完整高中数学必修4知识点

高中数学必修4知识点

高中数学必修4知识点
第一章 三角函数
?
正角:按逆时针方向旋转形成的角
?
1、任意角
?
负角: 按顺时针方向旋转形成的角

?
?
零角:不作任何旋转形成的角
2、 角
?
的顶点与原点重合，角的始边与
x
轴的非负半轴重合，终边落在第几象限 ，则称
?
为第几
象限角．
第一象限角的集合为
?
?
k?360
?
?
?
?k?360
?
?90
?,k??
?

第二象限角的集合为
?
?
k?360?
?90
?
?k?360
?
?180
?
,k? ?
?

第三象限角的集合为
?
?
k?360
??180
?
?
?
?k?360
?
?270
?< br>,k??
?

第四象限角的集合为
?
?
k?360< br>?
?270
?
?
?
?k?360
?
?360
?
,k??
?

终边在
x
轴上的角的集合为
?
??
?k?180
?
,k??
?

终边在y
轴上的角的集合为
?
??
?k?180
?
?90?
,k??
?

终边在坐标轴上的角的集合为
?
??< br>?k?90
?
,k??
?

3、与角
?
终边 相同的角的集合为
?
??
?k?360
?
?
?
,k ??
?

4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1
弧度． 5、半径为
r
的圆的圆心角
?
所对弧的长为
l
，则角< br>?
的弧度数的绝对值是
?
?
?
180
?
?< br>6、弧度制与角度制的换算公式：
2
?
?360
?
，
1
?
?
，
1?
??
?57.3
．
180
?
?
?
l
r
．
?
?7、若扇形的圆心角为
?
?
?
为弧度制
?
，半径为r
，弧长为
l
，周长为
C
，面积为
S
，则l?r
?
，
C?2r?l
，
S?
1
2
lr?
1
2
?
r
．
2
8、设
?
是一个任意大小的角，
?
的终边上任意一点
?
的坐标是
?
x ,y
?
，它与原点的距离是
rr?
?
x?y?0
22
?
，则
sin
?
?
y
r
，
cos
?
?
x
r
，
tan
?
?
y
x< br>?
x?0
?
．
y
PT
OM
A
x< br>9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，
第三象限正切为正，第四象限余弦为正．
10、三角函数线：
sin
????
，
cos
?
???
，
tan
?
???
．
11、同角三角函数的基本关系：
1

高中数学必修4知识点

?
1
?
sin< br>2
?
?
2
?
sin
?
?cos
?< br>?1
?
sin
2
?
?1?cos
2
?
,cos
2
?
?1?sin
2
?
?
；
2
sin
?
??
?tan
?
?
sin
??tan
?
cos
?
,cos
?
?
?
．
cos
?
tan
?
??
12、函数的诱导公式： ?
1
?
sin
?
2k
?
?
?
?
?sin
?
，
cos
?
2k
?
?
?
?
?cos
?
，
tan
?
2k
??
?
?
?tan
?
?
k??
?
． < br>?
2
?
sin
?
?
?
?
?
??sin
?
，
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
，
tan
?
?
?
?
??tan
?
．
?
3
?
sin
?
?< br>?
?
??sin
?
，
cos
?
?
?
?
?cos
?
，
tan
?
?
?
?
??tan
?
．
?
4
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
，
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
，
tan
??
?
?
?
??tan
?
．
?
5?
sin
?
?
?
?
?
?
?
? cos
?
?
2
?
，
cos
?
?
?
?
?
?
?
?sin
?
?
2
?．
?
6
?
sin
?
?
?
?
?
?
?
?cos
?
?
2
?
，
cos
?
?
?
?
?
?
?
??sin
?< br>?
2
?
．
口诀：奇变偶不变，符号看象限．
13、①的图 象上所有点向左（右）平移
?
个单位长度，得到函数
y?sin
?
x ?
?
?
的图象；再将函数
y?sin
?
x?
??
的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
1
?
倍（纵坐标不变） ，得到函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象；再将 函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上所有点的纵 坐标伸长（缩短）到原来的
?
倍（横坐标不变），得到函数
y??sin
?< br>?
x?
?
?
的图象．
②数
y?sinx
的 图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
1
?
倍（纵坐标不变），得到函数 ?
?
y?sin
?
x
的图象；再将函数
y?sin?
x
的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象；再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的
?倍（横坐标不变），得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象．
14、函数
y??sin
?
?
x?
?
??
??0,
?
?0
?
的性质：
①
振幅 ：
?
；
②
周期：
??
2
?
?
；< br>③
频率：
f?
1
?
?
?
2
?
；
④
相位：
?
x?
?
；
⑤
初相：
?
．
函数
y??sin
?
?
x?
?
?
??
，当
x?x
1
时，取得最小值为
y
min ；当
x?x
2
时，取得最大值为
y
max
，则
??
1
2
?
y
max
?y
min
?，
??
1
2
?
y
max
?y
min< br>?
，
?
2
?x
2
?x
1
?
x
1
?x
2
?
．

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
2

高中数学必修4知识点

性
质

函

数
y?sinx

y?cosx

y?tanx

图象


定义域
值域
R


?
?
?
xx?k
?
?,k??
??

