高中数学知识点总结 第二章函数

高中数学第二章-函数
考试内容：
映射、函数、函数的单调性、奇偶性．
反函数．互为反函数的函数图像间的关系．
指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数．
对数．对数的运算性质．对数函数．
函数的应用．
考试要求：
（1）了解映射的概念，理解函数的概念．
（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法．
（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数．
（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像 和
性质．
（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．
（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．

§02.
一、本章知识网络结构：

定义
F:A
?
B
反函数
映射
函数
具体函数
一般研究
图像
性质
二次函数
指数
指数函数
对数
对数函数
函数 知识要点





二、知识回顾：
（一） 映射与函数
1. 映射与一一映射
2.函数
函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域 和对应法则是起决定作用的要素，因
为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法 则二者完全相同的函数
才是同一函数.
3.反函数
反函数的定义
设函数
y?f(x)(x?A)
的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表
示出，得到x=
?
(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过 x=
?
(y)，x在A中都有唯一

的值和它对应，那么，x=
?
(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=
?
(y)
(y
?
C)叫做函数
y?f(x)(x?A)
的反函数，记作
x? f
?1
(y)
,习惯上改写成
y?f
?1
(x)

（二）函数的性质
⒈函数的单调性
定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间 上的任意两个自变量的值x
1
,x
2,

⑴若当x
1
2
时，都有f(x
1
)2
),则说f(x) 在这个区间上是增函数；
⑵若当x
1
2
时，都有f(x
1
)>f(x
2
),则说f(x) 在这个区间上是减函数.
若函数y= f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格
的）单调性，这 一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.
2.函数的奇偶性
⑴偶函数：
f(?x)?f(x)

设（
a,b
）为偶函数上一点，则（
?a,b
）也是图象上一点.
偶函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于
y
轴对称，例如：< br>y?x
2
?1
在
[1,?1)
上不是偶函数.
②满 足
f(?x)?f(x)
，或
f(?x)?f(x)?0
，若
f(x )?0
时，
⑵奇函数：
f(?x)??f(x)

设（
a,b
）为奇函数上一点，则（
?a,?b
）也是图象上一点.
奇函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于原点对称，例如：
y?x3
在
[1,?1)
上不是奇函数.
②满足
f(?x)??f( x)
，或
f(?x)?f(x)?0
，若
f(x)?0
时，
y轴对称
3. 对称变换：①y = f（x）
??

???y?f（?x）
f(x)
?1
.
f(?x)
f(x)
??1
.
f(?x)
x轴对称
②y =f（x）
??

???y??f（x）
③y =f（x）
?
原点对称

????y??f（?x）
4. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：
(x
1
?x
2
)

f(x)?f(x)?x
2
?b
2
?x
2
?b
2
?
（x
1
?x
2
）
1212
22

x
x
?b
2
?x
1
?b
2
在进行讨论.
5. 外层函数的定义域是内层函数的值域.
例如：已知函数f（x）= 1+
x
的定义域 为A，函数f[f（x）]的定义域是B，则集合A与
1?x
集合B之间的关系是 .

解：
f(x)
的值域是
f(f(x))
的定义 域
B
，
f(x)
的值域
?R
，故
B?R
， 而A
?
?
x|x?1
?
，故
B?A
.
6. 常用变换：
①
f(x?y)?f(x)f(y)?f(x?y)?
证 ：
f(x?y)?
x
y
f(x)
.
f(y)
f( y)
?f(x)?f[(x?y)?y]?f(x?y)f(y)

f(x)
②
f()?f(x)?f(y)?f(x?y)?f(x)?f(y)

证：
f(x)?f(?y)?f()?f(y)

7. ⑴熟悉常用函数图象：
?
1
?
例：
y?2
→
|x |
关于
y
轴对称.
y?
??
?
2
?
|x|
▲
▲
x
y
x
y|x?2|
?
1
??
1
?
→
y?
??
→
y?
??
?
2
??
2
?
▲|x||x?2|

y
y
y
(0,1)
x
(- 2,1)
x
x

y?|2x?2x?1|
→
|y|
关于
x
轴对称.
2

▲

y

⑵熟悉分式图象：
2x?17
例：
y?

