苏教版高中数学知识点整理-高中数学知识点总结

第一讲 集 合
一、知识精点讲解
1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。
（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的 元素，记作
a?A
；若b不是集合A的元素，
记作
b?A
；
（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；
确定性：设
A
是 一个给定的集合，
x
是某一个具体对象，则或者是
A
的元素，或者
不 是
A
的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；
互异性：一个给定集合中的元素， 指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因
此，同一集合中不应重复出现同一元素；
无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；
（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；
列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；
描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。
具体方法：在大括号内先 写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再
画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素 所具有的共同特征。
注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意 ，一
般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。
（4）常用数集及其记法：
*
非负整数集（或自然数集），记作N； 正整数集，记作N或N
+
；
整数集，记作
Z
； 有理数集，记作Q； 实数集，记作R。
2．集合的包含关系：
（1）集合A的 任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），
记作A
?
B（或
A?B
）；
集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若A
?
B且 B
?
A，则称A等于B，记作A=B；
若A
?
B且A≠B，则称A是 B的真子集，记作A B；

（2）简单性质：1）A
?
A；2）< br>?
?
A；3）若A
?
B，B
?
C，则A
?< br>C；4）若集合A
是n个元素的集合，则集合A有2
n
个子集（其中2
n
－1个真子集）；
3．全集与补集：
（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U；
（2）若S是一 个集合，A
?
S，则，
C
S
=
{x|x?S且x?A}称S中子集A的补集；
4．交集与并集：
（1）一般地，由属于集合A且属于集合B的 元素所组成的集合，叫做集合A与B的交
集。交集
A?B?{x|x?A且x?B}
。
（2）一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B
的并集。
并集A?B?{x|x?A或x?B}
。
注意：求集合的并、交、补是集合间的基本 运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集
的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题 时，常常从这两个字眼出发去揭示、
挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数 形结合的思想方法。

第二讲 函数概念与表示
一、知识精点讲解
1．函数的概念：
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的 对应关系f，使对于集合A中的任意一个
数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就 称f：A→B为从集合A到集合B
的一个函数。记作：y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自变量，x 的取值范围A叫做函数的定义域；
与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。
注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；
（2）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x。
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
（1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：
①自然 型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如：分式函数的分母不为零，
偶次根式函数的被开方 数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；
②限制型：指命题的条件或人为对自变量x的限制，这 是函数学习中重点，往往也是难
点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；
③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。
（2）求函 数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函
数的值域问题。
① 配方法（将函数转化为二次函数）；②判别式法（将函数转化为二次方程）；③不等
式法（运用不等式的 各种性质）；④函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函
数图象等）。
3．两个函数的相等：
函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f。当且仅 当两个函数的定
义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。
4．区间：区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
5．映射的概念
一般地 ，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A
中的任意一个元素x，在 集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A
?
B
为从集合A到集合 B的一个映射。记作“f：A
?
B”。
函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若 将其中的条件“非空数集”弱化为“任意
两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间 的对应关系，这种的对应就
叫映射。
注意：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到 A的映射是截然不同的．其中f
表示具体的对应法则，可以用汉字叙述。
（2）“都有唯一”什么意思？
包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。
6．常用的函数表示法：（1）解析法： （2）列表法：（3）图象法：
7．分段函数
若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称
分段函数 ；
8．复合函数
若y=f(u)，u=g(x),x?(a，b)，u?(m,n)，那么 y=f[g(x)]称为复合函数，u称为中间变量，
它的取值范围是g(x)的值域。

第三讲 函数的基本性质
一、要点精讲

1．奇偶性
（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x )，则称f(x)为奇函数；
如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称 f(x)为偶函数。
如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有 上述两条性质，
则f(x)既是奇函数，又是偶函数。
注意：
1
函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○
2
由函数 的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任○
意一个x，则－x也一定是 定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
1
首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○
2
确定f(－x)与f(x)的关系； ○
3
作出相应结论： ○
若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；
若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数。
（3）简单性质：
①图象的对 称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函
数是偶函数的充要条件是它的图 象关于y轴对称；
②设
f(x)
，
g(x)
的定义域分别是
D
1
,D
2
，那么在它们的公共定义域上：
奇+奇=奇，奇?
奇=偶，偶+偶=偶，偶
?
偶=偶，奇
?
偶=奇
2．单调性
（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内 的某个区间D
内的任意两个自变量x
1
，x
2
，当x
12
时，都有f(x
1
)2
)（f(x1
)>f(x
2
)），那么就说f(x)在区间
D上是增函数（减函数） ；
1
函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 注意：○
2
必须是对于区间D内的任意两个自变量x
1
，x
2；当x
1
2
时，总有f(x
1
) 2
) ○
（2）如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f (x)在这一区
间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。
（3）设复合函数y= f[g(x)]，其中u=g(x) , A是y= f[g(x)]定义域的某个区间，B是映射g :
x→u=g(x) 的象集：
①若u=g(x) 在 A上是增（或减）函数，y= f(u)在B上也是增（或减）函数，则函数y=
f[g(x)]在A上是增函数；
②若u=g(x)在A上是增（或减）函数，而y= f(u)在B上是减（或增）函数，则函数y= f[g(x)]
在A上是减函数。
（4）判断函数单调性的方法步骤：
1
任取x
1
，x
2
∈D，且x
1
2
； ○
2
作差f(x
1
)－f(x
2
)； ○
3
变形（通常是因式分解和配方）○；
4
定号（即判断差f(x
1
)－f(x
2
)的正负）○；
5
下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）○。

（5）简单性质
①奇函数在其对称区间上的单调性相同；
②偶函数在其对称区间上的单调性相反；
③在公共定义域内：
增函数
f(x)?
增函数
g(x)
是增函数；
减函数
f(x)?
减函数
g(x)
是减函数；
增函数
f(x)?
减函数
g(x)
是增函数；
减函数
f(x)?
增函数
g(x)
是减函数。
3．最值
（1）定义：
最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：① 对于任意的x
∈I，都有f(x)≤M；②存在x
0
∈I，使得f(x
0) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。
最小值：一般地，设函数y=f(x)的 定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x
∈I，都有f(x)≥M；②存在x
0∈I，使得f(x
0
) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。
注意：
1
函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x
0
∈I，使得f(x
0
) = M； ○
2
函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都 有f(x)○
≤M（f(x)≥M）。
（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：
1
利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值； ○
2
利用图象求函数的最大（小）值； ○
3
利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： ○< br>如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在 x=b
处有最大值f(b)；
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[ b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b
处有最小值f(b)；
4．周期性
（1）定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x+T)= f(x)，
则称f(x)为周期函数；
（2）性质：①f(x+T)= f(x)常常写作< br>f(x?
TT
)?f(x?),
若f(x)的周期中，存在一个最小
2 2
的正数，则称它为f(x)的最小正周期；②若周期函数f(x)的周期为T，则f(ωx)（ω≠0 ）是
周期函数，且周期为





T
|
?
|
。

第四讲 基本初等函数
一、要点精讲
1．指数与对数运算
（1）根式的概念：
①定义：若一个数的
n
次方等于
a(n?1,且n?N)
，则这个数称
a
的
n
次方根。即若
?
x
n
?a
，则< br>x
称
a
的
n
次方根
n?1且n?N
?
)
，
1）当
n
为奇数时，
a的n
次方根记作
n
a
；
2）当
n
为偶数时，负数
a
没有
n
次方根，而正数
a
有两个
n
次方根且互为相反数，记
作?
n
a(a?0)
。
n
②性质：1）
(
n< br>a)?a
；2）当
n
为奇数时，
n
a
n
?a
；
3）当
n
为偶数时，
n
a?|a|?
?
（2）．幂的有关概念
?
a(a?0)
。
?
?a(a?0)< br>0
①规定：1）
a?a?a???a(n?
N
*
；2）
a?1(a?0)
；
n个
3）
a
?p
n
1
?
p
(p?
Q，4）
an
?
n
a
m
(a?0,m
、
n?
N< br>*
且
n?1)
。
a
rsr?s
m
②性 质：1）
a?a?a
2）
(a)?a
r
rsr?s
(a?0 ,r
、
s?
Q）；
(a?0,r
、
s?
Q）；
r
3）
(a?b)?a?b(a?0,b?0,r?
Q）。
（注）上述性质对r、
s?
R均适用。
（3）．对数的概念
①定 义：如果
a(a?0,且a?1)
的b次幂等于N，就是
a?N
，那么数b
称以
a
为底
N的对数，记作
log
a
N?b ,
其中
a
称对数的底，N称真数。
1）以10为底的对数称常用对数，log
10
N
记作
lgN
；
2）以无理数
e (e?2.71828?)
为底的对数称自然对数，
log
e
N
，记 作
lnN
；


b
r

②基本性质：
1）真数N为正数（负数和零无对数）； 2）
log
a
1?0
；
3）
log
a
a?1
； 4）对数恒等式：
a
③运算性质：如果
a?0,a?0,M?0,N?0,
则
1）
log
a
(MN)?log
a
M?log
a< br>N
；
2）
log
a
log
a
N
?N
。
M
?log
a
M?log
a
N
；
Nn
3）
log
a
M?nlog
a
M(n?
R） 。
④换底公式：
log
a
N?
log
m
N
(a?0,a?0,m?0,m?1,N?0),

log
m
a
n
1）
log
a
b?log
b
a?1
；2）
log
a
m
b?
n
log
a
b
。
m
2．指数函数与对数函数
（1）指数函数：①定义：函数
y?a(a?0,且a?1)
称指数函数，
1）函数的定义域为R； 2）函数的值域为
(0,??)
；
3）当
0?a?1
时函数为减函数，当
a?1
时函数为增函数。
②函数图像：



图

象
a>1
4.5
4
x
04.5
4
3.5
3.5
3
3
2.5
2.5
2
2
1.5
1. 5
1
y=1
1
0.5
y=1
0.5
-4-3-2- 11234
-4-3-2-11234
-0.5
-0.5
-1
-1< br>

性
质
(1)定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1
(4)x>0时，y>1;x<0时，0（5）在 R上是增函数
(4)x>0时，01.
（5）在R上是减函数

