高中数学基础知识完全手册

高中数学基础知识完全手册 (一)
(集合与简易逻辑)

一、内容提要
1.本章主要内容是集合的初步知识与简易逻辑知识，是掌握和使用数学语言的 基础，在学
习函数及其它后续内容时，将得到充分的运用.
2. 集合的初步知识包括集合的有关概念、简章集合的表示及集合同集合之间的关系.
（1）集合的基本概念
①集合的元素
某些指定的对象集在一起就成为一个集合，集 合中的每个对象叫做这个集合的元素.如果
a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a A.
不含任何元素的集合叫做空集，记作 ．
②按集合所含元素的个数分类，集合可分为 .
③集合的元素具有 性、 性、 性.
④集合常用的表示方法： 、 、 .
⑤常见数集：R表示 ；N表示 ；Q表示 ；Z表示 .
（2）集合与集合的关系
①对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B 的元素，就说集合B包含
．．．．
集合A，记作 ，这时也说是集合A是集合B的子集．
对于两个集合A与B，如果A
?
B，且B
?
A，那么A B．
②补集：如果A
?
S，那么A在S中的补集CsA= .
全集：如果一个集合含有要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，< br>全集通常用U表示．
③交集：A
?
B = .并集：A
?
B = .
（3）不等式的解法
①含绝对值的不等式
x(
a>0
)
的解集是 .
x>a
(
a>0
)
的解集是 .
②一元二次不等式
一元二次不等式
ax
2
+bx+c>0(a>0)
的解集如下表．

判别式
2
△=b-4ac
二次函数
y=ax
2
+bx+c

△ > O

Y
△ = O

Y
△ < 0

Y
(
a>0
)的图象
O
X
O
X
O
X

判别式
2
△=b-4ac
一元二次方程
2
△ > O

△ = O △ < 0

有两相异实根
ax+bx+c=0

x
1
,x
2
(x
1
2
)

(
a>0
)的根
2
有两相等实根


没有实根
b

x
1
=x
2
=
－
2a


ax+bx+c>0


(
a>0
)的解集
ax
2
+bx+c<0


(
a>0
)的解集

3.简易逻辑主要介绍逻辑联结词“或”、“且”、“非”，四种命
题及充要条件．
(1)逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词．
简单命题：不含逻辑联结词的命题．
．．．．．
复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题．
(2)一个命题与它的 命题是等价的．
(3)如果已知
p?q
，那么我们说，
p
是
q
的 条件，
q
是
p
的 条件． 如果
已知 ，那么我们说，
p
是
q
的充要条件．
．．．．
二、学习过程中需要注意的问题
(1)集合与集合的元素是两个不定义的概念，教科书中是通过描述给 出的，这与平面几何
中的点与直线的概念类似．但是，应该清楚，集合中的元素具有确定性、互异性．确 定性是指
给定一个集合，一个对象属于不属于这个集合就是明确的，像美丽的花，比较小的数等，都不< br>能组成一个集合．互异性是指在一个集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象只能
算作 这个集合的一个元素．此外，集合中的元素还具有无序性，例如：
｛1，2，3｝=｛3，2，1｝．
(2)容易混淆的符号
①∈与
?
的区别：∈符号是表示元素与集合之间关系的，例如，有1∈N，-1 N等；
?
符
号是表示集合与集合之间关系的，例如，有N
?
R,Z< br>?
R等．
②a与｛a｝的区别：一般地，a表示一个元素，而｛a｝表示只有一个元素 的集合，例如，
有l∈{1，2，3}，0∈{0}，{1}
?
{1，2，3}等，不 能写成0 ={0}，{1}∈{1，2，3}，l
?
{l，
2，3}．
(3)认真读懂本章复习小结中的参考例题.

高中数学基础知识完全手册(二)
(函数)
一、内容提要
这一章主要内容是函数、指数与指数函数、对数与对数函数.
1．以
x
为自 变量的函数
y=
f(x)
是集合A到集合B的一种对应，其中A和B都是非空的
数集，对于A中的每一个
．．．
x
，B中都有唯一确定的
．．．．．
y和它对应.自变量
x
取值的集合A就是函
数
y=
f(x)
的定义域，和
x
对应的y的值就是函数值，函数值的集合C就是函数的值域(C
B).
给定两个集合，如果按照某种对应关系
f
，对于集合A中的 任何一个元素，在集合B中
都有唯一的元素和它对应，这样的对应就是集合A到集合B的 ，表示为
f
：A
?
B．函
数是非空数集到非空数集的 ．
2.设函数
y=
f(x)
(
x
∈A)的值域为 C，根据函数
y=
f(x)
中
x
、y的关系，用y表示出
x
，
得到
x=φ(y)
，如果对于在C中的任何一个值y，通过
x=φ (y)
，在A中都有唯一确定的值
．．．．．．
x
和它对应，那么
x =φ(y)
表示y是自变量，
x
是自变量y的函数，记作
x=f
-1
(y)
.把字母
x
，
y对调以后得到函数
y=f
- 1
(x)
，就是函数
y=
f(x)
的反函数．
-1
若
y=
f(x)
有反函数
y=f
反函数
y=f
-1
(x)
，则
y=
f(x)
是 的反函数．
(x)
的定义域、值域分别是函数
y=
f(x)
的 、 .
-1
函数
y=
f(x)
和它的反函数
y=f(x)
的图象 对称．
3.在定义域
I
内某个区间，如果对于自变量
x
的 任意两个值
x
1
,x
2
,且x
1
2< br>，都有
f(x
1
)2
)
，那么函数
y=
f(x)
在这个区间是 ；如果对于任意的两个值
x
1< br>,x
2
,
且
x
1
2
，都有 ，那么函数
y=
f(x)
在这个区间是减函数；如果函数
y=
f(x )
在这个区间是增函数(或减函数)，就说函数
y=
f(x)
在这个区间具有 (严格
的) ．
4．如果
x
n
=a(n∈N
*
且n>1)
，那么
x
叫做
a
的
n
次方根.在此基础上，我们规定了分
．．．< br>数指数幂的意义：
若
a>0，m，n∈N
*
且n>1
则：
m
n
－
m
n

a=
；
a
b
=
.
如果
a?N(a?0,a?1)
,那么
b
叫做以
a
为底
N
的对数,记作 .
指数式与对数式的关系是

a
b
?N?log
a
N?b(a?0,a?1)
,
两个式子表示的
a,b,N
三个数之间的关系是一样的，并且可以互化．

指数运算性质
a
m
?a
n
=
.
(a
m
)
n
=
.
(ab)
n
=
.
对数运算性质
log
a
(MN)=
.
log
a
M
=
.
N
log
a
M
n
=
.
log
a
a=
.
log
a
1=
.
n?R)

