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教师版整理全面《高中数学知识点归纳总结》 (1)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 05:45
tags:高中数学知识点

高中数学和大学数学难度-高中数学周期函数常用结论


教师版高中数学必修+选修知识点归纳
引言
1.课程内容:
必修课程由5个模块组成:
必修1:集合、函数概念与基本初等函数(指、
选修3—1:数学史选讲。
选修3—2:信息安全与密码。
选修3—3:球面上的几何。
选修3—4:对称与群。
对、幂函数)
必修2:立体几何初步、平面解析几何初步。
必修3:算法初步、统计、概率。
必修4:基本初等函数(三角函数)、平面向量、
三角恒等变换。
必修5:解三角形、数列、不等式。
以上是每一个高中学生所必须学习的。
上述内 容覆盖了高中阶段传统的数学基础
知识和基本技能的主要部分,其中包括集合、
函数、数列、不 等式、解三角形、立体几何初
步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打
好基础的同时,进一 步强调了这些知识的发生、
发展过程和实际应用,而不在技巧与难度上做
过高的要求。
此外,基础内容还增加了向量、算法、概
率、统计等内容。
选修课程有4个系列:
系列1:由2个模块组成。
选修1—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、
导数及其应用。
选修1—2:统计案例、推理与证明、数系的扩
充与复数、框图
系列2:由3个模块组成。
选修2—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、
空间向量与立体几何。
选修2—2:导数及其应用,推理与证明、数系
的扩充与复数
选修2—3:计数原理、随机变量及其分布列,
统计案例。
系列3:由6个专题组成。
选修3—5:欧拉公式与闭曲面分类。
选修3—6:三等分角与数域扩充。
系列4:由10个专题组成。
选修4—1:几何证明选讲。
选修4—2:矩阵与变换。
选修4—3:数列与差分。
选修4—4:坐标系与参数方程。
选修4—5:不等式选讲。
选修4—6:初等数论初步。
选修4—7:优选法与试验设计初步。
选修4—8:统筹法与图论初步。
选修4—9:风险与决策。
选修4—10:开关电路与布尔代数。
2.重难点及考点:
重点:函数,数列,三角函数,平面向量,
圆锥曲线,立体几何,导数
难点:函数、圆锥曲线
高考相关考点:
⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻
辑、充要条件
⑵函数:映射与函数、 函数解析式与定义域、
值域与最值、反函数、三大性质、函
数图象、指数与指数函数、对数与对
数函数、函数的应用
⑶数列:数列的有关概念、等差数列、等比数
列、数列求和、数列的应用
⑷三角函数 :有关概念、同角关系与诱导公式、
和、差、倍、半公式、求值、化
简、证明、三角函数的图象 与性
质、三角函数的应用


⑸平面向量:有关概念与初等运算、坐标运算、集合B的子集。记作
A?B
.
数量积及其应用
⑹不等式:概念与性质 、均值不等式、不等式
的证明、不等式的解法、绝对值不
等式、不等式的应用
⑺直线 和圆的方程:直线的方程、两直线的位
置关系、线性规划、圆、
直线与圆的位置关系
⑻圆锥曲线方程:椭圆、双曲线、抛物线、直
线与圆锥曲线的位置关系、
轨迹问题、圆锥曲线的 应用
⑼直线、平面、简单几何体:空间直线、直线
与平面、平面与平面、棱柱、
棱锥 、球、空间向量
⑽排列、组合和概率:排列、组合应用题、二
项式定理及其应用
⑾概率与统计:概率、分布列、期望、方差、
抽样、正态分布
⑿导数:导数的概念、求导、导数的应用
⒀复数:复数的概念与运算
必修1数学
知识点

第一章:集合与函数概念
§1.1.1、集合
1、 把研究的对象统称为元素,把一些元素组成的总
体叫做集合。集合三要素:确定性、互异 性、无
序性。
2、 只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个
集合相等。
3、 常见集合:正整数集合:
N
*

N
?
,整数 集合:
Z
,有理数集合:
Q
,实数集合:
R
.
4、集合的表示方法:列举法、描述法.
§1.1.2、集合间的基本关系
1、 一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中任
意一个元素都是集合B中的元素,则称集合A是
2、 如果集合
A?B
,但存在元素
x?B
,且
x?A
,< br>则称集合A是集合B的真子集.记作:AB.
3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作:
?
.并规定:
空集合是任何集合的子集.
4、 如果集合A中含有n个元素,则集合A有
2
n
个子
集,
2
n
?1
个真子集.
§1.1.3、集合间的基本运算
1、 一般地,由所有属于集合A或集合B的元素组成
的集合,称为集合A与B的并集.记作:
A?B
.
2、 一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素
组成的集合,称为A与B的 交集.记作:
A?B
.
3、全集、补集?
C
U
A?{x|x?U,且x?U}

§1.2.1、函数的概念
1、 设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对应
关系
f
,使对于集合A中的任意一个数
x
,在集
合B中都有惟一确定 的数
f
?
x
?
和它对应,那么就

f:A?B为集合A到集合B的一个函数,记
作:
y?f
?
x
?
, x?A
.
2、 一个函数的构成要素为:定义域、对应关系、值
域.如果两个函数的 定义域相同,并且对应关系完
全一致,则称这两个函数相等.
§1.2.2、函数的表示法
1、 函数的三种表示方法:解析法、图象法、列表法.
§1.3.1、单调性与最大(小)值
1、注意函数单调性的证明方法:
(1)定 义法:设
x
1
、x
2
?[a,b],x
1
?x2
那么
f(x
1
)?f(x
2
)?0?f(x)在[ a,b]
上是增函数;
f(x
1
)?f(x
2
)?0?f (x)在[a,b]
上是减函数.
步骤:取值—作差—变形—定号—判断
格式:解 :设
x
1
,x
2
?
?
a,b
?

x
1
?x
2
,则:
f
?
x
1?
?f
?
x
2
?
=…
(2)导数法:设函 数
y?f(x)
在某个区间内可导,

f
?
(x)?0,则
f(x)
为增函数;

f
?
(x)?0
,则
f(x)
为减函数.


§1.3.2、奇偶性
1、 一般地,如果对于函数
f
?< br>x
?
的定义域内任意一个
x
,都有
f
?
?x
?
?f
?
x
?
,那么就称函数
f
?
x
?

偶函数.偶函数图象关于
y
轴对称.
2、 一般 地,如果对于函数
f
?
x
?
的定义域内任意一个
x
,都有
f
?
?x
?
??f
?
x
?
,那么就称函数
f
?
x
?

奇函数.奇函数图象关于原点对 称.
知识链接:函数与导数
1、函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数的几何意义: < br>函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数是曲线
y?f( x)

P(x
0
,f(x
0
))
处的切线的斜率< br>f
?
(x
0
)
,相应的切线方
程是
y?y< br>0
?f
?
(x
0
)(x?x
0
)
.
2、几种常见函数的导数

C
'
?0
;②
(x< br>n
)
'
?nx
n?1


(sinx)
'
?cosx
; ④
(cosx)
'
??sinx


(a
x
)
'
?a
x
lna
; ⑥
(e
x
)
'
?e
x


( log
'
a
x)?
1
xlna
;⑧
(lnx)'
?
1
x

3、导数的运算法则
(1)
(u?v)
'
?u
'
?v
'
.
(2)
(uv)
'
?u
'
v?uv
'
.
''
(3)
(
u
)
'
?
uv?uvvv
2
(v?0)
.
4、复合函数求导法则
复合函数
y?f(g(x))
的导数和函数
y?f(u),u?g(x)
的导数间的关系为< br>y
x
?
?y
u
?
?u
x
?


y

x
的导数等于
y

u
的 导数与
u

x
的导数的
乘积.
解题步骤:分层—层层求导—作积还原.
5、函数的极值
(1)极值定义:
极值是在
x
0
附近所有的点,都有
f(x)

f( x
0
)


f(x
0
)
是函数
f (x)
的极大值;
极值是在
x
0
附近所有的点,都有f(x)

f(x
0
)


f(x
0
)
是函数
f(x)
的极小值.
(2)判别方法:
①如果 在
x
0
附近的左侧
f
'
(x)
>0,右侧
f
'
(x)
<0,




性 (1)定义域:R

(2)值域:(0,+∞)
(3)过定点(0,1),即x=0时,y=1
(4)在 R上是增函数 (4)在R上是减函数
(5)
x?0,a
x
?1
; (5)
x?0,0?a
x
?1
;
那么
f(x
0
)
是极大值;
②如果在
x
0
附近的左侧
f
'
(x)
<0,右侧
f
'
(x)
>0,
那么
f(x
0
)
是极小值.
6、求函数的最值
(1)求
y?f(x)

(a,b)
内的极值(极大或者极小值)
(2)将
y?f(x)
的各极值点与
f(a),f(b)
比较,其中
最大的一个为最大值,最小的一个为极小值。
注:极值是在局部对函数值进行比较(局部性质);最值是在整体区间上对函数值进行比较(整体性质)。
第二章:基本初等函数(Ⅰ)
§2.1.1、指数与指数幂的运算
1、 一般地,如果
x
n
?a
,那么
x
叫做
a

n
次方根。
其中
n?1,n?N
?
.
2、 当
n
为奇数时,
n
a
n
?a


n
为偶数时,
n
a
n
?a
.
3、 我们规定:
n

a
m
?
m
a
n

?
a?0,m,n?N
*
,m?1
?

⑵< br>a
?n
?
1
a
n
?
n?0
?

4、 运算性质:

a
r
a
s
? a
r?s
?
a?0,r,s?Q
?


?
a
r
?
s
?a
rs
?
a?0,r,s?Q
?


?
ab
?
r
?a
r
b
r
?
a?0,b?0,r?Q
?
.


§2.1.2、指数函数及其性质
1、记住图象:
y?a
x
?
a?0,a?1
?

2、性质:
y
y=a
x
§2.2.1、对数与对数运算
1、指数与对数互化式:
0a
1
x
a>1
?N?x ?log
a
N

o
x
2、对数恒等式:
a
log
a
N
?N
.
3、基本性质:
log
a< br>1?0

log
a
a?1
.
4、运算性质:当
a?0,a?1,M?0,N?0
时:

log
a
?
MN
?
?log
a
M?log
aN


log
?
M
?
a
?
?
N
?
?
?log
a
M?log
a
N

log
n
a
M?nlog
a
M
. 5、换底公式:
log
b
a
b?
log
c
lo g

c
a
?
a?0,a?1,c?0,c?1,b?0
?
. < br>6、重要公式:
log
a
n
b
m
?
m
n
log
a
b

7、倒数关系:
log
1
a
b?
loga
?
a?0,a?1,b?0,b?1
?
.
b
§2..、对数函数及其性质
1、记住图象:
y?log
ax
?
a?0,a?1
?

2、性质:
y
y=log
a
x

0


o
1

x

a>1

(1)定义域:(0,+∞)

(2)值域:R
(3)过定点(1,0),即x=1时,y=0
(4)在 (0,+∞)上是增函数 (4)在(0,+∞)上是减函数
(5)
x?1,log
a
x?0
; (5)
x?1,log
a
x?0

§、幂函数
1、几种幂函数的图象:
第三章:函数的应用
§3.1.1、方程的根与函数的零点
1、方程
f
?
x
?
?0
有实根
< br>?
函数
y?f
?
x
?
的图象与
x
轴 有交点

?
函数
y?f
?
x
?
有零点.
2、 零点存在性定理:
如果函数
y?f
?
x
?
在区间
?
a,b
?
上的图象是连续不断
的一条曲线,并且有
f
?
a
?
?f
?
b
?
?0
,那么函数
y?f
?
x
?
在区间
?
a,b
?
内有零点 ,即存在
c?
?
a,b
?

