高中数学知识点大全填空

高中数学知识梳理
1. 集合的概念
(1) 集合中元素的三个特征：__________、____________、____________
(2) 集合的表示法：__________、___________、__________等．
(3) 集合按所含元素个数可分为：_____________、_____________、_ ________；按元素特征可分为：
____________、_____________.
(4) 常用数集符号：N表示_____________集；N
*
或N
＋
表示_____________集；Z表示_____________集；Q表
示____ _________集；R表示__________集；C表示_________集．
2. 两类关系
(1) 元素与集合的关系，用____或____表示．
(2) 集合与集合的 关系，用“_____”、“____”或“_____”表示．______时，称A是B的子集；当____ ____
时，称A是B的真子集；当_______时，称集合A与集合B相等，两个集合所含的元素完 全相同．
3. 集合的运算
(1) 全集：如果集合S包含我们所要研究的各个集合的全部 元素，那么这个集合就可以看作一个全集，通常用
U来表示．一切所研究的集合都是这个集合的____ ___.
(2) 交集：由属于A且属于B的所有元素组成的集合，叫作集合A与B的交集，记作A∩ B，即A∩B＝
____________________.
(3) 并集：由属于A或属 于B的所有元素组成的集合，叫作集合A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝
___________ _________.
(4) 补集：集合A是集合S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成 的集合叫作A的补集(或余集)，记作
?
S
A，即?
S
A＝____ ________________.
4. 常见结论与等价关系
(1) 如果集合A中有 n(n∈N
*
)个元素，那么A的子集有_______个，真子集有_______个，非空 真子集有_______
个．
(2) A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?A?B.
(3) ?
U
(
A
∩
B
)＝__________ __________，?
U
(
A
∪
B
)＝_______ _____________.

知识梳理

1.
如果记“若< br>p
则
q
”为原命题，那么否命题为“
_______________
”，逆命题为“
___________
”，逆否命题
为“
____ __________
”．其中互为逆否命题的两个命题同真假，即等价，原命题与
_____ ______
等价，逆命题与
___________
等价．因此，四种命题为真的个 数只能是偶数．

2. (1)
若
p
?
q
，但
q
(2)
若
p
p
，则
p
是
q
的
____ _______
条件；

q
，但
q
?
p
，则
p
是
q
的
___________
条件；

(3)
若
p
?
q
，且
q
?
p< br>，即
p
?
q
，则
p
是
q
的
___________
条件；

(4)
若
p
?
q
，且
q
的
___________).
1. 全称量词
我们把表示___________的量词称为全称量词．
对应日常语言中的“一切”、“任 意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“?”
p
，则
p
是
q
的
___________________
条件．

3.
证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立
(
即条件的
___________)
，又要证明它的逆命题成立
(
即条件

表示．
含有___________的命题，叫作全称命题．“对任意实数x∈M，都有p(x) 成立”简记成“?x∈M，p(x)”．
2. 存在量词
我们把表示___________的量词称为存在量词．
对应日常语言中的“存在一个”、 “至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号
“?”表示．
含有 ___________的命题，叫作存在性命题．“存在实数x
0
∈M，使p(x
0
)成立”简记成“_________________”．
3. 简单逻辑联结词有___ ________(符号为∨)，___________(符号为∧)，___________(符号为非) ．
4. 命题的否定：“?x∈M，p(x)”与“_________________”互为否定．
5. 复合命题的真假：对p且q而言，当p，q均为真时，其为_____；当p，q中至少有一个为假时，其为__ __.
对p或q而言，当p，q均为假时，其为_____；当p，q中有一个为真时，其为____当 p为真时，非p为_____；当
p为假时， 非p为____.
6. 常见词语的否定如下表所示：
词语
词语的
否定

词语
词语的
否定


1. 函数的概念
设A，B是两个___ ________的数集，如果按某个确定的___________，使对于集合A中的__________ _元素x，
在集合B中都有___________的元素y和它对应，那么称___________ 为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝
f(x)，x∈A.其中所有的输入值x组成的集合A叫作 函数y＝f(x)的___________；所有的输出值y组成的集合叫作函数
y＝f(x)的__ _________.
2. 相同函数
函数的定义含有三个要素，即__________ _、___________和___________.
当函数的___________及___ ________确定之后，函数的___________也就随之确定．当且仅当两个函数的
___ ________和___________都分别相同时，这两个函数才是同一个函数．
3. 函数的表示法：___________、___________和___________.
1. 函数的定义域
(1) 函数的定义域是构成函数的非常重要的部分，若没有标明定义域，则认为定义域 是使得函数解析式
___________的x的取值围．
(2) 分式中分母应_____ ______；偶次根式中被开方数应为___________，奇次根式中被开方数为一切实数；零
指数幂中底数__________.
___________
___________ ___________ ___________
至少有
n个
___________
是 一定是 都是 大于
___________
___________
至多有
一个
___________
___________
小于
___________
且 必有一个 所有x成立

________
___________
___________

(3) 对数式中，真数必须__________ _，底数必须________________________，三角函数中的角要使该三角函数
有 意义等．
(4) 实际问题中还需考虑自变量的___________，若解析式由几个部分组成， 则定义域为各个部分相应集合的交
集．
2. 求函数值域主要的几种方法
(1) 函数的_____________________直接制约着函数的值域，对于一些比较简单的函数可直接通 过___________
求得值域．
(2) 二次函数或可转化为二次函数形式的问题，常用___________求值域．
(3) 分子、分母 是一次函数或二次齐次式的有理函数常用______________求值域；分子、分母中含有二次项的有理函数，常用___________求值域(主要适用于定义域为R的函数)．
(4) 单调函数常根据函数的___________求值域．
(5) 很多函数可拆配成基本不等式的形式，利用___________求值域．
(6) 有些函数具有明显的几何意义，可根据几何意义的方法求值域．
(7) 只要是能求导数的函数常可用导数的方法求值域.
1. 函数单调性的定义
(1) 一般地 ，对于_____________的函数f(x)，如果对于属于这个区间的___________两个自变 量x
1
，x
2
，当
___________时，都有_______ ____(或都有___________)，那么就说f(x)在这个区间上是单调增函数(或单调减函数)．
(2) 如果函数y＝f(x)在某个区间上是单调增函数(或单调减函数)，那么就说f(x)在这个 区间上具有(严格的)单调
性，这个区间叫作f(x)的__________.若函数是单调增函数， 则称该区间为____________；若函数为单调减函数，则
称该区间为___________ .
2. 复合函数的单调性
对于函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果当x∈(a，b) 时，u∈(m，n)，且u＝g(x)在区间(a，b)上和y＝f(u)在区间(m，
n)上同时具有 单调性，则复合函数y＝f(g(x))在区间(a，b)上具有________，并且具有这样的规律：____________________________________.
3. 求函数单调区间或证明函数单调性的方法
(1) _____________________________；
(2) ______________；
(3) ___________.
1. 奇、偶函数的定义
对于函数f(x)的定义域的___________x，都有_________ _____(或f(－x)＋f(x)＝0)，则称f(x)为奇函数；对于函
数f(x)的定义域的任 意x，都有_____________(或___________________)，则称f(x)为偶函 数．
2. 奇、偶函数的性质
(1) 具有奇偶性的函数，其定义域关于________ ___对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定
义域关于___________对称 )．
(2) 奇函数的图象关于___________对称，偶函数的图象关于__________对称．
(3) 若奇函数的定义域包含0，则f(0)＝___________.
(4) 定义在(－∞，＋∞)上的任意函数f(x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．
1. 函数图象的两种作法

(1) 描点法：① ___________；②___________；③___________.
运用描点法作图 前，必须对图象的特征(包括图象的存在围、大致形状、变化趋势)做到心中有数，这样可减少
列表的盲 目性和连点成线的随意性，从而确保表列在关键处，线连在恰当处．
(2) 图2. 周期函数：对于 函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域的任何值时，都有
_________ __，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
3. 最小正周期：如果在周 期函数f(x)的所有周期中存在一个___________，那么这个___________就叫作f(x )的
最小正周期．
象变换法：包括___________变换、___________变 换、__________变换．
1. 二次函数的三种表示
(1) 一般式：____________________________；
(2) 两点式：__________________________；
(3) 顶点式： ___________________________.
2. 二次函数f(x)＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)的图象的形状、对称轴、顶点坐标、开口方向是处理二次函数问题的重要依< br>据．
3. 一元二次方程的根的分布问题
二次函数对应的一元二次方程的实数根的分 布问题是一个比较复杂的问题，给定一元二次方程f(x)＝ax
2
＋bx＋
c＝0( a>0)．
(1) 若f(x)＝0在(m，n)(m __________________________________________________ ______________________.



