高中数学知识点总结(完整版)

高中数学复习总结


目录

预备部分 初中知识复习----------6
第一部分 集合及其运算 ----------7
第二部分 方程与不等式----------8
(绝对值方程与不等式;一次,二次方程与不等式)
第三部分 函数 ------------------11
(常数函数,一次函数,二次函数,指数函数,对数函数,三角函
数,简谐振动)
第四部分 函数性质--------------18
(单调性,奇偶性,反函数,周期性,图像的平移与伸缩，可导性,
定积分)
第五部分 数列------------------23
(等差数列,等比数列)
第六部分 命题与简易逻辑--------25
(原命题,否命题,逆命题,逆否命题,或,且,非,全称量词,存
在量词)
第七部分 几何和向量------------26
(点,线,面,垂直,平行,二维向量,三维向量)
第八部分 直线和圆的方程-------- 32
(点斜式,斜截式,两点式,截距式,一般式,点到线距离公式,
定比分点公式)
第九部分 圆锥曲线--------------34
(椭圆,双曲线,抛物线,弦长公式)
第十部分 统计----------------- 37
(随机抽样,线性回归,独立性检验)
第十一部分 概率 -----------------41
(排列与组合,古典概型,几何概型,两点分布,超几何分布,二项
分布,正态分布,期望,方差)
第十二部分 复数及其运算----------44
(实部,虚部,虚数单位i，加法，减法，乘法，除法)
第十三部分 推理与证明 -----------46

数学（必修1）人教A版
第一章 集合与函数的概念
1.1 集合
1.2函数及其表示
1.3 函数的基本性质
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
2.1 指数函数
2.2 对数函数
2.3 幂函数
第三章 函数的应用
3.1 函数与方程
3.2 函数模型及其应用
（必修2）人教A版
第一章 空间几何体
1.1 空间几何体的结构
1.2 空间几何体的三视图和直观图
1.3 空间几何体的表面积与体积
第二章 点,直线,平面之间的位置关系
2.1空间点,直线,平面之间的位置关系
2.2 直线,平面平行的判定及其性质
2.3 直线,平面垂直的判定及其性质
第三章 直线与方程
3.1 直线的倾斜角与斜率
3.2 直线的方程
3.3 直线的交点坐标与距离公式
第四章 圆与方程
4.1 圆的方程
4.2直线,圆的位置关系
4.3空间直角坐标系
（必修3）人教A版
第一章 算法初步
1.1 算法与程序框图
1

1.2 基本算法语句
1.3 算法案例
第二章 统计
2.1 随机抽样
2.2 用样本估计总体
2.3 变量间的相关关系
第三章 概率 3.1 随机事件的概率 3.2 古典概型 3.3 几何概型
（必修4）人教A版
第一章 三角函数
1.1任意角和弧度制
1.2 任意角的三角函数
1.3 三角函数的诱导公式
1.4 三角函数的图像与性质
1.5 函数
y?Asin
?
?
x?
?
?
的图像
1.6 三角函数模型的简单应用
第二章 平面向量
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
2.2 平面向量的线性运算
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
2.4 平面向量的数量积
2.5 平面向量应用举例
第三章 三角恒等变形
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.2 简单的三角恒等变形
（必修5）人教A版
第一章 解三角形
1.1 正弦定理和余弦定理
1.2 应用举例
第二章 数列
2.1 数列的概念与简单表示法
2.2 等差数列
2.3 等差数列的前n项和
S
n

2.4 等比数列
2.5 等比数列的前n项和
S
n

第三章 不等式
3.1不等关系与不等式
2

3.2 一元二次不等式及其解法
3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性
3.4 基本不等式:
ab?



