新课标高中数学知识点一本通

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（文理通用）

第一部分 集合

1. 集合中元素具有确定性、无序性、互异性.
2. 集合的性质：
①任何一个集合是它本身的子集，记为
A?A
；
②空集是任何集合的子集，记为
?
?A
；
③空集是任何非空集合的真子集；
如果
A?B
，同时
B?A
，那么A = B.
如果
A?B，B?C，那么A?C
.
[注] ①Z= {整数}（√） Z ={全体整数} （×）
②已知集合S 中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.（×）
（例：S=N； A=
N
?
，则C
s
A= {0}）
③ 空集的补集是全集.
④若集合A=集合B，则C
B
A =
?
， C
A
B =
?
C
S
（C
A
B）= D （ 注 ：C
A
B =
?
）.
3. ①{（x
，
y）|xy =0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集.
②{（x
，
y）|xy＜0，x∈R，y∈R
?
二、四象限的点集.
③{（x
，
y）|xy＞0，x∈R，y∈R} 一、三象限的点集.
[注]：①对方程组解的集合应是点集.
?
x?y?3
例：
?
解的集合{(2，1)}.
2x?3y?1
?
②点集与数集的交集是
?
.
（例：A ={(x，y)| y =x+1} B={y|y =x
2
+1} 则A∩B =
?
）
4. ①n个元素的子集有2
n
个.
②n个元素的真子集有2
n
－1个.
③n个元素的非空真子集有2
n
－2个.
5. ⑴ ①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题
?
逆命题.
②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题
?
逆否命题.
例：①若
a?b?5，则a?2或b?3
应是真命题.
— 1 — 高中数学知识点精析

解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真.
②
x?1且y?2，

x?y?3
.
解：逆否：x + y =3x = 1或y = 2.
?x?1且y?2
x?y? 3
,故
x?y?3
是
x?1且y?2
的既不是充分，
又不是必要条件.
⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围.
?x?5或x?2
. 例：若
x?5，


Morgan公式 C
u
A∩ C
u
B = C
u
（A∪ B） C
u
A∪ C
u
B = C
u
（A∩ B）

第二部分 函数
1. 函数的三要素：定义域，值域，对应法则.
2. 函数的单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分. 对于具体的函
数来说可能有单调区间， 也可能没有单调区间，如果函数在区间（0，1）上为减
函数，在区间（1，2）上为减函数，就不能说 函数在上为减函数.
（0，1）?（1，2）
2
??y
y?x
3. 反函数定义：只有满足
x??
，函数才有反函数. 例：无反
y?f(x)
唯一
函数.
函数
y?f(x)
的反 函数记为
x?f
?1
(y)
，习惯上记为
y?f
?1
?1
(x)
. 在同一坐标
系，函数
y?f(x)
与它的反函数< br>y?f(x)
的图象关于
y?x
对称.
?1
?1
[注]：一般地，
f(x?3)?f(x?3)
的反函数.
f(x?3)
是先
f(x)
的反函数，在
左移三个单位.
f (x?3)
是先左移三个单位，在
f(x)
的反函数.
4. ⑴单调函数必有反函数，但并非反函数存在时一定是单调的.因此，所有偶函
数不存在反函数.
⑵如果一个函数有反函数且为奇函数，那么它的反函数也为奇函数.
⑶设函数y = f（x）定义域，值域分别为X、Y. 如果y = f（x）在X上是增（减）
函数，那么反函数y?f
?1
(x)
在Y上一定是增（减）函数，即互为反函数的两个
函数 增减性相同.
⑷一般地，如果函数
y?f(x)
有反函数，且
f(a)? b
，那么
f
?1
(b)?a
. 这就
?1
是说点（
a,b
）在函数
y?f(x)
图象上，那么点（
b,a
）在 函数
y?f
图象上.
(x)
的
— 2 — 高中数学知识点精析

5. 指数函数：
y?a
（
a?0,a?1
），定义域R，值域为（
0,??
）.
y=a
x
0＜
a
＜
1x
⑴①当
a?1
，指数函数：
y?a
在定义域上为增函数； < br>x
②当
0?a?1
，指数函数：
y?a
在定义域上为减函数.
x
⑵当
a?1
时，
y?a
的
a
值越大，越 靠近
y
轴；
▲
x
y
y=a
x
a
＞
1
1
x
O
当
0?a?1
时，则相反.
6. 对数函数：如果
a
（
a?0,a?1
）的
b
次幂等于
N
，就是
a
b
?N
，数
b
就叫做以
a
为底的
N
的对数，记作
log
a
N? b
（
a?0,a?1
，负数和零没有对数）；
其中
a
叫底数 ，
N
叫真数.
⑴对数运算：
log
a
(M?N)?lo g
a
M?log
a
N
(1)
log
a
M< br>?log
a
M?log
a
N
N
1
loga
M
n

log
a
M
n
?nlog< br>a
?
?M
?
12)
log
a
n
M?
a
log
a
N
?N
log
b
N
l og
b
a
换底公式：log
a
N?
推论：log
a
b?log
b
c?log
c
a?1
?log
a1
a
2
?log
a
2
a
3
?...? log
a
n?1
a
n
?log
a
1
an
（以上
M?0,N?0,a?0,a?1,b?0,b?1,c?0,c?1,a
1
,a
2
...a
n
?0且?1
）
注⑴：当< br>a,b?0
时，
log(a?b)?log(?a)?log(?b)
. ⑵：当
M?0
时，取“+”，当
n
是偶数时且
M?0
时 ，
M
n
?0
，而
M?0
，故取“—”.
2
2
例如：
log
a
x
?
2log
a
x< br>?
(2log
a
x
中x＞0而
log
a
x< br>中x∈R）.
⑵
y?a
x
（
a?0,a?1
）与< br>y?log
a
x
互为反函数.
当
a?1
时，
y?log
a
x
的
a
值越大，越靠近
7. 奇函数，偶函数：
— 3 — 高中数学知识点精析
x
轴；当
0?a?1
时，则相反.

⑴偶函数：
f(?x)?f(x)

设（
a,b
）为偶函数上一点，则（
?a,b
）也是图象上一点.
偶函数的判定：两个条件同时满足
2
①定义域一定要关于
y
轴对称 ，例如：
y?x?1
在
[1,?1)
上不是偶函数.
②满足
f(?x)?f(x)
，或
f(?x)?f(x)?0
，若
f(x)?0< br>时，
⑵奇函数：
f(?x)??f(x)

f(x)
?1
.
f(?x)
设（
a,b
）为奇函 数上一点，则（
?a,?b
）也是图象上一点.
奇函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于原点对称，例如：
y?x
3
在
[1,?1)上不是奇函数.
f(x)
②满足
f(?x)??f(x)
，或
f(?x)?f(x)?0
，若
f(x)?0
时，
??1
.
f(?x)
y轴对称
??y?f（?x）
8. 对称变换：①y = f（x）
???

??y??f（x）
②y =f（x）
???

x轴对称
③y =f（x）
?????y??f（?x）

9. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：
（x
1
?x
2
）(x
1
?x
2
)

222
f (x
1
)?f(x
2
)?x
2
?b?x?b?
12
22

x
x
?b
2
?x
1
?b< br>2
在进行讨论.
10. 外层函数的定义域是内层函数的值域.
x
例如：已知函数f（x）= 1+的定义域为A，函数f[f（x）]的定义域是B，则1?x
B?A
B之间的关系是 . 集合A与集合
解：f(x)
的值域是
f(f(x))
的定义域
B
，
f(x )
的值域
?R
，故
B?R
，而A
?
?
x| x?1
?
，
故
B?A
.
11. 常用变换：
①
f(x?y)?f(x)f(y)?f(x?y)?
f(x)
.
f(y)
原点对称
证：
f(x?y)?
f(y)
?f(x)?f[( x?y)?y]?f(x?y)f(y)

f(x)
— 4 — 高中数学知识点精析

x
f()?f(x)?f(y)?f(x?y)?f(x)?f(y)
②
y
证：
f(x)?f(?y)?f()?f(y)

12. ⑴熟悉常用函数图象：
?
1
?
|x|
例：
y?2
→
|x|
关于
y
轴对称.
y?
???
2
?
▲
x
y
x
y
|x?2|
?
1
?
?
1
?
y?
??
→
y?
??
→
?
2
?
?
2
?
|x|▲
|x?2|

y
▲
y
y
(-2,1)
(0,1)
x
x
x

y?|2 x
2
?2x?1|
→
|y|
关于
x
轴对称.
▲
y
x
▲

⑵熟悉分式图象：
例：
y?
y
2x?17
?2?
x?3x?3
2
?
定义域{x|x?3,x?R}
，
x
3
值域
{y|y?2,y?R}
→值域
?



x
前的系数之比.
第三部分 直线和圆

一、直线方程.
1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与
x
轴正方向所 成的最小正角叫做这条直
线的倾斜角，其中直线与
x
轴平行或重合时，其倾斜角为0， 故直线倾斜角的范
??
围是
0?
?
?180(0?
?
?
?
)
.
?
注：①当
?
?90
或x
2
?x
1
时，直线
l
垂直于
x
轴， 它的斜率不存在.
— 5 — 高中数学知识点精析

