
（具
有唯一性），使
a??
b
.
（3）共面向量：若向量
a
使之平行于平面
?
或
a
在
?
内，则
a
与
?
的关系是 平行，记作
a
∥
?
.
（4）①共面向量定理：如果两个向量
a,b
不共线，则向量
P
与向量
a,b
共面的充要条件是存
在实数对x、y使
P?xa?yb
.
②空间任一点、B、C，则
OP?x OA?yOB?zOC(x?y?z?1)
是PABC四
．．．
O
．
和不共线三点
．．．．．．
A
．．．．．
点共面的充要条件.（简证：
OP?(1?y?z)OA?yOB?zOC?AP?yAB?zAC?
P
、
A、
B
、
C
四点共面）
注：①②是证明四点共面的常用方法.
2. 空间向量基本定理：如果三个向量，那么对空间任一向量
P
，存在一个唯一．．．．
a,b,c
不共面
．．．
A
的有序实数组x
、
y
、
z，使
p?xa?yb?zc
.
D
推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P, 都存在
B
M
G
C
唯一的有序实数组x
、
y
、
z使
OP?xOA?yOB?zOC
(这里隐含x+y+z≠1).
注：设四面体ABCD的三条棱，
AB?b,AC?c,AD?d,
其
1< br>中Q是△BCD的重心，则向量
AQ?(a?b?c)
用
AQ?AM?MQ即证.
3
3. （1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标） ，y轴是纵轴（对
应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）.
①令
a
=( a
1
,a
2
,a
3
),
b?(b
1
,b
2
,b
3
)
，则
a?b?(a
1
?b
1
,a
2
?b
2
,a
3
?b
3
)
?
a?(
?
a
1
,
?
a2
,
?
a
3
)(
?
?R)
< br>a?b?a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
a
∥
b?a
1
?
?
b
1
,a
2
?
?
b
2
,a
3< br>?
?
b
3
(
?
?R)

a
1
a
2
a
3
???
b
1
b
2b
3

a?b?a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
?0

a?a?a?a
1
2
?a
2
2
?a3
a
2
?a?a?a?a?a
)
2
(用到常用的向量 模与向量之间的转化：
?
?
?
?
a?b
cos?a,b??
?
?
?
|a|?|b|
a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
22222
a
1
?a
2
?a
3
?b
1
2
? b
2
?b
3

②空间两点的距离公式：
d?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)< br>2
?(z
2
?z
1
)
2
.
（2） 法向量：若向量
a
所在直线垂直于平面
?
，则称这个向量垂直于平面
?
，记作
a?
?
，
如果
a?
?
那么向量< br>a
叫做平面
?
的法向量.
（3）用向量的常用方法：
① 利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面
?
的法向量，AB是平面
?
的一条射
|AB?n|
线，其中
A?
?
，则点B到平面
?
的距离为
|n|
.
②利用法向量求二面角的平面角定理：设
n1
,n
2
分别是二面角
?
?l?
?
中平面?
,
?
的法向量，
n
1
,n
2
则n
1
,n
2
所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（
n
1
,n
2
方向相同，则为补角，
反方，则为其夹角）.
③ 证直线和平面平行定理：已知直线
a??
平面
?
，
A?B?a,C? D?
?
，且CDE三点不共线，
则a∥
?
的充要条件是存在有序实数 对
?
?
?
使
AB?
?
CD?
?
C E
.（常设
AB?
?
CD?
?
CE
求
解< br>?
,
?
若
?
,
?
存在即证毕，若
?
,
?
不存在，则直线AB与平面相交）.
A
n
▲
B
B
?
C
A
▲
n
1
C
D
E
?
n
2
?
?

II. 竞赛知识要点
一、四面体.
1. 对照平面几何中的三角形，我们不难得到立体几何中的四面体的类似性质：
①四面体的六条棱的垂直平分面交于一点，这一点叫做此四面体的外接球的球心；
②四面体的四个面组成六个二面角的角平分面交于一点，这一点叫做此四面体的内接球的球
心；
③四面体的四个面的重心与相对顶点的连接交于一点，这一点叫做此四面体的重心，且重心
将每 条连线分为3︰1；
④12个面角之和为720°，每个三面角中任两个之和大于另一个面角，且三个面角之和为180°.

