高中数学知识要点重温之(19)空间中的角和距离

空间中的角和距离
江苏 郑邦锁
1．解立几题要有化平几思想：所有求空 间角与距离的问题最终都要转化到平面上求解，有
时还可以将要求的角（或线段）所在的平面分离出来， 这样清楚醒目，便于求解，不易出错。
2．研究异面直线所成的角通常有两种方法。①通过平移使之成 为一个平面角，然后解三角
形求得；②在空间直角坐标系中利用向量的夹角公式。[注意]
异面直线所成角
的范围是：
（0，90]， 如： cos <
a
，
b
>=-
[举例] 如图, 已知两个正四棱锥
00
11
,则异面直线 a, b所成的角为 arccos。
33
P
D
O
N
B
P?ABCD与Q?ABCD
的高分别为1和2,
AB?4
，(Ⅰ) 证明:
PQ?平面ABCD

A
(Ⅱ) 求异面直线AQ与PB所成的角;
解析：(Ⅰ)记AC、BD交于O，连PO、QO，
则PO⊥面ABCD，QO⊥面ABCD，∴P、Q、O
共线，PQ⊥面ABCD；
(Ⅱ)方法一：“平移”：注意到AC、PQ交于O，
取OC的中点N，连结PN，BN，
∵
C
Q
图1-1
PO1NONO1PONO
，故AQ∥P
Ｎ
. ∠BP
Ｎ
是异面直线AQ与PB
?,??
，∴
?
OQ2OAOC2OQOA
z
P
所成的角（或其补角）.
PB?OB
2
?OP
2
?(22 )
2
?1?3

∵
BN?OB
2
?ON
2
?(22)
2
?(2)
2
?10

PB
2
?PN
2
?BN
2
9?3?103
∴
cos?BP N?

??
2PB?PN9
2?3?3
故异面直线AQ与PB所成的 角是
arccos
D
O
A
x
N
B
C
3
．
9
Q
y
方法二：“建系”：由题设知，ABCD是正方形，
∴
AC?BD
．由（I ），
PQ?
平面
ABCD
，故
可以分别以直线CA、DB、QP为
x
轴，
y
轴，
，由题设，
z
轴建立空间直角坐标系（如图1-2）
图1-2
相 关各点的坐标分别是
P(0,0,1)
，
Q(0,0,?2)
，
B( 0,22,0)
，
AQ?(?22,0,?2)
，
????????
????????
????
AQ?PB3
.

PB?(0,22, ?1)
,于是
cos?AQ,PB??
????????
?
9
AQ?PB
注：在“平移”时常用到一些平面图形的性质，如：三角形的中位线、梯形中位线、平行四
边形、平行线分线段成比例定理的逆定理甚至三角形相似等。

[巩固1]异面直线 a, b所成的角为60
0
，则过空间中一点P与a, b都成30
0
的直线有几条？
与a, b都成50
0
的直线有几条？与a, b都成60
0
的直线有几条？与a, b都成70
0
的直线有几
条？[变形]过大小为60
0
的二面角外一 点P作与它的两个面都成60
0
的直线有几条？
[巩固2 ]设M、N是直角梯形A BCD两腰的中点，DE⊥AB
D
于E(如图)．现将△ADE沿DE折起，使二面角A－DE －B
M
为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、
N的连线与AE 所成角的大小等于_________．
A
E
C
N
B
3． 直线与平面所成的角要“抓住”直线在平面内的射影，
然后在直角三角形内求得；直线与平面所成的角是 直线与平面
内任意直线所成角的最小值。线面角的范围：[0，90]。
00
D
E

[举例1] 在如图3-1所示的几何体中，
EA?
平面
ABC
，
DB?
平面
ABC
，
AC?BC
，且
AC?BC?BD?2AE
，
M
是
AB
的中点．求
CM
与平面
CDE
所成的角．
（07高考浙江理16）
A
解析：方法一：“找射影”。过M作MF⊥ED于F，连CF，
由CM⊥AB，CM⊥AE得CM⊥面ABDE，故CM⊥ED，
∴ED⊥面CMF，于是有面CED⊥面CMF于CF，过M作MH⊥CF
于H，则MH⊥面 CED，∴∠MCH为
CM
与平面
CDE
所成的角；
F
设
EA?a
，
BD?BC?AC?2a
，
E