(2)
若
f(x)
＝
0
在
(m
，
n)(m
＜< br>n)
有两个实数根，则需满足
_________
(3) 设x
1< br>，x
2
为方程f(x)＝0的两个实数根：①若x
1
＜m＜x
2
，则f(m) ___________0；



②若m1
2
(4) 若方程f(x)＝0的两个实数根中一根小于m，另一根大于n(m＜n)，则需满足

________________
(5) 若一元二次方程f(x)＝0的两个 实数根都大于r，则需满足___________________________
1. 指数的相关概念
(1) n次方根
正数的奇次方根是一个___________，负数的 奇次方根是一个__________，0的奇次方根是___________；正数
的偶次方根是两 个绝对值___________、符号___________的数，0的偶次方根是___________ ，负数
__________________.
(2) 方根的性质

n
①当n为奇数时，a
n
＝___________； n
②当n为偶数时，a
n
＝___________＝____________ _____.
(3) 分数指数幂的意义
m
n
①a＝______(其中a＞0，m，n都是正整数，n＞1)；

m
－
n
②a＝______＝_________ (其中a＞0，m，n都是正整数，n＞1)．
2. 指数函数的定义
一般地，函数___ _______________________________叫作指数函数．
3. 指数函数的性质
(1) 定义域：____；(2) 值域：___________；(3) 过定 点___________，即x＝___________时，y＝___________；
(4) 当a＞1时，在R上是___________函数；当0＜a＜1时，在R上是___________函数.
1. 对数的相关概念
(1) 对数的定义：如果a
b
＝N(其中a＞0且 a≠1)，那么b叫作_________________，记作___________.
(2) 常用对数和自然对数
①常用对数：以___________为底N的对数，简记为lgN ；
②自然对数：以___________为底N的对数，简记为lnN.
(3) 指数式与对数式的相互转化：a
b
＝N? _______(其中a＞0且a≠1，N＞0)．
两个式子表示的a，b，N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化．
2. 对数运算的性质(M＞0，N＞0，a＞0且a≠1)
(1) log
a
(MN)＝________________；
M
(2) log
a
＝_______________；
N
(3) log
a
M
n
＝___________.
3. 对数换底公式(N＞0，a＞0且a≠1，b＞0且b≠1)
log
b
N＝__________.
由换底公式可以得到：log
a
b＝_____，log
an
b
m
＝______，loga
b·log
b
c＝________.
4. 几个常用的结论(N＞0，a＞0且a≠1)
(1) log
a
a＝_______ ____，log
a
1＝___________；
(2) log
aa
N
＝___________，alog
a
N＝__________ _.
1. 对数函数的定义
函数_____________________叫作对数函 数，其中x是自变量，函数的定义域是___________.
2. 对数函数的性质
(1) 定义域：___________；
(2) 值域：____；
(3) 过定点___________，即当x＝___________时，y＝___________；
(4) 当a＞1时，在(0，＋∞)上是单调___________函数；

当0＜a＜1时，在(0，＋∞)上是单调___________函数.
1. 幂函数的定义：一般地，函数式___________叫作幂函数，其中x是自变量，α是常数．
2. 所有的幂函数y＝x
α
在区间___________上都有定义，并且图象都 过点___________.
如果α>0，那么幂函数的图象过___________，并且在[ 0，＋∞)上是____________；如果α<0，那么幂函数的
图象在(0，＋∞)上是___ __________，在第一象限，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴的右边无限地逼近
____ ______，当x趋向于正无穷时，图象在x轴上方无限地逼近___________.
3. 对于函数y＝f(x)，把使方程___________的实数x称为函数y＝f(x)的零点．
4. 函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的___________，也就是函数y＝f( x)的图象与x轴交点的___________.
因此，函数y＝f(x)有零点等价于函数y＝f( x)的图象与x轴有___________，也等价于方程f(x)＝0有___________.
5. 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，且有__________ _，那么函数y＝f(x)在(a，b)上有
零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，此时c 就是方程f(x)＝0的根．但反之，不成立.
1. 数学模型及数学建模
数学模型就是把 实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于
实际问题的 数学描述．
数学建模是把实际问题加以抽象概括，建立相应的模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法．
2. 常见的函数模型：(1) ___________；(2) ___________；(3)_________________；(4) ___________.
3. 解函数应用题时，要注意四个步骤：
第一步：阅读理解．
读题要做到逐字逐 句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么、求
什么，从中提 炼出相应的数学问题．
第二步：引入数学符号，建立数学模型．
一般地，设自变量为x，函 数为y，必要时引入其他相关辅助变量，并用x，y和辅助变量表示各相关量，然后
根据已知条件，运用 已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个
函数问题， 实现问题的数学化，即所谓建立数学模型．
第三步：利用数学方法对得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果．
第四步：将所得结果再转译成具体问题的解答.
1. 函数的平均变化率
一般地， 函数f(x)在区间[x
1
，x
2
]上的平均变化率为__________ ______.
2. 导数的概念
Δy
已知函数y＝f(x)在区间(a，b)上 有定义，且x
0
∈(a，b)，若Δx无限趋近于0，比值＝_______________ ____
Δx
无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x
0
处可导，并称 该常数A为函数f(x)在x＝x
0
处的导数，记作f′(x
0
)．
3. 基本初等函数求导公式
(1) (x
α
)′＝___________(α为常数) ；
(2) (a
x< br>)′＝___________(a>0且a≠1)，(e
x
)′＝_________ __；
(3) (log
a
x)′＝________ (a>0且a≠1)，
(lnx)′＝________；

(4) (sin x)′＝cos x，(cos x)′＝___________.
4. 导数的四则运算法则
(1) [f(x)±g(x)]′＝___________________；
(2) [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3) [cf(x)]′＝____________(c为常数)；
(4)
?
f?x?
?
?
g?x?
?
′＝_____________________ _ (g(x)≠0)．
1. 导数的几何意义
(1) 导数f′(x
0
)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x
0,
f(x
0
))处的切线的斜率，即k＝f′(x
0
)．
( 2)设s＝s(t)是位移函数，则s′(t
0
)表示物体在t＝t
0
时刻的 ___________.
(3)设v＝v(t)是速度函数，则v′(t
0
)表示 物体在t＝t
0
时刻的___________.
1. 利用导数研究函数的单调性
在某个区间(a，b)，如果f′(x)≥0且在(a，b)的任意子区间上___________， 那么函数y＝f(x)在这个区间单调递
增；
如果f′(x)≤0且在区间(a，b)的任意 子区间上___________，那么函数y＝f(x)在这个区间单调递减．
2. 判定函数单调性的一般步骤
(1) 确定函数y＝f(x)的定义域；
(2) 求导函数f′(x)；
(3) 在函数f(x)的定义域解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；
(4) 根据(3)的结果确定函数的单调区间．
1. 函数的极值
如果在函数y ＝f(x)的定义域I存在x
0
，使得在x
0
附近的所有点x，都有____ _______，则称函数y＝f(x)在点x
＝x
0
处取得极大值，记作_____ __________；如果在x
0
附近的所有点x，都有___________，则称函数 y＝f(x)在点x
＝x
0
处取得极小值，记作_____________.
2. 求函数极值的步骤
(1) 确定函数f(x)的定义域，求导函数f′(x)；
(2) 求方程f′(x)＝0的所有实数根；
(3) 观察在每个根x
n
附近，从左到右，导函数f′(x)的符号如何变化：如果f′(x)的符号由正变负，那么f(x
n< br>)
是极大值；如果f′(x)的符号由负变正，那么f(x
n
)是极小值；如果 f′(x)的符号在x
n
的两侧附近相同，那么x
n
不是
函数f(x )的极值点．
3. 函数的最值
如果在函数f(x)的定义域I存在x
0
，使得对于任意的x∈I，都有___________，那么称f(x
0
)为函数的最大值， 记
作y
max
＝___________；如果在函数f(x)的定义域I存在x0
，使得对于任意的x∈I，都有___________，那么称f(x
0
)< br>为函数的最小值，记作y
min
＝___________.
4. 求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤
(1) 求函数f(x)在[a，b]上的极值；
(2) 将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到函数 f(x)在[a，b]上的最大值与最小值．
1. 最值与不等式