(a?0,b?0,m,
指数运算性质和对数运算性质
5．指数函数和对数函数
指数函数

(M?0,N?0,a?0,a?1)

对数函数

y?log
a
x(a?0,a?1)










Y
y?a
x
(a?0,a?1)



图



象


Y
O
X
O
X

(1)定义域： .

(2)值 域： .

(3)过定点： .
性
即当
x=0
时,
y=1
.

(4)当a>l时，

在R上是 ；
质
当O
在R上是 ．

((4)小问题填增函数或减函数)

(1)定义域： .
(2)值 域： .
(3)过定点： .
即当
x=
1时，
y=
0
(4)当a>1时，
在(0，+∞)上是 ；
当O在(O，+∞)上是 ．
((4)小问题填增函数或减函数)

二、学习过程中需要注意的问题
(1)在构成函数的“定义域”、“值域”以及“定义域到值域的对应关系”这三者中，最
重要的是对应 关系；函数符号
y=f(x)
中，
f
即表示对应关系．这个符号
不< br>表示“y等于
f
与
．
x
的乘积”，
f(x)
也不一定是解析式．

(2)映射的定义涉及两个集合A，B，它们可以是数集 ，也可以是点集或其它的集合；这两
个集合有先后次序，从A到B的影射与从B到A的映射是不同的；在 映射
f:A→B
之下，集
合A中的任何一个元素在B中都有象，并且象是唯一的，否则 ，不能构成映射．例如，设A={0，
．．．．．．．．．．．
1，2}，B={0，1，12 }，对应关系“
f
”是“取倒数”，这时由于集合A中的元素0，在集合
B中无象，所 以集合A、B与对应关系
f
不能构成映射．
(3)函数的单调性反映函数值 变化趋势．有些函数它在整个定义域内是增函数或减函数，
例如函数
y=kx
，当 时,它在定义域内是增函数；当 时,它在定义域内是减函数.
有些函数在定义域内某个区 间上是减函数，而在另一些区间上是增函数．例如函数
y=x
2
在
[O，+∞ )上是 ，在(一∞，0]上是 ．
(4)对于任意一个函数
y=f( x)
来说，不一定有反函数．如果函数
y=f(x)
有反函数
．．．
y=f
-1
(x)
，那么原来函数
y=f(x)
也是其反函数
y=f
-1
(x)
的反函数，即它们互为反函数．
．．
一般地，求函数
y=f(x)
的反函数时，要分两个步骤进行．第一步根据关系
y=f (x)
，用
y
表示出
x
，即把函数
y=f(x)
的 解析式看作方程解出
x
，得到关系式
x=f
-1
(y)
；第 二步将
x
，
y
互换，得到
y=f
-1
(x)
.函数
y=f(x)
与它的反函数
y=f
-1
(x)
在同 一直角坐标系中的图
．．．．．．．
象关于直线 对称．
(5)指数 幂
a
n
当指数扩大到有理数时,要注意底数口的变化范围.如当
n=
0时,底数
a?0
；当
n
为负整数指数时，底数
a
≠0；当
n
为分数时，底数
a
>0．
在掌握指数函数的图象和性质时，要对底数
a
分两种情况讨论，即分为 与 两
种情况．
(6)在对数式
log
a
N?b(a?0,a ?1)
中要注意底数
a
>0，且
a
≠1，真数N >O等条
件，这些条件在解题或变形中常常用到．
对数函数与指数函数互为反函数， 所以它们的定义域和值域正好互换，它们的对应关系是
互逆的．掌握对数函数的性质时，与掌握指数函数 的性质一样，要结合它们的图象理解和记忆．
(7)认真读懂本章复习小结中的参考例题.

高中数学基础知识完全手册(三)
(数列)
一、内容提要
1．本章的主要内容是数列的概念，等差数列、等比数列的通项公式与前
n
项和的公式．
2．按照一定的次序排列的一列数叫做数列．实际上，从函数观点看，对于一个定义域为
*
正整数集N(或它的有限子集{1，2，…，
n
})的函数来说，数列就是这个函 数当自变量从小到
大依次取值时对应的一列函数值．
3．等差数列与等比数列是两种 简单、常用的数列．等差数列的特点是从第二项起任一项
．．．
与其前一项的差相等，等比数列 的特点是从 项起任一项与其 项的 相等．
．．．．
4． 与 是给出一个数列的两种重要方法．
5．等差数列{
a
n
}的通项公式是 .推倒思想是 .
等差数列{
a
n
}的通项公式的一般式是 .(即广义的通项公式)
6.等比数列{
a
n
}的通项公式是 .推倒思想是 .
等比数列{
a
n
}的通项公式的一般式是 .(即广义的通项公式)
7. 等差数列{
a
n
}中,若
m?n? r?s(m,n,r,s?N)
,则
a
m
,a
n
,a
r
,a
s
满足的关系
式是:
.
等比数列{
a
n
}中,若
m?n?r?s(m,n,r, s?N)
,则
a
m
,a
n
,a
r
,as
满足的关系
式是:
.
8．等差数列{
a
n
}的前
n
项和公式是 .或 .
求和思想方法是 .

等比数列{
a
n
}的前
n
项 和公式是
s
n
= 或
s
n
=
.
求和思想方法是 .