2. 直角四面体：有一个三面角的三个面角均为直角的四面体称为直角四面体，相当于 平面
几何的直角三角形. （在直角四面体中，记V、l、S、R、r、h分别表示其体积、六条棱长< br>2
之和、表面积、外接球半径、内切球半径及侧面上的高），则有空间勾股定理：S
△< br>ABC
+S
2
△
22
BCD
+S
△
ABD
=S
△
ACD.

3. 等腰四面体：对棱都相等的四面体称 为等腰四面体，好象平面几何中的等腰三角形.根据
定义不难证明以长方体的一个顶点的三条面对角线的 端点为顶点的四面体是等腰四面体，反
之也可以将一个等腰四面体拼补成一个长方体.
（在等腰四面体ABCD中，记BC = AD =a，AC = BD = b，AB = CD = c，体积为V，外接
B
球半径为R，内接球半径为r，高为h），则有
1b
2
?c
2
?a
2
c
2
?a
2
?b
2
a
2
?b
2
?c
2
??
①等腰 四面体的体积可表示为
V?
；
3222
A
O
D
C
②等腰四面体的外接球半径可表示为
R?
2
4
a
2
?b
2
?c
2
；
2
3
a
2
?b
2
?c
2
； ③等腰四面体的四条顶点和对面重心的连线段的长相等，且可表示为
m?
④h = 4r.
二、空间正余弦定理.
空间正弦定理：sin∠ABDsin∠A-BC-D=sin∠AB Csin∠A-BD-C=sin∠CBDsin∠C-BA-D
空间余弦定理：cos∠ABD=c os∠ABCcos∠CBD+sin∠ABCsin∠CBDcos∠A-BC-D



立体几何知识要点
一、知识提纲
（一）空间的直线与平面
⒈平面的基本性质 ⑴三个公理及公理三的三个推论和它们的用途． ⑵斜二测画法．
⒉空间两条直线的位置关系：相交直线、平行直线、异面直线．
⑴公理四（平行线的传递性）．等角定理．
⑵异面直线的判定：判定定理、反证法．
⑶异面直线所成的角：定义（求法）、范围．
⒊直线和平面平行 直线和平面的位置关系、直线和平面平行的判定与性质．
⒋直线和平面垂直
⑴直线和平面垂直：定义、判定定理．
⑵三垂线定理及逆定理．
5.平面和平面平行
两个平面的位置关系、两个平面平行的判定与性质．
6.平面和平面垂直
互相垂直的平面及其判定定理、性质定理．
（二）直线与平面的平行和垂直的证明思路（见附图）
（三）夹角与距离
7.直线和平面所成的角与二面角
⑴平面的斜线和平面所成的角：三面角余弦公式、最小角定理、斜线和平

面所成的角、直线和平面所成的角．
⑵二面角：①定义、范围、二面角的平面角、直二面角．
②互相垂直的平面及其判定定理、性质定理．
8.距离
⑴点到平面的距离．
⑵直线到与它平行平面的距离．
⑶两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线、公垂线段．
⑷异面直线的距离：异面直线的公垂线及其性质、公垂线段．
（四）简单多面体与球
9.棱柱与棱锥
⑴多面体．
⑵棱柱与它的性质：棱柱、直棱柱、正棱柱、棱柱的性质．
⑶平行六面体与长方体：平行六面体、直平行六面体、长方体、正四棱柱、
正方体；平行六面体的性质、长方体的性质．
⑷棱锥与它的性质：棱锥、正棱锥、棱锥的性质、正棱锥的性质．
⑸直棱柱和正棱锥的直观图的画法．
10.多面体欧拉定理的发现
⑴简单多面体的欧拉公式．
⑵正多面体．
11.球
⑴球和它的性质：球体、球面、球的大圆、小圆、球面距离．
⑵球的体积公式和表面积公式．
二、常用结论、方法和公式
1.从一点O出发的三条射线O A、OB、OC，若∠AOB=∠AOC，则点A在平面∠BOC
上的射影在∠BOC的平分线上；
2. 已知:直二面角M－AB－N中，AE
?
M，BF
?
N ,∠EAB=
?
1
,∠ABF=
?
2
，异面
直线A E与BF所成的角为
?
，则
cos
?
?cos
?
1
cos
?
2
;