(1) a≥f(x)恒成立?a≥___________；
(2) a≤f(x)恒成立?a≤___________；
(3) a≥f(x)有解?a≥___________；
(4) a≤f(x)有解?a≤___________.
2. 实际应用题
(1) 解题的一般 步骤：理解题意，_______________，使用导数方法求解函数模型，根据求解结果回答实际问题．
(2) 注意事项：注意实际问题的___________；实际问题中的函数多数是单峰函数(即在 定义域只有一个极值点
的函数)，这样的极值点也是___________.
1. 角的概念的推广
(1) 正角、负角和零角：一条射线绕顶点按___________方向旋转所形 成的角叫作正角，按___________方向旋
转所形成的角叫作负角；如果射线没有作任何旋转， 那么也把它看成一个角，叫作___________.
(2) 象限角：以角的顶点为坐标原点，角 的始边为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，这样，角的终边在第
几象限，我们就说这个角是第几象限 的角．终边落在坐标轴上的角(轴线角)不属于任何象限．
(3) 终边相同的角：与角α的终边相同的角β的集合为_____________________．
2. 角的度量
(1) 1弧度的角：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角．
(2) 弧度制与角度制的关系：1°＝_____弧度(用分数表示)，1弧度＝_____度(用分数表示)．
(3) 弧长公式：l＝__________.
11
(4) 扇形面积公式：S＝rl＝|α|r
2
. 3. 任意角的三角函数的定义
22设角α的终边上任意一点的坐标为P(x，y)(除原点)，点P到坐标原点的距离为r(r＝x
2
＋y
2
)，则sin α＝____，
cos α＝____，tan α＝_________．
4. 三角函数的定义域
在弧度制下，正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域分别是_____、_____、

___________________________.
5. 三角函数的符号规律
第一象限全“＋”，第二象限正弦“＋”，第三象限正切“＋”，第四象限余弦“＋”．简称：一全、二 正、
三切、四余.
1. 同角三角函数间的基本关系式
(1) 平方关系：__________________.

(2) 商数关系：_______________.
2. 三个注意
(1) 同角三角函数的关系式的前提是“同角”．
sinα
(2) tanα＝是条件等式，即它们成立的前提是表达式有意义．
cosα
(3) 利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论.
1. 诱导公式

sin
cos
tan
－α
－sin α
cos α
－tan α
π－α
sin α
－cos α
－tan α
π＋α
－sin α
－cos α
tan α
2π－α
－sin α
cos α
－tan α
π
－α
2
cos α
sin α

π
＋α
2
cos α
－sin α

3π
－α
2
－cos α
－sin α

3π
＋α
2
－cos α
sin α

诱导公式的规律可概括为十个字：奇变偶不变，符号看象限．
2. 运用诱导公式求任意角的三角函数的步骤
(1) 把求任意角的三角函数值化为求0°～360°角的三角函数值；
(2) 把求0°～360°角的三角函数值化为0°～90°角的三角函数值；
(3) 求0°～90°角的三角函数值．
1. 两角和(差)的三角函数公式
(1) sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；
(2) cos(α±β)＝___________________；

(3) tan(α±β)＝___________________.
2. 注意两角和(差)的三角函数公式的变形运用
asin x＋bcos x＝______________________________


_________________________
3. 注意几种常见的角的变换
(1) α＝(α＋β)－___________＝(α－β)＋___________；
(2) 2α＝(α＋β)＋___________；
(3) 2α＋β＝α＋___________.
1. 二倍角公式
(1) 二倍角的正弦：sin 2α＝___________.
(2) 二倍角的余弦：cos 2α＝___________________________________________.

(3) 二倍角的正切：tan 2α＝____________.
注意：①在 二倍角的正切公式中，角α是有限制条件的，即α≠__________，且α≠____________ (k∈Z)．
②“倍角”的意义是相对的，如4α是_______的二倍角，α是____的二倍角．
2. 二倍角的余弦公式的几个变形公式
(1) 升幂公式：1＋cos 2α＝___________；
1－cos 2α＝___________.

(2) 降幂公式：cos
2
α＝___________；sin
2
α＝_____________.
1. 在三角式的化简、求值、证明等三角恒等变换中，要注意 将不同名的三角函数化成___________的三角函数，
如遇到正切、正弦、余弦并存的情况，一 般要将__________化为___________弦．

2. 要注意“1”的 代换，如1＝sin
2
α＋__________＝_______；还有1＋cos α＝____________，1－cos α＝
_____________.
3. 对于 sin α·cos α与sin α±cos α同时存在的情况，可通过换元的思路．如设t＝sin α±cos α，则sin α·cos α＝
__________.
4. 常见的“变角 ”方法有：2α＝(α＋β)＋__________；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋_________ __.
正弦函数、余弦函数、正切函数的性质
解析式
定义域
值域
零点
对称轴


周期性
单调
增区间
单调
减区间
T＝2π T＝2π
[(2k－1)π，2kπ]
(k∈Z)
[2kπ，(2k＋1)π]
(k∈Z)
T＝π
y＝sin x
R
[－1,1]
x＝kπ，k∈Z
π
x＝kπ＋，k∈Z
2
y＝cos x
R
[－1,1]
π
x＝kπ＋，k∈Z
2
x＝kπ，k∈Z
y＝tan x
π
?
?
?
?
x
x≠kπ ＋，k∈Z
?
2
?
?
?
R
x＝kπ，k∈Z
无


?
2kπ－
π
，2kπ＋
π
?

22
??
(k∈Z)
?
kπ－
π
，kπ＋
π
?

22
??
(k∈Z)
无
?
2kπ＋
π
，2kπ＋
3π
?

22
??
(k∈Z)
1. 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
(1) 用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤：①列表；②描点；③连线．
(2) 用“变换法”由函数y＝sin x的图象得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的方法：
①由函数y＝sin x的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位长度，得到函数__ ____________的图象；纵坐标
1
不变，横坐标变为原来的，得到函数______ __________的图象；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数
ω
______ _____________的图象．
1
②由函数y＝sin x的图象纵坐标不变，横坐标 变为原来的，得到函数_____________的图象；向左(φ＞0)或向
ω
φ
?
右(φ＜0)平移
?
?
ω
?
个单位长度，得到函数___ _____________的图象；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函
数________ __________的图象．
2. 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质
2π
1
振幅：A；周期：T＝；频率：f＝；相位：ωx＋φ；初相：x＝0时的相位，即φ.
|ω|T
1. 建立三角函数模型解决实际问题的一般步骤
(1) 阅读理解，审清题意；
(2) 创设变量，构建模型；

(3) 计算推理，解决模型；
(4) 结合实际，检验作答．
2. 三角函数模型的主要应用
(1) 在解决物理问题中的应用；
(2) 在解决测量问题中的应用；
(3) 在解决航海问题中的应用.
1. 利用平面几何知识及三角函数知识可以证明正弦定理．
正弦定理：________________________(其中R为△ABC的外接圆的半径，下同).
变式：(1) a＝2Rsin A，b＝___________，c＝_____________；