文（选修1-1）人教版
第一章 常用逻辑用语
1.1 命题及其关系
1.2 充分条件与必要条件
1.3 简单的逻辑联结词
1.4 全称量词与存在量词
第二章 圆锥曲线与方程
2.1 椭圆
2.2 双曲线
2.3 抛物线

第三章 导数及其应用
3.1 变化率与导数
3.2 导数的计算
3.3 导数在研究函数中的应用
3.4 生活中的优化问题举例
文（选修1-2）人教版
第一章 统计案例
1.1 回归分析的基本思想及其初
步应用
1.2 独立性检验的基本思想及其
初步应用

理（选修2-1）人教版
第一章 常用逻辑用语
1.1命题及其关系
1.2充分条件与必要条件
1.3简单的逻辑联结词
1.4全称量词与存在量词
第二章 圆锥曲线与方程
2.1曲线与方程
2.2椭圆
2.3双曲线
2.4抛物线
第三章 空间向量与立体几何
3.1空间向量及其运算
3.2立体几何中的向量方法

理（选修2-2）人教育版
第一章 导数及其应用
1.1变化率与导数
1.2导数的计算
1.3导数在研究函数中的
应用
1.4生活中的优化问题举例
1.5定积分的概念
1.6微积分基本定理
1.7定积分的简单应用

第二章 推理与证明
2.1合情推理与演绎推理
2.2直接证明与间接证明
2.3数学归纳法
第三章 数系的扩充与复数的引入
3
a?b

2
第二章 推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理
2.2 直接证明与间接证明

第三章 数系的扩充与复数的引入

3.1 数系的扩充和复数的概念
3.2 复数代数形式的四则运算

第四章 框图
4.1 流程图
4.2 结构图


3.1数系的扩充和复数的概念
3.2复数代数形式的四则运算

理（选修2-3）人教版
第一章 计数原理
1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1.2排列与组合
1.3二项式定理
第二章 随机变量及其分布
2.1离散型随机变量及其分布列
2.2二项式及其应用
2.3离散型随机变量的均值与方差
2.4正态分布
第三章 统计案例
3.1回归分析的基本思想及其初步应用
3.2独立性检验的基本思想及其初步应用
理（选修4-5）人教版
第一章 不等式和绝对值不等式
1.1不等式
1.2绝对值不等式
第二章 证明不等式的基本方法
2.1比较法
2.2综合法与分析法
2.3反证法与放缩法
第三章 柯西不等式与排序不等式
3.1二维形式的柯西不等式
3.2一般形式的柯西不等式
3.3排序不等式
第四章 数学归纳法证明不等式
4.1数序归纳法
4.2用数学归纳法证明不等式




4

初中知识复习

1.实数轴:
-∞



2.完全平方公式:
+∞
0 1


?
a?b
?
?
a?b
?
2
?a?b?2ab

?a?b?2ab

22
22
2
3.平方差公式:



4.运算:


4?2,12?2?2?3?23,50?52


5.中点坐标公式:

B
?
x
2
,y
2
?



A
?
x
1
,y
1
?
?
?
?
x
1
?x
2
y
1
?y
2
中点( ,)
22
5

6.勾股定理:



c
b
?
勾股数组:
3,4,5; 6,8,10; 5,12,13

a
a?b?c
222
第一部分 集合及其运算（必修1）
1.集合定义:若干个指定的对象集在一起.
2.表示法:
a.如：{0，1，-2}是列举法.
b.如：{x|x>2}是描述法.

c. 如： 是文氏图法

d.特殊符号如：
?
是空集；
N是自然数集;

N
或
N
?
是正整数集.(自然数集合中去掉零)
Z是整数集； Q是有理数集.
R是实数集； C是复数集.
3.集合中元素具有的性质：
?
1?{?1,0,2,3}
?
?
体现确定性；
①
2?{?1,0,2,3}
?
②
{?1,0,?1,2,5}是错误书写体现互异性 ；

2，5}?{5，0，2}体现无序性.
③
{0，
4.关系
a.集合和元素的关系.(是否是属于关系)(以A,B代表集合,以m代表元素)

?
当m在A中时，记作?A读作属于A
m和A的关系:
?
?
当m不在A中时，记作?A读作不属于A

b.集合和集合的关系(是否是包含关系)
?
?
A拥有的元素,B不都有时,记作?A?B??
6
?
?
A拥有的元素,B不仅都有而且还多时,记作

?
A拥有的元素

,B都有时,记作?A?B??