（2）对数函数：①定义：函数
y?log
a
x(a?0,且a?1)
称对数函数，


a>1 0y
y=log
a
x
a>1
图
O
x
象
x=1
a<1

（1）定义域：（0，+∞）
（2）值域：R
（3）过点（1，0），即当x=1时，y=0
性
（4）
x?(0,1)
时
x?(0,1)
时
y?0

质
y?0

x?(1,??)
时
y?0

x?(1,??)
时
y>0
（5）在（0，+∞）上是增函
数






在（0，+∞）上是减函数

第五讲 函数图象及数字特征
一、知识精点讲解
1．函数图象
（1）作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法。
作 函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即
单调性、奇偶性、周 期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象。
用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的
变换。
（2）三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；
①平移变换：
Ⅰ、水 平平移：函数
y?f(x?a)
的图像可以把函数
y?f(x)
的图像沿x
轴方向向左
(a?0)
或向右
(a?0)
平移
|a|
个单位即可得到；
1）y=f(x)
?
y=f(x+h)； 2）y=f(x)
?
y=f(x?h)；
Ⅱ、竖直平移：函数
y?f(x )?a
的图像可以把函数
y?f(x)
的图像沿
x
轴方向向上
左移h右移h
(a?0)
或向下
(a?0)
平移
|a|
个 单位即可得到；
1）y=f(x)
?
y=f(x)+h； 2）y=f(x)
?
y=f(x)?h。
上移h下移h
②对称变换： < br>Ⅰ、函数
y?f(?x)
的图像可以将函数
y?f(x)
的图像关于< br>y
轴对称即可得到；
y轴
y=f(x)
?
y=f(?x)
Ⅱ、函数
y??f(x)
的图像可以将函数
y?f(x)
的图像关于
x
轴对称即可得到
y=f(x)
?
y= ?f(x)
Ⅲ、函数
y??f(?x)
的图像可以将函数
y?f(x)
的图像关于原点对 称即可得到
y=f(x)
?
y= ?f(?x)
Ⅳ、函数
x? f(y)
的图像可以将函数
y?f(x)
的图像关于直线
y?x
对称 得到
直线y?x
x轴
原点
y=f(x)
?
x=f(y)
Ⅴ、函数
y?f(2a?x)
的图像可以将函数
y?f(x)
的图像 关于直线
x?a
对称即可得
直线x?a
y=f(x)
?
y=f(2a?x)。

③翻折变换：
Ⅰ、函 数
y?|f(x)|
的图像可以将函数
y?f(x)
的图像的
x轴下方部分沿
x
轴翻折到
x
轴上方，去掉原
x
轴下方部 分，并保留
y?f(x)
的
x
轴上方部分即可得到；
y
y =f(x)
y
y=|f(x)|
a
o
b
c
x
a
o

b
c
x

Ⅱ、函数
y?f( |x|)
的图像可以将函数
y?f(x)
的图像右边沿
y
轴翻折到< br>y
轴左边替
代原
y
轴左边部分并保留
y?f(x)
在
y
轴右边部分即可得到
y
y=f(x)
y
y=f(|x| )
a
o
b
c
x
a
o

b
c
x

④伸缩变换：
Ⅰ、函数
y?af(x) (a?0)
的图像可以将函数
y?f(x)
的图像中的每一点横坐标不变
纵坐 标伸长
(a?1)
或压缩（
0?a?1
）为原来的
a
倍得到 ；
y=f(x)
?
y=af(x)
Ⅱ、函数
y?f(ax)(a ?0)
的图像可以将函数
y?f(x)
的图像中的每一点纵坐标不变
横坐标伸 长
(a?1)
或压缩（
0?a?1
）为原来的
x?a
y?a
1
倍得到。
a
f
(
x
)
y
=< br>f
(
x
)
?
y
=
f
(
ax
)
（3）识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面。

2．幂函数
y?x
?
(
?< br>?0,1)
在第一象限的图象，可分为如图中的三类：
?
?1


0?
?
?1


?
?0



图



在考查学生对幂函数性的掌握和运 用函数的性质解决问题时，所涉及的幂函数
y?x
?
中
?
限于在集合
?
?2，?1，?


?
?
111
?
，，，1，2，3
?
中取值。
232
?
幂函数有如下性质：
⑴它的图象都过（1，1）点，都不过第四象限，且除原点外与坐标轴都不相交；
⑵定义域 为R或的幂函数都具有奇偶性，定义域为
R或0，??
的
?
??
幂函 数都不具有奇偶性；
⑶幂函数
y?x(
?
?0)
都是无界函数； 在第一象限中，当
?
?0
时为减函数，当
?
?0
?
时为增函数；
⑷任意两个幂函数的图象至少有一个公共点（1，1），至多有三个公共点；

第六讲 函数与方程
一、知识精点讲解
1．方程的根与函数的零点
（1）函数零点概念：对于函数y?f(x)(x?D)
，把使
f(x)?0
成立的实数
x
叫做 函
数
y?f(x)(x?D)
的零点。
函数零点的意义：函数
y? f(x)
的零点就是方程
f(x)?0
实数根，亦即函数
y?f(x)
的图象与
x
轴交点的横坐标。即：方程
f(x)?0
有实数根
?< br>函数
y?f(x)
的图象与
x
轴
有交点
?
函 数
y?f(x)
有零点。
二次函数
y?ax?bx?c(a?0)
的零点：
１）△＞０，方程
ax?bx?c?0
有两不等实根，二次函数的图象与
x
轴有两个交点，
二 次函数有两个零点；
２）△＝０，方程
ax?bx?c?0
有两相等实根（二重根） ，二次函数的图象与
x
轴
有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；
３）△＜０，方程
ax?bx?c?0
无实根，二次函数的图象与
x
轴无交 点，二次函数
无零点。
零点存在性定理：如果函数
y?f(x)
在区间[a,b]
上的图象是连续不断的一条曲线，并
且有
f(a)f(b)?0
，那么函数
y?f(x)
在区间
(a,b)
内有零点。既存在
c? (a,b)
，使得
2
2
2
2
f(c)?0
，这个< br>c
也就是方程的根。
2.二分法
二分法及步骤：
对于在区间[a
，
b]
上连续不断，且满足
f(a)
·
f(b)< br>?0
的函数
y?f(x)
，通过不断
地把函数
f(x)
的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零
点近似值的方法叫做二分法 ．
给定精度
?
，用二分法求函数
f(x)
的零点近似值的步骤如下：
（1）确定区间
[a
，
b]
，验证
f(a)
·f(b)
?0
，给定精度
?
；
（2）求区间
(a
，
b)
的中点
x
1
；

（3）计算
f(x
1
)
：
①若
f(x
1
)
=
0
，则
x
1
就是函 数的零点；
②若
f(a)
·
f(x
1
)
<
0
，则令
b
=
x
1
（此时零点
x
0?(a,x
1
)
）；
③若
f(x
1
)
·
f(b)
<
0
，则令
a
=
x
1
（此时零点
x
0
?(x
1
,b)
）；
注：用二 分法求函数的变号零点：二分法的条件
f(a)
·
f(b)
?0
表明 用二分法求函数
的近似零点都是指变号零点。
3．二次函数的基本性质
（1）二次 函数的三种表示法：y=ax
2
+bx+c；y=a(x－x
1
)(x－x< br>2
)；y=a(x－x
0
)
2
+n。
（2）当a> 0，f(x)在区间［p，q］上的最大值M，最小值m，令x
0
=
1
(p+q)。
2
b
2a
bb
若p≤－0
，则f(－)=m，f(q)=M；
2a2a
bb
若x
0
≤－2a2a
b
若－≥q，则f(p)=M，f(q)=m。
2a
（3）二次方程f(x)=ax
2
+bx+c=0的实根分布及条件。
①方程f(x)=0的两根中一根比r大，另一根比r小
?
a·f(r)<0； 若－
?
??b
2
?4ac?0,
?
?
b
②二次方程f(x)=0的两根都大于r
?
?
?

?r,
?
2a
a?f(r)?0
?
?
?
??b
2
?4ac?0,
?
b
?
?q,
?
p??
③二次方 程f(x)=0在区间(p，q)内有两根
?
?

2a
?
a ?f(q)?0,
?
?
?
a?f(p)?0;
④二次方程f(x)= 0在区间(p，q)内只有一根
?
f(p)·f(q)<0，或f(p)=0(检验)或f(q )=0(检
验)检验另一根若在(p，q)内成立。

第七讲 空间几何体
一、知识精点讲解
1．柱、锥、台、球的结构特征
（1）柱
棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余 各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公
共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱 中两个互相平行的面叫做棱柱的
底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱 的侧棱；侧面与底
面的公共顶点叫做棱柱的顶点。
底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……
圆柱：以矩 形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做
圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴； 垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什
么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的 母线。
棱柱与圆柱统称为柱体；
（2）锥
棱锥：一般的有一个面是多边形，其余 各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所
围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或 底；有公共顶点的各个三角形面叫
做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边 叫做棱锥的侧棱。
底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……
圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围
成的几何 体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜
边旋转形成的曲面叫做 圆锥的侧面。
棱锥与圆锥统称为锥体。
（3）台
棱台：用一个平行于底面的平面 去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的
底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台 也有侧面、侧棱、顶点。
圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台； 原圆锥的
底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴。
圆台和棱台统称为台体。
（4）球
以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转 一周形成的几何体叫做球体，简称为球；
半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直 径叫做球的直径。
（5）组合体
由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。
2．空间几何体的三视图
三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。
他具体包括：
（1）正视图：物体前后方向投影所得到的投影图；
它能反映物体的高度和长度；
（2）侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；
它能反映物体的高度和宽度；
（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；
它能反映物体的长度和宽度；

第八讲 空间几何体的表面积和体积
一、知识精点讲解
1．多面体的面积和体积公式

名称
棱
柱
棱柱
直棱柱
棱锥
正棱锥
棱台
棱
台
正棱台
侧面积(S
侧
)
直截面周长×l
全面积(S
全
) 体 积(V)
S
底
·h=S
直截面
·h
S
侧
+2S
底

