高中数学知识点补充

数学基本公式（补充）
1.
a
3
?b
3
? (a?b)(a
2
?ab?b
2
)

a
3
?b
3
?(a?b)(a
2
?ab?b
2
)< br>
(a?b)
3
?a
3
?3a
2
b?3ab
2
?b
3

(a?b?c)
2
?a2
?b
2
?c
2
?2ab?2ac?2bc

2.①
f(x)
同时关于
x?a
与
x?b
对称
(a ?b)
，则
f(x)
的周期为
2(b?a)

②
f (x)
同时关于点
(a,0)
与
(b,0)(b?0)
对称，则f(x)
的周期为
2(b?a)

③
f(x)
同时关于
x?a
对称同时关于点
(b,0)(b?0)
对称，则
f(x)的周期为
4(b?a)

3. ①
f(2a?x)?f(x)?2b?y?f(x)
关于点
(a,b)
对称
a?b
对称
2
1
③
y?f(a?x)
与
y?f(b?x)
图象关于
x?(b?a)
对称
2
②
f( a?x)?f(b?x)
，则
y?f(x)
关于
x?
4.
a x
2
?bx?c?0(a?0)
两根为
x
1
,x
2
,

?
??0
?
①两个不等正根
?
?x
1
?x
2
?0
②两个不等负根
?
?
xx?0
?
12
?
??0
?
?
x
1
?x
2
?0
③一正根一负根
?x
1
x
2
?0

?
xx?0
?
12
5. ①命题的否定：否定命题的结论。 ②否命题：否定命题的条件与结论。
6.“
p< br>且
q
的否定为”
?p
或
?q
，
p
或
q
否定为
?p
且
?q

命题
p
：
x?A?B
，则
?p
：
x?A
或
x?B

7. 二次函数在某区间上的最值问题含参数的有两类：
①定轴动区间:《走向高考》
P
47
易错点2（3）若函数
y?x
2
?4x?3
在区间
[0,m]
上最小值
?1
，
最大值3，则
m
的取值 范围是

2
②定区间动轴:《走向高考》
P
49< br>考例2已知
y?2x?2ax?3
在区间
?
?1,1
?
上的最小值为
f(a)
，试
求
f(a)
的解析式。
a
2
a
2
?3
解：令
g(x)?y?2x?2a x?3?2(x?)?
22
2
当
a
??1
即
a?? 2
时，
g(x)
min
?g(?1)?5?2a

2

a
aa
2
当
?1??1
即
?2?a?2< br>时，
g(x)
min
?g()?3?

2
22
当
a
?1
即
a?2
时，
g(x)
min
?g(1)?5?2a

2
g(x)
min
?
5?2a,a ??2
?
?
a
2
?f(a)?
?
3?,?2?a? 2

2
?
?
?
5?2a,a?2
8.
a
2
?2ab?b
2
?(a?b)
2
?a?b
例：
3?22?(2)
2
?2?1?2?1
2
?(2?1)2
?2?1

9. 若集合A是集合B的真子集，A称为“小”集合，B称为“大”集合；
小是大的充分不必要条件； 大是小的必要不充分条件。
10.①指数函数 ②对数函数






0?d?c?1?b?a

0?d?c?1?b?a

在第一象限，底数越大，图象越远离
x
轴 在第一象限，底数越大，图象越远离
y
轴
这一性质可通过
x
取1时，
y
值的关系去理解 这一性质可通过
y
取1时，
x
值的关系去理解
11.①
y??f(x)
与
y?f(x)
单调性相反 ②
y?
1
与
y?f(x)
单调性相反
f(x)
③
y?kx?b(k?0)
；当
k?0
时，函数在R上单调递增；当
k ?0
时，函数在R上单调递减
④
y?ax?bx?c(a?0)

2
bb
]
上单调递减，在
[?,??)
上单调递增
2a2a
bb
]
上单调递增，在
[?,??)
上单调递减 当
a?0
； 函数在
(??,?
2a2a
k
⑤
y?
，当
k?0
时，函数在
(??,0)
和
(0,??)
递减；
x
当
a?0
；函数在
(??,?
当
k? 0
时，函数在
(??,0)
和
(0,??)
递增
12. ①G为
?ABC
重心
?GA?GB?GC?0
②锐角
?ABC
中，任意两内角和大于
?