(2) sin A＝_____，sin B＝______，sin C＝_______；
(3) a∶b∶c＝___________________________；
(4)
a＋b＋c
abc
＝＝＝(合比性质)．
sin Asin Bsin C
sin A＋sin B＋sin C
2. 利用正弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：
(1) 已知两角与任一边，求其他两边和一角；
(2) 已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角).
对于“已知两边与 其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)”的题型，可能出现多解
或无解的情 况．验证解的情况可用数形结合法.
如：已知a，b和A，用正弦定理求B，解的情况如下：
?
?
a＝bsin A，______解；
①若A为锐角，则
?
bsin A?
?
a≥b，______解.
a

a

②若A 为直角或钝角，则
?
?
?
a≤b，_____解；
?
?a>b，_____解.
a＝bsin A 一解
bsin Aa≥b 一解

无解 一解
3. 由正弦定理，可得三角形面积公式：

S
△
ABC
＝_______＝________＝_______＝_____＝______________ _______________．
4. 三角形角和定理的变形：
由A＋B＋C＝π，知A＝π－(B＋C)，得
sin A＝sin(B＋C)，cos A＝－cos(B＋C).
B＋CB＋C
A
π
B＋C
AA
由＝－，得sin＝cos，cos＝sin.
2222222
1. 余弦定理：
a
2
＝__________________，
b
2
＝__________________，
c
2
＝__________________.
2. 余弦定理的变式：

cos A＝_____________，

cos B＝_____________，

cos C＝_____________.
3. 利用余弦定理，我们可以解决以下两类解三角形的问题：
(1) 已知三边，求三个角；
(2) 已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.
1. 测量问题的有关名词

(1) 仰角和俯角：是指与目标视线在同一垂直平 面的水平视线的夹角．其中目标视线在水平视线上方时叫作仰
角，目标视线在水平视线下方时叫作俯角．
(2) 方向角：是指从指定方向线到目标方向线的水平角，如北偏东30°，南偏西45°.
(3) 方位角：是指北方向顺时针转到目标方向线的角．
(4) 坡角：是指坡面与水平面所成的角．

(5) 坡比：是指坡面的铅直高度与水平宽度之比．
2. 求解三角形实际问题的基本步骤
(1) 分析：理解题意，弄清已知和未知，画出示意图；
(2) 建模：根据条件和目标，构建三角形，建立一个解三角形的数学模型；
(3) 求解：利用正弦定理和余弦定理解三角形，求数学模型的解；
(4) 检验：检验上述所求的角是否符合实际意义，从而得到实际问题的解．
1. 向量的有关概念
向量：既有大小又有方向的量叫作向量．向量的大小叫向量的___________
(或模)．
2. 几个特殊的向量
(1) 零向量：___________________，记作0，其方向是任意的．
(2) 单位向量：__________________________________.
(3) 平 行向量：______________________________，平行向量又称为共线向量，规定0 与任意向量共线．
(4) 相等向量：___________________________________.
(5) 相反向量：__________________________________.
3. 向量的加法
(1) 运用平行四边形法则时，将两个已知向量平移到公共起点，和向量_______ _________________的对角线所
对应的向量．
(2) 运用向量加法的三角 形法则时，要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以___________________为起点，则由第一个向量的起点指向_____________________为和向量．
4. 向量的减法
将两个已知向量平移到公共起点，差向量是___________向量的终点指向___ ________向量的终点的向量．注意
方向指向被减向量．
5. 向量的数乘
实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：
(1) |λa|＝_______.
(2) 当λ>0时，λa的方向与a的方向___________；
当λ<0时，λa的方向与a的方向__________；
当λ＝0时，λa＝_____.
注：向量的加法、减法、数乘统称为向量的线性运算．
6. 两个向量共线定理
向量b与非零向量a共线?有且只有一个实数λ，使得b＝λa.
1. 平面向量的基本定理
(1) e
1
，e
2
是同一平 面两个不共线的向量，那么对于这一平面的任一向量a，有且只有一对实数λ
1
，λ
2
，使得
______________，其中不共线的向量e
1
，e
2
叫作表示这一平面所有向量的一组基底．平面任意___________的向量
都可以作为 一组基底，两个平行向量不可以作为向量的基底．
(2) 平面的任一向量a，都可以沿两个不共线的 方向分解成唯一两个向量的和，所以平面向量的基本定理也叫
作唯一分解定理．

2. 平面向量的坐标形式
在平面直角坐标系，分别取与x轴、y轴方向相 同的两个单位向量i，j作为基底．对平面任意一个向量a，有
且只有一对实数x，y，使得a＝___ ______(向量的分量表示)，记作a＝(x，y)(向量的坐标表示)，其中x叫作a的横
坐标， y叫作a的纵坐标．
3. 平面向量的坐标运算
(1) 设a＝(x
1
，y
1
)，b＝(x
2
，y
2
)，则a＋b＝______ ______________，a－b＝__________________，λa＝_________ ___.
→
(2) 若点A，B的坐标分别为(x
1
，y
1
)，(x
2
，y
2
)，那么AB的坐标为_____________.
1. 向量的夹角
→→
已知两个非零向量a与b，记OA＝a，OB＝b，则___ ________叫作向量a与b的夹角，夹角θ的取值围为
________．当θ＝0°时，a与b 同向；当θ＝180°时，a与b反向；当θ＝90°时，则称向量a与b ___________.
2. (1) 两个向量平行的充要条件：设a＝(x
1
，y
1
) ，b＝(x
2
，y
2
)，b≠0，则a∥b?______________ ___.
(2) 两个非零向量垂直的充要条件：设a＝(x
1
，y
1)，b＝(x
2
，y
2
)，则a⊥b? __________________________.
1. 两个向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则a·b＝|a|·|b|cos θ，其中|b|·cos θ称为
_____________________________．规 定：零向量与任一向量的数量积为0.
2. 两个向量的数量积的性质
设a与b是非零向量，θ是a与b的夹角．
(1) 若a与b同向，则a·b＝|a||b| ；若a与b反向，则a·b＝________.特别地，a·a＝|a|
2
.
(2) a·b＝0 ?________.

(3) cos θ＝_________.
3. 数量积的运算律
(1) 交换律：a·b＝b·a.
(2) 数乘结合律：(λa)·b＝a·(λb)．
(3) 分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
1. 复数的概念
形如z＝a＋bi(a，b ∈R)的数叫作复数，其中a称为实部，b称为虚部．当___________时，z为虚数，当______ _____
且___________时，z为纯虚数．
2. 两个复数相等的充要条件
a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)?_________________.
3. 复数的四则运算
设z
1
＝a＋bi，z
2
＝c＋di(a，b，c，d∈R)．
(1) 复数的加减法：z
1
±z
2
＝____________________.
(2) 复数的乘法：z
1
·z
2
＝(a＋bi)(c＋di)＝_ ____________________________.

(3) 复数的除法：若 z
2
≠0，则z
1
÷z
2
＝______________ _____________.
4. 复数模的几何意义

→
(1) z＝a＋bi?点Z(a，b)?向量OZ；
→
(2) |z|＝a＋b＝|OZ|.
22
知识梳理
1. 数列的概念：按照___________排列的一列数称为数 列，数列中的___________都叫作这个数列的项．
2. 数列的通项公式：如果数列{a< br>n
}的第n项与序号n之间的关系可以用___________来表示，那么________ ___
叫作这个数列的通项公式．

3. S
n
与a
n< br>的关系：S
n
＝a
1
＋a
2
＋a
3
＋…＋a
n
，a
n
＝_________________
4. 等差数列的定义及通项
等差数列的通项公式：_________________________ ___________；
推广：a
n
＝a
m
＋(___________)d.
5. 等差数列的求和公式
n?a
1
＋a
n
?n?n－1 ?
S
n
＝＝na
1
＋d.
22
6. 等差数列的其他性质
(1) 若a，b，c成等差数列，则称b为a，c的等差中项，且b＝_______.
(2) 在等差数列 {a
n
}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N
*
)，则______ _____________.
(3) S
2n
－
1
＝___________.
S
n
d
?
S
n
?
(4) 因为＝a
1
＋(n－1)，所以
?
n
?
也是等差数列，首项为______ _，公差为____.
n2
??
(5) 若S
m
，S
2m
，S
3m
分别为等差数列{a
n
}的前m项、前2m项、前3m项和 ，则S
m
，S
2m
－S
m
，S
3m
－S< br>2m
成___________
数列．
a
n
(6) 已知等 差数列{a
n
}，{b
n
}的前n项和分别为S
n
，Tn
，则a
n
，b
n
，S
2n
－
1，T
2n
－
1
之间的关系为＝_______.
b
n
(7) 非零等差数列奇数项与偶数项的性质
S
奇
若 项数为2n，则S
偶
－S
奇
＝___________，＝________ ；
S
偶
若项数为2n－1，则S
偶
＝(n－1)a
n，S
奇
＝___________，
S
奇
S
奇
－S
偶
＝___________，＝________.
S
偶
1. 等比数列的定义及通项
如果一个数列从第二项起，每一项与它的 前一项的________都等于_________________，那么这个数列就叫作
等比数列 ，这个常数叫作等比数列的___________.
等比数列的通项公式：___________；
推广：a
n
＝a
m
q
n
－
m
.
2. 等比数列的求和公式