S
底
·h
S
侧
+S
底

S
侧
+S
上底
+S
下
底
ch
各侧面积之和
棱
锥
1
ch′
2
各侧面面积之和
1
S
底
·h
3
1
(c+c′)h′
2
1
h(S
上底
+S
下底
3

+
S
下底
?S
下底
)
表中S表示面积，c′、c 分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧
棱长。
2．旋转体的面积和体积公式

名称 圆柱
2πrl
2πr(l+r)
πr
2
h(即πr
2
l)
圆锥
πrl
πr(l+r)
圆台
π(r
1
+r
2
)l
π(r
1
+r2
)l+π(r
2
1
+r
2
2
)
球

4πR
2

S
侧

S
全

V
1
2
πrh
3
1< br>πh(r
2
1
+r
1
r
2
+r
2< br>2
)
3
4
πR
3

3
表中l、h 分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r
1
、r
2
分别表示 圆台 上、
下底面半径，R表示半径。

第九讲 空间中的平行关系
一、复习目标要求
1．平面的基本性质与推论
借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的 基础上，抽象出空间
线、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理：
◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内；
◆公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；
◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直
线；
◆公理4：平行于同一条直线的两条直线平行；
◆定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
2．空间中的平行关系
以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确 认、思辨论证，
认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。通过直观感知、操作确认，归纳< br>出以下判定定理：
◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；
◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；
通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明：
◆一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面交线与该直线平行；
◆两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行；
◆垂直于同一个平面的两条直线平行
能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。
二、要点精讲
1．平面概述
（1）平面的两个特征：①无限延展 ②平的（没有厚度）
（2）平面的画法：通常画平行四边形来表示平面
（3）平面的表示： 用一个小写的希腊字母
?
、
?
、
?
等表示，如平面
?
、平面
?
；用
表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC。

2．三公理三推论:
公理1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内：
A?l
,B
?l
,A
?
?
,B
?
??
l?
?

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共 点，且所有这些公共点的
集合是一条过这个公共点的直线。
公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。
推论一：经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。
推论二：经过两条相交直线,有且只有一个平面。
推论三：经过两条平行直线,有且只有一个平面。
3．空间直线:
（1）空间两条直线的位置关系：
相交直线——有且仅有一个公共点；
平行直线——在同一平面内，没有公共点；
异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。相交直线和平行直线也称为共面直
线。
异面直线的画法常用的有下列三种：

b
b
?

b

a
a
a
?

?
?


（2）平行直线：
在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这个结 论在空间也是成立的。
即公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
（3）异面直线定 理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直
线是异面直线。推理模式：A?
?
,B?
?
,a?
?
,B?a?
AB与a是异面直线。
4．直线和平面的位置关系
（1）直线在平面内（无数个公共点）；
（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；
（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类。
它们的图形分别可表示为 如下，符号分别可表示为
a?
?
，
a
?
?A
，a
?
。
a
a
a
?
?
A
?

线面平行的判 定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那
么这条直线和这个平面平行。推理 模式：
a
a?
?
,b?
?
,ab?a
?
．


?
a
b
P
?
b
P

线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。推理模式：
a
?
,a?
?
,?






?
a
b
?
?
?b?ab
．
5．两个平面的位置关系有两种：两平面相交（有一条公共直线）、两平面平行（没有公
共点）
（1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，
那么这两 个平面平行。

a?
?
?
?
b
定理的模式：b?
?
?

?
a
?
ab?P
?
?
?

?
a
?
?
?
c
?
b
?
?
?

推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个 平面内的两条相交直线，那么
这两个平面互相平行。
推论模式：
ab?P,a??
,b?
?
,a
?
b
?
?P
?
,a
?
?
?
,b
?
?
?
,aa
?
,bb
?
?
?

?

（2）两个平面平行 的性质（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于
另一个平面；（2）如果两个平行平 面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

第十讲 空间中的垂直关系
一、知识精点讲解

1．线线垂直
判断线线垂直的方法 ：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直
于另一条。
三垂线定理：在 平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的
P
射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条
O
斜线垂直，那麽 它也和这条斜线的射影垂直。
PO?
?
,O?
?
?
?
推理模式：
PA
?
?A
?
?a?AO
。
a?
?,a?AP
?
?
A
?
a
注意：⑴三垂线指PA，PO， AO都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直
线垂直的判定和性质定理 ⑵要考虑a的位置，并注意两定理交替使用。
2．线面垂直
定义：如果一条直线l和一个平 面α相交，并且和平面α内的任意一条直
线都垂直，我们就说直线l和平面α互相垂直其中直线l叫做平 面的垂线，平
面α叫做直线l的垂面,直线与平面的交点叫做垂足。直线l与平面α垂直记作：
l⊥α。
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直
线都垂直，那 么这条直线垂直于这个平面。
直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
3．面面垂直
两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理：（线面垂直
?
面面垂直）
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
两平面垂直的性质定理 ：（面面垂直
?
线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平
面内垂直于它们的交线 的直线垂直于另一个平面。

第十一讲 直线、圆的方程
一、知识精点讲解
1．倾斜角：一条直线L向上的 方向与X轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜
角，范围为
?
0,
?< br>?
。
2．斜率：当直线的倾斜角不是90
0
时，则称其正切值为该直 线的斜率，即k=tan
?
;
当直线的倾斜角等于90
0
时，直线的 斜率不存在。
过两点p
1
(x
1
,y
1
),p< br>2
(x
2
,y
2
)(x
1
≠x
2< br>)的直线的斜率公式:k=tan
?
?
y
2
?y
1< br>（若x
1
＝x
2
，则直
x
2
?x
1
线p
1
p
2
的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90
0）。
4．直线方程的五种形式确定直线方程需要有两个互相独立的条件。确定直线方程的形
式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围。
名称
斜截式
点斜式
方程
y=kx+b
y-y
0
=k(x-x
0
)
说明
k——斜率
b——纵截距
(x
0
，y
0
)——直线上
已知点，k——斜率
适用条件
倾斜角为90°的直线不
能用此式
倾斜角为90°的直线不
能用此式
两点式
y?y
1
x? x
1
(x
1
，y
1
)，(x
2
，y
2
)是直线上与两坐标轴平行的直线
=
不能用此式
y
2
?y
1
x
2
?x
1
两个已知点
xy
+=1
a
b
Ax+By+C=0
a——直线的横截距
b——直线的纵截距
过（0，0）及与两坐标轴
平行的直线不能用此式
截距式
一般式
5．圆的方程
?
ACC
，
?
，
?
分别为

BAB
斜率、横截距和纵截距
A、B不能同时为零
圆心为
C(a ,b)
，半径为r的圆的标准方程为：
(x?a)?(y?b)?r(r?0)
。特殊
地，当
a?b?0
时，圆心在原点的圆的方程为：
x?y?r
。 < br>圆的一般方程
x?y?Dx?Ey?F?0
，圆心为点
(?
22
222
222
DE
,?)
，半径
22
r?
D2
?E
2
?4F
22
，其中
D?E?4F?0
。
2
二元二次方程
Ax?Bxy?Cy?Dx?Ey?F?0
，表示圆的方 程的充要条件是：
22
①、
x
项
y
项的系数相同且不为0 ，即
A?C?0
；
②、没有xy项，即B=0；③、
D?E?4AF?0
。
22
2
2

第十二讲 直线、圆的位置关系
一、知识精点讲解
1．直线l
1
与直线l
2
的的平行与垂直
（1）若l
1
，l
2
均存在斜率且不重合：
①l
1
l
2
?
k
1
=k
2；②l
1
?
l
2
?
k
1
k
2
=－1。
（2）若
l
1
:A< br>1
x?B
1
y?C
1
?0,
若A
1
、A
2
、B
1
、B
2
都不为零。
①l
1
l
2
?
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0

A
1
B
1
C
1
；

??
A
2
B
2
C
2
②l
1
?
l
2
?
A
1
A
2
+B
1
B
2
=0；
③ l
1
与l
2
相交
?
A
1
B
?1
；
A
2
B
2
A
1
B
1< br>C
1
；
??
A
2
B
2
C
2
④l
1
与l
2
重合
?
注意：若A
2或B
2
中含有字母，应注意讨论字母=0与
?
0的情况。两条直线的交点 :两
条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数。
2． 距离 < br>（1）两点间距离：若
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，则
AB?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2

特 别地：
ABx
轴，则
AB?
|x
1
?x
2
|
、
ABy
轴，则
AB?
|y
1
?y
2< br>|
。
（2）平行线间距离：若
l
1
:Ax?By?C
1
?0,l
2
:Ax?By?C
2
?0
，
则：
d?
C
1
?C
2
A?B
22
。注意点：x，y对应项系数应相等。
（3）点到直线的距离：
P(x
?
, y
?
),l:Ax?By?C?0
，则P到l的距离为：
d?
Ax< br>?
?By
?
?C
A?B
22

222
3．直线
Ax?By?C?0
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关系 有三种
（1）若
d?
Aa?Bb?C
A?B
22
，
d?r?相离???0
；
（2）
d?r?相切???0
；
（3）
d?r?相交???0
。

还可以利用直线 方程与圆的方程联立方程组
?
?
Ax?By?C?0
?
x?y?Dx ?Ey?F?0
22
求解，通过解
的个数来判断：
（1）当方程组有2个公共解时（直线与圆有2个交点），直线与圆相交；
（2）当方程组有且只有1个公共解时（直线与圆只有1个交点），直线与圆相切；
（3）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离；
即：将直线方程代入圆 的方程得到一元二次方程，设它的判别式为Δ，圆心C到直线l
的距离为d,则直线与圆的位置关系满足 以下关系：
相切
?
d=r
?
Δ＝0；
相交
?
d?
Δ>0；
相离
?
d>r
?
Δ<0。
4．两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O
1
，O
2
，半径分别为r
1
， r
2
，
O
1
O
2
?d
。
d?r
1
?r
2
?外离?4条公切线
；
d?r
1
?r
2
?外切?3条公切线
；
r
1
?r
2
?d?r
1
?r
2
?相交?2条公切线
；
d?r
1
?r
2
?内切?1条公切线
；
0?d?r
1
?r
2
?内含?无公切线
；