3.立平斜公式：如图，AB和平面所成的 角是
?
1
，AC在平
面内，BC和AB的射影BA
1
成?
2
，设∠ABC=
?
3
,则
?
B
D
C
A
A
1
cos
?
1
cos
?< br>2
=cos
?
3
；
4.异面直线所成角的求法：
（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；
（2）补形法 ：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方
体等，其目的在于容易发现两条 异面直线间的关系；
5.直线与平面所成的角
斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角， 它的三条边分别是平面的垂线段、斜
线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面 的垂线段，垂足
和斜足的连线，是产生线面角的关键；
6.二面角的求法

< br>（1）定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂
线，得出平 面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；
（2）三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面 的垂线，用三垂线定理或逆定
理作出二面角的平面角；
（3）垂面法：已知二面角内一点到两 个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的
交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所 在的平面与棱垂直；
（4）射影法：利用面积射影公式S
射
＝S
原
cos
?
,其中
?
为平面角的大小，此法不必在
图形中画出平面角；
特别:对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后
再选用上述 方法（尤其要考虑射影法）。
7.空间距离的求法
（1）两异面直线间的距离，高考要求是 给出公垂线，所以一般先利用垂直作出公垂线，
然后再进行计算；
（2）求点到直线的距离，一般用三垂线定理作出垂线再求解；
（3）求点到平面的距离，一 是用垂面法，借助面面垂直的性质来作，因此，确定已知
面的垂面是关键；二是不作出公垂线，转化为求 三棱锥的高，利用等体积法列方程求
解；
8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等，记为?
，则S
侧
cos
?
=S
底
；
9. 已知:长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为
?
,
?
,?
,
因此有
cos
2
?
+cos
2
?
+cos
2
?
=1; 若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分 别为
?
,
?
,
?
,
则有cos
2
?
+cos
2
?
+cos
2
?
=2;
10.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；
11.欧拉公式：如果简单多面体 的顶点数为V,面数为F,棱数为E.那么V+F－E=2；并且
棱数E＝各顶点连着的棱数和的一半＝ 各面边数和的一半；
12.柱体的体积公式：柱体（棱柱、圆柱）的体积公式是V
柱体
=Sh.其中S是柱体的底面积，h
是柱体的高.
13.直棱柱的侧面积和全面积
S
直棱柱侧
= c
?
(c
表示底面周长，
?
表示侧棱长)
S
棱柱全
=S
底
+S
侧

1
14．棱锥的体积:V
棱锥
=
Sh
，其中S是棱锥的底面积，h是棱锥的高 。
3
15.球的体积公式V=
?
R
3
，表面积公式
S?4
?
R
2
；掌握球面上两点A、B
间的距离求法：（1）计算 线段AB的长，（2）计算球心角∠AOB的弧度数；
(3)用弧长公式计算劣弧AB的长；



4
3

第十章 排列组合二项定理

一、两个原理.
1. 乘法原理、加法原理.
2. 可以有重复元素的排列. < br>．．．．．．．
从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成 一排，
那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个，所以从m个不同元素中，每次取
出n个元素可重复排列数m·m·… m = m
n
.. 例如：n件物品放入m个抽屉中，不限放法，共
有多少种不同放法？ （解：
m
种）
二、排列.
1. ⑴对排列定义的理解.
定义： 从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同
．．．．．．< br>元素中取出m个元素的一个排列.
⑵相同排列.
如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相
同.
⑶排列数.
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出 m个元素的
m
一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号
A
n
表示.
n
⑷排列数公式：
A
m
?n(n?1)?(n?m?1)?
n!
(m?n,n,m?N)

(n?m)!
注意：
n?n!?(n?1)!?n!
规定0! = 1
mmmm?1mm?1
1
0

A
n
m
?nA
n
m
?
?
规定
C
n
?C
n
A
n?
n
?1

1
?A
n
?A
m
?C
n
?A
n< br>?mA
n
1
2. 含有可重元素的排列问题.
．．．．．．
对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a
1
，a
2
, …...a
n
其中限重复数
为n
1
、n
2
……n< br>k
，且n = n
1
+n
2
+……n
k
, 则S的排列个数等于
n?
n!
.
n
1
!n2
!...n
k
!
例如：已知数字3、2、2，求其排列个数
n ?
(1?2)!
?3
又例如：数字5、5、5、求其排列个
1!2!
数？其排列个数
n?
3!
?1
.
3!
三、组合.
1. ⑴组合：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
A
m
n(n?1)
?
(n?m?1)< br>n!
m
⑵组合数公式：
C?
n
?

