高中数学选修44知识点(最全版)

数学选修4-4
坐标系与参数方程知识点总结

第一讲


一 平面直角坐标系
1．平面直角坐标系
(1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以
建立一一对应关 系．
(2)平面直角坐标系：
①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构 成平面直角坐标系，简称
为直角坐标系；
②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直 位置，取向右与向上的方向分别为
两条数轴的正方向；
③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标 轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y
轴统称为坐标轴；
④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点；
⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系．
( 3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P
1
(x
1
，y1
)，P
2
(x
2
，y
2
)，线段
P
1
P
2
的中点为P，填表：
两点间的距离公式 中点P的坐标公式
x
?
x＝
x＋
2
?
y＋y

?< br>y＝
2
12
12
|P
1
P
2
|＝（ x
1
－x
2
）
2
＋（y
1
－y
2
）
2

2.平面直角坐标系中的伸缩变换
?
?
x ′＝λx（λ>0）
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：
?
的作用下，
?
y′＝μy（μ>0）
?
点P(x，y)对应到点P′(x′， y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．

.

二 极坐标系

(1)定义：在平面内取 一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选
定一个长度单位、一个角度单位(通常 取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立
了一个极坐标系．
(2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．
(3)图示

2．极坐标
(1)极坐标的定义：设M是平面内一点，极点 O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，
记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做 点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，
θ
)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，
θ
)．
(2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O的极坐标是(0，θ
)，(θ∈R)，若点M的极坐标是M(ρ，
θ
)，则点M的极坐标也可写成M (ρ，
θ
＋2kπ)，
(k∈Z)．
若规定ρ>0，0≤
θ
<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，
θ
)之间才是一一
对应关系．
3．极坐标与直角坐标的互化公式
如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作 为极轴，且长度单位相同，
设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(ρ，
θ)．

(1)极坐标化直角坐标
?
?
x＝ρcos
θ
，
?

?
y＝ρsin
θ
Ｗ.
?
(2)直角坐标化极坐标
ρ
2
＝x2
＋y
2
，
?
?
?

y
tan
θ
＝（x≠0）.
?
x
?
三 简单曲线的极坐标方程

1．曲线的极坐标方程
一般地，在极坐标系中，如果平面 曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程
f(ρ，
θ
)＝0，并且坐标适合方 程f(ρ，
θ
)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，
θ
)＝0叫做曲线C的极坐标方程．
2．圆的极坐标方程
(1)特殊情形如下表：
圆心位置
圆心在极点(0，0)
极坐标方程
ρ＝r
(0≤θ<2π)
图 形

.

ρ＝2rcos_
θ

圆心在点(r，0)
(－
ππ
≤
θ
<)
22

π
圆心在点(r，)
2
ρ＝2rsin_
θ

(0≤θ<π)
ρ＝－2rcos_
θ


圆心在点(r，π)
π3π
(≤
θ
<)
22
ρ＝－2rsin_
θ

(－π<
θ
≤0)

3π
圆心在点(r，)
2


(2)一般情形：设圆心C(ρ
0
，
θ
0
)，半径为r，M(ρ，< br>θ
)为圆上任意一点，则|CM|＝r，
2
∠COM＝|θ－θ
0< br>|，根据余弦定理可得圆C的极坐标方程为ρ
2
－2ρ
0
ρ
c os(θ－θ
0
)＋ρ
2
0
－r＝0
即
2r
2
?
?
2
?
?
0
?2
??
0
cos(
?
?
?
0
)


3．直线的极坐标方程
(1)特殊情形如下表：
直线位置
过极点，倾斜角为α
过点(a，0)，且与极轴
垂直
π
过点?
a，
?
，且与极轴
2
??
平行
极坐标方程
(1)θ＝α(ρ∈R) 或θ＝α＋π(ρ∈R)
(2)θ＝α(ρ≥0) 和θ＝π＋α(ρ≥0)
ρcos_
θ
＝a
图 形

?
－
π
<
θ
<
π
?

2
??
2
ρsin_
θ
＝a
(0<θ<π)


ρsin(α－θ)＝asin α
(0<θ<π)

过点(a，0)倾斜角为α
(2)一般情形，设直线l过点P(ρ
0
，θ
0
)，倾斜角为α，M(ρ，
θ
)为直线l上的动点，则
在△ OPM中利用正弦定理可得直线l的极坐标方程为 ρsin(α－θ)＝ρ
0
sin(α－θ
0
)．



.