②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与
x
轴垂直的直线不存在斜率外，其余每
一条直 线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.
2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.
特别地，当直线经过两点
(a,0 ),(0,b)
，即直线在
x
轴，
y
轴上的截距分别为
a, b(a?0,b?0)
时，直线方程是：
?
x
a
y
?1.
b
注：若
y??
y??
2
2
x?2
是一直线的方程，则这条直线的方程是
y??x?2
，但若
3
3
2
x?2(x?0)
则不是这条线.
3
附：直线系：对于直线的斜截式方程< br>y?kx?b
，当
k,b
均为确定的数值时，它
表示一条确定的直线， 如果
k,b
变化时，对应的直线也会变化.①当
b
为定植，
k
变
化时，它们表示过定点（0，
b
）的直线束.②当
k
为定值，< br>b
变化时，它们表示
一组平行直线.
3. ⑴两条直线平行：
l< br>1
∥
l
2
?k
1
?k
2
两条直线平 行的条件是：①
l
1
和
l
2
是两条不重合的直线. ②在
l
1
和
l
2
的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个
“前提”都会导致结论的错误.
（一般的结论是： 对于两条直线
l
1
,l
2
，它们在
y
轴上的纵截距 是
b
1
,b
2
，则
l
1
∥
l2
?k
1
?k
2
，且
b
1
?b
2
或
l
1
,l
2
的斜率均不存在，即
A
1
B
2
?B
1
A
2
是平行的必
要不充分条 件，且
C
1
?C
2
）
推论：如果两条直线
l1
,l
2
的倾斜角为
?
1
,
?
2则
l
1
∥
l
2
?
?
1
??
2
.
⑵两条直线垂直：
两条直线垂直的条件：①设两条直线
l
1
和
l
2
的斜率分 别为
k
1
和
k
2
，则有
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1
这里的前提是
l1
,l
2
的斜率都存在. ②
l
1
?l
2?k
1
?0
，且
l
2
的斜
率不存在或
k
2
?0
，且
l
1
的斜率不存在. （即
A
1
B
2
?A
2
B
1
?0
是垂直的充要条 件）
4. 直线的交角：
⑴直线
l
1
到
l
2< br>的角（方向角）；直线
l
1
到
l
2
的角，是指直线< br>l
1
绕交点依逆时针方向
— 6 — 高中数学知识点精析

旋转到与
l
2
重合时所转动的角
?
，它的范围是
(0,?
)
，当
?
?90
?
时
tan
??
k
2
?k
1
.
1?k
1
k
2
⑵两条相交直线
l
1
与
l
2
的夹角：两条相交 直线
l
1
与
l
2
的夹角，是指由
l
1与
l
2
相交
?
?
?
所成的四个角中最小的正角
?
，又称为
l
1
和
l
2
所成的角，它的取 值范围是
?
?
0,
?
，
?
2
?
当
?
?90
?
，则有
tan
?
?
k
2
?k
1
1?k
1
k
2
.
5. 过两直 线
?
1
?
l:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
的交点的直线系方程
l:Ax?By?C?0
2222
?
A
1
x?B
1
y?C
1
?
?
(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0(
?
为参数，
A
2
x?B
2
y?C
2
?0
不包括在内）
6. 点到直线的距离：
⑴点到直线的距离公式：设点
P(x
0
, y
0
)
，直线
l:Ax?By?C?0,P
到
l
的 距离为
d
，
则有
d?
Ax
0
?By
0?C
A?B
22
.
⑵两条平行线间的距离公式：设两条平行直线 l
1
:Ax?By?C
1
?0,l
2
:Ax?By?C
2
?0(C
1
?C
2
)
，它们之间的距离为
d
，则有
d?
C
1
?C
2
A?B
22< br>.
7. 关于点对称和关于某直线对称：
⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.
⑵关于某直线对称 的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两
直线到对称直线距离相等.
若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角
的角平分线.
⑶点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），
过两对称点 的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.
注：①曲线、直线关于一直线（
y??x?b
）对称的解法：y换x，x换y. 例：曲
线f(x ,y)=0关于直线y=x–2对称曲线方程是f(y+2 ,x –2)=0.
②曲线C: f(x ,y)=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是f(a – x, 2b – y)=0.
二、圆的方程.
1. ⑴曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线
C
上的 与一个二元方程
f(x,y)?0
的实数建立了如下关系：
— 7 — 高中数学知识点精析

①曲线上的点的坐标都是这个方程的解.
②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）.
⑵曲线和方程的关系，实质 上是曲线上任一点
M(x,y)
其坐标与方程
f(x,y)?0
的一
种关系，曲线上任一点
(x,y)
是方程
f(x,y)?0
的解；反过来，满 足方程
f(x,y)?0
的
解所对应的点是曲线上的点.
注：如果曲线C的方程是f(x ,y)=0，那么点P
0
(x
0
,y)线C上的充要条件是f(x
0
,y
0
)=0
2. 圆的 标准方程：以点
C(a,b)
为圆心，
r
为半径的圆的标准方程是
( x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
.
特例：圆心 在坐标原点，半径为
r
的圆的方程是：
x
2
?y
2
?r
2
.
注：特殊圆的方程：①与
[r?b,圆心(a,b)或(a,?b)]

x< br>轴相切的圆方程
(x?a)
2
?(y?b)
2
?b
2

②与
y
轴相切的圆方程
(x?a)
2
?(y ?b)
2
?a
2

[r?a,圆心(a,b)或(?a,b)]

③与
x
轴
y
轴都相切的圆方程
(x?a)
2
?(y?a)
2
?a
2

[r?a,圆心(?a,?a)]

3. 圆的一般方程：
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
. < br>DE
?
当
D?E?
4
F?
0
时，方程表示一 个圆，其中圆心
C
?
半径
r?
?
?,?
?
，
2
??
2
22
D
2
?E
2
?4 F
2
.
当
D
2
?E
2
?4F?0
时，方程表示一个点
?
?
?
?
x?a?rcos
?
?
y?b?rsin
?
DE
?
,?
?
.
22
??
当
D
2
?E
2
?
4
F ?
0
时，方程无图形（称虚圆）.
注：①圆的参数方程：
?
（
?
为参数）.
②方程
Ax
2
?Bxy?Cy
2
?Dx?Ey?F?0
表示圆的充要条件是 ：
B?0
且
A?C?0
且
D
2
?E
2?
4
AF?
0
.
③圆的直径或方程：已知
A(x1
,y
1
)B(x
2
,y
2
)?(x?x1
)(x?x
2
)?(y?y
1
)(y?y
2
)?0
（用向
量可征）.
4. 点和圆的位置关系：给定点
M(x
0
,y
0
)
及圆
C:(x?a)
2
?(y?b)< br>2
?r
2
.
①
M
在圆
C
内
?(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
? r
2

— 8 — 高中数学知识点精析

（x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
?r< br>2
②
M
在圆
C
上
?
③
M
在圆
C
外
?(x
0
?a)
2
?(y
0?b)
2
?r
2

5. 直线和圆的位置关系：
设圆圆
C
：
(
x?a
)
2
?
(
y ?b
)
2
?r
2
(
r?
0)
； 直 线
l
：
Ax?By?C?
0(
A
2
?B
2
?
0)
；
圆心
C(a,b)
到直线
l
的距离
d?
①
d?r
时，
l
与
C
相切；
22
?
?
x?y?D
1
x?E
1
y?F< br>1
?0
?
相减为公切线方程. 附：若两圆相切，则
?
22< br>?
?
x?y?D
2
x?E
2
y?F
2
?0
Aa?Bb?C
A?B
22
.
②
d?r
时，
l
与
C
相交；
附：公共弦方程：设
C
1
:x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F
1
?0

C:x< br>2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
2222
有两个交点，则其公 共弦方程为
(D
1
?D
2
)x?(E
1
?E
2
)y?(F
1
?F
2
)?0
.
③
d?r
时，
l
与
C
相离.
22?
?
x?y?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
?
相减为圆心
O
1
O
2
的连线的中与附：若两 圆相离，则
?
22
?
?
x?y?D
2
x?E
2
y?F
2
?0
线方程.
?
?
(x?a)2
?(y?b)
2
?r
2
由代数特征判断：方程组
?
用代入法，得关于
x
（或
y
）的
?
Ax?Bx? C?0
?
一元二次方程，其判别式为
?
，则：
??0?l
与
C
相切；
??0?l
与
C
相交；
??0?l
与
C
相离.
注：若两圆为同心圆则
x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
，
x
2
?y
2
?D
2
x?E
2
y?F
2
?0
相减，不表
示直线.
6. 圆的切线方 程：圆
x
2
?y
2
?r
2
的斜率为
k的切线方程是
y?kx?1?k
2
r
过圆
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0

上一点
P(x
0
, y
0
)
的切线方程为：
x
0
x?y
0
y? D
x?x
0
y?y
0
?E?F?0
.
22
①一般方程若点(x
0
,y
0
)在圆上，则(x – a)(x
0
– a)+(y – b)(y
0
– b)=R
2
. 特别地，过圆
x
2
?y
2
?r2
上一点
P(x
0
,y
0
)
的切线方程为x
0
x?y
0
y?r
2
.
— 9 — 高中数学知识点精析

?
y
1
?y
0
?k(x
1
?x
0
)
?
b?y
1
?k(a?x
1
)
，联立求出
k?
切线方②若点(x
0
,y
0
)不在圆上，圆心为(a,b) 则
?
R?
?
R
2
?1
?
程.
7. 求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图：
ABCD四类共圆. 已知
?O
的方程
x
2
?y2
?Dx?Ey?F?0
…① 又以ABCD为圆为方
程为
(x?xA
)(x?a)?(y?y
A
)(x?b)?k
2
…② (x
A
?a)
2
?(y
A
?b)
2
… ③，所以BC的方程即③代②，①②相切即为所求.
R?
4
2
A







第四部分 三角函数
B
C
D
(a,b)
1. ①与
?
（0°≤
?
＜360°）终边相同的角的集合（角
?
与角
?
的终边重合）：< br>▲
?
?
|
?
?k?360
?
?
?< br>,k?Z

?
?
y
2
sinx
1
c osx
cosx
②终边在x轴上的角的集合：
?
?
|
?
?k?180,k?Z
?

③ 终边在y轴上的角的集合：
?
?
|
?
?k?180?90,k?Z< br>?