使得
f
?c
?
?0
,这个
c
也就是方程
f
?
x
?
?0
的根.
§3.1.2、用二分法求方程的近似解
1、掌握二分法.
§3.2.1、几类不同增长的函数模型
§3.2.2、函数模型的应用举例
1、解决问题的常规方法:先画散点图,再用适当的函
数拟合,最后检验.
必修2数学
知识点
第一章:空间几何体
1、空间几何体的结构

常见的多面体有:棱柱、棱锥、棱台;常见的旋转体有:
圆柱、圆锥、圆台、球。

⑵棱柱:
有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且
每相邻两个四边形的公共边都 互相平行,由这些面所围
成的多面体叫做棱柱。

⑶棱台:
用一个平行于棱锥 底面的平面去截棱锥,底面与
截面之间的部分,这样的多面体叫做棱台。

2、空间几何体的三视图和直观图
把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影,中心投影的投影线交于一点;把在一束平行光线照射下的投影叫
平行投影,平行投影的投影线是平行的。
3、空间几何体的表面积与体积
⑴圆柱侧面积;
S
侧面
?2
?
?r?l

⑵圆锥侧面积:
S
侧面
?
?
?r?l

⑶ 圆台侧面积:
S
侧面
?
?
?r?l?
?
?R?l< br>
⑷体积公式:
V
柱体
?S?h

V
1< br>锥体
?
3
S?h

⑸球的表面积和体积:


4
S

?4
?
R
2
,V

?
?
R
3
.
3
第二章:点、直线、平面之间的位置关系
1、公理1:
如果一条直线上两点在一个平面内,那么这条
直线在此平面内。
⑶两点式:
y?y
1
y
2
?y
1
?
< br>x?x
1
x
2
?x
1
⑷截距式:
xy
??1

ab
2、公理2:
过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
3、公理3:
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它
们有且只有一条过该点的公 共直线。
4、公理4:
平行于同一条直线的两条直线平行.
5、定理:
空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这
两个角相等或互补。
6、线线位置关系:
平行、相交、异面。
7、线面位置关系:
直线在平面内、直线和平面平行、直
线和平面相交。
8、面面位置关系:
平行、相交。
9、线面平行:
⑴判定:
平面 外一条直线与此平面内的一条直线平行,则
该直线与此平面平行(简称线线平行,则线面平行)。

⑵性质:
一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一
平面与此平面的交线与该 直线平行(简称线面平行,则
线线平行)。
10、面面平行:
⑴判定:
一 个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,
则这两个平面平行(简称线面平行,则面面平行)。 ⑵性质:
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么
它们的交线平行(简称面面平行, 则线线平行)。
11、线面垂直:
⑴定义:
如果一条直线垂直于一个平面内的任意 一条直线,
那么就说这条直线和这个平面垂直。

⑵判定:
一条直线与一个平 面内的两条相交直线都垂直,
则该直线与此平面垂直(简称线线垂直,则线面垂直)。
⑶性质:
垂直于同一个平面的两条直线平行。
12、面面垂直:
⑴定义:
两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面
角,就说这两个平面互相垂直。
⑵判 定:
一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个
平面垂直(简称线面垂直,则面面垂直)。
⑶性质:
两个平面互相垂直,则一个平面内垂直于交线的
直线垂直于另一个平面。(简 称面面垂直,则线面垂直)。
第三章:直线与方程
1、倾斜角与斜率:
k?tan
?
?
y
2
?y
1
x?x

21
2、直线方程:
⑴点斜式:
y?y
0
?k
?
x?x
0
?

⑵斜截式:
y?kx?b

⑸一般式:
Ax?By?C?0

3、对于直线:
l
1< br>:y?k
1
x?b
1
,l
2
:y?k
2x?b
2
有:

l
1
l
k
1
?k
2
2
?
?
?
?
b
1
?b< br>;
2

l
1

l
2
相交
?k
1
?k
2


l
1

l< br>2
重合
?
?
?
k
1
?k
2
b

?
1
?b
2

l
1
?l< br>2
?k
1
k
2
??1
.
4、对于直线:
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
? 0,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
有:

l?
?
?
A
1
B
2
?A
2
B
1
1
l
2
?
B
1
C
2
?B

2
C
1

l< br>1

l
2
相交
?A
1
B
2
?A
2
B
1


l
1

l2
重合
?
?
?
A
1
B
2
?A
2
B
1

?
B
1
C
2
?B
2
C
1

l
1
?l
2
?A< br>1
A
2
?B
1
B
2
?0
.
5、两点间距离公式:
6、点到直线距离公式:
7、两平行线间的距离公式: < br>l
1

Ax?By?C
1
?0

l
2

Ax?By?C
2
?0
平行,

d?
C
1
?C
2
A
2
?B
2

第四章:圆与方程
1、圆的方程:
⑴标准方程:
?
x?a
?
2
?
?
y?b
?
2
?r
2

其中圆心为
(a,b)
,半径为
r
.


⑵一般方程:
x?y?Dx?Ey?F?0
.
其中圆心为
(?
22
(图2)
②IF-THEN格式:
(图3)
D
,?
E
半径为
r?)

1< br>D
2
?E
2
?4F
.
222
2、直线与圆的位置关系
直线
Ax?By?C?0
与圆(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
的位置关系有三种 :
d?r?相离???0
;
d?r?相切???0
;
d?r?相交???0
.
弦长公式:
l?2r
2
?d
2

3、两圆位置关系:
d?O
1
O
2

⑴外离:
d?R?r

⑵外切:
d?R?r

⑶相交:
R?r?d?R?r

⑷内切:
d?R?r

⑸内含:
d?R?r
.
3、空间中两点间距离公式:
必修3数学
知识点
第一章:算法
1、算法三种语言:
自然语言、流程图、程序语言;
2、流程图中的图框:
起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等
规范表示方法;
3、算法的三种基本结构:
顺序结构、条件结构、循环结构
?
?
当型循环结构
?
直到型循环结构

⑴顺序结构示意图:

语句n
语句n+1
(图1)
⑵条件结构示意图:
①IF- THEN-ELSE格式:

满足条件?

⑶循环结构示意图:

①当型(WHILE
满足条件?
型)循环结构示意图:




(图4)
语句
②直到型(UNTIL型)循环结构示意图:
循环体


满足条件?
(图5)


4、基本算法语句:

①输入语句的一般格式:
循环体
INPUT“提示内容”;变量
②输出语句的一般格式:PRINT“提示内容”

;表达式
③赋值语句的一般格式:变量=表达式
(“=”有时也用“←”
满足条件?
).

④条件语句的一般格式有两种:


IF—THEN—ELSE语句的一般格式为:


IF 条件 THEN
IF—THEN语句的一般格式为:
语句1
(图2




⑤循环语句的一般格式是两种:
IF
ELSE
条件 THEN

当型循环(WHILE
语句
语句

)语句的一般格式:
2




WHILE
END IF
END IF
条件
(图3)
直到型循环(
循环体
UNTIL

)语句的一般格式:
(图
4)


WEND

DO
⑹算法案例:
(图
①辗转相除法—
循环体
5)
LOOP UNTIL
结果是以相除余数为
条件
0而得到
利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下:
ⅰ):用较大的数m除以较小的数n得到一个商< br>S
0

一个余数
R
0

ⅱ):若
R
0
=0,则n为m,n的最大公约数;若
R
0
≠0,则用除数n除 以余数
R
0
得到一个商
S
1
和一个余

R
1

ⅲ):若
R
1
=0,则
R
1
为m,n的最大公约数;若
R
1

0,则用除数
R
0除以余数
R
1
得到一个商
S
2
和一个余数
R< br>2
;……
依次计算直至
R
n
=0,此时所得到的
R
n?1
即为所求
的最大公约数。
②更相减损术—结果是以减数与差相等而得到
利用更相减损术求最大公约数的步骤如下:
ⅰ):任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数。
若是,用2约简;若不是,执行第二步。
ⅱ):以较大的数减去较小的数,接着把较小的数与
所得的差比较,并以大数减小数。继续这个 操作,直
到所得的数相等为止,则这个数(等数)就是所求的


最大公约数。
③进位制
十进制数化为k进制数—除k取余法
k进制数化为十进制数
第二章:统计
1、抽样方法:
①简单随机抽样(总体个数较少)
②系统抽样(总体个数较多)
③分层抽样(总体中差异明显)
注意:在N个个体的 总体中抽取出n个个体组成样本,
⑴事件:试验的每一种可能的结果,用大写英文字母
表示;
⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特点;
⑶随机事件A的概率:
P(A)?
m
,0?P(A)?1
.
n
2、古典概型:
⑴基本事件:一次试验中可能出现的每一个基本结果;
⑵古典概型的特点:
①所有的基本事件只有有限个;
②每个基本事件都是等可能发生。
每个个体被抽到的机会(概率)均为
n
N

2、总体分布的估计:
⑴一表二图:
①频率分布表——数据详实
②频率分布直方图——分布直观
③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势
注:总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。
⑵茎叶图:
①茎叶图适用于数据较少的情况,从中便于看出数据
的分布,以及中位数、众位数等。
②个位数为叶,十位数为茎,右侧数据按照从小到大
书写,相同的数据重复写。
3、总体特征数的估计:
⑴平均数:
x?
x
1
?x
2
?x
3
???x
n
n

取值为
x< br>1
,x
2
,?,x
n
的频率分别为
p
1,p
2
,?,p
n
,则其
平均数为
x
1
p
1
?x
2
p
2
???x
n
p
n

注意:频率分布表计算平均数要取组中值。
⑵方差与标准差:一组样本数据< br>x
1
,x
2
,?,x
n

n
2方差:
s
2
?
1
n
?
(x
i
?x)

i?1
n
2
标准差:
s?
1
n
?
(x
i
?x)

i?1
注:方差与标准差越小,说明样本数据越稳定。
平均数反映数据总体水平;方差与标准差反映数据的
稳定水平。
⑶线性回归方程
①变量之间的两类关系:函数关系与相关关系;
②制作散点图,判断线性相关关系
③线性回归方程:
y
?
?bx?a
(最小二乘法)
注意:线性回归直线经过定点
(x,y)

第三章:概率
1、随机事件及其概率:
⑶古典概型概率计算公式:一次试验的等可能基本事
件共有 n个,事件A包含了其中的m个基本事件,则
事件A发生的概率
P(A)?
m
n
.
3、几何概型:
⑴几何概型的特点:
①所有的基本事件是无限个;
②每个基本事件都是等可能发生。
⑵几何概型概率计算公式:
P(A)?
d的测度
D的测度

其中测度根据题目确定,一般为线段、角度、面积、
体积等。
4、互斥事件:
⑴不可能同时发生的两个事件称为互斥事件;
⑵如果事件
A
1
,A
2
,?,A
n
任意两个都是互斥事件,则称
事件
A
1
,A
2
,?,A
n
彼此互斥。
⑶如果事件A,B互斥,那么事件A+B发生的概率,
等于事件A,B发生的概率的和,
即:
P(A?B)?P(A)?P(B)

⑷如果事件
A
1
,A
2
,?,A
n
彼此互斥,则有:
⑸对立事件:两个互斥事件中必有一个要发生,则称
这两个事件为对立事件。
①事件
A
的对立事件记作
A

②对立事件一定是互斥事件,互斥事件未必是对立事
件。
必修4数学
知识点

第一章:三角函数
§1.1.1、任意角
1、 正角、负角、零角、象限角的概念.
2、 与角
?
终边相同的角的集合:

?
??
?
?
?2k
?
,k?Z
?
.
§1.1.2、弧度制
1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度


的角.
2、
?
?
l
r
.
3、弧长公式:
l?
n?
R
180
?
?
R
.
4、扇形面积公式:< br>S?
n
?
R
2
360
?
1
2
lR
.
§1.2.1、任意角的三角函数
1、 设
?
是一个任 意角,它的终边与单位圆交于点
P
?
x,y
?
,那么:
si n
?
?y,cos
?
?x,tan
?
?
y
x

2、 设点
A
?
x,y
?
为角
?终边上任意一点,那么:(设
r?x
2
?y
2


sin
?
?
yxy
x
r

cos
?
?
r

tan
?
?
x

cot
?
?
y

3、
sin
?

c os
?

tan
?
在四个象限的符号和三角
函数线的画法.
y
正弦线:MP;
P
T
余弦线:OM;
正切线:AT
O
M
A
x
5、 特殊角0°,30°,45°,
60°,
90°,180°,270等的三角函数值.

0





§1.2.2、同角三角函数的基本关系式
1、 平方关系 :
sin
2
?
?cos
2
?
?1
.
§1.4.3、正切函数的图象与性质
1、记住正切函数的图象:
2、 商数关系:
tan
?
?
sin
?
cos
?
.
3、 倒数关系:
tan
?
cot
?
?1

§、三角函数的诱导公式
(概括为
“奇变偶不变,符号看象限”
k?Z

1、 诱导公式一:
sin
?
?
?2k
?
?
?sin< br>?
,
cos
?
?
?2k
?
?
?co s
?
,
(其中:
k?Z

tan
?
?< br>?2k
?
?
?tan
?
.
2、 诱导公式二:
3、诱导公式三:
4、诱导公式四:
5、诱导公式五:
6、诱导公式六:
§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质
1、记住正弦、余弦函数图象:
2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质:
y=sinx
y

-5
?
7
?
2
-
?
2
1
3
?
22
-4
?
-7
义 域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、
?
-3
?
-2
?
-3
?
-
?
o
?
?
2
?
5?3
?
4
?
x
2
2
-1
2
2
奇偶性、单调性、周期性.
3、会用五点法作图.
y?sinx

x?[0,2
?
]
上的五个关键点为: < br>(0,0)(,
?
2
,1)(,
?
,0)(,
3?
2
,-1)(,2
?
,0).
y
y=tanx
-
3
?
?
2
-
?
-
?
2
o
?
3
?
x
2
2


2、 记住余切函数的图象:
3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质:定义域、值域、对称中心、奇偶性、 单调性、周期性.
周期函数定义:对于函数
f
?
x
?
,如 果存在一个非零常数T,使得当
x
取定义域内的每一个值时,都有
f
?
x?T
?
?f
?
x
?
,那么函数
f
?< br>x
?
就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.
图表归纳:正弦、余弦 、正切函数的图像及其性质

图象





[-1,1]



[2k
?
?
?< br>,2k
?
?
?
]
上单调递增
单调性
22



[-1,1]


偶 奇

(k
?
?
?
,k
?
?
?< br>)
上单调递增
22
定义域
值域
最值
奇偶性
周期性



[2k
?
?
?
,2k
?
]
上单调递增

[2k
?
?
?
,2k
?
?
3
?
]
上单调递减

[2k
?
,2k
?
?
?
]
上单调递减
22
对称性
对称轴方程:
x?k
?
?
对称中心< br>(k
?
,0)

?
2

对称轴方程:
x?k
?