S
n
＝________ ___________＝_________________________

3. 等比数列的性质
设数列{a
n
}是等比数列，公比为q.
(1) 若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N
*
)，则___________________；
?
1
?
(2) 数列{ka
n
}(k为非零常数)，
?
a
?
，{a
k
n
}(k∈Z且为常数)也是等比数列；
?
n
?
(3) 每隔k(k∈N
*
)项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列；
(4) 若{a
n
}的前n项和为S
n
，则S
k
， S
2k
－S
k
，S
3k
－S
2k
，…成等 比数列(各项不为0)．
1．递推数列
(1) 概念：数列的连续若干项满足的等量关系a
n
＋
k
＝f(a
n
＋
k
－
1，a
n
＋
k
－
2
，…，a
n
)称为数 列的递推关系．由递推关
系及k个初始值确定的数列叫作递推数列．
(2) 求递推数列通项公式的常用方法：迭代法、构造法、累加(乘)法、归纳猜想法．
2. 数列递推关系的几种常见类型
(1) 形如a
n
－a
n
－
1
＝f(n)(n∈N
*
且n≥2)
方法：累加法，即当n∈N
*
且n≥2时，a
n
＝(a
n
－a
n
－
1< br>)＋(a
n
－
1
－a
n
－
2
)＋… ＋(a
2
－a
1
)＋a
1
；
a
n
(2) 形如＝f(n)(n∈N
*
且n≥2)
a< br>n
－
1
a
n
a
n
－
1
a< br>2
方法：累乘法，即当n∈N
*
且n≥2时，a
n
＝··…· ·a；
a
1
1
a
n
－
1
a
n< br>－
2
注意：n＝1不一定满足上述形式，所以需要检验．
(3) 形如an
＝pa
n
－
1
＋q(n∈N
*
且n≥2)
q
qq
方法：化为a
n
＋＝p
?
a
n－
1
＋
p－1
?
的形式，令b
n
＝a
n
＋，则b
n
＝pb
n
－
1
，{b
n}为等比数列，所以可求得数
?
p－1
?
p－1
列{a
n
}的通项公式；
(4) 形如a
n
＝pa
n
－
1
＋f(n)(n∈N
*
且n≥2)
方法：两边同除以p
n
，得
a
n
a
n
－
1
f?n?a
n
f?n?
＝＋，令b＝，则b＝b＋，转化为利用累加法求
－
－
nnn1< br>p
n
p
n
1
p
n
p
n
p< br>n
f?n?
b
n
?
若
n
为常数，则{bn
}为等差数列
?
，所以可求得数列{a
n
}的通项公式
?
p
?
常用的一般数列的求和方法
1. 公式法：若可以判断出所求数列是等差(比)数列，则可以直接利用公式进行求和．
2. 分组转化法 ：把数列的每一项拆成两项的差(或和)，或把数列的项重新组合，使其转化为等差数列或等比数
列．
3. 裂项相消法：把数列的通项拆成两项的差(或和)，使求和时出现的一些正负项相互抵消，于是前 n项和变成
首尾两项或少数几项的和(差)．
4. 倒序相加法：把S
n
中 项的顺序首尾颠倒过来，再与原来顺序的S
n
相加．这种方法体现了“补”的思想，等
差数列的前n项和公式就是用它推导出来的．
5. 错位相减法：数列{a
n
bn
}的求和问题应用此法，其中{a
n
}是等差数列，{b
n
} 是等比数列．
1. 数列可以与函数、方程、不等式、三角函数、平面向量、解析几何等组成综合问题 ，灵活运用等差数列、等
比数列的知识分析问题、解决问题是关键．
2. 解答有关数列的实际应用问题，通常可分为三步：

(1) 根据题意建立数列模型；
(2) 运用数列知识求解数列模型；
(3) 检验结果是否符合题意，给出问题的答案.
1. 合情推理：_____________________________________ 叫作合情推理．_________________________是两种
常用的合情推理．
2. 演绎推理：_____________________________________ ______________的推理，叫作演绎推理．演绎推理的
主要特点是当前提为真时，结论必然 为真．
3. 直接证明
从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证 结论的真实性，叫作直接证明．常用的直
接证明的方法有综合法与分析法．
4. 间接证明 ：_________________________________________________ _____的方法叫作间接证明．常用的间
接证明的方法是反证法．
1. 一元二次不等式a x
2
＋bx＋c＞0或ax
2
＋bx＋c＜0(其中a≠0)的解集
设相应的一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0(其中a≠0)的两根为x
1
，x
2
，且x
1
≤x
2
，Δ＝b
2
－4a c，则不等式的解的各
种情况如下表所示：
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0

有两个相异的实数根x
1
，x
2
(x
1
＜x
2)
b
有两个相等的实数根x
1
＝x
2
＝－
2a
无实数根

________________

________________
____
________________ _____ _____

2. 求解一元二次不等式的步骤
(1) ___________________________________；

(2) ___________________________________；
(3) __________________________________.
1. 线性规划及相关概念
(1) 目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式称为目标函数．
(2) 约束条件：由 x，y的不等式(或方程)组成的不等式组称为x，y的约束条件．关于x，y的一次不等式或方
程组成 的不等式组称为x，y的线性约束条件．
(3) 可行解：_____________________________________________.
(4) 可行域：_________________________________________.
(5) 最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解称为最优解．
(6) 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题称为________________.
2. 解线性规划问题的步骤
(1) 画，即___________________________________；
(2) 移， 即在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距
______ _______的直线；
(3) 求，即____________________________；
(4) 答，即____________.
1. 基本不等式的定理表达式为：_____________ _________________________________________________．
2. 应用基本不等式求最值时应注意的问题是：________________________ ______________________.
3. 与基本不等式相关的重要不等式
(1)_________________________；
(2)______________________；

(3)________________________________．
a＋b
4. 基本不等式ab≤(a≥0，b≥0)的两个等价变形
2
(1 )________________________________________；
(2)______________________________________.
1. 基本不等式的应用
(1) 研究函数的性质；
(2) 求解最值问题；
(3) 确定参数的取值围；
(4) 解决实际问题．
2. 基本不等式的综合应用
三角函数、数列、立体几何、解析几何中的最值问题．
3. 解不等式问题的一般步骤
(1) 分析题意；
(2) 建立数学模型；
(3) 解决数学问题；

(4) 检验作答．
1. 立体几何公理系统
公 理1：如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线上____________的点都在这个平面，是判定 直线在
平面的依据．
公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公 共点的集合是经过这个公共点的一条
直线．它是判定两平面相交，作两个平面交线的依据．
公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相____________.
2. 空间两条直线的位置关系
位置关系
相交直线
平行直线
异面直线
3. 一条直线和一个平面的位置关系
位
置
关
系
公
共
点
符
号
表
示
a?α
____________ ____________
_________________
有且只有一个公共点 没有公共点
__________________
直线a与平面α相交 直线a与平面α平行
共面情况
在同一个平面
在同一个平面
不同在任何一个平面
公共点个数
_______________
___________
___________

图
形
表
示

4. 直线与平面平行的判定定理：
_________________________ _____________________________________________
直线与平面平行的性质定理：
____________________________ __________________________________________________ ________________
5. 两个平面的位置关系
位置关系
公共点
符号表示
____________
____________
____________
____________
____________________
α∩β＝a
图形表示


6. 两个平面平行的判定定理：
_____________________ ________________________________________________
两个平面平行的性质定理：
_____________________________ _______________________________________.
知识梳理
1.