C?n
m
m!m!(n?m)!
A
m
m
n
⑶两个公 式：①
C
n
?C
mn?m
n
;
②
C
m?1mm
?C?C
nnn?1

①从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中取出 n-m
个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n个不同元素中取出n- m个元素的
唯一的一个组合.
（或者从n+1个编号不同的小球中，n个白球一个红球，任取 m个不同小球其不同选法，
m
1m?1
?C
1
分二类，一类是含红球 选法有
C
m?
n1
?C
n
一类是不含红球的选法有
C
n
）
②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时 ，对于某一元
素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取m-1个元
1
素，所以有C
m?
n
，如果不取这一元素，则需从剩余n个元素中 取出m个元素，所以共有
C
n
种，依分类原理有
C
m
m?1 mm
?C?C
nnn?1
.
⑷排列与组合的联系与区别.
联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.
区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.
⑸①几个常用组合数公式
012n
C
n
?C
n
? C
n
???
n
?2

n
024135
C< br>n
?C
n
?C
n
?
?
?C
n
?C
n
?C
n
?
?
?2
n?1
mmmm ?1
C
m
n
?C
m?1
?C
m?2
?C
m?n
?C
m?n?1
k?1
kC
k
?nC
nn?1

11
k?1
C
n
?C
k
n?1
k?1n?1
②常用的证明组合等式方法例.
123n1
n?111
??
） i. 裂项求和法. 如：
???< br>?
（利用
?1?
n!(n?1)!n!
2!3!4!(n?1)!(n ?1)!
ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.
m?1 m
C
3
?C
4
?C
5
??C
n
? C
n?1
. v. 递推法（即用
C
m
n
?C
n< br>?C
n?1
递推）如：
33334
vi. 构造二项式. 如：
(C
n
)?(C
n
)???(C
n
)?C
2n< br>
证明：这里构造二项式
(x?1)
n
(1?x)
n
?(1?x)
2n
其中
x
n
的系数，左边为
01n?12n?2n00212n2
?C
2n

C
n?C
n
n
?C
n
?C
n
?C
n
?C
n
?
?
?C
n
?C
n
?(C
n
)?(C
n
)?
?
?(C
n
)
，而右 边
0212n2n
n
四、排列、组合综合.
1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型：
①直接法. ②排除法.
③捆绑法：在特定要求 的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再
考虑它们“局部”的排列.它主要用 于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n个不同元素排成
n?m?1
?m?1m
一 列，要求其中某
m(m?n)
个元素必相邻的排列有
A
n
n?m?1
?A
m
个.其中
A
n?m?1
是一个“整体排

列”，而
A
m
m
则是“局部排列”.
2
2又例如①有n个不同座位，A、B两个不能相邻，则有排列法种数为
A
n
.
?
A
n?
1
1
?A
2
?12
②有 n件不同商品，若其中A、B排在一起有
A
n
.
n?1
?A
2
2?1
③有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有
A
n
.
?A
n
n?1
注：①③区别在于①是确定的座位，有
A
2< br>种；而③的商品地位相同，是从n件不同商品任取
2
的2个，有不确定性.
④ 插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主
要解决“元素不 相邻问题”.
?mm
例如：n个元素全排列，其中m个元素互不相邻，不同的排法种数为多少 ？
A
n
（插
n?m
?A
n?m?1
空法），当n – m+1≥m, 即m≤
n?1
时有意义.
2
⑤占位法：从元素的特殊性 上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；
从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊 位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先
特殊后一般”的解题原则.
⑥调序法： 当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n个元素进行全排列有
A
n
n< br>种，
m(m?n)
个元素的全排列有
A
m
m
种，由于 要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某
一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个元素 排成一列，其中m个元素次序
一定，共有
A
n
n
A
m
m
种排列方法.
例如：n个元素全排列，其中m个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？
解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n！ m！；解法二：（比例分配法）
A
n
A
m
.
⑦平均法：若 把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有
nn
C
kn
?C
( k?1)
n
n
?C
n
nm
A
k
k
.
C
2
例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有< br>4
?3
（平均分组
2!
就用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将 200名运动员平均分成两组，其中两名种子
选手必在一组的概率是多少？
（
P?< br>82
C
18
C
2
C
10
20
2!< br>）
注意：分组与插空综合. 例如：n个元素全排列，其中某m个元素互不相邻且顺序不变，共
有多少种排法？有
A
n?m
?A
n?m?1
A
m< br>，当n – m+1 ≥m, 即m≤
n?1
时有意义.
n?mmm
2
⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.
例如：
x
1
?x
2
?x
3
?x
4
?12
的 正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一