9．数列{
a
n
}中,第
n
项
a
n
与前
n
项的和
s
n
之间的关系式是< br>a
n
=
.
10．常用的求和方法有:①倒序相加求和、②错位相减求和、③分组求和、④裂项求和.
写出下列数列对应的求和方法：（填序号）
（I）等差数列 .（II）等比数列 .(III) 数列{
c
n
} .（其中{a
n
}是等差
数列，{
b
n
}等比数列，
c< br>n
=a
n
+b
n
）.（IV）数列{
1
} .（其中{
a
n
}是等差数列）
a
n
?
a
n+1
*
*
二、学习过程中需要注意的问题
(1)注意数列与函数的联系，通过相应的函数及其图象的特征变动地、直观地去认识数列的
性质． < br>(2)等差数列与等比数列在内容上是完全平行的，应将它们对比起来学习，以进一步认识它
们之 间的区别与联系.

(3)等比数列{
a
n
}的前
n
项和公式是一个分段函数,公比为字母时要讨论公比等于
1
和不
等于
1
两种情况.
高中数学基础知识完全手册(四)
(三角函数)
一、内容提要
1．本章的主要内容是任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数的概 念、同角三角函数
间的关系、诱导公式、两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数，以及三角函数的图 象和性
质、已知三角函数值求角等．内容结构如下图所示：


弧长与扇形 同角三角函计算、化简

诱导公式
面积公式
数的关系式 证明恒等式



角度制与 任意角的 三角函数的已知三角函

任意角
弧度制 三角函数 图象与性质 数值求角

的概念


差角公式 和角公式 倍角公式


2．根据生产实际和进一步学习数学的需要，我们引入了任意角的概念， 并学习了角的另
一种单位制——弧度制．在角的概念推广后，无论采用角度制还是弧度制，都能在角的集 合与
实数集R之间建立起一种一 一对应的关系．采用弧度制时，弧长公式十分简单，成为:

l=|α|r

这样的形式(其中
l
为弧长，r为半径，
α
为圆弧所对圆心角的弧度数)，这就使一些与弧长有
关的公式(如扇形面积公式等)也得到了简 化．
1rad=
度.
3．在角的概念推广后，我们定义了任意 角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割这六
种三角函数．它们都是以角为自变量，以比值为函数值的 函数．由于角的集合与实数集之间可
以建立一 一对应关系，三角函数可以看成以实数为自变量的函数．
在六种三角函数中，正弦、余弦、正切函数尤为重要，我们还学了同一个角
α
的正弦、余
弦、正切、余切四种函数的三个基本关系式：
； ； .
它们是进行三角恒等变换的重要基础，在求值、化简三角函数式和证明三角恒等式等问题中要
经 常用到，必须熟记，并能正确运用．
．．．．
有了正弦、余弦的各组诱导公式，就可以把任意 角的三角函数化为锐角三角函数．在各组
诱导公式中，公式二（
π+α
）: ； .
和公式三(-
α
） ； 以及初中学过的一组诱导公
式(
π
-
α
): , 是基本的，由它们可以推出其他各组公式．
2
各组诱导公式如下：

sin(－α)=
；
sin(π－α)=
；
sin(π+α)=
；
π
sin(2π－α)=
；
sin(2π+α)=
；
sin(－α)=
；
2
sin(
π
3
π
3
π
+α)=
；
sin(－α)=
；
sin(+α)=
；
222
cos(－α)=
；
cos(π－α)=
；
cos(π+α)=
；
π
cos(2π－α)=
；
cos(2π+α)=
；
cos(－α)=
；
2
cos(
π
3
π
3
π
+α)=
；
cos(－α)=
；
cos(+α)=
；
222
tan(－α)=
；
tan(π－α)=
；
tan(π+α)=
；
π
tan(2π－α)=
；
tan(2π+α)=
；
tan(－α)=
；
2
tan(
π
3
π
3
π
+α)=
；
tan(－α)=
；
tan(+α)=
；
222
诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限. 是指 .
．．．．．．．．．．．．
其中奇
．
偶是指 . 变是指 .看符号时要将.
．．．．
α
视为锐角
．．．．
4．和角公式、差角公式、倍 角公式主要用于三角函数式的计算、化简与推导，它们在数
学和许多其他学科中都有广泛的应用，要熟练 掌握．主要公式如下．
．．．．
和(差)角公式：

sin(α±β)=
.
tan(α±β)=
.

cos(α±β)=
.
倍角公式：

sin(2α)=
.
tan(2α)=
.

cos(2α)=
= = .
它们的内在联系及其推导线索如下：


SS
（α
－
β）（α+β）


CC
（α－β）（α+β）



TT
（α－β）（α+β）

可以认为，和角公式
S
、C
（α+β）（α+β）
是这些公式的基础．
5．利用正弦线，可以比 较精确地画出正弦函数的图象；利用正弦函数的图象和诱导公式，
可以画出余弦函数的图象．可以看出， 在长度为一个周期的闭区间上，有五个点(即函数值最
大和最小的点以及函数值为O的点)在确定正弦函 数、余弦函数图象的形状时起着关键的作
用．因此，在精确度要求不太高时，可找出这五个点: , , , , .
来画出正弦、余弦函数以及与它们类似的一些函数(特别 是函数
y=Asin(ωx+φ)
)的简图．
S
2
α


C
2
α

T
2
α

正弦、余弦、正切函数的主要性质可以列表归纳如下：
函 数
图


象
定义域
值 域
最 值
周期性
奇偶性





Y
O
X
正弦函数

余弦函数
Y
O
X






正切函数
Y
· ·
π

o
X
在 在

( )上都是增函数 ( )上都是增函数 在
单调性
在 在 上都是 .