直线与平面垂直的判定定理：_____________________ ___________________
__________________________________

2. 直线与平面垂直的性质定理：_______________________ _________________ ________________________
3. 两个平面垂直的判定定理：______________________________________ __ ____________________________
4. 两个平面垂直的性质定理 ：________________________________________
___________________________________________
5. 线线、线面、面面垂直的相互转化关系：

多面体的面积与体积公式：
1. 底面周长为c，高为h的直棱柱的侧面积公式为_________________；
2. 长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的体积公式为______________；
3. 柱体的体积等于它的底面积S和高h的积，即____________；

4. 底面周长为c，斜高为h′的正棱锥的侧面积公式为____________________；

5. 锥体的体积公式为_______________，其中锥体的底面积为S，高为h；
6. 上、下底面周长分别为c，c′，斜高为h′的正棱台的侧面积公式为____________ ________________；
7. 台体的体积公式为V
台体
＝____________________________，
其中台体的上、下底面面积分别为S′，S，台体的高为h；
8. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式分别为_______________、________________、

____________________________________________；
9. 球体的体积公式为_________________，表面积公式为___________ ___，其中R为球的半径．
1. 证明线面平行的关键点：
(1) 证明直线与平面平行的关键是设法在平面找到一条与已知直线平行的直线；
(2) 利用几何体的特征 ，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直
线平行；
(3) 注意说明已知的直线不在平面，即三个条件缺一不可．
2. 证明线面垂直的关键点：
(1) 解答此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，把握 平面图形中的一些线线垂直关系的灵

活应用，这是证明空间垂直关系的基础；
(2) 由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面 垂直这个
核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在．
3. 平行与垂直综合应用问题的处理策略：
(1) 探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明 ，探索点的存在问题，点多为中点或三等分点中的
某一个，也可以根据相似知识寻找点．
(2) 折叠问题中平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后变与不变的数量关系，尤其是隐 含着的垂
直关系．
1. 直线的倾斜角α的取值围是____________.
y
2
－y
1
2. 已知直线上不同的两点P(x
1
，y
1
)，Q(x
2
，y
2
)，当x
1
≠ x
2
时，直线PQ的斜率为；当x
1
＝x
2
时，直线PQ< br>x
2
－x
1
的斜率____________.
3. 当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与直线的倾斜角α之间的关系是____________.
4. 直线方程的五种形式：
名称
点斜式
斜截式
两点式
方程
y－y
0
＝k(x－x
0
)
y＝kx＋b
y－y
1
x－x
1
＝
y
2
－y
1
x
2
－x
1
xy
＋＝1
ab
Ax＋By＋C＝0(A，B不全为零)
不含直线x＝x
0

不含垂直于x轴的直线
不含直线x＝x
1
(x
1
≠x2
)和y＝y
1

(y
1
≠y
2
)
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
平面直角坐标系的直线都适用
适用围
截距式
一般式

1. 平行
(1) 已知两条直线l
1
，l
2
的斜率分别是k
1
，k
2
，它们在y轴上 的截距分别是b
1
，b
2
，那么l
1
∥l
2
的充要条件是
________________；l
1
与l
2
相 交的充要条件是___________.
(2) 已知两条直线l
1
：a
1
x＋b
1
y＋c
1
＝0，l
2
：a
2< br>x＋b
2
y＋c
2
＝0，那么l
1
∥l
2< br>的充要条件是
_____________________________________ _______.
(3) 当两直线l
1
，l
2
的斜率都不存在时 ，则l
1
与l
2
____________.(填“平行”“相交”或“垂直 ”)
2. 垂直
(1) 已知两条直线l
1
，l
2
的斜 率分别为k
1
，k
2
，那么l
1
⊥l
2
? ____________.
(2) 已知两条直线l
1
：a
1
x ＋b
1
y＋c
1
＝0，l
2
：a
2
x＋b
2
y＋c
2
＝0，那么l
1
⊥l
2
的充要条件是____________.
(3) 当两直线中一条直线的斜率不存在，另一条直线的 斜率为0时，l
1
与l
2
的位置关系为___________.(填“平< br>行”“相交”或“垂直”)
3. 两直线公共点的个数
已知两条直线l
1< br>：a
1
x＋b
1
y＋c
1
＝0，l
2
：a
2
x＋b
2
y＋c
2
＝0.
?
?
a
1
x＋b
1
y＋c
1
＝0，
(1) 若 方程组
?
(*)的解有一组，则l
1
与l
2
的位置关系为_ ___________.
?
a
2
x＋b
2
y＋c
2
＝0
?

(2) 若方程组(*)的解有无穷多组，则l
1
与l
2
的位置关系为___________.
(3) 若方程 组(*)无解，则l
1
与l
2
的位置关系为____________.
4. 距离
(1) 平面上两点P(x
1
，y
1
)，Q( x
2
，y
2
)之间的距离PQ＝____________________ ；

(2) 点P(x
0
，y
0
)到直线l：ax＋by ＋c＝0的距离d＝__________________；

(3) 两平行直线ax＋by＋m＝0与ax＋by＋n＝0间的距离d＝__________.
1. 以 (a，b)为圆心、r(r>0)为半径的圆的标准方程为________________________ .
2. 圆的方程的一般形式是x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0 (D
2
＋E
2
－4F>0)，其中圆心坐标为______________ ___，半径
为_______________________.
3. 以点A(x1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)为直径两端点 的圆的方程为____________________________________________ .
4. (1) 设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r.若点P在圆上，则__________ __；若点P在圆外，则___________；
若点P在圆，则____________.
(2) 设点P(m，n)，圆C：f(x，y)＝(x－a)
2
＋(y－b)
2
－r
2
＝x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0( r>0，D
2
＋E
2
－4F>0)，则点P
在圆C外?f(m，n) >0；点P在圆C上?f(m，n)＝0；点P在圆C?f(m，n)<0.
1. 直线与圆的三种位置关系： ____________、___________、____________.
2. 直线与圆的位置关系的判定有两种方法：代数法和几何法．
(1) 代数法：联立直线与圆的方程，根据方程组的解的个数，判定它们的位置关系．
将直线方程代入圆的方 程，得到关于x或y的一元二次方程．若Δ>0，则直线与圆相交；若Δ＝0，则直线与圆
相切；若Δ< 0，则直线与圆相离．
(2) 几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小来判断．
当____________时，直线与圆相交；当____________时，直线与圆相切；当____ ________时，直线与圆相离．
3. 圆的切线
(1) 若点P(x
0，y
0
)在圆x
2
＋y
2
＝r
2
上， 则经过点P(x
0
，y
0
)的圆的切线方程为____________；若 点P(x
0
，y
0
)在圆
(x－a)
2
＋(y－b )
2
＝r
2
上，则经过点P(x
0
，y
0
)的圆的切线方程为(x
0
－a)(x－a)＋(y
0
－b)(y－b)＝r
2
.
(2) 当点P(x
0
，y
0
)在圆外时， 切线有____________条．求圆的切线方程时，常设出切线的点斜式方程，然后运
用点到直线 的距离公式求出斜率．如果只能解出斜率的一个值，要注意斜率不存在的情形．
(3) 当点P(x< br>0
，y
0
)在圆x
2
＋y
2
＝r
2
外时，直线____________是切点弦所在的直线方程．
4. 圆的弦(直线与圆相交时)
(1) 当直线与圆相交时，设圆心到直线的距离为d，圆的半径为R，则 直线被圆截得的弦长为2R
2
－d
2
.
(2) 直线y＝kx＋b 与圆相交于点A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)，则AB＝1＋k
2
|x
1
－x
2
|＝
1. 圆与圆的位置关系(圆O
1
，圆O
2
的半径分别为r
1
，r
2
，d＝O
1
O
2
)
关
系
外离 外切 相交 切 含
1
1＋
2
|y
1
－y
2
|.
k

