上海高中数学——知识点总结

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上海高中数学——知识点总结

一、集合与常用逻辑
1．集合概念 元素：互异性、无序性
2．集合运算 全集U：如U=R
交集：
A?B?{xx?A且x?B}

并集：
A?B?{xx?A或x?B}

补集：
C
U
A?{xx?U且x?A}

3．集合关系 空集
?
?A

x?B
子集
A?B
:任意
x?A?
A?B?A?A?B
注：数形结合--- 文氏图、数轴
4．四种命题
A?B?B?A?B

原命题：若p
则
q 逆命题：若q
则
p
否命题：若
?p
则
?q
逆否命题：若
?q
则
?p

原命题
?
逆否命题 否命题
?
逆命题
5．充分必要条件
p是q的充分条件：
P?q

p是q的必要条件：
P?q

p是q的充要条件：p?q
6．复合命题的真值
①q真（假）?“
?q
”假（真）
②p、q同真?“p∧q”真
③p、q都假?“p∨q”假
7.全称命题、存在性命题的否定
??M, p(x）否定为: ??M,
?p(X)

??M, p(x）否定为: ??M,
?p(X)

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二、不等式
1．一元二次不等式解法
2
若
a?0
，
ax?bx? c?0
有两实根
?
,
?
(
?
?
?
)
，则
ax
2
?bx?c?0
解集
(
?
,
?
)

ax
2
?bx?c?0
解集
(? ?,
?
)?(
?
,??)

注：若
a?0
，转化为
a?0
情况
2．其它不等式解法—转化
x?a??a?x?a
?
x
2
?a
2

x ?a?
x?a
或
x??a
?
x
2
?a
2< br>
f(x)
?0
?
f(x)g(x)?0

g(x )
a
f(x)
?a
g(x)
?
f(x)?g(x)
（
a?1
）
?
?
f(x)?0
（
0?a?1
）
log
a
f(x)?log
a
g(x)?
?
?
?
f(x )?g(x)
3．基本不等式
①
a?b?2ab

②若
a,b?R
，则
?
22
a?b
?ab

2
注：用均值不等式
a?b?2ab
、
ab?(
求最值条件 是“一正二定三相等”

a?b
2
)

2

三、函数概念与性质
1．奇偶性
f(x)偶函数
?
f(?x)? f(x)
?
f(x)图象关于
y
轴对称
f(x)奇函数
?
f(?x)??f(x)
?
f(x)图象关于原点对称
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注：①f(x)有奇偶性
?
定义域关于原点对称
②f(x)奇函数,在x=0有定义
?
f(0)=0
③“奇+奇=奇”（公共定义域内）
2．单调性
f(x)增函数：x
1< br>＜x
2
?
f(x
1
)＜f(x
2
)
或x
1
＞x
2
?
f(x
1
) ＞f(x
2
)
或
f(x
1
)?f(x
2
)
?0

x
1
?x
2
f(x)减函数：？

注：①判断单调性必须考虑定义域
②f(x)单调性判断
定义法、图象法、性质法“增+增=增”
③奇函数在对称区间上单调性相同
偶函数在对称区间上单调性相反
3．周期性
T
是
f(x)
周期
?
f(x?T)?f(x)
恒成立（常数
T?0
）
4．二次函数
22
解析式： f(x)=ax+bx+c，f(x)=a(x-h)+k
f(x)=a(x-x
1
)(x-x
2
)
b4ac?b
2
?b
,)
对称轴：
x?
顶 点：
(?
2a
2a4a
单调性：a>0，
(??,?
bb
,??)
递增
]
递减，
[?
2a
2a?b
4ac?b
2
当
x?
，f(x)
min
?