( )上都是减函数 ( )上都是减函数
6．函数
y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)
的简图还可 以通过下列两种途径由
y=sinx
的图象
变化而得到：
(1)将
y=sinx
图象上的点沿
x
轴向
(φ>0)
或向
(φ<0)
平移 个单位，得
到函数 的图象，再将横坐标伸长（或缩短）到原来的 倍，到函数 的
图象，最后将纵坐标伸长（或缩短）到原来的 倍，得到
y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)
的
简图.
(2)将
y=sinx
图象上点的横坐标伸长（或缩短）到原来的 倍，到函数 的
图象，再沿
x
轴向
(φ>0)
或向
(φ<0)
平移 个单位，得到函数 的
图象，最后将纵坐标伸长（或缩短）到原来的 倍，得到
y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)
的
简图.
二、学习过程中需要注意的问题
(1)正弦函数、余弦函数和正切函数都是周期函数， 其中正弦、余弦函数的周期是2
π
，正
切、余切函数的周期是
π
.我 们画正弦、正切函数的图象时，就利用了它们的周期性．在几何
画图中，运用了将图形平行移动的方法， 例如由诱导公式和正弦函数的图象，可以通过平行移
动的方法，得出余弦函数的简图．
在本章中，还根据画图的需要，将已知图形上点的横、纵坐标进行伸长或缩短，例如，由
正弦函数的图象 ，可以通过平行移动，将图象上点的横、纵坐标进行伸长或缩短等方法，得出
函数
y=Asin (ωx+φ)(A>0,ω>0)
的简图．
(2)在本章中，我们大量运用了化归思 想，这是一种重要的数学思想．我们用过的化归包
．．．．
括以下几个方面：
一一把未知化归为已知．例如用诱导公式把求任意角的三角函数值逐步化归为求锐角三角
函数值．
——把特殊化归为一般．例如把正弦函数
y=sinx
的图象逐步化归为函数
y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)
简图，把已知三角函数值求角化归为求[0，2
π
]上适合条件的
角的集合等．

——等价化归．例如进行三角函数式的化简、恒等变形和证明三角恒等式．
高中数学基础知识完全手册(五)
(平面向量)
一、内容提要


1.本章主要内容有向量的概念、运算及其坐标表示，线段的定比分点，平移，正弦定理、
余 弦定理及其在解斜三角形中的应用．
2．向量运算
(1)加法运算
加法法则 如图：

a+b

a－b

b


b


a


a

三角形法则 平行四边形法则
运算性质：
a

0 = 0 +
c
= . +
a
= . = . ( )+
a+b

a+b

坐标运算：
a

x
1
,y
1
)， =(
b

x
1
,
y
2
),则 = .
a+b

设 =(
(2)减法运算
a－b

减法法则(如图)：
a

坐标运算：
b


x
1
,y
1
)，

设，
a
=(
b
=(
x
2
,
y
2
)，则
= .
a－b


设A、B两点的坐标分别为(
x
1
，
y
1
)，(< br>x
2
，
y
2
)，则AB = .
(3)实数与向量的积
定义：
λ
a
，其中
λ
>0时，
λ
a
与
a
， |
λ
a
|= .
当中
λ
<0时，
λ
a
与
a
， |
λ
a
|= .
0
a
= 0．
运算律
a+b


λ
(
μ
a
)= ,(
λ
+
μ
)
a
= ,
λ
( )= .
坐标运算：
设
a
=(
x,y
),则:
λ
a
=
λ
(
x,y
)= .
(4)平面向量的数量积
定义：
a
·
b=|
a
||
b
|cos
θ
且(
a
≠O ，
b
≠0，0≤
θ≤
π
)．O·
a
= .
cos<
a
,
b
>= .
运算律：
a+b


a
·
b
= .(
λ
a
)·
b
= = .( )·
c
= .
坐标运算：
设，
a
=(
x
1
,y
1
)，< br>b
=(
x
2
,
y
2
)，则
a
·
b
= .
3．重要定理、公式

(1)平面向量基本定理
如果
e
1
和
e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量
a
，有且只有
一对实数
λ
1
、
λ
2
，使
a
= .
(2)两个向量平行的充要条件： 当
b
≠0时，
a
∥
b
?
．
设
a
=(
x
1
,y
1
)，
b
=(
x
2
,
y
2
)，则
a∥
b
?
．
(3)两个非零向量垂直的充要条件：
a
⊥
b
?
．
设
a
=(
x
1
,y
1
)，
b
=(
x
2
,
y
2
)，则
a⊥
b
?
．
(4)线段的定比分点坐标公式
设
p(x,y)
，
p
1< br>(x
1
,y
1
)
，
p
2
(x
2
,y
2
)
，且
p
1
p=λpp
2，则
.

中点坐标公式
.
(5)平移公式
??
,y
?
)
，则 如果点
p(x,y)
，按向量
a=(h,k)
，平移至
p(x
.

(6)正弦定理、余弦定理
正弦定理 =2R.
余弦定理 . . .
二、学习过程中需要注意的问题
(1)这一章里，我们学习的向量具有大小和方向两个要素．用 有向线段表示向量时，与有
向线段起点的位置没有关系，同向且等长的有向线段都表示同一向量．
(2)共线向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础．
(3)向量的数量积是一个 ．当两个向量的夹角是锐角时，它们的数量积 O；当两
个向量的夹角是钝角时，它们的数量积 0；当两个向量的夹角是90度时，它们的数量积
等于 ．零向量与任何向量的数量积等于 ．
(4)通过向量的数量积，可以计算向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角、
判断相应的两条直线是否垂直．
(5)数量积不满足结合律，这是因为
a
·
b
与
b
·
a
的结果都是数量，所以(
a
·
b
)·
c
与
a
·(
b
·
c
)都没有意义，当然就不可能相等.
请同学们务必要重视基础知识和基本思想方法的复
．． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
习巩固与整理
！
将各章知识条理化、系统 化，建构自己
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
的知识网络
！
．．．．．．

高中数学基础知识完全手册(六)
(不等式)