图
形
几
何
观
量
点
化
方
程
观
点

2. 圆系及圆系的方程
(1) 当直线l：ax＋by＋c＝0与圆C：x
2
＋y
2
＋Dx ＋Ey＋F＝0相交时，经过直线l与圆C交点的圆系的方程可以
设为x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＋λ(ax＋by＋c)＝0，λ为待定参数．
(2) 经过圆C1
：f
1
(x，y)＝0与圆C
2
：f
2
(x ，y)＝0交点的圆的方程为_______________________________.
(3) 已知圆C
1
：f
1
(x，y)＝0与圆C
2
：f
2
(x，y)＝0有公共点(二次项系数相同)，那么方程_____________ ________
表示经过它们交点的直线；如果两圆有两个交点，那么方程____________ ________表示公共弦所在直线；如果两圆
外切，那么方程_________________ ____表示公切线方程．
3. 圆C
1
：f
1
(x，y)＝0与 圆C
2
：f
2
(x，y)＝0外离时，其中圆心分别为C
1
(a，b)，C
2
(m，n)，半径分别为r
1
，r
2
，< br>则外公切线长为_________________，公切线长为_________________ _____.
1. 圆的方程：以点C(a，b)为圆心、r为半径的圆的标准方程为_______ ____________；方程x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋
DE< br>－，－
?
，半径为______________________. F＝0表示圆的 充分条件是___________________，此圆的圆心为
?
2
??
2
2. 点与圆：
(1) 点在圆外：过该点有2条切线，点与圆上的点的距离的最大值、最小值的求法．
(2) 点在圆上：过该点只有1条切线，圆心与切点的连线垂直于切线．
(3) 点在圆：过该点没有切线，点与圆上的点的距离的最大值、最小值的求法．
3. 直线与圆：设圆心到 直线的距离为d，圆的半径为r；将直线方程代入圆的方程得到关于x或y的一元二次
方程，其判别式为 Δ.
Δ<0
Δ＝0
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
d>r
1
＋r
2
d＝r
1
＋r
2
|r
2
－r
1
|1
＋r
2
d＝|r
1
－r
2
| d<|r
1
－r
2
|

(1) 相离：几何法，d>r；代数法，Δ<0.
(2) 相切：几何法，d＝r；代数法，Δ＝0.
圆的切线方程的求法．
(3) 相交：几何法，d0.
弦长为 2r
2
－d
2
，经过直线ax＋by＋c＝0与圆交点的圆的方程——圆系：
x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＋λ(ax＋by＋c)＝0.
4. 圆与圆：两圆C
i
：x
2
＋y
2
＋D
i
x＋E
i
y＋F
i
＝0(i＝1,2)的圆心距为d，两个圆的 半径分别为R，r.
(1) 外离：两圆有4条公切线，两圆上两点间的距离的最大值为d＋R＋r，最小值为d－R－r.
(2) 外切：两圆有3条公切线，过切点的公切线的方程为
(D
1
－D
2
)x＋(E
1
－E
2
)y＋F
1
－F
2
＝ 0.
(3) 相交：两圆有2条公切线，公共弦所在直线的方程为
(D
1
－D
2
)x＋(E
1
－E
2
)y＋F
1
－ F
2
＝0，
公共弦长为2R
2
－圆心C
1
到公共弦所在直线的距离的平方.
(4) 切：两圆有1条公切线．
(5) 含：两圆无公切线．
1. 椭圆的第一定义：
把平面与两个定点F
1
，F
2
的距离的和等于_ ___________(大于F
1
F
2
)的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点 叫作椭圆
的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距，用符号表示为_________________ ____(2a>F
1
F
2
)．
2. 椭圆的第二定义：
a
2
c
平面，到定点F(c,0)的距离与到定直线l：x＝的距离之比是常数(a >c>0)的动点的轨迹叫作椭圆．定义的符号
ca
表示为________________ _.
3. 椭圆的标准方程：

(1) 椭圆的标准方程有两种形式：__________________________________；
(2) 熟记a，b，c三个量之间的关系：a
2
＝b
2
＋c
2
.
注意：焦点分别在x轴和y轴上对应的椭圆方程的区别与联系．若已知焦点在x轴或y轴上，则标准方程 唯一；
若无法确定焦点的位置，则需要考虑两种形式．
1. 椭圆的标准方程及简单的几何性质
条
件
标
2a>2c，a
2＝b
2
＋c
2
，a>0，b>0，c>0
x
2
y
2
＋＝1(a>b>0)
a
2
b
2
y
2
x
2
＋＝1(a>b>0)
a
2
b
2

准
方
程
及
图
形

围
对称性
顶点
焦点
长、短轴的
长度
焦距
准线方程
离心率

x
2
y
2
2. 点P(x
0
，y
0
)和椭圆
2
＋
2
＝1(a>b>0)的关系
ab
x
2
y
2
00
(1) 点P(x
0< br>，y
0
)在椭圆外?
2
＋
2
>1；
ab
x
2
y
2
00
(2) 点P(x
0< br>，y
0
)在椭圆上?
2
＋
2
＝1；
ab
x
2
y
2
00
(3) 点P(x
0< br>，y
0
)在椭圆?
2
＋
2
<1.
ab
长轴顶点(±a,0)
短轴顶点(0，±b)
(±c,0)
长轴长2a，短轴长2b
F
1
F
2
＝2c(c
2
＝a
2
－b
2
)
a
2
a
2
x＝± y＝±
cc
c
e＝∈(0,1)，e越大，椭圆越扁，e越小，椭圆越圆
a
|x|≤a，|y|≤b
曲线关于原点、x轴、y轴对称
长轴顶点(0，±a)
短轴顶点(±b,0)
(0，±c)
|y|≤a，|x|≤b

定
义
(1) 第一定义：平面上，到 两定点F
1
，F
2
的距离之差的绝对值为正常数2a(小于两定点间距离2c )的动点轨
迹叫作双曲线．
(2) 双曲线的定义用代数式表示为|MF
1
－MF
2
|＝2a，其中2a< ____________.
(3) 当MF
1
－MF
2
＝2a时 ，曲线仅表示靠近____________的双曲线的一支；当MF
1
－MF
2＝－2a时，曲线
仅表示靠近____________的双曲线的一支；当2a＝F
1< br>F
2
时，轨迹为____________________________；当2a>F
1
F
2
时，动点轨迹不存在．
(4) 第二定义：平面上，到定点F的距离与到定直线l的距离之比等于常数e(e>1)的动点轨迹叫作双曲线．

图形

标准
方程
围
焦点
顶点
对称性
实、虚轴
长
离心率
x
2
y
2
－＝1(a>0，b>0)
a
2
b
2
|x|≥a
F
1
(－c,0)，F
2
(c,0)
A
1
(－a,0)，A
2
(a,0)
关于x轴、y轴成轴对称，关于原点成中心对称
实轴A
1
A
2长为2a，虚轴B
1
B
2
长为2b
y
2
x
2
－＝1(a>0，b>0)
a
2
b
2
|y|≥a
F
1
(0，－c)，F
2
(0，c)
A
1
(0，－a)，A
2
(0，a)

几
何
性
质
c
e＝的含义：双曲线上任意一点到一个焦点F的距离与到这个焦点对应的准线l的距离之比
a
a
2
a
2
准线方程
x＝± y＝±
cc
渐近线方
a

y＝±x
b
______________
程
围
焦点
顶点
对称性
实、虚轴长
离心率
准线方程
渐近线方程
|x|≥a |y|≥a
F
1
(－c,0)，F
2
(c,0) F
1
(0，－c)，F
2
(0，c)
A
1
(－a,0)，A
2
(a,0) A
1
(0，－a)，A
2
(0，a)
关于x轴、y轴成轴对称，关于原点成中心对称
实轴A
1
A
2长为2a，虚轴B
1
B
2
长为2b
c
e＝的含义：双 曲线上任意一点到一个焦点F的距离与到这个焦点对应的准线l的距
a
离之比
a
2
a
2
x＝± y＝±
cc
a

y＝±x
b
______________

几何性
质

2. (1) 等轴双曲线：实轴和虚轴长度相等的双曲线叫作等轴双曲线，也叫等边双曲线．
(2) 等轴双曲线?离心率e＝___?两条渐近线垂直(位置关系)?实轴长＝虚轴长．
b
b＝e
2
－1
?
都是刻画双曲线的开口大小的量． (3) 双曲线的离心率e与
?
?
a
?
a
3. 焦半径：双曲线上的 点P(x
0
，y
0
)与左(下)焦点F
1
或右(上)焦点F
2
之间的线段长度称作焦半径，分别记作r
1
＝PF
1
，r
2
＝PF
2
.

