高中数学教程电子版-字母e在高中数学中代表什么意思
初高中数学衔接读本
数学是一门重要的课程， 其地位不容置疑，
同学们在初中已经学
过很多数学知识， 这是远远不够的，
而且现有初高中数学知识存在以
下“脱节”：
1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。
2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为
“1”的分解，对系数不为 “
1”
的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，
但高中教材许多
化简求值都要用到，如解方程、不等式等。
3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是
高中函数、不等式常用的解题技巧。
4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高
中贯穿始终的重要内容。 配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、
求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与
常用方法。
5．二次函数、 二次不等式与二次方程的联系，
根与系数的关系 （韦达定理）
在初中不作要求，
此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，
而在高
中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，
高中教材却未安排
专门的讲授。
目 录
1.1
数与式的运算
1.1.1 绝对值
1.1.2
乘法公式
1.1.3 二次根式
1.1. ４分式
1.2
2.1
分解因式
一元二次方程
2.1.1
根的判别式
2.1.2
2．2
2.2.1
2.2.2
2.2.3
2.3
2.3.1
根与系数的关系（韦达定理）
二次函数
二次函数
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
的图像和性质
二次函数的三种表示方式
二次函数的简单应用
方程与不等式
一元二次不等式解法
1.1 数与式的运算
1.１
.1．绝对值
1.绝对值的代数意义
：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值
仍是零．即
a,
a
| a |
a, a
0, a
0,
0,
0.
2.绝对值的几何意义
：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．
3.
两个数的差的绝对值的几何意义
a b
：
表示在数轴上，数
a
和数
b
之间的距离．
4.两个重要绝对值不等式：
x＜ a（ a＞0）
a＜x＜a，x ＞ a（ a＞0）
x＜
a或 x＞a
问题导入：
问题 1：化简：（ 1）：
2x 1
（2) :
x
1 x 3
问题 2：解含有绝对值的方程
(1)
2x 4 6
（
2
）
3 2x 2
5
问题 3：至少用两种方法解不等式
x
1＞4
知识讲解
例
1：化简下列函数，并分别画出它们的图象：
y x
;
（
2
）
y
2x
3
.
x 1 x 3＞4
例
2：解不等式：
练 习
1、若等式
a
a
,
则成立的条件是
----------
2、数轴上表示实数
x1,x2
的两点
A,B 之间的距离为 --------
3、已知数轴上的三点
A,B,C
分别表示有理数 a， 1， -1，那么
a
1
表示（
）
A 、 A,B 两点间的距离
B、 A,C
两点间的距离
C、 A,B 两点到原点的距离之和
x， y 满足
D、 A,C 两点到原点的距离之和
x
4、如果有理数
5、若
1
2
0
x
2 y 1
，则
x
2
y
2
______
x5
，则 x=_________ ；若
x
4
，则 x=_________ ．
6、如果
a
5
b
，且
a
1
，则 b＝ ________；若
1 c
2
，则 c＝ ________．
）
7、下列叙述正确的是
（A ）若
（
a
b
，则
a b
（ B）若
a
b
，则
a
b
b
（ D ）若
（C）若
b
，则
8．化简： |x－
5|－ |2x－ 13|（x＞ 5）．
a
a bab
，则
a
1、2
二次根式与分式
知识清单
二次根式
a
二次根式的定义
：形如
(a≥0）的式子叫二次根式，其中
a
叫被开方数，只有当 a 是一
a
个非负数时，
才有意义，
a (a 0)
的代数式叫做 二次根式
．根号下含有字母、且不
3a a
2
2
能够开得尽方的式子称为
无理式 . 例如
b