对称中心
(k
?
?
无对称轴
对称中心
(
?
2
,0)

k
?
2
,0)

§、函数
y?Asin
?
?
x?
?
?
的图象
1、对于函数:
横坐标变为原来的
|
平移
|B|
个单位

(上加下减)
1
?
|

y?Asin
?
?
x?
?
?
?B
?
A?0,
?
?0?
有:振幅A,周

T?
y?Asin
?
?
x ?
?
?
?B

2
?
?
,初相
?< br>,相位
?
x?
?
,频率
f?
1
T
?
?
2
?
.
② 先伸缩后平移:
2、能够讲出函数
y?sinx
的图象与
y?sinx

横坐标不变
y?Asinx

纵坐标变为原来的A倍
y ?Asin
?
?
x?
?
?
?B
的图象之间的平移伸 缩变
换关系.
① 先平移后伸缩:

纵坐标不变 横坐标变为原来的
|
平移
?
?
y?Asin
?
x

1
y?sinx

平移
|
?
|
个单位

y?sin
?
x?
?
?

y?Asin
?
x?
?
?

y?Asin
?
?
x?
?
?

?
|

(左加右减)
个单位

y?Asin
?
?
x?
?
?


横坐标不变

纵坐标变为原来的A倍
(左加右减)
平移
|B|
个单位

(上加下减)
y?Asin
?
?
x?
?
?
?B


纵坐标不变
3、三角函数的周期,对称轴和对称中心


函数
y?sin(
?
x?
?
)
,x∈R及函 数
y?cos(
?
x?
?
)

2
x∈R( A,
?
,
?
为常数,且A≠0)的周期
T?
2
?< br>|
?
|
;函

y?tan(
?
x?
?
)

x?k
?
?
?
2
,k?Z
(A,ω,
?

常数,且A≠0)的周期
T?
?
|
?
|
.
对于
y?Asin(
?
x?
?
)

y?Acos(
?
x?
?
)

说,对称 中心与零点相联系,对称轴与最值点联系.
求函数
y?Asin(
?
x?< br>?
)
图像的对称轴与对称中心,
只需令
?
x?
??k
?
?
?
2
(k?Z)

?
x?< br>?
?k
?
(k?Z)

解出
x
即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.
4、由图像确定三角函数的解析式
利用图像特征:
A?
y
max< br>?y
min
2

B?
y
max
?y
min
2
.
?
要根据周期来求,
?
要用图像的关键点来求.
§、三角函数模型的简单应用
1、 要求熟悉课本例题.
第三章、三角恒等变换
§3.1.1、两角差的余弦公式
记住15°的三角函数值:


§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1、
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos< br>?
sin
?

2、
sin
?
?
?< br>?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

3、
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

4、
cos
?
?
?
?
?
? cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

5、
tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?
1?tan
?
tan
?
.
6、
tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?
1?tan
?
tan
?
.
§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式
1、
sin2
?
?2sin
?
cos
?

变形:
sin
?
cos
?
?
1
2
sin2
?
.
2、
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?

?1?2sin
2
?
.
变形如下:
升幂公式:< br>?
?
?
1?cos2
?
?2cos
?
?
?
1?cos2
?
?2sin
2
?
?
cos
2
?
?
1
(1?cos2
?
降幂公式:< br>?
?
2
)

?
2
?
sin
?
?
1
2
(1?cos2
?
)
3、
tan 2
?
?
2tan
?
.
1?tan
2
?< br>4、
tan
?
?
sin2
?
1?cos2
?
1?cos2
?
?
sin2
?

§、简单的三角恒等变换
1、 注意正切化弦、平方降次.
2、辅助角公式 (其中辅助角
?
所在象限由点
(a,b)
的象限决
定,
tan
?
?
b
a
).
第二章:平面向量
§2.1.1、向量的物理背景与概念
1、 了解四种常见向量:力、位移、速度、加速度.
2、 既有大小又有方向的量叫做向量.
§2.1.2、向量的几何表示
1、 带有方向的线段叫做有向线段,有向线段包含三
个要素:起点、方向、长度.
2、 向量AB
的大小,也就是向量
AB
的长度(或称
模),记作
u
AB
uur
;长度为零的向量叫做零向量;长
度等于1个单位的向量叫做单位向量.
3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(或共
线向量).规定:零向量与任意向量平行.
§2.1.3、相等向量与共线向量
1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
§2.2.1、向量加法运算及其几何意义
1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.
2、
a?b

a?b
.


§2.2.2、向量减法运算及其几何意义
1、 与
a
长度相等方向相反的向量叫做
a
的相反向量.
1、设
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x2
,y
2
?
,C
?
x
3
,y
3
?
,则
2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.
§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义
1、 规定:实数
?
与向量a
的积是一个向量,这种运
算叫做向量的数乘.记作:
?
a
,它 的长度和方向
规定如下:

?
a?
?
a
,
⑵当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向 相同;当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相反.
2、 平面向量共线定理:向量
a
?
a?0
?

b
共线,当
且仅当有唯一一个实数
?
,使
b?
?
a
.
§2.3.1、平面向量基本定理
1、 平面向量基本定理:如果
e
1,e
2
是同一平面内的两
个不共线向量,那么对于这一平面内任一向量
a

有且只有一对实数
?
1
,
?
2
,使a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2< br>.
§2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示
1、
a?xi?yj?
?
x,y
?
.
§2.3.3、平面向量的坐标运算
1、 设
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2< br>?
,则:

a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?


a?b ?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2< br>?


?
a?
?
?
x
1
,
?
y
1
?


ab?x
1
y
2
?x
2
y
1
.
2、 设
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
,则:

AB?
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?
.
§2.3.4、平面向量共线的坐标表示
⑴线段AB中点坐标为
?
x
1
?x
2
,
y
1
?y
2
22
?

⑵△ABC的重心坐标为
?
x
1
?x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3
3
,
3
?
.
§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义
1、
a?b?abcos
?
.
2、
a

b
方向上的投影为:
acos
?
.
3、
a
2
?a
2
.
4、
a?a
2
.
5、
a?b?a?b?0
.
§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1、 设
a?
?x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
,则:

a?b?x
1
x
2< br>?y
1
y
2


a?x
2
1
?y
2
1

r
a?
r
b?
r
a?
r
b?0?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0


r
a
r
b?
r
a?
?
r
b?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0

2、 设
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?x
2
,y
2
?
,则:
AB?
?
x< br>2
?x
1
?
2
?
?
y
2
? y
1
?
2
.
3、 两向量的夹角公式
4、点的平移公式
平移前的点为
P(x,y)
(原坐标),平移后的对应点

P
?
(x
?
,y
?
)
(新坐标),平移向量为
u
PP
uur
?
?(h,k)


?
?
x
?
?x?h
?
y
?
?y?k.

函数
y?f(x)
的图像按向量
r
a?(h,k)
平 移后的
图像的解析式为
y?k?f(x?h).

§2.5.1、平面几何中的向量方法
§2.5.2、向量在物理中的应用举例
知识链接:空间向量


空间向量的许多知识可由平面向量的知识 类比而得.
rr
rr
下面对空间向量在立体几何中证明,求值的应用进行
总结 归纳.
1、
直线的方向向量和平面的法向量

⑴.直线的方向向量:
若A、B是直线
l
上的任意两点,则
u
AB
uur为直线
l

一个方向向量;与
u
AB
uur
平 行的任意非零向量也是直线
l
的方向向量.
⑵.平面的法向量:
若向 量
r
n
所在直线垂直于平面
?
,则称这个向量
垂直于平面< br>?
,记作
r
n?
?
,如果
r
n?
?
,那么向量
r
n
叫做平面
?
的法向量.
⑶.平面的法向量的求法(待定系数法):
①建立适当的坐标系.
②设平面
?
的法向量为
r
n?(x,y,z)

③求出平面内两个不共线向量的坐标
r
a?(a
ur
1
,a
2
,a
3
),b?(b
1
,b
2
,b
3< br>)

④根据法向量定义建立方程组
?
?
r
?
n?
r
a?0
?
r
n?b
r
?0
.
?
⑤解方程组,取其中一组解,即得平面
?
的法向量.
(如图)
2、 用向量方法判定空间中的平行关系
⑴线线平行
设直线
l
rr
1
,l
2
的方向向量分别是
a、b
,则要证明
l
1

l
r
a

r
b
,即r
a?kb
r
2
,只需证明
(k?R)
.
即:两直线平行或重合两直线的方向向量共线。
⑵线面平行
①(法一)设直线
l< br>的方向向量是
r
a
,平面
?
的法向
量是
u< br>r
,则要证明
l

?
,只需证明
r
a?u< br>r
,即
r
a?u
r
?0
.
即:直线与平面平行直线的方向向量与该平面
的法向量垂直且直线在平面外
②(法二 )要证明一条直线和一个平面平行,也可
以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线
向 量即可.
⑶面面平行
若平面
?
的法向量为
u
r
,平面
?
的法向量为
r
v
,要

?
?
,只需证
u

v
,即证
u?
?
v< br>.
即:两平面平行或重合两平面的法向量共线。
3、用向量方法判定空间的垂直关系
⑴线线垂直
设直线
l
rr
1
,l
2
的方 向向量分别是
a、b
,则要证明
l
r
a?
r
b,即
r
a?
r
1
?l
2
,只需证明
b ?0
.
即:两直线垂直两直线的方向向量垂直。
⑵线面垂直
①(法一) 设直线
l
的方向向量是
r
a
,平面
?
的法向
量是
u
r
,则要证明
l?
?
,只需证明
r
a

u
r
,即
r
a?
?
u
r< br>.
②(法二)设直线
l
的方向向量是
r
a
,平面< br>?
内的两
rur
个相交向量分别为
u
m
r

uu
n
r
,若
?
?
?
a
?
r
?m
r
?0
,则l?
?
.

?
a?n?0
即:直线与平面垂直直线的方向向量与平面的
法向量共线直线的方向向量与平面内 两条不共线
直线的方向向量都垂直。
⑶面面垂直
若平面
?
的 法向量为
u
r
,平面
?
的法向量为
r
v
, 要

?
?
?
,只需证
u
r
?
r< br>v
,即证
u
r
?
r
v?0
.
即:两平面垂直两平面的法向量垂直。
4、利用向量求空间角
⑴求异面直线所成的角 已知
a,b
为两异面直线,A,C与B,D分别是
a,b
上的任意两点,
a,b
所成的角为
?

uuuruuu

c os
?
?
AC
u
AC
uur
?BD
ru
BD
uur
.

⑵求直线和平面所成的角
①定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成
的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角
② 求法:设直线
l
的方向向量为
r
a
,平面
?
的法向 量

u
r
,直线与平面所成的角为
?

r
a

u
r
的夹角为
?


?

?
的余角或
?
的补角
的余角.即有:


⑶求二面角
①定义:平面内的一条直线 把平面分为两个部分,
其中的每一部分叫做半平面;从一条直线出发的两个
半平面所组成的图形 叫做二面角,这条直线叫做二面
角的棱,每个半平面叫做二面角的面
二面角的平面角是指在二 面角
?
?l?
?
的棱上
任取一点O,分别在两个半平面内作射线AO?l,BO?l
,则
?AOB
为二面角
?
?l?
?
的平
面角.
如图:
A
②求法:设二面角
?
B
?l?
?
l
的两个半平面的法向量
分别为
u
m< br>r

r
O
O
B
n
,再设
u< br>m
r

r
n
的夹角
A

?
,二面角
?
?l?
?
的平面角为
?
,则二面角
?

u
m
r

r
n
的夹角
?
或其补角
?
?
?
.

根据具体图形确定
?
是锐角或是钝角:
u
◆如果
?
是锐角,则
cos
?
?cos
?
?
m
r
u
?
r
n
m
rr
n

urr

?
?arccos
m
u
m
r
?n
r
n

ur
◆ 如果
?
是钝角,则
cos
???cos
?
??
m
u
?
r
n
mrr
n

?
u
?

?< br>?arccos
?
m
r
?
r
n
?
?
u
?
?
m
rr
n
?
.
?
5、利用法向量求空间距离
⑴点Q到直线
l
距离
若Q为直线
l
外的一点,
P
r
方向向量,
b
r=
uuu
PQ
r
在直线
l
上,
a
为直 线
l

,则点Q到直线
l
距离为 < br>h?
1
|a
r
|
(|a
r
||b
r
|)
2
?(a
r
?b
r
)
2

⑵点A到平面
?
的距离
若点P为平面
?
外一点,点M为平面
?
内任一点,
平面< br>?
的法向量为
r
n
,则P到平面
?
的距离就等于u
MP
uur
在法向量
r
n
方向上的投影的绝对值.

d?
u
MP
uur
cos
r
n
u
,
u
MP
uur

⑶直线
a
与平面
?
之间的距离
当一条直线和一个平面 平行时,直线上的各点到平
面的距离相等。由此可知,直线到平面的距离可转化
为求直线上任一 点到平面的距离,
ruuur
即转化为点面距离。

d?
n?MP
r
n
.