在直角梯形
ABDE
中，
C
M
图3-1
B
D

H

AB?22a
，
M
是
AB
的中点，
所以
DE?3a
，
EM?3a
，
MD?6a
，
?
A

M

C

B

?
得
△EMD
是直角三角形，其中
∠EMD?90
，∴MF=
2a

?
在
Rt△CMF
中，CM=MF，∴
∠FCM? 45
，故
CM
与平面
CDE
所成的角是
45
． < br>注：“作垂面”是求作点M在面
?
内的射影的最重要、最常用的方法，其过程是：过M点
作平面
?
⊥
?
于
l
，则M在面
?
内的射影M∈
l
。

方法二：“建系”。如图，以点
C
为坐 标原点，以
CA
，
CB

分别为
x
轴和
y
轴，过点
C
作与平面
ABC
垂直的直线为
D

z

E

?，?)
，
z
轴，建立直角坐 标系
C?xyz
，设
EA?a
，则
A(2a，
x

B(0，2a，0)
，
E(2a，0，a)
．
D(0，2a，2a)
，
M(a，a，0)
．
设向量
n=?1，y
0
， z
0
?
与平面
CDE
垂直，
A


C

M

y

B

?????? ??
????
????
则
n?CE
，
n?CD
，即 n·
CE
=0 , n·
CD
=0,∵
CE?(2a，
2a，2a)
，
0，a )
，
CD?(0，

得：
y
0
?2
，
x
0
??2
，即
n?(1，2，?2)
，由向量夹角公式得 ：cos< n,
CM
>=
2
,
2
?????
?
直线
CM
与平面
CDE
所成的角
?
是
n< br>与
CM
夹角的余角，所以
?
?45
，
故直线
CM
与平面
CDE
所成的角是
45
． 注：线与面的法向量所成的角与线面角互余；注意到线面角不为钝角，故：AB与面
?
所成
的角为：arcsin
?
|AB?n|
|AB||n|
（
n
为面
?
的法向量）。用法向量求线面角，以计算代替说理（找
射影），最大限 度地实现了“去逻辑化”，为疏于逻辑思维的同学求线面角提供了一条相对方
便的路径；但是，并非所有 的空间形体都可以建立适当的坐标系。
[举例2]如图3-1，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角 梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面
ABCD，且PA＝AD=AB=2BC,M、N分 别为PC、PB的中点. 求CD与平面ADMN所成的
角。
P P P




N
M M M
N N

Q
D D D
A A A

E

C

C C
B B B

图3-1 图3-2 图3-3
解析：确 定C点在面ADMN上的射影Q的位置很困难。方法一：“射影悬空”。先不管Q
点的位置，∠CDQ为 CD与平面ADMN所成的角，入图3-2；记BC=a,在Rt⊿CQD中，CD=
5
a,< br>只需求出CQ（C到面ADMN的距离）即可，记为h；注意到
V
C?AMD
? V
M?ACD
，不难知道
⊿AMD中AD边上的高为AN，AN=
2
a,∴
S
?AMD
=
2
a；
S
?ACD
=2a，M到面ACD的距离为a，
22
∴h=
2
a,故在Rt⊿CQD中，∠CDQ= arcsin
10
。注：射影“悬空”求线面角的“革命”
5
性意义在于绕开了求线面角中最困难的 一步——确定射影的位置，把问题化归为求点到面的
距离；而求点到面的距离可以通过“等积转换”实现 ，并不需要知道射影的确切位置。
方法二：“平移”线段。取AD中点E，连BE，如图3-3，易见 ：BE∥CD，∴CD与平面ADMN
所成的角即BE 与平面ADMN所成的角；不难证明：BN⊥A N，BN⊥AC，∴BN⊥面ADMN，
即点B在面ADMN上的射影为N，∠BEN为BE 与平面A DMN所成的角；记BC=a，
BN=
2
a，BE=
5
a，在Rt⊿ BNE中，∠BEN=arcsin
0
10
。本题也可以“建系”求，略。
5
[巩固1]太阳光线斜照地面，地面上与太阳光线成60角的直线有_________条？若太阳光 线
与地面成60°角时，要使一根长2米的竹竿影子最长，则竹竿与地面所成的角为 。
[巩固2] 在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC，PA=2BC，点O是AC的中点，O P⊥底

面ABC．求直线PA与平面PBC所成角的大小．
4．求二面角的方 法很多，概括起来有两类，一类是作平面角，一类是不作平面角。作平面
角又有直接作和间接作两种，形 形色色的方法都是在做一件事：作二面角的棱的垂面；而不
S