2a
4a
奇偶性：f(x)=ax+bx+c是偶函数
?
b=0
闭区间上最值：
配方法、图象法、讨论法---
注意对称轴与区间的位置关系
注：一次函数f(x)=ax+b奇函数
?
b=0

2


四、基本初等函数
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1．指数式
a?1(a?0)

a
0
?n
1
?
n

a
m
?
m
a
n

a
n
2．对数式
log
a
N?b
?a
b
?N
（a>0,a≠1）
log
a
MN?log
a
M?log
a
N

log
a
M
?log
a
M?log
a
N< br>
N
log
a
M
n
?nlog
a
M

log
a
b?
log
m
b
lgb

?
log
m
a
lga

log
ab?log
a
n
b
n
?
1

log
b
a
注：性质
log
a
1?0

log
a
a?1

a
log
a
N
?N

常用对数
lgN?l og
10
N
，
lg2?lg5?1

自然对数
lnN?log
e
N
，
lne?1

3．指数与对数函数 y=a与y=log
a
x
x

定义域、值域、过定点、单调性？
x
注：y=a与y=log
a
x图象关于y=x对称（互为反函数）
4．幂函数
y?x,y?x,y?x,y?x

23
1
2
?1
y?x
?
在第一象限图象如下：
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五、函数图像与方程
1．描点法
函数化简→定义域→讨论性质（奇偶、单调）
取特殊点如零点、最值点等
2．图象变换
平移：“左加右减，上正下负”
y?f(x)?y?f(x?h)

??y?f(
伸缩：
y?f(x )????????
对称：“对称谁，谁不变，对称原点都要变”
x轴
y?f(x) ???y??f(x)
y轴
y?f(x)???y?f(?x)

每一点的横坐标变为原来的
?
倍
1
?
x)

y?f(x)?
原点
???y??f(?x)
注：
y?f(x)
直 线x?a
?
y?f(2a?x)

翻折：
y?f(x)?y?|f(x)|
保留
x
轴上方部分，
并将下方部分沿
x
轴翻折到上方
y
y=f(x)
y
y=|f(x)|
a
o
b
c
x
a
o

b
c
x

y?f(x)?y?f(|x|)
保留
y
轴右边部分，
并将右边部分沿
y
轴翻折到左边
y
y=f(x)
?
?1

y
0?
?
?1

?
?0


a
o
b
c
x

y=f(|x|)
a
o
b
c
x


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3．零点定理
若
f(a)f(b)? 0
，则
y?f(x)
在
(a,b)
内有零点
（条件：
f(x)
在
[a,b]
上图象连续不间断）
注：①
f(x)
零点：
f(x)?0
的实根
②在
[a,b]
上连续的单调函数
f(x)
，
f(a)f(b)?0

则
f(x)
在
(a,b)
上有且仅有一个零点
③二分法判断函数零点---
f(a)f(b)?0
？
六、三角函数
1．概念 第二象限角
(2k
?
?
2．弧长
l??
2
,2k
?
?
?
)
(
k?Z
)
?
?r
扇形面积
S?lr

yxy

cos
?
?

tan
?
?

rrx
1
2
3．定义
sin
?
?
其中
P(x,y)
是
?
终边上一点，
PO?r

4．符号 “一正全、二正弦、三正切、四余弦”
5．诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”
如
Sin(2
?
?< br>?
)??sin
?
，
cos(
?
2?
?)??sin
?

6．特殊角的三角函数值
?

sin
?

0
?

6
1

2
?

4
2

2
2

2
1
?

3
3

2
1

2
?

2
1
?

0
3
?

2
?1

0
cos
?
1
3

2
3

3
0
?1

0
tg
?

7．基本公式
0
3

0
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同角
sin
?
?cos
?
?1

22
sin
?
?tan
?

cos
?和差
sin
?
?
?
?
?
?sin
?< br>cos
?
?cos
?
sin
?

cos?
?
?
?
?
?cos
?
cos
??sin
?
sin
?

tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?

1
?
tan
?
tan
?
2tan
?

1?tan
2
?
倍角
sin2
?
?2sin
?
cos
?

co s2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2c os
2
?
?1?1?2sin
2
?

tan2
?
?
降幂cosα=
2
1?cos2
?
1 ?cos2
?
2
sinα=
2
2
叠加
sin
?
?cos
?
?2sin(
?
?)

4
?
3sin
?
?cos
?
?2sin(
?
?)

