高中数学必修三统计ppt-关于学好高中数学的方法

空间中的角和距离
江苏 郑邦锁
1.解立几题要有化平几思想:所有求空
间角与距离的问题最终都要转化到平面上求解,有
时还可以将要求的角(或线段)所在的平面分离出来,
这样清楚醒目,便于求解,不易出错。
2.研究异面直线所成的角通常有两种方法。①通过平移使之成
为一个平面角,然后解三角
形求得;②在空间直角坐标系中利用向量的夹角公式。[注意]
异面直线所成角
的范围是:
(0,90], 如: cos
<
a
,
b
>=-
[举例] 如图, 已知两个正四棱锥
00
11
,则异面直线 a, b所成的角为 arccos。
33
P
D
O
N
B
P?ABCD与Q?ABCD
的高分别为1和2,
AB?4
,(Ⅰ)
证明:
PQ?平面ABCD
A
(Ⅱ)
求异面直线AQ与PB所成的角;
解析:(Ⅰ)记AC、BD交于O,连PO、QO,
则PO⊥面ABCD,QO⊥面ABCD,∴P、Q、O
共线,PQ⊥面ABCD;
(Ⅱ)方法一:“平移”:注意到AC、PQ交于O,
取OC的中点N,连结PN,BN,
∵
C
Q
图1-1
PO1NONO1PONO
,故AQ∥P
N
.
∠BP
N
是异面直线AQ与PB
?,??
,∴
?
OQ2OAOC2OQOA
z
P
所成的角(或其补角).
PB?OB
2
?OP
2
?(22
)
2
?1?3
∵
BN?OB
2
?ON
2
?(22)
2
?(2)
2
?10
PB
2
?PN
2
?BN
2
9?3?103
∴
cos?BP
N?
??
2PB?PN9
2?3?3
故异面直线AQ与PB所成的
角是
arccos
D
O
A
x
N
B
C
3
.
9
Q
y
方法二:“建系”:由题设知,ABCD是正方形,
∴
AC?BD
.由(I
),
PQ?
平面
ABCD
,故
可以分别以直线CA、DB、QP为
x
轴,
y
轴,
,由题设,
z
轴建立空间直角坐标系(如图1-2)
图1-2
相
关各点的坐标分别是
P(0,0,1)
,
Q(0,0,?2)
,
B(
0,22,0)
,
AQ?(?22,0,?2)
,
????????
????????
????
AQ?PB3
.
PB?(0,22,
?1)
,于是
cos?AQ,PB??
????????
?
9
AQ?PB
注:在“平移”时常用到一些平面图形的性质,如:三角形的中位线、梯形中位线、平行四
边形、平行线分线段成比例定理的逆定理甚至三角形相似等。
[巩固1]异面直线 a,
b所成的角为60
0
,则过空间中一点P与a,
b都成30
0
的直线有几条?
与a,
b都成50
0
的直线有几条?与a, b都成60
0
的直线有几条?与a,
b都成70
0
的直线有几
条?[变形]过大小为60
0
的二面角外一
点P作与它的两个面都成60
0
的直线有几条?
[巩固2 ]设M、N是直角梯形A
BCD两腰的中点,DE⊥AB
D
于E(如图).现将△ADE沿DE折起,使二面角A-DE
-B
M
为45°,此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B,则M、
N的连线与AE
所成角的大小等于_________.
A
E
C
N
B
3.
直线与平面所成的角要“抓住”直线在平面内的射影,
然后在直角三角形内求得;直线与平面所成的角是
直线与平面
内任意直线所成角的最小值。线面角的范围:[0,90]。
00
D
E
[举例1]
在如图3-1所示的几何体中,
EA?
平面
ABC
,
DB?
平面
ABC
,
AC?BC
,且
AC?BC?BD?2AE
,
M
是
AB
的中点.求
CM
与平面
CDE
所成的角.
(07高考浙江理16)
A
解析:方法一:“找射影”。过M作MF⊥ED于F,连CF,
由CM⊥AB,CM⊥AE得CM⊥面ABDE,故CM⊥ED,
∴ED⊥面CMF,于是有面CED⊥面CMF于CF,过M作MH⊥CF
于H,则MH⊥面
CED,∴∠MCH为
CM
与平面
CDE
所成的角;
F
设
EA?a
,
BD?BC?AC?2a
,
E
在直角梯形
ABDE
中,
C
M
图3-1
B
D
H
AB?22a
,
M
是
AB
的中点,
所以
DE?3a
,
EM?3a
,
MD?6a
,
?