列，在它们之间形成11 个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得
球的数目依次为
x
1
,x
2
,x
3
,x
4
显然
x
1
?x
2
?x
3
?x
4
?12
，故（
x
1
,x
2
,x
3
,x
4
）是方程的一 组解.反之，
方程的任何一组解
(y
1
,y
2
,y
3
,y
4
)
，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图
所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板
3
的方法数
C
11
.
注意： 若为非负数解的x个数，即用
a
1
,a
2
,...a
n中
a
i
等于
x
i
?1
，有
x
1
?x
2
?x
3
...?x
n
?A?a
1
?1?a
2
?1?...a
n
?1?A
，进而转化为求a的 正整数解的个数为
n?1
C
A?n
.
⑨定位问题：从n个不同元 素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，
并且都排在某r个指定位置则有
?r
A
r
r
A
k
n?r
.
例如：从n个 不同元素中，每次取出m个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固
定在）某一位置上，共有多少 种排法？
m1m?1
固定在某一位置上：
A
n?1
；不在某一位置 上：
A
n
?A
n?1
或
A
n?1
?Am?1
?A
n?1
（一类是不取出
m?1
mm?1
特殊 元素a，有
A
n?1
，一类是取特殊元素a，有从m-1个位置取一个位置，然后再从 n-1个
元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的）
⑩指定元素排列组合问题.
i. 从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在
rk?r
k?rk
内 。先C后A策略，排列
C
r
r
Cn?r
A
k
；组合
C
r
C
n?r
.
m
ii. 从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包 含在
k
内。先C后A策略，排列
C
n?r
k
A
k< br>k
；组合
C
n?r
.
iii 从n个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都
sk?sk
只包含某r个元素中的s 个元素。先C后A策略，排列
C
r
C
n?r
A
k
； 组合
C
r
C
n?r
sk?s
.
II. 排列组合常见解题策略：
①特殊元素优先安排策略；②合理分类与准确分步策略；③排列、组合混合问 题先选后排的
策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）；④正难则反，等价转化策略；
⑤相邻问题插空处理策略；
⑥不相邻问题插空处理策略；⑦定序问题除法处理策略；⑧分排问 题直排处理的策略；⑨“小
集团”排列问题中先整体后局部的策略；⑩构造模型的策略.
2. 组合问题中分组问题和分配问题.
①均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，假定其中r 组元素个数相等，不
管是否分尽，其分法种数为
AA
r
r
（其中A为 非均匀不编号分组中分法数）.如果再有K组
均匀分组应再除以
A
k
. k
例：10人分成三组，各组元素个数为2、4、4，其分法种数为
C
10
C
8
C
4
A
2
?1575
.若分成
24 42

22224
C
6
C
4
C
2A
2
六组，各组人数分别为1、1、2、2、2、2，其分法种数为
C
1 0
1
C
9
1
C
82
?A
4

②非均匀编号分组: n个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其
分 法种数为
A?A
m

m
例：10人分成三组，各组人数分别为2、3 、5，去参加不同的劳动，其安排方法为：
233
C
10
?C
8?C
5
5
?A
3
种.
若从10人中选9人分成三组， 人数分别为2、3、4，参加不同的劳动，则安排方法有
234
C
10
C8
C
5
?A
3
3
种
③均匀编号分组：n个不 同元素分成m组，其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其
m
分法种数为
AA< br>r
.
r
?A
m
244
C
10
C< br>8
C
4
3
?A
3
例：10人分成三组，人数分别 为2、4、4，参加三种不同劳动，分法种数为
2
A
2
④非均匀不编号分组： 将n个不同元素分成不编号的m组，每组元素数目均不相同，且不
考虑各组间顺序，不管是否分尽，其分 法种数为
A
m
2
m
k
1
?C
m
n
C
n-m
1
…
C
n-(m
1
?m
2
?...?m
k-1
)