A和B的关系:


定理1:空集是任意一个集合的子集,是任意一个非空集合的真子集.
n
?
?
子集个数为2个.
定理2：当集合A中的元素个数为n个时，那么A有
?

n
?
?
真子集个数为2-1个.
5.运算


文氏图 数学表达式 何种运算


x|x?A且x?B






x|x?A或x?B






x|x?I且x?A


I








1. 方程定义:含有未知量的等式.(初中)

2. ①绝对值方程(初中)

“|x-a|”表示数轴上点x到点a的距离.

例1.求解
x?5



分析：如图所示



解：
x?x?0?5?x??5,x?5



例2.求解
|x?2|?3



分析：如图所示

解：
x?2?3?x??1,x?5



②绝对值不等式（必修5）

形态1.
x?a?b,(b?0)

7

??b?x?a?b

?a?b?x?a?b

说明
??
A?B
取A和B的
公有元素
取A和B的
所有元素
相对于全集
I求A的补
集
??
A?B
??
CA
第二部分 方程与不等式

图(1)

x?a

?b,(b?0)
形态2.


3.①一元一次方程（初中）
?x?a??b or x?a?b
?x?a?b or x?a?b

图(2)
形如:
ax?b?0,(a?0)
叫一元一次方程.




例1.
2x?3?0
?2x?3
3
?x?
2< br>②一元一次不等式（必修5）
定理
:不等式的两侧同时加上或者减去一个数,不等式不 改变符号.但若同
时乘以或者除以一个负数要改变不等式符号. (如是正数不变号)

4.①一元二次方程（初中）
形如:
ax?bx?c?0,(a?0)
叫一元二次方程.
解法一.(公式法)
2
（第一步:首先计算）判别式
??b?4ac

2
（第二步:确定
?
属于下面哪一类型）:

?
?b?

?
??0,方程有两个不相等的实解.x?
2a

?

?
?b

?
??0,方程有两个相等的实解.x?
2a

?

?
?<0,方程无实解.

?
?
解法二.(十字交叉法)
例.
2x?x?3?0

分析:
8
2
??b??
， x?
2a

(错) (对)

解:
2x
2
?x?3?(x?1)(2x?3)?0

3
?x??1,x?


注:此法的关键是将系数a与c拆分成两个 数的乘积并且拆分所得数交叉相乘
的和必须等于系数b.并不是所有的一元二次方程都可拆分.
定理:(韦达定理)(又名根与系数关系)
在一元二次方程
ax?bx?c?0,( a?0)
有解
x
1
,x
2
的情况下:
2
2
?b

x
1
?x
2
?;，x
1
x
2

a
②一元二次不等式（必修5）
形态1.求解
x?x?6?0



解:令
x
2
?x?6?0

2
?
c
a
? (x?2)(x?3)?0
?x??2,x?3
?不等式解集为
?
??,?2
?
?
?
3,??
?
.

形态2.求解
?2x
2
?x?3?0

解:
令-2x
2
?x?3?0



?(x?1)(- 2x?3)?0
3
?x??1,x?
2
3
??
?不等式解集 为
?
?1,
?
.

2
??
步骤总结：1.要解不等式先解等式.2.画草图看大小号.
x?3
?0
形态3.求解
x?4
解:
x?3
?
(x?3)(x?4)?0
?0?
?

x?4
?
x?4?0


?
?4?x?3
????????
?
??4?x?3


?
x?4?0
9

所以解集为
x|?4?x?3
?