⑷两平行平面
?
,
?
之间的距离
利用两平行平面间的 距离处处相等,可将两平行平
面间的距离转化为求点面距离。
ruuur


d?
n?MP
r
n
.

⑸异面直线间的距离
设向量
r
n
与两异面直线
a,b
都垂直,
M?a,P?b,
则两异面直线
a,b
间的距离
d
就是
u
MP
uur
在向量
r
n
方向
上投影的绝对值。
r

uuur

d?
n?MP
r
n
.

6、三垂线定理及其逆定理
⑴三垂线定理:在平面内的一条直线,如果它和这个
平面 的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂

推理模式:
P
PO??
,O?
?
?
PAI
?
?A
?
??a?PA
O
a?
?
,a?OA
?
?
A
?
a

概括为:垂直于射影就垂直于斜线.
⑵三垂线定理的逆定理:在平 面内的一条直线,如果
和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的
射影垂直
PO?
?
,O?
?
?
推理模式:
PAI
?
?A
?
?
?a?AO

a?
?
,a?AP
?
?
概括为:垂直于斜线就垂直于射影.
7、三余弦定理


设AC是平面
?
内的任一条直线,AD是< br>?
的一条
斜线AB在
?
内的射影,且BD⊥AD,垂足为D.设AB与
?
(AD)所成的角为
?
1
, AD与AC所成的角为
?
2
, AB
与AC所成的角为
?
. 则
cos
?
?cos
?
1
cos
?
2.
8、 面
B
积射影
定理

知平
一个A
?
?

?

?
1
2
D多边形
的面
?
C
积为
S
?
S

?
,它在平面
?
内的射影图形的面积为
S
?
?
S

?

平面
?
与平面
?
所成的二面角的大 小为锐二面角
?


9、一个结论
长度为
l
的线段在三条两两互相垂直的直线上的射
影长分别为
l
1
、l
2、l
3
,夹角分别为
?
1

?
2
、< br>?
3
,则有
l
2
?l
2
1
?l
2
2
?l
2
3
?cos
2
?
1
?cos
2
?
2
?cos
2
?
3
?1

?sin
2
?
2
1
?si n
?
2
?sin
2
?
3
?2
.
(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例).
必修5数学
知识点
第一章:解三角形
1、正弦定理:
a
sinA
?
bsinB
?
c
sinC
?2R
.
(其中
R

?ABC
外接圆的半径)
用途:⑴已知三角形两角和任一边,求其它元素;
⑵已知三角形两边和其中一边的对角,求其它
元素。
2、余弦定理:
用途:⑴已知三角形两边及其夹角,求其它元素;
⑵已知三角形三边,求其它元素。
做题中两个定理经常结合使用
.
3、三角形面积公式:
4、三角形内角和定理:
在△ABC中,有
A?B?C?
?
? C?
?
?(A?B)

?
C
2
?
?
2
?
A?B
2
?2C?2
?
?2(A?B)
.
5、一个常用结论:

?ABC
中,
a?b?sinA?sinB?A?B;


sin2A?sin2B,则A?B或A?B?
?
2
.
特别注意,
在三角函数中,
sinA?sinB?A?B
不成立。
第二章:数列
1、数列中
a
n

S
n
之间的关系:
a
?
S
1
,(n?1)
n
?
?
,(n?2) .
注意通项能否合并。
?
S
n
?S
n?1
2、等差数列:
⑴定义:如果 一个数列从第2项起,每一项与它的前
一项的差等于同一个常数,即
a
n
-< br>a
n?1
=d ,(n≥
2,n∈N
?
),
那么这个数列就叫做等差数列。
⑵等差中项:若三数
a、A、b
成等差数列
?A?
a?b
2

⑶通项公式:
a
n
?a
1
?(n?1)d?a
m
?(n?m)d


a
n
?pn?q(p、q是常数).

⑷前
n
项和公式:
⑸常用性质:
①若
m?n?p?q? ?
?
m,n,p,q?N
?
?
,则
a
m
? a
n
?a
p
?a
q

②下标为等差数列的项?
a
k
,a
k?m
,a
k?2m
,?
?
,仍组成
等差数列;
③数列
?
?
a
n
?b
?

?
,b
为常数)仍为等差数列;
④若
{ a
n
}

{b
n
}
是等差数列,则
{ka
n
}

{ka
n
?pb
n
}
(< br>k

p
是非零常数)、
{a
*
p?nq
}( p,q?N)
、,…也成等
差数列。
⑤单调性:
?
a
n
?
的公差为
d
,则:
ⅰ)
d?0?
?
a
n
?
为递增数列;
ⅱ)
d?0?
?
a
n
?
为递减数列;
ⅲ)
d?0?
?
a
n
?
为常数列;
⑥数 列{
a
n
}为等差数列
?a
n
?pn?q
(p,q 是常数)
⑦若等差数列
?
a
n
?
的前
n
项 和
S
n
,则
S
k

S
2k
?S< br>k

S
3k
?S
2k
… 是等差数列。
3、等比数列
⑴定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前
一项的比等于同一 个常数,那么这个数列就叫做等
比数列。
⑵等比中项:若三数
a、G、b
成 等比数列
?G
2
?ab,



ab
同号)。反之不一定成立。
⑶通项公式:
a a
n?1
q
n?m
n
?
1
q?a
m

n
⑷前
n
项和公式:
S
a
1
?
1?q
?
a
1
?a
n
q
n
?
1 ?q
?
1?q

⑸常用性质
①若
m?n?p?q???
m,n,p,q?N
?
?
,则
a
m
?an
?a
p
?a
q


a
k
k
,a
k?m
,a
k?2m
,?
为等比数列,公比为
q
(下标成
等差数列,则对应的项成等比数列)
③数列
?
?a
n
?

?
为不等于零的常数)仍是公比为
q

等比数列;正项等比数列
?
a
n
?
;则
?
lga
n
?
是公差为
lgq
的等差数列;
④若
?
a
n
?
是等比数列,则
?
ca
n
?
?
a
2
n
?


?
?
1
?
?
a
?


n
?
?
a
r
2
1
n
?
(r?Z)< br>是等比数列,公比依次是
q,q,
q
,q
r
.

⑤单调性:
a
1
?0,q?1或a
1
?0,0?q?1< br>?
?
a
n
?
为递增数列;
a
1
?0 ,0?q?1或a
1
?0,q?1?
?
a
n
?
为递 减数列;
q?1?
?
a
n
?
为常数列;
q?0?
?
a
n
?
为摆动数列;
⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。
⑦若等比数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
,则
S
k< br>、
S
2k
?S
k

S
3k
?S2k
… 是等比数列.
4、非等差、等比数列通项公式的求法
类型Ⅰ 观察法:已知数列前若干项,求该数列
的通项时,一般对所给的项观察分析,寻找规律,从
而根 据规律写出此数列的一个通项。
类型Ⅱ 公式法:若已知数列的前
n
项和
S
n

a
n
的关系,求数列
?
a
n
?
的通项
a
n
可用公式
a?
S
1
,(n?1)
n
?
?
?
S构造两式作差求解。
n
?S
n?1
,(n?2)
用此公式时要 注意结论有两种可能,一种是“一
分为二”,即分段式;另一种是“合二为一”,即
a
1

a
n
合为一个表达,(要先分
n?1

n?2
两种情况分别进
行运算,然后验证能否统一)。
类型Ⅲ 累加法:
形 如
a
n?1
?a
n
?f(n)
型的递推数列(其中
f(n)
是关
?
?
a
n
?a
n?1
?f( n?1)

n
的函数)可
构造:
?
?
a
n?1
?a
n?2
?f(n?2)

?
...
?
?
a
2
?a
1
?f( 1)
将上述
n?1
个式子两边分别相加,可得:
a
n
?f( n?1)?f(n?2)?...f(2)?f(1)?a
1
,(n?2)

①若
f(n)
是关于
n
的一次函数,累加后可转化为等差
数列求和;
② 若
f(n)
是关于
n
的指数函数,累加后可转化为等
比数列求和;
③若
f(n)
是关于
n
的二次函数,累加后可分组求和;
④若
f(n)
是关于
n
的分式函数,累加后可裂项求和.
类型Ⅳ 累乘法:
形如
a
n?1
?a
n
?f (n)
?
?
a
n?1
?
a
?f(n)
?< br>?
型的递推数列(其
n
?
?
?
a
n
a
?f(n?1)
?
n?1
?a
n?1

f(n)
是关于
n
的函数)
可构造:
?
?
a
?f( n?2)
?
n?2

?
...
?
?
a2
?
a
?f(1)
1
将上述
n?1
个式子两边 分别相乘,可得:
a
n
?f(n?1)?f(n?2)?...?f(2)f(1)a
1
,(n?2)

有时若不能直接用,可变形成这种形式,然后用这
种方法求解。
类型Ⅴ 构造数列法:
㈠形如
a
n?1
?pa
n
?q
(其 中
p,q
均为常数且
p?0

型的递推式:
(1)若
p?1
时,数列{
a
n
}为等差数列;


(2)若
q?0
时,数列{
a
n
}为等比数列;
(3)若
p?1

q?0
时,数列{< br>a
n
}为线性递推数列,
a
n?1
?pa
n
?f(n)

a
n
?pa
n?1
?f(n?1)
两 式相减
得:
a
n?1
?a
n
?p(a
n
? a
n?1
)?d
,令
b
n
?a
n?1
?a
n
得:
其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有
如下两种:

法一:

a
n?1
?
?
?p(a< br>n
?
?
)
,展开移项整理得
a
n?1
?pa
n
?(p?1)
?
,与题设
a
n?1
?pa
n
?q
比较系
数(待定系数法)得
?
?
q
p?1
,(p?0)?a
qq
n?1
?
p?1
?p(a
n
?
p?1
)
?a
q
p?1
?p(a
q?
q
?
n
?
n?1
?
p?1
)
,即
?
?
a
n
?
p?1
?
构成
?

a
q
1
?
p?1
为首项,以
p
为公比的等比数列.再利用
等比数列的通项公式求出
?
?
a
n?
q
?
?
p?1
?
的通项整理可
?

a
n
.

法二:

a
n?1
?p a
n
?q

a
n
?pa
n?1
?q(n? 2)
两式
相减并整理得
a
n?1
?a
n
a
?p,

?
a
n?1
?a
n
?
构成以n
?a
n?1
a
2
?a
1
为首项,以
p
为公比的等比数列.求出
?
a
n?1
?a
n
?< br>的通项再转化为类型Ⅲ(累加法)便可求

a
n
.

㈡形如
a
n?1
?pa
n
?f(n)
(p?1)
型 的递推式:
⑴当
f(n)
为一次函数类型(即等差数列)时:
法一:
a
n
?An?B?p
?
a
n?1
?A(n? 1)?B
?

通过待定系数法确定
A、B
的值,转化成以
a
1
?A?B
为首项,以
p
为公比的等比数列
?
a< br>n
?An?B
?
,再利
用等比数列的通项公式求出
?
a
n
?An?B
?
的通项整
理可得
a
n
.

法二:

f(n)
的公差为
d
时,由递推式得:
b
n
?pb
n?1
?d
转化为类型Ⅴ㈠求出
b< br>n
,再用类型Ⅲ
(累加法)便可求出
a
n
.

⑵当
f(n)
为指数函数类型(即等比数列)时:
法一:

a
n
?
?
f(n)?p
?
a
n?1
?< br>?
f(n?1)
?
,通过
待定系数法确定
?
的值,转 化成以
a
1
?
?
f(1)
为首项,

p< br>为公比的等比数列
?
a
n
?
?
f(n)
?< br>,再利用等比数
列的通项公式求出
?
a
n
?
?
f(n)
?
的通项整理可得
a
n
.