A
M
C
B
?
得
△EMD
是直角三角形,其中
∠EMD?90
,∴MF=
2a
?
在
Rt△CMF
中,CM=MF,∴
∠FCM?
45
,故
CM
与平面
CDE
所成的角是
45
. <
br>注:“作垂面”是求作点M在面
?
内的射影的最重要、最常用的方法,其过程是:过M点
作平面
?
⊥
?
于
l
,则M在面
?
内的射影M∈
l
。
方法二:“建系”。如图,以点
C
为坐
标原点,以
CA
,
CB
分别为
x
轴和
y
轴,过点
C
作与平面
ABC
垂直的直线为
D
z
E
?,?)
,
z
轴,建立直角坐
标系
C?xyz
,设
EA?a
,则
A(2a,
x
B(0,2a,0)
,
E(2a,0,a)
.
D(0,2a,2a)
,
M(a,a,0)
.
设向量
n=?1,y
0
,
z
0
?
与平面
CDE
垂直,
A
C
M
y
B
??????
??
????
????
则
n?CE
,
n?CD
,即
n·
CE
=0 ,
n·
CD
=0,∵
CE?(2a,
2a,2a)
,
0,a
)
,
CD?(0,
得:
y
0
?2
,
x
0
??2
,即
n?(1,2,?2)
,由向量夹角公式得
:cos< n,
CM
>=
2
,
2
?????
?
直线
CM
与平面
CDE
所成的角
?
是
n<
br>与
CM
夹角的余角,所以
?
?45
,
故直线
CM
与平面
CDE
所成的角是
45
. 注:线与面的法向量所成的角与线面角互余;注意到线面角不为钝角,故:AB与面
?
所成
的角为:arcsin
?
|AB?n|
|AB||n|
(
n
为面
?
的法向量)。用法向量求线面角,以计算代替说理(找
射影),最大限
度地实现了“去逻辑化”,为疏于逻辑思维的同学求线面角提供了一条相对方
便的路径;但是,并非所有
的空间形体都可以建立适当的坐标系。
[举例2]如图3-1,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角
梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面
ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M、N分
别为PC、PB的中点. 求CD与平面ADMN所成的
角。
P P P
N
M M M
N N
Q
D D D
A A A
E
C
C C
B B B
图3-1 图3-2 图3-3
解析:确
定C点在面ADMN上的射影Q的位置很困难。方法一:“射影悬空”。先不管Q
点的位置,∠CDQ为
CD与平面ADMN所成的角,入图3-2;记BC=a,在Rt⊿CQD中,CD=
5
a,<
br>只需求出CQ(C到面ADMN的距离)即可,记为h;注意到
V
C?AMD
?
V
M?ACD
,不难知道
⊿AMD中AD边上的高为AN,AN=
2
a,∴
S
?AMD
=
2
a;
S
?ACD
=2a,M到面ACD的距离为a,
22
∴h=
2
a,故在Rt⊿CQD中,∠CDQ= arcsin
10
。注:射影“悬空”求线面角的“革命”
5
性意义在于绕开了求线面角中最困难的
一步——确定射影的位置,把问题化归为求点到面的
距离;而求点到面的距离可以通过“等积转换”实现
,并不需要知道射影的确切位置。
方法二:“平移”线段。取AD中点E,连BE,如图3-3,易见
:BE∥CD,∴CD与平面ADMN
所成的角即BE 与平面ADMN所成的角;不难证明:BN⊥A
N,BN⊥AC,∴BN⊥面ADMN,
即点B在面ADMN上的射影为N,∠BEN为BE 与平面A
DMN所成的角;记BC=a,
BN=
2
a,BE=
5
a,在Rt⊿
BNE中,∠BEN=arcsin
0
10
。本题也可以“建系”求,略。
5
[巩固1]太阳光线斜照地面,地面上与太阳光线成60角的直线有_________条?若太阳光
线
与地面成60°角时,要使一根长2米的竹竿影子最长,则竹竿与地面所成的角为 。
[巩固2] 在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC,PA=2BC,点O是AC的中点,O
P⊥底
面ABC.求直线PA与平面PBC所成角的大小.
4.求二面角的方
法很多,概括起来有两类,一类是作平面角,一类是不作平面角。作平面
角又有直接作和间接作两种,形
形色色的方法都是在做一件事:作二面角的棱的垂面;而不
S
作平面角,要么建系用法
向量求,要么用公式cos
?