??
3
sinx
4
cosx
cosx< br>x
④终边在坐标轴上的角的集合：
?
?
|
?
?k?9 0
?
,k?Z
?

⑤终边在y=x轴上的角的集合：
?< br>?
|
?
?k?180?45,k?Z
?

??1
sinx
2
sinx
3
4
⑥终边在
y??x
轴上的角的集合：
?
?
|
?
?k?180
?
?45
?
,k?Z
?

SINCOS
三角函数值大小关系 图
1、2、3、4表示第一、二、三、
四象限一半所在区域
⑦若角
?
与角
?
的终边关于x轴对称，则角
?
与角
?
的关系：
?
?360
?
k?
?

⑧若角
?
与角< br>?
的终边关于y轴对称，则角
?
与角
?
的关系：
?< br>?360
?
k?180
?
?
?

⑨若角?
与角
?
的终边在一条直线上，则角
?
与角
?
的关系：
?
?180
?
k?
?

⑩角
?< br>与角
?
的终边互相垂直，则角
?
与角
?
的关系：?
?360
?
k?
?
?90
?

2. 角度与弧度的互换关系：360°=2
?
180°=
?
1°=0.01745 1=57.30°=57°18′
— 10 — 高中数学知识点精析

注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.



3. 三角函数的定义域：
三角函数 定义域
?
x|x?R
?

f(x)?
sinx
f(x)?
cosx
f(x)?
tanx
f(x)?
cotx
f(x)?
secx
f(x)?
cscx
?
x|x?R
?

1
??
?
x|x?R且x?k
?
?
?
,k?Z
?< br>
2
??
?
x|x?R且x?k
?
,k?Z
?

1
??
?
x|x?R且x?k
?
?
?
,k?Z
?

2
??
?
x|x?R且x?k
?
,k?Z
?

4. 三角函数的公式：
（一）基本关系

公式组一
公式组二 公式组三
sin
x
·
csc
x
=1tan
x
=
sinx
c osx
sin
2
x
+cos
2
x
=1
si n2(k
?
?x)?sinx
cos2k(
?
?x)?coxs
cos

x

2

2

tan2k(
?
?x)?tanx

x
=co s
x
·
sec
x
=1
1+tan
x
=se c
x
sinx
cot2k(
?
?x)?coxt
tanx
·
cot
x
=1 1+cot
2
x
=csc
2
x

sin(?x)? ?sinx
cos(?x)?cosx
tan(?x)??tanx

cot(?x)??cotx


公式组四 公式组五 公式组六
sin(
?
?x)??sinx
sin2
?
(?x)??sinx
sin
?
(?x)?sinx
cos(
?
?x)??cosx
coscos
?
(?x)??coxs
2
?
(?x)?coxs
tan(
?
?x)?tanx

tan
?
(?x)??tanx

2
?
(?x)??tanx

tan
cot(
?
?x)?cotx
co
?
t(?x)??coxt
cot2
?
(?x)??coxt
（二）角与角之间的互换
— 11 — 高中数学知识点精析

公式组一 公式组二
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

sin2
?
?2si
?
nco
?
s
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
22
co2s
?
?co2
s
?
?sin
?
?2co
2
s
?< br>?1?1?2sin
?


sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin?

tan2
?
?
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

sin??
2
2ta
?
n
1?tan< br>?
2

?
1?co
?
s

2
tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
?
1?co
?
s

cos??

1?tan
?
tan
?
22< br>tan
?
?tan
?

tan

?

??
1?cos
?
?
sin
?
?
1?cos
?
1?tan
?
tan
?
21?c os
?
1?cos
?
sin
?
tan(
?
?
?
)?
公式组三 公式组四 公式组五
1
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
?
?
?
?
?
2
2tan1
2

sin
?
?
cos
?
sin
?
?
?
sin
?
?
?
?< br>?
?sin
?
?
?
?
?
?
?
2
1?tan
2
2
1
cos
?
cos
?
?
?
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
?
?
?
?
?
2
?
1
1 ?tan
2
sin
?
sin
?
??
?
co s
?
?
?
?
?
?cos
?
?
?< br>?
?
?
2
cos
?
?

2< br>?
?
??
?
?
2
?
1?tan
si n
?
?sin
?
?2sincos
2
22
?
?
??
?
?
sin
?
?sin
?
?2c ossin
?
22
2tan
2

cos

?
?cos
?
?2cos
?
?
?
cos< br>?
?
?
tan
?
?
22
?
1?ta n
2
?
?
??
?
?
cos
?
?c os
?
??2sinsin
2
22
?
sin
?cos
?
?
6?2
,
sin75
?
?cos1 5
?
?
4
1
cos(
?
?
?
)? sin
?
2
1
sin(
?
?
?
)?cos
?
2
1
tan(
?
?
?
)?cot
?
2
1
cos(
?
?
?
)??sin
?
2
1
tan(
?
?
?
)??cot
?2
1
sin(
?
?
?
)?cos
?
2
sin15
?
?cos75
?
?
6?2
,
tan15
?
?cot75
?
?2?3
,
tan75
?
?cot15
?
?2?3
.
4
5. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：

y?sinx

y?cosx
y

?tanx
定义域
值域
R
[?1,?1]


y?cotx
R
[?1,?1]

1
??
?
x|x?R且x?k
?
?
?
,k?Z
?
2
??

?
x|x?R且x?k
?
,k?Z
?
R
?
（A、
?
＞0）
R
y?Asin
?
?
x?
?
?

R
?
?
?A,A
?

2
?
周期性

2
?

奇偶性 奇函数
2
?


?

偶函数 奇函数 奇函数
当
?
?0,
非奇非偶
当
?
?0,
奇函数
— 12 — 高中数学知识点精析

单调性
[?
?
2< br>?2k
?
,
[
?
2k?1
?
?
,< br>2k
?
]
??
?
；
?
?
??k?
,?k
?
?
?
22
?
?
k
?
,
?
k?1
?
?
?
上为减
?
2
?2k
?
]
上为增函上为增函数函数（
k?Z
）
数（
k?Z
）
上为增函
[2k
?
,
< br>数；
?
2k?1
?
?
]
上为减函
?
[?2k
?
,
数
2
3
?
（
k?Z
）
?2k
?
]
2

上为减函
数
（
k?Z
）
?
?
2k
?
?
?
?
?
2k
?
?
?
??
2
(A),
?
?
?
?
1
?
?
?
?
?
2
(?A)
?
?
?
??
?
?
上为增函数；
?
?
2k
?
?
?
?
?
2k
?
?
?
?
?
2(A),
?
?
?
?
3
?
?
?
?
?
2
(?A)
?
?
?
??
?
?
对称性 对称轴为对称轴为无对称轴， 无对称轴，
x?k
?
，对称中心为对称中心为
?
x?k
?
?
2
对称中心
k
?
k
?
(,0)
k?Z
(,0)
k?Z

22
，对称中为

心为
?
(k
?
?
上为减函数
（
k?Z
）
对称轴是直线
?
x?
?
?k
?
?
?2
(k?Z)
(k
?
,0)
，
k?Z
2
,0)
凡是该图象与直
线
y?0
的交点都是
k?Z


该
图象的对称中心

注意：①
y??sinx
与
y?sin x
的单调性正好相反；
y??cosx
与
y?cosx
的单调性也< br>▲
同样相反.一般地，若
y?f(x)
在
[a,b]
上递增（ 减），则
y??f(x)
在
[a,b]
上递减（增）.
②
y?sinx
与
y?cosx
的周期是
?
. < br>③
y?sin(
?
x?
?
)
或
y?cos(
?
x?
?
)
（
?
?0
）的周期
T ?
y?tan
x
2
x
y
2
?
O
?
.
的周期为2
?
（
T?
?
?T?2
?< br>?
，如图，翻折无效）.
?
④
y?sin(
?
x ?
?
)
的对称轴方程是
x?k
?
?
（
k? Z
），对称中心（
k
?
,0
）；
y?(soc
?< br>x?
?
)
2
的对称轴方程是
x?k
?
（k?Z
），对称中心（
k
?
?
1
?
,0
）；
y?n(at
2
?
x?
?
)
的对称中
心（
k
?
,0
）.
2
y?cos2x?
原点对 称
????y??cos(?2x)??cos2x

— 13 — 高中数学知识点精析

⑤当
tan
?
·
tan
?
?1,
?
?< br>?
?k
?
?(k?Z)
；
tan
?
·
tan
?
??1,
?
?
?
?k
?
?(k ?Z)
.
22
??
?
?
⑥
y?cosx
与
y?sin
?
?
x??2k
?
?
是同一函数,而
y?(
?
x?
?
)
是偶函数，则
?
2< br>?
1
y?(
?
x?
?
)?sin(
?
x?k
?
?
?
)??cos(
?
x)
.
2
⑦函数
y?tanx
在
R
上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整
个定义域，
y?tanx
为增函数，同样也是错误的].
⑧定义域关 于原点对称是
f(x)
具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条
件：一是定义 域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：
f(?x)?f(x)
，奇函数 ：
f(?x)??f(x)
）
奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：
y?t anx
是奇函数，
y?tan(x?
1
?
)
是非奇非
3
偶.（定义域不关于原点对称）
奇函数特有性质：若
0?x
的定义域， 则
f(x)
一定有
f(0)?0
.（
0?x
的定义域，则无此性质）
▲
⑨
y?sinx
不是周期函数；
y?sinx
为周期函数（
T?
?
）；
y?cosx
y
▲y
x
12
x
是周期函数（如图）；
y?cosx
为周期 函数（
T?
?
）；
y=cos|x|图象
1
y?cos2 x?
2
的周期为
?
（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：
y=|cos2x+12|图象
y?f(x)?5?f(x?k),k?R
.
⑩
y?acos
?
?bsin
?
?a
2
?b2
sin(
?
?
?
)?cos
?
?
有
a
2
?b
2
?y
.