法二:
f(n)
的公比为
q
时,由递推式得:
a
n?1?pa
n
?f(n)
——①,
a
n
?pa
n? 1
?f(n?1)
,两
边同时乘以
q

a
n
q?pqa
n?1
?qf(n?1)
——②,由
①②两式相减得
a
n?1
?a
n
q?p(a
n
?qa
n?1
)
,即
a
n?1
?qa
n
a
?p
,在转化 为类型Ⅴ㈠便可求出
a
n
.

n
?qa
n?1法三:
递推公式为
a
n?1
?pa
n
?q
n< br>(其中p,q均
为常数)或
a
n
n?1
?pa
n?rq
(其中p,q, r均为常数)
时,要先在原递推公式两边同时除以
q< br>n?1
,得:
a
n?1
q
n?1
?
p
q
?
a
n
q
n
?
1
q
,引入辅 助数列
?
b
n
?
(其中
b
n
n
?
a
q
n
),得:
b
n?1
?
p
q
b
n
?
1
q
再应用类型Ⅴ㈠的方
法解决。
⑶当
f(n)
为任意数列时,可用通法:

a
n? 1
?pa
n
?f(n)
两边同时除以
p
n?1
可得 到


a
n?1
a
n
f(n)
a
nf(n)
???bb?b?
,令,则,
nn?1n
n?1nn?1nn? 1
ppppp
n
在转化为类型Ⅲ(累加法),求出
b
n
之后 得
a
n
?pb
n
.
5、非等差、等比数列前
n
项和公式的求法
⑴错位相减法
①若数 列
?
a
n
?
为等差数列,数列
?
b
n?
为等比数列,
类型Ⅵ 对数变换法:
形如
a
q
n?1
?pa(p?0,a
n
?0)
型的递推式:
在原递推式a?pa
q
n?1
两边取对数得
lga
n?1
?qlg a
n
?lgp
,令
b
n
?lga
n
得:< br>b
n?1
?qb
n
?lgp
,化归为
a
n? 1
?pa
n
?q
型,求出
b
n
之后得
a< br>b
n
?10
n
.
(注意:底数不一定要取10,可根据
题意选择)。
类型Ⅶ 倒数变换法:
形如
a
n?1
?a< br>n
?pa
n?1
a
n

p
为常数且
p?0
)的递推
式:两边同除于
a
1
n?1
a
n< br>,转化为
a
?
1
?p
形式,
n
a
n ?1
化归为
a
n?1
?pa
n
?q
型求出
1
的表达式,再求
a
a
n

n
还有形如
a
ma
n
n?1
?
pa
的递推式,也可采用取倒数方
n
?q
法转化成
1
a
?
m1
?
m
形式,化归为
a
n?1
?pa
n
?q
n?1
qa
n
p
型求出
1
的表达式,再求
a
a
n.
n
类型Ⅷ 形如
a
n?2
?pa
n?1
?qa
n
型的递推式:
用待定系数法,化为特殊数列
{a
n
?a
n?1
}
的形式
求解。方法为:设
a
n?2
?ka
n?1
?h(a< br>n?1
?ka
n
)
,比较
系数得
h?k?p,?hk ?q
,可解得
h、k
,于是
{a
n?1
?ka
n< br>}
是公比为
h
的等比数列,这样就化归为
a
n?1
? pa
n
?q
型。
总之,求数列通项公式可根据数列特点采用以上
不 同方法求解,对不能转化为以上方法求解的数列,
可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式
a
n
.

则数列
?
a
n
?b
n< br>?
的求和就要采用此法.
②将数列
?
a
n
?bn
?
的每一项分别乘以
?
b
n
?
的公比,然后在错位相减,进而可得到数列
?
a
n
?b
n
?的前
n

和.
此法是在推导等比数列的前
n
项和公式时所用的方

.
⑵裂项相消法
一般地,当数列的通项
a
c
n
?
(an?b
1
)(an?b
2
)
(a,b
1
,b
2
,c为常数)
时,往往可将
a
n
变成两项的差,
采用裂项相消法求 和.
可用待定系数法进行裂项:

a
?
n
?
a n?b
?
?
1
an?b
,通分整理后与原式相
2
比 较,根据对应项系数相等得
?
?
c
b?b
,从而可得
21
常见的拆项公式有:

1
n(n?1)
?
1
n
?
1
n?1



1111
( 2n?1)(2n?1)
?
2
(
2n?1
?
2n?1
);


1
a?b
?
1
a?b
(a?b);
< br>④
C
m?1m
n
?CC
m
n?1
?
n
;


n?n!?(n?1)!?n!.

⑶分组法求和
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,
若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等 比或常
见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.一般分两
步:①找通向项公式②由通项公式 确定如何分组.
⑷倒序相加法


如果一个数列
?
a
n
?
,与首末两项等距的两项之和等于
首末两项之和,则可用把正着写与倒着写的两个 和式
相加,就得到了一个常数列的和,这种求和方法称为
倒序相加法。特征:
a
1
?a
n
?a
2
?a
n?1
?...

⑸记住常见数列的前
n
项和:

1?2?3?...?n?
n(n?1)
2
;


1?3?5?...?(2n?1)?n
2
;


1
2
?2
2
?3
2
?...?n
2
?< br>1
6
n(n?1)(2n?1).

第三章:不等式
§、不等关系与不等式
1、不等式的基本性质
①(对称性)
a?b?b?a

②(传递性)
a?b,b?c?a?c

③(可加性)
a?b?a?c?b?c

(同向可加性)
a
?
b
,
c
?
d
?
a
?
c
?
b
?
d

(异向可减性)
a
?
b
,
c
?
d
?
a
?
c
?
b
?
d

④(可积性)
a
?
b
,
c
?0?
ac
?
bc


(同向正数可乘性)
a?b?0,c?d?0?ac?bd

(异向正数可除性)
a?b?0,0?c?d?
a
?
b
< br>cd
⑥(平方法则)
a?b?0?a
n
?b
n
(n? N,且n?1)

⑦(开方法则)
a?b?0?
n
a?
n< br>b(n?N,且n?1)


(倒数法则)
a?b?0?
1< br>a
?
1
b
;a?b?0?
11
a
?
b

2、几个重要不等式

a
2
?b
2
?2ab
?
a,b?R
?
,(当且仅当
a?b
时取
?
号). 变形公式:
ab?
a
2
?b
2
2
.

②(基本不等式)
a?b
?ab

?
a,b?R
?
2
?
,(当
且仅当
a?b
时取到等号).
?
a
2
变形公式:
a?b?2ab

ab ?
?
?b
?
?
2
?
?
.

用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最
大),要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.
③(三个正数的算术—几何平均不等式)
a?b?c
?
3
abc(a、b、c?R
?
3
)
(当且仅当
a?b?c
时取到 等号).

a
2
?b
2
?c
2
?ab? bc?ca
?
a,b?R
?

(当且仅当
a?b?c
时取到等号).

a
3
? b
3
?c
3
?3abc(a?0,b?0,c?0)

(当且仅当
a?b?c
时取到等号).

若ab?0,则
b
a
?
a
b
?2
(当仅当a=b时取等号)
若a b?0,则
b
a
?
a
b
??2
(当仅当a=b时取 等号)

bb?m
a
?
a?m
?1?
a?nb?n
?
a
b

其中
(a?b?0,m?0,n?0)

规律:小于1同加则变大,大于1同加则变小.

当a?0时,x?a?x
2
?a
2
?x??a或x?a;

⑨绝对值三角不等式
a?b?a?b?a?b.

3、几个着名不等式 2a?ba
2
?b
2
①平均不等式:
a
?1
? b
?1
?ab?
2
?
2

?
a,b?R< br>?
?
,(当且仅当
a?b
时取
?
号).
( 即调和平均
?
几何平均
?
算术平均
?
平方平均).
变形公式:
②幂平均不等式:
③二维形式的三角不等式:
④二维形式的柯西不等式:
(a
2
?b
2
) (c
2
?d
2
)?(ac?bd)
2
(a,b,c,d?R ).
当且
仅当
ad?bc
时,等号成立.
⑤三维形式的柯西不等式:
(a
222
1
?a
2
?a
2
3
)(b
1
?b
2
2
?b
2
3
)?(a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
2
3
).
⑥一般形式的柯西不等式:
⑦向量形式的柯西不等式:

?
ur
,
u
?r
是两个向量,则
?
ur
?
u
?
r
?
?
uru
?
r
,
当且仅当
u
?
r
是零向量,或存在实数
k
,使
?
ur
?k
u
?
r
时,等号成
立.
⑧排序不等式(排序原理):

a
1
?a
2
?...?a
n
,b
1
?b< br>2
?...?b
n
为两组实


数.
c
1
,c
2
,...,c
n

b
1
,b
2
,...,b
n
的任一排列,则

?a
1
b
1
?a
2
b
2
?...?a
n
b
n
.
(反序和
?
乱序和
?
顺序和)
?
f(x)?0

f(x)?a(a?0)?
?
2
?
f(x)?a
当且仅当
a
1
?a
2
?...?a
n

b
1
?b
2
?...?b
n
时,反序
和等于顺序和.
⑨琴生不等式:(特例:凸函数、凹函数)
若定义在某区 间上的函数
f(x)
,对于定义域中任
意两点
x
1
,x2
(x
1
?x
2
),

则称f(x)为凸(或凹)函数.
4、不等式证明的几种常用方法
常用方法有:比较法(作差,作商法)、综合法、
分析法;
其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法,
函数单调性法,数学归纳法等.
常见不等式的放缩方法:
①舍去或加上一些项,如
(a?
1
23
2
2
)?
4
?(a?
1
2
);
②将分子或分母放大(缩小),如
1
k
?
2
k?k ?1
(k?N
*
,k?1)
等.
5、一元二次不等式的解法
求一元二次不等式
ax
2
?bx?c?0(或?0)

(a?0,??b
2
?4ac?0)
解集的步骤:
一化:化二次项前的系数为正数.
二判:判断对应方程的根.
三求:求对应方程的根.
四画:画出对应函数的图象.
五解集:根据图象写出不等式的解集.
规律:
当二次项系数为正时,小于取中间,大于取两边.
6、高次不等式的解法:穿根法.
分解因式,把根标在数轴上,从右上方依次往下穿
(奇穿偶切),结合原式不等号的方向,写出不等式的
解集.
7、分式不等式的解法:先移项通分标准化,则
f(x)
g(x)
?0?f (x)?g(x)?0
f(x)
?
f(x)?g(x)?0

“?或?”
时同理)
g(x)
?0?
?
?
g( x)?0
规律:把分式不等式等价转化为整式不等式求解.
8、无理不等式的解法:转化为有理不等式求解

f(x)?a(a?0)?
?
?
f(x)?0
f(x)?a

?
2
?
f(x)?0

f(x)?g(x)?
?
?
g(x)?0

?
f(x)?0

?
?
?
f(x)?[g(x) ]
2
?
g(x)?0
?
f(x)?0

f(x)? g(x)?
?
?
g(x)?0

?
?
f(x)?[ g(x)]
2
?
f(x)

f(x)?g(x)?
?
?0
?
g(x)?0

?
?
f(x)?g(x)
规律:把无理不等式等价转化为有理不等式,诀窍在
于从“小”的一边分析求解.
9、指数不等式的解法:
⑴当
a?1
时,
a
f(x)?a
g(x)
?f(x)?g(x)

⑵当
0?a?1
时,
a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)?g(x)

规律:根据指数函数的性质转化.
10、对数不等式的解法
⑴当
a?1
时,
?
log
?
f(x)?0
a
f(x)?log
a
g(x)?
?
g(x)?0

?
?
f(x)?g(x)
⑵当
0?a?1
时,
?
f(x)?0
log
?
a
f(x)?log
a
g( x)?
?
g(x)?0.

?
?
f(x)?g(x)
规律:根据对数函数的性质转化.
11、含绝对值不等式的解法:
⑴定义法:
a?
?
?
a( a?0)
?
?a(a?0)
.

⑵平方法:
f(x)?g( x)?f
2
(x)?g
2
(x).

⑶同解变形法,其同解定理有:

x?a??a?x?a(a?0);



x?a?x?a或x??a(a?0);


f(x)?g(x)??g(x)?f(x)?g(x)(g(x)?0)

以,在实际判断时,往往只需在直线某一侧任取一特
殊点
(x
0
,y
0
)
(如原点),由
Ax
0
?By
0
?C
的正负即可
判断出
Ax?By?C?0(

?0)
表示直线哪一侧 的

f(x)?g(x)?f(x)?g(x)或f(x)??g(x)(g(x)?0)
规律:关键是去掉绝对值的符号.
12、含有两个(或两个以上)绝对值的不等式的解法:
平面区域.
即:直线定边界,分清虚实;选点定区域,常选
原点.
规律:找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中
取交集,最后取各段的并集.
13、含参数的不等式的解法
解形如
ax
2
?bx?c?0
且含参数的不等式时,要
对参数进行分类讨论,分类讨论的标准有:
⑴讨论
a
与0的大小;
⑵讨论
?
与0的大小;
⑶讨论两根的大小.
14、恒成立问题
⑴不等式
ax
2
?bx?c?0
的解集是全体实数(或恒成
立)的条件是:
①当
a?0

?b?0,c?0;

②当
a?0

?
?
?
a?0
?
??0.

⑵ 不等式
ax
2
?bx?c?0
的解集是全体实数(或恒成
立)的条件 是:
①当
a?0

?b?0,c?0;

②当
a ?0

?
?
?
a?0
?
??0.


f(x)?a
恒成立
?f(x)
max
?a;

f(x)?a
恒成立
?f(x)
max
?a;


f(x)?a
恒成立
?f(x)
min
?a;

f(x)?a
恒成立
?f(x)
min
?a.

15、线性规划问题
⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断:
法一:取点定域法:
由于直线
Ax?By?C?0
的同一侧的所有点的
坐标 代入
Ax?By?C
后所得的实数的符号相同.所
法二:根据
Ax?By?C ?0(

?0)
,观察
B

符号与不等式开口的符号,若同 号,
Ax?By?C?0(

?0)
表示直线上方的区域;若异号,则表示直 线上
方的区域.即:同号上方,异号下方.
⑵二元一次不等式组所表示的平面区域:
不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的
平面区域的公共部分.
⑶利用线性规划求目标函数
z?Ax?By(A,B
为常
数)的最值:
法一:角点法:
如果目标函数
z?Ax?By

x、y< br>即为公共区域
中点的横坐标和纵坐标)的最值存在,则这些最值都
在该公共区域的边界角 点处取得,将这些角点的坐标
代入目标函数,得到一组对应
z
值,最大的那个数为目标函数
z
的最大值,最小的那个数为目标函数
z

最小值
法二:画——移——定——求:
第一步,在平面直角坐标系中画出可行域;第二步,
作直线
l
0
:Ax?By?0
,平移直线
l
0
( 据可行域,将
直线
l
0
平行移动)确定最优解;第三步,求出最优解
(x,y)
;第四步,将最优解
(x,y)
代入目标函数
z?Ax?By即可求出最大值或最小值 .
第二步中最优解的确定方法:
利用
z
的 几何意义:
y??
A
B
x?
z
z
B
,B
为直线的
纵截距.


