高中数学知识要点及典型例题--三角函数

中国特级教师高考复习方法指导〈数学〉
第四讲 复习三角函数
一、 本讲进度
《三角函数》复习
二、 本讲主要内容
1、三角函数的概念及象限角、弧度制等概念；
2、三角公式，包括诱导公式，同角三角函数关系式和差倍半公式等；
3、三角函数的图象及性质。
三、 学习指导
1、角的概念的推广。从运 动的角度，在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于360的角。这样一来，
在直角坐标系中，当角的终 边确定时，其大小不一定（通常把角的始边放在x轴正半轴上，角的顶点与原
点重合，下同）。为了把握 这些角之间的联系，引进终边相同的角的概念，凡是与终边α相同的角，都可
以表示成k·360
0
+α的形式，特例，终边在x轴上的角集合{α|α=k·180
0
，k∈Z}， 终边在y轴上的角集
合{α|α=k·180
0
+90
0
，k∈Z} ，终边在坐标轴上的角的集合{α|α=k·90
0
，k∈Z}。
在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小。
弧度制 是角的度量的重要表示法，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度制。在弧度制
下，扇形弧 长公式?=|α|R，扇形面积公式
S?
1
2
?R?
1
2< br>R
2
0
|?|
，其中α为弧所对圆心角的弧度数。
2、利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数。三角函数定义是本章
重点 ，从它可以推出一些三角公式。重视用数学定义解题。
设P(x，y)是角α终边上任一点（与原点不 重合），记
r?|OP|?x
2
?y
2
，则
sin??tan??
y
x
y
r
，
cos??
x
r
，
，
cot??
x
y
。
k
2
?t??
利用三角函数定义，可以得到（1）诱导公式：即与α之间函数值关系（k∈Z），其规律是“ 奇
变偶不变，符号看象限”；（2）同角三角函数关系式：平方关系，倒数关系，商数关系。
3、三角变换公式包括和、差、倍、半公式，诱导公式是和差公式的特例，对公式要熟练地正用、逆
用、 变用。如倍角公式：cos2α=2cos
2
α-1=1-2sin
2
α，变 形后得
cos
2
??
可以作为降幂公式使用。
三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备。
4、三角函数 的性质除了一般函数通性外，还出现了前面几种函数所没有的周期性。周期性的定义：
设T为非零常数， 若对f(x)定义域中的每一个x，均有f(x+T)=f(x)，则称T为f(x)的周期。当T为f(x)< br>周期时，kT（k∈Z，k≠0）也为f(x)周期。
三角函数图象是性质的重要组成部分。利 用单位圆中的三角函数线作函数图象称为几何作图法，熟练
掌握平移、伸缩、振幅等变换法则。
5、本章思想方法
（1）等价变换。熟练运用公式对问题进行转化，化归为熟悉的基本问题；
1?cos2?
2
,sin
2
??
1?cos2?
2
，
中

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（2）数形结合。充分利用单位圆中的三角函数线及三角函数图象帮助解题；
（3）分类讨论。
三、 典型例题
例1、 已知函数f(x)=
log
1
(sinx?cosx)

2
（1）求它的定义域和值域；
（2）求它的单调区间；
（3）判断它的奇偶性；
（4）判断它的周期性。
解题思路分析：
（1）x必须满足sinx-cosx>0，利用单位圆中的三角函数线及
2k??
∴ 函数定 义域为
(2k??
?
4
,2k??
?
4
5
4
5
4
?)
，k∈Z
?
4
?x?2k??
5
4
?
，k∈Z
∵
sinx?cosx?2sin(x?
∴ 当x∈
(2k??
?
4
,2k??
)

?
4
)?1

?)
时，
0?sin(x?
∴
0?sinx?cos?2

∴
y?log
1
2
2??
1
2

） ∴ 函数值域为[
?
1
2
,??
（3）∵ f(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称
∴ f(x)不具备奇偶性
（4）∵ f(x+2π)=f(x)
∴ 函数f(x)最小正周期为2π
注；利用单位圆中的三角函数线可知，以Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准，可区分sinx- cosx的符号；
以Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准，可区分sinx+cosx的符号，如图。
例2、 化简
21?sin??
解题思路分析：
凑根号下为完全平方式，化无理式为有理式
∵
1?sin??sin
2
2(1?cos?)
，α∈（π，2π）
?
2
?cos
2
?
2
2
?2sin
?2
cos
?
2
2
?(sin
?
2
?c os
?
2
)
2


2(1?cos?)?2(1?2cos
∴ 原式=
2|sin
?
2
?cos
?
2
?
2
?1)?4cos
?
2
?
2

|?2|cos|

∵ α∈（π，2π）
中

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∴
?2
?(
?
2
?
2
?
2
,?)