2
??
R

R
?
?1,1
?
< br>当
x?2k
?
?
?
2
?
?1,1
?


?
k??
?
时，当
x?2k
?
?
k??
?
时，
?
2
最值
y
max
?1
；当
x?2k
?
?

y
max
?1
；当
x?2k
?
?
?

既无最大值也无最小值
?
k??
?
时，
y
min
周期性
奇偶性
在
?
2k
?
?
?
?
2
?
??1
．
?
k??
?
时，
y
min
2< br>?
??1
．

奇函数
?
2
,2k
?
?

偶函数
?
?
2
?
?
?

奇函数
在
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
?
k??
?
上是
增函数；在
?
2k
?
,2 k
?
?
?
?

在
?
k
?
?
?
?
?
k??
?
上是增函数；在
单调性
?
3
?
??

2k
?
?,2k
?
?
??
22
??
?
2
,k
?
?< br>?
?
?

2
?
?
k??
?
上是减函数．
?
k??
?
上是增函数．
?
k??
?
上是减函数．
对称中心
?
k
?
,0
??
k??
?

对称性
对称轴
x ?k
?
?
?
2
对称中心
?
k
?
?
?
?
?
?
,0
?
?
k??
?
2
?
?
k??
?

对称轴
x?k
?
?
k??
?

对称中心
?
无对称轴
?
k
?
?
,0?
?
k??
?
?
2
?

第二章 平面向量
16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为
0
的向量．

单位向量：长度等于
1
个单位的向量．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．
相等向量：长度相等且方向相同的向量．

3

高中数学必修4知识点


17、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点．
??
??
?
?
⑶三角形不等式：
a?b?a?b?a?b
．
?
??
?
⑷运算性质：①交换律：
a?b?b?a
； ?
?
?
??
??
?
?
??
②结合律：
a?b?c?a?b?c
；③
a?0?0?a?a
．
????
C

?
?
?
?
⑸坐标运算 ：设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?．
18、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
?
?
?
?
⑵坐标运算：设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
????
设
?
、
?
两点的坐标分别为
?
x
1
,y
1< br>?
，
?
x
2
,y
2
?
，则
????
?
x
1
x
2
y,
1
?y
2
?
?
a

?
b

?

?


?
．
?
?
???????? ????
a?b??C?????C

19、向量数乘运算：
?
⑴实数
?
与向量
a
的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作
?
a
．
??
①
?
a?
?
a
； < br>?
?
?
?
?
?
?
?0
?
a
?
?0
?
a
?
?0
aa
②当时，的方向与 的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，
?
a?0
．
?
? ????
?
?
?
⑵运算律：①
?
?
?
a< br>?
?
?
??
?
a
；②
?
?
?
?
?
a?
?
a?
?
a
；③
?< br>a?b?
?
a?
?
b
．
??
??
⑶坐标运算：设
a?
?
x,y
?
，则
?
a?
?
?
x,y
?
?
?
?
x,
?
y
?
．
??
?
??
?
?
20、向量共线定 理：向量
aa?0
与
b
共线，当且仅当有唯一一个实数，使
b??
a
．
??
?
?
?
??
?
?
?
设
a?
?
x
1
,y
1
?，
b?
?
x
2
,y
2
?
，其中
b?0
，则当且仅当
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
时，向量
a
、
bb?0
共线．
? ?
?????
?
21、平面向量基本定理：如果
e
1
、e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量
a
，有
?????
?????
?
且只有一对实数
?
1
、
?
2
，使
a?
?
1
e
1
??
2
e
2
．（不共线的向量
e
1
、
e
2
作为这一平面内所有向量的一组基底）
22、分点坐标公式：设点
?是线段
?
1
?
2
上的一点，
?
1
、< br>?
2
的坐标分别是
?
x
1
,y
1
?
点
?
的坐标是
?
?
?
x
1
??
x
2
1?
?
,
y
1
?
?< br>y
2
?
（当
?
?1时，就为中点公式。）
?
．
1?
?
?
????????
，
?
x
2< br>,y
2
?
，当
?
1
??
?
??2
时，

23、平面向量的数量积：
?
?
?
?
?
?
?
?
??
⑴
a?b?abcos
?
a?0,b?0,0?
?
?180
．零向量与任一向量的数量积为
0
．
??
4