5.基本不等式（必修5）
1)来源
22222
①
a?2ab?b?(a?b)?0?a?b?2ab.
②
a?2ab?b?(a)< br>2
?2ab?(b)
2
?(a?b)
2
?0

?a?b?2ab,(a?0,b?0)

2)基本不等式使用注意事项
口诀:1正2定3相等
①1正，是指参加运算的量必须是正数.
②2定，是指参加运算的量,要么和是定值,要么积是定值.
③3相等，是指参加运算的量相等时,均值不等式才能取等号.

?
第三部分 函数
1. 定义:在集合A中的每一个元素x经过对应法则f在集 合B中都有唯一
的元素y与之对应,那么我们就称这个整体叫函数.
（必修1）

记作:

f:A?B

2. 函数的三要素
（必修1）






①定义域和值域
定义域一般情况下会给出,当题目没有给出时,定义域默认使函
数表 达式有意义的自变量取值范围.
常见陷阱有以下几处
①.分母不能为零. ②.偶次根号下的量要大于或等于零.
③.底数位置上的量要大于零且不等于1.
④.真数位置上的量要大于零.
0
⑤.不能有双零结构,即“
0
”.
1
?log
3
(x?1)?x
0
的定义域. 例. 求
f(x)?x?3?
x?2
解:由
10

?
x?3?0
?
x?2?0
?
?

f(x)
的定义域为
?
x|x>?1且x?0
?

?
?
x?1?0
?
?
x?0



②对应法则
所谓对应法则就是指运算的混合物,要掌握的运算有四对共八个:
加?->减 乘??除 乘方??开方 指数?->对数
常见函数主要有
a.常数函数,如
y?3
b.一次函数,如
y?2x?1

c.二次函数,如
y?x
2
?2x?3

1
x
3
e.对数函数,如
y?log
2
x,y?log
1
x

d.指数函数,如
y?2,y?()

x
3
f.三角函数,如
y?sinx,y?cosx,y?tanx

具体如下:
（注意：学函数核心点就是学系数）

a.常数函数:图像是平行于x轴的一条直线.
（必修2）

b.一次函数
（必修2）

通式:
y?ax?b,(a?0)
例如:
l
1
:y?x?3;l
2
:y??x?1

图像:直线(两点确定一条直线)


11

①系数a

?
a?0时，
图像上坡,增函数.

?
?
a?0时，
图像下坡,减函数.

②系数b决定图像在y轴上的截距.


c.二次函数
2
通式:
y?ax?bx?c,(a?0)
例如:
y?x
2
?2x?1;y??x
2
?2x?3
图像:抛物线
?系数a
?
a?0时，
图像开口向上.

?
?
a?0时，
图像开口向下.
?b
?b4ac?b
2
)
.
?系数b和a共同决定对称轴:

x?
,顶点坐标
p(,
2a
2a4a
r

s

r

s
?系数c决定图像在y轴的截距.
?表达式的另外形式:
(一般式)
y?ax
2
?bx?c

b
2
4ac?b
2
(顶点式)
?a(x?)?

2a4a
(双根式)
?a(x?x)(x?x)
12


d.和e.指数函数和对数函数
(必修1)


?运算法则 指数运算 对数运算

rsr?s
a?a?a
log
a
M?

log
a
N?log
a
(MN)

rsr?s
M
a?a?a

log
a
M?log< br>a
N?log
a
()
N

r
s
rs
a?a

log
a
(M
N
)?Nlog
a
M

??
a?a
log
c
b
12
b?log,(c? 0且c?1)
a
log
c
a

?指数运算与对数运算的关系
当
a>0且a?1
时
,
a
x
?N??x?log
a
N

3
2?8??3?log
2
8
如:

?指数函数和对数函数的区别与联系


函
数
指数函数
性

质
表达式

对数函数
y?a
x

y?log
a
x


图像

函数存在
条件
单调性

底数都要满足:
a>0且a?1


?当
0时,其为减函数
?
;?当
a>1
时,其为增函数?

f.三角函数 （必修4）
1.角：共端点的两条射线组成的图形。
（如图所示）
a.顶点在原点，以x正半轴为出发处,

逆时针旋转所得角为正角，（如角1）

顺时针旋转所得角为负角. （如角2）

b.角有两种单位制.
?角度制,如:
45
0
(特点是头上有个小圆圈.)
13

?弧度制,如:
3,
?
3
(弧度制中表示的角不需要有
?
的身影.)

c.与角
?
终 边相同的角组成的集合为:
?
x|x?
?
?2k
?
,k?z
?
.