例：10人分成三组，每组人数分别为2 、3、5，其分法种数为
C
10
2
C
8
3
C
5
若从10人中选
5
?2520
3
出6人分成三组，各组人数分别 为1、2、3，其分法种数为
C
10
1
C
9
2
C< br>7
?12600
.
五、二项式定理.
0n01n?1rn?rrn 0n
ab?C
n
ab?
?
?C
n
ab?
?
?C
n
ab
.
1. ⑴二项式定理：
(a?b)
n
?C
n
展开式具有以下特点：
① 项数：共有
n?1
项；
012r
,C
n
,C
n
,?,C
n
,?,C
n
② 系数：依次为组合数
C
nn
;

③ 每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幕排列，b的升幕排列展开.
⑵二项展开式的通项.
（a?b)
n
展开式中的第
r?1
项为：
T
r?1
?C
n
a
rn?rr
b(0?r? n,r?Z)
.
⑶二项式系数的性质.
①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；
②二项展开式的中间项二项式系数最大.
．．．．．
n
I. 当n是偶数时 ，中间项是第
?1
项，它的二项式系数
C
2
n
最大；
2
n?1n?1
II. 当n是奇数时，中间项为两项，即第项和第它们的二项式系数
C
?1
项，
22
最大.
n?1n?1
2
?C
2
nn
n
③系数和：

01n
C
n
?C
n
?
?
?Cn
n
?2
02413
C
n
?C
n
?C
n
?
?
?C
n
?C
n
?
?
?2
n?1

附：一般来说
(ax?by)
n
( a,b
为常数）在求系数最大的项或最小的项时均可直接根据性质二求
．．．．．．．．．．．
?
A
k
?A
k?1
,
?
A
k?A
k?1
或
?
(A
k
为T
k?1
的 系数或系数
A?AA?A
k?1k?1
?
k
?
k
解 . 当
a?1或b?1
时，一般采用解不等式组
?
的绝对值）的办法来求解.
⑷如何来求
(a?b?c)
n
展开式中含
a
p
b< br>q
c
r
的系数呢？其中
p,q,r?N,
且
p?q? r?n
把
r
(a?b?c)
n
?[(a?b)?c]
n视为二项式，先找出含有
C
r
的项
C
n
(a?b)n?r
C
r
，另一方面在
n
pqr
qn?r?qqqp q
(a?b)
n?r
中含有
b
q
的项为
C
n?r
ab?C
n?r
ab
，故在
(a?b?c)
中含abc
的项为
rqpqr
r
C
n
C
n?rabc
.其系数为
C
n
C
n?
q
r
?
(n?r)!
n!n!
pqr
???C
n
C
n?p
C
r
.
r!(n?r)!q!(n?r?q)!r!q!p!
2. 近似计算的处理方法.
当a的绝对值与1相比很小且n不大时，常用近似公式
(1?a)n
?1?na
，因为这时展开式的后
2233nn
a?C
na???C
n
a
很小，可以忽略不计。类似地，有
(1?a)
n
?1?na
但使用这两个面部分
C
n
公式时应注意a的条件，以及对 计算精确度的要求.

第十一章 概率
一 事件
（一）、在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象叫做确定性现象
（二 ）、在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，
这种现象叫做随机 现象
（三）、必然会发生的事件叫做必然事件；肯定不会发生的事件叫做不可能事件；在一定条
件下，可能发生，也可能不发生的事件，叫做随机事件
二 概率
在相同条件下，随着试 验次数的增多，随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳
定，我们可以用这个常数来刻画该随 机事件发生的可能性大小，而将频率作为其近似值。
1.概率： 一般地，如果随机事件
A< br>在
n
次试验中发生了
m
次，当试验的次数
n
很大时，
我们可以将发生的频率
2．概率的性质：
①随机事件的概率为
0?P(A)?1
，
②必然事件和不可能事件看作随机 事件的两个特例，分别用
?
和
?
表示，必然事件的概率
为
1
，不可能事件的概率为
0
，即
P
?
?
?
? 1
，
P
?
?
?
?0
;
mm
作为 事件
A
发生的概率的近似值，即
P
?
A
?
?