6
?
a
asin
?
?bcos< br>?
?a
2
?b
2
sin(
?
?
?< br>)

(tan
?
?)

b
8．三角函数的图象性质

y=sinx y=cosx y=tanx









图
象


单调性：
(?,)
增
(0,
?
)
减
(?,)
增

值域
奇偶
周期
对称轴
2π
sinx
[-1，1]
奇函数
cosx
[-1，1]
偶函数
2π
tanx
无
奇函数
π

无
??
22
??
22
x?k
?
?
?
2
x?k
?
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中心
?
k
?
,0
?

?
?
2?k
?
,0
?

?
k
?
2,0
?












注：
k?Z

9．解三角形
基本关系：sin(A+B)=sinC cos(A+B)=-cosC
tan(A+B)=-tanC
sin
正弦定理：
A?BC
?cos

22
a
bc
==
sinA
sinBsinC
a?2RsinA

a:b:c?sinA:sinB:sinC

余弦定理：a
2
=b
2
+c
2
－2bccosA（求边）
b
2
?c
2
?a
2
cosA=（求角）
2bc
面积公式：S
△
＝
1
absinC
2
注：
?ABC
中，A+B+C=？
A?B?sinA?sinB

?
a
2
＞b
2
+c
2
? ∠A＞

2

七、数 列
1、等差数列
定义：
a
n?1
?a
n
?d

通项：
a
n
?a
1
?(n?1)d

求和 ：
S
n
?
中项：
b?
n(a
1
?a
n
)
1

?na
1
?n(n?1)d

2
2
a?c
（
a,b,c
成等差）
2

性质：若
m?n?p?q
，则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
2、等比数列
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定义：
a
n?1
?q(q?0)
a
n

通项：
a
n
?a
1
q
n?1

?
na
1
(q?1)
?
n
求和：
S
n
?
?
a
1
(1?q)

(q?1)< br>?
?
1?q
中项：
b?ac
（
a,b,c
成 等比）
性质：若
m?n?p?q
则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q

3、数列通项与前
n
项和的关系
?
s
1
?a
1
(n?1)

a
n
?
?
s?s(n?2)
n?1
?
n
2
4、 数列求和常用方法
公式法、裂项法、 错位相减法、倒序相加法

八、平面向量
1．向量加减 三角形法则，平行四边形法则
AB?BC?
AC
首尾相 接，
OB?OC
=
CB
共始点
中点公式：
AB?AC?2AD?
D
是
BC
中点
2． 向量数量积
a?b
=
a?b?cos
?
xx?yy
12
=
12
00
注：①
a,b
夹角：0≤θ≤180
②
a,b
同向：
a?b?a?b

3．基本定理 a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2< br>（
e
1
,e
2
不共线--基底）
平行：
a b?
a?
?
b
?
x
1
y
2
?x< br>2
y
1
（
b?0
）
垂直：
a?b?a?b ?0
?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0

2
?
22
2
模：
a
＝
x?y

a?b?(a?b)??

?????
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夹角：
cos
?
?
a?b

|a||b|
注：①
0
∥
a
②
a?b?c?a?b?c
（结合律）不成立
③
a?b?a?c
?b?c
（消去律）不成立


?
????
九、复数与推理证明
1．复数概念
复数：
z?a?bi
(a,b
?R)
，实部a、虚部b
分类：实数（
b?0
），虚数（
b?0
），复数集C
注：
z
是纯虚数
?a?0
，
b?0

相等：实、虚部分别相等
共轭：
z?a?bi

模：
z?a
2
?b
2

z?z?z

2
复平面：复数z对应的点
(a,b)

2．复数运算
加减：（a+bi）±(c+di)=？
乘法：（a+bi）（c+di）=？
除法：
a?bi
(a?bi)(c?di)
===?
c?di< br>(c?di)(c?di)
2
乘方：
i??1
，
i?i
n4k?r
?i
r

3．合情推理
类比：特殊推出特殊
归纳：特殊推出一般
演绎：一般导出特殊（大前题→小前题→结论）
4．直接与间接证明
综合法：由因导果
比较法：作差—变形—判断—结论
反证法：反设—推理—矛盾—结论
分析法：执果索因