外离 外切


相交 内切 内含
判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决。

第十三讲 任意角的三角函数及诱导公式
一、知识精点讲解
1．任意角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图 形。一条射
线由原来的位置
OA
，绕着它的端点
O
按逆时针方向旋转 到终止位置
OB
，就形成角
?
。旋
转开始时的射线
OA叫做角的始边，
OB
叫终边，射线的端点
O
叫做叫
?
的 顶点。
为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形
成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。
2．终边相同的角、区间角与象限角
角的顶点与原点重合，角的始边与
x
轴 的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）
在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。要特别注意 :如果角的终边在坐标轴上,就认为
这个角不属于任何一个象限,称为非象限角。
终边相同的 角是指与某个角α具有同终边的所有角，它们彼此相差2kπ(k∈Z)，即β∈
{β|β=2kπ+α ，k∈Z}，根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都相等。
区间角是介于两个角之间 的所有角，如α∈{α|
5
?
??
5
?
≤α≤}=[，]。
66
66
3．弧度制
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记 作1
rad
，或1弧度，或1(单
位可以省略不写)。
角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正
角的 弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角
的旋转方向来决定 。
角
?
的弧度数的绝对值是：
?
?
l
，其中，l 是圆心角所对的弧长，
r
是半径。
r
?
角度制与弧度制的换算主要 抓住
180?
?
rad
。
弧度与角度互换公式：1rad＝
180
°≈57.30°=57°18ˊ、1°＝
?
≈0.01745（rad）。
?
180
弧长公式：
l?|
?
|r
（
?< br>是圆心角的弧度数），
扇形面积公式：
S?
4．三角函数定义
在< br>?
的终边上任取一点
P(a,b)
,它与原点的距离
r?a
2
?b
2
?0
.过
P
作
x
轴的垂线,
垂足为
M
,则线段
OM
的长度为
a
,线段
MP< br>的长度为
b
.则
sin
?
?
11
lr?|< br>?
|r
2
。
22
MPb
?
；
OP r
cos
?
?




OMaMPb
?
；
tan
?
??
。
OPrOMa

利用单位圆定义任意角的三角函数，设
?是一个
任意角,它的终边与单位圆交于点
P(x,y)
,那么:
(1)
y
叫做
?
的正弦,记做
sin
?
,即
si n
?
?y
；
（2）
x
叫做
?
的余弦,记 做
cos
?
,即
cos
?
?x
；
a的终边
P(x,y
y
O
x
y
叫做
?
的正切,记做
ta
?
n
,即
x
y
ta n
?
?(x?0)
。
x
(3)
5．三角函数线
三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函
数值的一种图示方法。利用三角函数线在解决比 较三角函数值
大小、解三角方程及三角不等式等问题时，十分方便。
以坐标原点为圆心，以单 位长度1为半径画一个圆，这个
圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1
米 ）。当角
?
为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点
y
a角的终
P T
O M A
P(x,y)
，过点
P作
PM?x
轴交
x
轴于点
M
，根据三角函数
的 定义：
|MP|?|y|?|sin
?
|
；
|OM|?|x|?|c os
?
|
。
我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角< br>?
的终边不在坐标轴时,
以
O
为始点、
M
为终点，规 定：
当线段
OM
与
x
轴同向时，
OM
的方向为正 向，且有正值
x
；当线段
OM
与
x
轴反向
时，OM
的方向为负向，且有正值
x
；其中
x
为
P
点的横坐标.这样,无论那种情况都有
OM?x?cos
?

同理,当角< br>?
的终边不在
x
轴上时,以
M
为始点、
P
为 终点，
规定：当线段
MP
与
y
轴同向时，
MP
的 方向为正向，且有正值
y
；当线段
MP
与
y
轴
反向 时，
MP
的方向为负向，且有正值
y
；其中
y
为
P
点的横坐标。
这样,无论那种情况都有
MP?y?sin
?
。像< br>MP、OM
这种被看作带有方向的线段，
叫做有向线段。
如上图,过点
A(1,0)
作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与
?
的终边交于点x
T
,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段
OA、AT< br>,我们有
y
tan
?
?AT?

x
我们把 这三条与单位圆有关的有向线段
MP、OM、AT
,分别叫做角
?
的正弦线、 余
弦线、正切线，统称为三角函数线。

6．同角三角函数关系式
使用这组公式进行变形时，经常把“切”、“割”用“弦”表示，即 化弦法，这是三角
变换非常重要的方法。
几个常用关系式：sinα+cosα，sinα- cosα，sinα·cosα；(三式之间可以互相表示)

同理可以由sinα－cosα或sinα·cosα推出其余两式。
?
?
?
?
?
?
②
1?sin
?
?
?
1 ?sin
?
． ③当
x?
?
0,
?
时，有
sinx?x?tanx
。
2
?
?
2
?
?
7．诱导公式
可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”。
诱导公式一：
sin(
?
?2k
?
)?sin
?
，
cos(
?
?2 k
?
)?cos
?
，其中
k?Z

2
?

0
?
?)?
cos
诱导公式二：
sin(180?
?
)?
?sin
?
；
cos(18?
诱导公式三：
sin(?
?
)??sin
?
；
cos(?
?
)?cos
?

诱导公式四：
sin(180?
?
)?sin
?
；
cos(180?
?
)??cos
?

诱导公式五：
sin(360?
?
)??sin
?
；
cos(360?
?
)?cos
?


sin
cos
－
?

－sin
?

cos
?

?
?
?

sin
?

－cos
?

?
?
?

－sin
?

－cos
?

2
?
?
?

－sin
?

cos
?

2k
?
?
?
?
k?Z
?

sin
?

cos
?

?
2
?
?

cos
?

sin
?

（1）要化的角的形式为
k?180?
?
（
k
为常整数）；
（2）记忆方法：“函数名不变，符号看象限”；
（3）sin(kπ+α)=(－1)k
sinα；cos(kπ+α)=(－1)
k
cosα(k∈Z)；
（4）
sin
?
x?







?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
????
?
?
?cos?x?cosx?cosx??sin? x
；
?????????
。
4
?
4444
????????

第十四讲 三角函数的图象与性质
一、知识精点讲解
1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 y=sinx
-4
?
-7
?
-3
?
2
-5
?
2
-2
?
-3
?
-
?
2< br>-
?
2
y
1
-1
y
-
?
- 2
?
-3
?
2
y
o
3
?
2
?
2
?
2
?
5
?
2
3
?
7
?
2
4
?
x

y=cosx
-4?
-7
?
2
-5
?
-3
?
2
-
?
2
1
-1
o
?
2
?
3
?
2
2
?5
?
2
3
?
7
?2
4
?
x

y=tanx
-
3
?2
-
?
-
?
2
o
?
2
?3
?
2
x

2．三角函数的单调区间：
??
??
2k
?
?
?
(k?Z)
， y?sinx
的递增区间是
?
2k
?
?，
22
??
递减区间是
?
2k
?
?
?
?
?
2
，2k
?
?
3
?
?
(k?Z)
；
?
2
?
2k
?
?
(k?Z)
，
y?cosx
的递增区间是
?
2k
?
?
?
，
2k
?
?
?
?
(k?Z)
， 递减区间是
?2k
?
，
??
??
y?tanx
的递增区间是
?
k
?
?，k
?
?
?
(k?Z)
， 22
??
（其中A?0，
?
?0）
3．函数
y?Asi n(
?
x?
?
)?B

最大值是
A?B
， 最小值是
B?A
，周期是
T?
初相是
?
；其图象的对称轴是 直线
?
x?
?
?k
?
?
2
?
?< br>，频率是
f?
?
，相位是
?
x?
?
，
2
?
?
2
(k?Z)
，凡是该图象与直线
y?B
的

交点都是该图象的对称中心。
4．由
y
＝si n
x
的图象变换出
y
＝sin(ω
x
＋
?
)的图象一般有两个途径，只有区别开这
两个途径，才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换 作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种
变形，请切记每一个变换总是对字母
x
而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是
“角变化”多少。
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)
先将
y
＝sin
x< br>的图象向左(
?
＞0)或向右(
?
＜0＝平移｜
?
｜ 个单位，再将图象上各点
的横坐标变为原来的
1
倍(ω＞0)，便得
y
＝sin(ω
x
＋
?
)的图象。
?
1
倍(ω＞ 0)，再沿
x
轴向左(
?
＞0)
?
途径二：先周期变换(伸 缩变换)再平移变换。
先将
y
＝sin
x
的图象上各点的横坐标变 为原来的
或向右(
?
＜0＝平移
|
?
|
5．由y
＝
A
sin(ω
x
＋
?
)的图象求其函数式 ：
? 给出图象确定解析式
y
=
A
sin（ω
x
+
?
）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－
?
个单位，便得
y
＝sin(ω
x
＋
?
)的图象。
?
，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。
．．
?
? 6．对称轴与对称中心：
?
y?sinx
的 对称轴为
x?k
?
?
?
2
，对称中心为
(k
?
,0) k?Z
；
?
y?cosx
的对称轴为
x?k
?
，对称中心为
(k
?
?
?
2
, 0)
；
? 对于
y?Asin(
?
x?
?
)和
y?Acos(
?
x?
?
)
来说，对称中心与零点相 联系，对称轴
与最值点联系。
? 7．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角 函数的标准式，要特别注
意
A
、
?
的正负利用单调性三角函数大小一 般要化为同名函数,并且在同一单调区间；
? 8．求三角函数的周期的常用方法：
? 经 过恒等变形化成“
y?Asin(
?
x?
?
)
、
y ?Acos(
?
x?
?
)
”的形式，在利用周期
公式，另外 还有图像法和定义法。
9．五点法作
y
=
A
sin（ω
x
+
?
）的简图：
五点取法是设
x
=ω
x
+
?
，由
x
取0、
再描点作图。