2b
，
a
2
b
等是无理式，而
2
2x
2
2
x
1
，
x
2
2
2xy
y
，
a
等是有理式．
2
二次根式的性质：
2
①
a
a(a
0)
；
a(a
a
0(a
a(a
0)
0)
②
a
2
0)
③
ab
a
b
（a≥0，b≥0）
a
④
a
b
a 0, b＞0
b
分母有理化：
一般常见的互为有理化因式有如下几类
①
:
a
a与 a
；
a
b与 a
b与 a
b
；
b
；
②
③
④
m a n
b与m a n
b
分式：
A
分式的意义：形如
A
B
的式子，若 B 中含有字母，且
B
≠ 0，则称 为分式
B
A A M A
,
A
M
分式的通分与约分：当
M≠0 时，
B B M B
B
M
综合练习：
例 1 将下列式子化为最简二次根式：
（1）
12b
；
（ 2）
ab(a
2
0)
；
（ 3）
4x y ( x
0)
．
6
x
2
1
x
2
2 0＜x＜1
（5）
1
3
（4）
1
3
例2
计算：
3 (3
3)
．
1.1.2. 乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（
1）平方差公式
（ 2）完全平方公式
(
a
b)( a
b)
a
2
b
；
( a
b)
2
2
a
2
2ab
b
．
2
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（ 1）立方和公式
（ 2）立方差公式
（ 3）三数和平方公式
（
4）两数和立方公式
（ 5）两数差立方公式
( a
b)(a
( a
b)(a
2
2
ab
b )
a
2
23
3
b
；
b
；
3
3
ab
b )
a
( a
b
c)
( a
b)
( a
b)
3
2
a
3
3
2
b
2
2
c
2
2(ab bc
ac)
；
a
a
3ab
3ab
3a
2
2
2
b
；
b
．
3
3
3
b
3ab
应用：
平方差公式
下列各式： ①
( a
1)(
a
1)
；②
( a 1)(1
a)
；③
( a 1)(a
1)
；④
( a 1)( a 1)
能利用平方差公式计算的是
完全平方公式
a
若
1
a
3
(a
1
)
2
a
的值
，求
问题
3：立方和（差）公式
练
习
1．填空：
（ 1）
a
1
2
1
b
2
4
( b
2
1
1
a)
（
）；
9
（ 2）
(4m
(3 )
3
)
2
2
16m
2
4m
(
2
)
；
(a
2b c)a
2
4b
c
2
(
)
．
2．选择题：
2
（1）若
x
mx
1
k
是一个完全平方式，则
k
等于
（ C）
m
（
）
（ D）
m
2
（ A ）
m
2
（ B ）
m
1
2
1
2
1
2
4
3
16
（
）
（2）不论
a
，
b
为何实数，
a
2
b
2
2a
4b
8
的值
（ A ）总是正数
（
C）可以是零
（B
）总是负数
（D ）可以是正数也可以是负数
1.
1.2
分解因式
因式分解的定义：把一
个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这
个多项式因式分解（也叫作分解因式）
因式分解的主要方法有： 十字相乘法、提取公因式法
、公式法、分组分解法
1．十字相乘法
例 1
分解因式：
（1）x－3x＋2；
2
（ 2）x＋4x－12；
（ 4）2x-（a+2）x+a
2
2
（3）2x-x+6
2
（5）
x
2
3x 2
2．提取公因式法
例
2 分解因式：
（6）
6x
2
7 x
2
（1） x-5x；
2
（
2）
2ab 4ab
22
（2）
a (b
5) a(5
b)
3. 公式法分解因式
2
（1）
x
2
x
1
4
（ ）
2
x
-4
2
2.1
一元二次方程
知识清单
1、一元二次方程式是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的整式方程，该
2
方程式的一般形式是：
ax2+bx+c=0(a ≠0），其中，
ax
是二次项，
bx
是一次项，
c
是常数项，
a、b 是常数。其中 a≠ 0
是一个重要条件，
否则就不能保证该方程未知数的最高次是二次。
2、一元二次方程最常规的解法是公式法，其次有因式分解和配方等方法。
3、能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解。一元二次方程的解
也称为一元二次方程的根（只含有一个未知数的方程的解也叫作这个方程的根）
（1）
当 b－ 4ac＞ 0
时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根
2
x
1,2
＝
b
b
4ac
；
2a
2
（2）当 b－ 4ac＝ 0