第五部分 向量与解三角形

1. 长度相等且方向相同的两个向量是相等的量.
?
?
?
?
注意：①若
a,b
为单位向量，则
a?b
.
b
a
（
?
） 单位向量只表示向量的模为1，并
未指明向量的方向.
?
?
?
?< br>②若
a?b
，则
a
∥
b
. （√）
?
?
?
?
????
?
2. ①
?
?
?
a
?
=
?
??
?
a
②
?
?
?
?
?
a?
?
a?
?a
③
?
a?b?
?
a?
?
b

??
④设
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
,
?
?R
< br>?
?
a?b?
?
x
1
?x
2
,y< br>1
?y
2
?

?
?
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
— 14 — 高中数学知识点精析

?
?
?
?
22
（向量的模，针对向量坐标求
?
a ?
?
?
x
1
,
?
y
2
?

a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2

a?x
1
?y
1
模）
⑤平面向量的数量积：
a?b?a?bcos
?
⑥
a?b?b?a
⑦
?
?
?
?
?
?
?
?
a
?
?b?
?
a?b?a?
?< br>b
?
?
?
??
?
????

??
?
⑧
?
?
?
???
?
?
a ?b?c?a?c?b?c

?
注意：①
?
a?b
?
?c?a?
?
b?c
?
不一定成立；
a?b?b?c
?< br>?
?
?
??
?
??
a?c
.
②向量无大小（“大于”、“小于”对向量无意义），向量的模有大小.
???
③长 度为0的向量叫零向量，记
0
，
0
与任意向量平行，
0
的方 向是任意的，零
??
向量与零向量相等，且
?0?0
.
④若有一个 三角形ABC，则
??
0
；此结论可推广到
n
边形.
?< br>?
??
?
⑤若
ma?na
（
m,n?R
）， 则有
m?n
. （
?
） 当
a
等于
0
时，
ma?na?0
，而
m,n
不
一定相等.
⑥
a
·，
|a?b|
≤
|a|?|b|
.
a
=
|a|
2
，
|a|
=
a
2
（针对向量非坐标求模）
?
?
?
?
?
?
?
?
⑦当
a?0
时，由
a?b?0
不能推出
b?0
， 这是因为任一与
a
垂直的非零向量
b
，都
?
?
有< br>a
·
b
=0.
?
??
??
?
?< br>?
?
⑧若
a
∥
b
，
b
∥
c
，则
a
∥
c
（×）当
b
等于
0
时 ，不成立.
3. ①向量
b
与非零向量使得
b?
?
a（平
．．．．
a
共线的充要条件是有且只有一个实数
?
，
行向量或共线向量）.
当
?
?0,a
与
b
共线同向：当
?
?0,
a
与
b
共线反向；当
向量共线.
注意：若
a,b
共线，则
a?
?
b
（×） < br>若
c
是
a
的投影，夹角为
?
，则
cos?
?a?c
，
cos
?
?a?c
（√）
②设
a
=
?
x
1
,y
1
?
，b?
?
x
2
,y
2
?

?
?
a
∥
b
?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0?
a?
?
b?a?b?a?b
?
?
a
⊥
b
?a?b?0?x
1
x
2
?y
2
y
1
?0

?
?
?
?
b
则为
0,0
与任何
?
?
③设
A?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
,C
?
x
3
,y
3?
，则A
、
B
、
C三点共线
?
∥
?< br>=
?
（
?
?0
）
— 15 — 高中数学知识点精析

?
?
（
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
）=
?
（
x
3
?x
1
,y3
?y
1
）（
?
?0
）
（
x
2
?x
1
）·（
y
3
?y
1
）=（x
3
?x
1
）·（
y
2
?y
1
）
?
?
④两个向量
a
、
b
的夹角公式：
x
1
x
2
?y
1
y
2

cos
?
?
2222
x
1
?y
1
?x2
?y
2
⑤线段的定比分点公式：（
?
?0
和
?1
）
设

推广1：当
?

推广2：
AM
MB
?
?
则
PM?
y?
?
?
?
?
1
1?
?
P
1
P
=
?
PP
2
（或
P
2
P
=
P
P
1< br>）
（x
1
,y
1
）,(x,y),(x
2
, y
?
，且
P
1
,P,P
2
的坐标分别是
2
)
，则
?
y
1
?
?
y
2
?
y?y
2
?
y?
1
?
?
2
?
x?
?
x?
1
x
2

?1
时，得 线段
P
1
P
2
的中点公式：
?
2
?
B
M
A
P
?
x?
x
1
?
?x
2
?
1?
?
?
PA?
?
PB
1?
?
（
?
对应终点向量）.
三角形重心坐标公式：△ABC
x?x
2
?x
3
?
x?
1
?
?< br>3
?
?
?
x
y
,
?
?
y< br>的顶点
A
?
x
1
,y
1
?
,B?
x
2
,y
2
?
,C
?
x
3
,y
3
?
，重心坐标：
2
y
3

?
y?
y
1
G
?
3
?
注意：在△ABC中 ，若0为重心，则
OA?OB?OC?0
，这是充要条件.
'
?
?
‘
?
x?x?h
''
⑥平移公式：若点P
?
x,y
?
按向量
a
=
?
h,k
?
平移到P
x,y
，则
?
'

?
?
y?y?k
??
4. ⑴正弦定理：设△ABC的三边为a、b 、c，所对的角为A
、
B
、
C，则
abc
???2R
.
sinAsinBsinC
?
a
2
?b
2
? c
2
?2bccosA
?
222
⑵余弦定理：
?
?
b?a?c?2accosB

?
2
c?b
2
?a
2
?2abcosC
?
?
A?B
2
⑶正切定理：< br>a?b
?
A?B
a?b
tan
2
tan

⑷三角形面积计算公式：
设△ABC的三边为a
，
b
，
c
，
其高分别为h
a
，
h
b
，
h
c
，
半周长为P，外接圆、内
切圆的半径为R
，
r.
①S< br>△
=12ah
a
=12bh
b
=12ch
c
②S
△
=Pr ③S
△
=abc4R
④S
△< br>=12sinC
·
ab=12ac
·
sinB=12cb
·< br>sinA ⑤S
△
=
P
?
P?a
??
P ?b
??
P?c
?
[
海伦
公式
] ⑥S
△
=12（b+c-a）r
a
[
如下图
]=12（ b+a-c）r
c
=12（a+c-b）r
b

— 16 — 高中数学知识点精析

[注]：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心.


A
如图： 图1中的I为S
△
ABC
的内
A
c
b
心， S
△
=Pr
a

c

D

F

b

B

E

C

A
图2中的I为S
△< br>ABC
的一
D
r
F
c
I
个旁心，S
△
=12
r
C
r
B
b
a
E
O（b+c-a）r
a

I
A

C

a

B




E

F

1图

图2

图3

C
N
B
图4

附：三角形的五个“心”；
重心：三角形三条中线交点.
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.
内心：三角形三内角的平分线相交于一点.
垂心：三角形三边上的高相交于一点.
旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.
⑸已知⊙O是△ABC的内切圆，若BC=a，AC=b，AB=c [注：s为△ABC的半周
a
a
a
长,即
a?b?c
2
]
则：①AE=
s?a
=12（b+c-a）
②BN=
s?b
=12（a+c-b）
③FC=
s?c
=12（a+b-c）
综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图4）.
特例：已知在Rt△ABC
，
c为斜边，则内切圆半径r=
a?b?cab< br>（如图3）.
?
2a?b?c
tanA?tanB
??tanC
，
?
结
1?tanAtanB
⑹在△ABC中 ，有下列等式成立
tanA?tanB?tanC?tanAtanBtanC
.
证 明：因为
A?B?
?
?C,
所以
tan
?
A?B< br>?
?tan
?
?
?C
?
，所以
论！
AC
2
BD?AB
2
BC
⑺在△ABC中，D是BC上任意一点， 则
AD??BD?DC
.
BC
2
证明：在△ABCD中，由余弦定 理，有
AD
2
?AB
2
?BD
2
?2?AB?BD cosB?
①
AB
2
?BC
2
?AC
2
在△ABC中，由余弦定理有
cosB??
②，②代入①，化简
2AB?BC
AC
2
BD?AB
2
BC
可得，
AD??BD?DC（斯德瓦定理）
BC
2
A
B
图5
①若AD是BC上的 中线，
m
a
?
②若AD是∠A的平分线，
t
a
?< br>1
2b
2
?2c
2
?a
2
2
DC
；
2
bc?p
?
p?a
?
，其中
p
为半周长；
b?c
— 17 — 高中数学知识点精析

③若AD是BC上的高，
h
a
?
⑻△ABC的判定：
2< br>a
p
?
p?a
??
p?b
??
p?c
?
，其中
p
为半周长.
c
2
?a
2
? b
2
?
△ABC为直角△
?
∠A + ∠B =
?

2
c
2
＜
a
2
?b
2
?
△ABC为钝角△
?
∠A + ∠B＜
c
2
＞
a
2
?b
2
?
△ABC为锐角△
?
∠A + ∠B＞
?

2
?

2
附：证明：
cosC ?
a
2
?b
2
?c
2
2ab
，得在钝角△ ABC中，
cosC?0?a
2
?b
2
?c
2
?0 ,?a
2
?b
2
?c
2

⑼平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.
a?b
2
? a?b
2
?2(a
2
?b
2
)



第六部分 数列


1. ⑴等差、等比数列：
等差数列
a
n?1
?a
n
?d

定义
递推公
式
通项公
式
中项
a
n
?a< br>n?1
?d
；
a
n
?a
m?n
?md

等比数列
a
n?1
?q(q?0)

a
n< br>a
n
?a
n?1
q
；
a
n
?am
q
n?m

a
n
?a
1
q
n?1
（
a
1
,q?0
）
G??a
n?k
a
n?k
(a
n?k
a
n?k
?0)
a
n
?a
1
?(n?1)d

a
n?k
?a
n?k
2
A?
（
n
,
k?N
*
,
n?k?
0
）
前
n
项
和
S
n
?
n
(a
1
?a
n
)

2
（n
,
k?N
*
,
n?k?
0
）
?< br>na
1
(q?1)
?
S
n
?
?
a< br>1
1?q
n

a
1
?a
n
q
?(q?2)
?
1?q
?
1?q
n(n?1)
S
n
?na
1
?d
2
??