π 3π
、π、、2π来求相应的
x
值及对应的
y
值，
22

第十五讲 三角恒等变形及应用
一、目标要求
1．经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；
2． 能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、
余弦、正切公式，了解 它们的内在联系；
3．能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、和差化积、半角 公
式，但不要求记忆）。
二、知识精点讲解
1．两角和与差的三角函数
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
? cos
?
sin
?
；
cos(
?
?
?< br>)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
；
tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
。
1tan
?
tan
?
2．二倍角公式
sin2
?
?2sin
?
cos
?
；
c os2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2 cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
；
tan2
?
?
2tan
?
。
1?tan
2
?
3．三角函数式的化简
常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；
③ 三角 公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；
③使项数尽量少； ④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。
（1）降幂公式
sin?
cos
?
?
11?cos2
?
1?cos2
?
2
；
cos
?
?
。
sin2
?
；
sin
2
?
?
222
b
a?b
22< br>（2）辅助角公式
asinx?bcosx?a
2
?b
2
? sin
?
x?
?
?
，
其中sin
?
?，c os
?
?
a
a?b
22
。
4．三角函数的求值类型有三类
（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给 角与特殊角间的关系，利
用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；
（2 ）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的
关键在于“变角”，如
?
?(
?
?
?
)?
?
,2
??(
?
?
?
)?(
?
?
?
)
等，把所求角用含已知角
的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；
（3）给值求角：实质 上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求
角的范围及函数的单调性求得角。
5．三角等式的证明
三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用 化繁为简、左
右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；

第十六讲 平面向量的概念及运算
一、知识精点讲解
1．向量的概念
①向量
?
?
?
既有大小又有方向的量。向量一般用
a,b ,c
……来表示，或用有向线段的起点与终点的
大写字母表示，如：
AB
几何 表示法
AB
，
a
；坐标表示法
a?xi?yj?(x,y)
。向量的大
?
?
小即向量的模（长度），记作|
AB
|即向量的大小 ，记作｜
a
|。
?
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
②零向量
长度为0的向量，记为
0
，其方向是任意的，
0
与任意向量平行零向量
a
＝
0
?
｜
a
｜
? ?
?
?
?
＝0。由于
0
的方向是任意的，且规定
0
平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问
题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件 。（注意与0的区别）
③单位向量
模为1个单位长度的向量，向量
a
0< br>为单位向量
?
｜
a
0
｜＝1。
④平行向量（共线向量）
方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线 上，方向相同或相
??
?
?
反的向量，称为平行向量，记作
a
∥
b
。由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行
向量总可以平移到同一直 线上，故平行向量也称为共线向量。
数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可 以任意选取，现在必
须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量 中的“平
行”与几何中的“平行”是不一样的。
⑤相等向量
?
?
长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为
a?b
。大小相等，
方向相同
?
x
1
?x
2
(x
1
,y
1
)?(x
2
,y
2
)
?
?
。
y?y
2
?
1
2．向量的运算
（1）向量加法
求两个向量和的运算叫做向量的加法。
设
AB?a,BC?b
，则
a
+
b
=
AB?BC
=
AC
。
规定：
?
?
??
?
?
（1）
0?a?a?0?a
；
（2）向量加法满足交换律与结合律；

向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”
（1）用平行四边形法则时，两个已知向量 是要共始点的，和向量是始点与已知向量的
始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从 减向量指向被减向量。
（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个 向量的终
点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。
当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法
则。
向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：
AB?BC?CD??PQ?QR?AR
，但这时必须“首尾相连”。
（2）向量的减法
??
①相反向量：与
a
长度相等、方向相反的 向量，叫做
a
的相反向量。
记作
?a
,零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有： （i）
?(?a)
=
a
； (ii)
?
?
???
????
?
???
?
?
?
?
a< br>+(
?a
)=(
?a
)+
a
=
0
； (iii)若
a
、
b
是互为相反向量，则
a
=
?b
,
b
=
?a
,
a
+
b
=
0
。
②向量减法
?
??
?
向量
a
加上
b
的相反向量叫做
a
与
b
的差，
?
?< br>?
?
记作：
a?b?a?(?b)
求两个向量差的运算，叫做向量的减 法。
?
?
?
??
?
③作图法：
a?b
可 以表示为从
b
的终点指向
a
的终点的向量（
a
、
b
有共同起点）。
（3）实数与向量的积
??
①实数λ与向量
a< br>的积是一个向量，记作λ
a
，它的长度与方向规定如下：
（Ⅰ）
?
a?
?
?a
；
（Ⅱ）当
??0
时，λ
a
的方向与
a
的方向相同；当
?
? 0
时，λ
a
的方向与
a
的方向相
??
?????
?
反；当
?
?0
时，
?
a?0
，方 向是任意的。
②数乘向量满足交换律、结合律与分配律。
3．两个向量共线定理：
??
?
?
向量
b
与非零向量
a
共线
?< br>有且只有一个实数
?
，使得
b
=
?
a
。
4．平面向量的基本定理
如果
e
1
,e
2
是一个 平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量
a
，有且只
有一对实数
?
1
,
?
2
使：
a?
?
1
e< br>1
?
?
2
e
2
其中不共线的向量
e
1
,e
2
叫做表示这一平面内所有向
量的一组基底。




??
?
?????

5．平面向量的坐标表示
（1）平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴 方向相同的两个单
位向量
i,j
作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向 量
a
可表示成
a?xi?yj
，由于
a
与数对(x,y)是 一一对应的，因此把(x,y)叫做向量
a
的坐标，记作
a
=(x,y)，< br>其中x叫作
a
在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。
规定：
（1）相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；
（2）向量的坐标与表示该向量 的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对
位置有关系。
（2）平面向量的坐标运算：
①若
a?
?
x
1
, y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?< br>，则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
；
②若
A
?
x
1,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
，则
AB?
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?
；
③若
a
=(x,y)，则
?
a
=(
?
x,
?
y)；
④若
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
，则
ab?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
。
第十七讲 平面向量的数量积及应用
一、知识精点讲解
1．向量的数量积
（1）两个非零向量的夹角
已知非零向量A与A，作
O A
＝
a
，
OB
＝
b
，则∠A
Ｏ
A ＝Θ（０≤Θ≤Π）叫
a
与
b
的夹
角；
说明：（1）当Θ＝０时，
a
与
b
同向；
（2）当Θ＝Π时，
a
与
b
反向；
（3）当Θ＝
?
时，
a
与
b
垂直，记
a
⊥
b
；
2
（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0?≤?≤180?。
C

（2）数量积的概念
b
=︱
a
︱·已知两个非零向量
a
与
b
，它们的 夹角为
?
，则
a
·︱
b
︱COS
?
叫做< br>a
与
b
的数量积（或内积）。规定
0?a?0
；
（3）向量数量积的性质
①向量的模与平方的关系：
a?a?a?|a|
。
②乘法公式成立
22
????
?
a?b
?
?a? 2a?b?b
2
2
a?b?a?b?a
2
?b
2
? a?b
；
2
2
2
?a?2a?b?b
；
2
2
③平面向量数量积的运算律
交换律成立：
a?b?b?a
；
??
?
?
?R
?
；
分配律成立：
?a?b
?
?c?a?c?b?c?c?
?
a?b
?
。
对实数的结合律成立：
?
?
a
?
?b?
?
a?b?a?
?
b
④向量的夹角：COS
?
=
cos?a, b??
??
a?b
a?b
=
x
1
x
2?y
1
y
2
x
1
?y
1
?x
2
?y
2
2222
。
当且仅当两个非零向量
a
与
b
同方向时，Θ=0
0
，当且仅当
a
与
b
反方向时Θ=180
0
，同
时
0
与其它任何非零向量之间不谈夹角这 一问题。
（5）两个向量的数量积的坐标运算
b
=
x
1
x
2
?y
1
y
2
。 已知两个向量
a?(x
1
,y
1
),b?(x
2
,y
2
)
，则
a
·
（6）垂直：如果
a
与
b
的夹角为90
0
则称
a
与
b
垂直，记作
a
⊥
b
。
?
?
?
?
两个非零向量垂直的充要条件：
a
⊥
b
?
a
·
b
＝O
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
，平面向量
数量积 的性质。
（7）平面内两点间的距离公式
设
a?(x,y)
，则
|a|
2
?x
2
?y
2
或
|a|?x
2< br>?y
2
。
如果表示向量
a
的有向线段的起点和终点的坐标分 别为
(x
1
,y
1
)
、
(x
2
, y
2
)
，那么
|a|?(x
1
?x
2
)< br>2
?(y
1
?y
2
)
2
(平面内两点间的距 离公式)。

向量中的结论：

1.
a
与b的数量积(或内积)
a
·b=|
a
||b|cosθ． 问 a·b的几何意义？
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．
2.线段的定比分公式
设
P
1
P
2
的分点,
?
是实数，且
PP
1
(x
1
,y
1
)
，
P
2
(x
2
,y
2
)
，< br>P(x,y)
是线段
P
1
?
?
PP
2
，则
x
1
?
?
x
2
?
x?
?
OP
1
?
1?
?
1
?
?
OP2
OP?
（）.
t?
OP?tOP?(1?t)OP
???
12
1?
?
1?
?
y?
?
y
2
?
y?
1
?
1?
?
?
3.三角形的重 心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为
A(x
1
,y
1)
、
B(x
2
,y
2
)
、
C(x3
,y
3
)
,则△ABC的重心的坐
标是
G(
x
1
?x
2
?x
3
y
1
?y
2< br>?y
3
,)
.
33
4.点的平移公式
''??
?
x?x?h
?
x?x?h
''
?OP?OP?P P
.
?
??
''
?
y?y?k
?
??
y?y?k
注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形
F
上的对应点 为
P(x,y)
，且
PP
的
坐标为
(h,k)
.
5.“按向量平移”的几个结论
（1）点
P(x,y)
按向量a=
(h,k)
平移后得到点
P(x?h,y?k)
.
(2) 函数
y ?f(x)
的图象
C
按向量a=
(h,k)
平移后得到图象
C
,则
C
的函数解析式
为
y?f(x?h)?k
.
(3) 图象
C
按向量a=
(h,k)
平移后得到图象
C< br>,若
C
的解析式
y?f(x)
,则
C
的函数
解析式为
y?f(x?h)?k
.
(4)曲线
C
:
f(x ,y)?0
按向量a=
(h,k)
平移后得到图象
C
,则
C
的方程为
f(x?h,y?k)?0
.
(5) 向量m=
(x,y )
按向量a=
(h,k)
平移后得到的向量仍然为m=
(x,y)
.
6 . 三角形五“心”向量形式的充要条件
设
O
为
?ABC所在平面上一点，角
A,B,C
所对边长分别为
a,b,c
，则
''
''
''
'
'
'''
'
（1）
O< br>为
?ABC
的外心
?OA?OB?OC
.
（2）
O
为
?ABC
的重心
?OA?OB?OC?0
.
（3）O
为
?ABC
的垂心
?OA?OB?OB?OC?OC?OA
.
（4）
O
为
?ABC
的内心
?aOA?bOB?cOC?0
.
（5）
O
为
?ABC
的
?A
的旁心< br>?aOA?bOB?cOC
.