2

13.正弦定理应用：①已知一边和两角 ②已知两边和其中一边的对角
余弦定理应用：①已知三边 ②已知两边和它们的夹角
14. ①
?
g(x)?0
?
②
f(x)?g(x)?
?
f(x)?0
?
f(x)?g
2
( x)
?
?
g(x)?0
?
g(x)?0
?
或
?

f(x)?g(x)?
?
f(x)?0
f(x)?0
?
f(x)?g
2
(x)
?
?
15．①
a?b,a b?0?
1111
?
②
a?b,ab?0??

abab
16．求曲线方程的步骤：（1）建系设点 （2）列式化简 （3）检查有无多或漏点
求曲线方程的方法：（1）直接法 （2）定义法 （3）代入法 （4）消参法
17．圆与圆的位置关系：⊙
O
1
半径为
r
1
， ⊙
O
2
半径为
r
2
（
r
1
?r
2
）
①
O
1
O
2
>
r< br>1
+
r
2
?
外离 ②
O
1
O
2
=
r
1
+
r
2
?
外切 ③
O
1
O
2
=
r
1
?r
2
?
内切
④
r
1
?r
2
<
O
1
O
2
<
r
1
+
r
2
?
相交 ⑤
O
1
O
2
<
r
1
?r
2
?
内含
18.圆
x
2
?y
2
?r< br>2
上一点A
(x
0
,y
0
)
，过点A的切线 方程为
xx
0
?yy
0
?r
2

19. ①P为椭圆上的点，
F
1
,F
2
为焦点，则
PF
1
?PF
2
?2a(2a?2c)

② P为双曲线上的点，
F
1
,F
2
为焦点，则
PF
1
?PF
2
??2a(2a?2c)

b
x
2
y
2
20.双曲线
2
?
2?1
，焦点F
(c,0)
到渐近线
y?x
的距离为b，
a
ab
a
2
过垂足A作直线垂直于
x
轴，则此直线为准线
x?

c
21.如果已知两条渐近线为
y??
n
x
，此式两边平方，移项得
n
2
x
2
?m
2
y
2
?0
，
m
可设双曲线方程为
(my?nx)(my? nx)?
?
(
?
?0)

22．抛物线
y?2px (p?0)
过焦点的直线与抛物线交于A
(x
1
,y
1
)< br>B
(x
2
,y
2
)
两点，则
2
p
2
P
2
(
?
为直线AB的倾斜角） ①
y
1
y
2
??p
②
x
1
x
2
?
③
S
?ABC< br>?
2sin
?
4
2
23.异面直线的公垂线：有且只有一条。
24. ①菱形的对角线互相垂直且平分各个内角。②矩形的对角线长相等。
③
Rt?ABC
中,A为直角，
AD?BC
，
则
AB?BD?BC
,
AC?CD?CB
,
AD?BD?DC

222

④
n
边形内角和=
(n?2)?180
0< br>
⑤正方形ABCD中，E为AD中点，F为DC中点，则
BE?AF

25.正方体棱长为
a
①正方体内切球直径
2R
1
= a
②正方体外接球直径
2R
2
= 3a

③正方体棱切球直径
2R
3
= 2a

26. 长方体（包括正四棱柱、正方体）的外接球直径等于长方体的对角线长。
27.正四面体（棱长为a） 外接球半径R，内切球半径
r
，则R：
r
=3：1
PO
?
面ABC，
CO
=
3236
a??a
，
PO?a< br>2
?CO
2
?a

2333
28．A、B在同一纬线 上，⊙
O
1
半径为
r
,球半径为R,求球心角
?AOB。
解：如图
OO
1
?
面AB
O
1
,
O
1
A?O
1
B?r
,
OA?OB?R

?AO
1
B
为A、B两点的经度差，点A的纬度为
?AOC??O< br>1
AO

29.
lim
?x?0
f(x
0< br>?a?x)?f(x
0
)f(x)?f(x
0
)
?lim?f
'
(x
0
)

x?x
0
a?xx?x0
30.在（
a,b
）内可导的函数
f(x)

''< br>①
f(x)
在（
a,b
）上递增
?f(x)?0
且< br>f(x)?0
的点只有有限个。
''
②
f(x)
在（
a,b
）上递减
?f(x)?0
且
f(x)?0
的点只有有限个。
''
31.导数
y?f(x)
与原函数
y?f(x)
的关系 ：①
f(x)?0
恒成立
?
f(x)
为常数函数
''
②
f(x)?0
?f(x)
为增函数 ;
f(x)?0
?f(x)
为减函数
322
32.
f(x )?ax?bx?cx?d(a?0)
与
x
轴交点个数问题
?
f(x )?3ax?2bx?c

?
（1）
??0
时，
f
'
(x)?0
恒成立，则
f(x)
在R上递增，所以
f(x)
与
x
轴有且只有一个交点。
（2）
??0
时，
f(x) ?0
有两个不同实数根
x
1
?x
2

①
f (x
1
)?f(x
2
)?0,y?f(x)
图像与
x
轴有三个交点。
②
f(x
1
)?f(x
2
)?0,y? f(x)
图像与
x
轴有两个交点。
③
f(x
1
) ?f(x
2
)?0,y?f(x)
图像与
x
轴有一个交点。
'