①若
B?0,
则使目标函 数
z?Ax?By
所表示直
线的纵截距最大的角点处,
z
取得最大值 ,使直线的
纵截距最小的角点处,
z
取得最小值;
②若
B?0,< br>则使目标函数
z?Ax?By
所表示直
线的纵截距最大的角点处,
z< br>取得最小值,使直线的
纵截距最小的角点处,
z
取得最大值.
⑷常见的目标函数的类型:
①“截距”型:
z?Ax?By;

② “斜率”型:
z?
yy
x

z?
?b
x?a
;

③“距离”型:
z?x
2
?y
2

z?x
2
?y
2
;

z?(x?a)
2
? (y?b)
2

z?(x?a)
2
?(y?b)
2
.

在求该“三型”的目标函数的最值时,可结合线
性规划与代数式的几何意义求解, 从而使问题简单化.
选修数学
知识点
专题一:常用逻辑用语
1、命题:可以判断真假的语句叫命题;
逻辑联结词:“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑
联结词;
简单命题:不含逻辑联结词的命题;
复合命题:由简单命题与逻辑联结词构成的命题. 常用小写的拉丁字母
p

q

r

s
,……表示命
题.
2、四种命题及其相互关系
四种命题的真假性之间的关系:
⑴、两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
⑵、两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性
没有关系.
3、充分条件、必要条件与充要条件
⑴、一般地,如果已知
p?q
,那么就 说:
p

q

充分条件,
q

p
的必要条件;

p?q
,则
p

q
的充分必要条 件,简称充要条件.
⑵、充分条件,必要条件与充要条件主要用来区分命
题的条件
p
与结论
q
之间的关系:
Ⅰ、从逻辑推理关系上看:
①若
p?q
,则
p

q
充分条件,
q

p的必要条件;
②若
p?q
,但
q

p
,则
p

q
充分而不必要条件;
③若
p

q
,但
q?p
,则
p

q
必要而不充分条件;
④若
p?q

q?p
, 则
p

q
的充要条件;
⑤若
p

q

q

p
,则
p

q
的既不充分也不必要
条件.
Ⅱ、从集合与集合之间的关系上看:
已知
A?
?
xx
满足 条件
p
?

B?
?
xx
满足条件
q
?

①若
A?B
,则
p

q
充分条件;
②若
B?A
,则
p

q
必要条件;
③若A B,则
p

q
充分而不必要条件;
④若B A,则
p

q
必要而不充分条件;
⑤若
A?B


p

q
的充要条件; < br>⑥若
A?B

B?A
,则
p

q
的 既不充分也不必要
条件.
4、复合命题
⑴复合命题有三种形式:
p

q

p?q
);
p

q

p ?q
);非
p

?p
).
⑵复合命题的真假判断

p

q
”形式复合命题的真假判断方法:一真必真;

p

q
”形式复合命题的真假判断方法:一假必假;
“非
p
”形式复合命题的真假判断方法:真假相对.
5、全称量词与存在量词
⑴全称量词与全称命题
短语“所有的”“任意一个” 在逻辑中通常叫做全称
量词,并用符号“
?
”表示.含有全称量词的命题,叫
做全称命题.
⑵存在量词与特称命题
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做< br>存在量词,并用符号“
?
”表示.含有存在量词的命题,
叫做特称命题.
⑶全称命题与特称命题的符号表示及否定
①全称命题
p

?x?? ,p(x)
,它的否定
?p

?x
0
??,?p(x
0
).
全称命题的否定是特称命题.
②特称命题
p

? x
0
??,p(x
0
),
,它的否定
?p

?x??,?p(x).
特称命题的否定是全称命题.


专题二:圆锥曲线与方 程
1.椭圆
焦点的位置
图形
标准方程
第一定义
第二定义
范围


焦点在
x
轴上


焦点在
y
轴上
F
2
的距离之和等于常数2a
,即
|MF
1
|?|MF
2
|?2a
2a?|F
1
F
2
|
) 到两定点
F
1

与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数
e
,即
MF
?e (0?e?1)

d
?a?x?a

?b?y?b

?b?x?b

?a?y?a

?
1
?
? a,0
?

?
2
?
a,0
?

顶点
?
1
?
0,?a
?

?
2
?
0,a
?

?
1
?
?b,0
?

?
2
?
b,0
?

?
1
?
0,?b
?

?
2
?
0,b
?

轴长
对称性
焦点
焦距
离心率
准线方程



左焦半径:
MF
1
?a?ex
0

焦半径
右焦半径:
MF
2
?a?ex
0

焦点三角形面积
通径


长轴的长
?2a
短轴的长
?2b

关于
x
轴、
y
轴对称,关于原点中心对称
F
1< br>?
?c,0
?

F
2
?
c,0
?< br>
F
1
?
0,?c
?

F
2
?
0,c
?

下焦半径:
MF
1
?a?ey
0

上焦半径:
MF
2
?a?ey
0

b
2
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径:
HH
?
?

a
A(x
1,
y
1
),B(x
2,
y2
)

AB?1?k
2
x
1
?x
2< br>?1?k
2
(x
1
?x
2
)
2
?4 x
1
x
2

焦点在
y
轴上


(焦点)弦长公式
焦点的位置
图形
标准方程
第一定义
第二定义
范围
顶点
轴长
对称性


焦点在
x
轴上
F
2
的距离之差的绝对值等于常数
2a
,即
|MF
1
|?|MF
2
|?2a

0?2a?|F
1
F
2
|
)到两定点
F
1


与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数
e
,即
MF< br>?e(e?1)

d
x??a

x?a

y?R

y??a

y?a

x?R

?
1
?
?a,0
?

?
2
?
a,0
?

?
1
?
0,?a
?

?
2
?
0,a
?

实轴的长
?2a
虚轴的长
?2b

关于
x
轴、
y
轴对称,关于原点中心对称


焦点
焦距
离心率
图形
准线方程
渐近线方程
标准方程
定义
顶点
焦半径
离心率




F
1
?
?c,0
?
F
2
?
c,0
?

F
1
?
0,?c
?

F
2
?
0,c
?









?MF
1
?ex
0
?a?MF
1
?ey
0
?a
?
左焦:
?
左焦:
与一定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线( 定点不在定直线
ll
上)
FF

M
在右支
?< br>M
在上支
?
右焦:MF?ex?a右焦:MF?ey?a
??
2020
??


对称轴
焦点三角形面积
范围
通径
焦点

?MF
1
??ex
0
?a
?
左焦:
M
在左支
?
MF
2
??ex
0
?a
?
?
右焦:
x


?MF
1
??ey
0
?a
?
左焦:
M
在下支
?
MF
2
??ey
0
?a
?
?
右焦:
y


b
2

过焦点且垂直于长轴的弦叫通径:
HH
?
?

a

2.双曲线
3.抛物线


准线方程
焦半径
通径
焦点弦长
公式
参数
p
的几
何意义
过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径:
HH
?
?2p


参数
p
表示焦点到准线的距离,
p
越大,开口越阔
关于抛物线焦点弦的几个结论:
B(x
2
,y
2
)
,直线
AB
的倾斜角为
?
,则 设
AB
为过抛物线
y
2
?2px(p?0)
焦点的弦,
A(x
1
,y
1
)、
p
2
2p
,y
1
y
2
? ?p
2
;

AB?

x
1
x
2
?
;

4
sin
2
?
⑶ 以
AB
为直径的圆与准线相切;
⑷ 焦点
F

A、B
在准线上射影的张角为
?
2



112
??.
|FA||FB|P
专题三:定积分
1、定积分的概念
如果函数
f(x)
在区间
[a,b]
上 连续,用分点

f(x)
叫做被积函数,
x
叫做积分变量,
f(x)dx

做被积式.
说明:
(1)定积分的值是一个常数,可正、可负、可
为零;
(2)用定义求定积分的四个基本步骤:①分割;
②近似代替;③求和;④取极限.
2、微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式)
如果
F
?
(x)?f (x)
,且
f(x)

[a,b]
上可积,则
a?x0
?x
1
?…?x
i?1
?x
i
?…?xn
?b
将区间
[a,b]
等分成
n
个小区间,在每个小 区间
[x
i?1
,x
i
]
上任取一点
?
i
(i?1,2,…,n)
,作和式
L
n
?
?
i?1
n
b?a
f(
?
i
)?x?
?
f(
?
i
),
,当
n??
时,上
n
i?1
n
?
b
a
f(x)dx?F(x)
a
?F(b)?F(a)< br>,
b
【其中
F(x)
叫做
f(x)
的一个原函数, 因为
述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数
f(x)

dx
, 即区间
[a,b]
上的定积分.记作
f
(
x
)
?< br>a
b
?
F(x)?C
?
?
?F
?
( x)?
3、常用定积分公式
f(x)

?
b
a
f(x)dx?lim
?
n??
i?1
n
b?a
f(
?
i
)
,这里,
a

b
分别叫
n

?0dx?c

c
为常数)

?1dx?x?c

做积分下限与积分上限,区间
[a,b]叫做积分区间,函



?x
?
dx?
x
?
?1
?
?1
?c(
?
??1)


?
1
x
dx?lnx?c


?e
x
dx?e
x
?c


? a
x
dx?
a
x
lna
?c(a?0,a?1)


?sinxdx??cosx?c


?cosxdx?sinx?c


?sinaxdx??
1
a
cosax?c(a?0)


?cosaxdx?
1
a
sinax?c(a?0)

4、定积分的性质

?
bb
a
kf(x)dx?k
?
a
f(x)dx

k
为常数);

?
bbb
a
f(x)?g(x)dx?
?
a
f(x)dx?
?
a
g(x)dx


?
bcb
a
f( x)dx?
?
a
f(x)dx?
?
c
f(x)dx
(其中
a?c?b)
;
⑷利用函数的奇偶性求定积分:若
f(x)

[?a,a]

的奇函数,则
?
a
f(x)dx?0;若
f(x)

[?a,a]
上的偶
?a
函数,则?
a
f(x)dx?2
?
a
?a0
f(x)dx
.
5、定积分的几何意义
定积分
?
b
a
f(x)dx
表示在区间
[a,b]
上的曲线
y?f(x)
与直线
x?a

x?b
以及
x
轴所围成的平面
图形(曲边梯形)的面积的 代数和,即
?
b
a
f(x)dx?S
x
轴上方
-S
x
轴下方
.(在x轴上方的面积取
正号,在x轴下方的面积取负号)
6、求曲边梯形面积的方法与步骤
⑴画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致
图像;
⑵借助图形确定出被积函数,求出交点坐标,确定积
分的上、下限;
⑶写出定积分表达式;
⑷求出曲边梯形的面积和,即各积分的绝对值的和.
7、定积分的简单应用
⑴定积分在几何中的应用:
几种常见的曲边梯形面积的计算方法:
(1)
x
型区域:
①由一 条曲线
y?f(x)(其中f(x)?0)
与直线
x?a,x?b(a?b)
以及
x
轴所围成的曲边梯形的面
积:
S=
?
a
b< br>f(x)dx
(如图(1));
图(1)
②由一条曲线
y?f(x )(其中f(x)?0)
与直线
x?a,x?b(a?b)
以及
x
轴 所围成的曲边梯形的面
积:
S=
?
b
a
f(x)dx=-< br>?
b
a
f(x)dx
(如图(2));
图(2)
③由一条曲线
y?f(x)

【当
a?x?c
时,
f(x)?0?
?
c
a
f(x)dx?0;


c ?x?b
时,
f(x)?0?
?
b
c
f(x)dx?0.< br>】
与直线
x?a,x?b(a?b)
以及
x
轴所围成的曲边 梯形
的面积:
S=
?
cb
a
f(x)dx?
?c
f(x)dx



?
c
)dx?
?
b
a
f(x
c
f(x)dx.
(如图 (3));
图(3)
④由两条曲线
y?f(x),y?g(x)

f(x)?g(x))