一、内容提要
1．本章的主要内容是不等式的性质和不等式的证明.
2．不等式的主要性质有：
(1)a>b
?
.
(2)a>b，b>c
?
．
(3)a>b
?
a+c b+c．
(4)a>b，c>O
?
；a>b，c?
.
a>b>0，c>d>O．
?
.
(5)a>b>O
?
n
a

n
b
(n∈N，且n>1)．
(6)|a|—|b| |a+b| |a|+|b|.
这些性质是推导不等式其他性质的基础，也是证明不等式的依据.
3．证明不等式的主要依据有：
(1)a一b>O
?
.
a一b<0
?
．
(2)不等式的性质．
(3)几个重要的不等式：
2
a≥O(a∈R)．
22
a+b≥ . (a，b∈R)．
两个正数的算术平均数 它的几何平均数．符号语言表术为 .
其中等号成立的条件是 .
(4)证明不等式的方法有多种，本章只要求掌握用比较法、分析法和综合法证明简单的不
等式．
4．本章还介绍了一些简单的不等式的解法．
(1)二次不等式、高次不等式常用的求解方法是 .
(2)分式不等式、指对不等式求解方法都是根据 原理,将其化为一次和二
次不等式(或不等式组)来求解.
(3)含绝对值的不等式的求解方法是 或 .
二、学习要求和需要注意的问题
2．学习过程中需要注意的问题
(1)学习本章内容时，应注意联系以前学过的一元一次不等式、一元二次不等式、方程、函数等内容，以便对不等式知识有较完整的认识．
(2)本章对于证明不等式讲了三种方法，即比较法、综合法和分析法．
在证明不等式的各种 方法中，比较法是一种
最基本、最重要
的方法，它是利用不等式
．．．．．．．
两边的差是正数或负数来证明不等式，其应用非常广泛，一定要熟练掌握．
分析法是
执果索因
，即从结论开始，一步步寻求上一步成立的
充分条件
，直至得出一
．．．．．．．．
个
真命题
为止．
．．．
综合法是
由因导果
，即从已知条件或已知的真命题出发一步步推出结论成立．
．．．．

我们常用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证 明过程．这是解决数学问
题的一种
重要思想方法
．
．．．．．．
(3)对于公式a+b≥2ab和
22
a+b
≥
ab
，应注意以下两 点．
2
一是它们成立的条件不同．前者只要求a，b都是实数，而后者要求a，b都是正数．
二是它们都带有等号，因此，对两个定理中“当且仅当 时取‘=’号”这句话的含
义要搞清楚．
22
当a=b时，a+b≥2ab取等号，其含义是:
22
a=b=> a+b=2ab；
2
仅当a=b时，a+b2≥2ab取等号，其含义是:
22
a+b=2ab =>a=b ．
综合起来，其含义就是:
22
a=b <=> a+b=2ab，
22
即a=b是a+b=2ab的充要条件．



请同学们务必要重视基础知识和基本思想方法的
．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．．
复习巩固与整理
！
将各章知识条理化、系统化，建构自
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
己的知识网络
！

．．．．．．．

高中数学基础知识完全手册(七)
( 直线和圆的方程)
一、内容提要
本章主要内容包括直线和圆的方程、曲线与方程的概念、用二元一次不等式 表示平面区域以
及简单的线性规划问题．
1．直线的斜率是平面直角坐标系中表示直线位置的重要特征数值，
在 、 、 和确定 等问题中起着关键作用．
斜率的定义式是 . 斜率的坐标计算公式是 .
若两直线
l1
,l
2
的斜率存在，则
l
1
??
l
2
的充要条件是 .
l
1
?
l
2
的充要条件是 .
直线
l
1
,l
2
的斜率存在为
k
1< br>、
k
2
,则
l
1
与l
2
的夹角θ
的正切为 .
2．本章介绍了直线方程的 、 、 、 四种特殊形式；
也研究了直线方程的一般式，这就是二元一次方程．在平面直角坐标系中，每一个二元一 次方
程都表示一条直线；反过来，表示一条直线的方程都可以写成二元一次方程．在直线方程的五
种形式中， 和 是结论中常用的两种形式.
直线方程的五种形式用数学符号语言表述为：
、 、 、 、 .
若直线
l
与直线Ax+By+C=0平行，则直线
l
的方程可表示为 .
若直线
l
与直线Ax+By+C=0垂直，则直线
l
的方程可表示为 .
点P(x
0
,y
0
)到Ax+By+C=0的距离d= .
3．在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax+By+C>0表示在直线Ax+By+C =0的某一侧的
平面区域．常用的判断方法是将 的坐标代入不等式Ax+By+C>0 ，若Ax+By+C>0成立则
表示该点所在一侧的平面区域；若Ax+By+C>0不成立，则表示该 点所在区域另一侧的平面区域.
简单的线性规划讨论在二元一次不等式等线性约束条件下，求线性目标 函数z=ax+by的最
大值或最小值的问题．一些实际问题可以借助这种方法加以解决．
求解简单的线性规划问题的基本步骤是：
① ，② ，③ ，并下结论
4．曲线和方程的关系，反映了现实世界空间形式
和
数量关系
之间的某种联系．我们把
．．．．．．．．
曲线看作适合某种条件P的点M的集合:
P={M|P(M)}．
在建立坐标系后 ，点集P中任一个元素M都有一个有序实数对(x，y)和它对应，(x，y)是某个
二元方程f(z， y)=0的解，也就是说，它是解集:
Q={(x，y)|f(x，y)=0)
中的一个元素．反过来，对于解集Q中任一元素(x， y)，都有一点M与它对应，且点M是点集
P中的一个元素．P和Q的这种对应关系就是曲线和方程的关 系．
5．本章介绍了圆的标准方程、一般方程和参数方程．圆心为(a，b)、半径为r的圆的标
准方程为:
.

参数方程为: ( )
.