四 柱坐标系与球坐标系简介（了解）

1．柱坐标系



(1)定义：一般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，它在Oxy平面
上的 射影为Q，用(ρ，
θ
)(ρ≥0，0≤
θ
<2π)表示点Q在平面Oxy上 的极坐标，这时点
P
的
位置可用有序数组
（ρ，
θ
，z）< br>(z∈R)表示．这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，
θ
，
z)之间的 一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，
θ
，z)
叫做点P的柱坐标，记作P(ρ，
θ
，z)，其中
ρ
≥0，0≤
θ< br><2π，z∈R．
x＝ρcos
θ
?
?
(2)空间点P的 直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，
θ
，z)之间的变换公式为
?
y＝ρ sin
θ
．
?
?
z＝z
2．球坐标系


(1)定义：一般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，连接OP， 记
|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为
φ
，设P在Oxy平面上的射影为Q， Ox轴按逆时针方
向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ，这样点P的位置就可以用有序数组(r，φ
，
θ
)表示，
这样，空间的点与有序数组(r，
φ
，
θ
)之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的
坐标系叫做球坐标系(或空间极 坐标系)，有序数组(r，
φ
，
θ
)，叫做点P的球坐标，记作
P( r，
φ
，
θ
)，其中r≥0，0≤
φ
≤π，0≤
θ
<2π．
x＝rsin
φ
cos
θ
?
?(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，
φ
，
θ
)之间 的变换公式为
?
y＝rsin
φ
sin
θ
．
?
?
z＝rcos
φ
第二讲：







.

一 曲线的参数方程

1．参数方程的概念
1．参数方程的概念
(1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y都是某个变
?
?
x＝f（t）
数t的函数：
?
①，并 且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x，y)
?
y＝g（t）
?都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参
变数，简 称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．
(2)参数的意义：参 数是联系变数x，y的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，
也可以是没有明显实际意义的变数．
2．参数方程与普通方程的区别与联系
(1)区别：普通方程F(x，y)＝0，直接给出了 曲线上点的坐标x，y之间的关系，它含有
?
x＝f（t）
?
x，y两个变量 ；参数方程
?
(t为参数)间接给出了曲线上点的坐标x，y之间的关系，
?
?
y＝g（t）
它含有三个变量t，x，y，其中x和y都是参数t的函数．
(2) 联系：普通方程中自变量有一个，而且给定其中任意一个变量的值，可以确定另一
个变量的值；参数方程 中自变量也只有一个，而且给定参数t的一个值，就可以求出唯一对
应的x，y的值．
这两种 方程之间可以进行互化，通过消去参数可以把参数方程化为普通方程，而通过引
入参数，也可把普通方程 化为参数方程．
2．圆的参数方程

1．圆心在坐标原点，半径为r的圆的参数方程
如图圆O与x轴正半轴交点M
0
(r，0)．

(1)设M(x， y)为圆O上任一点，以OM为终边的角设为θ，则以θ为参数的圆O的参数
?
?
x＝ rcos
θ
方程是
?
(θ为参数)．
?
?
y＝rsin
θ
其中参数θ的几何意义是OM
0绕O点逆时针旋转到OM的位置时转过的角度．
(2)设动点M在圆上从M
0
点 开始逆时针旋转作匀速圆周运动，角速度为
ω
，则OM
0
经
?
?
x＝rcos
ω
t
过时间t转过的角θ＝ωt，则以t为参数的圆O的 参数方程为
?
(t为参数)．
?
y＝rsin
ω
t
?
.