重要性
质
*
a
m
?a
n
?a
p
?a
q(m,n,p,q?N
*
,m?n?p?q)

a
m
? a
n
?a
p
?a
q
(m,n,p,q?N,

m?n?p?q)
⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法：
①
a
n
?a
n?1
?d(n?2,d为常数)

— 18 — 高中数学知识点精析

② 2
a
n
?a
n?1
?a
n?1
(
n?2< br>)
③
a
n
?kn?b
(
n,k
为常数).
⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法：
①
a
n
?a
n ?1
q(n?2,q为常数,且?0)

①

2
?a
n?1
?a
n?1
(
n?2
，
a
n
a< br>n?1
a
n?1
?0
)②
a
n
注①：i.
b?ac
，是a
、
b
、
c成等比的双非条件，即
b ?ac
列.
ii.
b?ac
（ac＞0）→为a
、
b< br>、
c等比数列的充分不必要.
iii.
b??ac
→为a
、
b
、
c等比数列的必要不充分.
iv.
b??ac
且
ac?0
→为a
、
b
、
c等比数列的充要.
a
、
b
、
c等比数
注意 ：任意两数a
、
c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两
个.
③
a
n
?cq
n
(
c,q
为非零常数).
④正数列{
a
n
}成等比的充要条件是数列{
log
xa
n
}（
x?1
）成等比数列.
⑷数列{
a
n
}的前
n
项和
S
n
与通项
a
n
的关系：
a
n
?
?
?
s
1
?a
1
(n?1)

?
s
n
?s
n?1
(n?2)
[注]： ①
a
n
?a
1
?
?
n?1
?
d?nd?< br>?
a
1
?d
?
（
d
可为零也可不为零→为等 差数列充要条件
（即常数列也是等差数列）→若
d
不为0，则是等差数列充分条件）.
d
d
?
2
?
d
?
②等差{
an
}前n项和
S
n
?An
2
?Bn?
?
??
n?
?
a
1
?
?
n
→可以为零 也可不为零→
?
2
??
2
?
2
为等差的充要条件→ 若
d
为零，则是等差数列的充分条件；若
d
不为零，则是等
差数列的 充分条件.
③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比
．．
数列）
2. ①等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k
2
倍
S
k
,S
2k
?S
k
,S
3 k
?S
2k
...
；
S
奇
②若等差数列的项数为 2
n
?
n?N
?
?
，则
S
偶
?S
奇
?nd，
S
偶
?
a
n
a
n?1
；
n

n?1
③若等差数列的项数为
2n?1
?
n?N
?
?
，则
S
2n?1
?
?
2n?1
?
a
n
，且
S
奇
?S
偶
?a
n
，
S
奇
?
S
偶
— 19 — 高中数学知识点精析

?代入n到2n?1得到所求项数
.
3. 常用公式：①1+2+3 …+n =
②
1
2
?2
2
?3< br>2
??n
2
?
③
1
3
?2
3
?3
3
?n
3
?
?
n
?
n?1
?

2

n
?
n?1
??
2n?1
?

6
2
?
n
?
n?1
?
?
?
?
2
?

5
9
[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…
?a
n
?10
n
?1
； 5，55，555，…
?an
?
?
10
n
?1
?
.
4. 等比数列的前
n
项和公式的常见应用题：
⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例 如，第一年产量为
a
，年增长率为
r
，
则每年的产量成等比数列，公 比为
1?r
. 其中第
n
年产量为
a(1?r)
n?1，且过
n
年后
总产量为：
a?a(1?r)?a(1?r)?...? a(1?r)
2n?1
a[a?(1?r)
n
]
?.

1?(1?r)
⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存
a元，利息为
r
，
每月利息按复利计算，则每月的
a
元过
n
个月后便成为
a(1?r)
n
元. 因此，第二年
年初可存款：
a(1?r)
12
?a(1?r)?a(1?r)
1110
a(1? r)[1?(1?r)
12
]
?...?a(1?r)
=
1?(1? r)
.
⑶分期付款应用题：
a
为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款 全部付清；
r
为年利率.
a
?
1?r
?
?x?
1?r
?
mm?1
?x
?
1?r
?
m?2
?......x
?
1?r
?
?x?a
?
1 ?r
?
m
x
?
1?r
?
m
?1ar
?
1?r
?
m
??x?

m
r
?
1?r
?
?1
5. 数列常见的几种形式：
⑴
a
n?2
?pa
n?1
?qa
n
（p< br>、
q为二阶常数）
?
用特证根方法求解.
具体步骤：①写出特征方程
x
2
?Px?q
（
x
2
对应
a
n ?2
，x对应
a
n?1
），并设二根
x
1
,x2
②
n
n
若
x
1
?x
2
可设
a
n.
?c
1
x
n
1
?c
2x
2
，若
x
1
?x
2
可设
a
n
?(c
1
?c
2
n)x
1
；③由初始值
a
1
,a
2
确定
c
1
,c
2
.
⑵
a
n
?Pa
n?1
?r
（P
、
r为常数）
?
用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消
去常数n转化为
a
n?2
?Pa
n?1
?qa
n
的形式，再用特征根方法求< br>a
n
；④
a
n
?c
1
?c
2
P
n?1
（公
— 20 — 高中数学知识点精析

式法），
c
1
,c
2
由
a
1
,a
2
确定.
①转化等差，等比：
a
n?1
?x?P(a
n
?x)?a
n?1
?Pa
n
?Px?x?x?
②选代法：< br>a
n
?Pa
n?1
?r?P(Pa
n?2
?r)?r ?
??a
n
?(a
1
?
?P
n?1
a1
?P
n?2
?r?
?
?Pr?r
r
. P?1
rr
)P
n?1
??(a
1
?x)P
n ?1
?x

P?1P?1
.
③用特征方程求解：
a
n?1
?Pa
n
?r
?
?
a
n?1
?a
n
?Pa
n
?Pa
n?1
?a
n?1
?（ P?1）a
n
?Pa
n?1
.
?
相减，
a
n
?Pa
n?1
?r
?
rrrr
，c
2
?a
1
?，a
n
?c
2
P
n?1
?c1
?（a
1
?）P
n?1
?
1?PP?1P?11?P
④由选代法推导结果：
c
1
?
.
6. 几种常见的数列的思想方法：
⑴等差数列的前
n
项和为
S
n
，在
d?0
时，有最大值. 如何确定使
S
n
取最大值时的
n
值，有两种方法：
一是求 使
a
n
?0,a
n?1
?
0
，成立的
n< br>值；二是由
S
n
?
d
2
d
n?(a
1
?)n
利用二次函数的
22
性质求
n
的值.
⑵ 如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前
n
项和可依照等比 数列前
n
项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：
111
1?,3,...(2n?1)
n
,...

24
2
⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两
个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差
d
1
，d
2
的最小公倍 数.



第七部分 不等式

1. ⑴平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a
、
b为正数）：
a
2?b
2
a?b2
??ab?
11
22
?
ab< br>（当a = b时取等）
a?b
2
a
2
?b
2a?b
2
a
2
?b
2
特别地，
ab?(
（当a = b时，
()?)??ab
）
2222
a
2
?b
2
?c
2
?
a??b?c
?
?
??< br>(a,b,c?R,a?b?c时取等)

33
??
2
1(a
1
?a
2
?...?a
n
)
2

n
⑵含立方的几个重要不等式（a
、
b
、
c为正数）：
22
?...?a
n
?
?
幂平均不等式：
a
1
2
?a
2
— 21 — 高中数学知识点精析

①
a
3
?b
3
?a
2
b?ab
2

②
a
3
?b
3
?c
3
?3abc?( a?b?c)(a
2
?b
2
?c
2
?ab?ac?bc)< br>
；
?
a
3
?b
3
?c
3
?3abc
（
a?b?c?0等式即可成立
，
a?b?c或a?b?c?0 时取等
）
3
333
a?b?c
a?b?c
?
3a?b?c
?

abc?
?
abc?
??
?< br>3
3
3
??
1
ab?ba?ac?(a??b?c)
2
（
a?b?c时取等
）
3
⑶绝对值不等式：
a
1
?a
2
?a
3
?a
1
?a
2
?a
3
a?b?a?b?a?b(ab?0时,取等)

a
1
?a
2
?
n
?a
n
?
n
a
1< br>a
2
a
n
⑷算术平均≥几何平均（a
1
、
a
2
…a
n
为正数）：
（a
1
=a
2
…=a
n
时取等）
⑸柯西不等式：设
a
i
,b
i
?
R(i
?
1,2,
?
,n),
则
2 2222
(a
1
b
1
?a
2
b
2
???a
n
b
n
)
2
?(a
2
1
?a
2
???a
n
)(b
1
?b
2
??? b
n
)

等号成立当且仅当
a
a
1
a2
????
n
时成立.（约定
a
i
?0
时，< br>b
i
?0
）
b
1
b
2
b
n
例如：
(ac?bd)
2
?(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)
.
⑹常用不等式的放缩法：①
1
?
1
?
nn?1
1
n(n?1)
1
n
2
111
??(n?2)

n(n?1)n?1n
②
n?1?n?
1
n?n?1
1
2n
12
23
1< br>n?n?1
?n?n?1(n?1)

2. 常用不等式的解法举例（x为正数）：
①
x(1?x)
2
??2x(1?x )(1?x)?()
3
?
22
1
2
4

27
2x
2
(1?x
2
)(1?x
2
)1 2
3
423
②
y?x(1?x)?y?