圆的一般方程为： (其中 )
圆的一般方程是关于x、y的二元二次方程，但并非所有的 二元二次方程都表示圆，一般
22
的二元二次方程Ax+Bxy+Cy+Dx+Ey+f=0表 示圆的出充要条件是：

.
.
.
圆的标准方程明确地指出了圆心和半径；圆的一般方程突出了方程形式上的特点，它
没．
22
．．
有xy项
，并且
x、y
；
．．． ．．．．
项的系数相等
．．．．．．
圆的参数方程则直接指出了圆上点的横、纵坐标x 、y的特点．
6.直线与圆的位置关系分有 、 、 三种.
判断直线与圆的位置关系的常用方法有两种：
一种是通过 来判断.
另一种是通过 来判断
7. 圆与圆的位置关系有 、 、 、 、 五种.
常用 来判断圆与圆的位置关系.
8. 直线
y=kx+b
的方向向量是 .
9. 解析几何的基本思想方法是 、 .
二、学习过程中需要注意的问题
(1)在本章学习中，除要掌握直线和 圆的方程的基础知识外，还要对所介绍的独特的数学
方法——坐标法引起重视．我们是在平面直角坐标系 中研究直线和圆的有关问题的．例如，在
研究了直线方程的各种形式之后，还研究了两条直线平行与垂直 的条件、两条直线的夹角、交
点以及点到直线的距离等有关直线的基本问题．要注意学习如何借助于坐标 系，用代数方法来
研究几何问题，体会这种方法所体现的
数形结合思想
．
．．．．．．
(2)直线和圆是基本的几何图形，在初中几何里已经学习了一些有关知 识，要注意在本章
学习中综合已有知识；此外，还要注意综合运用三角函数、平面向量等与本章内容关系 比较密
切的知识．在处理有关直线的许多问题中，向量是一种重要而有效的工具．
( 3)曲线方程是解析几何的重要概念，我们学习的曲线方程有两类．一类是普通方程，它
直接给出了曲线上点的纵、横坐标之间的关系
；另一类是
参数方程
，它通过
参数建立
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
曲线上点的纵、横坐标之间的关系．要 根据实际问题确定选择哪一种形式的曲线方程有利于问
题的解决．在求曲线方程时，若不容易直接求得普 通方程，可考虑选择合适的参数，先求出曲
线的一种参数方程，然后消去参数求得普通方程.

请同学们务必要重视基础知识和基本思想方法的
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
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．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．．．．．．
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．．．．．．．

高中数学基础知识完全手册(八)
( 圆锥曲线)
一、内容提要
这一章的主要内容包括椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程，简单 几何性质，以及它
们在实际中的一些应用．
1．椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某 些条件的点的轨迹，由这些条件可以求出它们的
标准方程，并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性 质．
三种曲线的标准方程(各取其中一种)和图形、性质如下表：

几何条件

标准方程
(焦点在x轴上)

图 形
Y
O
X

Y
O
X



Y
O
X


椭 圆
与两个定点的距
离的和等于常数
双 曲 线
与两个定点的距离的差
的绝对值等于常数




X


Y
O
X
抛 物 线
与一个定点和一条
定直线的距离相等
Y
O
Y
O
X

标准方程
(焦点在y轴上)

图 形
顶点
焦点在x轴时
坐标
焦点在y轴时

对 称 轴
轴，长轴长 ； 轴，实轴长 ；
焦点在x轴时, 轴.
轴，短轴长 . 轴，虚轴长 .
焦点在y轴时, 轴.












焦点 焦点在x轴时
坐标
焦点在y轴时
离心率
e=
.


准线
焦点在x轴时
方程
焦点在y轴时
渐近线方程

2．椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线，它们的统一性如下：
(1)从方程的形式看：在直 角坐标系中，这几种曲线的方程都是
二元二次
的，所以它们
．．．．
属于二次曲线
．
．．．．
(2)从点的集合(或轨迹)的观点看：它们都是与
定点
和
定直线
距离的比是常数e的点的
．．．．．

集合(或轨迹)，这个
定点是
它们的
焦点
，
定直线是
它们的
准线
．只是由于离心率e取值范
．．．．．．．．．．．
围的不同.即当 时,轨迹是椭圆, 当 时轨迹是双曲线, 当 时轨迹是
和抛物线.
(3)这三种曲线都可以通过平面截圆锥面而得到,因此都称为圆锥曲线．
3.
坐标 法是
研究曲线的一种
重要方法
．本章在第七章的基础上进一步学习了
求曲线方
．．．．．．．．．．．．
程的一般方法
，如何
利用曲线的方程讨论曲线的几 何性质
，以及用
坐标法证明简单
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．
的几何问题
等．
．．．．．
求曲线方程的一般步骤简记: 、 、 .几个步骤，
在具体求解时常常省略证明，但要注明限制条件.
4.椭圆、双曲线、抛物线是 常见的曲线，利用它们的方程及几何性质，可以帮助我们解决
一些简单的实际问题．本章通过例题，给出 了解决某些实际问题的一般方法．
5.圆锥曲线的光学性质
(1) 椭圆的光学性质: 从椭圆的一个焦点发出的光线，
经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上(如图)
(2) 双曲线的光学性质: 从双曲线的一个焦点发出的
光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开的，它们就好
像是从另一个焦点射出的一样. 即反射光线的反向延长线
经过另一个焦点.
(3) 抛物线的光学性质: 从抛物线的焦点发出的光线,
经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线对称轴.
在宇宙间运动的天体，如行星、彗星、人造卫星等,由
于运动速度的不同，它们的轨道有的是椭圆,有的是抛物线，
有的是双曲线.
二、学习过程中需要注意的问题
(1)这一章里导出了几种不同形式的椭圆、双曲线 、抛物线的方程，其中最重要的是它们
的标准方程,由这三种方程可以演变出其余的方程．学习时要抓住
双基
，熟悉并掌握这三种方
．．
程．
(2)在工作和学习 过程中，有时需要画出椭圆、双曲线、抛物线的图形．教科书中重点介
绍了如何利用这些曲线的几何性质 描点画图的方法．除此之外，还可以利用模板(如图)直接描
绘出各种曲线，或根据椭圆、双曲线、抛物 线标准方程基本量的几何意义画出它们的草图．画
图时，要根据实际需要选择工具和方法．