时，方程①的右端为零， 因此，原方程有两个等的实数根
x
＝ x
＝－
2
b
；
12
2a
b
)
一定大于或
2a
2
（3）当 b－ 4ac＜0
时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边
(x
2
等于零，因此，原方程没有实数根．
由此可知，一元二次方程
ax
2
＋ bx＋
c＝ 0（ a≠0）的根的情况可以由 b
2
－ 4ac 来判定，我
2 2
示．
2
（ 1）
当
＞ 0
时，方程有两个不相等的实数根
x
1,2
＝
b
b
2
4ac
2a
；
（ 2）当
＝ 0
时，方程有两个相等的实数根
x
1
＝ x
2
＝－
b
；
2a
（
3）当
＜ 0 时，方程没有实数根．
知识讲解
例
1：用适当的方法解方程：
（1） 2（ x+2 ）-8=0
2
（2）x(x-3)=x
例 2：判定下列关于 x 的方程的根的情况（其中 a
为常数），如果方程有实数根，写出方程
的实数根。
（ 1） x-3x+3=0
；
（ 2）x -ax-1=0
2
2
1.选择题：
（1）方程 x-2
2
3
kx+3k
=0
的根的情况是（
2
）
A. 有一个实数根
C.有两个相等的实数根
2
B.有两个不相等的实数根
D.没有实数根
（2）若关于 x 的方程 mx
+(2m+1)x+m=0 有两个不相等的实数根，则实数
围是（
A.m＜
m 的取值范
1
）
B、 m＞ -
1
4
C、m＜ ，且 m 0
1
D、m＞ ，且 m 0
1
4
4
4
2.填空：
22
（ 1）若 a
为方程 x+x-5=0 的解，则 a+a+1 的值为 _____。
（ 2）方程 mx
+x-2m=0(m 0)的根的情况是 _____。
3.试判定当 m 取何值时，关于 x
的一元二次方程 mx-（2m+1） x+1=0
有两个不相等的实数
根？有两个相等的实数根？没有实数根？
22
2
4.用适当的方法解下列一元二次方程；
(1)x-5x+1=0 ；
2
（ 2）3(x-2) =x(x-2) ；
2
（3） 2x
-2
2
x-5=0；
2
（ 4）（ y+2 ） =
（3y-1）
22
2.1.2
2
根与系数的关系（韦达定理）
若一元二次方程
ax＋
bx＋ c＝ 0（ a≠0）有两个实数根
x
1
b b
2
4ac
2a
，
x
2
b
b
2
4ac
，
2a
如果 ax＋ bx＋ c＝
0（ a≠0）的两根分别是
x
1
，x
2
，那么
x
1
＋ x
2
＝
2
b
，x
1
·x
2
＝
．这
c
a
a
一关系也被称为 韦达定理 ．
例
已知方程
5x
2
kx 6 0
的一个根是
2，求它的另一个根及
k 的值．
练 习
1．选择题：
（1）方程
2
kx
2
3
k
2
30
的根的情况是
（A ）有一个实数根
（C）有两个相等的实数根
2
（
（
B）有两个不相等的实数根
（ D）没有实数根
）
（2）若关于 x 的方程 mx＋ (2m＋ 1)x＋ m＝ 0
有两个不相等的实数根，则实数
是
m
的取值范围
（
）
（A ）m＜
1
（ B）
m＞－
1
（C） m＜ ，且 m≠0
1
4
（ D）
m＞－ ，且 m≠0
1
4
4
4
2
2．填空 :
（ 1）方程 mx＋ x－ 2m＝ 0（ m≠0）的根的情况是
（
2）以－ 3 和 1 为根的一元二次方程是
．
．
习题 2.1
A 组
1．选择题 :
（1）已知关于 x 的方程 x＋ kx－ 2＝ 0 的一个根是
1，则它的另一个根是（
（A）－ 3
（2）下列四个说法：
2
2
）
（B）3
（C）－ 2
（D）2
①方程 x
＋ 2x－
7＝0 的两根之和为－
2，两根之积为－
7；
②方程 x－ 2x＋ 7＝ 0 的两根之和为－
2，两根之积为
③方程 3 x－ 7＝0 的两根之和为
0，两根之积为
2
7；
2
7
；
3
④方程 3 x＋ 2x＝0 的两根之和为－
其中正确说法的个数是
（A）1 个
的一元二次方程
（ A）0
2．填空 :
2
2
2，两根之积为 0．
（
）
（B）2 个
22
（C）3个
（ D） 4 个（ 3）关于 x
）
ax－
5x＋a＋ a＝ 0 的一个根是 0，则 a 的值是（
（B ）1
（C）－ 1
（D ）0，或－ 1
（ 1）方程 kx＋4x－ 1＝ 0 的两根之和为－
2，则 k＝
2
．
．
2 2
（ 2）方程 2x － x－ 4＝ 0 的两根为
α，β，则 α＋ β＝
2
（ 3）已知关于 x 的方程 x－
ax－ 3a＝ 0 的一个根是－
2，则它的另一个根是
．
2 2
3．试判定当 m 取何值时，关于 x 的一元二次方程
实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？
m x
－ (2m＋ 1)
x＋1＝ 0 有两个不相等的