直线
x?a,x?b(a?b)
所围成的曲边梯形 的面积:
S?
?
b
f(x)dx?
?
b
g(x)d x?
?
b
aaa
?
f(x)?g(x)
?
dx.< br>(如
图(4))
图(4)
(2)
y
型区域:
① 由一条曲线
y?f(x)(其中x?0)
与直线
y?a,y?b(a?b)
以 及
y
轴所围成的曲边梯形的面积,
可由
y?f(x)

x? h(y)
,然后利用
S=
?
b
a
h(y)dy
求< br>出(如图(5));
图(5)
②由一条曲线
y?f(x)(其中x?0)< br>与直线
y?a,y?b(a?b)
以及
y
轴所围成的曲边梯形的面积,可由
y?f(x)
先求出
x?h(y)
,然后利用
S=?
bb
a
h(y)dy=-
?
a
h(y)dy
求出(如图(6));
图(6)
③由两条曲线
y?f(x),y?g(x)
与直线
y?a,y?b(a?b)
所围成的曲边梯形的面积,可由


y ?f(x),y?g(x)
先分别求出
x?h
1
(y)

x ?h
2
(y)
,然后利用
S=
?
b
a
|h
1
(y)-h
2
(y)|dy
求出(如
图(7));
图(7)
⑵定积分在物理中的应用:
①变速直线运动的路程
作变速直 线运动的物体所经过的路程
S
,等于其速
度函数
v?v(t)(v(t)?0 )
在时间区间
?
a,b
?
上的定积
分,即
S?
?
b
a
v(t)dt.
.
②变力作功
物体在变力
F(x)
的作用下做直线运动,并且物体沿
着与
F(x)
相同的方向从
x?a
移动到
x?b(a?b)

那么变力
F(x)
所作的功
W?
?
b
aF(x)dx
.
专题四:推理与证明
知识结构
合情推理
归纳推理
推理 类比推理

演绎推理



比较法


直接证明

综合法
证明

分析法
间接证明

反证法
数学归纳法

1、归纳推理
把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归
纳推理(简称归纳).
简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般
的推理。
归纳推理的一般步骤:
?
通过观察个别情况发现某些相同的性质;
?
从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题
(猜想);
?
证明(视题目要求,可有可无).
2、类比推理
由两类对象具有某些类 似特征和其中一类对象的
某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推
理称为类比推理( 简称类比).
简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.
类比推理的一般步骤:
?
找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;
?
用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,
从而得出一个猜想;
?
检验猜想。
3、合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经 过观
察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提
出猜想的推理.
归纳推理和类比推理统称为合情推理,通俗地说,
合情推理是指“合乎情理”的推理.
4、演绎推理

从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结
论,这种推理称为演绎推理.
简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理.
演绎推理的一般模式———
“三段论”,
包括
⑴大前提 -----已知的一般原理;
⑵小前提-----所研究的特殊情况;
⑶结论-----据一般原理,对特殊情况做出的判断.
用集合的观点来理解:若集合
M中的所有元素都
具有性质
P
,
S

M
的一个子 集,那么
S
中所有元素
也都具有性质P.
从推理所得的结论来看,
M
合情推理的结论不一定正
确,有待进一步证明;演绎推理在前提和推理形式都
·a S
正确的前提下,得到的结论一定正确.
5、
直接证明与间接证明
⑴综合法:利用已知条件和某些数学定义、公理、定
理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要 证明
的结论成立.
框图表示:
要点:顺推证法;由因导果.
⑵ 分析法:从要证明的结论出发,逐步寻找使它成立
的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定< br>一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理
等)为止.
框图表示:
要点:逆推证法;执果索因.
⑶反证法:一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明
了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证 明方法.
反证法法证明一个命题的一般步骤:
(1)(反设)假设命题的结论不成立;
(2)(推理)根据假设进行推理,直到导出矛盾为止;
(3)(归谬)断言假设不成立;
(4)(结论)肯定原命题的结论成立.
6、数学归纳法
数学归纳法是证明关于正整数
n
的命题的一种方法.
用数学归纳法证明命题的步骤;
(1)(归纳奠基)证明当
n
取第一个值< br>n
*
0
(n
0
?N)


时命题成立;
(2)(归纳递推)假设
n?k(k?n
*
0
,k?N)
时 命
题成立,推证当
n?k?1
时命题也成立.
只要完成了这两个步骤 ,就可以断定命题对从
n
0

始的所有正整数
n
都成立.
用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学
命题,其中包括恒等式、不等式、数列通项公式 、几
何中的计算问题等.
专题五:数系的扩充与复数
1、复数的概念
⑴虚数单位
i

⑵复数的代数形式
z?a?bi(a,b?R)

⑶复数的实部、虚部,虚数与纯虚数.
2、复数的分类
复数
z?a?bi
?
a,b?R
?

3、相关公式

a?bi?c?di?a?b,且c?d


a?bi?0?a?b?0


z?a?bi?a
2
?b
2


z?a?bi

z,z
指两复数实部相同,虚部互为相反数(互为共
轭复数).

4、复数运算
⑴复数加减法:
?
a?bi
?
?
?
c?di
?
?
?
a?c
?
?
?
b ?d
?
i

⑵复数的乘法:
?
a?bi
??c?di
?
?
?
ac?bd
?
?
?
b c?ad
?
i

⑶复数的除法:
a?bi
?
a? bi
??
c?
c?di
?
di
?
?
c?d i
??
c?di
?

(类似于无理数除法的分母有理化
?
虚数除法的分
母实数化)
5、常见的运算规律
(9)

?
?
?1?3i
2
是1的立方虚根,则
1?
?
?
?
2
?0

?
3n?1
?
?
,
?
3n?2
?
?
,
?
3n?3
?1

6、复数的几何意义
复平 面:用来表示复数的直角坐标系,其中
x
轴叫
做复平面的实轴,
y
轴 叫做复平面的虚轴.
专题六:排列组合与二项式定理
1、基本计数原理
⑴ 分类加法计数原理:(分类相加)
做一件事情,完成它有
n
类办法,在第一类办法中 有
m
1
种不同的方法,在第二类办法中有
m
2
种不同的方< br>法……在第
n
类办法中有
m
n
种不同的方法.那么完成
这件事情共有
N?m
1
?m
2
???m
n
种不同 的方法.
⑵ 分步乘法计数原理:(分步相乘)
做一件事情,完成它需要
n
个步骤,做第一个步骤有
m
1
种不同的方法,做第二个步骤有
m
2
种不同的方
法……做第
n
个步骤有
m
n
种不同的方 法.那么完成这
件事情共有
N?m
1
?m
2
???m
n
种不同的方法.
2、排列与组合
⑴排列定义:一般地,从
n
个不同的元素中任取
m
?
m?n
?
个元素,按照一定的顺序排成一列 ,叫做从
n
个不同的元素中任取
m
个元素的一个排列.
⑵组合定义 :一般地,从
n
个不同的元素中任取
m
?
m?n
?
个元素并成一组,叫做从
n
个不同的元素中
任取
m
个元素的一个组合 .
⑶排列数:从
n
个不同的元素中任取
m
?
m?n
?
个元素
的所有排列的个数,叫做从
n
个不同的元素中任取
m个元素的排列数,记作
A
m
n
.
⑷组合数:从
n个不同的元素中任取
m
?
m?n
?
个元素
的所有组合的 个数,叫做从
n
个不同的元素中任取
m
个元素的组合数,记作
Cm
n
.
⑸排列数公式:

A
m
n
?n
?
n?1
??
n?2
?
?
?
n?m? 1
?

A
m
n!
n
?
?
n?m< br>?
!


A
n
n
?n!
,规定
0!?1
.
⑹组合数公式:

C
m
n
?
n?1
??
n?2
?
?
?
n?m?1
?
n
?
m!

C
m
n!
n
?
m!
?
n? m
?
!


C
mn?m
0
n
? C
n
,规定
C
n
?1
.
⑺排列与组合的区别:排列有顺序,组合无顺序.
⑻排列与组合的联系:
A
mmm
n
?C
n
?A
m
,即排列就是先

组合再全排列.
m
A
n
n?(n?1)?L?(n?m?1 )n!
C?
m
??(m?n)
m
n
若令
x?1,则有
12n
.
?
1?1
?
n
?2
n
?C
n
0
?C
n
?C
n
???Cn
A
m
m?(m?1)?L?2?1m!
?
n?m
?< br>!
⑼排列与组合的两个性质性质
排列
A
mmm?1mmm?1
n?1
?A
n
?mA
n
;组合
C
n?1
?C
n
?C
n
.

⑽解排列组合问题的方法
①特 殊元素、特殊位置优先法(元素优先法:先考虑
有限制条件的元素的要求,再考虑其他元素;位置优先法:先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他
位置).
②间接法(对有限制条件的问题,先从总体考虑,再
把不符合条件的所有情况去掉).
③相邻问题捆绑法(把相邻的若干个特殊元素“捆绑”
为一个大元素,然后再与其余“普通元素”全排 列,
最后再“松绑”,将特殊元素在这些位置上全排列).
④不相邻(相间)问题插空法(某 些元素不能相邻或某
些元素要在某特殊位置时可采用插空法,即先安排好
没有限制元条件的元素 ,然后再把有限制条件的元素
按要求插入排好的元素之间).
⑤有序问题组合法.
⑥选取问题先选后排法.
⑦至多至少问题间接法.
⑧相同元素分组可采用隔板法.
⑨分组问题:要注意区分是平均分组还是非平均分组,
平均分成n组问题别忘除以n!.
3、二项式定理
⑴二项展开公式:
?
a?b
?
n
?C
0n1
a
n?1
b?C
2n?22
C
rn?r r
n
a?C
nn
ab?L?
n
ab

?L?C
nn
n
b
?
n?N
?
?
.
⑵二项展开式的通项公式:
T
rn?rr
r?1
?C
n
ab
?
0?r?n,r?N,n?N
?
?
.主要用途
是求指定的项.
⑶项的系数与二项式系数
项的系数与二项式系数是不同的两个概念,但当
二项式的两个项的系数都为1时,系数就是二项式系
数.如

(ax?b)
n
的展开式中,第
r?1
项的二项式系数

C
r< br>n
,第
r?1
项的系数为
C
rn?r
b
r< br>;而
(x?
1
n
a
)
n
x

展开式中的系数等于二项式系数;二项式系数一定为
正,而项的系数不一定为正.

?
1?x
?
n
的展开式:
?
1?x
?
n
?C
01n?12n?2n0
n
x
n
?C
n
x?C
n
x???C
n
x

二项式奇数项系数的和等于 二项式偶数项系数
的和.即
C
0
n
?C
2
???? C
13
n
?
n
?C
n
?????2
n?1

⑸二项式系数的性质:
(1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项
式系数相等,即
C
m
?C
n?m
nn

(2)增 减性与最大值:当
r?
n?1
2
时,二项式系
数C
r
n?1
n
的值逐渐增大,当
r?
2
时,C
r
n< br>的值逐渐减小,
且在中间取得最大值。当n为偶数时,中间一项(第
n
2
n
+1项)的二项式系数
C
n
2
取得最大值.当n为奇数时,中间两项(第
n?1
2

n?1
2
+1项)的二项式系 数
n?1n?1
C
n
2
?C
n
2
相等并同 时取最大值.
⑹系数最大项的求法
设第
r
项的系数
A
?
A
r
?A
r?1
r
最大,由不等式组
?
?
A
r
?A

r?1
可确定
r
.
⑺赋值法

(ax?b)
n
?a?a
2n
01< br>x?a
2
x?...?a
n
x,

则设
f(x)?(ax?b)
n
.
有:

a
0
?f(0);


a
0
? a
1
?a
2
?...?a
n
?f(1);


a
n
0
?a
1
?a
2
?a
3
?...?(?1)a
n
?f(?1);


a
f (1)?f(?1)
0
?a
2
?a
4
?a
6
?...?
2
;


a
f(1)?f(?1)
1
?a
3
?a
5
?a
7
?...?
2
.

专题七:随机变量及其分布


知识结构
②独立重复试验的概率公式
如果在1次试验中某事件发生的概率是
p
,那么

n
次独立重复试验中这个试验恰好发生
k
次的概率
⑸条 件概率:对任意事件A和事件B,在已知事件A
发生的条件下事件B发生的概率,叫做条件概率.记作< br>P(B|A),读作A发生的条件下B发生的概率.
公式:
P(BA)?
P(AB)
,P(A)?0.

P(A)

2、离散型随机变量
⑴随机变量:如果随机试验的结果可以用一个变量
1、基本概念
⑴互斥事件:不可能同时发生的两个事件.
如果事件
A、B、C
,其中任何 两个都是互斥事
件,则说事件
A、B、C
彼此互斥.

A、B是互斥事件时,那么事件
A?B
发生(即
A、B
中有一个发生)的概率, 等于事件
A、B
分别发
生的概率的和,即

P(A?B)?P(A)?P(B)
.
⑵对立事件:其中必有一个发生的两个互斥事 件.事件
A
的对立事件通常记着
A
.
对立事件的概率和等于1.
P(A)?1?P(A)
.
特别提醒:“互斥事件”与“对立事件”都是就
两个事件而言的,互斥事件是不可能同时发生的两个
事件,而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件 ,
因此,对立事件必然是互斥事件,但互斥事件不一定
是对立事件,也就是说“互斥”是“对立 ”的必要但
不充分的条件.
⑶相互独立事件:事件
A
(或
B
)是否发生对事件
B
(或
A
)发生的概率没有影响,(即其中一个事件是< br>否发生对另一个事件发生的概率没有影响).这样的两
个事件叫做相互独立事件.
当< br>A、B
是相互独立事件时,那么事件
A?B
发生
(即
A、B< br>同时发生)的概率,等于事件
A、B
分别发
生的概率的积.即

0 1

P(A?B)?P(A)?P(B)
.
若A、B 两事件相互独立,则A与
B

A
与B、
A

B也都是相互独立的.
⑷独立重复试验
①一般地,在相同条件下重复做的
n
次试验称为
n
次独立重复试验.
来表示,那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用
字母
X,Y,
?
,
?
等表示.
⑵离 散型随机变量:对于随机变量可能取的值,可
以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型
随机变量.
⑶连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值,
可以取某一区间内的一切值,这样的变量就叫做连续
型随机变量.
⑷离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联
系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用 变量表
示随机试验的结果;但是离散型随机变量的结果可以
按一定次序一一列出,而连续性随机 变量的结果不可
以一一列出.