222

第十八讲 正、余弦定理及应用
一、知识精点讲解
1．直角三角形中各元素间的关系：
如图，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。
（1）三边之间的关系 ：a
2
＋b
2
＝c
2
。（勾股定理）
（2）锐角之间的关系：A＋B＝90°；
（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）
sinA＝cosB＝
a
c
，cosA＝sinB＝
b
c< br>，tanA＝
a
b
。
2．斜三角形中各元素间的关系：
如图6-29，在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分
别表示A、B、C的对边。
（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
ab
sinA
?
sinB
?
c
sinC
?2R
。
（R为外接圆半径）
（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两 边与它们夹角的
余弦的积的两倍。
a
2
＝b
2
＋c
2
－2bccosA；b
2
＝c
2
＋a
2
－2c acosB；c
2
＝a
2
＋b
2
－2abcosC。
3．三角形的面积公式：
（1）△＝
1
2
ah
1
2
bh
1
a
＝
b
＝
2
ch
c（h
a
、h
b
、h
c
分别表示a、b、c上的高）；
（2）△＝
1
2
absinC＝
11
2
bcsin A＝
2
acsinB；
4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角） 中的三个元素（其中至少
有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．
解斜三角形的主要依据是：
设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C。
（1）角与角关系：A+B+C = π；
（2）边与边关系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，a－b < c，b－c < a，c－a > b；
（3）边与角关系：
正弦定理
abc
sinA
?
si nB
?
sinC
?2R
（R为外接圆半径）；
余弦定理 c
2
= a
2
+b
2
－2bccosC，b
2
= a
2
+c
2
－2accosB，a
2
= b
2
+c
2
－2bccosA；
它们的变形形式有：a = 2R sinA，
sinAa
b
2
?c
2
?a
2
sinB
?
b
，
cosA?
2bc
。
5．三角形中的三角变换
（1）角的变换
因为在△ABC中，A+B+C=π，所 以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－
tanC。< br>sin
A?BCA
2
?cos
2
,cos
?B
2
?sin
C
2
；
（2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。
（3）在△ABC中，熟记 并会证明：∠A，∠B，∠C成等差数列的充分必要条件是∠
B=60°；△ABC是正三角形的充分必 要条件是∠A，∠B，∠C成等差数列且a，b，c成等
比数列。

6.面积定理
111
ah
a
?bh
b
?chc
（
h
a
、h
b
、h
c
分别表示a、 b、c边上的高）.
222
111
（2）
S?absinC?bcsinA ?casinB
.
222
1
(3)
S
?OAB
? (|OA|?|OB|)
2
?(OA?OB)
2
.
2
（1）
S?


第十九讲 数列概念及等差数列
一、知识精点讲解
1．数列的概念
（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；
数列中的每个数都叫这个数列的项。记 作
a
n
，在数列第一个位置的项叫第1项（或首
项），在第二个位置的叫第2 项，……，序号为
n
的项叫第
n
项（也叫通项）记作
a
n
；
数列的一般形式：
a
1
，
a
2
，
a
3
，……，a
n
，……，简记作
?
a
n
?
。
（2）通项公式的定义：如果数列
{a
n
}
的第n项与n之间的关系可以用一 个公式表示，
那么这个公式就叫这个数列的通项公式。
例如，数列①的通项公式是
a
n
=
n
（
n
?
7，
n?N
?
），数列②的通项公式是
a
n
=
（
n?N
?
）。
说明：①
?
a
n
?
表示数列，
a
n
表示数列中的第
n
项，
an
=
f
?
n
?
表示数列的通项公式；
② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，
a
n
=
(?1)
=
?
n
1
n
?
?1,n?2k?1
③< br>(k?Z)
；
?1,n?2k
?
不是每个数列都有通项公式。例如，1 ，1.4，1.41，1.414，……
（3）数列的函数特征与图象表示：
序号：1 2 3 4 5 6
项 ：4 5 6 7 8 9
上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函< br>数观点看，数列实质上是定义域为正整数集
N
?
（或它的有限子集）的函数f(n)
当自变量
n
从1开始依次取值时对应的一系列函数值
f(1), f(2),f(3),
……，
f(n)
，……．通常用
a
n
来代替
f
?
n
?
，其图象是一群孤立点。
（4）数列分类 ：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项
与项之间的大小关系分：单调数列 （递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。
（5）递推公式定义：如果已知数列
?
a
n
?
的第1项（或前几项），且任一项
a
n
与它的前< br>数列的递推公式。
2．等差数列
（1）等差数列定义：一般地，如果一个数列从第< br>2
项起，每一项与它的前一项的差等
于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常 数叫做等差数列的公差，公差通常用字
母
d
表示。用递推公式表示为
a
n
?a
n?1
?d(n?2)
或
a
n?1
?a< br>n
?d(n?1)
。
（2）等差数列的通项公式：
a
n?a
1
?(n?1)d
；
一项
a
n?1
（或 前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个

说明：等差数列（通常可称为
AP
数列）的单调性：
d
?0
为递增数列，
d?0
为常数
列，
d?0
为递减数列。
（3）等差中项的概念：
定义：如果
a
，
A
，
b
成等差数列，那么
A
叫做
a
与
b
的 等差中项。其中
A?
a?b

2
a
，
A
，
b
成等差数列
?
A?
a?b
。 < br>2
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)
?na< br>1
?d
。
22
?a
n
).
（4）等差数 列的前
n
和的求和公式：
S
n
?
39.数列的同项公式与前 n项的和的关系
n?1
?
s
1
,
( 数列
{a< br>n
}
的前n项的和为
s
n
?a
1
?a
2
?
a
n
?
?
?
s
n
?sn?1
,n?2
4.等差数列的通项公式
a
n
?a
1
?(n?1)d?dn?a
1
?d(n?N
*
)
；
其前n项和公式为
s
n
?
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)d1
?na
1
?d?n
2
?(a
1
?d)n
.
2222
a
1
n
?q(n?N
*
)
；
q
5.等比数列的通项公式
a
n
?a
1
q
n?1
?
其前n项的和公式为
?
a
1
(1?q
n
)
?
a
1
?a
n
q
,q?1
, q?1
?
?
s
n
?
?
1?q
或
s
n
?
?
1?q
.
?
na,q?1
?na,q?1
?
1
?
1
6.等比、差数列
?
a
n
?
:
a
n?1
?qa
n
?d,a
1
?b(q?0)
的通项公式为
?
b?(n?1)d,q?1
?
a
n
?
?
bq
n
?(d?b)q
n?1< br>?d
；
,q?1
?
q?1
?
其前n项和公式为 < br>?
nb?n(n?1)d,(q?1)
?
s
n
?
?< br>.
d1?q
n
d
?
(b?
1?q
)
q?1
?
1?q
n,(q?1)
?
7.分期付款(按揭贷款)
ab(1?b)
n
每次还款
x?
元(贷款
a
元,< br>n
次还清,每期利率为
b
).
n
(1?b)?1

第二十讲 等比数列
一、知识精点讲解

1．等比数列定义
一般地，如果一个数列 从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这
．．．．．．
个数列就叫做等比 数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母
q
表示
(q?0)
，< br>即：
a
n?1
：
a
n
?q(q?0)
数列对 于数列（1）（2）（3）都是等比数列，它们的公比依次是2，
5，
?
1
。 （注意：“从第二项起”、“常数”
q
、等比数列的公比和项都不为零）
2

n?1
2．等比数列通项公式为：
a
n
?a
1
?q (a
1
?q?0)
。
说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比
d?1
时该数列既是等比数列也是
等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若
{a
n
}
为等比数列，则
a
m
?q
m?n
。
a
n
3．等比中项
如果在
a与b
中间插入一个数< br>G
，使
a,G,b
成等比数列，那么
G
叫做
a与b< br>的等比中项
（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）。
4．等比数列前n项和公式
一般地，设等比数列
a
1
,a
2
,a
3
,,a
n
,
的前n项和是
S
n< br>?a
1
?a
2
?a
3
??a
n
，当
a
1
(1?q
n
)
a?a
n
q
或
S
n
?
1
；当q=1时，
S
n
?na< br>1
（错位相减法）。
q?1
时，
S
n
?
1 ?q
1?q
n
a
1
,q,n,S
n
和
a< br>1
,a
n
,q,S
n
各已知三个可求第四个；说明：（1）（ 2）注意求和公式中是
q
，
通项公式中是
q
























n?1
不要混淆；（3）应用求和公式时
q?1
，必要时应讨论< br>q?1
的情况。

数列求和
一、知识精点讲解
1．数列求通项与和
?
s
n
?s
n?1
n?2< br>（1）数列前n项和S
n
与通项a
n
的关系式：a
n
=
?
。
s
n?1
?
1
（2）求通项常用方法
①构造新数列法。作等差数列与等比数列；
②累差叠加法。最基本的形式是：a
n< br>=(a
n
－a
n
－
1
)+(a
n
－
1
+a
n
－
2
)+…+(a
2
－a
1
)+a
1
；
③归纳、猜想法。
（3）数列前n项和
①重要公式：1+2+…+n=
1
2
+2
2
+…+n
2< br>=
1
n(n+1)；
2
1
n(n+1)(2n+1)； < br>6
1
1
3
+2
3
+…+n
3
=(1 +2+…+n)
2
=n
2
(n+1)
2
；
4②等差数列中，S
m+n
=S
m
+S
n
+mnd； < br>③等比数列中，S
m+n
=S
n
+q
n
S
m
=S
m
+q
m
S
n
；
④裂项求和 将数列的通项分成两个式子的代数和，即a
n
=f(n+1)－f(n)，然后累加抵消掉 中间的许多
项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：< br>a
n
?
11111
11
?(?)
、=－ －等。
(An?B)(An?C)C?BAn?BAn?Cn(n?1)
nn?1
⑤错项相消 法
对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和，常用错项相消法。
an
?b
n
?c
n
, 其中
?
b
n
?
是等差数列，
?
c
n?
是等比数列，记
S
n
?b
1
c
1
? b
2
c
2
???b
n?1
c
n?1
?b< br>n
c
n
，则
qS
n
?b
1
c
2
????b
n?1
c
n
?b
n
c
n? 1
，…
⑥并项求和
把数列的某些项放在一起先求和，然后再求S
n
。
数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
⑦通项分解法：
a
n
?b
n
?c
n