作平面角，要么建系用法 向量求，要么用公式cos
?
=（其中S表示平面
?
内的封闭图
S< br>?
表示
?
与
?
所成的锐二面角的大小）形C的面积，S表示C 在平面
?
内的射影C的面积，。

二面角
?
的范围（0，18 0)
。
如cos
?
=
-
00
111
，则< br>?
= arccos（-）
=
?
- arccos。
333
P
C
[举例]如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是 < br>直角梯形，∠ADC=
PC=AD=DC=
?
，AB∥CD，PC⊥面ABCD ，
2
D
1
AB，E为线段AB的中点。
2
O
（1）求证：平面PAC⊥平面PDE；
A
B
（2）求二面角A- PE-D的大小。
E
F
解析：（1）在直角梯形ABCD中，容易知道四边形AECF是
正方形，∴DE⊥AC，又DE⊥PC∴DE⊥面PAC，∴面PDE⊥面PAC；（2）记PC=a，
方法一：用三垂线定理作二面角的平面角。记AC、DE交于O，连PO，PO是相互垂直的
平 面PDE和PAC的交线，过A作PO的垂线交PO（的延长线）于F，则AF⊥面PDE，即F是
A在 面PDE内的射影，又容易证明AE⊥面PEC，则AE⊥PE，于是FE⊥PE，∴∠AEF是二面角
A-PE-D的平面角；在⊿PAO中有面积相等不难算出AF=
3
a，而AE=a，在Rt⊿ AFE中，
3
∠AEF=arcsin
3
。注：用三垂线定理作二面角的平面 角，是作二面角的平面角的最常用、
3
最重要的方法。其过程概括为：找一垂——找（作）一个 面内一点P在另一个面内的射影
P

，作二垂——过P（或P

）作二面 角棱l的垂线，垂足为Q，连三垂——连P

Q，则l⊥P

Q，
于是∠ PQ P

为二面角的平面角；计算该角在直角三角形内进行；在上述过程中，“找一垂”
是关键。方法二：射影“悬空”作二面角的平面角
P
注意到AE⊥PE，记点A在面PDE内的射影为F
（无须知道点F的确切位置），连EF，则PE⊥FE，于是
D
C
∠AEF是二面角A-PE-D的平面角；以下问题化归
到求AF的长度（即A点到面PDE的距离）上。以下
A
用“等积转换”求AF，计算略。
B
E
方法三：利用平面图形的有关性质作二面角的平面角
P
F
注意到DP=DE=
2
a，取PE的中点M，则PE⊥DM，
又容易知道AE⊥PE，取PA的中点N，连NM，则
NM∥AE，∴PE⊥MN，于是∠NMD为二面角A-PE-D
的平面角；以下在⊿DMN中，用余弦定理求∠NMD，
计算略。
D
A
N
M
C
B
E

方法四：用割补法求。视二面角A-PE-D为二面角A-PE-C
与二面角D-PE-C的差。对二面角A-PE-C，
∵ AE⊥面PEC，∴面AEP⊥面PEC，
即二面角A-PE-C为
P
M
C
A
E
在面PEC内的射影，取BE的中点M，∵CP=CE=a，
∴PE⊥MC，于是有：PE⊥MD，则∠DMC为二面角D-PE-C的平面角，
在Rt⊿DCM中，∠DMC=arctan
2
,∴二面角A-PE- D的大小为
注：在求钝二面角时“割补法”往往很有效。
方法五：用平面的“法向量”求
∵CP⊥CE, CP⊥CD, CE⊥CD,故可以C为原点，
?
；对二面角D- PE-C，点C是点D
2
D
B
?
- arctan
2
。
2
z
P
x
D C
B
CD
、
CE
、
CP
分别为x、y、z轴建立空间
直角坐标系。A（a,a,0）、D(a,0,0)、E(0,a,0)、
P(0,0,a) ，则
EA
=(a,0,0),
ED
=(a,-a,0),
EP
=(0,-a,a)
由此不难求出平面PAE的法向量
n
1
=（0，1，1）， 平面PAE的法向量
n
2
=（1，1，1）
则有：cos<
n
1
,
n
2
>=
A
y
E
66
,∴二面角A-PE- D的大小为arccos。注：用“法向量”求二
33
D
面角有一处严重的不足：二面角两个面的法向量的夹角
未必等于二面角，也可能与二面角互补，这取决于法向量
的方向，而确定法向量的方向却是中学生力不能及的。
E
[巩固] 如图，在多面体ABCDE中，AE⊥面ABC，
BD∥AE，且AC=AB=BC=BD=2，AE=1，求面
CDE
与
A
面CAB所成的锐二面角．
5．求点到面的距离一般有三种办法：①直接法———过“点”
作“面”的垂线（尽可能找到过这一点的一个与“面”垂直的
B
C
?
平面，然后过“点”作它们交线的垂线）；②
等积转换
；③法向量: 若平 面
?
的法向量为
n
，
直线AB与平面
?
交于点A， 则点B到平面
?
的距离
h
=
|n?AB|
|n|
?
??
。
[举例1] 已知线段AD∥平面
?
，且与平面
?
的距离为4，点B是平面
?
内的动点，且满足
AB=5，AD=10，则B、 D两点之间的距离 （ ）
A．有最大值
55
，无最小值； B．有最小值
65
，无最大值；
C．有最大值
55
，最小值
65
； D．有最大值
185
，最小值
65
；
解析：记A、D在面
?
内的射影分别为A
1
、D
1
，∵AB=5，AA
1
=4，∴A
1
B=3，即B在面
?
内以
A
1
为圆 心、3为半径的圆周上，又A
1
D
1
=10，故D
1
B最大 为13，最小为7，而DD
1
=4，于是：
由勾股定理得BD最大
185，最小
65
，选D。