高中数学必修4知识点

????
???
??
?
?
?
?
?
⑵性质： 设
a
和
b
都是非零向量，则①
a?b?a?b?0
．②当< br>a
与
b
同向时，
a?b?ab
；当
a
与b
反向
?
????
2
?
?
?
?
时，
a?b??ab
；
a?a?a
2
?a
或
a?
??
?
?
?
?
a?a
．③
a?b?ab< br>．
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
???
?
?
⑶运算律：①
a?b?b?a
； ②
?
?
a
?
?b?
?
a?b?a?
?b
；③
a?b?c?a?c?b?c
．
??????
?
?
?
?
⑷坐标运算：设两个非零向量
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y2
?
，则
a?b?x
1
x
2
?y
1< br>y
2
．
?
?
若
a?
?
x,y?
，则
a
2
?
或
a?
?x?y
，22
?
?
?
?
x?y
． 设
a?
?< br>x
1
,y
1
?
，则
a?b?xx
b?
?
x
2
,y
2
?
，
22
12
? yy
12
?

0
．
．
?
?
?< br>??
a?b
?
??
?
是
a
与
b的夹角，设
a
、
b
都是非零向量，
a?
?
x< br>1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
cos
?
?
?
?
?
ab
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y
2
1
2
1
x?y
2
2
2
2
第三章 三角恒等变换
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos?
?sin
?
sin
?
；⑵
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin< br>?
sin
?
；
⑶
sin
?
?
?< br>?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
；⑷
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
；
⑸
tan
?
?
?
?
?
?
t an
?
?tan
?
1?tan
?
tan
?
tan
?
?tan
?
1?tan
?
tan
?

?
（
tan
?
?tan
?
?tan?
?
?
?
；
??
1?tan
?
ta n
?
?
）
⑹
tan
?
?
?
??
?

?
（
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?< br>tan
?
?
）．
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
222
⑴
sin2
?
?2sin
?
cos
?
．
?1?sin2
?
?sin
?
?cos
?
?2 sin
?
cos
?
?(sin
?
?cos
?
)

⑵
cos2
?
?cos
?
?sin
?
?2cos
?
?1?1?2sin
?

?
升幂公 式
1?cos
?
?2cos
?
降幂公式
cos
?< br>?
2
2222
2
?
2
cos2
?
? 1
2
,1?cos
?
?2sin
2
?
2

． ，
sin
?
?
2
1?cos2
?
2
⑶< br>tan2
?
?
2tan
?
1?tan
?
:< br>2
．
万能公式:
2tan
α
1?tan
2
α
26、
半角公式

2
;cosα?

α1?c osαα1?cosα
2
α
cos??;sin??
1?tan1?tan< br>
2222
2

α

1

?

cos

sin

1

?

cos

α

αα
tan????

2

1

?

cos

α

1

?

cos

α

sin

α

?
（后两个不用判断符号，更加好用）
sinα?
2
2
α
2
27、合一变形
?
把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角 ，一次方”的
y?Asin(
?
x?
?
)?B
5

高中数学必修4知识点

形式。
?sin
?
??cos
?
????sin
?
?
?
?
?
，其中
tan
?
?
22
?
?
．
28、 三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，
掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：
（1）角的变换：在三角化简，求值 ，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍
半，互补，互余的关系，运用 角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：
①
2
?
是
?
的二倍；
4
?
是
2
?
的二倍；?
是
30
2
?(
o
?
2
的二倍；?
12
?
2
是
?
4
的二倍；
?< br>12
②
15
o
?45?30
oo
?60
o< br>?45
o
?
；问：
sin
?
4
?
；
cos?
；
③
?
?(
?
?
?
)?
?
；④
?
4
?
?
??
2
?
?
)
；⑤
2
?
?(
?
?
?
)?(
?
?
?
)?(
?
4< br>?
?
)?(
?
4
?
?
)
；等等 < br>（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常 化切
为弦，变异名为同名。
（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常 数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换
变形有：

1?sin
2
?
?cos
2
?
?tan
?
cot
?
?sin90
o
?tan45
o

（4）幂的变换：降幂是 三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用降幂
公式有： ； 。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式
1?cos
?
常用升幂化为有理式，常用升幂公式有： ； ；
（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。
1?tan
?
1?tan
?
?_______________
；
?______________
； 如：
1?tan
?
1 ?tan
?
tan
?
?tan
?
?__________< br>tan
?
?tan
?
?__________
__
；
1?tan
?
tan
?
?__________
__
；
1?tan
?
tan
?
?__________
_；
_
；
2tan
?
?
；
1?tan
2
?
?
； tan20
o
?tan40
o
?3tan20tan40
oo< br>?
；
sin
?
?cos
?
?
= ；
asin
?
?bcos
?
?
= ；（其中
tan
?
?
；）
1?cos
?
?
；
1?cos
?
?
；
（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；
基本规则是：见切化 弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊值与特
殊角的三角函数互化 。
o
如：
sin50(1?3tan10)?
；
6
o

高中数学必修4知识点

tan
?
?cot
?
?
。
7