与角
?
终边在同一条直线上的角组成的集合为:

?
x|x?
?
?k
?
,k?Z
?


3.a.三角函数定义:设角
?
终边上任意一点
p
?x,y
?
(不能是原点),

(op?x
2
?y
2
?r,可知r?0)
则

y
sin
?
?;

r

x

cos
?
?;
r


y

tan
?
?
x

b.同角
???
?


sin

?

三角函数
2
角
0

2
6
、、、
43
?
2
函
sin
?
?cos
?
?1;?tan
数
关系式
cos
?

1
3
2
sin
?





2
2
2
c.诱导
公式
口诀:“奇变偶不变,符号看象限.”
?
(注:奇偶是指奇数倍和偶数倍,符号是 指将
?
看做锐角原来函数在相应
2
象限内的符号.)
d.常用三角函数值
0 1
14

1
3
2
cos
?





2
2
2


3


tan
?


3







e.图像(五点作图法)

y?cosx,x?R
y?sinx,x?R







y?tanx,其中

?
??

x|x??k
?
,k?Z
??

2
??



f.和差公式
1
0
0
1
3
无
sin
?
?
?
?
?
?si n
?
cos
?
?cos
?
sin
?
；cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?
sin
?
sin
?
;
tan
?
?tan
?
tan
?
?
?
?
?
?
1
?
tan
?
tan
?
g.辅助角公式

22
asinx?bcosx?a?bsin(x?
?
)

b
?
tan
?
?
(其中角
由 及
a

,

b
的符号确定
)
a
15

h.倍角公式


sin2
?
?2sin
?
cos
?
.
< br>2222
cos2
?
?cos
?
?sin
?
?2cos
?
?1?1?2sin
?


1?cos2
?
?
2
sin
?
?

?
?
2
?
?
(降幂公式)

?
cos
2
?
?
1?cos2
?
?
?2


i. 正弦型函数 (简谐振动)
在科学实验与工程技术的某些现象中,常会 碰到一种周期运动,它们是简
谐运动,可用正弦型函数

y?Asin(
?
x?
?
)
2
?
?
来表示. 其中
A
为振幅,
?
为角频率,
为初相角.最小正周期
T?
?
.
j.解三角形题目
?两边之和大于第三边,两边之和小于第三边.
?

?A??B?a?b?sinA?sinB
.

?内角和
180
0
,
?A??B??C?
?
.

?面积公式:
A
c
B
b
1
S?底?高
2
111
?absinC?acsinB?bcsinA
222
?l
?
l?a
??
l?b
??
l?c
?
?正弦 定理和余弦定理:（必修5）
定理 正弦定理
格局（暗示） 边角对应
a
C
(公式记忆：两边夹角)

余弦定理
两边夹角对一边
16

公式
222
abc
a?b?c?2bccosA
???2R

sinAsinBsinC
222
b?a?c?2accosB

c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
公式变形
asinB?bsinA
asinC?csinA

bsinC?csinB


b
2
?c
2
?a
2
cosA?

2bc
a
2
?c
2
?b
2
cosB?
< br>2ac
a
2
?b
2
?c
2
cosC?