其中参数t的物理意义是质点做匀速圆周运动的时间．
2．圆心为C(a，b)，半径为r的圆的参数方程
圆心为(a，b)，半径为r的圆的参数 方程可以看成将圆心在原点，半径为r的圆通过坐
?
?
x＝a＋rcos
θ
，
标平移得到，所以其参数方程为
?
(θ为参数)．
?
y＝b＋rsin
θ
?
3．参数方程和普通方程的互化

曲线的参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是在同一平面 直角坐标系中表示曲线的方程的两种不同
形式，两种方程是等价的可以互相转化．
(2)将曲 线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型．参数方程通过消去参数
就可得到普通方程． (3)普通方程化参数方程，首先确定变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，
?
?
x＝f（t）
其次将x＝f(t)代入普通方程解出y＝g(t)，则
?< br>(t为参数)就是曲线的参数方程．
?
y＝g（t）
?
(4)在参数 方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．
二 圆锥曲线的参数方程

1．椭圆的参数方程

椭圆的参数方程
?
?
x＝acos
φ
x
2
y
2
(1)中心在原点，焦点在x轴上的椭圆
2
＋
2
＝1(a>b>0)的参数方 程是
?
(φ是参
ab
?
y＝bsin
φ
?
数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．
?
?
x＝bcos
φ
y
2
x
2
(2)中心在原点，焦点在y轴上的椭圆
2
＋
2
＝1(a>b>0)的参数方 程是
?
(φ是参
ab
?
y＝asin
φ
?
数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．
（x－h）
2
（y－k）
2
(3)中心在(h，k)的椭圆普通方程为＋＝1，则其参数方程为a
2
b
2
?
?
x＝h＋acos
φ
?
(φ是参数)．
?
y＝k＋bsin
φ
?
2．双曲线的参数方程和抛物线的参数方程

1．双曲线的参数方程
?
?
x＝asec
φ
x
2
y
2
(1)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线
2
－
2< br>＝1的参数方程是
?
(φ为参数)，
ab
?
y＝btan < br>φ
?
π3π
规定参数φ的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠，
φ≠．
22
.

?
?
x＝btan
φ
y
2
x
2
(2)中心在原点，焦点在y轴上的双曲线
2
－
2
＝1的参数方程是
?
(φ为参数)．
ab
?
y＝asec
φ
?
2．抛物线的参数方程
?
x＝2pt
2
?< br>(1)抛物线y＝2px的参数方程为
?
(t为参数)．
?
y＝2p t
?
2
(2)参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒 数．
三 直线的参数方程

1．直线的参数方程
?
x＝x
0
＋tcos
α
?
经过点M
0
(x
0
，y
0
)，倾斜角为α的直线l的参数方程为
?(t为参数)．
?
y＝y＋tsin
α
?
0
2．直线的参数方程中参数t的几何意义
(1)参数t的绝对值表示参数t所对应的点M到定点M
0
的距离．
→→< br>(2)当M
0
M与e(直线的单位方向向量)同向时，t取正数．当M
0
M与e反向时，t取负数，
当M与M
0
重合时，t＝0．
3．直线参数方程的其他形式
对于同一条直线的普通方程，选取的参数不同，会得到不同的参 数方程．我们把过点
?
?
x＝x
0
＋tcos
α
M
0
(x
0
，y
0
)，倾斜角为α的直线，选取参数t＝M
0
M得到的参数方程
?
(t为参数)
?
y＝y
0< br>＋tsin
α
?
称为直线参数方程的标准形式，此时的参数t有明确的几何意义．
?< br>?
x＝x
0
＋at
b
一般地，过点M
0
(x
0
，y
0
)，斜率k＝(a，b为常数)的直线，参数方程为
?(t为参
a
?
y＝y＋bt
?
0
数)，称为直线参数方 程的一般形式，此时的参数t不具有标准式中参数的几何意义．
四 渐开线与摆线（了解）

1．渐开线的概念及参数方程
(1)渐开线的产生过程及定义
把一条没有弹性的细 绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持
绳子与圆相切，逐渐展开，铅笔画出的 曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．
(2)圆的渐开线的参数方程
以基圆 圆心O为原点，直线OA为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设基圆的半
?
?
x ＝r（cos
φ
＋φsin
φ
），
径为r，绳子外端M的坐标为 (x，y)，则有
?
(φ是参数)．这就是圆
?
?
y＝r（sin
φ
－φcos
φ
）
的渐开线的参数方程．
.

2．摆线的概念及参数方程
(1)摆线的产生过程及定义
平面内，一个动圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个固 定点所经过的轨迹，叫
做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．
(2)半径为r的圆所产生摆线的参数方程为
?
?
x＝r（φ－sin
φ
），
?
(φ是参数)．
?
?
y＝r（1－cos
φ
）
.