第二十一讲 圆锥曲线方程及性质
一、知识精点讲解
1．椭圆
（1）椭圆概念
平面内与两个定点
F
1
、F
2
的距离的和等于常数（大于
|F
1
F
2
|
）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。若
M
为椭圆上任意一点，则有
|MF
1
|?|MF
2
|?2a
。
x
2
y
2
y
2
x
2
椭圆的标准方程为：
2
?
2
?1
（
a?b?0
）（ 焦点在x轴上）或
2
?
2
?1
ab
ab
（
a?b?0
）（焦点在y轴上）。
222
注：①以上方程中
a,b
的大小
a?b?0
，其中
c?a?b
；
x
2
y< br>2
y
2
x
2
②在
2
?
2
? 1
和
2
?
2
?1
两个方程中都有
a?b?0
的条件，要分清焦点的位置，
abab
x
2
y
2
2
2
??1
（
m?0
，
n?0
，
m?n
） 当
m?n
只要看
x
和
y
的分母的大小。例如椭圆
m n
时表示焦点在
x
轴上的椭圆；当
m?n
时表示焦点在
y< br>轴上的椭圆。
（2）椭圆的性质
x
2
y
2
①范围 ：由标准方程
2
?
2
?1
知
|x|?a
，
|y|?b
，说明椭圆位于直线
x??a
，
ab
y??b
所 围成的矩形里；
②对称性：在曲线方程里，若以
?y
代替
y
方程不 变，所以若点
(x,y)
在曲线上时，点
(x,?y)
也在曲线上，所以曲线 关于
x
轴对称，同理，以
?x
代替
x
方程不变，则曲线关于
y
轴对称。若同时以
?x
代替
x
，
?y
代 替
y
方程也不变，则曲线关于原点对称。
所以，椭圆关于
x
轴、< br>y
轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中
心，椭圆的对称中心叫椭 圆的中心；
③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与
x
轴、
y
轴的交点坐标。在椭
圆的标准方程中，令
x?0
，得
y??b，则
B
1
(0,?b)
，
B
2
(0,b)是椭圆与
y
轴的两个交点。
同理令
y?0
得
x??a< br>，即
A
1
(?a,0)
，
A
2
(a,0)< br>是椭圆与
x
轴的两个交点。
所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。
同时，线段
A1
A
2
、
B
1
B
2
分别叫做椭圆的长 轴和短轴，它们的长分别为
2a
和
2b
，
a
和
b< br>分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a
；在
Rt?OB
2
F
2
中，
|OB
2
|?b
，
|OF
2
|?c
，
|B
2F
2
|?a
，且
|OF
2
|
2
?|B
2
F
2
|
2
?|OB
2
|
2，即
c
2
?a
2
?c
2
；
c
④离心率：椭圆的焦距与长轴的比
e?
叫椭圆的离心率。∵
a?c?0
，∴
0?e?1
，
a
且
e
越接近
1
，
c
就越接近
a
，从而
b
就越小，对应的椭圆越扁；反之，
e
越接近于
0
，
c
就
越接近于
0
，从而b
越接近于
a
，这时椭圆越接近于圆。当且仅当
a?b
时，c?0
，两焦
222
点重合，图形变为圆，方程为
x?y?a
。
2．双曲线
（1）双曲线的概念
平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点 轨迹是双曲线
（
||PF
1
|?|PF
2
||?2a
）。

注意：①（*）式中是差的绝对值，在
0?2a ?|F
1
F
2
|
条件下；
|PF
1
|?| PF
2
|?2a
时
为双曲线的一支（含
F
2
的一支 ）；
|PF
2
|?|PF
1
|?2a
时为双曲线的另一支（ 含
F
1
的一支）；
②当
2a?|F
1
F
2
|
时，
||PF
1
|?|PF
2
||?2a
表示两条射线；③当
2a?|F
1
F
2
|
时，
| |PF
1
|?|PF
2
||?2a
不表示任何图形；
|F< br>1
F
2
|
叫做焦距。④两定点
F
1
,F2
叫做双曲线的焦点，



椭圆和双曲线比较：


定义
椭 圆 双 曲 线
|PF
1
|?|PF
2
|?2a(2a?|F
1
F
2
|)

x
2
y
2
?
2
?1

2
ab
x
2
y
2
?
2
?1

2ba
||PF
1
|?|PF
2
||?2a(2a?|F
1
F
2
|)

x
2
y
2
?
2
?1

2
ab
y
2
x
2
?
2
?1

2
ab
方程
焦点
F(?c,0)

F(0,?c)

F(?c,0)

F(0,?c)

注意：如何有方程确定焦点的位置！


（2）双曲线的性质
x
2
y
2
①范围：从标准方程
2
?
2
?1< br>，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线
ab
22
x??a
的 外侧。即
x?a
，
x?a
即双曲线在两条直线
x??a
的外 侧。
x
2
y
2
②对称性：双曲线
2
?
2
?1
关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双
ab
x
2
y
2
曲线的对称轴，原点是双曲线
2
?
2
?1的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中
ab
心。
x
2
y
2
③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线
2
?
2
?1
的方程里，
ab
对称轴是
x,y
轴，所以令
y?0
得
x??a
，因此双曲线和
x
轴有两个交点
x2
y
2
A(?a,0)A
2
(a,0)
，他们是双曲线
2
?
2
?1
的顶点。
ab
令
x?0
，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。
1）注意 ：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶
点分别是实轴的两个端点 。
2）实轴：线段
AA
2
叫做双曲线的实轴，它的长等于
2a,a
叫做双曲线的实半轴长。虚
轴：线段
BB
2
叫做双曲线的虚轴，它的 长等于
2b,b
叫做双曲线的虚半轴长。
④渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩 形确定了两条对角线，这两条直线即称为
x
2
y
2
双曲线的渐近线。 从图上看，双曲线
2
?
2
?1
的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐 接
ab
近。

⑤等轴双曲线：
1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：
a?b
；
2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：
y??x
；（2）渐近线互相垂直。
注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为
等轴双曲 线，同时其他几个亦成立。
3）注意到等轴双曲线的特征
a?b
，则等轴双曲线可以 设为：
x?y?
?
(
?
?0)
，
当
?< br>?0
时交点在
x
轴，当
?
?0
时焦点在
y< br>轴上。
22
x
2
y
2
y
2
x2
??1
与
??1
的区别：三个量
a,b,c
中
a,b
不同（互换）
c
相同，⑥注意
169916
还有焦点所在的 坐标轴也变了。
3．抛物线
（1）抛物线的概念
平面内与一定点F和一条定直线 l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直
线l上)。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫 做抛物线的准线。
（2）抛物线的性质
一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不 同，有四种不同的情况，所以抛物
线的标准方程还有其他几种形式：
y??2px
，< br>x?2py
，
x??2py
.这四种抛物线的
图形、标准方程、焦点坐 标以及准线方程如下表：

标准方
程
222
y
2
?2px
l

o

图形
(p?0)
y


F







y
2
??2px
(p?0)
x
2
?2py

x

y


l

F

o

x

(p?0)
y

l


x
2
??2py
(p?0)

F

o


x


焦点坐
标
准线方
程
范围
对称性
p
(,0)

2
(?
p
,0)

2
p
(0,)

2
p
(0,?)

2
x??
p

2
x?
p

2
y??
p

2
y?
p

2
x?0

x
轴
x?0

x
轴
y?0

y?0

(0,0)

(0,0)

顶点
离心率
e?1

e?1




说明：（1）通 径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性
质的特点：有一个顶点，一个 焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）
注意强调
p
的几何意 义：是焦点到准线的距离。
y
轴
(0,0)

e?1

y
轴
(0,0)