=(其中S表示平面
?
内的封闭图
S<
br>?
表示
?
与
?
所成的锐二面角的大小)形C的面积,S表示C
在平面
?
内的射影C的面积,。
二面角
?
的范围(0,18
0)
。
如cos
?
=
-
00
111
,则<
br>?
= arccos(-)
=
?
- arccos。
333
P
C
[举例]如图在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是 <
br>直角梯形,∠ADC=
PC=AD=DC=
?
,AB∥CD,PC⊥面ABCD
,
2
D
1
AB,E为线段AB的中点。
2
O
(1)求证:平面PAC⊥平面PDE;
A
B
(2)求二面角A-
PE-D的大小。
E
F
解析:(1)在直角梯形ABCD中,容易知道四边形AECF是
正方形,∴DE⊥AC,又DE⊥PC∴DE⊥面PAC,∴面PDE⊥面PAC;(2)记PC=a,
方法一:用三垂线定理作二面角的平面角。记AC、DE交于O,连PO,PO是相互垂直的
平
面PDE和PAC的交线,过A作PO的垂线交PO(的延长线)于F,则AF⊥面PDE,即F是
A在
面PDE内的射影,又容易证明AE⊥面PEC,则AE⊥PE,于是FE⊥PE,∴∠AEF是二面角
A-PE-D的平面角;在⊿PAO中有面积相等不难算出AF=
3
a,而AE=a,在Rt⊿
AFE中,
3
∠AEF=arcsin
3
。注:用三垂线定理作二面角的平面
角,是作二面角的平面角的最常用、
3
最重要的方法。其过程概括为:找一垂——找(作)一个
面内一点P在另一个面内的射影
P
,作二垂——过P(或P
)作二面
角棱l的垂线,垂足为Q,连三垂——连P
Q,则l⊥P
Q,
于是∠
PQ P
为二面角的平面角;计算该角在直角三角形内进行;在上述过程中,“找一垂”
是关键。方法二:射影“悬空”作二面角的平面角
P
注意到AE⊥PE,记点A在面PDE内的射影为F
(无须知道点F的确切位置),连EF,则PE⊥FE,于是
D
C
∠AEF是二面角A-PE-D的平面角;以下问题化归
到求AF的长度(即A点到面PDE的距离)上。以下
A
用“等积转换”求AF,计算略。
B
E
方法三:利用平面图形的有关性质作二面角的平面角
P
F
注意到DP=DE=
2
a,取PE的中点M,则PE⊥DM,
又容易知道AE⊥PE,取PA的中点N,连NM,则
NM∥AE,∴PE⊥MN,于是∠NMD为二面角A-PE-D
的平面角;以下在⊿DMN中,用余弦定理求∠NMD,
计算略。
D
A
N
M
C
B
E
方法四:用割补法求。视二面角A-PE-D为二面角A-PE-C
与二面角D-PE-C的差。对二面角A-PE-C,
∵
AE⊥面PEC,∴面AEP⊥面PEC,
即二面角A-PE-C为
P
M
C
A
E
在面PEC内的射影,取BE的中点M,∵CP=CE=a,
∴PE⊥MC,于是有:PE⊥MD,则∠DMC为二面角D-PE-C的平面角,
在Rt⊿DCM中,∠DMC=arctan
2
,∴二面角A-PE-
D的大小为
注:在求钝二面角时“割补法”往往很有效。
方法五:用平面的“法向量”求
∵CP⊥CE, CP⊥CD, CE⊥CD,故可以C为原点,
?
;对二面角D-
PE-C,点C是点D
2
D
B
?
-
arctan
2
。
2
z
P
x
D C
B
CD
、
CE
、
CP
分别为x、y、z轴建立空间
直角坐标系。A(a,a,0)、D(a,0,0)、E(0,a,0)、
P(0,0,a)
,则
EA
=(a,0,0),
ED
=(a,-a,0),
EP
=(0,-a,a)
由此不难求出平面PAE的法向量
n
1
=(0,1,1),
平面PAE的法向量
n
2
=(1,1,1)
则有:cos<
n
1
,
n
2
>=
A
y
E
66
,∴二面角A-PE-
D的大小为arccos。注:用“法向量”求二
33
D
面角有一处严重的不足:二面角两个面的法向量的夹角
未必等于二面角,也可能与二面角互补,这取决于法向量
的方向,而确定法向量的方向却是中学生力不能及的。
E
[巩固]
如图,在多面体ABCDE中,AE⊥面ABC,
BD∥AE,且AC=AB=BC=BD=2,AE=1,求面
CDE
与
A
面CAB所成的锐二面角.