分析法书写格式：
要证A为真，只要证B为真，即证??，
这只要证C为真，而已知C为真，故A必为真
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注：常用分析法探索证明途径，综合法写证明过程
5．数学归纳法：
(1)验证当n=1时命题成立,
(2)假设当n=k(k?N* ，k?1)时命题成立,
证明当n=k+1时命题也成立
由(1)(2)知这命题对所有正整数n都成立
注：用数学归纳法证题时，两步缺一不可，归纳假设必须使用
十、直线与圆
1、倾斜角 范围
?
0,
?
?

斜率
k?tan
?
?
y
2
?y
1

x
2
?x
1
注：直线向上方向与
x
轴正方向所成的最小正角
倾斜角为
90?
时，斜率不存在
2、直线方程
点斜式
y ?y
0
?k(x?x
0
)
，斜截式
y?kx?b

两点式
y?y
1
x?x
1
xy
， 截距式
??1

?
ab
y
2
?y
1
x
2
?x
1
一般式
Ax?By?C?0

注意适用范围：①不含直线
x?x
0

②不含垂直
x
轴的直线
③不含垂直坐标轴和过原点的直线
3、位置关系（注意条件）
平行
?
k
1
?k
2
且
b
1
?b
2

垂直
?
k
1
k
2
??1
垂直< br>?
A
1
A
2
?B
1
B
2
? 0

4、距离公式
两点间距离：|AB|=
(x
1
?x< br>2
)?(y
1
?y
2
)

点到直线距离：< br>d?
22
Ax
0
?By
0
?C
A?B
22
22

5、圆标准方程：
(x?a)?(y?b)?r

圆心
(a,b)
，半径
r

2
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圆一般方程：
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
（条件是？）
?
DE
?
圆心
?
?,?
?
半径
r?
2
??
2


6、直线与圆位置关系

位置关系
几何特征
代数特征
相切
D
2
?E
2
?4F

2
相交 相离
d?r

△?0

d?r

△?0

d?r

△?0







注：点与圆位置关系
(x
0
?a)
2
?(y< br>0
?b)
2
?r
2
?
点
P
?
x
0
,y
0
?
在圆外
7、直线截圆所得弦长
AB?2r
2
?d
2



十一、圆锥曲线
一、定义
椭圆： |PF
1
|+|PF
2
|=2a(2a>|F
1
F
2
|)
双曲线：|PF< br>1
|-|PF
2
|=±2a(0<2a<|F
1
F
2
|)
抛物线：与定点和定直线距离相等的点轨迹
二、标准方程与几何性质（如焦点在x轴）
x
2
y
2
椭圆
2
?
2
?1
( a>b>0)
ab
x
2
y
2
双曲线
2
?
2
?1
(a>0,b>0 )
ab
中心原点 对称轴？ 焦点F
1
(c,0)、F
2
(-c,0)
顶点: 椭圆(±a,0),(0, ±b)，双曲线(±a,0)
范围: 椭圆-a?x?a,-b?y?b
双曲线|x| ? a，y?R
焦距：椭圆2c（c=
a
2
?b
2
）
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双曲线2c（c=
a
2
?b
2
）
2a、2b:椭圆长轴、短轴长，
双曲线实轴、虚轴长
离心率：e=ca 椭圆01