2ab
因为互补的角余弦值相反，
所以角的解只能有一个。
解的情况





因为互补的角正弦值相等，
所以角的解可能有两个。
第四部分 函数性质
1.单调性与奇偶性(必修1)

性

质
项
目
单调性 (又名增减性)
某一区间A,不一定是整个定义域.
奇偶性 (又名对称性)
整个定义域
函数

范围
已知x
1
，x
2
?A且x
1
?x
2
.
判定
已知 :x?D且?x?D.
如果f(x
1
)?f(x
2
),那么函数在A 增.

如果f(-x)=f(x),,.那么函数是偶.
如果f(x
1
)?f(x
2
),那么函数在A减.
比较自变量x与因变量y的变化趋势.
同步为增函数,异步为减函数.

如果f(-x)=-f(x),那么函数是奇.
定 义域关于原点对称情况下,比较
f(x)与f(-x)两表达式,
相等为偶函数,相反为奇函数,其余情
况为非奇非偶函数.
图像关于y轴对称
?
偶函数;
图像关于原点对称
?
奇函数.
本质
图像
上坡为增函数,下坡为减函数.
17

1.若在区间A上
f
?
(x)
>0,则
f(x)
在A上为增函数;
补充
若在区间A上
f
?
(x)
<0,则
1.定义域关于原点对称,是函数具有
奇偶性的必要不充分条件.

2.奇函数f(x)若在x=0处有定义,那
么必然有f(0)=0.
f(x)
在A上为减函数.
2.单调函数一定有反函数且二者有相
同的单调性.
例如:已知函数
f(x )?ax
3
?bx?1,(a,b?0)
若f(2)=7,求f(-2)的值.
分析:
.







解:令
g(x)

?

ax

3

?

bx
由
g(-x)

?

?

g(x)
可知
g(x)

为奇函数


?
f(x)?g(x)?1?f(?x)?g(?x)?1??g(x)?1

?f(2)?g(2)?1?7?g(2)?6

?f(?2)?g(?2)?1??g(2)?1??5

2.反函数
?.什么样的函数有反函数?
答:满足一一对应的函数有反函数.
?.如果函数有反函数,那么如何求?
答:步骤:1.求原函数的值域.2.由原函数的表达式,求反函数表达式.
3.互换x,y并写出结论.
例:求函数
y?2x?3,x?3
的反函数
解. --------此步利用了一次函数单调性
y?3

又?
y?2x?3?x?

2
互换
x，y
得
y?
?
x?3?y?9
x?3

2
x?3
，(x?9)

2
18
?
所求反函数为:
y?

?原函数和反函数有什么联系?
答:1.二者的定义域与值域相互交错.
2.在同一坐标系下,两函数的图像关于直线
y=x
对称
.
3.周期性
判定:若函数f(x)满足f(x)=f(x+T),
(T?0)

则f(x)是周期函数,且 T是此函数的一个周期.
定理:若函数
y?f(x), (x?R)
关于
x?a
和
x?b
两条直线对称,则f(x)是周期< br>函数,且“2|b-a|”是它的一个周期.
例:已知f(x)是以3为其一个周期的奇函数,且f(-1)=7,求f(4)=?
解:由f(x)是奇函数且f(-1)=7得f(1)=-7.
又∵3是f(x)的一个周期.
∴f(4)= f(1+3)= f(1)=-7.



4.函数图象的平移和伸缩.
前 y=f(x) 后 y=f(ax+b)
图像已知 图像未知
注:1.“加减运算”决定平移,“ 乘除运算”决定伸缩.
2.“(顺序方面)剥洋葱,(手法方面)反向操作”.
3. 此处虽仅以变量x为例,但对于变量y此上法则同样适用.
例: 已知(前) 要求(后)
y=f(x) y=f(2x-3) ?
y=f[2(x-32)] ?
得到?的手法:
1.)y坐标不变,图像水平向右平移3个单位.
2.)y坐标不变,x坐标压缩为原来的12倍.
得到?的手法:
1.) y坐标不变,x坐标压缩为原来的12倍.
2.) y坐标不变,图像水平向右平移32个单位.
5.可导性(选修1-1或2-2)
1.)常用的导数公式.

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