nn

3.（1）频率的稳定性 即大量重复试验时，任何结果（事件）出 现的频率尽管是随机
的，却“稳定”在某一个常数附近，试验的次数越多，频率与这个常数的偏差大的可 能性越
小，这一常数就成为该事件的概率;
（2）“频率”和“概率”这两个概念的区别是： 频率具有随机性，它反映的是某一随机
事件出现的频繁程度，它反映的是随机事件出现的可能性；概率是 一个客观常数，它反映了
随机事件的属性.
1.随机事件的概率：
我们已经学习用 概率表示一个事件在一次试验或观测中发生的可能性的大小，它是在
0
～
1
之 间的一个数，将这个事件记为
A
，用
P
?
A
?
表示 事件
A
发生的概率.
三 古典概型
1、基本事件： 一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件．
2、等可能基本事件：若在一次试验中， 每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些
基本事件为等可能基本事件。
3、如果一个随机试验满足：
（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
（2）每个基本事件的发生都是等可能的；
那么，我们称这个随机试验的概率模型为古典概型．
4、古典概型的概率：
如果一 次试验的等可能事件有
n
个，那么，每个等可能基本事件发生的概率都是
如果某个事件
A
包含了其中
m
个等可能基本事件，那么事件
A
发生的概率 为
P(A)?
5、古典概型解题步骤：
⑴阅读题目，搜集信息；
⑵判断是否是等可能事件，并用字母表示事件；
⑶求出基本事件总数
n
和事 件
A
所包含的结果数
m
；
⑷用公式
P(A)?
1
；
n
m
．
n
m
求出概率并下结论.
n
四 几何概型
１．几何概型的概念：
对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定 的几何区域内随机地取一点，
该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好 取到上述区域内
的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等．用这种方法处 理
随机试验，称为几何概型．
２．几何概型的基本特点：
（１）试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；
（２）每个基本事件出现的可能性相等．
３．几何概型的概率：
一般地，在几何区 域
D
中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域
d
内＂为事件
A
，则事件
A
发生的概率
P(A)?
d的测度
．
D的测度

说明：（１）
D
的测度不为
0
；
（２）其中＂测度＂的意义依
D
确定，当
D
分别是线段，平面图形， 立体图形时，相
应的＂测度＂分别是长度，面积和体积．
（３）区域为＂开区域＂；
（４）区域
D
内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部
分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关．


（选）第一章 统计
第一部分 抽样方法
一 总体、个体、容量
一般地，我们把所考查对象的 某一数值指标的全体构成的集合看做总体，构成总体的对
象作为个体，从总体中抽出一部分对象所组成的 集合叫做样本，样本中对象的个数称为样本
的容量。
二 简单的随机抽样
1.一般 地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本
（
n?N
）， 如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫
做简单随机抽样。
2.最简单的随机抽样方法有两种：抽签法(抓阄法)和随机数表法。
3.从一个总体为N的个体中，抽出容量为n的样本，每个个体被抽到的概率为
n
。
N
三 系统抽样
1.当总体中的个体数较多时，将总体分成均衡的几个部分，然后按 照预先定出的规则，
从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本．这种抽样叫做系统抽样。
2.系统抽样的四个步骤可简记为：“编号---- 分段—--确定起始的个体号——抽取样本”四
步。
3.在系统抽样中，如果总体容量N能被 样本容量n整除，则用它们的比值
k?
N
作为分
n
段间隔．如果k?
N
不是整数，可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个
n< br>体数能被样本容量整除．然后再编号、分段，确定第一段的起始号．继而确定整个样本。
四 分层抽样
当已知总体由差异明显的几部分组成时，才常将总体分成几部分，然后按照各部分所占
的比例筋洗净抽样，这种抽样叫做分层抽样，其所分成的各个部分叫做层。
利用分层抽样抽取样本，每一层按照它在总体中所占的比例进行抽取。
注意
（1） 分层抽样适用于差异明显的几部分组成的情况；（2）在每一层进行抽样时，在采用
简单随机抽样或系统 抽样；（3）分层抽样充分利用已掌握的信息，使样具有良好的代表性；
（4）分层抽样也是等概率抽样 ，而且在每层抽样时，可以根据具体情况采用不同的抽样方
法，因此应用较为广泛。
五 三种抽样方法的比较
（1）列表比较：
类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围

简单
随机
抽样
抽
过程种
个个体
抽取的
会均等
样
每
被
机
从总体中逐个抽取

总体种的个
体数较少
系统
抽样
将总体均匀分成几
部分，按事先确定的规
则在各部分抽取
将总体分成几层，分层
抽样时采用简单随机抽
样或系统抽样
在起始部分
抽样时采用
简单随机抽
样
各层抽样时
采用简单随
机抽样或系
统抽样
总体种的个
体数较多
分层
抽样
总体由差异
明显的几部
分组成