?()??y?< br>223279
类似于
y?sinxcos
2
x?sinx(1?sin
2
x)

③
|x?
1
|?|x|?|
1< br>|(x与
1
同号，故取等)?2

xxx

第八部分 导数
— 22 — 高中数学知识点精析

1. 导数（导函数的简称）的定义：设
x
0
是函数
y? f(x)
定义域的一点，如果自变
量
x
在
x
0
处有 增量
?x
，则函数值
y
也引起相应的增量
?y?f(x
0< br>??x)?f(x
0
)
；比值
?y
f(x
0
??x)?f(x
0
)
称为函数
y?f(x)
在点
x
0
到
x
0
??x
之间的平均变化率；如果极
?
? x?x
限
lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)< br>?y
存在，则称函数
y?f(x)
在点
x
0
处可导， 并把这个
?lim
?x?0
?x
?x?0
?x
极限叫做y?f(x)
在
x
0
处的导数，记作
f
'
(x
0
)
或
y
'
|
x?x
0
，即f
'
(x
0
)
=
lim
f(x
0??x)?f(x
0
)
?y
.
?lim
?x?0?x
?x?0
?x
注：①
?x
是增量，我们也称为“改变量”， 因为
?x
可正，可负，但不为零.
②以知函数
y?f(x)
定义域 为
A
，
y?f
'
(x)
的定义域为
B
，则
A
与
B
关系为
A?B
.
2. 函数
y? f(x)
在点
x
0
处连续与点
x
0
处可导的关系：
⑴函数
y?f(x)
在点
x
0
处连续是
y?f(x )
在点
x
0
处可导的必要不充分条件.
可以证明，如果
y ?f(x)
在点
x
0
处可导，那么
y?f(x)
点
x
0
处连续.
事实上，令
x?x
0
??x
，则< br>x?x
0
相当于
?x?0
.
于是
limf(x)? limf(x
0
??x)?lim[f(x?x
0
)?f(x
0)?f(x
0
)]

x?x
0
?x?0?x?0
?lim[
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)f( x
0
??x)?f(x
0
)
??x?f(x
0
)] ?lim?lim?limf(x
0
)?f
'
(x
0
)?0 ?f(x
0
)?f(x
0
).
?x?0?x?0?x?0
? x?x
⑵如果
y?f(x)
点
x
0
处连续，那么
y ?f(x)
在点
x
0
处可导，是不成立的.
例：
f(x) ?|x|
在点
x
0
?0
处连续，但在点
x
0
?0
处不可导，因为
0时，
?y?y?y
不存在.
?1
；当
?x
＜0时，
??1
，故
lim
?x?0
?x ?x?x
?y
|?x|
，当
?x
＞
?
?x?x注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.
②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.
3. 导数的几何意义：
函数
y?f(x)
在点
x
0处的导数的几何意义就是曲线
y?f(x)
在点
(x
0
,f(x ))
处的切线
的斜率，也就是说，曲线
y?f(x)
在点P
(x0
,f(x))
处的切线的斜率是
f
'
(x
0
)
，切线
方程为
y?y
0
?f
'
(x)(x?x< br>0
).

— 23 — 高中数学知识点精析

4. 求导数的四则运算法则：
(u?v)
'
?u
'
?v
'
?y?f
1
(x)?f
2
(x)?...?f
n
(x)?y
'
?f
1
'
(x)?f
2
'< br>(x)?...?f
n
'
(x)

(uv)
'
?vu
'
?v
'
u?(cv)
'
?c
'
v?cv
'
?cv
'
（
c
为常数）
''
?
u
?
vu?vu
(v?0)

??
?
v
2
?
v
?
'
注：①
u,v< br>必须是可导函数.
②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则 它
们的和、差、积、商不一定不可导.
例如：设
f(x)?2sinx?
，
g(x)?cosx?
，则
f(x),g(x)
在
x?0
处 均不可导，但它们
和
f(x)?g(x)?

sinx?cosx
在
x?0
处均可导.
2
x
2
x
5. 复合函数的求导法则：
f
x
'
(
?
(x))?f
'
(u)
?
'
(x )
或
y
'
x
?y
'
u
?u
'x

复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.
6. 函数单调性：
⑴函数单调性的判定方法：设函数
y?f(x)
在某个区间内可导，如果
f< br>'
(x)
＞0，则
y?f(x)
为增函数；如果
f
'
(x)
＜0，则
y?f(x)
为减函数.
⑵常数的判定方法； < br>如果函数
y?f(x)
在区间
I
内恒有
f
'
(x)
=0，则
y?f(x)
为常数.
注：①
f(x)?0
是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如
y?2x
3
在
(??,? ?)
上
并不是都有
f(x)?0
，有一个点例外即x=0时f（x） = 0，同样
f(x)?0
是f（x）
递减的充分非必要条件.
②一般地，如果 f
（
x
）
在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），
那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.
7. 极值的判别方法：（极值是在x
0
附近所有的点，都有
f(x)
＜
f(x
0
)
，则
f(x
0
)
是
函数
f(x)
的极大 值，极小值同理）
当函数
f(x)
在点
x
0
处连续时，
①如果在
x
0
附近的左侧
f
'
(x)
＞0 ，右侧
f
'
(x)
＜0，那么
f(x
0
)
是极大值；
— 24 — 高中数学知识点精析

②如果在
x
0
附近的左侧
f
'
(x)
＜0，右侧
f
'
(x)
＞0，那么
f(x
0
)
是极小 值.
也就是说
x
0
是极值点的充分条件是
x
0
点 两侧导数异号，而不是
f
'
(x)
=0
①
. 此外，
函数不可导的点也可能是函数的极值点
②
.

当然，极值是一 个局部概念，极值点的
大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.
注①： 若点
x
0
是可导函数
f(x)
的极值 点，则
f
'
(x)
=0. 但反过来不一定成立. 对
于可导函数， 其一点
x
0
是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.
例如 ：函数
y?f(x)?x
3
，
x?0
使
f
'
(x)
=0，但
x?0
不是极值点.
②例如：函数
y?f(x) ?|x|
，在点
x?0
处不可导，但点
x?0
是函数的极小值点.
8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上
对函数值进行比较.
注：函数的极值点一定有意义.
9. 几种常见的函数导数：
n)
'
?coxs
I.
C
'
?0
（
C
为常数）
(six
(x
n
)
'
?nx
n?1
（n?R
）
)
'
??sinx

(coxs
II.
(lnx)
'
?

(lo
a
gx)
'
?log
a
e

(e
x
)
'
?e
x

1
x
1
x

(a
x
)
'
?a
x
lna

1
x
III. 求导的常见方法：
①常用结论：
(ln|x|)
'
?
.
②形如
y? (x?a
1
)(x?a
2
)...(x?a
n
)
或
y?
转化求代数和形式.
③无理函数或形如
y?x
x
这类 函数，如
y?x
x
取自然对数之后可变形为
lny?xlnx
，对两边求导可得
y
'
1
?lnx?x??y
'
?yln x?y?y
'
?x
x
lnx?x
x

yx
(x?a
1
)(x?a
2
)...(x?a
n
)
两 边同取自然对数，可
(x?b
1
)(x?b
2
)...(x?bn
)

第九部分 立体几何
一、 平面.
1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.
注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.
— 25 — 高中数学知识点精析

2. 两个平面可将平面分成3或4部分.（①两个平面平行，②两个平面相交）
3. 过三 条互相平行的直线可以确定1或3个平面.（①三条直线在一个平面内平
行，②三条直线不在一个平面内 平行）
[注]：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有0或1个.
4. 三个平面最多可把空间分成 8 部分.（X、Y、Z三个方向）
二、 空间直线.
1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共
点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内 [注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（可能两
条直线平行，也 可能是点和直线等）
②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交
③若直线a
、< br>b异面，a平行于平面
?
，b与
?
的关系是相交、平行、在平面
?
内.
④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.
⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以
是其他图形）
⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一点向这
．．
个平面所引的垂线段和斜线段）
⑦
a,b
是夹在两平行平面间的线段，若
a ?b
，则
a,b
的位置关系为相交或平行或异
面.
2. 异面直线 判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点
的直线是异面直线.（不在任何一个平 面内的两条直线）
3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那
么这两个角相等（如下图）.
（二面角的取值范围
?
?
?
0
?
,180
?
?
）
1
1
2

2
（直线与直线所成角
方向相同

?
?
?
0
?
,90
?
?
）
方向不相同
（斜线与平面成角
?
?
?
0
?
,90
?
?
）
（直线与平面所成角
?
?
?
0
?
,90
?
?
）
（向量与向量所成角
?
?[0
?
,180
?
])

推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角
（或直角）相等.
5. 两异面直线的距离：公垂线的长度.
— 26 — 高中数学知识点精析