5.求点到面的距离一般有三种办法:①直接法———过“点”
作“面”的垂线(尽可能找到过这一点的一个与“面”垂直的
B
C
?
平面,然后过“点”作它们交线的垂线);②
等积转换
;③法向量: 若平
面
?
的法向量为
n
,
直线AB与平面
?
交于点A,
则点B到平面
?
的距离
h
=
|n?AB|
|n|
?
??
。
[举例1] 已知线段AD∥平面
?
,且与平面
?
的距离为4,点B是平面
?
内的动点,且满足
AB=5,AD=10,则B、
D两点之间的距离 ( )
A.有最大值
55
,无最小值;
B.有最小值
65
,无最大值;
C.有最大值
55
,最小值
65
;
D.有最大值
185
,最小值
65
;
解析:记A、D在面
?
内的射影分别为A
1
、D
1
,∵AB=5,AA
1
=4,∴A
1
B=3,即B在面
?
内以
A
1
为圆
心、3为半径的圆周上,又A
1
D
1
=10,故D
1
B最大
为13,最小为7,而DD
1
=4,于是:
由勾股定理得BD最大
185,最小
65
,选D。
[举例2] 在棱长为4的正方体ABCD
-A
1
B
1
C
1
D
1
中,O是正方形A<
br>1
B
1
C
1
D
1
的中心,点P在
棱
CC
1
上,且CC
1
=4CP.求点P到平面ABD
1
的距
离;
z
D
1
D
1
D
1
C
1
C
1
C
1
O O O
· · ·
A
1
AA
1 1
B
1
B
1
B
1
· · ·
E
H H
H
Q
P P P
y
D D D
C C C
A A
B B B
x
A
图5-2
图5-1
图5-3
解析:方法一:“等积转换”。如果直接研究三棱锥P-ABD
1
的体积,无论怎样“
转换”都不
易求;在DD
1
上取一点Q,使DD
1
=4DQ,则PQ
∥面ABD
1
,如图5-1;故
V
P?ABD
1
=
V
Q?ABD
1
,
记P到面ABD
1
的距离为h,则Q到面ABD
1
的距离为h, 由
V
Q?ABD
1
=
V
B?QAD
1
得:h
=
32
;
2
方法二:以D为原点建系,如图5-2,A(4,0,0),B
(4,4,0),D
1
(0,0,4),
P(0,4,1),不难求出面ABD1
的法向量
n
=(1,0,1),
PB
=(4,0,-1),
h=
3
2
=
32
;
2
方法3:“补齐”截面AB
D
1
即正方体的对角面ABC
1
D
1
,过P作PE⊥BC<
br>1
于E,如图5-3,
∵PE⊥AB,∴PE⊥面ABD
1
,∴PE
的长度即为点P到平面ABD
1
的距离,易求PE=
32
。
2[巩固1]已知平面
?
∥平面
?
,直线
l?
?
,点
P?l
,平面
?
、
?
之间的距离为8,则在
?
内到P点的距离为9的点的轨迹是:
( )
A.一个圆 B.两条直线 C.四个点 D.两个点
[巩固2](1) 正三棱锥
P?ABC
的高为
2
,侧棱与底面ABC
成
45
角,则点
A
到侧面
PBC
的距离
为_____(07高考江苏卷14)。(2)正三棱柱
ABC?A
1
B
1<
br>C
1
的所有棱长都为
2
,
D
为
.
CC
1
中点,则点
C
到平面
A
1
BD
的距
离为 (07高考福建理18)
答案
2、[巩固1] 1、2、3、4,[巩固
2]90
0
,3、[巩固1]0或无数、30
0
,[巩固2]方法一:“悬空
射影”,方法二:
“建系”,方法三:取PC中点D,PA∥OD,去求直线OD与平面PBC所成的角
,过O作面PBC的垂面,
?
找射影;arcsin
210
;4、[巩固]方
法一:延长DE、BA交于P,CP是二面角的棱,∠DCB是二面角的
30
平面角,∠DCB
=45
0
;方法二:“平移“平面。取CD中点F,BD中点G,二面角D-EF-G为所求;
方法三:
S
以AB中点为原点“建系“;方法四:用公式:cos
?
=
S
。5、[巩固1]C,[巩固2]
652
,。
52
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