x
2
y
2
b
注 ：双曲线
2
?
2
?1
渐近线
y??x

a
ab
方程
mx?ny?1
表示椭圆
?m?0,n?0.m?n

22
方程
mx?ny?1
表示双曲线
?mn?0

22
抛物线y=2px(p>0)
顶点（原点） 对称轴（x轴）
开口（向右） 范围x?0 离心率e=1
焦点
F(< br>2
pp
,0)
准线
x??
22

十二、矩阵、行列式、算法初步
十、算法初步
一．程序框图
程序框








循环框 重复操作以及运算
输入、输出框
赋值、计算
名称
起止框
功能
起始和结束
输入和输出的信息















处理框
判断框
判断某一条件是否成立
二．基本算法语句及格式
1输入语句：INPUT “提示内容”；变量
2输出语句：PRINT“提示内容”；表达式
3赋值语句：变量=表达式
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4条件语句
“IF—THEN—ELSE”语句 “IF—THEN”语句
IF 条件 THEN IF 条件 THEN
语句1 语句
ELSE END IF
语句2
END IF
5循环语句
当型循环语句 直到型循环语句
WHILE 条件 DO
循环体 循环体
WEND LOOP UNTIL 条件
当型“先判断后循环” 直到型“先循环后判断”

三．算法案例
1、求两个数的最大公约数
辗转相除法：到达余数为0
更相减损术：到达减数和差相等
2、多项式f(x)= a
n
x
n
+a
n-1
x
n-1
+….+a
1
x+a
0
的求值

秦九韶算法： v
1
=a
n
x+a
n
－
1
v
2
=v
1
x+a
n
－
2

v
3
=v
2
x+a
n
－
3


v
n
=v
n
－
1
x+a
0

注：递推公式v
0
=a
n
v
k
=v
k
－
1X
+a
n
－
k
(k=1,2,…n)
求f(x)值，乘法、加法均最多n次
3、进位制间的转换
k进制数转换为十进制数：
a
n
a
n?1
.....a< br>1
a
0
(k)?a
n
?k
n
?a
n ?1
?k
n?1
?.........?a
1
?k?a
0< br>
十进制数转换成k进制数：“除k取余法”
例1辗转相除法求得123和48最大公约数为3
5432
例2已知f(x)=2x－5x－4x+3x－6x+7，秦九韶算法求f(5)
123＝2×48＋27 v
0
=2
48＝1×27＋21 v
1
=2×5－5=5
27＝1×21＋6 v
2
=5×5－4=21

21＝3×6＋3 v
3
=21×5+3=108
6＝2×3+0 v
4
=108×5－6=534
v
5
=534×5+7=2677



十三、立体几何
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1．三视图 正视图、侧视图、俯视图
''
2．直观图：斜二测画法
?X
'
OY
=45
平行X轴的线段，保平行和长度
平行Y轴的线段，保平行，长度变原来一半
3．体积与侧面积
0
V
柱
=S
底
h V
锥 =
14
3
S
底
h V
球=
πR
33
2
S
圆锥侧
=
?
rl
S
圆台侧
=
?
(R?r)l
S
球表
=
4
?
R

4．公理与推论 确定一个平面的条件：
①不共线的三点 ②一条直线和这直线外一点
③两相交直线 ④两平行直线
公理：平行于同一条直线的两条直线平行
定理：如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
5．两直线位置关系 相交、平行、异面
异面直线——不同在任何一个平面内
6．直线和平面位置关系

a?
?

7．平行的判定与性质
线面平行：
a?
?
?A

a
?

a
∥
b
，
b?
?
,a?
?
?
a
∥< br>?

a
∥
?
，
a?
?
,
?
?
?
?b?
a
∥
b

面面平行：
?
a
b
AB
∥
?
，
AC
∥
?< br>?
平面
ABC
∥
?
?

?
∥
?
，
a?
?
?
a
∥
?

8．垂直的判定与性质
线面垂直：
p?AB,p?AC?p?面ABC

面面垂直：
a?
?
,a?
?
?
?
?
?

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直；
若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
三垂线定理：
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O
A
a
P
?

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PO?
?
,AO?a?PA?a

PO?
?
,PA?a?AO?a

在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直逆定理？
9．空间角、距离的计算
异面直线所成的角 范围（0°，90°]
平移法：转化到一个三角形中，用余弦定理
直线和平面所成的角 范围[0°，90°]
定义法：找直线在平面内射影，转为解三角形
二面角 范围[0°，180°]
定义法：作出二面角的平面角，转为解三角形
点到平面的距离
体积法--用三棱锥体积公式
注：计算过程，“一作二证三求”，都要写出
10．立体几何中的向量解法
?
法向量求法：设平面ABC的法向量
n
=（x,y）

??
n?AB,n?AC

??
n?AB?0,n?AC?0
?
解方程组，得一个法向量
n

A

B


?