e?1

平面解析几何结论扩充：

1．四种常用直线系方程
(1) 定点直线系方程：经过定点
P
0
(x
0
,y
0
)< br>的直线系方程为
y?y
0
?k(x?x
0
)
(除直线
x?x
0
),其中
k
是待定的系数; 经过定点
P
0
(x
0
,y
0
)
的直线系方程为
A(x?x0
)?B(y?y
0
)?0
,其中
A,B
是待定的系数 ．
(2)共点直线系方程：经过两直线
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2< br>x?B
2
y?C
2
?0
的交点
的直线系方程为
(A
1
x?B
1
y?C
1
)?
?
(A< br>2
x?B
2
y?C
2
)?0
(除
l
2
)，其中λ是待定的系数．
(3)平行直线系方程：直线
y?kx?b
中 当斜率k一定而b变动时，表示平行直线
系方程．与直线
Ax?By?C?0
平行的直 线系方程是
Ax?By?
?
?0
(
?
?0
)，λ是
参变量．
(4)垂直直线系方程：与直线
Ax?By?C?0
(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是
Bx?Ay?
?
?0
,λ是参变量．
2. 点到直线的距离
A?B
3.
Ax?By?C?0
或
?0
所表示的平面区域
设直线
l: Ax?By?C?0
，则
Ax?By?C?0
或
?0
所表示的平面区 域是：
若
B?0
，当
B
与
Ax?By?C
同号时 ，表示直线
l
的上方的区域；当
B
与
Ax?By?C
异号时 ，表示直线
l
的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.
若
B?0，当
A
与
Ax?By?C
同号时，表示直线
l
的右方的 区域；当
A
与
Ax?By?C
异号时，表示直线
l
的左方的 区域. 简言之,同号在右,异号在左.
4.
(A
1
x?B
1< br>y?C
1
)(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0
或
?0
所表示的平面区域
设曲线
C:(A
1x?B
1
y?C
1
)(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0
（
A
1
A
2
B
1
B
2
?0
），则
(A
1
x?B
1
y?C
1
)(A
2
x?B
2
y?C
2
) ?0
或
?0
所表示的平面区域是：
(A
1
x?B
1
y?C
1
)(A
2
x?B
2
y?C
2< br>)?0
所表示的平面区域上下两部分；
(A
1
x?B
1y?C
1
)(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0
所表示的平面区域上下两部分.
5. 圆的四种方程
（1）圆的标准方程
(x?a)?(y?b)?r
.
22
（2）圆的一般方程
x?y?Dx?Ey?F?0
(
D?E?4F
＞0).
22
222
d?
|Ax
0
?By
0
?C|
22
(点
P(x
0
,y
0
)
,直线
l
：Ax?By?C?0
).
?
x?a?rcos
?
.
?
y?b?rsin
?
（4）圆的直径式方程
(x?x
1
)(x?x
2
)?(y?y
1
)(y?y
2
)?0
(圆的直径的端点是
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
).
（3）圆的参数方程
?
6. 圆系方程
(1)过点
A(x
1
,y
1< br>)
,
B(x
2
,y
2
)
的圆系方程是 (x?x
1
)(x?x
2
)?(y?y
1
)(y?y< br>2
)?
?
[(x?x
1
)(y
1
?y
2
)?(y?y
1
)(x
1
?x
2
)]?0
?(x?x
1
)(x?x
2
)?(y?y
1
)(y?y
2
)?
?
(ax?by?c)?0
,其中
ax? by?c?0
是直线
AB
的方程,λ是待定的系数．
22
(2)过 直线
l
:
Ax?By?C?0
与圆
C
:
x?y?D x?Ey?F?0
的交点的圆系方程
是
x?y?Dx?Ey?F?
?
(Ax?By?C)?0
,λ是待定的系数．
22

2222
(3) 过圆
C
1
:
x?y?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
与圆
C
2
:x?y?D
2
x?E
2
y?F
2
?0
的交2222
点的圆系方程是
x?y?D
1
x?E
1
y?F
1
?
?
(x?y?D
2
x?E
2
y?F< br>2
)?0
,λ是待定的
系数．

7.圆的切线方程
(1)已知圆
x?y?Dx?Ey?F?0
．
①若已知切点
(x< br>0
,y
0
)
在圆上，则切线只有一条，其方程是
22
D(x
0
?x)E(y
0
?y)
??F?0
.
22
D(x
0
?x)E(y
0
?y)
当
(x
0
,y
0
)
圆外时,
x
0
x?y
0< br>y???F?0
表示过两个切点
22

x
0
x?y
0
y?
的切点弦方程．
②过圆外一点 的切线方程可设为
y?y
0
?k(x?x
0
)
，再利用相切 条件求k，这时必
有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．
③斜率为k的切线方程可设为
y?kx?b
，再利用相切条件求b，必有两条切线．
(2)已知圆
x?y?r
．
2
①过圆上的
P
0< br>(x
0
,y
0
)
点的切线方程为
x
0
x?y
0
y?r
;
222
②斜率为
k
的圆的切 线方程为
y?kx?r1?k
2
.
?
x?acos
?x
2
y
2
8.椭圆
2
?
2
?1(a? b?0)
的参数方程是
?
.
ab
?
y?bsin
?
x
2
y
2
9.椭圆
2
?
2
?1 (a?b?0)
焦半径公式
ab
a
2
a
2
P F
1
?e(x?)
，
PF
2
?e(?x)
.
cc
10．椭圆的的内外部
x
2
y
2
（1）点< br>P(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2< br>?1(a?b?0)
的内部
?
ab
x
2
y
2
（2）点
P(x
0
,y
0
)
在椭圆
2?
2
?1(a?b?0)
的外部
?
ab
*11. 椭圆的切线方程
22
x
0
y
0
??1
. a
2
b
2
22
x
0
y
0
?? 1
.
a
2
b
2
x
2
y
2
xxyy
(1)椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
上一点< br>P(x
0
,y
0
)
处的切线方程是
0
2?
0
2
?1
.
ab
ab
x
2
y
2
（2）过椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
外一点
P(x
0
,y0
)
所引两条切线的切点弦方程是
ab
x
0
xy0
y
?
2
?1
.
2
ab
x
2
y
2
（3）椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
与直线
Ax?By?C?0
相切的条件是
ab
A
2
a
2
?B
2
b
2
?c
2
.

x
2
y
2
12.双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0 )
的焦半径公式
ab
a
2
a
2
PF
1< br>?|e(x?)|
，
PF
2
?|e(?x)|
.
cc
13.双曲线的内外部
x
2
y
2
(1)点< br>P(x
0
,y
0
)
在双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的内部
?
ab
x
2
y2
(2)点
P(x
0
,y
0
)
在双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的外部
?
ab
9 8.双曲线的方程与渐近线方程的关系
22
x
0
y
0
?
2
?1
.
2
ab
22
x
0
y
0
??1
.
a
2
b
2
x
2
y
2
x
2
y
2
b
(1）若双曲线方程为
2
?
2
?1
?
渐近线方程：
2
?
2
?0?
y??x
.
ab
ab
a
x
2
y
2
xy
b (2)若渐近线方程为
y??x
?
??0
?
双曲线可设 为
2
?
2
??
.
ab
ab
a
x
2
y
2
x
2
y
2
(3)若双曲线 与
2
?
2
?1
有公共渐近线，可设为
2
?
2
??
（
??0
，焦点在x
ab
ab
轴上，
??0
，焦点在y轴上）.
*14. 双曲线的切线方程
x
2
y
2
xxyy
(1)双曲线
2
?< br>2
?1(a?0,b?0)
上一点
P(x
0
,y
0< br>)
处的切线方程是
0
2
?
0
2
?1
.
ab
ab
x
2
y
2
（2）过双曲线< br>2
?
2
?1(a?0,b?0)
外一点
P(x
0,y
0
)
所引两条切线的切点弦方程是
ab
x
0xy
0
y
?
2
?1
.
a
2
b
x
2
y
2
（3）双曲线2
?
2
?1(a?0,b?0)
与直线
Ax?By?C?0相切的条件是
ab
A
2
a
2
?B
2
b
2
?c
2
.
2
15. 抛物线
y?2px
的焦半径公式
p
2
抛物线
y?2px( p?0)
焦半径
CF?x
0
?
.
2
pp
过焦点弦长
CD?x
1
??x
2
??x
1
?x2
?p
.
22
2
y
?
2
16.抛物 线
y?2px
上的动点可设为P
(,y
?
)
或
P( 2pt
2
,2pt)或
P
(x,y)
，其中
2p
y
2
?2px
.
b
2
4ac?b< br>2
)?
(a?0)
的图象是抛物线：*17.二次函数
y?ax?bx ?c?a(x?
（1）顶点坐
2a4a
b4ac?b
2
b4ac?b
2
?1
,)
；
,)
；标为
(?
（2）焦点 的坐标为
(?
（3）准线方程是
2a4a
2a4a
4ac?b
2
?1
y?
.
4a
2

17.抛物线的内外部
18. 抛物线的切线方程
2< br>(1)抛物线
y?2px
上一点
P(x
0
,y
0)
处的切线方程是
y
0
y?p(x?x
0
)
.

2
（2）过抛物线
y?2px
外一点
P(x
0
,y
0
)
所引两条切线的切点弦方程是
y
0
y ?p(x?x
0
)
.
（3）抛物线
y?2px(p?0)< br>与直线
Ax?By?C?0
相切的条件是
pB?2AC
.
19.两个常见的曲线系方程
(1)过曲线
f
1
(x,y)?0< br>,
f
2
(x,y)?0
交点的曲线系方程是
f
1(x,y)?
?
f
2
(x,y)?0
(
?
为< br>参数).
22
x
2
y
2
?
2
?1
,其中
k?max{a
2
,b
2
}
.当(2)共焦 点的有心圆锥曲线系方程
2
a?kb?k
k?min{a
2
,b2
}
时,表示椭圆; 当
min{a
2
,b
2
}?k?max{a
2
,b
2
}
时,表示双曲线.
20..直线与圆锥曲线相交的弦长公式
AB?(x
1
?x
2)
2
?(y
1
?y
2
)
2
或
AB?(1?k
2
)(x
2
?x
1
)
2
?|x
1
?x
2
|1?tan
2
?
?|y
1
?y
2
|1?cot
2
?
（弦端点
?
y ?kx?b
2
A
(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，由方程
?
消去y得到
ax?bx? c?0
，
??0
,
?
为直线
?
F(x,y)?0< br>AB
的倾斜角，
k
为直线的斜率）.
21.圆锥曲线的两类对称问题
（1）曲线
F(x,y)?0
关于点
P(x
0
,y
0
)
成中心对称的曲线是
F(2x
0
-x,2y
0
?y)?0
.
（2）曲线
F(x,y)? 0
关于直线
Ax?By?C?0
成轴对称的曲线是
F(x?
2A(Ax?By?C)2B(Ax?By?C)
,y?)?0
.
A
2
?B
2
A
2
?B
2
222
22.“四线”一方程
2
对于一般的二次曲线
Ax?Bxy? Cy?Dx?Ey?F?0
，用
x
0
x
代
x
，用< br>y
0
y
代
y
，
用
x?xy?y
x< br>0
y?xy
0
代
xy
，用
0
代
x< br>，用
0
代
y
即得方程
22
2
xy?xy< br>0
x?xy?y
Ax
0
x?B?
0
?Cy
0
y?D?
0
?E?
0
?F?0
，曲线的切线，切点弦，中点
222
弦，弦中点方程均是此方程得到.