(2)简单随机抽样、系统抽样、 分层抽样的共同特点是在抽样过程中每一个个体被抽取
的机会相等，体现了这些方法的客观性和公平性， 其中简单随机抽样是最简单和最基本的抽
样方法，在进行系统抽样和分层抽样时都要用到简单随机抽样方 法，抽样方法经常交叉应用，
对于个体数量很大的总体，可采用系统抽样，系统中的每一均衡部分，又可 采用简单随机抽
样。
六 抽样方法的选择
(1)通过比较三种抽样方法，可以 发现它们的关系密切，无论采取哪一种方法，每个个
体被抽到的概率是一样的。
(2)对 于系统抽样和分层抽样．如果
N
不是整数，可采用剔除法，每个个体被抽到的概
n率不变，如从1003个总体中抽出容量为l0的样本，那么每个个体被抽到的概率为
100010 10

?
1
(3)通过分析总体特点，灵活选择抽样方法。
(4) 简单随机抽样是抽样方法的基础，是一种等机会抽样，它有以下几个特点：①它要
求被抽取样
本的总体个数是有限的；②它是从总体中逐个地抽取；③它是一种不放回抽样。
(5)系统抽样是在总体个数比较多时采用的抽样方法。当总体个数N不能被样本容量 整
除时，应注意如何从总体中剔除一些个体．
（6）分层抽样适用于总体是由差异明显的几部 分个体组成时的抽样方法。具体步骤是：
①分层；②按比例确定各层抽取个体的个数；③各层抽样；④汇 合成样本。

第二部分 用样本估计总体
一 用样本估计总体
(1)频率分布
样本中所有数据(或者数据组)的频率和样本容量的比就是该数据的频率，所 有数据(或者
数据组)的频率的分布变化规律叫做频率分布，可以用频率分布表，频率分布折线图．茎叶
图，频率分布直方图来表示．
(2)频率分布折线图

连结频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就可以得到频率分布折线图。
(3)总体密度曲线
①如果样本容量越大，所分组数越多，图中表示频率分布就越接近 于总体在各个小
组内所取值的个数与总数比值的大小．设想如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩小 ，
则频率分布直方图实际上是越来越接近于总体的分布，它可以用一条光滑曲线
y?f(x)< br>来
描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线。
②总体密度曲线精确地反映了一个 总体在各个区域内取值的规律．产品尺寸落在(a
，
b)内的百分率就是下图中带斜线部分的面 积．对本题来说，总体密度曲线呈中间高两边低的
“钟”形分布，总体的数据大致呈对称分布，并且大部 分数据都集中在靠近中间的区间内。

(4)茎叶图表示数据有两个突的优点
其一 是统计图上没有原始数据的损失，所有信息可以从这个茎叶图中得到，其二是在比
赛时随时记录，方便记 录于表示。
二 众数、中位数、平均数、方差、标准差
(1) 一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。
(2)一组数据按大小依次排列，把处在最中 间位置的一个数据(或中间两个数据的平均数)
叫做这组数据的中位数。
(3)如果有几个数
x
1
,x
2
?,x
n
那么
x?
x
1
?x
2
???x
n
叫做这几个数的平均数。
n
如果在几个数中，
x
1
出现
f
1
次，
x< br>2
出现
f
2
次，
x
k
出现
f
k
次，（这里
f
1
?f
2
???f
n
? n
)，那么
x?
1
(x
1
f
1
?x2
f
2
???x
k
f
k
)
叫做这几个数的加权平均数。
n
(4)标准差与方差
考察样本数据的分散程度 的大小，最常用的统计量是标准差。标准差是样本数据到平均
数的一种平均距离，一般用s表示。 设一组数据
x
1
,x
2
?,x
n
的平均数为< br>x
，
则
s?
2
1
?
(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
???(x
n
?x)
2
?
，其中
s
2
表示方差而s表示标准差
。

?
n
?
三 频率分布图(表)和频率分布直方图
( 1)频数分布图(表)能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数；而频率分布图(表)
则是从各个 小组数据在样本容量中所占比例大小的角度，来表示数据分布的规律．它可以使
我们看到整个样本数据的 频率分布。
(2)作频率分布直方图的步骤：