[举例2] 在棱长为4的正方体ABCD -A
1
B
1
C
1
D
1
中，O是正方形A< br>1
B
1
C
1
D
1
的中心，点P在
棱 CC
1
上，且CC
1
=4CP.求点P到平面ABD
1
的距 离；
z

D
1
D
1
D
1
C
1
C
1
C
1

O O O
· · ·

A
1
AA
1 1
B
1
B
1
B
1

· · ·
E
H H H

Q
P P P

y
D D D

C C C

A A
B B B
x
A

图5-2
图5-1
图5-3
解析：方法一：“等积转换”。如果直接研究三棱锥P-ABD
1
的体积，无论怎样“ 转换”都不
易求；在DD
1
上取一点Q，使DD
1
=4DQ，则PQ ∥面ABD
1
，如图5-1；故
V
P?ABD
1
=
V
Q?ABD
1
，
记P到面ABD
1
的距离为h，则Q到面ABD
1
的距离为h， 由
V
Q?ABD
1
=
V
B?QAD
1
得：h =
32
；
2
方法二：以D为原点建系，如图5-2，A（4，0，0），B （4，4，0），D
1
（0，0，4），
P（0，4，1），不难求出面ABD1
的法向量
n
=(1,0,1),
PB
=(4,0,-1), h=
3
2
=
32
；
2
方法3：“补齐”截面AB D
1
即正方体的对角面ABC
1
D
1
，过P作PE⊥BC< br>1
于E，如图5-3，
∵PE⊥AB，∴PE⊥面ABD
1
，∴PE 的长度即为点P到平面ABD
1
的距离，易求PE=
32
。
2[巩固1]已知平面
?
∥平面
?
，直线
l?
?
，点
P?l
，平面
?
、
?
之间的距离为8，则在
?
内到P点的距离为9的点的轨迹是： （ ）
A．一个圆 B．两条直线 C．四个点 D．两个点
[巩固2]（1） 正三棱锥
P?ABC
的高为
2
，侧棱与底面ABC
成
45
角，则点
A
到侧面
PBC
的距离 为_____（07高考江苏卷14）。（2）正三棱柱
ABC?A
1
B
1< br>C
1
的所有棱长都为
2
，
D
为
．
CC
1
中点，则点
C
到平面
A
1
BD
的距 离为 （07高考福建理18）
答案
2、[巩固1] 1、2、3、4，[巩固 2]90
0
，3、[巩固1]0或无数、30
0
，[巩固2]方法一：“悬空 射影”，方法二：
“建系”，方法三：取PC中点D，PA∥OD，去求直线OD与平面PBC所成的角 ，过O作面PBC的垂面，
?
找射影；arcsin
210
；4、[巩固]方 法一：延长DE、BA交于P，CP是二面角的棱，∠DCB是二面角的
30
平面角，∠DCB =45
0
；方法二：“平移“平面。取CD中点F，BD中点G，二面角D-EF-G为所求； 方法三：
S

以AB中点为原点“建系“；方法四：用公式：cos
?
=
S
。5、[巩固1]C，[巩固2]

652
，。

52