空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.
l
1
,l
2
是异面直线，则过
l
1
,l
2
外一点P，过点P且与< br>l
1
,l
2
都平行平面有一个或没有，
但与
l
1
,l
2
距离相等的点在同一平面内. （
L
1
或
L
2
在这个做出的平面内不能叫
L
1
与
L
2平行的平面）
三、 直线与平面平行、直线与平面垂直.
1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.
2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一 条直线和这个平面内一条直线平行，
那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”） [注]：①直线
a
与平面
?
内一条直线平行，则
a
∥< br>?
. （×）（平面外一条直线）
②直线
a
与平面
?
内一条直线相交，则
a
与平面
?
相交. （×）（平面外一条直线） ③若直线
a
与平面
?
平行，则
?
内必存在无数条直线与
a
平行. （√）（不是任意
一条直线，可利用平行的传递性证之）
④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可
能在此平面内）
⑤平行于同一直线的两个平面平行.（×）（两个平面可能相交）
⑥平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面）
⑦直线
l< br>与平面
?
、
?
所成角相等，则
?
∥
?
.
（×）（
?
、
?
可能相交）
3. 直线和平面平行性 质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的
平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 .（“线面平行，线线平行”）
4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且 只有一条直
线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.
? 若
PA
⊥
?
，
a
⊥
AO
，得
a
⊥< br>PO
（三垂线定理），
得不出
?
⊥
PO
. 因为
a
⊥
PO
，但
PO
不垂直OA.
? 三垂线定理的逆定理亦成立.
直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直 线都垂
直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）
直线与平面垂直的 判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另
一条也垂直于这个平面.
推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.
[注]：①垂直于同一平面的 两个平面平行.（×）（可能相交，垂直于同一条直线
．．．．．．．．．
P
O
a
A
的两个平面平行）
②垂直于同一直线的两个平面平行.（√）（一条直线垂直 于平行的一个平面，必
垂直于另一个平面）
③垂直于同一平面的两条直线平行.（√）
5. ⑴垂线段和斜线段长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段
．．
中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的
射影相等，较长的斜线段 射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.
[注]：垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.（×）]
⑵射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点
— 27 — 高中数学知识点精析

在平面内的射影在这个角的平分线上
四、 平面平行与平面垂直.
1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.
2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都 平行于另一个平面，
哪么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”）
推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.
[注]：一平面间的任一直线平行于另一平面.
3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平 面平行同时和第三个平面相交，那么
它们交线平行.（“面面平行，线线平行”）
4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面
垂直.
两个平面垂 直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的
平面垂直于这个平面.（“线面垂直 ，面面垂直”）
注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系.
5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们
P
交 线的直线也垂直于另一个平面.
?
?
推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.
证明：如图，找O作OA、OB分别垂直于
l
1
,l
2
，
因为
PM?
?
,OA?
?
,PM?
?
,O B?
?
则
PM?OA,PM?OB
.
l?m
2
?n
2
?d
2
?2mncos
?
（
?
为锐 角取加，6. 两异面直线任意两点间的距离公式：
B
M
A
θ
O?
?
?
?
为钝取减，综上，都取加则必有
?
?
?
0,
?
）
2
??
7. ⑴最小角定理：
cos
?
?cos
?
1
cos
?
2
（
?
1
为最小角，如图）
⑵最小角定理的应用（∠PBN为最小角）
θ
简记为：成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，一定有4条.
θ
θ
成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，一定有2条.
图1
成角比交线夹角一半大，又与交线夹角相等，一定有3条或者2条.
成角比交线夹角一半小，又与交线夹角一半小，一定有1条或者没有.
五、 棱锥、棱柱.
1. 棱柱.
⑴①直棱柱侧面积：
S?Ch
（
C
为底面周 长，
h
是高）该公式是利用直棱柱的侧
面展开图为矩形得出的.
1
2
图2
②斜棱住侧面积：
S?C
1
l
（
C
1
是斜棱柱直截面周长，
l
是斜棱柱的侧棱长）该公
式是利用斜棱柱的侧面展 开图为平行四边形得出的.
⑵{四棱柱}
?
{平行六面体}
?
{直 平行六面体}
?
{长方体}
?
{正四棱柱}
?
{正
方体}.
{直四棱柱}
?
{平行六面体}={直平行六面体}.
— 28 — 高中数学知识点精析

四棱柱
底面是
平行四边形
平行六面体
侧棱垂直
底面
直平行 六面体
底面是
矩形
长方体
底面是
正方形
正四棱柱
侧 面与
正方体
底面边长相等

⑶棱柱具有的性质：
①棱柱的各个侧面 都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是
．．．．．．
矩形；正棱柱的各个 侧面都是全等的矩形.
．．．．．．．
②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形.
．．
③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.
注：①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. （×）
（直棱柱不能保证底面是钜形可如图）
②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直.
⑷平行六面体：
定理一：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分.
．．．．．．．．．．．．．
[注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点.
定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.
推论一：长方体一 条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为
?
,
?
,
?
，则
cos
2
?
?cos
2
?
?cos
2?
?1
.
推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为
?
,
?
,
?
，则
cos
2
?
? cos
2
?
?cos
2
?
?2
.
[注] ：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四面体的两个平行的平面
可以为矩形）
② 各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（应是各侧面都是正方形的直棱
．
柱才行） < br>③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体（.×）（只能推出对角线相等，
推不出底面为 矩形）
④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂
直. （两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件）
2. 棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.
[注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.
②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥； 所以
V
棱柱
?Sh?3V
棱柱
.
⑴①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心.
[注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）
ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等
iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱
相等）；底面为正多边形.
②正棱锥的侧面积：
S?Ch
'
（底面周长为
C
，斜高为< br>h
'
）
1
2
— 29 — 高中数学知识点精析

③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：
S
侧
?
a
l
S底
cos
?
1
2
（侧面与底面成的二面角为
?
）
附：
c
以知
c
⊥l
，
cos
?
?a?b
，
?
为二面角
a?l?b
.

b
则S
1
?a?l
①，
S
2
?l?b
②，
cos
?
?a?b
③
?
①②③
得
S
侧< br>?
S
底
cos
?
1
2
.
注：S为任意多边形的面积（可分别多个三角形的方法）.
⑵棱锥具有的性质：
① 正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高
相等（它叫做正棱锥的斜高 ）.
②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、
侧棱、侧 棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.
⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：
①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.
②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外
心.
③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内
心.
④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.
⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.
⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.
⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距
离等于球半径；
⑧每个四面体都有内切球，球心
I
是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面
的距离等于半径.
[注]：i. 各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（ ×）（各
A
个侧面的等腰三角形不知是否全等）
b
a
ii. 若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直.
c
简证：AB⊥CD，AC⊥BD
?
BC⊥AD. 令
AB?a,AD?c,AC
B
?b

得
BC?AC?AB ?b?a,AD?c?BC?AD?bc?ac
，已知
a?
?
c?b
?
?0,b?
?
a?c
?
?0

?ac?bc?0
则
BC?AD?0
.
A
D
C< br>D
E
F
O'
C
H
G
iii. 空间四边形OABC且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩
B
形.
iv. 若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方
形. 简证：取AC中点
O'
，则
oo
?
?AC,BO
??AC?AC?
平面
OO
?
B?AC?BO??FG?
90H
°易知EFGH为平行四边形
?
EFGH为长方形.若对角
线等，则< br>EF?FG?EFGH
为正方形.
— 30 — 高中数学知识点精析

3. 球：⑴球的截面是一个圆面.
①球的表面积公式：
S?4
?
R
2
.
②球的体积公式：
V?
?
R
3
.
⑵纬度、经度：
①纬度：地球上一点
P
的纬度是指经过
P
点的球半径与赤道面所成的 角的度数.
②经度：地球上
A,B
两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴 所确定的
二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点
A
的经线是本初子午线时，这 个
二面角的度数就是
B
点的经度.
附：①圆柱体积：
V?
?
r
2
h
（
r
为半径，
h
为高）
②圆锥体积：
V?
?
r
2
h
（
r
为半径 ，
h
为高）
③锥形体积：
V?Sh
（
S
为底面积，
h
为高）
4. ①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a，
h?
得
1
3
O
r
4
3
1
3
3
2
3
2
6
S
底
?a
，
S
侧
?a

a
，
3
44
3
2
63
2
13
2
2426
a?a?a?R??a?R?R?a3?a?3?a
.
43434 4344
注：球内切于四面体：
V
B?ACD
??S
侧
?R ?3?S
底
?R?S
底
?h

R
1
31
3
O
②外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式.
六. 空间向量.（空间向量部分 文科生不做要求）
1. （1）共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互
相平行或重合.
注：①若
a
与
b
共线，
b
与
c
共线，则< br>a
与
c
共线.（×） [当
b?0
时，不成立]
②向量
a,b,c
共面即它们所在直线共面.（×） [可能异面]
③若< br>a
∥
b
，则存在小任一实数
?
，使
a?
?< br>b
.（×）[与
b?0
不成立]
④若
a
为非零向量 ，则
0?a?0
.（√）[这里用到
?
b(b?0)
之积仍为向量]
（2）共线向量定理：对空间任意两个向量
a,b(b?0)
，
a
∥
b
的充要条件是存在
实数
?
（具有唯一性），使
a??
b
.
（3）共面向量：若向量
a
使之平行于平面
?
或
a
在
?
内，则
a
与
?
的关系是 平行，
记作
a
∥
?
.
（4）①共面向量定理：如果两个向 量
a,b
不共线，则向量
P
与向量
a,b
共面的充
— 31 — 高中数学知识点精析