X
是随机变量,
Y?aX?b( a,b
是常数)则
Y
也是随机变量 并且不改变其属性(离散型、连续型).
3、离散型随机变量的分布列
⑴概率分布(分布列)
设离散型随机变量
X
可能取的不同值为
x
1
,x
2
,…,
x
i
,…,
x
n

X
的每一个值
x
i

i?1,2,?,n
)的概率
P(X?x
i
)?p
i< br>,则称表
… …
… …
为随机变量
X
的概率分布,简称
X
的分布列.
性质:①
p
i
?0,i?1,2,...n;

?
n
p
i
?1.

i?1
⑵两点分布
如果随机变量
X
的分布列为
则称
X
服从两点分布,并称
p?P(X?1)
为成功概
率.
⑶二项分布
如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在
n次独立重复试验中这 个事件恰好发生k次的概率是
其中
k?0,1,2,...,n,q?1?p
,于是 得到随机
变量
X
的概率分布如下:




0 1 …


k …


n
则称

我们称这样的随机变量
X
服从二项分布,记作
D( X)?
?
(x
i
?E(X))
2
p
i
为离 散型随机变量
X

i?1
n
X~B
?
n,p
?
,并称p为成功概率.
判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有三点:
①对立性:即一次试验中事件发生与否二者必居其一;
方差,并称其算术平方根
D( X)
为随机变量
X
的标
准差.它反映了离散型随机变量取值的稳定与波动,集
②重复性:即试验是独立重复地进行了
n
次;
③等概率性:在每次试验中事件发生的概率均相等.
注:⑴二项分布的模型是有放回抽样;
⑵二项分布中的参数是
p,k,n.

⑷超几何分布
一般地, 在 含有
M
件次品的
N
件产品中,任取
n
件,其中恰有
X
件次品数,则事件
?
X?k
?
发生的
概率为
P( X?k)?
C
kn?k
M
C
N?M
C
n
( k?0,1,2,L,m)
,于
N
是得到随机变量
X
的概率分布如下 :
其中
m?min
?
M,n
?
,
n≤N,M≤N ,n,M,N?N
*
.
我们称这样的随机变量
X
的分布列为超几何 分布列,
且称随机变量
X
服从超几何分布.
注:⑴超几何分布的模型是不放回抽样;
⑵超几何分布中的参数是
M,N,n.
其意义分别是
总体中的个体总数、N中一类的总数、样本容量.
4、离散型随机变量的均值与方差
⑴离散型随机变量的均值
一般地,若离散型随机变量
X
的分布列为
… …
… …
则称
E
?
X?
?x
1
p
1
?x
2
p
2
? L?x
i
p
i
?L?x
n
p
n
为离散型< br>随机变量
X
的均值或数学期望(简称期望).它反映了
离散型随机变量取值的平 均水平.
性质:①
E(aX?b)?aE(X)?b.

②若
X
服从两点分布,则
E(X)?p.

③若
X~B?
n,p
?
,则
E(X)?np.

⑵离散型随机变量的方差
一般地,若离散型随机变量
X
的分布列为
… …
… …
中与离散的程度.

D(X)
越小,
X
的稳定性越高,波动越小,取值
越集中;
D(X)
越大,
X
的稳定性越差,波动越大,
取值越分散
.
性质:①
D(aX?b)?a
2
D(X).

②若
X
服从两点分布,则
D(X)?p(1?P).

③若
X~B
?
n,p
?
,则
D(X)?np(1?P).

5、正态分布
正态变量概率密度曲线函数表达
0 1 …
式:

f
?
x
?
?
x?
?
?
2
?
1
2
?
2
2
?
?
?
e
?
,x?R

其中
?
,
?
是参数,且
?
?0,???
?
???
.记作
N(
?
,
?
2
).
如下图:
专题八:统计案例
1、回归分析
回归直线方程
y
?
?a?bx

?
n
?
?
n
x
i
?x
??
yi
?y
?
?
b?
??
x
i
y
i
?nxy
i?11
其中
?
?
n
?
i?< br>?
x?x
2
n
x
2

?
i
?
?
i
?nx
2
?
i?1i?1
?
a?y ?bx
n
x
i
?x
??
y
i
?y
?
相关系数:
r?
?
?
i?1

?
n?
2
n
x
2
i
?x
?
i?1
?
?
y
i
?y
?
i?1
2、独立性检验
假设有两个分类变量X和Y,它们的值域分另为{x
1
,
x
2
}和{y
1
, y
2
},其样本频数2
?
2列联表为:
y
1
y
2
总计


x
1
a b a+b
x
2
c d c+d
总计 a+c b+d a+b+c+d
若要推断的论述为H
1
:“X与Y有关系”,可以利
用独立性检验来考察 两个变量是否有关系,并且能较
精确地给出这种判断的可靠程度.
具体的做法是,由表中的数 据算出随机变量
K
2

2

K
2
?
n(ad?bc)
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)
,其中
n?a?b? c?d
为样本容量,K
2
的值越大,说明“X
与Y有关系”成立的可能性越大 .
随机变量
K
2
越大,说明两个分类变量,关系越强;
反之,越弱。
K
2
?3.841
时,X与Y无关;
K
2
?3.8 41
时,X
与Y有95%可能性有关;
K
2
?6.635
时 X与Y有99%
可能性有关.
专题九:坐标系与参数方程
1、平面直角坐标系中的伸缩变换
设点
P(x,y)
是平面直角坐标系中的 任意一点,在
变换
?
:
?
?
x
?
?
?
?x,(
?
?0),
?
y
?
?
??y,(
?
?0).
的作用下,点
P(x,y)

应到 点
P
?
(x
?
,y
?
)
,称
?< br>为平面直角坐标系中的坐标伸
缩变换,简称伸缩变换。
2、极坐标系的概念
在平面内取一个定点
O
,叫做极点;自极点
O

一条射线
O x
叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角
度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方
向),这样就建立了一个极坐标系。

M
(
?
,
?
)


M
的 极坐标:设
M
是平面内一点,极点
O


M
的距离
|OM|
叫做点
M
的极径,记为

Ox
为始边,射 线
?

?
;以极
OM
为终边的
?xOM
叫 做点
M
的极角,记为
?
?


有序数对
(
?
,
?
)
叫做点
M
的极坐标,
记为
M
O
(
?

,
?
)
.
注:
?
)
图1
极坐标
(
?
,

(< br>?
,
?
?2k
?
)(k?Z)
表示同一个
点 。极点
O
的坐标为
(0,
?
)(
?
?R)
.

?
?0
,则
?
?
?0
,规定点(?
?
,
?
)
与点
(
?
,
?
)
关于极点对称,即
(?
?
,
?
)
(
?
,
?
?
?
)
表示同一点。
如果 规定
?
?0,0?
?
?2
?
,那么除极点外,平
面 内的点可用唯一的极坐标
(
?
,
?
)
表示(即一一对应的关系);同时,极坐标
(
?
,
?
)
表示的点也是唯一 确定
的。
极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面
上一个点,在极坐标系下,一 对有序实数
?

?
对应
惟一点
P
(
?
?
),但平面内任一个点
P
的极坐标不
惟一.一个点可以有无 数个坐标,这些坐标又有规律
可循的,
P
(
?

?
)(极点除外)的全部坐标为(
?
,
?

2k
?
) 或(
?
?

?

(2k?1)
?
),(< br>k?
Z).极点的
极径为0,而极角任意取.若对
?

?的取值范围加
以限制.则除极点外,平面上点的极坐标就惟一了,
如限定
?
>0,0≤
?

2
?

?
<0,
??

?

?
等.
极坐标与直角坐标的不同是,直角坐 标系中,点
与坐标是一一对应的,而极坐标系中,点与坐标是一
多对应的.即一个点的极坐标是 不惟一的.
3、极坐标与直角坐标的互化

M
是平面内任意一点,它的 直角坐标是
(x,y)

极坐标是
(
?
,
?
)
,从图中可以得出:
x?
?
cos
?
,y?
?
sin
?
?
2
?x
2
?y
2
, tan
?
?
y

x
(x?0).
4、简单曲线的极坐标方程
y

⑴圆的极坐标方程
①以极点为圆心,
a
为半径的圆的极坐标方程是
?
?a
;(如图1)
N
x
M
②以
(a,0)(a?0)
为圆心,
a
?

为半径的圆的极坐标方
y
程是
?
?2acos
?
;(如图2
?




x

?

?

cos
?


O
2

2

H
③以
(



?


a

y
,
?
2

)

?

(
sin
a?
?


0)
为圆心,

x

?


a
y


为半径的圆的极坐标方
?

?

2

程是
?


?2asin
?
;(如图


tan
4)

?

?
y



x

(

x

?

0)

⑵直线的极坐标方程
(直极互化

图)
①过极点的直线的极坐标 方程是
?
?
?
(
?
?0)

?
?
?
?
?
(
?
?0)
. (如图1)
②过 点
A(a,0)(a?0)
,且垂直于极轴的直线l的极坐
M
M
?< br>a
?
?
M
?
?
Ox
O
?
a O
x
a
x
图3
图1
图2
?
?a
?
?2acos
?
?
??2acos
?
?
M
O
x
M
a
?
?
M
a
?
a
(a,
?
)
?
?
O
x
Ox
图4
图 5
图6
?
?2asin
?
?
??2asin
??
?2acos(
?
?
?
)


标方程是< br>?
cos
?
?a
. 化为直角坐标方程为
x?a
.
(如图2)
③过点
A(a,
程叫做普通方程。
7、常见曲线的参数方程
(1 )圆
(x?a)?(y?b)?r
的参数方程为
222
?
2
)
且平行于极轴的直线l的极坐标方程

?
sin
?
?a< br>. 化为直角坐标方程为
y?a
.(如图
4)
?
x?a?rcos
?

?
为参数);
??
y?b?rsin
?
x
2
y
2
(2)椭圆< br>2
?
2
?1(a?b?0)
的参数方程为
ab
??
M
( , )
M
?
?
0
M
?
a
?
Ox
?
?
x?acos
?

?
为参数);
?
?
y?bsin
?
y
2
x
2
椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的 参数方程为
ab
O
图1
?
?
?
0
a
O
图2
?
?
a
cos
?
图3
?
??
a
cos
?
?
?
M
( , )
M
?
?
x?bcos
?

?
为参数);
?
?
y?asin
?
x
2
y
2
(3)双曲线
2
?
2
?1(a?b?0)< br>的参数方程
ab
a
?
?
O
M
O
?
a
a
O
N
(a,
?
)
p
图4< br>图5
?
??
a
?
?
sin
?
asin
?
图6
?
?
a
cos(
?
?< br>?
)
?
x?asec
?

?
为参数);
?
?
y?btan
?
y
2
x
2
双 曲线
2
?
2
?1(a?b?0)
的参数方程
ab
5、柱坐标系与球坐标系
⑴柱坐标:空间点
P
的直角坐标(x,y,z)
与柱坐标
?
x?
?
cos
?
?
(
?
,
?
,z)
的变换关系为:
?
y?< br>?
sin
?
.
?
z?z
?
⑵球坐标系 < br>空间点
P
直角坐标
(x,y,z)
与球坐标
(r,
?
,
?
)
的变
?
x?bcot
?

?
为参数);
?
?
y?acsc
?
?
x?2pt
2
(4)抛物线
y?2px
参数方程
?

(t
为参
?
y?2pt
2
?
x
2
?y< br>2
?z
2
?r
2
?
?
x?rsin
?
cos
?
换关系:
?
.
?
y?rsin
?
sin
?
?
?
z?rcos
?
6、参数方程的 概念
在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标
数,
t?
1
);
tan
?
参数
t
的几何意义:抛物线上除顶点外的任意一点
与原点连线的斜率的倒数.
(6)过定点
P(x
0
,y
0
)
、倾斜角为
?
(
?
?
?
2
)
的 直线
?
x?f(t),
并且对于
t

x,y
都是 某个变数
t
的函数
?
?
y?g(t),
每一个允许值,由这 个方程所确定的点
M(x,y)
都在
这条曲线上,那么这个方程就叫做这条曲线的参数 方
程,联系变数
x,y
的变数
t
叫做参变数,简称参数。
相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方
?
x?x
0
?tcos< br>?
的参数方程
?

t
为参数).
y?y?tsin
?
0
?
8、参数方程与普通方程之间的互化 在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取
值范围。在参数方程与普通方程的互化中,必须使
x,y
的取值范围保持一致.
参数方程化为普通方程的关键是消参数,并且要保证等价性。若不可避免地破坏了同解变形,则一定要


通过
x?f(t),y ?g(t)
。根据t的取值范围导出
x,y

的取值范围.

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