∴
cos
当
?
2
?
?0
9
4
?,????
?
2
3
2
??
时，
sin
?
2
?cos
?
2
?0

∴ 原式=
2 sin
当
3
4
??
?
2
??,

????2?
?
2
3
2
时，
sin
?
2< br>?cos
?
2
?
2
?0

∴ 原式=
?2sin
?
2
?4cos??25sin(?arctan2)

?3
?
2sin?????
?
?
22
∴ 原式=< br>?
?
?25sin(
?
?arctan2)
?
2?
3
2

????2?
注：
1、本题利用了 “1”的逆代技巧，即化1为
sin
1?sin2??|sin??cos?|
，1?cos2??
2
?
2
?cos
2
?
2，是欲擒故纵原则。一般地有
。
2|cos?|
，
1?cos2??2|sin?|
2、三角函数式 asinx+bcosx是基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为
a
2
?b2
sin(x??)
（取
??arctan
b
a
）是常 用变形手段。特别是与特殊角有关的sin±cosx，±sinx±
3
cosx，要熟练掌握 变形
结论。
例3、 求
(
3
sin
2
1400
?
1
cos
2
140
0
)?
12sin10
0
。
解题思路分析：
原式=
3cos
sin
2
2
140
140
0
0
?sin
c os
0
2
2
140
0
0
140
?
0
1
2sin10
0

0
?
(3cos140?s in140)(3cos140
cos40)
1
02
?sin140
0
)
(?sin40
?4sin80
1
4
sin
0
2
0
?
1
2sin10
0

??sin200
80
0
0
?
2sin10
0

??8
sin200
sin80
0
0
0
cos80
??16
sin200
sin160
0
0
?16
注 ：在化简三角函数式过程中，除利用三角变换公式，还需用到代数变形公式，如本题平方差公式。
例4 、已知0
0
<α<β<90
0
，且sinα，sinβ是方程
x2
?(2cos40
0
)x?cos
2
40
0
?
求sin(β-5α)的值。
解题思路分析：
1
2
=0的两个实数根，
中

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由韦达定理得sinα+sinβ=
2
cos40，sinαsinβ=cos40-
020
1
2

∴ sinβ-sinα=
(sin??sin?)
2
?(sin??s in?)
2
?4sin?sin??2(1?cos
2
40
0
)


?2sin40
0

又sinα+sinβ=
2
cos40
0

1
?< br>0
sin??(2cos40?
?
?
2
∴
?
?
sin??
1
(2cos40
0
?
?
2
?
2sin40)?sin85
2sin40)?sin5
00
00

∵ 0<α<β< 90
0
?
?
??85
∴
?
0
?
?
??5
00

3
2
∴ sin(β-5α)=sin60
0
=
注：利用 韦达定理变形寻找与sinα，sinβ相关的方程组，在求出sinα，sinβ后再利用单调性求
α ，β的值。
例5、（1）已知cos(2α+β)+5cosβ=0，求tan(α+β)·tanα的值；
（2）已知
2sin??cos?
sin??3cos?
??5
，求
3cos2??4sin2?
的值。
解题思路分析：
（1）从变换角的差异着手。
∵ 2α+β=(α+β)+α，β=(α+β)-α
∴ 8cos[(α+β)+α]+5cos[(α+β)-α]=0
展开得：
13cos(α+β)cosα-3sin(α+β)sinα=0
同除以cos(α+β) cosα得：tan(α+β)tanα=
（2）以三角函数结构特点出发
∵
∴
2sin??cos?
sin??3cos?
2tan??1
tan??3< br>?
2tan??1
tan??3
13
3


??5

∴ tanθ=2
∴
3cos2??4sin2??< br>3(cos
2
??sin
sin
2
2
?)?8sin ?cos?
2
??cos?
?
3?3tan
2
??8tan ?
2
1?tan?
?
7
5

注；齐次式是三角函数式中的基本式，其处理方法是化切或降幂。
例6、已知函数
f(x)?a
解题思路分析：
sin
4
x
2
?sin
2
x
2
（a∈(0，1)），求f(x)的最值 ，并讨论周期性，奇偶性，单调性。
中

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对三角函数式降幂
sin
4
x
2
1
2
?sin
sinx)
2
x
2
??sin
1
4
sin
2
x
2(1?sin
2
x
2
)??sin
2
x
2cos
2
x
2

??(
2
??
2
11?cos2xcos2x?1
x????
428

cos2x?1
∴ f(x)=
a
令
u?
1
8
8

1
8
cos2x?