C

?????
线线角：设
n1
,n
2
是异面直线
l
1
,l
2
的方 向向量，
l
1
,l
2
所成的角为
?
，则
cos
?
?cos?n
1
,n
2
?

?? ??
即
l
1
,l
2
所成的角等于
?n
1< br>,n
2
?
或
?
??n
1
,n
2?

线面角：
?
设
n
是平面
?
的法 向量，
AB
是平面
?
的
一条斜线，
AB
与平面
?
所成的角为
?
，
则
sin
?
?cos?n,AB??
AB?n
AB?n

?????
二面角：设
n
1
,n
2
是面
?
,
?
的法向量，二面角
?
?l?
?
的大小为?
，则
cos
?
?cos?n
1
,n
2
?
或
?cos?n
1
,n
2
?

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????
即二面角大小等于
?n
1
,n
2
?
或
?
??n
1
,n
2
?

点到面距离：
?
若
n
是平面
?< br>的法向量，
AB
是平面
?
的一条斜线段，且
B?
?< br>，
?????
AB?n
则点
A
到平面
?
的 距离
d?

?
n

十四、计数原理
1. 计数原理 加法分类，乘法分步
2．排列组合 差异---排列有序而组合无序 < br>．．．．
公式
A
m
n
=
n(n?1)?(n?m?1 )
=
n！

(n?m)！

C
n
=
关系：
A
n
m
m
n (n?1)
?
(n?m?1)
n！
=
1?2?
?
?m
m！?(n?m)！
m
?m！?C
n

n?m
性质：
C
n
=
C
n
m

C
n
01
?C
n
?C
n
2
??? C
n
n
?2
n

3．排列组合应用题
原则：分类后分步，先选后排，先特殊后一般
解法：相邻问题“捆绑法”，不相邻“插空法”
复杂问题“排除法”
4．二项式定理
1n?1
(a?b)
n?C
n
0
a
n
?C
n
ab?C
n2
a
n?2
b
2
?
?
?C
n
r
a
n?r
b
r
?
?
?C
n
n< br>b
n

1rr
特例
(1?x)
n
?1?C< br>n
x???C
n
x???x
n

通项
Tr?1
?C
n
a
r
rn?r
1，2?，n)

b
r
(r?0，
注
C
n
---第
r?1< br>项二项式系数
性质：所有二项式系数和为
2

中间项二项式系数最大
赋值法：取
x?0,1,?1
等代入二项式
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n

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十五、概率与统计
1．古典概型：
P(A)?
m
A包含的基本事件个数
（）
n
总的基本事件个数
求基本事件个数：列举法、图表法
2．几何概型：P
?
A
?
?
A的区域长度（面积或体积）

区域总长度（面积或体积）
注：试验出现的结果无限个
3．加法公式：若事件
A
和
B
互斥，则

互斥事件:不可能同时发生的事件
对立事件:不同时发生，但必有一个发生的事件
4．常用抽样（不放回）
简单随机抽样：逐个抽取（个数少）
系统抽样：总体均分，按规则抽取（个数多）
分层抽样：总体分成几层，各层按比例抽取（总体差异明显）
5．用样本估计总体
众数：出现次数最多的数据
中位数：按从小到大，处在中间的一个数据（或中间两个数的平均数）
P
?
A?B
?
?P
?
A
?
?P
?
B
?
P
?
A
?
?1?PA
??
1
n
平 均数：
x?
?
x
i
n
i?1

1
n
方差
S?
?
(x
i
?x)
标准差
s
n
i?1
2
6．频率分布直方图
小长方形面积=组距×
频率
=频率
组距
各小长方形面积之和为1
众数—最高矩形中点的横坐标
中位数—垂直于
x
轴且平分直方图面积的直线与
x
轴交点的横坐标
茎叶图：由茎叶图可得到所有的数据信息如
众数、中位数、平均数等




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