高中数学二项式公式系数怎么算-高中数学做通项方法
学习必备 欢迎下载
高一数学必修1各章知识点总结
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念
1. 集合的含义
2.
集合的中元素的三个特性:
(1) 元素的确定性如:世界上最高的山
(2)
元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3) 元素的无序性:
如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3.集合的表示:{ … }
如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1)
用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2)
集合的表示方法:列举法与描述法。
? 注意:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集) 记作:N
正整数集 N*或 N+ 整数集Z
有理数集Q 实数集R
1) 列举法:{a,b,c……}
2)
描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。
{x?R|
x-3>2} ,{x| x-3>2}
3) 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
4) Venn图:
4、集合的分类:
(1) 有限集
含有有限个元素的集合
(2) 无限集 含有无限个元素的集合
(3) 空集
不含任何元素的集合 例:{x|x
2
=-5}
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意:
A?B
有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。
?
B或B
?
?
A 反之:
集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A
?
2.“相等”关系:A=B
(5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:设 A={x|x
2
-1=0}
B={-1,1} “元素相同则两集合相等”
即:① 任何一个集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集,记作A
BA)
B(或
③如果 A?B, B?C ,那么 A?C
④ 如果A?B 同时
B?A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定:
空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。
学习必备
欢迎下载
? 有n个元素的集合,含有2
n
个子集,2
n
-1个真
子集,2
n
-2个非空真子集
三、集合的运算
运算
类型
定 由所有属于A且属
义 于B的元素所组成
的集合,叫做A,B的
交
集.记作A
?
B
由所有属于集合A或
属于集合B的元素所
组成的集合
,叫做A,B
的并集.记作:A
?
B
设S是一个集合,A是
S的一个
子集,由S中
所有不属于A的元素
组成的集合,叫做S中
子集A的补集(或余
集)
记作
C
S
A
,即
C
S
A=
{x|x?S,且x?A}
韦
恩
图
示
性 A
?
A=A
质
A
?
Φ=Φ
A
?
B=B
?
A
A
?
B
?
A
A
?
B
?
B
A
?
A=A
A
?
Φ=A
A
?
B=B
?
A
A
?
B
?
A
A
?
B
?
B
(C
u
A)
?
(C
u
B)
= C
u
(A
?
B)
(C
u
A)
?
(C
u
B)
= C
u
(A
?
B)
A
?
(C
u
A)=U
A
?
(C
u
A)= Φ.
二、函数的有关概念
S
交 集 并 集 补 集
(读作‘A交B’),(读作‘A并B’),
即A
?
B={x|x
?
A,即A
?
B
={x|x
?
A,
且x
?
B}. 或x
?
B}).
A
B
A
B
A
图1
图2
学习必备 欢迎下载
1.函数的概念:
设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对
于集合A中的任意一个数x,在集合B中
都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么
就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y
=f(x),x∈A.其中,x
叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值
叫做函
数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.
注意:
1.定义域:能使函数式有意义的实数
x
的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过
四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各
部分都有意义的
x
的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零,
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
?
相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);
②定义域一致
(两点必须同时具备)
(见课本21页相关例2)
2.值域 : 先考虑其定义域
(1)观察法
(2)配方法
(3)代换法
3. 函数图象知识归纳
(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数
y=f(x) , (x
∈A)中的x
为横坐标,函数值
y
为纵坐标的点P
(x
,
y)的集合C,叫做函数
y=f(x),(x
∈A)的图象.C上每一点
的坐标<
br>(x
,
y)
均满足函数关系
y=f(x)
,反过来,以满足<
br>y=f(x)
的每一组有序实数对
x、y
为坐标的点
(x
,<
br>y)
,均在C上 .
(2) 画法
A、 描点法:
B、
图象变换法
常用变换方法有三种
1) 平移变换
2) 伸缩变换
3)
对称变换
4.区间的概念
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间
(2)无穷区间
(3)区间的数轴表示.
5.映射
学习必备 欢迎下载
一般地,设A、B是两个非空的
集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对
于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的
元素y与之对应,那
么就称对应f:A
?
B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f
(对应关系):A
(原象)
?
B(象)”
对于映射
f
:
A
→
B
来说,则应满足:
(1)集合
A
中的每一个元素,在集合
B
中都有象,并且象是唯一的;
(2)集合
A
中不同的元素,在集合
B
中对应的象可以是同一个;
(3)不要求集合
B
中的每一个元素在集合
A
中都有原象。
6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况.
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集.