要条件是存在实数对x、y使
P?xa?yb
.
②空间任一点和不共线三点 、B、C，则
OP?xOA?yOB?zOC(x?y?z?1)
是PABC
．．．< br>O
．．．．．．．
A
．．．．．
四点共面的充要条件.（简证：
OP?(1?y?z)OA?yOB?zOC?AP?yAB?zAC?
P
、
A、
B
、
C四点共面）
注：①②是证明四点共面的常用方法.
2. 空间向量基本定理：如果三个向量，那么对空间任一向量
P
，存
．．． ．
a,b,c
不共面
．．．
在一个唯一的有序实数组x
、
y
、
z，使
p?xa?yb?zc
.
推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P, 都存在唯一的有序
实数组x
、
y
、
z使
OP?xOA?yOB?zOC
(这里隐含x+y+z≠1).
注：设四面体ABCD的三条棱，
AB?b,AC?c,AD?d,
其
B< br>G
M
1
C
中Q是△BCD的重心，则向量
AQ?(a?b?c )
用
AQ?AM?MQ
即证.
3
A
D
3. （1 ）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴
是纵轴（对应为纵轴），z轴 是竖轴（对应为竖坐标）.
①令
a
=(a
1
,a
2
,a
3
),
b?(b
1
,b
2
,b
3< br>)
，则
a?b?(a
1
?b
1
,a
2?b
2
,a
3
?b
3
)
?
a?(?
a
1
,
?
a
2
,
?
a3
)(
?
?R)
a?b?a
1
b
1
? a
2
b
2
?a
3
b
3

a
∥
b?a
1
?
?
b
1
,a
2?
?
b
2
,a
3
?
?
b
3< br>(
?
?R)
?
a?a?a?a
1
2
?a2
2
?a
3
a
2
?a?a?a?a?a
2a
1
a
2
a
3

a?b?a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b3
?0

??
b
1
b
2
b
3
(用到常用的向量模与向量之间的转化：
)
a
1
b1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
2
a
1
2
?a
2
2
?a
3
?
?
?
?
a?b
cos?a,b??
?
?
?
|a|?|b|
?b
1
22
?b
2
2
?b
3

②空间两点的距离公式：
d?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
?(z
2
?z
1
)
2
.
（2）法向量：若向量
a
所在直线垂直于平面
?
，则称这个向量垂直于平面
?
，记
作
a?
?
，如果
a?
?
那么向量
a
叫做平面
?
的法向量.
（3）用向量的常用方法：
①利用法向量求点到面的距离定理： 如图，设n是平面
?
的法向量，AB是平面
?
— 32 — 高中数学知识点精析

的一条射线，其中
A?
?
，则点B到平面
?
的距离为
|A B?n|
|n|
.
②利用法向量求二面角的平面角定理：设
n
1< br>,n
2
分别是二面角
?
?l?
?
中平面
?< br>,
?
的法向量，则
n
1
,n
2
所成的角就是 所求二面角的平面角或其补角大小（
n
1
,n
2
方向
相同， 则为补角，
n
1
,n
2
反方，则为其夹角）.
③证直线和 平面平行定理：已知直线
a??
平面
?
，
A?B?a,C?D??
，且CDE三点
不共线，则a∥
?
的充要条件是存在有序实数对
?
?
?
使
AB?
?
CD?
?
CE
.（常设
AB?
?
CD?
?
CE
求解
?
,
?
若
?
,
?
存在即证毕，若
?
,
?
不存在，则直线AB与平面相
交）.


第十部分 圆锥曲线 （本部分参考08大纲，部分内容09不做要求）
一、椭圆方程.
1. 椭圆方程的第一定义：
PF
1
?PF
2
?2a
?
F
1
F
2
方程为椭圆,
PF
1
?PF
2< br>?2a
?
F
1
F
2
无轨迹,
PF
1
?PF
2
?2a?F
1
F
2
以F
1
,F
2
为端点的线段

⑴①椭圆的标准方程：
i. 中心在原点 ，焦点在x轴上：
x
2
?
y
2
ab
y
2< br>a
2
2
2
?1(
a?b?
0)
. ii. 中心在原点，焦点在
y
轴上：
?
x
2
b
2
?1(
a?b?
0)
.
2
②一般方程：Ax
程为
?
?
x?acos
?
?
y?bsin
?
?By?
1(
A?
0,
B?
0)
.③椭 圆的标准参数方程：
2
x
2
a
2
?
y
2< br>b
2
?
1
的参数方
（一象限
?
应是属于0?
?
?
?
2
）.
⑵①顶点：
(?a,0) (0,?b)
或
(0,?a)(?b,0)
.②轴：对称轴：x轴，
y
轴；长轴长
2a
，短轴
长
2b
.③焦点：
(?c,0)( c,0)
或
(0,?c)(0,c)
.④焦距：
F
1
F2
a
2
x??
?2c,c?a?b
.⑤准线：
c
22
a
2
c
或
y??
.⑥离心率：
e?(0?e ?1)
.⑦焦点半径：
c
a
i. 设
P(x
0
, y
0
)
为椭圆
x
2
a
2
?
y2
b
2
?1(
a?b?
0)
上的一点，
F1
,F
2
为左、右焦点，则
PF
1
?a?ex
0
,PF
2
?a?ex
0
?
由椭圆方程的第二定义可以推 出.
— 33 — 高中数学知识点精析

ii.设
P(x
0
,y
0
)
为椭圆
x
2
b
2
?
y
2
a
2
PF
1
?a?ey

0
,PF
2
?a?ey
0
?
?1(
a?b?
0)
上的一点，
F
1
,F
2
为上、下焦点，则
由椭圆方程的第二定义可以推出.
由椭圆第二定义可知：
来为“左加右减”.
pF
1
?e(x
0
?
a
2
a
2
)?a?ex
0
(x0
?
0),pF
2
?e(?
x
0
)?
ex
0
?
a
(
x
0
?
0)
归结起
cc
▲
y
(
bcos
?
,
bsin
?
)
(
acos
?
,
asin
?
)N
x
注意：椭圆参数方程的推导：得
N(acos
?
,bsin
?
)?
方程的轨迹为椭圆.
⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经. 坐标：
d?
⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆
x
2
a
22b
2
a
2
b
2
b
2
和
(? c,)
N
(c,)

的轨迹是椭圆
a
a
?
y
2
b
2
?1(
a?b?
0)
的离心率是
x
2
y
2
cc
22
e?(c?a?b)
，方程2
?
2
?t(t
是大于0的参数，
a?b?0)
的离心 率也是
e?

aa
ab
我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. < br>⑸若P是椭圆：
?
2
x
2
a
2
?
y
2
b
2
?1
上的点.
F
1
,F
2
为焦点，若
?F
1
PF
2
?
?
，则
?PF
1
F
2
的面积
?
2
为
b
2
tan
（用余弦定理与
PF
1
?PF
2
?2a< br>可得）. 若是双曲线，则面积为
b
2
?cot
.
二、双曲线方程.
1. 双曲线的第一定义：
PF
1
?PF2
?2a
?
F
1
F
2
方程为双曲线
P F
1
?PF
2
?2a
?
F
1
F
2
无轨迹
PF
1
?PF
2
?2a?F
1
F< br>2
以F
1
,F
2
的一个端点的一条射线

⑴ ①双曲线标准方程：
Ax
2
?Cy
2
?
1(
AC?
0)
.
x
2
a
2
?
y
2
b
2
?1(a,b
?
0),
y
2
a
2< br>?
x
2
b
2
?1(
a
,
b?
0)
. 一般方程：
⑵①i. 焦点在x轴上：
a
2
x
y
顶点：
(a,0),(?a,0)
焦点：
(c,0),(?c,0)
准线方程
x??
渐近线方程：??0
或
c
ab
x
2
a
2
?
y
2
b
2
?0

a
2
ii. 焦点在
y
轴上：顶点：
(0,?a),(0,a)
. 焦点：
(0,c),(0,?c)
. 准线方程：
y??
. 渐
c
?
x?asec
?
?
x?btan
?
y
2
x
2
y
x
近线方程：
??0
或
2
?
2
?0
，参数方程：
?
或
?
.
y? btan
?
y?asec
?
ab
ab
??
②轴x,y
为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率
e?
. ④
c
a
— 34 — 高中数学知识点精析

2a
2
2b
2
c
准线距（两准线的距离）；通径. ⑤参数关系
c
2
?a
2
?b
2
,e?
. ⑥焦点半
ca
a
径公式：对于双曲线方程
双曲线的上下焦点）
“长加短减”原则：
MF
1
?ex
0
?a
MF
2
?ex
0
?a
x
2
a
2
?
y2
b
2
?1
（
F
1
,F
2
分 别为双曲线的左、右焦点或分别为
构成满足
MF
1
?MF
2
?2a

M
?
F
1
??ex
0
?a
M
?
F
2< br>??ex
0
?a
（与椭圆焦半径不同，椭圆
▲
焦半径要带符号 计算，而双曲线不带符号）
▲
y
y
F
1
M
MF< br>1
?ey
0
?a
MF
2
?ey
0
? a
M
?
F
1
??ey
0
?a
?
M
?
F
2
??ey
0
?a
?
M'
M

x
F
1
F
2
M'
F
2
x
⑶等轴双曲线：双曲线
x
2
?y
2
??a
2< br>称为等轴双曲线，其渐近线方程为
y??x
，离
心率
e?2
.
⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双
x
2< br>y
2
x
2
y
2
曲线的共轭双曲线.
2
?
2
?
?
与
2
?
2
??
?互为共轭双曲线，它们具有共同的渐
ab
ab
近线：
x
2
a
2
?
y
2
b
2
?0
.
x< br>2
a
2
⑸共渐近线的双曲线系方程：
?
y
2
b
2
?
?
(
?
?0)
的渐近线方程为
x< br>2
a
2
?
y
2
b
2
?0
如 果双
x
2
y
2
x
y
曲线的渐近线为
??0
时，它的双曲线方程可设为
2
?
2
?
?
(
?
?0)
.
ab
ab
例如：若双曲线一条渐近线为
y?x
且过
p(3,?)
，求双曲线的方程？
1
x
2
y
2
x
2
2
解：令双曲线的方程为：
?y?
?
(
?
?0)
，代入
(3,?)
得
??1
. 2
82
4
1
1
2
1
2
▲
y< br>4
3
2
1
2
5
3
⑹直线与双曲线的位置关系 ：
F
F
区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；
3
区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；
区 域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；
区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合
计2条；
区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.
小结：过定点作直线与双曲线有且仅有 一个交点，可以作出的直线数目可能有0、
2、3、4条.
（2）若直线与双曲线一支有交点 ，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入
“?”
法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号 .
x
— 35 — 高中数学知识点精析