(3)学习本章的目的，不仅是为了掌握圆锥曲线 的定义和性质，还要通过对椭圆、双曲线、
抛物线的研究，进一步学习如何用代数方法(坐标法)研究几 何问题，即要掌握坐标法．要学习
一些常见的求曲线方程的方法，以及如何利用曲线的方程讨论曲线的几 何性质等．
(4)圆锥曲线是符合某种条件的点的轨迹，它可以看作是平面内的点按一定规律 运动形成

的，因此本章处处充满着
运动变化的思想
.学习这一章，要注 意学习如何利用运动变化的观
．．．．．．．
点思考问题，如何利用数学研究运动变化着的现实 世界，以提高分析问题和解决问题的能力．
(5)本章研究几何图形时，大量采用了
坐标法
，利用曲线的方程讨论曲线的性质，解决几
．．．
何问题．由于几何研究的对象 是图形，而图形的直观性会帮助我们发现问题，启发我们的思路，
找到解决问题的有效方法，所以在解本 章的题目时，
最好先画出草图
，注意观察、分析图
．．．．．．．
形的特征， 将
形与数结合起来
．
．．．．．．．
(6)圆锥曲线在生产和日常 生活中有许多重要的应用．为了解与椭圆、双曲线、抛物线有
关的实际问题，首先要把实际问题转化为数 学问题．要注意教科书中分析有关例题时，是如何
对实际问题进行数学抽象，如何通过选择适当的坐标系 使问题变得简单的．

高中数学基础知识完全手册(九)
( 立体几何)

一、内容提要
本章内容主要有五部分：(1)平面的基本性质；(2)空间的平行与垂直关系；(3)空间向量； (4)空间的基本度量(距离与夹角)；(5)常见多面体，柱、锥的性质，球的性质及表面积与体积的
度 量．
本章首先介绍平面的基本性质即三条公理，然后以这三个基本性质为基础推出直线和直< br>线，直线和平面，平面和平面平行的判定与性质，直线和平面垂直的判定与性质．在此基础上，
把 平面向量推广到空间向量，用向量作为工具学习空间的垂直、距离与夹角的度量．最后学习
常见多面体和 球的性质．
1.平面的基本性质
公理1: 如果一条直线的 在一个平面内，那么这条直线上的
所有点都
在这个平面
．．．．
内．符号语言 表述为: .
公理2: 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点．这些公共点的集合是．
.
公理3: 经过不在一条直线上的三点 一个平面．
推论: 一条直线和直线 一点，两条 直线，两条 直线都可分别确定一个平面．
2.平行
(1)直线平行关系的传递性．平行于同一条直线的两条直线平行(公理4)．
符号语言表述为: 图形语言表述为:

=> ；
.
(2)直线和平面平行的判定定理和性质定理
判定定理:如果 一条直线和 一条直线平行，那么这条直线和这
个平面平行．
符号语言表述为: 图形语言表述为:

=> ；
.
性质定理: 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这
条直线和 平行．
符号语言表述为: 图形语言表述为:

=> ；
.
(3)平面和平面平行判定定理和性质定理
判定定理: 如果一个平面内的两条 直线平行于另一平面，那么这两个平面平行.
符号语言表述为: 图形语言表述为:

=> ；

推论: 如果一个平面内有两条 直线平行于另一平面内的两条直线, 那么这两个平面
平行.
符号语言表述为: 图形语言表述为:

=> ；
.
性质定理: 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线 ．
符号语言表述为: 图形语言表述为:

=> ；
.
3.夹角、距离与垂直
(1)两条异面直线的夹角:过空间任一点作两条直线分别和两条异面直线平行，这两条直线
所成的 或 就是两条异面直线的夹角．夹角为 时，称两条直线互相垂直．
两条异面直线平移，夹角 ．
(2)直线和平面垂直判定定理和性质定理
判定定理: 如果一条直线和一个平面内的两条 直线都垂直, 那么这条直线和这个平
面垂直．
符号语言表述为: 图形语言表述为:

=> ；

性质定理: 垂直于同一平面的 平行，垂直于同一条直线的 平行．
符号语言表述为:

=> ； =>

(3)三垂线定理和逆定理
三垂线定理: 在平面内一条直线,如果和平面的 垂直,那
么它也和 垂直.
符号语言表述为: 图形语言表述为:

=> ；

三垂线定理的逆定理: 在平面内一条直线,如果和平面的 垂直, 那
么它也和 垂直.
符号语言表述为: 图形语言表述为:

=> ；

(4)直线和平面的夹角是直线和其在平面内的 的夹角．

(5)二面角的度数等于二面角的 的度数．
(6)平面和平面垂直判定定理和性质定理
两个平面垂直的定义：两个平面所成的二面角是 度时,称两个平面互相垂直.
两个平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的 ,那么两个平面互
相垂直.
符号语言表述为: 图形语言表述为:

=> ；

两个平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直, 那么在一个平面内
的直线垂直于另一个平面.
符号语言表述为: 图形语言表述为:

=> ；


(7)距离:本章主要介绍了点到平面，直线和平面，平面和平面，两条异面直线的距离．求
距离主要运用
向量的数量积运算、正弦定理和余弦定理
(勾股定理)．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．
4.空间向量
(1)向量加法与数乘向量的基本性质．
（加法交换律）； （加法结合律）； (数乘分配律).
(2)向量数量积的性质
?
?
??
a
?
b
= ,
a?a
= ,
a?b
? .
?
?
?
?
(3)空间向量基本定理:给定空间一个基底{
a
，
b
，
c
}，对空间任一向量
p
，存在唯一的
?
??
?
有序实数组(x，y，z)，使
p
= ．(x，．y，z)叫做向量
p
在基底{
a
，
b
，
?
c
}上的坐标．
(4)推论:设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P, 存在唯一的有序实数组x，
y，z，使 .当 时，A、B、C、P四点共面.