补充:复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则
y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函
数。
二.函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
(1)增函数
设函数y
=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个
自变量x
1
,x
2
,当x
1
时,都有f(x
1
)
),那么就说f(x)在区间D上是增函
数.区间D称为y=f(x)的
单调增区间.
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x
1
,x
2
,当x
1
时,都有f(x
1
)
>
f(x
2
),
那么就说
f(x)
在这个区间上是减函数.区间D称为
y=f(x)的单调减区间.
注意:函数的单调性是函数的局部性质;
(2) 图象的特点
如果函数
y=f(x)
在某个区间是增函数或减函数,那么说函数
y=f(x
)
在这一区间
上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数
的
图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A)
定义法:
任取x
1
,x
2
∈D,且x
1
;
作差f(x
1
)-f(x
2
);
变形(通常是因式分解和配方);
定号(即判断差f(x
1
)-f(x
2
)的正负);
下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数
f
[
g(x)
]的单调
性与构成它的函数
u=g(x)
,
y=f(u)
的单调性密切相关,
其规律:“同增异减”
学习必备 欢迎下载
注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间
,不能把单调性相同的区间和在
一起写成其并集.
8.函数的奇偶性(整体性质)
(1)偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x
),那么f(x)就叫
做偶函数.
(2).奇函数
一般地,对于函数f(x)的定
义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就
叫做奇函数.
(3)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
利用定义判断函数奇偶性的步骤:
1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;
○
2确定f(-x)与f(x)的关系;
○
3作出相应结论:若f(-x)
= f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若
○
f(-x)
=-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数.
注意:函数定义域关于原
点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的
定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非
偶函数.若对称,(1)再根据定
义判定; (2)由
f(-x)
±
f(x
)=
0或
f(x)
/
f(-x)=
±1来判定;
(3)利用定理,或借助函数
的图象判定 .
9、函数的解析表达式
(1).函数
的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,
一是要求出它们之间的对应法则,二
是要求出函数的定义域.
(2)求函数的解析式的主要方法有:
1) 凑配法
2) 待定系数法
3) 换元法
4)
消参法
10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)
1
利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值
○
2 利用图象求函数的最大(小)值
○
3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:
○
如果函数y=f(x
)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)
在x=b处有最大值
f(b);
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数
y=f(x)
在x=b处有最小值f(b);
第二章 基本初等函数
学习必备 欢迎下载
一、指数函数
(一)指数与指数幂的运算
1.根式的概念:一般地,如果
x
?
a
,那么
x
叫做
a
的
n
次方根,其中
n>1,
n
且
n
∈
N
*
.
?
负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作
n
0?0
。
?
a
(a?0)
当
n
是奇数时,
a
?
a
,当
n
是偶数时,
a?|a|?
?
?a(a?0)
?
n
n
n
n
2.分数指数幂
正数的分数指数幂的意义,规定:
m
n
a?
n
a
m
(a?0,m,n?N
*
,n?1)
m
n
,
a<
br>?
?
1
a
m
n
?
1
n
a<
br>m
(a?0,m,n?N
*
,n?1)
?
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
3.实数指数幂的运算性质
rrr?s
aa?a
(1)·
(a?0,r,s?R)
;
rsrs
(a)?a
(2)
(a?0,r,s?R)
;
(a?0,r,s?R)
.
x
rrs
(ab)?aa
(3)
(二)指数函数及其性质
1、指数函数的概念:一般地,函数
y?a(a?0,且
a?1)
叫做指数函数,其中x
是自变量,函数的定义域为R.
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.
2、指数函数的图象和性质
a>1
6
5
06
5
44
33
22
1
1
1
1
-4-2
0
-1
2
46
定义域 R
值域y>0
在R上单调递增
非奇非偶函数
函数图象都过定
点(0,1)
-4-2
0
-1
246
定义域 R
值域y>0
在R上单调递减
非奇非偶函数
函数图象都过定
点(0,1)
注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
学习必备
欢迎下载
(1)在[a,b]上,
f(x)
?
a(a
?
0
且
a
?
1)
值域是
[f(a),f(b)]
或[f(b),f(a)]
;
x
(2)若
x?0
,则
f
(x)?1
;
f(x)
取遍所有正数当且仅当
x?R
;
(
3)对于指数函数
f(x)
?
a(a
?
0
且
a?
1)
,总有
f(1)?a
;
x
二、对数函数
(一)对数
1.对数的概念:一般地,如果
a
?
N
(a?
0,a?1)
,那么数
x
叫做以
.
a
为底
..N
x
的对数,记作:
x
?log
a
N
(
a
— 底数,
N
— 真数,
log
a
N
—
对数式)
说明:
○
1
注意底数的限制
a?0
,且
a?1
;
x
2
a<
br>○
?