则 y=a
u

∴ 0∴ y=a是减函数
∴ 由
2x?[2k???,2k?]
得
x?[k??
由
2x?[2k? ,2k???]
得
x?[k?,k??
∵ u(-x)=u(x)
∴ f(x)=f(-x)
∴ f(x)为偶函数
∵ u(x+π)=f(x)
∴ f(x+π)=f(x)
∴ f(x)为周期函数，最小正周期为π
当x=kπ（k∈Z）时，y
min
=1
当x=kπ+
?
2
1
u
?
2
,k?]
，此为f(x)的减区间
?
2
]
，此为f(x)增区间
（k∈Z）时，y
nax
=
a
4

注：研究三角函数性质，一般降幂化为y=Asin(ωx+φ)等一名一次一项的形式。
五、同步练习
（一）选择题
1、下列函数中，既是（0，
A、y=lgx
2

?
2
）上的增函数，又是以π为周期的偶函数是

?
8
B、y=|sinx| C、y=cosx D、y=
2
sin2x

2、如果函数y=sin2x+acos2x图象关于直线x=-
A、 -
2
B、-1
对称，则a值为
C、1
?
8
D、
2

5
8
3、函数y=Asin(ωx+φ)（A>0，φ>0），在一个周期内，当x=
此函数解析式为 A、
y?2sin(
x
2
?
?
4
)
时 ，y
max
=2；当x=
?
时，y
min
=-2，则
B、
y?2sin(2x?
?
4
)
C、
y?2sin(x?
?
4
)
D、
中

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y??2sin(2x?
?
8
)

4、已知
tan ??1
1?tan?
=1998，则
sec2??tan2?
的值为
B、1998 C、1999
?
2
,
?
2
A、1997 D、2000
+β等于
D、
?
3
5、已知tanα，tanβ是 方程
x
2
?33x?4?0
两根，且α，β
?(?
A、?
2
3
?
)
，则α

?
3
B、
?
2
3
?
或
?
3
C、
?
?
3
或
?

3
2

6、若
x?y?
，则sinx·siny的最小值为

0
A、-1 B、-
1
2

0
C、
?
3
4
D、
1
4

7、函数f(x)=3sin(x+10)+5sin(x+70)的最大值是
A、5.5 B、6.5 C、7 D、8
8、若θ∈（0，2π]，则使sinθA、（
?
4
,
?
2
） B、（
3
4
?,?
） C、（
5
4
?,
3
2
?
） D、（
?,2?
）
4
7
9、下列命题正确的是
A、若α，β是第一象限角，α>β，则sinα>sinβ
B、函数y=sinx·cot x的单调区间是
(2k??
C、函数
y?
1?cos2x
sin2x
?
2
,2k??
?
2
)
，k∈Z
的最小正周期是2π
k?
2
?
?
4
D、函数y= sinxcos2φ-cosxsin2x的图象关于y轴对称，则
??
10、函数
f (x)?log
1
(sin2x?cos2x)
的单调减区间是
3
，k∈Z
A、
(k??
(k??
?
4
?
8
,k??
?
8
5
8
)
B、
(k??
?
8
,k??
?
8
]
C.
(k??
?
8
,k??
3
8
?)
D、
,k???)
k∈Z
（二）填空题
11、函数f(x)=sin( x+θ)+
3
cos(x-θ)的图象关于y轴对称，则θ=________。
1 2、已知α+β=
?
3
，且
3
(tanαtanβ+c)+tanα =0（c为常数），那么tanβ=______。
13、函数y=2sinxcosx-
3
(cos
2
x-sin
2
x)的最大值与最小值的积为______ __。
14、已知(x-1)
2
+(y-1)
2
=1，则x+y的 最大值为________。
15、函数f(x)=sin3x图象的对称中心是________。
（三）解答题
中

中国特级教师高考复习方法指导〈数学〉 16、已知tan(α-β)=
1
2
，tanβ=
?
1
7
，α，β∈（-π，0），求2α-β的值。
53
2
17、是否 存在实数a，使得函数y=sin
2
x+acosx+
a?
8
在闭区 间[0，
?
2
]上的最大值是1？若存在，求
出对应的a值。
2
18、已知f(x)=5sinxcosx-
53
cosx+5
2
3
（x∈R）
（1）求f(x)的最小正周期；
（2）求f(x)单调区间；
（3）求f(x)图象的对称轴，对称中心。














参考答案
（一） 选择题
1、B 2、B 3、B 4、B 5、A 6、C 7、C 8、C 9、D 10、B
（二） 填空题
11、
k??
?
6
，k∈Z 12、
3(c?1)
13、-4 14、
2?
（
2
15、
k
3
?
，0）
（三） 解答题
16、
?
7
4
?

3
2
17、
a?

18、（1）T=
π

（2）增区 间[k
π
-
?
12
，k
π
+
?
6
5
12
π
]，减区间[k
π
+
5
125
12
?,k??
11
12
?]

（ 3）对称中心（
k?
2
?
，0），对称轴
x?
k
2
???
，k∈Z
中

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中