5.多面体与球
名
称
棱 柱
直棱柱
正棱柱
平行六
面体
性 质
(1)侧面和经过不相邻的两条侧棱的截面是 ；
(2)两底面平行，并且平行于底面的截面与底面是 的多边形．
侧棱 底面，各侧面是 形．
底面是 形的直棱柱．
底面和侧面都是 形，是中心对称图形．

长方体
正方体
正多面
体

棱 锥

正棱锥
底面和侧面都是 形，对角线相等．
相等，各面都是 形．
各面是 的正多边形，正多面体只有 种．
(1)底面是多边形，各侧面是 的三角形；
(2)平行于底面的截面与底面 ，它们的面积的比等于顶点到截面的
距离与棱锥高的 比．
(1)底面是 形，顶点在底面内的射影是底面的 ；
(2)各侧棱相等，侧面是全等的 形．
(1)截面是 ,过球心的截面是 ；
(2)球心和不是大圆的截面的圆心的连线 截面；
(3)球面积S= ，球体积V= ．
球
2．学习过程中需要注意的问题
(1)要注意把自己对图形的直观认识上升到理性认识．这一章，我们学习几何的主要方法< br>是
逻辑推理
的方法，
正确地掌握概念是
我们进行综合推理与运算的基础
．例如对于平面，
．．．．．．．．．．．．．．
在直观上我们很容易区分物 体的表面是平的还是弯曲的，这是因为通过生活实践，我们已经掌
握了平面的直观特征，但掌握平面的直 观特征只是我们学习空间图形性质的起点，我们还
必
．
须通过平面的三条基本性质来认 识平面
，并掌握平面的概念和平面的向量表示式，这样
．．．．．．．．．．．．．．．．．< br>才能运用平面的基本性质和平面的向量表示式进行推理．
(2)注意平面图形的性质与 空间图形的性质之间的联系和区别．本章实质上是把平面几何
中学过的垂直、平行、勾股定理等性质推广 到空间并转化为向量表示式．学习时，首先要复习
平面图形和平面向量的性质，然后再思考如何把平面图 形和平面向量的性质推广到空间．
(3)
几何研究的一种重要思路是代数化
．本章我 们重点学习了空间向量，把空间图形
．．．．．．．．．．．．．．．
的性质代数化，用运算推 理来学习几何．要把学习的重点放在用向量代数的方法解决几何问题
上．要注意培养自己利用向量的代数 运算进行推理的能力．

高中数学基础知识完全手册(十)
( 排列、组合和概率)
一、内容提要
(1)本章的主要内容是排列、组合、二项式定理和随机事件的概率.
(2)分类计数原理与 是关于计数的两个基本原理．它们不仅是推 倒排列
数公式和组合数公式的基础，而且其应用贯穿于本章始终.两者的区别在于, 分类计数原理与
分类有关，分步计计数原理与分步有关.
(3)排列与组合主要研究从一些不 同元素中，任取部分或全部元进行排列或组合,求共有多
少种方法的问题．区别排列问题与组合问题要看 是否与顺序有关. 与顺序有关的属于排列问
题，与顺序无关的属于组合问题.
(4)排列与组合的主要公式有:
m
(a)排列数公式:
A
n
= ( ).
= ( ).
n

A
n
= ( ).
m
(b) 组合数公式:
C
n
= ( ).
(c)组合数性质 : （剩余原理）
（分类原理）
(5)表示二项式的幂展开的二项式定理是
n
(a+b)= .
m其中各系数就是组合数
C
n
，它叫做第r+1项的
二项式
系数； 展开式共有n+1项, 其中第r+1
．．．
项,记做
T
r+1
= .
(6)实际生活中所遇到的事件包括必然事件、不可能事件和随机事件．随机事件在现实世
界中是广泛存在的．在一次试验中，事件是否发生虽然带有偶然性，但在大量重复试验下，它
的 发生呈现出一定的规律性，即事件发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动,这个常
数就叫做这一 事件的概率
(7)在概率的计算中，通常将一个事件的频率的稳定值近似地作为它的概率． 但对于某些
事件，也可以直接通过分析来计算其概率．如果一次试验中共有n种等可能出现的结果，其中
事件A包含的结果有m 种，那么事件A的概率P(A)是 ．从集合的角度看，一次试验 中
等可能出现的所有结果组成一个集合I，其中事件A包含的结果组成I的一个子集A，因此事
件A的概率 P(A)= ．
(8) 的两个事件叫做互斥事件．当A，B是互斥事件时，
P(A+B)= ．
其中 两个互斥事件叫做对立事件． 当A，B是对立事件时，
P(B)+P(A)= ．
如果一个事件是否发生对另一个事件发生的概率 影响，那么这两个事件叫做相互独
立事件．当A，B是相互独立事件时，
P(A·B)= ．

(9)如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k
次的概率

P
n
?
k
?
= .
n
实际上，它就是二项展开式[(1一P)+P]，的第(k+1)项．
二、学习过成中需要注意的问题
(1)对于一些容易混淆的概念，如排列与排列数、组合与组 合数、排列与组合、二项式系
数与二项展开式中每项的系数、互斥事件与对立事件等，应注意弄清它们之 间的联系与区别．
(2)对于本章的一些公式，要注意运用它们的前提条件．例如，只有对于 等可能性事件A
来说，才能运用公式P(A)=mn；只有对于互斥事件A与B来说，才能运用公式P( A+B)=P(A)+
P(B)；只有对于相互独立事件A与B来说，才能运用公式P(A·B)=P(A)·P(B)等等．
(3)注意体会解决本章应用题的思考方法．正向思考时要善于将稍复杂的问题进行分解，解决有些问题时还要学会运用逆向思考的方法．
作业题:
l.从4名男同学和6名女同学中选出7人排成一排．
(1)如果要选出3名男同学和4名女同学，共有多少种排法?
(2)如果选出的7人中，4名女同学必须排在一起，共有多少种排法?
(3)如果选出的7人中，3名男同学必须站在中间，共有多少种排法?
2.甲、乙两人独立地解同一 问题，甲解决这个问题的概率是P
1
，乙解决这个问题的概率
是P
2
，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是多少?
3.将并排的5个房间安排给5个工作人员临时休 息．假定每个人可以进入任一房间，且进
入各个房间是等可能的，求每个房间恰好进去1人的概率．