N
?log
a
N
?
x
;
3 注意对数的书写格式.
○
两个重要对数:
log
a
N
1
常用对数:以10为底的对数
lgN
;
○
2
自然对数:以无理数
e?2.71828?
为底的对数的对数
lnN
.
○
? 指数式与对数式的互化
幂值
真数
a
b
=
N
?
log
a
N
= b
底数
指数 对数
(二)对数的运算性质
如果
a?0
,且
a?1
,
M?0
,
N?0
,那么:
1
log
a
(
M
·
N)?
log
a
M
+
log
a
N
;
○
M
?
log
a
M
-
log
a
N
;
N
3
log
a
M
n
?n
log
a
M
(n?R)
.
○
2
log
a
○
注意:换底公式
log
a
b?
log
c
b
(
a?0,且
a?1
;
c?0
,且
c?1
;
b?0).
log
c
a
1
n
(2)
log
a
b?
.
log
a
b
;
log
b
a
m
利用换底公式推导下面的结论
(1)
log
a
m
b
n
?
(二)对数函数
1、对数函数的概念:函数
y?log
a
x(a?0
,且
a
?1)
叫做对数函数,其中
x
是
自变量,函数的定义域是(0,+∞).
学习必备 欢迎下载
注意:
○
1
对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如:
y?2log
2
x<
br>,
y?log
5
x
都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.
5
2 对数函数对底数的限制:
(a?0
,且
a?1)
.
○
2、对数函数的性质:
a>1
3
2.5
2
1.5
03
2.5
2
1.5
1
-1
1
1
1
1
0.5
0.5
0
-0.5
1
2345678
-1
0
1-0.5
1
2345678
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
-2
-2.5
定义域x>0
值域为R
在R上递增
函数图象都过
定点(1,0)
(三)幂函数
-2.5
定义域x>0
值域为R
在R上递减
函数图象都过定点
(1,0)
1、幂函数定义:一般地,形如
y
?x
(a?R)
的函数称为幂函数,其中
?
为常数.
2、幂函数性质归纳.
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1);
(2)
?
?0
时,幂函数的图象通过原点,并且在区间
[0,??)
上是增函数.特别
地,
当
?
?1
时,幂函数的图象下凸;当
0?
?
?
1
时,幂函数的图象上凸;
(3)
?
?0
时,幂函数的图象在区间
(0,??)
上是减函数.在第一象限内,当
x
从
右边趋向原点时,
图象在
y
轴右方无限地逼近
y
轴正半轴,当
x
趋于
??
时,图
象在
x
轴上方无限地逼近
x
轴正半轴.
第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念:对于函数<
br>y?f(x)(x?D)
,把使
f(x)?0
成立的实数
x
叫
做函数
y?f(x)(x?D)
的零点。
2、函数零点的意义:函数
y?f(x)
的零点就是方程
f(x)?0
实数根,亦即函数
?
y
?f(x)
的图象与
x
轴交点的横坐标。
即:方程
f(x)?0<
br>有实数根
?
函数
y?f(x)
的图象与
x
轴有交点<
br>?
函数
y?f(x)
有零点.
3、函数零点的求法:
1
(代数法)求方程
f(x)?0
的实数根;
○
2 (几何法)对于不能用求
根公式的方程,可以将它与函数
y?
○
起来,并利用函数的性质找出零点.
4、二次函数的零点:
f(x)
的图象联系
学习必备
欢迎下载
二次函数
y?ax?bx?c
(
a?
0)
. <
br>2
(1)△>0,方程
ax?bx?c?
0
有两不等实根,二次函数的
图象与
x
轴有两个
2
交点,二次函数有两个零点.
(2)△=0,
方程
ax?bx?c?
0
有两相等实根,二次函数的图象与
x
轴有一
个
2
交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
(3)△<0,方程
ax
?bx?c?
0
无实根,二次函数的图象与
x
轴无交点,二次
2函数无零点.
高中数学 排列组合试题-山东高中数学选修学那几本
高中数学常数代换-高中数学选择性必修什么意思
高中数学必修5基础题解答-2019年教师资格证高中数学试卷
课堂观察记录 高中数学doc-贵阳初中升高中数学衔接班
中专数学跟高中数学的区别-全年合订本人大复印高中数学
微课高中数学软件-高中数学教师资格证跟高考哪个难
高中数学一年级知识点总结-2019教师资格证高中数学重点
高中数学演绎推理题-高中数学推理作业图片
-
上一篇:高中数学知识要点及典型例题--三角函数
下一篇:高中数学知识点补充