?
定义 域
{x|x?3,x?R}
，
?2?
x?3x?3
值域
{y |y?2,y?R}
→值域
?
x
前的系数之比.
（三）指数函数与对数函数


x
▲
y
2
x
3
x
y?a(a?0且a?1)
的图象和性质 指数函数


图

象
a>1
4.5
4
04.5
4
3.5
3.53
3
2.5
2.5
2
2
1.5
1.5
1
y=1
1
0.5
y=1
0.5
-4-3-2-11234
-4-3-2-11234
-0.5
-0.5
-1
-1


性
质
(1)定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1
(4)x>0时，y>1;x<0时，0（5）在 R上是增函数
(4)x>0时，01.
（5）在R上是减函数

对数函数y=log
a
x的图象和性质:
对数运算：
log
a
(M?N)?log
a
M?log< br>a
N
(1)
log
a
M
?log
a
M?log
a
N
N
n
N
log
a
M
n
?nlog
a
?
?M
?
12)
log
a
a
log
a
1
M?log
a
M
n
?N

log
b
N
换底公式：log
a
N?log
b
a
推论：log
a
b?log
b
c? log
c
a?1
?log
a
1
a
2
?lo g
a
2
a
3
?...?log
a
n?1
a
n
?log
a
1
a
n
（以上
M?0,N? 0,a

















?0,a?1 ,b?0,b?1,c?0,c?1,a
1
,a
2
...a
n
?0且?1
）

a>1 0y
y=log
a
x
a>1
图
O
x
象
x=1
a<1

（1）定义域：（0，+∞）
（2）值域：R
（3）过点（1，0），即当x=1时，y=0
性
（4）
质
x?(0,1)
时
y?0

x?(0,1)
时
y?0

x?(1,??)
y>0
时
x?(1,??)
时
y?0

（5）在（0，+∞）上是增函数



在（0，+∞）上是减函数
注⑴：当
a,b?0< br>时，
log(a?b)?log(?a)?log(?b)
.
⑵：当
M?0
时，取“+”，当
n
是偶数时且
M?0
时，
M
n
?0
，而
M?0
，故取“—”.
2
例如：
l og
a
x
?
2log
a
x
?
(2log< br>a
x
中x＞0而
log
a
x
2
中x∈R）.
⑵
y?a
x
（
a?0,a?1
）与
y?loga
x
互为反函数.
当
a?1
时，
y?log
a
x
的
a
值越大，越靠近
x
轴；当
0?a?1时，则相反.

（四）方法总结
⑴.相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同.
⑴对数运算：
loga
(M?N)?log
a
M?log
a
N
(1)
log
a
M
?log
a
M?log
a
N
N
1
log
a
M
n

log
a
M
n
?nlog
a
?
?M
?
12)
log< br>a
n
M?
a
log
a
N
?N
log
b
N
log
b
a
换底公式：log
a
N?
推论：log
a
b?log
b
c?log
c
a?1
?log
a
1
a
2
?log
a
2
a
3
?...?log
a
n?1
a
n
?loga
1
a
n
（以上
M?0,N?0,a?0,a?1,b?0,b ?1,c?0,c?1,a
1
,a
2
...a
n
?0且?1
）

注⑴：当
a,b?0
时，
log(a?b)?log (?a)?log(?b)
.
⑵：当
M?0
时，取“+”，当
n< br>是偶数时且
M?0
时，
M
n
?0
，而
M?0
，故取“—”.
例如：
log
a
x
2
?
2log
a
x
?
(2log
a
x
中x＞0而
log
a
x
2
中x∈R）.
⑵
y?a
x
（
a?0,a?1
）与
y?log
a
x
互为反函数. < br>当
a?1
时，
y?log
a
x
的
a
值越大，越靠近
x
轴；当
0?a?1
时，则相反.
⑵.函数表达式的求法：①定义法；②换元法；③待定系数法.
⑶.反函数的求法：先解x,互换x、y，注明反函数的定义域(即原函数的值域).
⑷.函 数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数
的定义域.常涉及到的 依据为①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数
大于0，底数大于零且不等于1； ④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义
等.
⑸.函数值域的求法：①配方法 (二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；
⑤不等式法；⑥函数的单调性法.
⑹.单调性的判定法：①设x
1
,x
2
是所研究区间内任两个自变量，且x
1
＜x
2
；②判定f(x
1
)
与f(x
2
)的大小；③作差比较或作商比较.
⑺.奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称 ，再计算f(-x)与f(x)之间的关
系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x )为奇函数；②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0

为奇；③f (-x)f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数.
⑻.图象的作法与平移：①据函 数表达式，列表、描点、连光滑曲线；②利用熟知函数的
图象的平移、翻转、伸缩变换；③利用反函数的 图象与对称性描绘函数图象.