x
2
y
2
(1) 双曲线的标准方程为
2< br>－
2
＝1(a>0，b>0)．若点P在右支上，则r
1
＝_____ _______，r
2
＝ex
0
－a；若点P在
ab
左支上 ，则r
1
＝－ex
0
－a，r
2
＝－ex
0
＋a.
y
2
x
2
(2) 双曲线的标准方程为
2
－
2
＝1(a>0，b>0)．若点P在上支上，则r
1
＝_______ _____，r
2
＝ey
0
－a；若点P在
ab
下支上，则 r
1
＝－ey
0
－a，r
2
＝－ey
0
＋ a.
y
2
x
2
4. 焦点弦：AB为经过双曲线
2
－
2
＝1(a>0，b>0)的焦点的弦，通径长为____.
ab
x
2
y
2
5. 焦点三角形的面积：若P为双曲线2
－
2
＝1(a>0，b>0)上一点，F
1
，F
2< br>分别为双曲线的左、右焦点，∠F
1
PF
2
ab
＝θ，则S△ PF
1
F
2
＝_________.
x
2
y
2
6. 中点弦：过点P(x
0
，y
0
)的直线与双曲线
2
－
2
＝1(a>0，b>0)交于A，B两 点，且P恰为弦AB的中点，则k
AB
ab
＝_________.
1. 抛物线的几何性质
方程 焦点 准线 焦半径 图形
y
2
＝2px
(p>0)
p
?
F
?
?
2
，0
?

p
x＝－
2
p
x
0
＋
2

y
2
＝－2px
(p>0)
p
－，0
?
F
?
?
2
?
p
x＝
2
p
－x
0
＋
2

x
2
＝2py
(p>0)
p
0，
?
F
?
?
2
?
p
y＝－
2
p
y
0
＋
2

x
2
＝－2py
(p>0)
p
0，－
?
F
?
2
??
p
y＝
2
p
－y
0
＋
2


2. 点 P(x
0
，y
0
)和抛物线y
2
＝2px(p>0)的关系
(1) 点P在抛物线(含焦点)?y
2
0
<2px
0
；
(2) 点P在抛物线上?y
2
0
＝2px
0
；
(3) 点P在抛物线外?y
2
0
>2px
0
.
3. 焦半径：抛物线上的点P(x
0
，y
0
)与焦点F的距离PF称作焦半径．
p
(1) y
2
＝2px(p>0)，PF＝x
0
＋；
2
p
(2) y
2
＝－2px(p>0)，PF＝－x
0
＋；
2
p
(3) x
2
＝2py(p>0)，PF＝y
0
＋；
2
p
(4) x
2
＝－2py(p>0)，PF＝－y
0
＋.
2
4. 焦点弦：AB为抛物线y
2
＝2px(p>0)经过焦点F的弦(简称焦点弦)．已知点A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)，直线A B的
倾斜角为α，那么：
p
2
2p
π
(1) x
1
x
2
＝；(2) y
1
y
2
＝－p
2
；(3) AB＝x
1
＋x
2
＋p＝
2
，当且仅当α＝时，AB
min
＝2p.
4sin
α
2

5. 中点弦：P(x
0
，y
0
)为抛物线y
2
＝2px(p>0)一点，过点P的直线交抛物线y
2
＝2px(p>0)于A，B两点，且点P
p
恰好平分弦AB，则k
AB
＝.
y
0
1. 直线与圆锥曲线的位置关系主要是指公共点问题、相交弦问题及其他综合问题．
2. 解决这类问题的 常用方法是转化为研究它们所对应的方程组解的个数问题．对相交所得弦的长度问题及中点
弦问题，要恰 当运用“设而不求”的方法．
3. 重视圆锥曲线的定义在解题中的作用，有时可以避免很多繁杂的计算，进而提高解题效率．
x
2
y
2
x
2
y
2
4. 经过圆 锥曲线焦点的弦问题，要注意运用统一定义来处理．椭圆
2
＋
2
＝1(a>b >0)与双曲线
2
－
2
＝1(a>0，
abab
2b
2
b>0)的通径都是，抛物线的通径为2p，是经过焦点的最短弦.
a
1. 一般而言，对一类问题的__________、__________的求解方法称为算法．算法的主要特点： __________、
__________.算法的表述形式： __________、__________、__________.
2. 常用流程图符号：_ _________、_________、__________、__________、________ __.
3. 四种基本的算法语句分别是__________、________________ __、__________、__________.
4. 赋值语句的一般格式是：x←y，表示将y的值赋给x.
5. 输入语句的一般格式是：Read a，b，表示输入的数据依次赋给a，b.输出语句的一般格式是：Print x，表示
输出运算结果x.
6. 算法中的选择结构是由__________语句来实现的，条件语句的一般形式是 _____
7. 算法中的循环结构是由__________语句来实现的，循环语句有两种形式：
(1) 当循环的次数已经确定，可用For语句来表示．一般形式为：


____________________________________________.
(2) 当循环次数不确定时，用__________语句．一般形式为：______________
一、 抽样方法
1. 简单随机抽样
设一个总体的个体数为N，如果通过逐个抽取 的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率
相等，就称这样的抽样为简单随机抽样． 如果用简单随机抽样从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本，那
么每个个体被抽到的概率等于_ _______.
常用的简单随机抽样方法有：①__________，②______________.
2. 系统抽样
当总体的个体数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的 规则，从每个部分抽取一个个体，
得到所需的样本，这样的抽样叫作系统抽样．
系统抽样的步骤可概括为：
(1) 采用随机的方式将总体中的个体编号．
NN
(2) 为将整个的编号进行分段，要确定分段的间隔k.当是整数时，k＝____；当 不是整数时，通过从总体中
nn
剔除个体使剩下的总体中的个体数N′能被n整除，这时k＝_ ______.
(3) 在第1段中采用________________确定起始的个体编号l.

(4) 按照事先确定的规则抽取样本．
3. 分层抽样
当总体由差异明显的几部分组成时，为使样 本更充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部
分所占的比例进行抽样，这样的抽样方 法叫作分层抽样，其中所分成的各部分叫作层，每层抽样时采取
_______________或__ ________.
二、 总体分布特征数的估计
1. 频率分布表
求一组数据的频率分布，可按以下三步进行：(1) 数出落在各小组的数据的个数，即__________；(2) 每个小组
的频数与样本容量的比值叫作这一小组的__________；(3) 列出频率分布表．
2. 频率分布直方图：图中纵轴是_______，_______________等于相应组的频率. 各个小矩形的面积的和等于
__________.
3. 样本平均数x＝____________________，
样本方差s
2
＝__ ____________________________________.
1. 随机事件及其概率
(1) 在一定的条件下必然要发生的事件，叫作__________.
(2) 在一定的条件下不可能发生的事件，叫作______________.
(3) 在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件，叫作__________.
m
(4) 在大 量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，且在它附近摆动，这时就把这个
n常数叫作事件A发生的_________，记作P(A)．
2. 古典概型
我们把具 有：①试验中所有可能出现的基本事件只有__________，②每个基本事件出现的可能性_______ ___，
以上两个特点的概率模型称为__________.如果一次试验中的等可能基本事件共有n 个，那么每一个等可能基本事件
发生的概率都是____；如果某个事件A包含了其中的m个等可能的基 本事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝
______.
1. 几何概型的概念
如果每个事件发生的概率只与构成该事件的区域的__________(长度、面积或体积)成比例，那么称 这样的概率
模型为几何概型．
2. 几何概型的概率公式
在区域D中随机地取一点 ，记事件“该点落在其部一个区域d”为事件A，则事件A发生的概率为
______________ __________.
3. 几何概型的特点
(1) 试验中所有可能出现的结果(基本事件)有__________；
(2) 每个基本事件出现的_____________.
1. 互斥事件：不可能__________的两个事件叫互斥事件．

2. 对立事件：两个事件必有一个发生的__________叫对立事件. 互为对立的两个事件一定__________，但互斥
事件不一定是__________事件．
3. 互斥事件的概率
如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生(即A，B中有一个发生) 的概率等于事件A，B分别发生的__________，
即___________________ ___.推广：如果事件
___________________________________ __________.
4. 对立事件的概率
对立事件的概率的和为________ __，即__________________，它的变形形式为P(A)＝_________.




A
1
，A
2
，…，A
n
彼此互斥，那么